tehnicka mehnika

DG2012/4 TEHNIČKA MEHANIKA – PODSJETNIK 1

MEH-POD-01.doc

Danko Gugi ć

TEHNIČKA MEHANIKA

PODSJETNIK

ZAGREB , 2012


MEH-POD-01.doc

SADRŽAJ

1. UVOD U TEHNIČKU MEHANIKU ........................................ .....................................6

1.1 GIBANJE, OSNOVNI POJMOVI I VELI ČINE.............................................................................................. 6 1.1.1 Opća problematika gibanja................................................................................................................................ 6 1.1.2 Osnovne veličine i njihove mjerne jedinice ...................................................................................................... 7

1.2 GEOMETRIJSKO DEFINIRANJE GIBANJA ................... ............................................................................ 8 1.2.1 Ureñenje prostora .............................................................................................................................................. 8 1.2.2 Objekti gibanja .................................................................................................................................................. 8 1.2.3 Zakon gibanja.................................................................................................................................................... 9 1.2.4 Vrste gibanja i objekti gibanja........................................................................................................................... 9

1.3 FIZIKALNO DEFINIRANJE GIBANJA, AKSIOMI TEHNI ČKE MEHANIKE ..................................... 10 1.3.1 Brzina i ubrzanje ............................................................................................................................................. 10 1.3.2 Newtonovi zakoni ........................................................................................................................................... 12 1.3.3 Princip oslobañanja od veza............................................................................................................................ 13 1.3.4 Zakon paralelograma....................................................................................................................................... 14 1.3.5 Metodologija fizikalnog definiranja gibanja ................................................................................................... 15

1.4 SILE I GIBANJE............................................................................................................................................... 15 1.4.1 Vrste sila ......................................................................................................................................................... 15 1.4.2 Djelovanje sila................................................................................................................................................. 16 1.4.3 Sistemi sila i objekti gibanja ...........................................................................................................................18

1.5 TEHNI ČKA MEHANIKA................................................................................................................................ 19 1.5.1 Definicija tehničke mehanike.......................................................................................................................... 19 1.5.2 Granice točnosti .............................................................................................................................................. 19 1.5.3 Podjela tehničke mehanike.............................................................................................................................. 19

2. STATIKA ............................................ .....................................................................20

2.1 UVOD U STATIKU...........................................................................................................................................20 2.1.1 Osnovni pojmovi i veličine statike.................................................................................................................. 20 2.1.2 Osnovni zakoni i principi statike..................................................................................................................... 20 2.1.3 Zadaci statike .................................................................................................................................................. 21

2.2 SILE U STATICI............................................................................................................................................... 21 2.2.1 Kontinuirane i koncentrirane sile .................................................................................................................... 21 2.2.2 Djelovanje sila u statici ................................................................................................................................... 22 2.2.3 Operacije sa silama ......................................................................................................................................... 22 2.2.4 Operacije sa statičkim momentima i spregovima sila ..................................................................................... 23

2.3 REDUKCIJA SISTEMA SILA ........................................................................................................................ 25 2.3.1 Rezultanta i ekvivalentni sistemi sila .............................................................................................................. 25 2.3.2 Redukcija kolinearnog sistema sila ................................................................................................................. 25 2.3.3 Redukcija konkurentnog sistema sila u ravnini............................................................................................... 25 2.3.4 Redukcija konkurentnog sistema sila u prostoru............................................................................................. 26 2.3.5 Redukcija općeg sistema sila u ravnini ........................................................................................................... 27 2.3.6 Redukcija općeg sistema sila u prostoru ......................................................................................................... 28

2.4 ODREðIVANJE TEŽIŠTA.............................................................................................................................. 30 2.4.1 Središte sistema vezanih paralelnih sila .......................................................................................................... 30 2.4.2 Koordinate težišta............................................................................................................................................ 31 2.4.3 Praktično odreñivanje težišta........................................................................................................................... 32

2.5 ODREðIVANJE RAVNOTEŽE...................................................................................................................... 33 2.5.1 Veze i reakcije veza......................................................................................................................................... 33 2.5.2 Uvjeti ravnoteže .............................................................................................................................................. 36

2.6 RAVNOTEŽA KRUTOG TIJELA.................................................................................................................. 36


MEH-POD-01.doc

2.6.1 Ravnoteža točke na pravcu.............................................................................................................................. 36 2.6.2 Ravnoteža točke u ravnini ............................................................................................................................... 37 2.6.3 Ravnoteža točke u prostoru ............................................................................................................................. 38 2.6.4 Ravnoteža ravne krute figure .......................................................................................................................... 38 2.6.5 Ravnoteža krutog tijela u prostoru .................................................................................................................. 40

2.7 RAVNOTEŽA SISTEMA KRUTIH TIJELA .................... ............................................................................ 42 2.7.1 Ravnoteža ravnih sistema krutih tijela ............................................................................................................ 42 2.7.2 Ravnoteža ravnih rešetkastih nosača............................................................................................................... 44 2.7.3 Stabilnost ravnotežnog položaja...................................................................................................................... 48

2.8 TRENJE ............................................................................................................................................................. 49 2.8.1 Priroda i vrste trenja ........................................................................................................................................ 49 2.8.2 Trenje klizanja................................................................................................................................................. 50 2.8.3 Trenje kotrljanja .............................................................................................................................................. 52 2.8.4 Trenje u ležajima............................................................................................................................................. 53 2.8.5 Trenje užeta..................................................................................................................................................... 54 2.8.6 Ravnoteža kad djeluje trenje ........................................................................................................................... 55

3. DINAMIKA........................................... ....................................................................56

3.1 UVOD U DINAMIKU....................................................................................................................................... 56 3.1.1 Objekti gibanja i vrste gibanja......................................................................................................................... 56 3.1.2 Zadaci dinamike, kinematički i kinetički pristup ............................................................................................57 3.1.3 D’Alembertov princip .....................................................................................................................................60

3.2 PRAVOCRTNO GIBANJE.............................................................................................................................. 61 3.2.1 Sistem sila i zakon gibanja ..............................................................................................................................61 3.2.2 Kinematika pravocrtnog gibanja ..................................................................................................................... 61 3.2.3 Kinematički dijagrami..................................................................................................................................... 62 3.2.4 Odreñivanje sile ..............................................................................................................................................63 3.2.5 Odreñivanje gibanja pri djelovanju konstantne sile ........................................................................................ 63 3.2.6 Odreñivanje gibanja pri djelovanju sile ovisne o vremenu............................................................................. 63 3.2.7 Odreñivanje gibanja pri djelovanju sile koja je funkcija položaja................................................................... 63 3.2.8 Gibanje u otpornoj sredini...............................................................................................................................66

3.3 TRANSLACIJA................................................................................................................................................. 68 3.3.1 Sistem sila za translaciju ................................................................................................................................. 68 3.3.2 Kinematika krivocrtne translacije u DPKS ..................................................................................................... 68 3.3.3 Kinematika krivocrtne translacije u CKS-u .................................................................................................... 70 3.3.4 Kinematika krivocrtne translacije u PKS-u..................................................................................................... 73 3.3.5 Odreñivanje sile ..............................................................................................................................................74 3.3.6 Odreñivanje gibanja ........................................................................................................................................ 74 3.3.7 Primjena D'Alembertova principa................................................................................................................... 76

3.4 OPĆI ZAKONI KINETIKE PRI TRANSLACIJI .................. ....................................................................... 78 3.4.1 Kinetičke značajke gibanja.............................................................................................................................. 78 3.4.2 Zakon količine gibanja .................................................................................................................................... 78 3.4.3 Zakon kinetičke energije ................................................................................................................................. 79 3.4.4 Zakon održanja mehaničke energije................................................................................................................ 81 3.4.5 Zakon momenata............................................................................................................................................. 82

3.5 DINAMIKA/KINETIKA SISTEMA ČESTICA............................................................................................. 83

3.6 ROTACIJA OKO NEPOMI ČNE OSI ............................................................................................................ 84 3.6.1 Sistem sila i zakon gibanja ..............................................................................................................................84 3.6.2 Kinematika kružnog gibanja čestice................................................................................................................ 84 3.6.3 Kinematika rotacije krutog tijela oko nepomične osi ...................................................................................... 87 3.6.4 Kinetika rotacije krutog tijela oko nepomične osi........................................................................................... 87 3.6.5 Kinetička energija, rad i snaga ........................................................................................................................ 90 3.6.6 Dinamičke reakcije u osloncima ..................................................................................................................... 91 3.6.7 Kinetički momenti tromosti ............................................................................................................................ 94

3.7 PRIJENOSNICI ROTACIJSKOG GIBANJA ............................................................................................... 98 3.7.1 Kinematika prijenosnika s nepomičnim osima................................................................................................ 98


MEH-POD-01.doc

3.7.2 Kinematika prijenosnika s nepomičnim i pomičnim osima .......................................................................... 101 3.7.3 Kinetika prijenosnika rotacijskog gibanja ..................................................................................................... 103

3.8 RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA .................... .......................................................................... 106 3.8.1 Opis ravninskog gibanja krutog tijela ........................................................................................................... 106 3.8.2 Zakon gibanja, brzina i ubrzanje ................................................................................................................... 107 3.8.3 Geometrijsko prikazivanje gibanja ravne krute figure .................................................................................. 109 3.8.4 Kinematika motornog mehanizma ................................................................................................................ 110 3.8.5 Kinetika ravninskog gibanja.......................................................................................................................... 111

3.9 ROTACIJA KRUTOG TIJELA OKO TO ČKE........................................................................................... 113 3.9.1 Opis i zakon gibanja...................................................................................................................................... 113 3.9.2 Kutne brzine i aksoidi ...................................................................................................................................114 3.9.3 Gibanje simetričnog giroskopa...................................................................................................................... 114

4. LITERATURA...................................... ........................................................................117


MEH-POD-01.doc

PREDGOVOR Uobičajeno je problematiku tehničke mehanike izlagati tijekom dva semestra, prvo statiku a potom dinamiku. Zbog nastavnog plana i trajanja studija te raspoloživih sati na Veleučilištu se to čini u jednom semestru. Napisane su i postoje mnoge knjige iz mehanike i tehničke mehanike za različita zanimanja. Studenti održavanja motornih vozila i zrakoplova mogli bi u njima naći potrebnu teoriju i dosta primjera da steknu znanja koja će im biti potrebna u praksi i tijekom studija ali tražeći potrebno u više postojećih knjiga. U ovim papirima, koji su po sadržaju podsjetnik na izlaganja na predavanjima i vježbama, dani su opisi osnovnih vrsta gibanja i svi potrebni izvodi. Teorija se izlaže polazeći od aksioma koje je postavio Newton uz minimalno potrebnu matematičku potporu. Poznavanje vektorskog i diferencijalnog računa, rješavanja integrala i jednostavnih diferencijalnih jednadžbi se pretpostavlja. Posebna pažnja u uvodnom dijelu podsjetnika posvećena je odnosu tehničke mehanike i mehanike odnosno fizike kako bi studenti stekli, makar minimalni, uvid u suvremeno tumačenje prostora i vremena. U istoj težnji definirana je primjenjivost i granice točnosti zakona tehničke mehanike. Za dodatne informacije studenti se upućuju na izvore navedene u popisu literature. Koristi od ovog podsjetnika povećavaju se redovnim i aktivnim praćenjem predavanja i vježbi – živa riječ je često vrednija od puno napisanih riječi. U planu je dopunjavanje ovih papira dodatnim tekstom, slikama i primjerima. Takoñer će se otkloniti promakle greške. Unaprijed se zahvaljujem na dojavljenim greškama i prijedlozima za poboljšanje. U pripremi teksta pomogao mi je asistent Draško Mück na čemu mu zahvaljujem. U Zagrebu, u veljači 2012. Danko Gugić


MEH-POD-01.doc

1. UVOD U TEHNIČKU MEHANIKU Fizika je osnovna prirodna znanost koja istražuje i tumači cjelokupnu materijalnu stvarnost te na osnovi iskustvenih činjenica i teorijskih istraživanja oblikuje zakone koji se definiraju odgovarajućim matematičkim aparatom. Mehanika je osnovna i najstarija grana fizike. Danas se razlikuje Newtonova ili klasična mehanika i relativističko-kvantna mehanika. Odgovarajući potrebama razvoja materijalne kulture čovječanstva mehanika se razvija, na temeljima klasične mehanike, u samostalnu znanost koja proučava najjednostavnija gibanja i, prema vrsti objekata gibanja, dijeli se na:

- mehaniku krutih tijela, - mehaniku čvrstih (deformabilnih) tijela, - mehaniku fluida.

Mehanika krutih tijela sadrži teorijsku ili racionalnu mehaniku i tehničku mehaniku. Prva proučava gibanje ne vodeći računa o njegovom značenju u praksi služeći se matematičkim metodama. Primjenu zakonitosti ustanovljenih u teorijskoj mehanici s potrebnim i dozvoljenim pojednostavnjenjima u rješavanju inženjerskih problema daje tehnička mehanika. Kolegij Mehanika bavi se tehničkom mehanikom krutih tijela. Osnove tehničke mehanike postavljaju se polazeći od klasične mehanike.

1.1 GIBANJE, OSNOVNI POJMOVI I VELI ČINE

1.1.1 Opća problematika gibanja

Newton je u svom djelu „Matematički principi prirodne filozofije“, objavljenom 1686. godine razlikovao apsolutni i relativni prostor te apsolutno vrijeme opisavši ih sljedećim definicijama: Apsolutni prostor ostaje po svojoj prirodi i bez odnosa s bilo čim vanjskim uvijek jednak sebi i nepomičan. Relativni prostor mjera je apsolutnog prostora ili bilo koji njegov dio u gibanju, koji se našim osjetilima odreñuje po svom položaju u odnosu na tijela i narod ga upotrebljava umjesto apsolutnog prostora. Apsolutno, istinsko i matematičko vrijeme teče jednoliko po sebi i po svojoj prirodi i bez odnosa spram bilo čega izvanjskog i drugim se imenom zove trajanje. Apsolutnom prostoru Newton je dodijelio tri dimenzije koje se u običnom govoru a prema gibanju čovjeka zovu: naprijed-nazad, lijevo-desno i gore-dolje. Za neki predmet ili dio apsolutnog prostora može se reći da ima dužinu (naprijed-nazad), širinu (lijevo-desno) i visinu (gore-dolje). Pri tom su ove značajke prostora nepromjenjive. Slijedom rečenog za neki predmet ili dio apsolutnog prostora može se odrediti položaj u odnosu na neki dio apsolutnog prostora. Radi jednostavnosti za svaki predmet, koji je i dio apsolutnog prostora a koji Newton naziva relativni prostor, zgodno je uvesti naziv objekt gibanja. Takoñer za referentni dio apsolutnog prostora, u odnosu na kojeg se odreñuje položaj objekta gibanja, uvodi se naziv ishodište. Objekt gibanja može mirovati ili mijenjati položaj u prostoru. Skup položaja naziva se putanja. Promatrajući promjene položaja objekta gibanja dolazi se do vremena. Newton je za apsolutno vrijeme podrazumijevao da u svakom dijelu prostora teče na isti način odnosno da satovi bilo gdje u prostoru pokazuju isto vrijeme. Iz ovog slijedi istovjetnost trenutka i istovrijednost vremenskog intervala. Dvije su značajke objekta gibanja zanimljive u mehanici: njegova prostornost i masa. Prostornost je odreñena s tri dimenzije, primjerice: dužina, širina i visina, a masa je odreñena s umnoškom volumena i gustoće objekta gibanja. Prema Newtonu masa objekta gibanja je stalna, nepromjenjiva i neovisna o položaju gdje se objekt gibanja nalazi. Proširenjem znanstvene znatiželje na elektromagnetske pojave, atomsku grañu materije, prirodu svjetlosti, grañu i ustrojstvo svemira Newtonove definicije prostora i vremena su napuštene. Takoñer je napuštena i pretpostavka o nepromjenjivosti mase objekta gibanja. Glavni doprinos novom gledanju dao je Einstein u svojoj specijalnoj teoriji relativnosti, objavljenoj 1905 godine. Einstein ukida pojam apsolutnog prostora i apsolutnog vremena i govori o nedjelivosti prostora i vremena a za masu objekta gibanja tvrdi da je promjenjiva i ovisi o brzini kojom se objekt gibanja giba. Nova Einsteinova mehanika naziva se relativistička jer i prostor i vrijeme i masa imaju promjenjive veličine ovisne o brzini pak više nisu apsolutne nego relativne značajke gibanja. Osnovna veličina na koju se referira masa objekta gibanja, dimenzije objekta gibanja i vrijeme je brzina svjetlosti koja je konstantna i iznosi 299792.458 km/s u vakumu, zaokruženo 300000 km/s.


MEH-POD-01.doc

Relativnost mase objekta gibanja m, koja je u stanju mirovanja m0, pri brzini v a u odnosu na brzinu svjetlosti c definirana je sljedećom formulom:

2

2

0

1c

v

mm

−

= (1.1.1-1)

Lorentzove transformacije definiraju sporiji tok vremena i kontrakciju prostora:

2

2

0

1c

v

tt

−

∆=∆ (1.1.1-2)

2

2

0 1c

vLL −= (1.1.1-3)

U navedenim formulama Lt i ∆ su vremenski interval i dužina na objektu gibanja koji se giba brzinom v a 00 i Lt∆ su vremenski interval i dužina na objektu gibanja kada on miruje.

Problematika poimanja svijeta odnosno gibanja polazi od Newtonovih četiriju apsolutnih dimenzija, tri prostorne i jedne vremenske, koje Einstein relativizira dodajući četvrtu dimenziju prostoru – spaja prostor i vrijeme te govori o 4-dimenzionalnom prostoru ili o prostorvremenu. Znastvenici su razvijanjem Einstenove teorije uvodili dodatne dimenzije kako bi objasnili gibanje u atomu. Danas je aktualna teorija struna koja uključuje deset dimenzija, Stephen Hawking, u kojoj su dominantne četiri dimenzije prostorvremena. U tehničkoj mehanici proučava se gibanje tehničkih objekata gibanja, u najvećem broju slučajeva izradaka ljudskih ruku, čije su prostorne dimenzije po mjeri čovjeka (mnogo veće od dimenzija atoma a znatno manje od dimenzija planeta Zemlje). Ovi se objekti gibaju brzinama manjim od treće kozmičke brzine (brzina napuštanja sunčevog sustava, 42100 m/s). Za proučavanje ovih gibanja nije potrebna teorija struna. Dovoljne su četiri Newtonove dimenzije. U odnosu na Einsteinov prostorvrijeme može se govoriti o točnosti proračuna. Ako bi se objekt gibanja gibao brzinom svjetlosti njegova masa bi bila beskonačno velika, vrijeme bi stalo a prostorne dimenzije bile bi jednake nuli. No ako je brzina objekta gibanja jednaka trećoj kozmičkoj brzini utjecaj relativnosti bi bio:

povećanje mase objekta gibanja za 0.00000098603591958%, skraćenje duljine objekta gibanja za 0.00000098603590848%, usporenje vremena za 0.00000098603591958%.

Dakle tehničku mehaniku moguće je izgraditi na temeljima Newtonove mehanike s točnošću predviñanja ili rekonstrukcije gibanja u gore navedenim granicama točnosti. U inženjerskoj praksi objekti gibanja definiraju se kao geometrijska tijela jednostavnog ili složenog oblika ispunjena materijom konstantne gustoće ili gustoće koja ovisi o položaju unutar razmatranog tijela. Takoñer se ova tijela smatraju skupom proizvoljnog broja točaka odnosno čestica. Geometrijska tijela koja se pridružuju realnim objektima gibanja često su racionalna pojednostavnjenja oblika realnih objekata gibanja. Prostor se obično ureñuje pomoću nekog koordinatnog sistema u kojem je moguće definirati položaj i putanju objekta gibanja. Pretpostavlja se da u tom koordinatnom sistemu vrijeme teče jednoliko.

1.1.2 Osnovne veli čine i njihove mjerne jedinice

Osnovne veličine tehničke mehanike su one značajke objekata gibanja i samog gibanja pomoću kojih se može opisati svako gibanje. Za ovu nakanu dovoljne su tri veličine: prostorne značajke, masa objekta gibanja i vrijeme. Mjerne jedinice ovih veličina su osnovne mjerne jedinice tehničke mehanike pomoću kojih se definiraju mjerne jedinice za sve značajke gibanja. Suvremene definicije osnovnih mjernih jedinica glase: Mjerna jedinica za duljinu je metar, oznaka m. Metar je osnovna jedinica Meñunarodnog sistema mjernih jedinica (SI). Metar je duljina jednaka 1 650 763.73 valnih zračenja u vakuumu koje odgovara prijelazu izmeñu razine 2p10 i 5d5 atoma kriptona 86.


MEH-POD-01.doc

Mjerna jedinica za vrijeme (trenutak i trajanje) je sekunda, oznaka s. Sekunda je osnovna jedinica SI. Sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmeñu dviju hiperfinih razina osnovnog stanja atoma cezija 133. Mjerna jedinica za masu je kilogram, oznaka kg . Kilogram je osnovna jedinica SI. Kilogram je masa meñunarodne pramjere kilograma. Pramjera kilograma izrañena je od slitine koja sadrži 90% platine i 10% iridija i ima oblik valjka promjera 39 mm i visine 39 mm. Čuva se od 1889. u Meñunarodnom uredu za utege i mjere u Sevresu kraj Pariza. Definicije metra i sekunde sročene su tako da vrijede u cijelom svemiru. U praksi se koriste praktičnije mjere: za duljinu trakasti metar, pomično mjerilo ili mikrometarsko mjerilo a za vrijeme mjerne ure (štoperice). Globalno vrijeme mjeri se pomoću atomskih satova.

1.2 GEOMETRIJSKO DEFINIRANJE GIBANJA

1.2.1 Ureñenje prostora

Prostor gibanja ureñuje se nekim od koordinatnih sistema poznatim u matematici: pravokutnim, cilindričnim ili sfernim koordinatnim sistemom. Descartesov pravokutni koordinatni sistem Najprimjereniji ljudskom iskustvu i potrebama je Descartesov pravokutni koordinatni sistem (DPKS) prikazan na slici 1.2.1-1. DPKS se dobije uvoñenjem u prostor gibanja tri meñusobno okomite ravnine. Zajednička točka koordinatnih ravnina je ishodište O a presječnice ovih ravnina su koordinatne osi x, y i z ovog koordinatnog sistema. Pozitivni smjerovi koordinatnih osi odreñeni su

jediničnim vektorima kji��

i , po pravilu vektorskog produkta:

jik��

x = (1.2.1-1) pak se za ovakav DPKS kaže da je desne orijentacije. Položaj točke M odreñuje se u DPKS pomoću tri koordinate čije su veličine xM, yM i zM mjerene u metrima.

Slika 1.2.1-1 Položaj točke M u DPKS-u

1.2.2 Objekti gibanja

Realni objekti gibanja meñusobno se razlikuju po: - obliku, - rasporedu mase unutar svog oblika, - stalnosti odnosno promjenjivosti oblika, - značajkama koje se detektiraju osjetilima.

Potrebno je razlučiti bitne od nebitnih značajki realnih objekata gibanja da bi se moglo za neprebrojivo mnoštvo realnih objekata gibanja definirati ograničen broj modela kako bi se lakše i sistematičnije proučavalo njihovo gibanje. Bitne značajke realnih objekata gibanja su oblik i masa. U tehničkoj mehanici se pretpostavlja da su svi objekti gibanja nepromjenjivog oblika pak se kaže da tehnička mehanika proučava gibanje krutih tijela. Smatrajući kruto tijelo skupom točaka odlika njegove krutosti očituje se u nepromjenjivoj udaljenosti bilo koje dvije njegove točke tijekom gibanja. Ovisno o sistemu sila, koji djeluje na realno tijelo, i vrsti gibanja realnog tijela uvode se sljedeći modeli za realne objekte gibanja

- točka ili čestica koja nema dimenzija, - štap koji ima jednu dimenziju, primjerice dužinu, - kruta ravna figura koja ima dvije dimenzije, obično dužinu i širinu, - kruto tijelo koje ima tri dimenzije.

Svi navedeni modeli pojednostavnjeno se nazivaju objekti gibanja i mogu imati masu ili im se masa može zanemariti.


MEH-POD-01.doc

1.2.3 Zakon gibanja

Geometrijsko definiranje gibanja pokazat će se, radi jednostavnosti, za točku kao najjednostavniji objekt gibanja, u DPKS-u na slici 1.2.3-1: - od ishodišta do položaja točke M, koja se giba, povlači se radijvektor r

�,

- početak radijvektora r�

, po definiciji, stalno je u ishodištu a vrh mu stalno prati točku koja se giba po putanji p, - veličina, pravac i smjer radijvektora se mijenjaju kako se točka M giba u prostoru i vremenu pak se kaže da je radijvektor r

�funkcija vremena,

- neka je točka M na početku svog gibanja bila u položaju P0, u trenutku t1 u položaju P1 a u trenutku t2 u položaju P2; proteklo vrijeme izmeñu trenutaka t1 i t2 je vremenski interval t∆ u kojem je točka M prešla put s∆ od položaja P1 do položaja P2. Položaj objekta gibanja je točka prostora s kojom se točka M poklapa u nekom trenutku. Putanja je neprekinuti skup točaka prostora s kojima se je točka M poklapala tijekom svog gibanja. U slučaju gibanja tijela položaji i putanje su skupovi točaka prostora s kojima se je tijelo poklapalo tijekom gibanja. Udaljenost točke M od ishodišta mjeri se u metrima. Trenutci t1 i t2 izraženi su brojem sekundi proteklim od početka gibanja točke M. U opis gibanja se često uključuje preñeni put mjeren po putanji od polaznog položaja točke M. Ova se veličina obično označava sa s i funkcija je vremena.

Slika 1.2.3-1 : Gibanje točke M po putanji p u DPKS-u

Zaključno, opisano se gibanje definira pomoću radijvektora r�

: )(trr

�� = (1.2.3-1) Ovaj vektorski zapis se naziva zakon gibanja jer se pomoću njega može odrediti položaj objekta gibanja u svakom trenutku i putanja po kojoj se objekt gibanja giba te brzina i ubrzanje. Radijvektor se u DPKS-u izražava pomoću svojih komponenata:

kzjyixr��

++= (1.2.3-2) Kako je radijvektor funkcija vremena to su i veličine njegovih komponenti ovisne o vremenu:

)(txx = (1.2.3-3)

)(tyy = (1.2.3-4)

)(tzz = (1.2.3-5) Izrazi (1.2.3-3) do (1.2.3-3) predstavljaju parametarski oblik zakona gibanja u DPKS-u. Vremenski interval t∆ u kojem je točka prešla iz jednog u drugi položaj i put preñen po putanji definiraju se donjim izrazima:

12 ttt −=∆ (1.2.3-6)

)(tss = (1.2.3-7)

1.2.4 Vrste gibanja i objekti gibanja

Tri su osnovna oblika gibanja: mirovanje, translacija i rotacija. Mirovanje je gibanje pri kojem objekt gibanja ne mijenja svoj položaj u okviru koordinatnog sistema. Translacija je takvo gibanje pri kojem dužina koja spaja bilo koje dvije točke objekta gibanja ostaje stalno paralelna svom početnom položaju. Na slici 1.2.4-1 pokazana je dužina AB čije se krajnje točke poklapaju s točkama A1 i B1 u trenutku t = t1 i s točkama A2 i B2 u trenutku t = t2.

Slika 1.2.4-1 Translatorno gibanje tijela


MEH-POD-01.doc

Kod rotacije sve točke objekta gibanja gibaju se po koncentričnim kružnicama - slika 1.2.4-2. Središta ovih kružnica leže na pravcu koji može ali i ne mora prolaziti kroz objekt gibanja. Ovaj pravac se naziva os rotacije. Na slici 1.2.4-2 prikazane su koncentrične kružnice k1, k2 i k3 po kojima se gibaju točke A, B i C. Translacija i rotacija mogu se u općem slučaju rastaviti na elementarna gibanja koja se u DPKS-u definiraju: Elementarna translacija je gibanje po nekom pravcu paralelnom jednoj od koordinatnih osi DPKS. Elementarna rotacija je rotacija oko osi rotacije paralelne jednoj od koordinatnih osi DPKS.

Slika 1.2.4-2 Rotacija tijela

Prema prikazu na slici 1.2.4-3 tijelo može izvoditi tri elementarne translacije, označene s pX, pY i pZ, i tri elementarne rotacije označene s ωX, ωY i ωZ. Mogućnost da objekt gibanja izvodi jedno elementarno gibanje naziva se stupanj slobode gibanja i kada su slobodni: - točka ima tri stupnja slobode gibanja – tri elementarne translacije, - ravna kruta figura ima tri stupnja slobode gibanja – dvije elementarne translacije i jednu elementarnu rotaciju, - kruto tijelo ima šest stupnja slobode gibanja što je pokazano slikom 1.1.4-3.

Slika 1.2.4-3 Elementarna gibanja u DPKS-u

1.3 FIZIKALNO DEFINIRANJE GIBANJA, AKSIOMI TEHNI ČKE MEHANIKE

Polazeći od Newtonovih definicija prostora i vremena te računajući s masom objekta gibanja izvode se osnovni zakoni tehničke mehanike. Prethodno se, onako kako je to Newton učinio, definiraju brzina i ubrzanje. Ukupno je pet osnovnih zakona gibanja i oni čine aksiomatski temelj tehničke mehanike iz kojeg se izvode sve ostale zakonitosti potrebne za opisivanje i predviñanje gibanja.

1.3.1 Brzina i ubrzanje

Premda su pojmovi brzine i ubrzanja poznati iz svakodnevnog života treba ih fizikalno i matematički definirati. Radi postupnosti prvo će se definirati srednja brzina i srednje ubrzanje analizom podataka o gibanju točke po pravcu. U tablici 1.3.1-1 dani su u prvom stupcu redni brojevi vremenskih intervala a u drugom stupcu preñeni putovi u tim vremenskim intervalima. U trećem stupcu dano je trajanje vremenskih intervala. Slijedi definicija srednje brzine: Srednja brzina u nekom vremenskom intervalu je omjer preñenog puta u tom vremenskom intervalu i trajanja tog vremenskog intervala. Označi li se preñeni put s ∆s a trajanje vremenskog intervala s ∆t onda se srednja brzina definira donjim izrazom:

t

svsr ∆

∆= (1.3.1-1)

Vrijednosti srednje brzine izračunate su i dane u četvrtom stupcu tablice 1.3.1-1. Kako je brzina izvedena veličina, izvedena iz puta i vremena, njena je mjerna jedinica omjer mjernih jedinica osnovnih mjernih jedinica prostora i vremena: Mjerna jedinica brzine je m/s . Srednje brzine promatranog gibanja točke razlikuju se od intervala do intervala. Slijedi definicija srednjeg ubrzanja: Srednje ubrzanje u nekom vremenskom intervalu je omjer promjene brzine u tom vremenskom intervalu i trajanja tog vremenskog intervala.


MEH-POD-01.doc

Tablica 1.3.1-1 Proračun srednje brzine Redni broj intervala

Preñeni put s∆ , m

Vremenski interval t∆ , s

Srednja brzina srv ,

m/s 1 20 10 2 2 60 15 4 3 20 20 1 4 60 20 3 5 15 5 3

Označi li se promjena brzine s v∆ u vremenskom intervalu t∆ onda se srednje ubrzanje definira donjim izrazom:

t

vasr ∆

∆= (1.3.1-2)

Vrijednosti srednjeg ubrzanja izračunate su i dane u četvrtom stupcu tablice 1.3.1-1. Tablica 1.3.1-2 Proračun srednjeg ubrzanja Redni broj intervala

Promjena srednje brzine v∆ , m/s

Vremenski interval t∆ , s

Srednje ubrzanje sra ,

m/s2 1 2 10 0.200 2 2 15 0.133 3 -3 20 -0.150 4 2 20 0.100 5 0 5 0.0

Ubrzanje je takoñer izvedena veličina, izvedena iz promjene brzine i vremena, pak je njena mjerna jedinica omjer mjernih jedinica brzine i vremena: Mjerna jedinica ubrzanja je m/s 2. Brzina i ubrzanje u svakom položaju odnosno u svakom trenutku gibanja odreñuju se kao funkcije vremena tako da se preñeni put i vremenski interval smanjuju. Temeljem slika 1.3.1-1 i 1.3.1-3 daju se izvodi kako ih je Newton napravio. Vremenski interval u kojem točka prevali put s∆ izmeñu položaja P1 i P2 definiran je donjim izrazom:

12 ttt −=∆ a za prevaljeni put vrijedi prema slici 1.3.1-1:

s r∆ ≈ ∆�

Prema definiciji srednje brzine, izraz (1.3.1-1), može se napisati:

sr

rv

t

∆≈

∆

�

Slika 1.3.1-1 : Skica za Newtonov izvod izraza za brzinu

Smanjivanjem vremenskog intervala odnosno približavanjem položaja P1 položaju P2 razlika izmeñu s∆ i r∆� se smanjuje i srv postaje brzina v

� u položaju P1:

lim0t

rv

t∆ →∆=∆

��

(1.3.1-3)

Iz trokuta vektora sa slike 1.3.1-1 nalazi se: )()( trttrr

�� −∆+=∆ pak se izraz (1.3.1-3) transformira u oblik:

lim0

( ) ( )

t

r t t r tv

t∆ →+ ∆ −=

∆

� ��

(1.3.1-4)

Desna strana gornjeg izraza je definicija derivacije pak se za brzinu konačno može napisati:

dt

rdv

�� = (1.3.1-5)

Slika 1.3.1-2 Putanja i vektor brzine


MEH-POD-01.doc

Sada se može dati definicija brzine: Brzina je prva derivacija zakona gibanja po vremenu. Konačan rezultat izvoda pokazan je na slici 1.3.1-2. Treba istaknuti da ovaj izvod vrijedi za gibanja u bilo kojem koordinatnom sistemu odnosno da se brzina u bilo kojem koordinatnom sistemu može odrediti kao prva derivacija zakona gibanja po vremenu. Izvod izraza za ubrzanje slijedi postupak izložen u izvodu izraza za brzinu. Pritom putanju zamjenjuje hodograf vektora brzine – slika 1.3.1-3. Prema definiciji srednjeg ubrzanja, izraz (1.3.1-2), može se napisati:

sr

va

t

∆≈

∆

�

i smanjivanjem vremenskog intervala:

lim0t

va

t∆ →∆=∆

��

(1.3.1-5)

Kako je: ( ) ( )v v t t v t∆ = + ∆ −� � �

slijedi:

Slika 1.3.1-3 : Skica za izvod izraza za ubrzanje

( ) ( )lim

0

v t t v ta

tt

+ ∆ −=∆∆ →

� ��

(1.3.1-6)

dva

dt=�

� (1.3.1-7)

Uzevši u obzir izraz (1.3.1-5) vrijedi: 2

2

d ra

dt=�

� (1.3.1-8)

Definicija ubrzanja: Ubrzanje je prva derivacija brzine po vremenu ili druga derivacija zakona gibanja po vremenu. Treba istaknuti da izrazi (1.3.1-7) i (1.3.1-8) vrijede za gibanja u bilo kojem koordinatnom sistemu odnosno da se ubrzanje u bilo kojem koordinatnom sistemu može odrediti kao prva derivacija brzine po vremenu ili kao druga derivacija zakona gibanja po vremenu

1.3.2 Newtonovi zakoni

Prvi osnovni zakon gibanja – princip inercije ili u strajnosti Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu dok neka sila, koja djeluje na njega, ne promijeni to stanje. Gornja definicija se može izraziti formulom: v konst=� (1.3.2-1) Značenje prvog osnovnog zakona gibanja je sljedeće: - sila je uzročnik promjene stanja gibanja, - mirovanje i gibanje po pravcu s konstantnom brzinom su ekvivalentni, - ako putanja tijela nije pravac a veličina brzine je konstantna onda na to tijelo djeluje neka sila, - ako na tijelo djeluje više sila čija je rezultanta jednaka nuli ono ustraje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu – ova značajka tijela naziva se inercija tijela, Za neku sredinu (laboratorij) koji se giba po pravcu jednolikom brzinom kažemo da je to inercijalna sredina i u njoj vrijede osnovni zakoni gibanja te ostali zakoni mehanike iz njih izvedeni. Na slici 1.3.2-1 točka T1 se giba po pravcu i s konstantnom brzinom pak za nju vrijedi princip ustrajnosti. Na točku T2 mora djelovati sila makar se ona giba brzinom konstantne veličine jer joj putanja nije pravac. Ova sila mijenja pravac brzine točke T2. Za točku T3, koja miruje, može se reći da na nju ne djeluje sila – ali mogu djelovati dvije ili više sila koje se poništavaju

Slika 1.3.2-1 : Primjeri gibanja za ilustraciju prvog osnovnog zakona gibanja


MEH-POD-01.doc

Drugi osnovni zakon gibanja - proporcionalnost sile i ubrzanja Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo i zbiva se po pravcu i smjeru djelovanja te sile. Gornja definicija se može izraziti formulom:

amF��

= (1.3.2-2) u kojem je: F�

sila, vektorska veličina, m masa tijela na koje sila djeluje, a�

ubrzanje tijela, vektorska veličina, izazvano silom F

�.

Slika 1.3.2-2 Sila, masa i ubrzanje

Ovaj zakon definira silu i njenu veličinu bilo računom ili mjerenjem: umnožak mase i ubrzanja jednak je sili koja djeluje na tijelo a pravac i smjer ubrzanja poklapaju se s pravcem i smjerom sile. Nadalje, sila i ubrzanje su proporcionalni; faktor proporcionalnosti je masa tijela Masa i ubrzanje su obrnuto proporcionalni

m

Fa

�� = (1.3.2-3)

Ako je sila jednaka nuli i ubrzanje je jednako nuli pak je brzina konstantna: tijelo ili miruje ili se giba jednolikom brzinom po pravcu; slijedi prvi je osnovni zakon gibanja sadržan u drugom. Treći osnovni zakon gibanja – princip jednakosti akcije i reakcije Pri izricanju ovog zakona Newton je imao na umu gravitacijsku silu kojom bilo koja dva tijela u svemiru djeluju jedno na drugo. Za potrebe aksiomatske izgradnje mehanike tu je činjenicu pojednostavnio i formulirao u princip akcije i reakcije: Dva tijela djeluju uvijek uzajamno jedno na drugo silama koje su po veličini i pravcu jednake ali suprotnog smjera.

Slika 1.3.2-3 Ilustracija principa jednakosti akcije i reakcije

Ilustracija ovog zakona dana je na slici 1.3.2-3: a) tijela A i B se dodiruju ostvarujući neko meñusobno djelovanje; b) tijela su razdvojena da bi se moglo definirati meñusobno djelovanje

silama i AB BAF F� �

za koje vrijedi:

BAAB FF��

−= (1.3.2-4) Značenje trećeg osnovnog zakona gibanja je višestruko: - sila se javlja u meñusobnom djelovanju tijela, - tijelo izolirano od drugih tijela ne postoji, - objašnjava postojanje sile.

1.3.3 Princip osloba ñanja od veza

Četvrti osnovni zakon gibanja Svako vezano tijelo može se osloboditi svojih veza s okolinom i promatrati kao slobodno tijelo ako utjecaje veza zamijenimo silama koje neće promijeniti stanje njegovog gibanja Ovaj zakon se primjenjuje u izgradnji mehaničkog modela gibanja: definiranje sistema sila koje djeluju na tijelo da bi se mogao odrediti utjecaj sila na gibanje. U tom se sistemu sila mogu sile svrstati u aktivne i pasivne sile s obzirom na njihov utjecaj na gibanje. Ilustracija principa oslobañanja od veza dana je na slici 1.3.3-1.


MEH-POD-01.doc

Slika 1.3.3-1 Tijelo vezano za okolinu, a), osloboñeno je veza u A i B a veze su nadomještene,

b), sa silama BA FF��

i U slučaju ravnoteže: veze, koje ograničavaju slobodu gibanja krutog tijela, zamjenjuju se silama takovim da kruto tijelo ostane u stanju ravnoteže. Ove sile nazivamo reakcijama veza. O konstrukciji i tipu veze ovisi pravac i smjer djelovanja reakcije veze dok je veličina odreñena uvjetom da tijelo ostane u ravnoteži.

1.3.4 Zakon paralelograma

Peti osnovni zakon gibanja Djelovanje dviju sila 2 1 i FF

�� na točku možemo zamijeniti s djelovanjem jedne sile F

� koja je

jednaka dijagonali paralelograma čije su stranice sile 2 1 i FF��

. Prema slici 1.3.4-1 vrijedi izraz:

FFF��

=+ 21 (1.3.4-1)

Sile 2 1 i FF��

su komponente a sila F�

je njihova rezultanta – slika 1.3.4-1.

Slika 1.3.4-1 Sastavljanje sila – paralelogram sila Slika 1.3.4-2 Rastavljanje sile Zakon paralelograma omogućuje i rastavljanje jedne sile na dvije sile. Za razliku od sastavljanja dviju sila, koje je jednoznačno, rastavljanje jedne sile na njezine komponente je višeznačno – odnosno jednu silu se može rastaviti na više parova komponenti – slika 1.3.4-2. Ukoliko su zadani pravci komponenata i rastavljanje je jednoznačno. Na slici 1.3.4-3 pokazano je rastavljanje sile u Descartesovoj pravokutnoj ravnini (DPR). Veličine komponenti se odreñuju kao stranice pravokutnih trokuta OAB i OBC:

xx FF αcos= (1.3.4-2)

yy FF αcos= (1.3.4-3)

Rastavljanje sile na komponente se naziva još i projiciranje. Veličine komponenata (projekcija) mogu se odrediti i skalarnim produktom sile i jediničnih vektora:

xF F i= ⋅� �

(1.3.4-4)

yF F j= ⋅� �

(1.3.4-5)

Slika 1.3.4-3 Rastavljanje sile u DPR-i


MEH-POD-01.doc

1.3.5 Metodologija fizikalnog definiranja gibanja

Pri rješavanju problema u tehničkoj mehanici pretpostavljaju se sljedeći koraci: 1. Provjera inercijalnosti prostora primjenom prvog osnovnog zakona gibanja. 2. Definiranje mehaničkog modela oslobañanjem tijela od veza s drugim tijelima i okolinom primjenom trećeg i četvrtog osnovnog zakona gibanja. U ovom koraku se odreñuju sve sile koje djeluje na tijelo i definira objekt gibanja. 3. Odreñivanje rezultantne sile koja djeluje na tijelo primjenom zakona paralelograma. 4. Primjena drugog osnovnog zakona gibanja.

1.4 SILE I GIBANJE

1.4.1 Vrste sila

U fizici se danas razmatraju četiri osnovne sile: - gravitacijska, - elektromagnetska, - slaba nuklearna sila, - jaka nuklearna sila. Interesantna je gravitacijska sila koja se definira slikom 1.4.1-1 i sljedećom definicijom: Materijalna tijela 1 i 2, masa m1 i m2 koja su meñusobno udaljena r1,2 privlače se silom proporcionalnom umnošku njihovih masa a obrnuto proporcionalnom kvadratu udaljenosti. Veličina gravitacijske sile odreñena je izrazom:

22,1

212112

r

mmFF γ== (1.4.1-1)

u kojem je γ = 6.673x10-11 m3/(kg s) univerzalna svemirska konstanta. Treba istaknuti: - ne mora postojati materijalna veza tijela, - sile djeluju kroz prostor, - sile djeluju izmeñu svaka dva tijela u svemiru, - intenzitet sila opada s kvadratom udaljenosti tijela.

Slika 1.4.1-1 Djelovanje gravitacijskih sila

Najčešća sila u tehničkoj problematici je težina G�

čija se veličina, prema drugom osnovnom zakonu gibanja, izraz (1.3.2-2), definira sljedećim izrazom:

G m g=� �

(1.4.1-2) U gornjem izrazu m je masa tijela a g je ubrzanje sile teže. Težina potječe od gravitacijskih sila. Mjeri se opružnom vagom a ne vagom s utezima. Hvatište težine naziva se težište. Ubrzanje g najvećim dijelom potječe od gravitacijskih sila pak se naziva gravitacijsko ubrzanje. Njegova veličina ovisi o mjestu na kojem se mjeri. Na kongresu meñunarodnog udruženja geodeta, održanom 1930. godine, gravitacijsko ubrzanje definirano je izrazom: g = 9.80629 (1 – 0.002637 cos 2φ – 0.000 000 315 h) (1.4.1-3) U gornjem izrazu φ je geografska širina na Zemlji a h je nadmorska visina. Vrijednosti gravitacijskog ubrzanja su:

g = 9.7807 m/s2 na ekvatoru, g = 9.8315 m/s2 na polu, g = 9.80665 m/s2 normalno, standardizirano.

Ukoliko se ne zahtijeva drugačije u tehničkoj mehanici se računa s g = 9.81 m/s2. Kako je masa konstantna – težina se mijenja ovisno o mjestu na kojem se mjeri. U tehničkoj mehanici interesantne su još sljedeće vrste sila:

- sila elastične deformacije,


MEH-POD-01.doc

- sila tlaka, - sila trenja.

Sila elastične deformacije nastaje u elastičnom tijelu prilikom elastične deformacije tijela. Za elastičnu cilindričnu oprugu, slika 1.4.1-2, veličina sile elastične deformacije definira se donjim izrazom:

lcF ∆= (1.4.1-4) u kojem je c konstanta opruge koja se mjeri u N/m.

Slika 1.4.1-2 F

�, sila u opruzi, pokazana

primjenom principa oslobañanja od veza

Slika 1.4.1-3 Skica za definiranje sile tlaka

Sila tlaka jednaka je umnošku tlaka p i površine A na koju taj tlak djeluje - njena se veličina odreñuje donjim izrazom: ApF = (1.4.1-5) Tlak p mjeri se u N/m2. Tlak djeluje uvijek okomito na površinu. Sila trenja pojavljuje se u dodirnim površinama dvaju tijela koja se nastoje ili se gibaju jedno spram drugoga. Na slici 1.4.1-4 neko tijelo se giba po nepomičnoj podlozi. Na dodirnim površinama javlja se, radi hrapavosti površina, otpor gibanju koji se izražava

silom trenja T�

.

Slika 1.4.1-4 Sila trenja T

� javlja se u

dodirnim površinama

Sve navedene vrste sila mogu se predstaviti kao vektorske veličine te će se u narednom izlaganju operirati sa silama kao vektorima ne vodeći računa o njihovoj vrsti.

1.4.2 Djelovanje sila

Ako na objekt gibanja djeluje rezultantna sila čiji pravac djelovanja prolazi kroz težište tijela gibanje tijela naziva se translacija. Kada pravac rezultantne sile ne prolazi kroz težište tijela gibanje tijela složeno je od translacije i rotacije. U ovom slučaju se kaže da sila djeluje na tijelo sa statičkim momentom. Stati čki moment sile Statički moment sile definira se na osnovu prikaza na slici 1.4.2-1: Statički moment sile F za točku O jednak je umnošku sile i kraka k.

FkM O = (1.4.2-1)

Krak k je udaljenost pravca djelovanja sile od točke za koju se računa statički moment. Dimenzija statičkog momenta sile je Nm.

Slika 1.4.2-1 Statički moment sile

Ako pravac djelovanja sile prolazi kroz točku O tada je njegova veličina jednaka nuli.

Statički moment sile je vektorska veličina OM�

koja se definira na osnovu prikaza na slici 1.4.2-2 i

1.4.2-3:

FrM O

�� x = (1.4.2-2)


MEH-POD-01.doc

U izrazu (1.4.2-2) r�

je radijvektor hvatišta sile F�

.

Slika 1.4.2-2 Vektorska definicija statičkog momenta sile

Slika 1.4.2-3 Vektor statičkog momenta sile

Po definicije vektorskog produkta vrijedi:

FrM O sin α=�

(1.4.2-3)

Uzme li se u obzir, prema slici 1.4.2-2, da je kr =α sin izrazi (1.4.2-1) i (1.4.2-3) daju istu vrijednost za veličinu statičkog momenta. Pozitivni smjer vektora statičkog momenta odreñuje se po pravilu desne ruke (vijka) ili vektorskog produkta. Kaže se da je statički moment pozitivan ako vrti u smjeru suprotnom smjeru vrtnje kazaljki sata. Za pravac vektora statičkog momenta uzima se os rotacije, slika 1.4.2-3, koja je okomita na

ravninu π u kojoj djeluje sila F�

. Sila 1F�

nema statički moment za točku O jer je njen pravac

djelovanja paralelan s osi rotacije pak nemože izazvati rotaciju oko te osi. Spreg sila

Zbroj statičkih momenata sila F�

i F−�

, slika 1.4.2-4, koje imaju istu veličinu F, paralelne pravce djelovanja i suprotne smjerove iznosi:

( )1221 kkFFkFkM O −=+−= (a)

Uzevši u obzir da vrijedi: akk =− 12 (b) dobije se:

aFM O = (c)

Kako na veličine k1 i k2 nisu postavljeni nikakvi zahtjevi ili ograničenja slijedi da je statički moment ovih sila isti je za bilo koju točku u ravnini djelovanja tih sila: Razmatrane dvije sile predstavljaju spreg sila: Dvije sile iste veličine, paralelnih pravaca djelovanja i suprotnih smjerova nazivaju se spreg sila. Kaže se da spreg sila ima statički moment jednak umnošku udaljenosti pravaca djelovanja i veličine sila čija se veličina odreñuje izrazom:

M a F= (1.4.2-4) Nadalje i spreg je vektorska veličina. Vektor sprega sila je slobodni vektor jer spreg sila može izazvati rotaciju oko bilo koje osi okomite na ravninu u kojoj djeluju sile sprega. Ova odlika sprega ilustrirana je slikom 1.4.2-5

Slika 1.4.2-4 Računanje statičkog momenta sprega sila

Slika 1.4.2-5 Spreg sila je slobodni vektor

Za odreñivanje smjera vektora sprega sila vrijedi rečeno za smjer vektora statičkog momenta.


MEH-POD-01.doc

1.4.3 Sistemi sila i objekti gibanja

Sistemi sila definiraju se prema mogućim položajima pravaca djelovanja sila. U općem slučaju sistem je skup više od jedne do n sila – n je proizvoljno velik ali konačan prirodni broj. Najjednostavniji je kolinearni sistem sila – pravci djelovanja svih sila se poklapaju. Drugim riječima sve sile djeluju na istom pravcu – slika 1.4.3-1. Model za realni objekt gibanja je štap ucrtan na slici 1.4.3-1 ili točka na pravcu djelovanja sila. Za objekt gibanja se kaže da ima jedan stupanj slobode gibanja – jednu elementarnu translaciju duž pravca djelovanja sila

Slika 1.4.3-1 Kolinearni sistem sila Ako se pravci djelovanja svih sila sijeku u jednoj točki govorimo o konkurentnom sistemu sila – slika 1.4.3-2. Razlikuju se dva slučaja: konkurentni sistem sila u ravnini i konkurentni sistem sila u prostoru. Model za realni objekt gibanja je točka u kojoj se sijeku pravci djelovanja sila. Za objekt gibanja se kaže da ima dva ili tri stupnja slobode gibanja, elementarne translacije, u ravnini ili prostoru..

Slika 1.4.3-2 Konkuretni sistem sila

Skup sila čiji pravci djelovanja leže u ravnini, neki se pravci sijeku a neki su paralelni, zove se opći sistem sila u ravnini – slika 1.4.3-3. Ako su pravci svih sila paralelni govorimo o sistemu paralelnih sila u ravnini. Model za realni objekt gibanja je kruta ravna figura po kojoj ravnina u kojoj djeluju sile siječe tijelo. Ravna kruta figura u općem slučaju ima tri stupnja slobode gibanja – dvije elementarne translacije i jednu elementarnu rotaciju oko osi okomite na ravninu u kojoj djeluju sile.

Slika 1.4.3-3 Opći sistem sila u ravnini

Opći sistem sila u prostoru sadrži sile čiji se pravci djelovanja mogu sjeći, mogu biti paralelni i mogu se mimoilaziti. Model za realni objekt gibanja je kruto tijelo. U općem slučaju kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode gibanja: tri elementarne translacije i tri elementarne rotacije.

Slika 1.4.3-4 Opći sistem sila u prostoru

Dakle sistem sila, koji djeluje na neko realno tijelo, odreñuje objekt gibanja koji se pridružuje tom realnom tijelu. Sistem sila i odgovarajući objekt gibanja zovu se zajedničkim imenom mehanički model. Ako je neki sistem sila u ravnoteži, objekt gibanja miruje, to znači da je spriječeno onoliko elementarnih gibanja koliki je karakteristični broj stupnjeva slobode gibanja tog objekta gibanja. U skladu s rečenim objekt gibanja, ako je slobodan, ima ili bi mogao imati, da nije vezan, odgovarajući broj stupanja slobode gibanja.


MEH-POD-01.doc

1.5 TEHNIČKA MEHANIKA

1.5.1 Definicija tehni čke mehanike

Tehnička mehanika je znanost koja proučava gibanja krutih tijela pod djelovanjem sila. Oslanja se na teorijsku klasičnu mehaniku krutih tijela čije zakonitosti, s potrebnim i dozvoljenim pojednostavnjenjima, primjenjuje u rješavanju inženjerskih problema. Pritom izriče zakone koji objašnjavaju gibanje i daju metode proračuna odnosno predviñanja gibanja. Ovisno o sistemu sila koji djeluje na realno tijelo tehnička mehanika proučava gibanje odgovarajućih objekata gibanja: točke,štapa, ravne krute figure i krutog tijela. Gibanje se definira zakonom gibanja pomoću kojeg je moguće odrediti putanju objekta gibanja, položaj objekta gibanja na putanji, brzinu i ubrzanje u svakom trenutku. U tehničkoj mehanici rješavaju se dva osnovna zadatka: - poznat je zakon gibanja a treba naći uzročnika gibanja, - poznat je uzročnik gibanja a treba naći zakon gibanja. Prvi se zadatak rješava dvostrukim deriviranjem zakona gibanja po vremenu. U drugom zadatku se zakon gibanja odreñuje polazeći od ubrzanja. Ako se objekt gibanja giba po pravcu s konstantnom brzinom ili miruje, stanje ravnoteže, tehnička mehanika izriče uvjete ravnoteže iz kojih se odreñuju nepoznate sile, reakcije veza, zbog kojih je objekt gibanja u ravnoteži.

1.5.2 Granice to čnosti

Točnost rješavanja problema u tehničkoj mehanici odreñuje se u odnosu na relativističku mehaniku, točka 1.1.1, i iznosi 10-6% ako je brzina objekta gibanja reda veličine treće kozmičke brzine. Nešto veću netočnost generira zakrivljenost površine Zemlje, točka 1.4.1, što je sadržano u odabranoj vrijednosti gravitacijskog ubrzanja od 9.81 m/s2. Računajući prema standardiziranoj vrijednosti gravitacijskog ubrzanja ( g = 9.80665 m/s2) greška iznosi 0.03 %. Metodologija fizikalnog definiranja gibanja, izložena u 1.3.5, vrijedi općenito ali ako nije posebno naglašeno gibanje na površini Zemlje smatra se gibanjem u inercijalnoj sredini. Inženjerska praksa je interpretacija i provjera rezultata proračuna.

1.5.3 Podjela tehni čke mehanike

Postoji više načina podjele tehničke mehanike. U svim podjelama spominju se sljedeći dijelovi tehničke mehanike: Statika proučava gibanje krutih tijela koja miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu. Kinematika proučava gibanje krutih tijela kojima je zanemarena masa. Kinetika proučava gibanje krutih tijela kojima nije zanemarena masa a ne miruju.

Slika 1.5.3-1 Podjela tehničke mehanike

Navodi se podjela prema shemi na slici 1.5.3-1: Tehnička mehanika se dijeli na statiku i dinamiku a dinamika se dijeli na kinematiku i kinetiku. U kolegiju Mehanika prvo će se izložiti problematika statike. Zatim će se prijeći na problematiku dinamike tako da će se pojedine vrste gibanja prvo obraditi s kinematičkog a onda s kinetičkog aspekta.


MEH-POD-01.doc

2. STATIKA

2.1 UVOD U STATIKU

2.1.1 Osnovni pojmovi i veli čine statike

U statici se proučava stanje ravnoteže krutih tijela koje je definirano prvim osnovnim zakonom gibanja: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu dok neka sila, koja djeluje na njega, ne promijeni to stanje. Pritom na tijelo djeluje neki sistem sila čija je rezultanta jednaka nuli:

1

0n

ii

F F=

= =∑� �

(2.1.1-1)

Vremenska slika gibanja je nepromjenjiva za promatrača koji se nalazi u prostoru u kojem tijelo miruje ili se promatrač giba zajedno s tijelom po pravcu i s konstantnom brzinom. Zato se vrijeme u statici ne uzima u obzir pri rješavanju problema. Važna je geometrija i sile. Osnovne veličine u statici su dužina i sila. Prva je osnovna veličina mehanike a druga je izvedena veličina i definira se pomoću drugog Newtonovog zakona. Mjerna jedinica za silu je newton, oznaka N, koji se definira na sljedeći način:

[ ] 2

mkgN

s=

2.1.2 Osnovni zakoni i principi statike

Pri rješavanju problema u statici, slično kao u općem slučaju u tehničkoj mehanici, pretpostavljaju se sljedeći koraci: 1. Provjera inercijalnosti prostora primjenom prvog osnovnog zakona gibanja. 2. Definiranje mehaničkog modela oslobañanjem tijela od veza, s drugim tijelima i okolinom, primjenom trećeg i četvrtog osnovnog zakona gibanja. U ovom koraku se odreñuju sve sile koje djeluju na tijelo. Osim spomenutih osnovnih zakona u statici se koristi i peti osnovni zakon, zakon paralelograma sila, i uvode se neki principi koji osiguravaju rad sa silama bilo u problemima ravnoteže ili redukcije sistema sila. Princip solidifikacije Prvi od ovih principa je princip solidifikacije kojim se realna tijela prevode u kruta. Slijedi definicija: Ako se deformabilno tijelo, na koje djeluju sile, nalazi u ravnotežnom stanju onda se to stanje neće promijeniti ako tijelo smatramo krutim. Na slici 2.1.2-1 pokazana je poluga kantara crtkano prije opterećenja i punim linijama nakon opterećenja. Očito se može zanemariti utjecaj deformacije poluge kantara na ravnotežu kantara.

Slika 2.1.2-1 Mjerenje s kantarom Princip osloba ñanja od veza Četvrti osnovni zakon gibanja prilagoñuje se problematici ravnoteže i glasi: Veze, koje ograničavaju slobodu gibanja krutog tijela, mogu se zamijeniti silama takovim da kruto tijelo ostane u stanju ravnoteže. Ove sile nazivaju se reakcijama veza. O konstrukciji veze ovisi pravac i smjer djelovanja reakcije veze dok je veličina odreñena uvjetom da tijelo ostane u ravnoteži. Radi operacija sa silama u statici uvode se još dva principa.


MEH-POD-01.doc

Princip poništavanja dviju sila Dvije sile se meñusobno poništavaju ako imaju isti pravac djelovanja, jednaku veličinu i suprotan smjer. Ilustracija principa dana je na slici 2.1.2-2,

Slika 2.1.2-2 Nula sila

Princip dodavanja uravnoteženog sistema sila Ako na tijelo, koje se nalazi u ravnoteži, djelujemo s uravnoteženim sistemom sila tijelo će i dalje ostati u ravnoteži

2.1.3 Zadaci statike

U statici se rješavaju dva osnovna zadatka. Prvi zadatak – redukcija sistema sila Sistem sila, koje djeluju na kruto tijelo, treba svesti na jednostavniji oblik odnosno zamijeniti ga ekvivalentnim sistemom sila u odnosu na gibanje. Obično se zadani sistem sila reducira na jednu silu ili jedan spreg. U sklopu ovog zadatka odreñuje se položaj težišta. Drugi zadatak – odre ñivanje nepoznatih veli čina ravnotežnog stanja Odrediti mehanički model i postaviti uvjete pod kojima će objekt gibanja biti u ravnoteži te odrediti reakcije veza.

2.2 SILE U STATICI

2.2.1 Kontinuirane i koncentrirane sile

U statici se meñusobna djelovanja tijela predstavljaju na dva načina kao: - kontinuirano opterećenje, - koncentrirana sila. Prvi način se oslanja na fizikalnom djelovanju. Jedan primjer je privlačna (gravitacijska) sila koja djeluje na svaku česticu nekog tijela, slika 2.2.1-1, koje smatramo skupom tih čestica. Može se reći da gravitacijska sila djeluje po volumenu tijela. Drugi primjer je djelovanje tekućine ili sipkog materijala na neku površinu – slika 2.2.1-2. Ovo kontinuirano opterećenje se mjeri u N/m2.

Slika 2.2.1-1 Djelovanje sila po volumenu Slika 2.2.1-2 Djelovanje sila po površini A Ako je jedna dimenzija ove površine mala u odnosu na drugu govori se o djelovanju opterećenja po liniji – slika2.2.1-3. Ovo kontinuirano opterećenje se mjeri u N/m. U svim opisanim slučajevima kontinuirano opterećenje je skup od proizvoljnog, ali konačnog broja sila, koje djeluju po volumenu, površini ili po liniji. Pravci djelovanja ovih sila su paralelni.

Slika 2.2.1-3 Djelovanje sila po liniji L


MEH-POD-01.doc

Koncentrirana sila je slučaj kada na vrlo malu površinu djeluje kontinuirano opterećenje vrlo velikog intenziteta. U ovom slučaju se pretpostavlja da sila djeluje u točki – slika 2.2.1-4. Dakle sila se definira kao vektor.

Slika 2.2.1-4 Nastajanje koncentrirane sile

Slika 2.2.1-5 Zamjena kontinuiranog opterećenja silom F

U statici se kontinuirano opterećenje, u toku rješavanja problema, zamjenjuje rezultantnom silom tako da se odredi njena veličina i pravac djelovanja. Drugim riječima kontinuirano opterećenje zamjenjuje se koncentriranom silom koja prolazi kroz središte (težište) ovog opterećenja – slika 2.2.1-5.

2.2.2 Djelovanje sila u statici

Već je istaknuto da vrijeme u statici nije veličina koja se uzima u obzir. Ipak je interesantno definirati kako neka sila poprima svoju veličinu s kojom se računa u odreñivanju ravnotežnog stanja. Ako je veličina sile bila jednaka nuli u početku onda je njena veličina rasla s vrlo malim prirastima do pune veličine. Kaže se da sile u statici djeluju statički. U mehaničkog modelu sile se obično dijele na aktivne i pasivne sile. Prve nastoje izvesti tijelo iz ravnotežnog stanja a druge, reakcije veza, održavaju ravnotežno stanje.

2.2.3 Operacije sa silama

Za silu u statici se kaže da je klizni vektor – može se klizati po pravcu svog djelovanja. Ovo svojstvo sile dokazuje se na slici 2.2.3-1.

Klizanje hvatišta sile F�

iz točke T1 u točku T2 izvodi se dodavanjem nula sila u točki T2.

Poništavanjem sila F�

− i F�

ostaje sila F�

s hvatištem u točki T2. Klizanje sile ne narušava stanje ravnoteže.

Slika 2.2.3-1 Klizanje sile po pravcu djelovanja

Vrlo česta je potreba u rješavanju problema u statici paralelni pomak sile. Za razliku od klizanja sile paralelni pomak narušava stanje ravnoteže. Ipak je moguće silu paralelno pomaknuti ali treba uvesti ispravak kojim se poništava narušavanje ravnoteže – uvodi se redukcioni spreg. Postupak je objašnjen na slikama 2.2.3-2 do 2.2.3-4.

Slika 2.2.3-2 Silu F

� treba pomaknuti na

pravac p1

Slika 2.2.3-3 Dodana nula sila na pravcu p1

Slika 2.2.3-4 Sila F

� na pravcu p1 i redukcioni

spreg M


MEH-POD-01.doc

Za paralelni pomak sile s pravca p2 na pravac p1, slika 2.2.3-2, dodaje se na pravcu p1 nula sila,

slika 2.2.3-3. Par sila F�

− i F�

formira redukcioni spreg sa statičkim momentom M: aFM = Konačan rezultat prikazan je na slici 2.2.3-4.

2.2.4 Operacije sa stati čkim momentima i spregovima sila

U rješavanju statičkih problema često se koristi zakonitost, koju je postavio francuski učenjak Varignon, koja se naziva momentno pravilo ili Varignonov teorem. Varignonov teorem vrijedi za sile u ravnini i prostoru a glasi: Statički moment rezultante za bilo koju točku jednak je zbroju statičkih momenata komponenti za istu točku. Dokaz valjanosti Varignonova teorema provodi se na temelju slike 2.2.3-5 za dvije konkurentne sile u ravnini. Za projekcije sila na os y može se napisati:

γβα coscoscos 21 RFF =+ (a)

Kosinusi kutova i α β γ, definiraju se izrazima:

a

k

a

k

a

k === γβα cos ,cos ,cos 21 (b)

Uvrštenjem (b) u (a) dobije se:

a

Rk

a

kF

a

kF =+ 2211 (c)

Slika 2.2.3-5 Dokaz Varignonova teorema za dvije konkurentne sile

Iz izraza (c) dobije se izraz (2.2.4-1) koji dokazuje valjanost Varignonova teorema: RkkFkF =+ 2211 (2.2.4-1)

Za bilo koje dvije sile vrijedit će ovaj teorem ako vrijedi i za dvije paralelne sile. Valjanost ove hipoteze provodi se na temelju slike 2.2.3-6 za dvije paralelne sile u ravnini.

Promatranim silama 1 2 i F F� �

dodaje se nula sila,

00 - i FF��

, čime se dobiju dvije konkurentne sile '2

'1 i FF

za koje je već dokazana valjanost Varignonova teorema pak se može napisati:

RkkFkF =+ 2'

21'

1 (d) Za krakove k1 i k2 vrijedi:

βα cos ,cos 21 bkak == (e) Uvrštenjem (e) u (d) dobije se:

' '1 2cos cosaF bF kRα β+ = (f)

Kako su sile 1 2 i F F� �

projekcije sila '2

'1 i FF :

2'

21'

1 cos , cos FFFF == βα (g)

Slika 2.2.3-6 Dokaz Varignonova teorema za dvije paralelne sile

Konačno se uvrštenjem (g) u (f) dobije: RkbFaF =+ 21 (2.2.4-2)

Usporedba izraza (2.2.4-1) i (2.2.4-2) daje potvrdu polazne hipoteze. Poopćenje Varignonova teorema primjenom na sistem od n sila daje mogućnost zbrajanja statičkih momenata tih sila. Rezultantni statički moment može se zamijeniti sa statičkim momentom rezultante odnosno može se odrediti krak odnosno položaj rezultante. Treba napomenuti da se u prethodnim razmatranjima statički momenti kako sila tako i rezultante računaju za istu točku. Odgovarajući izrazi se navode:

1

n

ii

R F=

=∑� �

(h)

Zbroj statičkih momenata svih sila odnosno rezultantni statički moment je definiran izrazom (2.2.4-3) u vektorskom obliku i izrazom (2.2.4-4) u skalarnom obliku:


MEH-POD-01.doc

1

n

i ii

M r F=

= ×∑� ��

(2.2.4-3)

1

n

i ii

M k F=

=∑ (2.2.4-4)

Statički moment rezultante i krak rezultante odreñeni su donjim izrazima:

1

n

R i ii

k R k F=

=∑ (2.2.4-5)

1

1

n

i ii

R n

ii

k Fk

F

=

=

=∑

∑�

(2.2.4-6)

U izgradnji teorije i za rješavanje problema važna je ekvivalentnost statičkih momenata: Statički momenti dviju sila, za istu točku, ekvivalentni su ako imaju istu veličinu i isti smjer. Ako je statički moment jedne sile:

1 1 1M k F= (i)

a druge sile:

2 2 2M k F= (j)

onda vrijedi: 1 1 2 2k F k F= (2.2.4-7)

Gornji izraz predstavlja zakon poluge kojeg je postavio Arhimed i marketinški rekao: „dajte mi čvrstu točku i pomaknut ću Zemlju“ Jednostavnom transformacijom gornji se izraz prevodi u oblik:

1 2

2 1

k F

k F= (2.2.4-8)

koji govori da se krakovi kod ekvivalentnih statičkih momenata odnose obrnuto proporcionalno veličinama sila. Za ekvivalentnost spregova sila se kaže: Dva su sprega sila ekvivalentna ako imaju jednake statičke momente. Već je pokazano da su spregovi sila slobodni vektori čiji je pravac okomit na ravninu u kojoj djeluje njegove sile. Ovo svojstvo spregova sila proističe iz mogućnosti pomicanja para sila u ravnini njihovog djelovanja. Dakle vektore momenta sprega sila uvijek je moguće dovesti na isti pravac i onda ih zbrojiti. Druga mogućnost zbrajanja spregova sila pokazana je na slici 2.2.3-7: a) prikazani su polazni spregovi, b) formirani su spregovi ekvivalenti polaznim spregovima, c) sile su zbrojene i dobijen je novi, rezultantni, spreg. Sile ekvivalentnih spregova u b) odreñene su izrazima:

1 21 1 2 2

3 3

a a

F F F Fa a

′ ′= = (k)

Sile rezultantnog sprega u c) odreñuju se:

2 1F F F= + (l)

a rezultantni je spreg:

3M a F= (m)

Uvrštenjem (k) i (l) u (m) dobije se:

Slika 2.2.3-7 Zbrajanje spregova sila

1 1 2 2M a F a F= + (2.2.4-9)

Za n spregova poopćenjem izraza (2.2.4-9) se dobije:

1

n

i ii

M a F=

=∑ (2.2.4-10)


MEH-POD-01.doc

2.3 REDUKCIJA SISTEMA SILA

2.3.1 Rezultanta i ekvivalentni sistemi sila

Kako je već rečeno redukcijom se sistem sila svodi na jednostavniji oblik odnosno zamjenjuje ga se ekvivalentnim sistemom sila. Ekvivalentnost se ovih sistema sila ogleda u njihovom jednakom djelovanju na gibanje. Ako zamjenski ekvivalentni sistem sadrži jednu silu onda se ta sila zove rezultanta. Postupak redukcije temelji se na petom osnovnom zakonu gibanja – zakonu paralelograma. Izložit će se analitičko reduciranje odnosno reduciranje u Descartesovom pravokutnom sistemu. Temelj postupka je reduciranje kolinearnog sistema sila. Ostali sistemi sila svest će se na potreban broj kolinearnih sistema primjenom principa o klizanju sila i paralelnim pomicanjem sila uz dodatak redukcionih spregova. U predkompjuterskoj eri sistemi sila čiji pravci djelovanja leže u jednoj ravnini reducirali su se i grafičkim metodama.

2.3.2 Redukcija kolinearnog sistema sila

Kolinearni sistem sila zadan je silom iF�

- slika 2.3.2-1. Sistem sadrži do n sila - n je po volji veliki

ali konačan prirodni broj: n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�

Sile djeluju po osi x. Veličina rezultante odreñuje se algebarskim zbrajanjem sila:

nix FFFFR��

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++= 21 (2.3.2-1)

Sistem se uvijek svodi na rezultantu koja može biti različita ili jednaka nuli. Ako rezultanta nije jednaka

Slika 2.3.2-1 Redukcija kolinearnog sistema sila

nuli razmatrani sistem sila uzrokuje jednu elementarnu translaciju duž osi x. Kako su sve sile kolinearne može se raditi samo s njihovim veličinama:

∑=

=n

iix FR

1

(2.3.2-2)

2.3.3 Redukcija konkurentnog sistema sila u ravnini

Konkurentni sistem sila n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

� zadan je slikom

2.3.3-1. Sistem sadrži do n sila - n je po volji veliki ali konačan prirodni broj. Ishodište koordinatnog sistema smješteno je u točki u kojoj se sijeku pravci djelovanja sila. Klizanjem se svaka sila dovede s hvatištem u ishodište i rastavi na komponente po osima x i y:

xiixi FF ,, cosα= yiiyi FF ,, cosα= (2.3.3-1)

Ovim postupkom dobiju se dva kolinerana sistema sila, jedan

na osi x a drugi na osi y, predstavljena sa silama yixi FF ,, i ��

–

slika 2.3.3-2

Slika 2.3.3-1 Konkurentni sistem sila u ravnini

Slijedi odreñivanje rezultanti ovih dvaju kolinearnih sistema na način opisan u 2.3.2 algebarskim zbrajanjem veličina komponenti:

∑=

=n

ixix FR

1, , ∑

=

=n

iyiy FR

1, (2.3.3-2)

Rezultante yx RR��

i , slika 2.3.3-3, predstavljaju upotrebljiv rezultat redukcije. Krajnji rezultat je

ukupna rezultanta R�

i kosinusi smjera njenog pravca djelovanja: 22yx RRR += (2.3.3-3)

R

Rxx =αcos

R

Ryy =αcos (2.3.3-4)


MEH-POD-01.doc

Slika 2.3.3-2 Kolinearni sistemi sila dobiveni od konkurentnog sistema sila u ravnini

Slika 2.3.3-3 Rezultanta konkurentnog sistema sila u ravnini

Sistem se uvijek svodi na rezultantu koja može biti različita ili jednaka nuli. Ako rezultanta nije jednaka nuli razmatrani sistem sila uzrokuje dvije elementarne translacije – jednu duž osi x a drugu duž osi y.

2.3.4 Redukcija konkurentnog sistema sila u prostor u

Konkurentni sistem sila u prostoru n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�

zadan je na slici 2.3.4-1. Sistem sadrži do n sila - n je po volji veliki ali konačan prirodni broj. Ishodište koordinatnog sistema smješteno je u točki u kojoj se sijeku pravci djelovanja sila. Klizanjem se svaka sila dovede s hvatištem u ishodište i rastavi na komponente po osima x, y i z:

xiixi FF ,, cosα= yiiyi FF ,, cosα= ziizi FF ,, cosα= (2.3.4-1)

Ovim postupkom dobiju se tri kolinerana sistema sila po jedan na osi x, y i z koji su predstavljeni sa silama

ziyixi FFF ,,, i , ��

– slika 2.3.4-2.

Slika 2.3.4-1 Konkurentni sistem sila u prostoru

Slijedi odreñivanje rezultanti kolinearnih sistema na način opisan u 2.3.2 algebarskim zbrajanjem veličina komponenti.

∑=

=n

ixix FR

1, , ∑

=

=n

iyiy FR

1, ∑

=

=n

iziz FR

1, (2.3.4-2)

Rezultante zyx RRR��

i , , slika 2.3.4-3, predstavljaju

upotrebljiv rezultat redukcije. Krajnji rezultat je ukupna rezultanta R i kosinusi smjera njenog pravca djelovanja:

222zyx RRRR ++= (2.3.4-3)

Slika 2.3.4-2 Kolinearni sistemi sila dobiveni od konkurentnog sistema sila u prostoru

R

Rxx =αcos

R

Ryy =αcos

R

Rzz =αcos (2.3.4-4)

Sistem se uvijek svodi na rezultantu koja može biti različita ili jednaka nuli. Ako rezultanta nije jednaka nuli razmatrani sistem sila uzrokuje tri elementarne translacije – po jednu duž osi x, y i z.

Slika 2.3.4-3 Rezultanta konkurentnog sistema sila u prostoru


MEH-POD-01.doc

2.3.5 Redukcija op ćeg sistema sila u ravnini

Opći slučaj sistema sila u ravnini n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

� zadan je

na slici 2.3.5-1. Sistem sadrži do n sila - n je po volji veliki ali konačan prirodni broj. Za svaku silu uvodi se lokalni koordinatni sistem Oixiyi čije su osi paralelne odgovarajućim osima općeg koordinatnog sistema. Svaka sila se rastavi na komponente paralelne koordinatnim osima:

xiixi FF ,, cosα= yiiyi FF ,, cosα= (2.3.5-1)

Tako se dobiju dva sistema paralelnih sila yixi FF ,, i ��

čiji su

pravci djelovanja paralelni osi x odnosno osi y.

Slika 2.3.5-1 Opći slučaj sistema sila u ravnini

Paralelnim pomicanjem sila ovi sistemi sila se prevode u dva kolinearna sistema sila na osima x i y. Za svaki paralelni pomak sile dodaje se redukcioni spreg. Postupak je prikazan na slikama 2.3.5-2 i 2.3.5-3.

Slika 2.3.5-2 Paralelno pomicanje sila ,xiF

�i yiF ,

�

na osi x i y

Slika 2.3.5-3 Kolinearni sistemi sila i redukcioni spregovi

Sada se mogu odrediti rezultante kolinearnih sistema sila yx RR��

i algebarskim zbrajanjem sila

∑=

=n

ixix FR

1, , ∑

=

=n

iyiy FR

1, (2.3.5-2)

i ukupna rezultanta s kosinusima smjera: 22yx RRR += (2.3.5-3)

R

Rxx =αcos

R

Ryy =αcos (2.3.5-4)

Momenti pojedinih redukcionih spregova, slika 2.3.5-3, odreñuju se izrazima:

, , , , , , i x O i i x i y O i i yM y F M x F= − = (2.3.5-5)

Rezultantni redukcioni spreg M�

je algebarski zbroj momenata svih redukcionih spregova:

( ), , , ,1

n

O O i i y O i i xi

M x F y F=

= −∑ (2.3.5-6)

Reultante su prikazane na slici 2.3.5-4.

Slika 2.3.5-4 Rezultati redukcije općeg slučaja sila u ravnini

Slika 2.3.5-5 Odreñivanje položaja rezultante


MEH-POD-01.doc

Moguća su tri rezultata redukcije općeg slučaja sila u ravnini:

1. R�

= 0 i M�

= 0 – sistem sila je u ravnoteži.

2. R�

= 0 i M�

≠ 0 – sistem sila uzrokuje jednu elementarnu rotaciju oko bilo koje osi okomite na ravninu xy.

3. R�

≠ 0 i M�

≠ 0 – sistem sila uzrokuje dvije elementarne translacije duž osi x i y i jednu elementarnu rotaciju oko bilo koje osi okomite na ravninu xy. U drugom slučaju veličina momenta rezultantnog redukcionog sprega ne ovisi o izboru točke za ishodište koordinatnog sistema dok u trećem slučaju ovisi. Takoñer u trećem slučaju moguće je odrediti pravi položaj rezultante njenim paralelnim pomakom za veličinu a koja je krak rezultantnog redukcionog sprega izraženog pomoću sila veličine rezultante:

R

Ma = (2.3.5-7)

što je pokazano na slici 2.3.5-5. Specijalni slučaj sistema sila u ravnini je paralelni sistem sila u ravnini. Pri redukciji ovog sistema sila jedna od osi koordinatnog sistema postavi se tako da bude paralelna pravcima djelovanja sila. Postupak redukcije teče kao kod redukcije općeg slučaja sila u ravnini formiranjem jednog kolinearnog sistema sila i jednog sistema redukcionih spregova. Moguća su tri rezultata redukcije kao i za opći slučaj sila u ravnini s razlikom u trećem slučaju kada je moguća jedna elementarna translacija.

2.3.6 Redukcija op ćeg sistema sila u prostoru

Opći slučaj sistema sila u prostoru zadan je na slici 2.3.6-1. Sistem sadrži do n sila - n je po volji

veliki ali konačan prirodni broj: n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�

Za svaku silu uvodi se lokalni koordinatni sistem Oixiyizi čije su osi paralelne odgovarajućim osima općeg koordinatnog sistema. Svaka sila se rastavi na komponente paralelne koordinatnim osima,

sile , , , , i i x i y i zF F F� � �

, slika 2.3.6-2, prema izrazima (2.3.4-1).

Slika 2.3.6-1 Opći sistem sila u prostoru Slika 2.3.6-2 Opći sistem sila u prostoru – rastavljanje sila na komponente paralelne koordinatnim osima

Sa šest paralelnih pomaka sile , , , , i i x i y i zF F F� � �

dovedu se na koordinatne osi x, y i z – slika 2.3.6-

3. Pri svakom paralelnom pomaku uvodi se po jedan redukcioni spreg – slika 2.3.6-4. Na opisani način opći slučaj sila u prostoru preveden je u tri kolinearna sistema sila i tri kolinearna sistema redukcionih spregova. Rezultante kolinearnih sistema kao i ukupna rezultanta odreñuju se kao kod prostornog konkurentnog sistema sila,: slike 2.3.4-1 do 2.3.4-3 i izrazi (2.3.4-1) do (2.3.4-4) Pojedini redukcioni spregovi odreñuju se izrazima (2.3.6-1) do (2.3.6-3):

xiiyxi FzM ,,0, = xii

zxi FyM ,,0, −= (2.3.6-1)

yiiz

yi FxM ,,0, = yiix

yi FzM ,,0, −= (2.3.6-2)

ziixzi FyM ,,0, = zii

yzi FxM ,,0, −= (2.3.6-3)


MEH-POD-01.doc

Slika 2.3.6-3 Opći sistem sila u prostoru – paralelno pomicanje komponenata sila

Slika 2.3.6-4 Opći sistem sila u prostoru – dodani redukcioni spregovi

Rezultante momenata redukcionih spregova po koordinatnim osima definirane su donjim izrazima: xzi

xyix MMM ,, += y

ziyxiy MMM ,, += z

yizxiz MMM ,, += (2.3.6-4)

Moment rezultantnog redukcionog sprega odreñuje prema prikazu na slici 2.3.6-5 sljedećim izrazima:

222zyx MMMM ++= (2.3.6-5)

M

M xx =βcos

M

M yy =βcos

M

M zz =βcos (2.3.6-6)

Vektori MR��

i zovu se vektori diname. Kako opći slučaj sila u prostoru sadrži sve do sada opisane sisteme sila rezultati redukcije mogu biti kao rezultati redukcije razmatranih sistema sila. Rezultati redukcije ovise o položaju ishodišta koordinatnog sistema. Moguća su četiri rezultata redukcije:

1. R�

= 0 i M�

= 0 – sistem sila je u ravnoteži.

2. R�

= 0 i M�≠ 0 – sistem sila uzrokuje jednu do tri

elementarne rotacije,

3. R�≠ 0 i M

�= 0 - sistem sila uzrokuje jednu do tri

elementarne translacije,

4. R�≠ 0 i M

�≠ 0 – sistem sila uzrokuje jednu do tri

elementarne translacije i jednu do tri elementarne rotacije. Ako vektori diname leže na istom pravcu taj se pravac naziva centralna os sistema sila.

Slika 2.3.6-5 Opći sistem sila u prostoru – odreñivanje rezultantnog redukcionog sprega


MEH-POD-01.doc

2.4 ODREðIVANJE TEŽIŠTA

Težište teškog krutog tijela je točka za koju se pretpostavlja da je hvatište težine krutog tijela. Položaj težišta odreñuje se podjelom krutog tijela na dijelove čije se težine zamjenjuje sistemom vezanih paralelnih sila. U ovom slučaju težište je središte sistema ovih sila.

2.4.1 Središte sistema vezanih paralelnih sila

Teško kruto tijelo težine G i volumena V podijeli se na po volji male dijelove volumena ∆Vi koji imaju masu ∆mi. Na svaki ovaj dio djelovat će privlačna gravitacijska sila ∆Gi. Ako su dimenzije teškog krutog tijela male u odnosu na dimenzije planeta, koji generira gravitacijsku silu odnosno težinu, pravci djelovanja sila ∆Gi smatraju se paralelnim. Na osnovu iznijetog na slici 2.4.1-1

definiran je sistem vezanih paralelnih sila iF�

. Kutovi koje zatvaraju pravci djelovanja sila s osima

Slika 2.4.1-1 Sistem vezanih paralelnih sila

koordinatnog sistema su:

xxi konst αα ==,

yyi konst αα ==, (2.4.1-1)

zzi konst αα ==,

Rezultante po koordinatnim osima odreñuju se:

∑ ∑= =

==n

i

n

iixxix FFR

1 1

coscos αα

∑ ∑= =

==n

i

n

iiyyiy FFR

1 1

coscos αα (2.4.1-2)

∑ ∑= =

==n

i

n

iizziz FFR

1 1

coscos αα

Ukupna rezultanta odreñuje se donjim izrazom:

222zyx RRRR ++= (2.4.1-3)

Nakon uvrštenja (2.4.1-2) u (2.4.1-3) uzevši u obzir da vrijedi: 1coscoscos 222 =++ zyx ααα (a)

za odreñivanje ukupne rezultante dobije se izraz:

∑=

=n

iiFR

1

(2.4.1-4)

Prema Varignonovom teoremu momenti rezultanti jednaki su zbroju momenata komponenata pak vrijedi:

za os x: ∑ ∑= =

−=−n

i

n

iyiiziiyRzR FzFyRzRy

1 1


za os y: ∑ ∑= =

−=−n

i

n

iziixiizRxR FxFzRxRz

1 1


za os z: ∑ ∑= =

−=−n

i

n

ixiiyiixRyR FyFxRyRx

1 1


Koristeći izraze (2.4.1-2) izrazi (2.4.1-5) do (2.4.1-7) transformiraju se u:

∑ ∑ ∑∑= = ==

−=−n

i

n

i

n

iiiyiizi

n

iyRizR FzFyFzFy

1 1 11

coscoscoscos αααα (2.4.1-8)

∑ ∑ ∑∑= = ==

−=−n

i

n

i

n

iiiziixi

n

izRixR FxFzFxFz

1 1 11


∑ ∑ ∑∑= = ==

−=−n

i

n

i

n

iiixiiyi

n

ixRiyR FyFxFyFx

1 1 11


Izrazi (2.4.1-8) do (2.4.1-10) mogu se napisati u obliku:


MEH-POD-01.doc

0coscos1 11 1

=

−+

− ∑ ∑∑ ∑= == =

n

i

n

iiRiiy

n

i

n

iiiiRz FzFzFyFy αα (2.4.1-11)

0coscos1 11 1

=

−+

− ∑ ∑∑ ∑= == =

n

i

n

iiRiiz

n

i

n

iiiiRx FxFxFzFz αα (2.4.1-12)

0coscos1 11 1

=

−+

− ∑ ∑∑ ∑= == =

n

i

n

iiRiix

n

i

n

iiiiRy FyFyFxFx αα (2.4.1-13)

Lijeve strane izraza (2.4.1-11) do (2.4.1-13) su jednake nuli ako vrijede izrazi (2.4.1-14):

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

R

F

Fxx

1

1

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

R

F

Fyy

1

1

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

R

F

Fzz

1

1 (2.4.1-14)

Ovi izrazi definiraju koordinate središta sistema vezanih paralelnih sila. Treba istaknuti da niti veličina rezultante niti položaj središta sistema vezanih paralelnih sila ne ovise o kutovima koje pravci sila zatvaraju s osima koordinatnog sistema.

U brojnicima izraza (2.4.1-14) su statički momenti sila iF�

ali za koordinatne ravnine pak se ti

momenti nazivaju planarni momenti.

2.4.2 Koordinate težišta

Transformacijom izraza (2.4.1-14) dobiju se izrazi za odreñivanje koordinata težišta. Označi li se točka u kojoj je težište s T oznake xR, yR i zR prelaze u xT, yT i zT pak se zamjenom Fi s ∆Gi dobije:

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

G

Gxx

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

G

Gyy

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

G

Gzz

1

1 (2.4.2-1)

Sile ∆Gi po definiciji težine, izraz (1.4.1-2), mogu se izraziti pomoću mase i gravitacijskog ubrzanja

iii gmG ∆=∆ pak se za koordinate težišta mogu napisati sljedeći izrazi:

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

iii

n

iiii

T

gm

gmxx

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

G

gmyy

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

iii

n

iiii

T

gm

gmzz

1

1 (2.4.2-2)

Ako su dimenzije teškog krutog tijela male u odnosu na dimenzije planeta, koji generira gravitacijsku silu odnosno težinu, gravitacijsko se ubrzanje može smatrati konstantnim. U tom slučaju dobiju se sljedeći izrazi:

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

m

mxx

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

m

myy

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

m

mzz

1

1 (2.4.2-3)

Gornji izrazi odreñuju koordinate središta mase tijela (masište). Mase ∆mi dijelova tijela mogu se izraziti pomoću gustoće mase ρi u volumenu ∆Vi i-tog dijela tijela: iii Vm ρ∆=∆ (b)

Slijede novi izrazi kojima se odreñuju koordinate težišta tijela koje imaju promjenjivu gustoću:

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

iii

n

iiii

T

V

Vxx

1

1

ρ

ρ

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

iii

n

iiii

T

V

Vyy

1

1

ρ

ρ

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

iii

n

iiii

T

V

Vzz

1

1

ρ

ρ (2.4.2-4)

Za odreñivanje koordinata težišta homogenih tijela za koja je ρi = konst izrazi (2.4.2-4) prelaze u jednostavniji oblik:


MEH-POD-01.doc

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

V

Vxx

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

V

Vyy

1

1

∑

∑

=

=

∆

∆=

n

ii

n

iii

T

V

Vzz

1

1 (2.4.2-5)

Gornji izrazi odreñuju koordinate težišta volumena pak se kaže da se težište homogenih teških tijela poklapa s težištem (središtem) volumena tih tijela. Neka tijela nije moguće efikasno podijeliti na dijelove konačne veličine. Takva se tijela dijele na diferencijalne dijelove volumena dV čije su koordinate x, y i z. Umjesto sumiranja od 1 do n primjenjuje se integriranje po volumenu. Za homogena tijela izrazi za odreñivanje koordinata težišta imaju oblik:

∫

∫=

)(

)(

V

VT

dV

xdV

x ∫

∫=

)(

)(

V

VT

dV

ydV

y ∫

∫=

)(

)(

V

VT

dV

zdV

z (2.4.2-6)

Za sve opisane slučajeve vrijedi: ako je ishodište koordinatnog sistema u težištu tada je:

xT = 0 yT = 0 (c) zT = 0

odakle slijedi da su statički momenti jednaki nuli. Često se koristi tvrdnja: ako je statički moment za neku os jednak nuli onda težište leži na toj osi.

2.4.3 Prakti čno odre ñivanje težišta

Radi praktičnosti kod nekih se krutih tijela mogu zanemariti: - jedna dimenzija, pak se govori o težištu krute teške plohe, - dvije dimenzije, pak se govori o težištu krute teške linije.

Izraze izvedene u 2.4.2 treba transformirati prikladnom definicijom mase dijela teške plohe i teške linije. Za tešku plohu masa se definira umnoškom dijela plohe i njene gustoće koja ima dimenziju kg/m2:

iii Am ρ∆=∆ (a)

a za tešku liniju umnoškom dijela linije i njene gustoće koja ima dimenziju kg/m:

iii Lm ρ∆=∆ (b)

Odgovarajući izrazi za homogenu tešku plohu ( dA je diferencijalni dio teške plohe) izgledaju:

∫

∫=

)(

)(

A

AT

dA

xdA

x ∫

∫=

)(

)(

A

AT

dA

ydA

y ∫

∫=

)(

)(

A

AT

dA

zdA

z (2.4.3-1)

Koordinate koje odreñuju gornji izrazi odreñuju težište teške plohe pak se kaže da se težište homogene teške plohe poklapa s težištem plohe. Odgovarajući izrazi za homogenu tešku liniju (dL je diferencijalni dio teške linije) izgledaju:

∫

∫=

)(

)(

L

LT

dL

xdL

x ∫

∫=

)(

)(

L

LT

dL

ydL

y ∫

∫=

)(

)(

L

LT

dL

zdL

z (2.4.3-2)

Koordinate koje odreñuju gornji izrazi odreñuju težište teške linije pak se kaže da se težište homogene teške linije poklapa s težištem linije. U priručnicima su dane koordinate težišta svih pravilnih linija, likova i tijela. U općem slučaju radi odreñivanja težište tijelo se aproksimira sa skupom svojih dijelova koji imaju konstantnu gustoću i oblik nekog pravilnog geometrijskog oblika kako bi se primijenio odgovarajući set izraza za odreñivanje koordinata. Kod odreñivanja položaja težišta važna je simetričnost. Naime težište se nalazi u simetralnoj ravnini što je već jedna koordinata položaja težišta. U praksi se položaj teških ravnih figura može odrediti pomoću viska.


MEH-POD-01.doc

2.5 ODREðIVANJE RAVNOTEŽE

2.5.1 Veze i reakcije veza

O ravnoteži nekog tijela može se raspravljati ako je definiran odgovarajući mehanički model. U definiranju mehaničkog modela tijelo se oslobaña veza sa svojom okolinom koje se nadomještaju reakcijama veza. Mehanički model sadrži sve sile koje djeluju na tijelo. Veze krutog tijela s okolinom mogu se nadomjestiti sa standardnim vezama koje predstavljaju sve moguće veze realnih objekata gibanja s okolinom u stanju ravnoteže tih objekata gibanja. Polazeći od jednostavnijih k složenijim navode se standardne veze s okolinom i reakcije veza te stupnjevi slobode gibanja koje te veze ukidaju (sprečavaju). Pri nadomještavanju veza s reakcijama veza nije bitan smjer reakcije veze: na pravom pravcu djelovanja proizvoljno se može naznačiti smjer djelovanja. Ako se proračunom dobije negativna veličina sile smjer djelovanja reakcije je suprotan od pretpostavljenog. Dodirna veza Na slici 2.5.1-1 prikazana je osnovna dodirna veza. U području dodira pretpostavljaju se kružne forme tijela 1 i 2 na koje se mogu povući zajednička tangenta t i zajednička normala n. Tijela djeluju jedno na drugo po pravcima tangente t i normale n. Po tangenti se javlja tangencijalna reakcija, sila trenja, o kojoj će se govoriti u posebnom poglavlju.

Normalna reakcija N�

javlja se zbog krutosti tijela zbog koje niti tijelo 1 ne može ući u tijelo 2 niti tijelo 2 ne može ući u tijelo 1. Na slici 2.5.1-1 ucrtana je reakcija N kojom tijelo 1 djeluje na tijelo 2. Dodirna veza može biti jednostrana, slika 2.5.1-2 a), i dvostrana, slika 2.5.1-2 b). U prvom slučaju

Slika 2.5.1-1 Osnovna dodirna veza

sprečava gibanje tijela 2 u tijelo 1 a u drugom sprečava gibanje tijela po oba smjera. Na slici 2.5.1-2 dvostrana veza prikazana je standardnim simbolom koji dozvoljava gibanje po pravcu okomitom na pravac normalne reakcije.

Slika 2.5.1-2 Dva tipa dodirne veze: a) jednostrana, b) dvostrana i rekcija veze N Dodirna veza daje reakciju poznatog pravca djelovanja, normalna reakcija, a nepoznate veličine te ukida jedan stupanj slobode gibanja – jednu elementarnu translaciju po pravcu normale. Dodirna veza u problem odreñivanja ravnoteže unosi jednu nepoznanicu. Cilindri čni zglob Cilindrični zglob, slika 2.5.1-3 a), je zatvorena dodirna veza: cilindrični izdanak tijela 2 ulazi u cilindričnu rupu na tijelu 1. Tijela djeluju jedno na drugo po pravcu normale na prije opisani način.


MEH-POD-01.doc

Zbog zatvorenosti ove dodirne veze reakcija može imati bilo koji pravac djelovanja – kut α može imati bilo koju vrijednost. Na slici 2.5.1-3 b) prikazan je standardni simbol kojim se prikazuje ova veza a koji sugerira nepomičnost točke D i mogućnost rotacije tijela 2 oko osi kroz točku D koja je okomita na ravninu xy.

Reakcija veze cilindričnog zgloba je jedna sila nepoznate veličine i nepoznatog pravca djelovanja, slika 2.5.1-3 c), ili dvije sile poznatog pravca a nepoznatih veličina, 2.5.1-3 d). U oba slučaja cilindrični zglob u problem odreñivanja ravnoteže unosi dvije nepoznanice. Zbog nepomičnosti točke D ova veza

Slika 2.5.1-3 Cilindrični zglob i reakcija veze

ukida dva stupnja slobode gibanja -dvije elementarne translacije a dozvoljava jednu elementarnu rotaciju. Sferni zglob Sferni zglob, slika 2.5.1-4, je zatvorena dodirna veza: sferni izdanak tijela 2 ulazi u sfernu rupu na tijelu 1. Tijela djeluju jedno na drugo po pravcu normale kroz točku D na prije opisani način. Zbog zatvorenosti ove dodirne veze reakcija može imati bilo koji pravac djelovanja u prostoru. Na slici 2.5.1-4 prikazan je standardni simbol kojim se prikazuje ova veza a koji sugerira nepomičnost točke D i mogućnost rotacije tijela 2 oko bilo koje osi kroz točku D.

Slika 2.5.1-4 Sferni zglob i standardni simbol za sferni zglob

Slika 2.5.1-5 Reakcije veze sfernog zgloba

Reakcija veze sfernog zgloba je jedna sila nepoznate veličine i nepoznatog pravca djelovanja ili tri sile poznatog pravca a nepoznatih veličina. U oba slučaja sferni zglob u problem odreñivanja ravnoteže unosi tri nepoznanice. Zbog nepomičnosti točke D ova veza ukida tri stupnja slobode gibanja - tri elementarne translacije a dozvoljava tri elementarne rotacije. Uklještenje u ravnini Uklještenje u ravnini prikazano je na slici 2.5.1-6: a) realan izgled, b) uobičajeno prikazivanje i c) reakcije veze: jedna sila nepoznatog pravca djelovanja (ili dvije sile nepoznate veličine ali poznatih

Slika 2.5.1-6 Uklještenje u ravnini, uobičajeni prikaz i reakcije veze

pravaca djelovanja) i moment uklještenja. Navedene reakcije veze ukidaju dvije elementarne translacije i jednu elementarnu rotaciju te u problem odreñivanja ravnoteže unose tri nepoznanice.


MEH-POD-01.doc

Uklještenje u prostoru Ova je veza prikazana na slici 2.5.1-7. Reakcije veze su jedna sila nepoznatog pravca djelovanja (ili tri sile poznatih pravaca djelovanja a nepoznatih veličina) i moment uklještenja koji je predstavljen s tri komponentna momenta čiji vektori leže u trima , meñusobno okomitim, osima. Uklještenje u prostoru ukida tri elementarne translacije i tri elementarne rotacije te u problem odreñivanja ravnoteže unosi šest nepoznanica.

Slika 2.5.1-7 Uklještenje u prostoru, shematski prikaz i reakcije veze

Uže i štap Na slici 2.5.1-8 prikazano je neka ravna figura vezana za nepomičnu okolinu sa štapom u A i užetom u B. Za obje veze reakcija veze je jedna sila poznatog pravca djelovanja a nepoznate veličine. Razmatrane veze ukidaju jednu elementarnu translaciju i u problem odreñivanja ravnoteže unose jednu nepoznanicu. Uže može dati reakciju veze koja ga razvlači što znači da je zadan i pravac i smjer djelovanja. No ako se pretpostavi suprotan smjer izračunata veličina reakcije veze bit će negativna ali točne veličine.

Slika 2.5.1-8 Veze sa štapom i užetom i reakcije veze

Radijalni ležaj Na slici 2.5.1-9 prikazan je radijalni ležaj koji je zapravo cilindrični zglob ali u nekoj prostornoj konstrukciji. Ukida dvije elementarne translacije i dozvoljava jednu rotaciju oko osi cilindričnog zgloba.

Slika 2.5.1-9 Cilindrični zglob – radijalni ležaj Radijalno-aksijalni ležaj Radijalno-aksijalni ležaj, slika 2.5.1-10, je cilindrični zglob sa spriječenim gibanjem po osi cilindričnog zgloba, obično u jednom smjeru. Ukida tri elementarne translacije a dozvoljava samo jednu rotaciju oko osi cilindričnog zgloba. U problem odreñivanja ravnoteže unosi tri nepoznanice.

Slika 2.5.1-10 Radijalno-aksijalni ležaj, shematski prikaz i reakcije veze


MEH-POD-01.doc

2.5.2 Uvjeti ravnoteže

Prema vrsti sistema sila za mehanički model odreñuju se mogući stupnjevi slobode gibanja tog modela kad tijelo ne bi bilo vezano odnosno kad ne bi bilo u ravnotežnom položaju. Spriječenost tijela da izvodi pojedina elementarna gibanja odnosno ukidanje stupanja slobode gibanja izražava se uvjetima ravnoteže. Za svako spriječeno elementarno gibanje postavlja se uvjet ravnoteže koji izražava i zahtjeva da je rezultanta svih sila ili spregova sila, koji bi mogli izazvati to elementarno gibanje, jednaka nuli. Samo u tom slučaju je spriječeno to elementarno gibanje. Ako su postavljeni uvjeti ravnoteže za svako moguće ali spriječeno elementarno gibanje onda se objekt gibanja nalazi u ravnotežnom stanju. U općem slučaju odnosno za slučaj ravnoteže krutog tijela, kada je ukupni sistem sila opći sistem sila u prostoru, postavlja se šest uvjeta ravnoteže: - spriječena elementarna translacija po osi x 0=xR (2.5.2-1)

- spriječena elementarna translacija po osi y 0=yR (2.5.2-2)

- spriječena elementarna translacija po osi z 0=zR (2.5.2-3)

- spriječena elementarna rotacija oko osi x 0=xM (2.5.2-4)

- spriječena elementarna rotacija oko osi y 0=yM (2.5.2-5)

- spriječena elementarna rotacija oko osi z 0=zM (2.5.2-6)

Matematički gledano svaki uvjet ravnoteže predstavljaju jednu linearnu jednadžbu a svi uvjeti sistem linearnih jednadžbi. Svaka linearna jednadžba je suma sila ili komponenata sila ili suma momenata sila ili momenata komponenata sila – sila koje bi izazvale razmatrano elementarno gibanje i sila koje sprečavaju to elementarno gibanje. Dakle u svakoj ovoj linearnoj jednadžbi pojavljuje se jedna ili više reakcija veza ili jedna ili više komponenata reakcija veza. Veličine reakcija veza su nepoznate ali su takove da su spomenute sume jednake nuli. Rješenjem sistema linearnih jednadžbi nalaze se nepoznate veličine ravnotežnog stanja – odreñuju se reakcije veza koje omogućavaju ravnotežu promatranog objekta gibanja. Sve prije rečeno vidi se u točki 2.6.5 u izrazima (2.6.5-1) do (2.6.5-2). Za ostale mehaničke modele uvjeti ravnoteže navode se u 2.6.

2.6 RAVNOTEŽA KRUTOG TIJELA

2.6.1 Ravnoteža to čke na pravcu

Mehanički model ravnoteže štapa ili niti (užeta) odnosno točke na pravcu, slika 2.6.1-1, je

kolinearni sistem sila, n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�; n je po volji veliki ali konačan prirodni broj, u kojem je

jedna sila nepoznata – reakcija veze 1VR�

.

Slika 2.6.1-1 Mehanički model za odreñivanje ravnoteže točke na pravcu

Kako za ovaj slučaj postoji jedan mogući stupanj slobode gibanja a on je spriječen postavlja se jedan uvjet ravnoteže:

0=xR (2.6.1-1)

Pritom je:

∑=

=n

iix FR

1

(2.6.1-2)

Neka je nepoznata reakcija veze:

11 VRF = (a)

uvrštenjem (2.6.1-2) i (a) u (2.6.1-1) dobije se:

∑=

=+n

iiV FR

21 0 (2.6.1-3)

Gornji izraz je linearna jednadžba s jednom nepoznanicom: reakcijom veze. Rješenjem ove jednadžbe nalazi se nepoznata veličina reakcije veze.


MEH-POD-01.doc

Kada bi postojale dvije reakcije veze, slika 2.6.1-2, 1VR�

i 2VR�

slučaj bi bio statički neodreñen.

Slika 2.6.1-2 Statički neodreñen slučaj ravnoteže točke na pravcu

Neka su nepoznate reakcije veza:

11 VRF = 22 VRF = (b)

uvrštenjem (2.6.1-2) i (b) u (2.6.1-1) dobije se:

∑=

=++n

iiVV FRR

321 0 (2.6.1-4)

Izraz (2.6.1-4) je linearna jednadžba s dvije nepoznanice koje se ne mogu jednoznačno odrediti i zato je razmatrani slučaj statički neodreñen.

2.6.2 Ravnoteža to čke u ravnini

Mehanički model ravnoteže točke u ravnini, slika 2.6.2-1, je konkurentni sistem sila,

n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�; n je po volji veliki ali konačan prirodni broj, u kojem su dvije sile nepoznate –

reakcije veza 1VR�

i 2VR�

.

Slika 2.6.2-1 Mehanički model za odreñivanje ravnoteže točke u ravnini

Za moguća dva stupnja slobode gibanja, dvije elementarne translacije, koji su spriječeni postavljaju se dva uvjeta ravnoteže:

0=xR 0=yR (2.6.2-1)

Pritom je:

∑=

==n

ixiix FR

1, 0cosα (2.6.2-2)

∑=

==n

iyiiy FR

1, 0cosα (2.6.2-3)


11 VRF = 22 VRF = (a)

uvrštenjem (2.6.2-2), (2.6.2-3) i (a) u (2.6.2-1) dobije se:

∑=

=++n

ixiixVVxVV FRR

3,,22,11 0coscoscos ααα (2.6.2-4)

∑=

=++n

iyiiyVVyVV FRR

3,,22,11 0coscoscos ααα (2.6.2-5)

Gornji izrazi su dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Rješenjem ovih jednadžbi nalaze se nepoznate veličine reakcija veza. Ukoliko je broj nepoznatih reakcija veza veći od broja jednadžbi slučaj je statički neodreñen. U slučaju

postojanja 1VR�

, 2VR�

i 3VR�

:

11 VRF = 22 VRF = ¸ 33 VRF = (b)

uvrštenjem (2.6.2-2), (2.6.2-3) i (b) u (2.6.2-1) dobije se:

∑=

=+++n

ixiixVVxVVxVV FRRR

4,,33,22,11 0coscoscoscos αααα (2.6.2-6)


MEH-POD-01.doc

∑=

=+++n

iyiiyVVyVVyVV FRRR


Izrazi (2.6.2-6) i (2.6.2-7) su dvije linearne jednadžbe s tri nepoznanice koje se ne mogu jednoznačno odrediti i zato je razmatrani slučaj statički neodreñen.

2.6.3 Ravnoteža to čke u prostoru

Mehanički model ravnoteže točke u prostoru, slika 2.6.3-1, ,je konkurentni sistem sila,

n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�; n je po volji veliki ali konačan prirodni broj, u kojem su tri sile nepoznate –


, 2VR�

i 3VR�

.

Slika 2.6.3-1 Mehanički model za odreñivanje ravnoteže točke u prostoru

Za moguća tri stupnja slobode gibanja, tri elementarne translacije, koji su spriječeni postavljaju se tri uvjeta ravnoteže:

0=xR , 0=yR , 0=zR (2.6.3-1)

Pritom je:

∑=

==n

ixiix FR

1, 0cosα (2.6.3-2)

∑=

==n

iyiiy FR

1, 0cosα (2.6.3-3)

∑=

==n

iziiz FR

1, 0cosα (2.6.3-4)


11 VRF = 22 VRF = ¸ 33 VRF = (a)

uvrštenjem (2.6.3-2), (2.6.3-3), (2.6.3-4) i (a) u (2.6.3-1) dobije se:

∑=

=+++n

ixiixVVxVVxVV FRRR


∑=

=+++n

iyiiyVVyVVyVV FRRR


∑=

=+++n

iziizVVzVVzVV FRRR


Gornji izrazi su tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Rješenjem ovih triju jednadžbi nalaze se nepoznate veličine reakcija veza. Ukoliko je broj nepoznatih reakcija veza veći od broja jednadžbi slučaj je statički neodreñen.

2.6.4 Ravnoteža ravne krute figure

Mehanički model ravnoteže ravne krute figure, slika 2.6.4-1, je opći sistem sila u ravnini,

n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�; n je po volji veliki ali konačan prirodni broj, i u kojem su tri sile nepoznate –


, 2VR�

i 3VR�

.


MEH-POD-01.doc

Slika 2.6.4-1 Mehanički model za odreñivanje ravnoteže ravne krute figure

Kako postoje tri moguća stupnja slobode gibanja, dvije elementarne translacije i jedna elementarna rotacija, koji su spriječeni postavljaju se tri uvjeta ravnoteže:

0=xR 0=yR 0OM = (2.6.4-1)

Prva dva uvjeta govore da su rezultante sila po osima x i y jednake nuli radi spriječenih elementarnih translacija. Treći uvjet govori da je suma momenata svih sila za bilo koju točku jednaka nuli radi spriječene elementarne rotacije. Izrazi (2.6.4-1) mogu se napisati u sljedećem obliku:

∑=

==n

ixiix FR

1, 0cosα (2.6.4-2)

∑=

==n

iyiiy FR

1, 0cosα (2.6.4-3)

( ), ,1

cos cos 0n

O Oi i i y Oi i i xi

M x F y Fα α=

= − =∑ (2.6.4-4)


11 VRF = 22 VRF = ¸ 33 VRF = (a)

uvrštenjem (2.6.4-2), (2.6.4-3), (2.6.4-4) i (a) u (2.6.4-1) dobije se:

∑=

=+++n

ixiixVVxVVxVV FRRR


∑=

=+++n

iyiiyVVyVVyVV FRRR


( ) ( )3

0, , 0, , , ,1 4

cos cos cos cos 0n

Vj Vj Vj y Vj Vj Vj x Oi i i y Oi i i xj i

x R y R x F y Fα α α α= =

− + − =∑ ∑ (2.6.4-7)

Izrazi (2.6.4-5) do (2.6.4-7) su tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice – njihovim rješenjem nalaze se nepoznate veličine reakcija veza. Ako je kruta figura vezana s uklještenjem za nepomičnu podlogu može se uklještenje predstaviti kao veza s tri štapa, slika 2.6.4-2

a), koji s tri sile, reakcije veza 1VR�

, 2VR�

i 3VR�

,

slika 2.6.4-2 b), sprečavaju dvije elementarne translacije i jednu elementarnu rotaciju.

Postupak odreñivanja reakcija veza 1VR�

, 2VR�

i

3VR�

je već opisan.

Slika 2.6.4-2 Uklještenje predstavljeno s tri sile

Uklještenje se obično nadomješta s dvije sile, reakcije veza 1VR�

, i 2VR�

te momentom uklještenja

UM�

, slika 2.6.4-3. Reakcije veza definiraju se izrazima (b):

11 VRF = 22 VRF = UM�

(b)


MEH-POD-01.doc

Slika 2.6.4-3 Mehanički model za odreñivanje ravnoteže

ravne krute figure kad je uključen moment uklještenja UM�

Uvjeti ravnoteže u obliku linearnih jednadžbi dani su u donjem tekstu.

∑=

=++n

ixiixVVxVV FRR

3,,22,11 0coscoscos ααα

∑=

=++n

iyiiyVVyVV FRR

3,,22,11 0coscoscos ααα

( ), ,3

cos cos 0n

U Oi i i y Oi i i xi

M x F y Fα α=

+ − =∑

Suma momenata i uvjet ravnoteže 00 =M postavljen je za uklještenje jer reakcije 1VR�

i 2VR�

za tu

točku imaju moment jednak nuli. Ukoliko je broj nepoznatih veći od tri slučaj je statički neodreñen. Problem odreñenosti povezan je s načinom vezivanja ravne krute figure – veze ne smiju u problem odreñivanja unijeti više od tri nepoznate reakcije. Za statički neodreñeno stanje se kaže da postoji višak veza. Često se kao uvjeti ravnoteže postavljaju sume momenata za dvije točke koje su jednake nuli i jedna suma sila koja je jednaka nuli. Takoñer se mogu za uvjete ravnoteže koristit sume momenta za tri toke koje se izjednačuju s nulom – ove tri točke ne smiju ležati na istom pravcu.

2.6.5 Ravnoteža krutog tijela u prostoru

Mehanički model ravnoteže krutog tijela, slika 2.6.5-1, je opći sistem sila u prostoru

n ..., 3, 2, ,1 , =iFi

�; n je po volji veliki ali konačan prirodni broj, u kojem je šest sila nepoznato –


, 2VR�

, 3VR�

, 4VR�

, 5VR�

i 6VR�

koje se definiraju izrazima (a) i (b).

Slika 2.6.5-1 Ravnoteža krutog tijela u prostoru, a) realni model, b) mehanički model

11 VRF = 22 VRF = ¸ 33 VRF = (a)

44 VRF = 55 VRF = ¸ 66 VRF = (b)


MEH-POD-01.doc

Kako postoji šest mogućih stupanja slobode gibanja, tri elementarne translacije i tri elementarne rotacije, koji su spriječeni postavlja se šest uvjeta ravnoteže:

∑∑==

=+=n

ixii

jxVjVjx FRR

7,

6

1, 0coscos αα (2.6.5-1)

∑∑==

=+=n

iyii

jyVjVjy FRR

7,

6

1, 0coscos αα (2.6.5-2)

∑∑==

=+=n

izii

jzVjVjz FRR

7,

6

1, 0coscos αα (2.6.5-3)

( ) ( )6

, , , ,1 7

cos cos cos cos 0n

x Vj Vj Vj z Vj Vj Vj y Oi i i z Oi i i yj i

M y R z R y F z Fα α α α= =

= − + − =∑ ∑ (2.6.5-4)

( ) ( )6

, , , ,1 7

cos cos cos cos 0n

y Vj Vj Vj x Vj Vj Vj z Oi i i x Oi i i zj i

M z R x R z F x Fα α α α= =

= − + − =∑ ∑ (2.6.5-5)

( ) ( )6

, , , ,1 7

cos cos cos cos 0n

z Vj Vj Vj y Vj Vj Vj x Oi i i y Oi i i xj i

M x R y R x F y Fα α α α= =

= − + − =∑ ∑ (2.6.5-6)

Ovi su izrazi razvijeni iz izraza ((2.5.2-1) do (2.5.2-6), koji su definirani u točki 2.5.2, uzevši u obzir izraze (a) i (b). Prva tri uvjeta govore da su rezultante sila po osima x, y i z jednake nuli radi spriječenih elementarnih translacija. Druga tri uvjeta govore da je suma momenata svih sila za osi x, y i z jednaka nuli radi spriječenih elementarnih rotacija. Navedenih uvjeta ravnoteže je sistem od šest linearnih jednadžbi sa šest nepoznanica. Rješenja ovih jednadžbi su nepoznate reakcije veza. Ukoliko je broj nepoznatih veći od broja jednadžbi slučaj je statički neodreñen. Ova situacija se javlja ako postoji višak veza krutog tijela s okolinom. Za ilustraciju je odabran konkretni slučaj ali izloženi postupak ima opće značenje.


MEH-POD-01.doc

2.7 RAVNOTEŽA SISTEMA KRUTIH TIJELA

Sistemi krutih tijela sastoje se od točaka, ravnih krutih figura i krutih tijela. U praksi se govori o konstrukcijama, mehanizmima i strojevima. Elementi sistema meñusobno su povezani štapovima, cilindričnim i sfernim zglobovima. Ove veze se nazivaju unutrašnje veze. Sistem je za okolinu vezan vanjskim vezama koje mu dozvoljavaju gibanje ili ga mogu držati u stanju mirovanja prema okolini. Razmatrat će se sistemi u ravnini koji su u ravnotežnom stanju. Primjenom principa oslobañanja od veza i principa jednakosti akcije i reakcije sistem krutih tijela rastavi se na pojedina kruta tijela. Za ta kruta tijela definiraju se mehanički modeli ravnoteže za koje se postavljaju uvjeti ravnoteže i odreñuju nepoznate veličine ravnotežnog stanja. Za odreñivanje reakcija vanjskih veza često se primjenjuje princip solidifikacije kojim se cijeli sistem tretira kao kruto tijelo.

2.7.1 Ravnoteža ravnih sistema krutih tijela

Ravni sistemi krutih tijela sastoje se od točaka i ravnih krutih figura meñusobno povezanih cilindričnim zglobovima i štapovima. Prije razmatranja ravnoteže treba analizirati mogućnost promjene konfiguracije ravnih sistema i njihovu statičku odreñenost koje su odreñene stupnjevima slobode elemenata ravnih sistema i vezama izmeñu njegovih elemenata kao i vezama ravnog sistema s nepomičnom okolinom. Neka se ravni sistem sastoji od j točaka i k ravnih krutih figura. Kako točka u ravnini ima dva stupnja slobode gibanja, dvije elementarne translacije, a ravna kruta figura tri stupnja slobode gibanja, dvije elementarne translacije i jednu elementarnu rotaciju, to će ukupni broj stupanja slobode gibanja n ravnog sistema biti:

kjn 32 += (2.7.1-1)

Slika 2.7.1-1 Analiza veza i stupanja slobode gibanja ravnog sitema

Cilindrični zglob ukida dva stupnja slobode gibanja a štap ukida jedan stupanj slobode gibanja pak ako u ravnom sistemu postoji c cilindričnih zglobova i s štapova broj ukinutih stupnjeva slobode gibanja m iznosi: csm 2+= (2.7.1-2) Konfiguracija ravnog sistema je nepromjenjiva ako vrijedi: 3=− mn (2.7.1-3) U ovom slučaju ravni sistem djeluje kao kruta figura i ima tri stupnja slobode gibanja prema nepomičnoj okolini. Ravni sistem prikazan na slici 2.7.1-1 a) sastoji se od tri krute figure povezane cilindričnim zglobovima u A i B. Sistem bi imao 3 x 3 = 9 stupanja slobode gibanja ali mu cilindrični zglobovi oduzimaju 2 x 2 = 4 stupanja slobode gibanja. Zbog preostalih 5 stupanja slobode gibanja sistem nema stalnu konfiguraciju. Dodavanjem štapova CD i EF, slika 2.7.1-1 b), koji oduzimaju dva stupnja slobode gibanja konfiguracija se sistema ustaljuje. Na slici 2.7.1-1 c) sistem je efikasno vezan za nepomičnu okolinu i može se razmatrati njegova ravnoteža.


MEH-POD-01.doc

Slika 2.7.1-2 Odreñivanje ravnoteže ravnog sistema Postupak odreñivanja ravnoteže prikazan je na slici 2.7.1-2 i odvija se u sljedećim koracima: 1. korak sistem se promatra kao jedna kruta figura za koju se postavljaju tri uvjeta ravnoteže

iz kojih se odreñuju reakcije veza GxR�

, GyR�

i HR�

,

2. korak figura 1 se oslobaña veza i za nju se postavljaju tri uvjeta ravnoteže iz kojih se

odreñuju reakcije veza AxR�

, AyR�

i DCR�

,

3. korak figura 2 se oslobaña veza i za nju se postavljaju tri uvjeta ravnoteže iz kojih se

odreñuju reakcije veza BxR�

, ByR�

i FER�

.

Postavljanje uvjeta za ravnotežu izolirane figure 3 ima kontrolni značaj jer su u prethodnim koracima odreñene sve nepoznate reakcije veza.

Slika 2.7.1-3 Ravni sistem s tri veze s okolinom

Slika 2.7.1-4 Ravni sistem sa četiri veze s okolinom

Na slikama 2.7.1-3 i 2.7.1-4 prikazani su ravni sistemi vezani za okolinu s više od dvije veze koji imaju stalnu konfiguraciju i statički su odreñeni. Za ocjenu statičke odreñenosti treba u razmatranje uzeti veze s okolinom. Ako ove veze sadrže d dodirnih veza ili štapova, z cilindričnih zglobova i u uklještenja tada one ukidaju v stupanja slobode gibanja. Vrijedi: uzdv 32 ++= (2.7.1-4) Ravni sistem je statički odreñen ako je: vmn += (2.7.1-5)


MEH-POD-01.doc

2.7.2 Ravnoteža ravnih rešetkastih nosa ča

Rešetkaste konstrukcije su u pravilu prostorne konstrukcije. Na slici 2.7.2-1 prikazan je most koji se može promatrati kao sistem od dvije ravne rešetkaste konstrukcije. Rešetkasta konstrukcija sastoji se od štapova koji formiraju, u pravilu, trokute. Vrhovi štapova spojeni su na različite načine – slika 2.7.2-2: - pomoću svornjaka, - zakovicama pomoću spojne ploče, - zavarivanjem pomoću spojne ploče. U slučaju pod a) štapovi ne preuzimaju momente jer se spoj ponaša kao cilindrični zglob. Ovaj način spajanja je skup i danas se rijetko koristi. Najčešći način spajanja je zavarivanjem. I u ovom slučaju se smatra da se u čvoru ne pojavljuju momenti ako se spojnice težišta poprečnih presjeka štapova sijeku u jednoj točki – u točki C.

Slika 2.7.2-1 Most - primjer rešetkaste konstrukcije

Slika 2.7.2-2 Izvedbe spojeva štapova, čvor u C Razmatrat će se ravnoteža idealnih rešetki - spojevi pomoću spojnih ploča smatraju se cilindričnim zglobovima i u njima se ne pojavljuju momenti. Sile se pojavljuju duž štapa nastojeći ga skratiti ili produljiti. Netočnosti zbog ovih pretpostavki su veoma male. Težina štapova i vanjsko opterećenje raspodjeljuje se na čvorove. Osnovna figura rešetkastih nosača je trokut jer je trokut jedini indeformabilni lik. Dokaz se daje pomoću slike 2.7.2-3. Pri promjeni oblika poligona, slika 2.7.3-3 a), mijenjaju se duljine njegovih dijagonala. Broj dijagonala d u odnosu je s brojem vrhova n: 3−= nd (2.7.2-1) Dakle za d = 0 broj vrhova je n = 3.


MEH-POD-01.doc

Slika 2.7.2-3 Postojanost forme poligona

Slaganjem štapova na prvi trokut, slika 2.7.2-3 b), generira se ravni rešetkasti nosač koji sadrži s štapova spojenih s n čvorova. Odnos broja štapova i broja čvorova odreñuje se: - za prvi trokut utrošena su 3 štapa i formirana su tri čvora, - svaki od preostalih n – 3 čvorova formira se s dva štapa. Dakle vrijedi: ( )323 −+= ns (a) 32 −= ns (2.7.2-2) Ravna rešetka je i ravni sistem sastavljen od n točaka koje su meñusobno povezane sa s štapova. Kako je u 2.7.1 pokazano broj stupanja slobode ovakvog ravnog sistema je 2n a broj veza je s. Ako je razlika ovih brojeva 3 onda se ravni sistem može smatrati krutom figurom – što je prema izrazu (2.7.2-2) ispunjeno. Vezivanjem ovog sistema s okolinom treba poništiti preostala tri stupnja slobode gibanja što se obično izvodi s jednim cilindričnim zglobom i jednom dodirnom vezom. Ravna rešetka koja zadovoljava izraz (2.7.2-2) je i statički odreñena – naime broj nepoznatih je s sila u štapovima plus tri reakcije veza s okolinom. Uvjeta ravnoteže se može postaviti 2n. Takoñer je i indeformabilna jer se sastoji od trokuta. Ako je s < 2 n – 3 rešetka nije indeformabilna a za s > 2n – 3 rešetka je indeformabilna ali i statički neodreñena. U prvom slučaju nedostaju štapovi a u drugom postoji višak štapova. Dvije su metode za odreñivanje nepoznatih veličina ravnotežnog stanja ravne rešetke: - metoda čvorova, - metoda presjeka. Metoda čvorova Kod metode čvorova promatra se ravnoteža svakog čvora opterećenog sa silama u štapovima, reakcijama veza i vanjskim (korisnim) opterećenjem. Postavljanjem 2n uvjeta ravnoteže dobije se sistem od 2n linearnih jednadžbi koje se mogu riješiti nekim kompjutorskim programom. Ako rešetka ima velik broj čvorova, sto i više, ovo je najbolji način. U pretkompjuterskoj eri ovaj se je problem rješavao grafički konstrukcijom Cremoninog plana sila – slike 2.7.2-6 i 2.7.2-7. Rješavanje ravnoteže manjih i jednostavnijih rešetki, slika 2.7.2-4 a), izvodi se u dva koraka: 1. korak prvo se odrede reakcije veza s okolinom smatrajući ravnu rešetku krutom ravnom

figurom, 2. korak rješava se ravnoteža jednog po jednog čvora pazeći da na čvor ne djeluje više od

dvije nepoznate sile jer se za jedan čvor mogu postaviti dva uvjeta ravnoteže. Smjerovi sila u štapovima uzimaju se proizvoljno – ako se za veličinu sile dobije negativna vrijednost to znači da je smjer bio pogrešno pretpostavljen.

Za primjer će se odrediti reakcije veza i sile u štapovima rešetkastog nosača zadanog slikom 2.7.2-4 a). Vanjsko opterećenje rešetke je: F1 = 4000 N, F2 = 6000 N, F3 = 4000 N.


MEH-POD-01.doc

Reakcije veza su: AX = 4000 N, AY = 2500 N, BY = 7500 N.

Slika 2.7.2-4 Odreñivanje sila u štapovima metodom čvorova Veličina sila u štapovima dana je donjoj tablici.

Nakon što su prema podacima u gornjoj tablici ispravljeni smjerovi djelovanja sila u štapovima ucrtani su na štapove rešetke, slika 2.7.2-5, da bi se odredilo stanje naprezanja u štapovima. Naime za dimenzioniranje štapova važno je znati dali je štap napregnut tlačno ili vlačno. Tlačno opterećeni štapovi dimenzioniraju se na izvijanje koje postavlja teže zahtjeve nego razvlačenje štapa.

Slika 2.7.2-5 Odreñivanje stanja naprezanja u štapovima


MEH-POD-01.doc

Primjena Cremonina plana sila ilustrirana je slikama .7.2-6 i 2.7.2-7. U prvom koraku se odrede reakcije veza s okolinom a nakon toga se za svaki čvor konstruira zatvoreni poligon sila. Kod ove metode važan je smjer „obilaska“ odnosno redoslijed nanošenja sila u poligon sila. Ako se tijekom konstruiranja poligona za sve čvorove sile nanose po istom smjeru obilaska čvora poligoni će se složiti u plan sila prikazan na slici 2.7.2-7.

Slika 2.7.2-6 Odreñivanje sila u štapovima metodom Cremone Tijekom konstrukcije poligona na planu rešetke označavaju se smjerovi sila u štapovima što će poslužiti za odreñivanje stanja naprezanja u štapovima.

Slika 2.7.2-7 Cremonin plan sila Metoda presjeka Za objašnjenje metode presjeka prikazan je dio ravne rešetke iz prethodnog primjera na slici 2.7.2-8. Ravna rešetka se presječe na dva dijela pazeći da se ne presječe više od tri štapa. Bilo koji dio rešetke, obično onaj na kojeg djeluje manji broj sila, promatra se kao kruta figura za koju se mogu postaviti tri uvjeta ravnoteže. Kako su reakcije veza prethodno odreñene iz ovih se uvjeta ravnoteže mogu odrediti do tri nepoznate sile u štapovima – zato se ne smije presjeći više od tri štapa.

Slika 2.7.2-8 Odreñivanje sila u štapovima metodom

presjeka


MEH-POD-01.doc

Metoda presjeka nije pogodna za odreñivanje sila u svim štapovima jer zahtjeva više truda i vremena od bilo koje metode čvorova.

2.7.3 Stabilnost ravnotežnog položaja

Kod ravnih sistema koji su povezani s dvije veze s nepomičnom okolinom, od kojih je bar jedna dodirna jednostrana, treba ispitati stabilnost ravnotežnog položaja. Na sistem prikazan slikom 2.7.3-1 koji je vezan za nepomičnu okolinu cilindričnim zglobom u A i jednostranom dodirnom vezom u B primjenjen je princip solidifikacije pak je prikazan kao ravna kruta figura na slici 2.7.3-2. Na ravnu krutu figuru djeluju dva sistema aktivnih sila:

1,2,3,...,iF i n= (a)

j 1,2,3,...,jF m= (a)

Redukcijom ovih sistema sila na točku A dobije se rezultanta:

1 1

n m

i ji j

R F F= =

= +∑ ∑� �

(2.7.3-1)

Slika 2.7.3-1 Ravni sistem: dvije veze s nepomičnom okolinom

i redukcioni spregovi čiji su momenti:

1

n

S i ii

M k F=

=∑ (2.7.3-2)

1

m

P j jj

M k F=

=∑ (2.7.3-3)

Moment SM naziva se moment stabilnosti a moment PM

moment prevrtanja. Moguća su tri slučaja:

Slika 2.7.3-2 Ravni sistem prikazan kao ravna kruta figura

1. PM > SM ravna kruta figura zarotirat će se oko osi

kroz točku A odnosno prevrnut će se. Za ravnotežu ravne krute figure kaže se da je nestabilna. 2. PM < SM ravna kruta figura nalazi se u stanju

stabilne ravnoteže. 3. PM = SM ravnoteža ravne krute figure je labilna.

Naime prevaga jednog od momenata vodi ili u stabilnu ili u nestabilnu ravnotežu. Omjer:

S

P

Mk

M= (2.7.3-4)

Slika 2.7.3-3 Ravna kruta figura s momentima stabilnosti i prevrtanja

je mjera sigurnosti stabilnosti ravnotežnog položaja razmatranog ravnog sistema odnosno ravne krute figure. Njegova vrijednost za stabilnu ravnotežu je veća od jedan. Ukoliko je ravni sistem ima dvije jednostrane dodirne veze momenti stabilnosti i prevrtanja kao i faktor k odreñuju se za oba oslonca.


MEH-POD-01.doc

2.8 TRENJE

2.8.1 Priroda i vrste trenja

Trenje je prirodna pojava koja se uvijek javlja u dodirnom djelovanju dvaju tijela koja nastoje ili se gibaju jedno u odnosu na drugo. Uzrok pojavi trenja je hrapavost dodirnih površina tih tijela. Pojava trenja u životu i radu čovjeka ima loše i dobre strane. Značajniji loši efekti trenja su:

- otpor gibanju koji rezultira povećanom potrošnjom energije odnosno troškova, - habanje (trošenje) dodirnih površina što utječe na dimenzionalnu funkcionalnost objekta

gibanja, - povišenje temperature objekta gibanja što utječe na dimenzionalnu funkcionalnost i

čvrstoću objekta gibanja. Neke koristi od postojanja trenja su:

- postojanost tkanih materijala (tkanina), - mogućnost spajanja dvaju tijela vijcima i čavlima, - pokretanje, vožnja i zaustavljanje kopnenih prometala s kotačima ili gusjenicama, - kontrola gibanja s pomoću kočnica.

Dakle trenje se ne može isključiti već ga treba moći kontrolirati. Radi kvantificiranja efekata trenja treba napustiti pretpostavku o krutim objektima gibanja jer ona implicira glatkoćui nepromjenjivost površine. Nakon definiranja sile trenja može se, ponovno, govoriti o krutim objektima gibanja. Razmatrat će se trenje dvaju čvrstih tijela bez bilo kakvih uključina izmeñu njihovih dodirnih površina – ovakvo trenje naziva se suho trenje. Na slici 2.8.1-1 prikazane su hrapavosti površina metalnih tijela A obrañenih grubim tokarenjem i B finim tokarenjem. U donjoj tablici dani su podaci o hrapavosti nekih površina.

Slika 2.8.1-1 Hrapavost površina

Tablica 2.8.1-1 Hrapavosti nekih površina

Slika 2.8.1-2 Model površina za objašnjenje otpora gibanju

Na slici 2.8.1-2 dan je detalj dodirnih metalnih površina za kvalitativno objašnjenje otpora gibanju tijela s hrapavim površinama:

- u A zbog velikog pritiska može porasti temperatura do rastaljivanja i nakon hlañenja dijelovi u dodiru se mogu zavariti, - u području B1 do B2 donja površina formira kosinu pak se tijelo u gibanju penje uz kosinu, - zbog zapinjanja u području C2 gibanje je moguće ako se izdanci slome, - javljaju se i adhezivne sile.

Osim opisanog, što odgovara trenju klizanja, postoji i trenje kotrljanja.


MEH-POD-01.doc

2.8.2 Trenje klizanja

Sila trenja definira se sljedećim Coulombovim zakonima (1781): 1. Ukupni otpor trenja je sila trenja koja ima pravac meñusobnog pomaka tijela koji se

ostvaruje ili se nastoji ostvariti a smjer suprotan smjeru pomaka. 2. Veličina sile trenja upravno je proporcionalna veličini normalne reakcije podloge a faktor

proporcionalnosti naziva se koeficijent trenja. T Nµ= (2.8.2-1) U gornjem izrazu pojedini simboli znače:

T sila trenja, µ koeficijent trenja klizanja,

N normalna reakcija. 3. Veličina koeficijenta trenja ne ovisi o veličini dodirnih površina već od vrste materijala i

hrapavosti dodirnih površina i za male brzine klizanja praktički je neovisna oveličini brzine.

Koeficijent trenja klizanja odreñuje se pokusom definiranim na slici 2.8.2-1

Slika 2.8.2-1 Odreñivanje koeficijenta trenja klizanja

Na slici 2.8.2-1 lijevo je tribometar, sprava za mjerenje koeficijenta trenja klizanja, a desno mehanički model pomoću kojeg se odreñuje veličina koeficijenta trenja klizanja. Predmet B, težine G, leži na horizontalnoj podlozi. Sila F jednaka je težini utega D neposredno prije nego se predmet B pokrene. Predmeti A i B su od materijala za koje hoćemo odrediti koeficijent trenja klizanja. Prema 2. Coulombovom zakonu i izrazu (2.8.2-1) koeficijent trenja je:

T

Nµ = (2.8.2-2)

Iz ravnoteže mehaničkog modela, slika 2.8.2-1 lijevo, vidi se da vrijedi: GNFT == i (a)

pak se može, nakon uvrštenja izraza (a) u izraz (2.8.2-2), napisati izraz za računanje veličine koeficijenta trenja:

F

Gµ = (2.8.2-3)

U tablici 2.8.2-1 dane su neke vrijednosti za statički i kinetički koeficijent trenja klizanja. Statički koeficijent trenja klizanja je najveća vrijednost koju može imati koeficijent trenja klizanja i ona se pojavljuje neposredno prije početka gibanja. Nakon što započne gibanje veličina koeficijenta padne na vrijednost koja se zove kinetički koeficijent trenja. Tablica 2.8.2-1 Vrijednosti koeficijenata trenja klizanja

Koeficijent trenja klizanja Materijali statički kinetički

Koža po drvu 0.50 – 0.60 0.30 – 0.50 Koža po metalu 0.30 – 0.50 0.30 Metal po metalu 0.15 – 0.25 0.10 Metal po drvu 0.40 – 0.60 0.30 – 0.50 Metal po betonu 0.30 – 0.70 Konop po drvu 0.50 – 0.80 0.50 Kamen po kamenu 0.60 – 0.70 Kamen po drvu 0.40 Guma po betonu 0.50 – 0.90 Čelik po ledu 0.03 0.015


MEH-POD-01.doc

Treba napomenuti da Coulombovi zakoni i koeficijenti trenja dani u gornjoj tablici vrijede za suho trenje – ukoliko se izmeñu tijela nañe neka tekućina, prah ili nešto slično, koeficijent trenja se drastično mijenja. Kut trenja Tijelo na hrapavoj kosini, slika 2.8.2-2 a), miruje ili se giba ovisno o kutu kojeg kosina zatvara s horizontalom. Prema mehaničkom modelu, slika 2.8.2-2 b), komponenta težine tijela po pravcu kosine vuče tijelo prema dolje čemu se suprotstavlja sila trenja T.

Slika 2.8.2-2 Trenje na kosini Iz uvjeta ravnoteže 0=xR i 0=yR se dobije:

0sin =− αGT 0cos =− αGN što sreñeno daje sljedeće izraze:

αsinGT = (a) αcosGN = (b)

Uvrštenjem (a) i (b) u (2.8.2-2) dobije se: sin

cos

G

G

αµα

= (c)

tgµ α= (d) Pretpostavi li se da postoji neki kut čiji je tangens jednak koeficijentu trenja klizanja:

tgϕ µ= (e) izjednačavanjem izraza (d) i (e) se dobije:

αϕ = (2.8.2-4) Temeljem gornjeg izvoda uvodi se kut trenja ϕ koji je jednak graničnoj vrijednosti kuta α pri kojem tijelo još miruje na kosini. Ako je ϕα < kosina je samokočna. Konus trenja

Na slici 2.8.2-3 sila F�

djeluje na neko tijelo koje leži na hrapavoj podlozi. Kut α izmeñu pravca

djelovanja sile F�

i okomice na podlogu može se mijenjati. Dok je kut α manji od kuta trenja ϕ

tijelo koje leži na hrapavoj podlozi će mirovati. Svi mogući položaji pravca djelovanja sile F�

pri α ϕ= formiraju koničnu plohu, slika 2.8.2-3, koja se zove konus trenja, Polovina vršnog kuta

konusa trenja jednaka je kutu trenja, slika 2.8.2-3, i dok pravac djelovanja sile F�

leži unutar

konusa trenja tijelo na koje djeluje sila F�

ostaje u stanju mirovanja.

Slika 2.8.2-3 Konus trenja


MEH-POD-01.doc

2.8.3 Trenje kotrljanja

Trenje kotrljanja pojavljuje se pri gibanju kružne ploče po hrapavoj podlozi. Za kružnu se ploču kaže da se kotrlja bez klizanja. Pojava trenja kotrljanja složenija je od pojave trenja klizanja i rješava se na osnovu dva približna modela i odgovarajućim pokusima. Razlikuju se dva slučaja pogona kružne ploče: jedan je posredstvom vučne sile a drugi posredstvom pogonskog sprega.

Model za slučaj pogona vučnom silom VF�

prikazan je na

slici 2.8.3-1. Otpor gibanju predstavlja guranje dijela podloge u smjeru gibanja kružne ploče. Odgovarajući mehanički model definiran je na slici 2.8.3-2; osim sila crtkano je prikazana podloga i pritisci koje kružna ploča inducira u podlozi. Rezultante ovih pritisaka su sila trenja

T�

i normalna reakcija N�

. Sila Q�

predstavlja težinu kružne ploče i dio težine vozila. Veličina e je krak trenja kotrljanja i njegova se vrijednost odreñuje pokusima.

Slika 2.8.3-1 Kotrljanje kružne ploče djelovanjem vučne sile

Postavljaju se tri uvjeta ravnoteže:

0, 0, 0x y AR R M= = = (a)

iz kojih se dobije: 0

0

0

V

V

F T

N Q

e Q r F

− =− =

− = (b)

Iz trećeg od izraza (b) dobije se za vučnu silu:

V

eF Q

r= (2.8.3-1)

Prva dva izraza (b) uz definiciju sile trenja klizanja, izraz (2.8.2-1), daju:

0VF Qµ− = (c)

Slika 2.8.3-2 Mehanički model za kotrljanje kružne ploče djelovanjem vučne sile

Izraz (c) napisan u obliku:

VF Qµ≤ (d)

definira graničnu veličinu vučne sile pri kojoj neće doći do klizanja kružne ploče. Izjednačenjem izraza (2.8.3-1) i (d) dobije su uvjet kotrljanja:

r

e>µ (2.8.3-2)

Dakle ako je koeficijent trenja klizanja za materijale i površine kružne ploče i podloge zadovoljava izraz (2.8.3-2) kružna ploča će se kotrljati bez klizanja. Za koeficijent trenja klizanja uzima se statička vrijednost Model za slučaj pogona kružne ploče pogonskim

spregom S�

prikazan je na slici 2.8.3-3. Otpor gibanju predstavlja guranje dijela podloge u smjeru vrtnje kružne ploče. Odgovarajući mehanički model definiran je na slici 2.8.3-4; osim sila crtkano je prikazana podloga i pritisci koje kružna ploča inducira u podlozi. Rezultante ovih

pritisaka su sila trenja T�

i normalna reakcija N�

. Sila Q�

predstavlja težinu kružne ploče i pripadajući joj dio težine vozila. Veličina e je krak trenja kotrljanja, kao i u slučaju pogona kružne ploče pogonskom silom, i njegova se vrijednost odreñuje pokusima.

Slika 2.8.3-3 Kotrljanje kružne ploče djelovanjem pogonskog sprega

Na kružnu ploču, u smjeru suprotnom gibanju , djeluje i sila VF�

kojom kružna ploča, koja je u

razmatranom slučaju pogonska za vozilo, omogućava gibanje vozila.


MEH-POD-01.doc

Postavljaju se tri uvjeta, izrazi (a), kao i u prethodno razmatranom slučaju iz kojih se dobije:

0

0

0

V

V

T F

N Q

e Q r F S

− =− =

+ − = (e)

Iz trećeg od izraza (e) dobije se za pogonski spreg: VS e Q r F= + (2.8.3-3)

Prva dva izraza (e) uz definiciju sile trenja klizanja, izraz (2.8.2-1), daju:

VQ Fµ = (f)

Izrazi li se sila VF�

pomoću izraza (2.8.3-3) dobije se:

S e

r Q rµ > − (2.8.3-4)

Slika 2.8.3-2 Mehanički model za kotrljanje kružne ploče djelovanjem pogonskog sprega

Izraz (2.8.3-4) je uvjet kotrljanja kada je kružna ploča pogonjena pogonskim spregom koji uzima u obzir da kružna ploča pokreće vozilo. Kako je već rečeno krak trenja e se odreñuje pokusom a ovisi o:

- deformabilnosti materijala kružne ploče i podloge, - o hrapavosti dodirnih površina kružne ploče i podloge, - radijusu kružne ploče, - brzini kružne ploče, - pritisku izmeñu kružne ploče i podloge.

Neke vrijednosti za krak trenja u cm daju se dolje: drvo po drvu 0.05 – 0.06 čelik po čeliku 0.005 drvo po čeliku 0.03 – 0.04 kuglica od kaljenog čelika po čeliku 0.001 lijevano željezo po lijevanom željezu 0.05

2.8.4 Trenje u ležajima

Aksijalni ležaj Spreg S

�, potreban za savladavanje trenja u aksijalnom ležaju, slika 2.8.4-1, odreñuje se na

osnovu prikaza na slici 2.8.4-1.

Slika 2.8.4-1 Trenje u aksijalnom ležaju

Sila Q�

predstavlja težinu vratila i opterećenje koje djeluje na vratilo. Na slici 2.8.4-1b) prikazan je dio površine A baze vratila i sila trenja koja djeluje na diferencijalni dio površine baze vratila. Iz uvjeta ravnoteže:

00 =M (a)

dobije se:

( )

0A

S dTρ− =∫ (b)

Diferencijal normalne sile koja djeluje na površinu A definira se izrazom:


MEH-POD-01.doc

Q

dN dAA

= (c)

pak je diferencijalna sila trenja po definiciji i izrazu (2.8.2-1):

Q

dT dAA

µ= (d)

Uzevši u obzir da diferencijalna površina definirana izrazom: ρϕρ dddA = (e)

nakon uvrštenja (d) i (e) u (b) dobije se:

πµϕρρµρπ

23

3

)( 0

2

0

2 r

A

Qdd

A

QdTS

A

r

∫ ∫ ∫ === (f)

Iz izraza (f) uz π2rA = dobije se:

QrS 3

2 µ= (2.8.4-1)

Radijalni ležaj Spreg S

�, potreban za savladavanje trenja u radijalnom ležaju odreñuje se na osnovu prikaza na slici

2.8.4-2 i donjeg izvoda. Sila Q�

predstavlja dio težine vratila i opterećenje koje djeluje na vratilo.

Slika 2.8.4-2

Trenje u radijalnom ležaju

Na osnovu uvjeta ravnoteže:

0, 0, 0x y SR R M= = = (g)

dobije se: QN ≈

QNT µµ ≈= (h)

0=− SrT U prvom od izraza (h) zbog male vrijednosti kuta α cosα je uzet jednak jedinici pak se za spreg S

�

dobije: QrS µ= (2.8.4-2)

Rukavac vratila se penje po ležaju, u smjeru vrtnje, dok kut α ne postane jednak kutu trenja i u tom položaju rotira. Dakle za koeficijent trenja klizanja se uzima kinetička vrijednost.

2.8.5 Trenje užeta

Trenje užeta odreñuje se na temelju prikaza na slici 2.8.5-1 i

donjeg izvoda. Traži se odnos izmeñu sila 1S�

i 2S�

.

Na temelju prikaza na slici 2.8.5-1 b) postavljaju se uvjeti ravnoteže:

0=xR ( ) 02

cos2

cos =++−− ψψ ddSSdT

dS (a)

0=yR ( ) 02

sin2

sin =+−− ψψ ddSS

dSdN (b)

Sile dT�

i dN�

su diferencijalni dijelovi sila trenja i normalne

reakcije a sila dS�

je prirast sile u užetu.

Slika 2.8.5-1a Trenje užeta


MEH-POD-01.doc

Uzevši u obzir:

12

cos ≈ψd i

22sin

ψψ dd ≈ iz (a) i (b) se dobije:

dSdT = (c)

2

ψψ ddSdSdN += (d)

Zanemarenjem 2

ψd

dS u izrazu (d), jer je mala veličina

drugog reda, i uzevši u obzir vezu sile trenja i normalne reakcije, izraz(2.8.2-2), dobije se diferencijalna jednadžba:

ψµ dS

dS = (2.8.5-1)

Integriranjem gornjeg izraza:

∫ ∫=2

1 0

S

S

dS

dS α

ψµ (e)

Slika 2.8.5-1b Trenje užeta, mehanički model

i nakon uvrštenja granica integracije dobije se: µα=− 12 lnln SS (f)

Gornji se izraz može transformirati u dva oblika:

µαeS

S=

1

2 (2.8.5-2)

µαeSS 12 = (2.8.5-3)

kojima se, po Euleru, može odrediti užetno trenje. Sila 2S ovisi o koeficijentu trenja i obuhvatnom kutu. Za koeficijent trenja 0.5µ = daju se omjeri sila izračunati po izrazu (2.8.5-2):

Obuhvatni kut

2

1

S

S

π 4.8 2π 23.1 4π 535.5 6π 12391.6 8π 286751.3

Meñurezultat dSdT = , izraz (c), može se iskoristiti za objašnjene ravnoteže glatkog užeta. Dakle ako nema trenja onda je prirast sile u užetu jednak nuli, 0dS = , pak vrijedi 1 2S S= .

2.8.6 Ravnoteža kad djeluje trenje

U razmatranju ravnoteže kad postoji trenje pojavljuje se kao nepoznanica više ili sila trenja ili spreg trenja. Dodatni uvjet ravnoteže se uvodi definiranjem sile trenja odnosno sprega trenja. Dakle stanje ravnoteže se promatra kao da su objekti gibanja kruti uz navedene dodatne uvjete koje traži trenje.U slučaju da se pojavljuje užetno trenje dodatni uvjet daje Eulerova formula za trenje užeta.


MEH-POD-01.doc

3. DINAMIKA

3.1 UVOD U DINAMIKU

3.1.1 Objekti gibanja i vrste gibanja

Prema izloženom u 1.4.3 modeli realnih objekata gibanja su: točka ili čestica, ravna kruta figura, kruto tijelo. Kratki opisi vrsta gibanja, koje će se proučavati, daju se u tekstu koji slijedi. Gibanje realnog tijela na koje djeluje konkurentni sistem sila, predstavljen rezultantom F

�konkurentnog sistema

sila, proučava se kao gibanje čestice mase m – slika 3.1.1-1. Ako je sistem sila prostorni konkurentni sistem tada čestica ima tri stupnja slobode gibanja – tri elementarne translacije. Gibanje definirano slikom 3.1.1-1 naziva se translacija. Zakon gibanja i rezultantna sila definirani su izrazima:

( )r r t=� � (3.1.1-1)

kFjFiFF zyx

��++= (3.1.1-2)

Slika 3.1.1-1 Translacija u DPKS-u

Gibanje ravne krute figure naziva se ravninsko gibanje. Radi efikasnog opisa gibanja uvode se tri koordinatna sistema, slika 3.1.1-2: - nepomična i referentna ravnina ξη u kojoj se odvija gibanje, - koordinatne osi ξ' i η', čije ishodište O je stalno u istoj točki figure i koje su stalno paralelne osima ξ i η, - koordinatne osi x i y koje su vezane za figuru. Sistem sila koji djeluje na realno tijelo je opći slučaj sila u ravnini predstavljen na slici 3.1.1-2 rezultantom F�

i spregom momenta M�

. Zakon gibanja i stanje sila definirani su izrazima:

Rrr�� += 0 (3.1.1-3)

( )trr 00

�� = konstR =�

( )tϕϕ = (3.1.1-4)

Slika 3.1.1-2 Ravninsko gibanje

21 eFeFF��

ηξ += 0≠M�

(3.1.1-5)

Sila F�

uzrokuje dvije elementarne translacije duž osi ηξ i a spreg M�

jednu rotaciju oko osi koja je u točki O okomita na ravninu gibanja. Rotacija oko nepomične osi prikazana je na slici 3.1.1-3. Za definiranje ovog gibanja, u općem slučaju, potrebna su tri koordinatna sistema: - nepomični i referentni ξηζ , - pomični koordinatni sistem ξ'η'ζ', čije ishodište O je stalno u istoj točki figure, a osi su mu stalno paralelne osima ξηζ, - koordinatni sistem xyz čije su osi vezane za tijelo. Sistem sila koji djeluje na realno tijelo svodi se na spreg koji vrti oko osi z koja je os rotacije. Os rotacije može biti i bilo koji pravac paralelan osi z. Zakon gibanja i stanje sila definirani su izrazima:

Rrr�� += 0 (3.1.1-6)

( )trr 00

�� = konstR =�

( )tϕϕ = (3.1.1-7)

Slika 3.1.1-3 Rotacija oko nepomične osi


MEH-POD-01.doc

1

0n

ii

F F=

= =∑� �

0zM ≠�

(3.1.1-8)

Na slici 3.1.1-4 prikazano je tijelo čija je jedna točka nepomična. Sistem vanjskih sila svodi se na tri momenta za tri osi i tijelo izvodi tri rotacije oko ovih osi. Kako se točke tijela gibaju po sfernim plohama gibanje se zove sferno gibanje. Za odreñenje gibanja koriste se dva koordinatna sistema. - prvi je nepomični i referentni ξηζ , - drugi je koordinatni sistem xyz čije su osi vezane za tijelo. Zakon gibanja i stanje sila definirani su izrazima:

( )r r t=� � (3.1.1-9)

konstr =� , ( )tψψ = , ( )tϑϑ = , ( )tϕϕ = (3.1.1-10) Slika 3.1.1-4 Sferno gibanje

01

==∑=

n

iiFF��

, 0321 ≠++= MMMM��

(3.1.1-10)

Gibanje slobodnog krutog tijela, slika 3.1.-5, neće se proučavati ali kako se je na više mjesta spominjalo daje se ovaj kratki opis. Zakon gibanja i stanje sila definirani su izrazima:

Rrr�� += 0 (3.1.1-10)

( )trr 00

�� = , konstR =�

(3.1.1-11)

1

1 2 3

0

0

n

ii

F F

M M M M

=

= ≠

= + + ≠

∑� �

� � � � (3.1.1-12)

Slika 3.1.1-5 Gibanje slobodnog krutog tijela

3.1.2 Zadaci dinamike, kinemati čki i kineti čki pristup

U dinamici se rješavaju dva osnovna zadatka: - prvi zadatak: poznat je zakon gibanja i masa objekta gibanja a od reñuje se uzro čnik

gibanja , - drugi zadatak: poznat je uzro čnik gibanja a odre ñuje se zakon gibanja . Kinetički pristup rješavanju osnovnih zadataka ilustrirat će se za rješavanje gibanja čestice. Prvi zadatak se rješava tako da se zakon gibanja dva puta derivira po vremenu čime se odredi ubrzanje a

�. Uvrstivši ovo ubrzanje u izraz za drugi Newtonov aksiom odreñuje se sila F

� koja je

uzročnik gibanja: amF��

=

U drugom zadatku polazeći od poznatog uzročnika gibanja, sile F�

, pomoću gornjeg izraza,

odreñuje se ubrzanje: m

Fa

�� =

Dvostrukim integriranjem odreñuje se zakon gibanja. Ako se prvi zadatak formulira: zadan je zakon gibanja – treba odrediti ubrzanje , a drugi zadatak: zadano je ubrzanje – treba odrediti zakon gibanja , govori se o kinematičkom pristupu rješavanju problema gibanja. U ovom slučaju zanemaruje se masa objekta gibanja kao i uzročnik gibanja. Može se reći: u kinematici se rješavaju problemi gibanja ne vodeći računa o masi objekata gibanja i uzročniku gibanja dok se u kinetici uzima u obzir i masa objekta gibanja i uzročnik gibanja. Rješavanje osnovnih zadataka dinamike ilustrirano je na slici 3.1.2-1.


MEH-POD-01.doc

Slika 3.1.2-1 Shema rješavanja osnovnih zadataka dinamike

Primjer 3.1.2-1 Prvi zadatak kinematike Pravocrtno gibanje čestice odreñeno je zakonom gibanja:

x = 1.7375 t2 Naći zakon promjene brzine u vremenu v = v(t) i ubrzanje čestice a(t). Izračunati vrijeme t1 i preñeni put ∆x1 kada čestica postigne brzinu v1 = 27.8 m/s (100 km/h). Rješavanje: Deriviranjem zakona gibanja po vremenu odreñuje se brzina:

( )21.7375 3.475 dx d

v t tdt dt

= = =

Brzina čestice je: 3.475 v t= (a)

Deriviranjem brzine po vremenu odreñuje se ubrzanje:

(3.475 ) 3.475dv d

a tdt dt

= = =

Ubrzanje čestice je:

23.475

ma

s=

Vrijeme u kojem čestica postigne brzinu v1 nalazi se pomoću izraza (a):

11

27.88

3.473 3.473

vt s= = =

Preñeni put se izračuna uvrštavanjem vremena t1 u zakon gibanja: 2

1 1.7375 8 111.2 x m∆ = ⋅ =

Rješenje: 3.475 v t= , 2

3.475m

as

= , 1 8 t s= , 1 111.2 x m∆ =

Primjer 3.1.2-2 Prvi zadatak kinetike Automobil mase m = 850 kg giba se pravocrtno po zakonu gibanja:

x = 1.7375 t2 Naći silu F koja uzrokuje ovo gibanje. Rješavanje: Postupkom prikazanim u prethodnom primjeru odreñuje se ubrzanje. Kako je zakon gibanja isti u ovom i prethodnom primjeru koristi se za ubrzanje vrijednost izračunata u prethodnom primjeru. Sila se odreñuje donjim izrazom:

F m a= i iznosi: 850 3.475 2953.8 F N= ⋅ =


MEH-POD-01.doc

Rješenje: 2953.8 F N=

Primjer 3.1.2-3 Drugi zadatak kinematike Čestica polazi iz stanja mirovanja i giba se pravocrtno s ubrzanjem a = 3.475 m/s2. Naći zakon gibanja čestice x = x(t) ako je u t=0 bilo x=0. Rješavanje: Polazi se od izraza:

dv

adt

= (a)

Separacijom diferencijala u izrazu (a) dobije se jednostavna diferencijalna jednadžba: dv a dt= iz koje se integracijom odredi brzina:

1 1 1 3.475 3.475 v a dt c dt c t c= + = + = +∫ ∫

13.475 v t c= + (b) U izrazu (b) c1 je konstanta integracije koja se odreñuje iz početnih uvjeta što znači da se u izraz (b) uvrsti vrijednost brzine u početnom trenutku: t=0: v=0 c1=0 Konačno izraz za brzinu izgleda: 3.475 v t= (c) Brzina je derivacija zakona gibanja po vremenu:

dx

vdt

= (d)

Separacijom diferencijala u izrazu (d) dobije se jednostavna diferencijalna jednadžba: dx v dt= (e) Uvrštenjem (c) u (e) dobije se: 3.475 dx t dt= Integracijom gornjeg izraza odredi zakon gibanja:

2

2 23.475 3.4742

tx t dt c c= + = +∫ (f)

U izrazu (f) c2 je konstanta integracije koja se odreñuje iz početnih uvjeta: t=0: x=0 c2=0 Zakon gibanja je.

21.7375 x t= (g)

Rješenje: 21.7375 x t=

Primjer 3.1.2-4 Drugi zadatak kinetike Automobil mase m = 850 kg giba se pravocrtno pod djelovanjem rezultante sile F = 2953.75 N. Sila F počinje djelovati na automobil u trenutku t = 0. Naći zakon gibanja automobila x = x(t) ako je u t=0 bilo x=0. Rješavanje: Polazi se od izraza F m a= pomoću kojeg se odredi ubrzanje:

Fa

m=

i sa zadanim vrijednostima sile i mase izračuna vrijednost ubrzanja.

2

2953.753.465

850.0

ma

s= =

Istim postupkom kao u prethodom primjeru odredi se zakon gibanja a kako su vrijednosti ubrzanja u oba primjera iste dobije se isto rješenje Rješenje: 21.7375 x t= U kinetičkom pristupu rješavanja problema gibanja uvode se važna svojstva objekta gibanja: količina gibanja i kinetička energija te ih se povezuje s impulsom sile odnosno s mehaničkim radom. Količina gibanja i impuls sile daju dodatne informacije o promjeni stanja gibanja. Kinetička


MEH-POD-01.doc

energija povezana je s mehaničkim radom preko kojega se dolazi do snage. Osim što ove zakonitosti omogućuju lakše rješavanje nekih problema gibanja, nego u standardnim zadacima, povezuju gibanje s njegovim ekonomskim aspektima.

3.1.3 D’Alembertov princip

Jedno od osnovnih svojstava realnih objekata gibanja je inercijalnost ili tromost kojim se ona opiru promjeni gibanja. Prema prvom Newtonovom zakonu svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu dok na njega ne djeluje neka sila. Ako na tijelo djeluje neka sila onda to tijelo dobija ubrzanje i njegovo gibanje postaje nejednoliko a putanja može biti različita od pravca. Po drugom Newtonovu zakonu ova sila je jednaka umnošku mase tijela i njegovog ubrzanja. Francuski znanstvenik D'Alembert je predložio da se potreba djelovanja silom na tijelo radi promijene njegovog gibanje iz jednolikog u ubrzano objasni kao potreba da se savlada otpor tijela promjeni gibanja. Ovaj otpor tijela promjeni gibanja uveo je u razmatranje gibanja kao

inercijalnu silu L�

:

amL��

−= D'Alembertova inercijalna sila ima sljedeća svojstva: - veličina je jednaka umnošku mase i ubrzanja, - pravac se poklapa s pravcem ubrzanja, - smjer je suprotan smjeru ubrzanja. Ako se drugi Newtonov zakon napiše u obliku:

0 =− amF��

uvrštenjem D'Alembertove inercijalne sile dobije se izraz:

0=+ LF��

koji predstavlja D'Alembertov princip i govori o nekoj ravnoteži ali koja nije statička ravnoteža. Može se reći: Ako na tijelo koje se giba nejednoliko s ubrzanjem a

� pod djelovanjem sile F

� djelujemo

inercijalnom silom L�

tad će to tijelo biti u kinetostati čkoj ravnoteži. Praktično je u rješavanje dinamičkih problema uvesti inercijalne sile i onda primijeniti znanje i metode statike.

Primjer 3.1.3-1 Automobil mase m = 850 kg giba se pravocrtno s ubrzanjem a = 3.475 m/s2 u horizontalnoj ravnini. Na automobil po pravcu gibanja djeluju pogonska sila 1F

� i

sila otpora 2F�

, slika 3.1.3-1. Računajući s prosječnom veličinom sile otpora F2 = 500 N odrediti veličinu pogonske sile F1. Rješavanje:

Slika 3.1.3-1

Mehanički model je definiran na slici 3.1.3-2 s uključe-

nom D'Alembertovom inercijalnom silom amL��

−= . Uvjet kinetostatičke ravnoteže je:

0xR = Realizacijom ovog uvjeta se dobije:

1 2 0F F m a− − = odakle slijedi::

1 2 F F m a= + pak se može odrediti veličina pogonske sile: F1 = 3453.75 N

Slika 3.1.3-2


MEH-POD-01.doc

3.2 PRAVOCRTNO GIBANJE

Pravocrtno gibanje je najjednostavnije gibanje: objekt gibanja je točka ili čestica a putanja je pravac.

3.2.1 Sistem sila i zakon gibanja

Pravocrtno gibanje definirano je slikom 3.2.1-1. Sistem sila, koji djeluje na realno tijelo, može biti prostorni konkurentni sistem, slika 3.2.1-1a), ali koji se svodi na rezultantu, slika 3.2.1-1b), koja djeluje po osi x:

∑=

==n

ixi FFR

1,

�� (3.2.1-1)

Pod djelovanjem ove sile čestica mase m giba se po osi x. Zakon gibanja je: ixr�� = (3.2.1-2)

Slika 3.2.1-1 Sile i zakon gibanja za pravocrtno gibanje Za sistem sila vrijedi: 0 i 0 == zy RR (3.2.1-3)

Uobičajeno je pisati: ( )txx = (3.2.1-4) F m a= (3.2.1-5)

3.2.2 Kinematika pravocrtnog gibanja

Brzina i ubrzanje odreñuju se temeljem izraza (1.3.1-5) i (1.3.1-8). Prvi zadatak se rješava na sljedeći način:

( )txx = (3.2.2-1)

dt

dxv = (3.2.2-2)

2

2

dt

xd

dt

dva == (3.2.2-3)

Drugi zadatak, kada je ubrzanje konstantno ili je funkcija vremena, rješava se na sljedeći način:

( )dt

dvtaa == (3.2.2-4)

( )dttadv = (3.2.2-5)

( )∫ += 1cdttav (3.2.2-6)

dt

dxv = (3.2.2-7)

vdtdx = (3.2.2-8)

( )212 ∫∫∫∫ ++=+= cdtcdtdttacdtvx (3.2.2-9)

U izrazima (3.2.2-6)i (3.2.2-6) c1 i c2 su konstante integracije koje se odreñuju iz početnih uvjeta. Kada je ubrzanje funkcija vremena i brzine i/ili položaja:


MEH-POD-01.doc

( )dt

dvxvtfa == ,,

( )dtxvtfdv ,,= nije moguća integracija nakon separacije diferencijala. U 3.2.7 i 3.2.8 dani su primjeri za takve slučajeve.

3.2.3 Kinemati čki dijagrami

Kada je ubrzanje ovisno o vremenu ili je zakon gibanja funkcija vremena korisno je u rješavanju osnovnih zadataka kinematike primijeniti grafičko deriviranje i geometrijsku definiciju odreñenog integrala što je pokazano na slikama 3.2.3-1 i 3.2.3-2.

Izraz (3.2.2-2) je definicija brzine a dx

dt je tangens kuta tangente na krivulju x=x(t). Gledajući sliku

3.2.3-1a) može se brzina u trenutku t1 definirati izrazom

1 1 v tg α= (3.2.3-1) Slično se za ubrzanje, prema izrazu (3.2.2-4), kaže da je jednako tangensu kuta tangente na krivulju v=v(t) pak se prema slici 3.2.3-1b) može odrediti ubrzanje u trenutku t1:

1 1 a tg β= (3.2.3-2)

Slika 3.2.3-1 Odreñivanje brzine i ubrzanja pomoću kuta tangente

Ako se (3.2.2-5) riješi kao odreñeni integral dobija se:

( )2

1

12

t

t

v a t dt= ∫ (3.2.3-3)

Integral u gornjem izrazu predstavlja površinu A1 na slici 3.2.3-2a) pak se za brzinu u trenutku t2, slika 3.2.3-2b), može napisati: 2 1 1v A v= + (3.2.3-3) Ako se (3.2.2-8) riješi kao odreñeni integral dobija se:

( )2

1

12 t

t

x v t dt= ∫ (3.2.3-4)

Integral u gornjem izrazu predstavlja površinu A2 na slici 3.2.3-2b) pak se za položaj u trenutku t2, slika 3.2.3-2c), može napisati: 2 2 1x A x= + (3.2.3-4)

Slika 3.2.3-2 Odreñivanje brzine i prijeñenog puta pomoću površina Metoda kinematičkih dijagrama naročito je pogodna kod gibanja koja imaju periode promjenjivog ubrzanja kao što su gibanje lifta, polazak i zaustavljanje prometala. Problem se može riješiti i analitički ali rješavanje dulje traje zbog izlomljenosti funkcija a(t) i v(t).


MEH-POD-01.doc

Primjer 3.2.3-1 Za gibanje lifta zadan je kinematički dijagram a = a(t) prikazan na slici 3.2-3. Na početku gibanja je bilo: v0 = 0 m/s, s0 = 0.m. Odrediti: a) najveću brzinu lifta vmax, b) preñeni put ∆s.

Slika 3.2-3

Gibanje ima tri perioda. U prvom je ubrzanje konstantno i veće od nule, u drugom je ubrzanje jednako nuli a u trećem periodu ubrzanje je konstantno i ima negativnu vrijednost. Rješenje je dano na slici 3.2-4. Površina od t = 0s do t = 5 s na dijagramu ubrzanja je 5 m/s pak je brzina u trenutku t = 5 s v = 5 m/s. Od t = 5 s do t = 15 s ubrzanje je jednako nuli pak je odgovarajuća površina jednaka nuli i brzina nema prirasta. U trećem periodu površina je negativna i iznosi -5 m/s tako da je brzina na kraju trećeg perioda jednaka nuli. Najveća brzina lifta je 5 m/s. Putevi se odreñuju računajući površine na dijagramu brzine, slika 3.2-4a), koje iznose:

Slika 3.2-4

- 12.5 m u prvom periodu, - 50.0 m u drugom periodu, - 12.5 m u trećem periodu. Preñeni put je jednak zbroju ovih površina: ∆s = 75.0 m.

3.2.4 Odreñivanje sile

Pretpostavlja se da je zadan zakon gibanja i masa objekta gibanja. Dvostrukim deriviranjem po vremenu zakona gibanja, izraz (3.2.2-3), odreñuje se ubrzanje i pomoću drugog Newtonovog aksioma sila.

3.2.5 Odreñivanje gibanja pri djelovanju konstantne sile

Pretpostavlja se da je poznata masa objekta gibanja. Tada se pomoću drugog Newtonovog aksioma odreñuje ubrzanje i s dvije uzastopne integracije zakon gibanja kako je pokazano u 3.2.2.

3.2.6 Odreñivanje gibanja pri djelovanju sile ovisne o vremenu

Pretpostavlja se da je poznata masa objekta gibanja. Tada se pomoću drugog Newtonovog aksioma odreñuje ubrzanje i s dvije uzastopne integracije zakon gibanja kako je pokazano u 3.2.2.

3.2.7 Odreñivanje gibanja pri djelovanju sile koja je funkcija položaja

Cilindrična opruga obješena je u polju zemljine sile teže i opterećena česticom mase m - slika 3.2.7-1 a). Izvod diferencijalne jednadžbe dan je u donjem tekstu. Polazi se od izraza (3.2.1-5) u kojem je ubrzanje prikazano drugom derivacijom zakona gibanja po vremenu napisano kao x s dvije točke:

F m x= ɺɺ (a) Prema prikazu na slici 3.2.7-1 b) rezultantna sila je:

st xF mg F F= − − (b)

U izrazu (b) sila u opruzi pri statičkom produljenju opruge stF jednaka je težini čestice mg pak se te dvije sile poništavaju:

xFF −= (c)

Sila xF je sila u opruzi za produljenje opruge x i jednaka je, prema izrazu (1.4.1-4):


MEH-POD-01.doc

xF c x= (d) Uvrštenjem (d) u (c) i (c) u (a) dobije se:

0=+ cxxm ɺɺ (3.2.7-1) Uvoñenjem supstitcije:

m

c=2ω (3.2.7-2)

dobije se diferencijalna jednadžba gibanja opruge: 02 =+ xx ωɺɺ (3.2.7-3) Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je:

1 2cos sin x c t c tω ω= + (3.2.7-4) Gibanje je periodično s periodom T:

2 Tω π= 2

Tπ

ω= (3.2.7-5)

i zato se ovo gibanje često naziva harmonijsko osciliranje. Radi odreñivanja konstanti integracije 21 i cc razmatrat će

se tri kombinacije početnog položaja čestice 0x i njene brzine

0xɺ na početku gibanja u t = 0:

1. slučaj 0x , 0 00 ==≠= xxx ɺɺ ,

2. slučaj 0x , 0 00 ≠=== xxx ɺɺ ,

3. slučaj 0x , 0 00 ≠=≠= xxx ɺɺ .

Slika 3.2.7-1 Gibanje cilindrične opruge

Deriviranjem po vremenu izraza (3.2.7-4) dobije se brzina kao funkcija vremena:

1 2 sin cos dx

x c t c tdt

ω ω ω ω= = − +ɺ (3.2.7-6)

Odreñivanje konstanti integracije ilustrirano je sa slikama 3.2.7-2 do 3.2.7-4. 1. slučaj

0 , 0 , 0 2 0100 ==→==→= cxcxxxt ɺ

Zakon gibanja je: 0 cos x x tω= (3.2.7-7)

Slika 3.2.7-2 Prvi slučaj harmonijskog osciliranja

Slika 3.2.7-3 Drugi slučaj harmonijskog osciliranja

2. slučaj

ω0

210 , 0 , 00x

ccxxxtɺ

ɺɺ ==→==→=

Zakon gibanja je:

0 sin x

x tωω

=ɺ

(3.2.7-8)

3. slučaj

ω0

20100 , , 0x

cxcxxxxtɺ

ɺɺ ==→==→=


MEH-POD-01.doc

Zakon gibanja je u općem slučaju harmonijskog osciliranja:

00 cos sin

xx x t tω ω

ω= +

ɺ (3.2.7-9)

Opći slučaj harmonijskog osciliranja može se predstaviti i na sljedeći način:

( ) sin x A tω β= + (3.2.7-9)

U gornjem izrazu A je amplituda a kut β je fazni pomak:

2

020

+=ωx

xAɺ

(3.2.7-10)

0

0

x

xtg

ɺ

ωβ = (3.2.7-11)

Slika 3.2.7-4 Opći slučaj harmonijskog osciliranja

U svim slučajevima frekvencija je:

Tf

1= (3.2.7-12)

Veze periode gibanja s masom i konstantom opruge definiraju donji izrazi:

c

mT π2= (3.2.7-13)i

g

lT st∆

= π2 (3.2.7-14)

Primjer 3.2.7-1 Uteg težine G = 50.0 N obješen je o spiralnu oprugu čija je konstanta c = 1000.0 N/m. Odrediti period oscilacija ako se zanemari masa opruge, Rješavanje: Prvi način:

2m

Tc

π=

50.05.097

9.81

Gm kg

g= = =

5.0972 3.14 0.448

1000.0T s= ⋅ =

Drugi način

50.00.05

1000.0st

Gl m

c∆ = = =

2 stlT

gπ ∆

=

0.052 3.14 0.448

9.81T s= ⋅ =

Rješenje: T = 0.448 s Primjer 3.2.7-2 Karoserija teretnog automobila, teška 40.0 kN kada je prazna, ulegne se za 0.06 m pod teretom od 60.0 kN. Odrediti periode oscilacija karoserije kada je prazna, T1, i kada je puna , T2. Rješavanje:

40000 G 60000K TG N N= =

T stG c l= ∆


MEH-POD-01.doc

66000010 /

0.06T

st

Gc N m

l= = =

∆

Period oscilacija za prazan kamion:

6

40000.02 2 3.14 0.40

9.81 10KG

T sc g

π= = ⋅ =⋅

Period oscilacija za nakrcani kamion:

6

40000.0 60000.02 2 3.14 0.63

9.81 10K TG G

T sc g

π + += = ⋅ =⋅

Rješenje: T = 0.40 s prazan kamion, T = 0.63 s nakrcan kamion.

3.2.8 Gibanje u otpornoj sredini

Sila otpora se definira: ( )vfkcR = (3.2.8-1)

Značenje simbola u gornjem izrazu je sljedeće: c koeficijent otpora, k konstanta čija veličina ovisi o uvjetima u sredini gibanja,

( )vf funkcija brzine.

Gibanje se ostvaruje posredstvom pogonska sile 0F .

Rezultantna sila je: RFamF −== 0 (3.2.8-2)

Diferencijalna jednadžba:

( )vfkcFdt

dvm 0 −= (3.2.8-3)

Separacijom diferencijala dobije se:

( ) dtvfkcF

mdv =− 0

(3.2.8-4)

slijedi:

( )∫ −=

v

v vfkcF

mdvt

0 0

(3.2.8-5)

Moguć je i drugi način rješavanja ako se:

v

dsdt = (a)

izraz (a) uvrsti u izraz (3.2.8-3). Dobije se slijedeća diferencijalna jžba:

( ) dsvfkcF

dvvm =−

0

(3.2.8-6)

( )∫ −=

v

v vfkcF

dvvms

0

0

(3.2.8-7)

Primjer 3.2.8-1 Padobranac s padobranom ima masu m. Otpor gibanju padobrana, kao za polusfernu plohu promjera D, odreñen je izrazom: R = 0.5 C ρ A v2 u kojem je: C = 1.33 koeficijent otpora, ρ = 1.225 kg/m3, gustoća zraka, A – površina otvora padobrana; v – brzina padobrana. Odrediti graničnu odnosno najveću brzinu padobranca ako je zadano: - m = 100 kg, - D = 4.8 m. Rješavanje: Mehanički model definiran je na slici 3.2.8-1. Rezultantna sila je:

F mg R= − (a)


MEH-POD-01.doc

Sila otpora, nakon množenja zadanih vrijednosti konstanti, je: 214.73 R v= (b)

Izrazivši rezultantnu silu kao umnožak mase i derivacije brzine po vremenu te uzevši u obzir izraze (a) i (b) može se napisati:

2 14.73 dv

m m g vdt

= − (c)

Nakon dijeljenja izraza (c) s m i uvrštavanja vrijednosti za masu i gravitaciju dobije se:

29.81 0.145 dv

vdt

= − (d)

Separacijom diferencijala u izrazu (d) i sa supstitucijama: 9.81 , 0.145a b= = (e)

dobije se diferencijalna jednadžba za razmatrano gibanje:

Slika 3.2.8-1

2

dvdt

a b v=

− (f)

koja se može integrirati:

12

dvt c

a b v= +

−∫ (g)

Integral u izrazu (g) je tablični integral čije je rješenje:

1

1ln

2

av

b bt ca a

vb

+= +

− (h)

Iz početnih uvjeta, t=0 i v=0, nalazi se c1 = 0 pak izraz (h) prelazi u oblik:

1

1ln

2

av

b bta a

vb

+=

− (i)

Preureñenjem izraza (i) dobije se ovisnost brzine o vremenu:

2

2

1

1

at

b

at

b

e av

be

−=

+

(j)

Pustivši da vrijeme teži beskonačnosti iz izraza (j) dobije se izraz koji odreñuje najveću brzinu:

max

av

b= (k)

Sa zadanim podacima vrijednost najveće brzine je:

max

9.818.23

0.145

mv

s= =

Brzina slobodnog pada u sredini bez otpora kao funkcija visine h je: 2 v g h= (l)

Interesantno je naći visinu s koje postiže prije izračunata najveća brzina padobranca. Iz izraza (l) se nalazi:

2 28.23

3.45 2 2 9.81

vh m

g= = =

⋅

Napomena: Razmatrano je gibanje u sredini s kvadratnim zakonom otpora – otpor ovisi o kvadratu brzine. U realnosti otpor može biti drugačiji i sa složenijim djelovanjem.

Rješenje: max 8.23m

vs

=


MEH-POD-01.doc

3.3 TRANSLACIJA

3.3.1 Sistem sila za translaciju

Gibanje realnog tijela na koje djeluje konkurentni sistem sila , 1,2,3,...,iF i n=�

predstavljen

rezultantom F�

, slika 3.3.1-1, proučava se kao gibanje čestice mase m. Za realno tijelo se kaže da se giba translatorno.

Slika 3.3.1-1 Sistem sila pri translaciji Slika 3.3.1-2 Komponente rezultantne sile Komponente, rezultante po koordinatnim osima, i rezultanta konkurentnog sistema predstavljeni su donjim izrazima.

xiixi FF ,, cosα= , yiiyi FF ,, cosα= , ziizi FF ,, cosα= (3.3.1-1)

∑=

=n

ixix FF

1, , ∑

==

n

iyiy FF

1, , ∑

==

n

iziz FF

1, (3.3.1-2)

2 2 2x y zF F F F= + + (3.3.1-3)

Izrazi (3.3.1-1) do (3.3.1-3) već su korišteni u redukciji konkurentnog sistema sila u prostoru. Vektorski se rezultanta sila definira:

kFjFiFF zyx

��++= (3.3.1-4)

Za razmatrani sistem sila treba biti ispunjeno: 0xM ′ = , 0yM ′ = , 0zM ′ = (3.3.1-5)

Kako je već rečeno u uvodu, geometrijski gledano, translacija je takvo gibanje pri kojem dužina koja spaja bilo koje dvije točke objekta gibanja ostaje stalno paralelna svom početnom položaju. Ovo je očito iz činjenice da su momenti sila jednaki nuli za osi x', y' i z'.

3.3.2 Kinematika krivocrtne translacije u DPKS

Za gibanje točke T, slika 3.3.2-1, vektorski oblik zakona gibanja ( )trr�� = u DPKS je:

kzjyixr�� ++= (3.3.2-1)

Izrazi: ( )txx = , ( )tyy = , ( )tzz = (3.3.2-2)

predstavljaju parametarski oblik zakona gibanja. Brzina se, po definiciji – izraz (1.3.1-5), odreñuje kao derivacija zakona gibanja po vremenu:

dt

rdv

�� = (a)

Derivirajući po vremenu izraz (3.3.2-1) dobije se:

( )dt

kdzk

dt

dz

dt

jdyj

dt

dy

dt

idxi

dt

dxkzjyix

dt

dv

��

��

�� +++++=++= (3.3.2-3)

Derivacije jediničnih vektora po vremenu jednake su nuli:

0=dt

id�

, 0=dt

jd�

, 0=dt

kd�

(3.3.2-4)


MEH-POD-01.doc

jer se kod jediničnih vektora DPKS-a ne mijenja niti pravac niti smjer. Uzevši u obzir izraze (3.3.2-2) definiraju se komponente brzine, odnosno komponente vektora brzine, koje su paralelne koordinatnim osima:

dt

dxvx = ,

dt

dyv y = ,

dt

dzvz = (3.3.2-5)

Veličina brzine, vektor brzine i kosinusi smjera definiraju se donjim izrazima: 222zyx vvvv ++= (3.3.2-6)

kvjvivv zyx

�� ++= (3.3.2-7)

v

vxx =αcos ,

v

v yy =αcos ,

v

vzz =αcos (3.3.2-8)

Vektor brzine i njegove komponente prikazani su na slici 3.3.2-1.

Slika 3.3.2-1 Komponente brzine u DPKS-u

Slika 3.3.2-2 Komponente ubrzanja u DPKS-u

Ubrzanje se, po definiciji – izraz (1.3.1-7), odreñuje kao derivacija brzine po vremenu:

dt

vda

�� = (b)


( )dt

kdvk

dt

dv

dt

jdvj

dt

dv

dt

idvi

dt

dvkvjviv

dt

da z

zy

yx

xzyx

��

��

�� +++++=++= (3.3.2-9)

Kako je već rečeno derivacije po vremenu jediničnih vektora su jednake nuli a ostali članovi izraza (3.3.2-9) predstavljaju komponente ubrzanja, odnosno komponente vektora ubrzanja, koje su paralelne koordinatnim osima:

, , yx zx y z

dvdv dva a a

dt dt dt= = = (3.3.2-10)

Veličina ubrzanja, vektor ubrzanja i kosinusi smjera definiraju se donjim izrazima: 222zyx aaaa ++= (3.3.2-11)

kajaiaa zyx

�� ++= (3.3.2-12)

a

axx =βcos ,

a

a yy =βcos ,

a

a zz =βcos (3.3.2-13)

Vektor ubrzanja i njegove komponente prikazani su na slici 3.3.2-2.

Primjer 3.3.2-1 Gibanje bombe izbačene iz aviona odreñeno je sljedećim izrazima: x = 300.0 t, y = 30.0 t, z = 3000.0 -0.5 g t2. U gornjim izrazima x, y i z su koordinate Descartesovog pravokutnog koordinatnog sistema kojemu je ravnina xy položena na plohu zemljišta iznad kojeg leti avion. Odrediti: a) položaj aviona u trenutku izbacivanja bombe, t = 0 s, b) brzinu bombe kao funkciju vremena, c) ubrzanje bombe,


MEH-POD-01.doc

d) vrijeme padanja bombe tP, e) mjesto pada bombe, f) brzinu bombe u trenutku t = 0 s, g) brzinu bombe u trenutku pada na zemljište. Zanemariti otpor zraka i računati s g = 9.81 m/s2. Rješavanje: a) t = 0 x = 0 m, y = 0 m, z = 3000 m

b) x

dxv

dt= = 300.0 m/s,

dt

dyv y = = 30.0 m/s,

dt

dzvz = = -9.81 t

( )22 2 2300.0 30.0 9.81 90900.0 96.24v t t= + + − = +

c) xx

dva

dt= = 0 m/s2 y

y

dva

dt= = 0 m/s2 z

z

dva

dt= = -9.81 m/s2

a = -9.81 m/s2 d) trajanje padanja bombe t∆ odreñuje se iz z = 0

3000.0

0.5 9.81t∆ =

⋅= 24.7 s

e) vrijeme pada jednako je trajanju padanja 300.0 24.7Px = ⋅ = 7419.2 m

30.0 24.7Py = ⋅ = 741.9 m f) brzina bombe u t = 0 90900.0v = = 3015 m/s g) brzina bombe u t = 24.7 s

290900.0 96.24 24.7v = + ⋅ = 386.8 m/s

3.3.3 Kinematika krivocrtne translacije u CKS-u

Cilindrični koordinatni sistem (CKS), slika 3.3.3-1, sastoji se od polarne ravnine 1π , poluravnine omeñene s osi z,

koja je okomita na 1π , te osi R koja je presječnica poluravnine i polarne ravnine. Poluravnina rotira oko osi z – njen je položaj odreñen kutom ϕ . Pozitivni smjerovi

odreñeni su jediničnim vektorima Re�

, eϕ�

i ze�

koji su

meñusobno okomiti. Zakon gibanja je:

zR ezr�� += eR (3.3.3-1)

i u parametarskom obliku: ( )tRR = , ( )tzz = , ( )tϕϕ = (3.3.3-2)

Slika 3.3.3-1 Zakon gibanja u CKS-u

Za izvod izraza za brzinu i ubrzanje treba odrediti promjene jediničnih vektora ϕeeR

�� i koje nastaju

zbog promjene kuta ( )tϕϕ = . Izvodi se temelje na prikazu na slici 3.3.3-2. Apsolutna veličina promjene jediničnog vektora Re

� je:

ϕdeed RR �� = (a)

Kako je 1=Re�

a pravac Rde�

je paralelan s pravcem vektora

eφ�

i smjerovi su im isti vrijedi:

ϕϕ eded R

�� = (3.3.3-3)

Slično apsolutna veličina promjene jediničnog vektora Re�

je:

ϕϕϕ deed �� = (b)

Kako je 1=ϕe�

a pravac deφ�

je paralelan s pravcem vektora

Re�

a smjerovi su im suprotni može se napisati:

Slika 3.3.3-2 Promjene jediničnih vektora u CKS-u


MEH-POD-01.doc

Reded��

ϕϕ −= (3.3.3-4)

Promjena jediničnog vektora ze�

je jednaka nuli:

0zde

dt=

�

(3.3.3-5)

jer se kod ovog jediničnog vektora ne mijenja niti pravac niti smjer. Brzina se, po definiciji – izraz (1.3.1-5), odreñuje kao derivacija zakona gibanja po vremenu:

dt

rdv

�� = (c)


( )dt

edze

dt

dz

dt

edRe

dt

dRez

dt

dv z

zR

RzR

��

�� +++=+= eR (3.3.3-6

Uzevši u obzir promjenu jediničnih vektora Re�

, izraz (3.3.3-3), i ze�

, izraz (3.3.3-5) te izraze (3.3.3-2) definiraju se tri komponente brzine u CKS-u:

dt

dRvR = ,

dt

dRvc

ϕ= , dt

dzvz = (3.3.3-7)

Brzina u CKS-u ima tri meñusobno okomite komponente, Rv�

- radijalnu, Cv�

– cirkularnu i zv�

– aksijalnu, kako je pokazano na slici 3.3.3-3. Veličina brzine, vektor brzine i kosinusi smjera definiraju se donjim izrazima:

222zcR vvvv ++= (3.3.3-8)

zzcRR evevevv�� ++= ϕ (3.3.3-9)

cos RR

v

vα = , cos C

C

v

vα = ,

v

vzz =αcos (3.3.3-10)

Slika 3.3.3-3 Komponente brzine u CKS-u

Slika 3.3.3-4 Komponente ubrzanja u CKS-u

Ubrzanje se, po definiciji – izraz (1.3.1-7), odreñuje kao derivacija brzine po vremenu:

dt

vda

�� = (c)


++= zR edt

dze

dt

dRe

dt

dR

dt

da

��ϕ

ϕ (d)

dt

ed

dt

dze

dt

zd

dt

ed

dt

dRe

dt

dRe

dt

d

dt

dR

dt

ed

dt

dRe

dt

Rda z

zR

R

��

��

�� ++++++=

2

2

2

2

2

2ϕ

ϕϕϕϕϕ

(e)

Uzevši u obzir promjene jediničnih vektora ϕeeR

�� i ,, slika 3.3.3-2, i izraz (3.3.3-5) dobije se:

zR edt

zde

dt

d

dt

dR

dt

dRe

dt

dR

dt

Rda

��

2

2

2

22

2

2

2 +

++

−= ϕϕϕϕ

(3.3.3-11)


MEH-POD-01.doc

Ubrzanje u CKS-u ima tri meñusobno okomite komponente, Ra�

- radijalnu, Ca�

– cirkularnu i za�

– aksijalnu, kako je pokazano na slici 3.3.3-4.

2

2

2

−=dt

dR

dt

RdaR

ϕ (3.3.3-12)

dt

d

dt

dR

dt

dRac

ϕϕ2

2

2

+= (3.3.3-13)

2

2z

d za

dt= (3.3.3-15)

Veličina ubrzanja, vektor ubrzanja i kosinusi smjera definiraju se donjim izrazima: 222zcR aaaa ++= (3.3.3-16)

R R C z za a e a e a eϕ= + +� � � � (3.3.3-17)

cos RR

a

aβ = , cos C

C

a

aβ = , cos z

z

a

aβ = (3.3.3-18)

U teoriji složenog gibanja točke gibanje u poluravnini naziva se relativno gibanje a rotacija poluravnine oko osi z je prenosno gibanje. U ovom slučaju se drugi član cirkularne komponente ubrzanja naziva Coriolisovo ubrzanje:

2COR

dR da

dt dt

ϕ= (3.3.3-19)

Primjer 3.3.3-1 Leteći po zamišljenoj cilindričnoj zavojnici, radijusa 10 km, avion se popne od visine 1000 m na visinu 10000 m za vrijeme od 100 sekundi. Tijekom penjanja apsolutna brzina aviona bila je konstantna i iznosila je 628 m/s. Promatrajući gibanje aviona u cilindričnom koordinatnom sistemu odrediti:

a) vZ aksijalnu komponentu brzine aviona, b) vC cirkularnu komponentu brzine aviona, c) N broj krugova odnosno broj obletanja cilindra.

Rješavanje: Gibanje je prikazano na slici 3.3.3-5. Kako je R = konst radijalna komponenta brzine je jednaka nuli:

0Rv = a) Aksijalna brzina je konstantna jer je i ukupna brzina konstantna:

9000

100zv = = 90 m/s

b) Cirkularna komponenta brzine odreñuje se iz: 222zcR vvvv ++= = 628.0

koristeći prije odreñene vrijednosti za radijalnu i aksijalnu komponentu brzine:

2 2628 90cv = − = 621.5 m/s c) Broj obletanja cilindra se nañe pomoću cirkularne komponente brzine:

dt

dRvc

ϕ= Slika 3.3.3-5

Iz gornjeg izraza se nañe: cvd dt

Rϕ =

i nakon integriranja: cvt

Rϕ =

Uvrstivši zadane i izračunate vrijednosti u gornji izraz dobije se kut ϕ = 6.215. Broj obletanja cilindra N jednak je:

2N

ϕπ

= = 0.99


MEH-POD-01.doc

3.3.4 Kinematika krivocrtne translacije u PKS-u

Koordinatne osi prirodnog koordinatnog sistema (PKS), slika 3.3.4-1, su tangenta i normala na putanju. Točka, čije se gibanje promatra, nalazi se u presjecištu koordinatnih osi koje su ureñene jediničnim vektorima te

� i ne�

. Zakon gibanja se u PKS-u definira kao put s preñen po putanji u zavisnosti o vremenu:

( )tss = (3.3.4-1) ali vrijedi i zakon gibanja, izraz (1.2.3-1, kojim se gibanje definira pomoću radijvektora r

�.

Slika 3.3.4-1 Prirodni koordinatni sistem

Brzina se odreñuje pomoću izraza (1.3.1-3):

t

rv

t ∆∆=

→∆

��

lim0

(1.3.1-3)

Prema prikazu na slici 1.3.1-1 vrijedi: r s∆ ≈ ∆�

Uvede li se jedinični vektor tangente te�

može se napisati:

tesr��

∆≈∆ (a)

Uvrštenjem (a) u (1.3.1-3) dobije se:

lim0

sv ett t

∆=∆ → ∆

� � (b)

Realizacijom limesa se dobije:

tevv��

= (3.3.4-1) Vektor brzine prikazan je na slici 3.3.4-1 – leži u tangenti na putanju. Apsolutna vrijednost brzine definirana je donjim izrazom:

dt

dsvv == � (3.3.4-2)

kao derivacija zakona gibanja, izraz (3.3.4-1), po vremenu. Ubrzanje se uvijek odreñuje, izraz (1.3.1-7), kao derivacija brzine po vremenu:

dt

vda

�� = (c)

Primijeni li se izraz (c) na izraz (3.3.4-1) dobije se:

( )dt

edve

dt

dvev

dt

da t

tt

�� +== (c)

Ubrzanje u PKS-u ima dvije komponente. Prva leži u pravcu tangente i naziva se tangencijalna komponenta i definira se donjim izrazom:

2

2

dt

sd

dt

dvat == (3.3.4-3)

Tangencijalna komponenta ubrzanja postoji radi promjene veličine brzine u vremenu. Za definiranje druge komponente ubrzanja treba odrediti promjenu jediničnog vektora tangente u vremenu. Prema prikazu na slici 3.3.4-2 definira se:

ST1 - radijus zakrivljenosti putanje R,

21TT - diferencijalna duljina putanje ds. Iz sličnosti trokuta, slika 3.3.4-2, slijedi:

t

t

e

ed

R

ds�

�

= (d)

Uzevši u obzir da je apsolutna vrijednost vektora te�

jedan i

da je pravac prirasta tde�

paralelan s pravcem vektora ne�

a smjer isti kao i smjer tog vektora može se napisati:

nt eR

dsed

�� = (e) Slika 3.3.4-2 Promjena jediničnog vektora te

�


MEH-POD-01.doc

Drugi član izraza (c) uz uvažavanje izraza (3.3.4-2) postaje:

nnt e

R

ve

Rdt

dsv

dt

edv

�� 2

== (e)

Sada se može definirati normalna komponenta na�

:

n n na a e=� � (3.3.4-4)

Veličina normalne komponente je:

R

van

2

= (3.3.4-5)

Vektor ubrzanja definira se donjim izrazom:

nntt eaeaa�� += (3.3.4-6)

i prikazan je na slici 3.3.4-2. Kako su komponente ubrzanja meñusobno okomite rezultantno ubrzanje se odreñuje po Pitagorinu poučku.

22nt aaa += (3.3.4-7)

Kut izmeñu normalne komponente i ukupnog ubrzanje definira se donjim izrazom:

t

n

atg

aβ = (3.3.4-8)

Slika 3.3.4-3 Komponente ubrzanja u PKS-u

Treba istaknuti: 0≠→= akonstv

��

Postoji normalna komponenta ubrzanja. PKS je dobio ime jer u stvarnosti ako želimo povećati brzinu moramo tangencijalno djelovati silom na česticu. Da bi se ona gibala po zakrivljenoj putanji, makar i brzinom konstantne veličine, treba je gurati nekom silom prema središtu zakrivljenosti putanje. Naime čestica bi se radi svoje inercije gibala po pravcu i promjeni se odupire inercionom silom koja je tjera od centra zakrivljenosti putanje. Ovu silu lako je objasniti D'Alembertovim principom. Uobičajeni naziv ove sile je centrifugalna sila.

3.3.5 Odreñivanje sile

Sila se odreñuje po drugom Newtonovom zakonu. Kod opisa gibanja u PKS normalna sila obično potječe od okoline u kojoj se čestica giba kao reakcija veze.

3.3.6 Odreñivanje gibanja

Daje se jednostavni primjer: kosi hitac u polju konstantne gravitacije i bez otpora, slika 3.3.6-1. Os y je u pravcu vertikale. Komponente sila i ubrzanja su:

00 =→== xxx aamF

gaamgmF yyy −=→=−=

Postupak odreñivanja zakona gibanja daje se u sljedećem tekstu. Kako je komponenta rezultantne sile i ubrzanja po osi x jednaka nuli može se napisati:

Slika 3.3.6-1 Kosi hitac, početni uvjeti i sile

0xx

dva

dt= =

0xdv = Nakon integracije se dobije:

xx cv ,1=

Iz početnih uvjeta se odreñuje: αα coscos0 0,10 vcvvt xx =→=→=

αcos0vvx = (a)


MEH-POD-01.doc

Koristeći definiciju brzine:

x

dxv

dt=

dobije se uz uvrštenje izraza (a): cosx odx v dt v dtα= =

i nakon integracije:

xctvx ,20 cos += α

Iz početnih uvjeta se odreñuje: 000 ,2 =→=→= xcxt

αcos 0tvx = (b)

Za stanje po osi y može se napisati

yy

dva g

dt= = −

ydv g dt= −

Nakon integracije se dobije:

yy ctgv ,1 +−=

Iz početnih uvjeta se odreñuje: αα sinsin0 0,10 vcvvt yy =→=→=

αsin 0vtgv y +−= (c)

Koristeći definiciju brzine:

y

dyv

dt=

dobije se uz uvrštenje izraza (c): ( )0 sindy g t v dtα= − +

i nakon integracije:

yctvt

gy ,20

2

sin 2

++−= α

Iz početnih uvjeta se odreñuje: 000 ,2 =→=→= ycyt

αsin 2 0

2

tvt

gy +−= (d)

Eliminacijom t iz izraza (b) i (d) dobije se jednadžba putanje:

αα

tgxxg

y cos2v

22

0

2

+−= (e)

Najveća visina postiže se kada je 0yv = :

g

vH

2

sin220 α

= (f)

Domet nad horizontalnom podlogom odreñuje se iz uvjeta 0y = :

g

vD

α2sin20=

Slika 3.3.6-1 Kosi hitac, putanja iznad osi x


MEH-POD-01.doc

3.3.7 Primjena D'Alembertova principa

Primjena D'Alembertova principa pokazat će se na primjerima

Primjer 3.3.7-1

Odrediti ubrzanje amax kod kojeg dolazi do prevrtanja automobila pretpostavljajući da je koeficijent trenja izmeñu podloge i kotača dovoljno velik. Težište automobila, slika 3.3.7-1a, nalazi se u točki C. Razmotriti slučajeve polaska automobila s pogonom na prednje i zadnje kotače. Zadano: µ, h, b i c.

Rješavanje: Pogon na zadnje kotače Mehanički model definiran je na slici 3.3.7-1b za stanje neposredno nakon što prednji kotači izgube kontakt s podlogom odnosno u trenutku kada automobil započinje rotirati oko točke A. Postavlja se uvjet kinetostatičke ravnoteže:

max 0AM h ma b mg= − = iz kojeg se odreñuje:

max

ba g

h=

Proces je progresivan jer krak inercijske sile raste dok se krak težine smanjuje. Da nebi došlo do prevrtanja automobila treba biti ispunjeno:

max

ba g

h≤

Slika 3.3.7-1a

Slika 3.3.7-1b

Slika 3.3.7-1c

Pogon na prednje kotače Mehanički model definiran je na slici 3.3.7-1c za stanje neposredno prije što prednji kotači izgube kontakt s podlogom. Postavlja se uvjet kinetostatičke ravnoteže:

( ) 0A BM h ma b mg b c R= − + + =

Ü trenutku neposredno nakon što prednji kotači izgube kontakt s podlogom reakcija u B postaje jednaka nuli a ubrzanje poprimi najveću vrijednost pak se iz gornjeg izraza odreñuje:

max

ba g

h=

Proces je ponavljajući jer nakon što prednji (pogonski) kotači izgube kontakt s podlogom ubrzanje se smanji i prednji kotači opet doñu u kontakt s podlogom..

Primjer 3.3.7-2 Analizirati gibanje automobila u zavoju radijusa zakrivljenosti R = 100.0 m. Varirati kut nagiba ceste prema horizontali i koeficijent trenja. Za kombinacije koeficijenta trenja µ1 = 0.0 i µ2 = 0.6 te kutove nagiba ceste α1 = 0.00, α2 = 10.00 i α3 = 20.00 izračunati brzine v kojima automobil može svladati zavoj.

Rješavanje: Na slici 3.3.7-2a prikazana je putanja automobila u tlocrtu odnosno u horizontalnoj ravnini. Presjek putanje s vertikalnom ravninom, koji je kosina nagnuta prema horizontali za kut α , prikazan je na slici 3.3.7-2a na kojoj je i definiran mehanički model. Kako je uvedena inercijska sila mogu se postaviti uvjeti kinetostatičke ravnoteže:

0 cos sin 0x nR ma T mgα α= → − − = (1)

0 sin cos 0y nR N ma mgα α= → − − = (2)


MEH-POD-01.doc

Slika 3.3.7-2a

Slika 3.3.7-2b

Sila trenja i normalno ubrzanje definiraju se izrazima: 2

n

vT N a

Rµ= =

Uvrštenjem gornjih izraza u izraze (1) i (2) dobije se izraz za brzinu:

cos sin

cos sinv Rg

µ α αα µ α

+=−

pomoću kojeg su izračunate vrijednosti brzina za zadane kombinacije vrijednosti koeficijenta trenja i nagiba kosine: µ1 = 0.0, α1 = 0.00, v = 0 m/s,

µ1 = 0.0, α2 = 10.00, v = 13.14 m/s, µ1 = 0.0, α3 = 20.00, v = 18.88 m/s, µ2 = 0.6, α1 = 0.00, v = 24.24 m/s, µ2 = 0.6, α1 = 10.00, v = 29.16 m/s, µ2 = 0.6, α1 = 10.00, v = 34.74 m/s;


MEH-POD-01.doc

3.4 OPĆI ZAKONI KINETIKE PRI TRANSLACIJI

3.4.1 Kineti čke značajke gibanja

U kinetičkom pristupu rješavanja problema gibanja potrebno je i korisno razmotriti i definirati neka važna svojstva objekta gibanja. Rezultantna sila uzrokuje gibanje dajući objektima gibanja ubrzanje i brzinu. Odreñenjem zakona gibanja može se definirati položaj objekta gibanja, brzina i ubrzanje u svakom trenutku odnosno u svakom položaju. Pritom je važno koliki je umnožak brzine i mase objekta gibanja a taj umnožak je povezan s načinom i trajanjem djelovanja rezultantne sile. Nadalje je interesantna polovina umnoška mase i kvadrata brzine koji umnožak je u vezi s mehaničkim radom. Količina izvršenog mehaničkog rada u nekom vremenu još je jedno vrlo interesantno svojstvo objekta gibanja koje povezuje gibanje s njegovim ekonomskim aspektima. U tekstu koji slijedi definirat će se količina gibanja, impuls sile, kinetička i potencijalna energija te mehanički rad i snaga. Radi razvijanja teorije potražit će se veza izmeñu statičkog momenta sile i momenta količine gibanja.

3.4.2 Zakon koli čine gibanja

Količina gibanja čestice mase m koja se giba brzinom v�

je vektorska veličina definirana izrazom.

vmK��

= (3.4.2-1) Pravac i smjer vektora količine gibanja isti su kao pravac i smjer vektora brzine – slika 3.4.2-1. Derivacijom količine gibanja po vremenu dobije se:

( )d mvdK dm dv

v mdt dt dt dt

= = +� � �

� (a)

Kako je masa konstantna a derivacija brzine po vremenu je ubrzanje može se napisati: dK dv

m ma Fdt dt

= = =� �

�� (c)

Izraz (c) govori da je promjena količine gibanja u vremenu jednaka rezultantnoj sili što tvrdi i drugi Newtonov aksiom. Ako se kombiniraju izrazi (a) i (b) može se napisati izraz: dK Fdt=

� � (3.4.2-2)

koji predstavlja zakon količine gibanja u diferencijalnom obliku: Diferencijalna promjena količine gibanja jednaka je elementarnom impulsu rezultantne sile. Elementarni impuls:

dtFId��

= (3.4.2-3) definiran je na slici 3.4.2-2 i može se shvatiti kao količina sile koja je djelovala na česticu u vremenskom intervalu dt.

Slika 3.4.2-1 Količina gibanja K

�

Slika 3.4.2-2 Elementarni impuls sile Id

�

Ukupni impuls sile je vektorska veličina pravca i smjera rezultantne sile a odreñuje se izrazom:

2

1

12

t

t

I Fdt= ∫� �

(3.4.2-4)

Integriranjem izraza (3.4.2-2) dobije se: 2

1

2 1

2 1 12

t

t

K K Fdt

mv mv I

− =

− =

∫� � �

��

(3.4.2-5)

Izrazi (3.4.2-5) predstavljaju zakon količina gibanja koji glasi: Promjena količine gibanja jednaka je ukupnom impulsu rezultantne sila.


MEH-POD-01.doc

Gibanje se promatra izmeñu položaja 1, u kojem se čestica nalazila u trenutku t1, i položaja 2 u kojem se čestica nalazila u trenutku t2. Pri tom su važne brzine u položajima 1 i 2 (brzine izmeñu tih položaja se ne razmatraju) i ukupni impuls rezultantne sile. Ako je rezultantna sila jednaka nuli dobiju se iz izraza (3.4.2-5) izrazi (3.4.2-6):

2 1

2 1

0K K

mv mv

− ==

� �

� � (3.4.2-6)

koji definiraju zakon održanja količine gibanja: - u bilo koja dva položaja ili trenutka vektori brzine su isti što može biti ispunjeno ako je putanja pravac, - veličina brzine je konstantna. Dakle zakon održanja količine gibanja se može izreći riječima prvog osnovnog zakona gibanja: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu dok neka sila, koja djeluje na njega, ne promijeni to stanje.

Primjer 3.4.2-1 Dva automobila sudare se pri brzinama v1 = 20 m/s i v2 = -20 m/s. Sudar je centralni plastični sudar – nakon sudara automobili se gibaju kao jedno tijelo. Mase automobila su m1 = 1500 kg i m2 = 750 kg. Odrediti brzinu nakon sudara i analizirati vrijednosti sile koja se pojavljuje pri ovom sudaru.

Rješavanje: Situacija prije sudara prikazana je na slici 3.4.2-3a a nakon sudara na slici 3.4.2-3b.

Slika 3.4.2-3a

Slika 3.4.2-3b

Kako nije bilo vanjskog impulsa vrijedi zakon održanja količine gibanja:

2 1K K=� �

Količina gibanja prije sudara bila je: 1 1 1 2 2K m v m v= + a poslije sudara:

( )2 1 2K m m u= +

Brzina nakon sudara je:

1 1 2 2

1 2

m v m vu

m m

+=+

Uvrštenjem zadanih vrijednosti u gornji izraz dobije se: u = 8.87 m/s u smjeru brzine 1v�

. Tijekom sudara automobili djeluju jedan na drugog unutrašnjim impulsima iste veličine ali suprotnog smjera. Veličina unutrašnjih impulsa računa se po izrazu (3.4.2-5): 21 1 1 1I m v m u= − Uvrštenjem brojnih vrijednosti dobije se:

21I = 20002.5 kg m/s Pretpostavivši da je sila pri ovom impulsu bila konstantne veličine pomoću izraza (3.4.2-4) odreñuje se veličina sile:

2121

20002.5IF

t t= =

∆ ∆

Trajanje impulsa mjeri se u dijelićima sekunde pak je veličina sile: t∆ = 0.1 s 21F = 2x105 kg m/s,

t∆ = 0.01 s 21F = 2x106 kg m/s,

t∆ = 0.001 s 21F = 2x107 kg m/s.

3.4.3 Zakon kineti čke energije

Kinetička energija čestice mase m koja se giba brzinom v jednaka je polovini umnoška mase m i kvadrata brzine v. Kinetička energija definira se izrazom:

2

2

1mvEk = (3.4.3-1)


MEH-POD-01.doc

Elementarni mehanički rad dW jednak je skalarnom produktu sile i diferencijalnog pomaka objekta gibanja: Elementarni mehanički rad definira se slikom 3.4.3-1 i izrazima:

cos

dW F ds

dW F dsα= ⋅=

� �

(3.4.3-2)

Slika 3.4.3-1 Definicija elementarnog mehaničkog rada

Slika 3.4.3-2 Skica za definiciju zakona kinetičke energije

Kinetičku energiju i mehanički rad povezuje zakon kinetičke energije čiji se Izvod daje u tekstu koji slijedi.

dt

vdmF�

�= (a)

Diferencijalni pomak je: dtvsd �� = (b)

Pomnoživši izraze (a) i (b) dobije se: F ds mv dv⋅ = ⋅� � � �

(c) Lijeva strana izraza (c) je prije definirani elementarni mehanički rad ili, matematički rečeno, totalni diferencijal mehaničkog rada. Desna strana izraza (c) može se interpretirati kao:

21

2mvdv d mv

=

� � (d)

što je, uzevši u obzir izraz (3.4.3-1) totalni diferencijal kinetičke energije pak se može napisati: dWdEk = (e)

Integriranjem izraza (e) dobiju se izrazi:

2

1

2 1 12

2 22 1

1 1

2 2

k k

s

s

E E W

mv mv F ds

− =

− = ⋅∫� � (3.4.3-3)

koji predstavljaju zakon kinetičke energije: Promjena kinetičke energije objekta gibanja izmeñu dva položaja jednaka je mehaničkom radu svih sila koje su djelovale na objekt gibanja na putu izmeñu tih položaja. Boljem razumijevanju zakona kinetičke energije pridonosi slika 3.4.3-2 nakojoj su sile koje vrše mehanički rad predstavljene rezultantnom silom F

�.

Primjenom zakona kinetičke energije izbjegava se, ponekad vrlo teško, rješavanje drugog zadatka a općenito se s manje truda može naći promjena brzine objekta gibanja ako je poznat mehanički rad ili mehanički rad ako je poznata promjena brzine objekta gibanja. Treba istaknuti da je kinetička energija uvijek pozitivna dok mehanički rad može biti i pozitivan i negativan. Mehanički rad je pozitivan ako se poklapaju smjerovi sile i pomaka a negativan je kada su smjerovi sile i pomaka suprotni. U prvom slučaju se kaže da sila daje mehanički rad a u drugom slučaju se mehanički rad troši. Jedinica mjere kinetičke energije odnosno mehaničkog rada je Nm ili J. Ako se razmatra sustav čestica u obzir se uzima kinetička energija svih čestica i rad svih sila:

,2

,1

2

1

121

1

2

i

i

n

k i ii

sn

i ii s

E m v

W F ds

=

=

=

= ⋅

∑

∑ ∫� �

(3.4.3-4)

Vrlo često nas osim količine mehaničkog rada interesira vremenski interval u kojem se taj mehanički rad može obaviti. U tom smislu se definira snaga P:


MEH-POD-01.doc

dWP

dt= (3.4.3-5)

kao derivacija mehaničkog rada po vremenu. Pomoću prvog od izraza (3.4.3-2) i definicije brzine dobije se:

F dsP

dt

⋅=� �

(3.4.3-6)

odnosno: P F v= ⋅� �

(3.4.3-7) Dakle snaga P je jednaka umnošku sile i brzine.Ukoliko se pravac rezultantne sile ne poklapa s pravcem brzine onda se računa s komponentom rezultantne sile koja je kolinearna s pravcem brzine:

vFP v= (3.4.3-8)

Mjerna jedinica snage je wat odnosno Nm/s.

Primjer 3.4.3-1 Top izbacuje granatu mase m = 20 kg čija je brzina na ustima cijevi v = 600 m/s. Ako je put granate u cijevi topa s = 2 m odrediti snagu topa na ustima cijevi.

Rješavanje: Polazi se od zakona kinetičke energije:

2 1 12k kE E W− = (1) Kinetičke energije su:

2

2 1 02k k

mvE E= = (2)

Sila barutnih plinova, koja djeluje na granatu neka je konstantna pak je njen mehanički rad: 12 W F s= (3) Uvrstivši izraze (2) i (3) u (1) odreñuje se sila:

2

2

mvF

s= (4)

Pomoću izraza (3.4.3-7) dobije se izraz koji odreñuje snagu topa na ustima cijevi:

3

2

mvP

s=

Za zadane vrijednosti se dobije:

320 600

2 2P

⋅=⋅

= 1080x106 W = 1080 MW

3.4.4 Zakon održanja mehani čke energije

U idealnim sredinama, gdje nema trenja, može se definirati potencijalna energija kao sposobnost vršenja mehaničkog rada. Tako su na lijevoj skici slike 3.4.4-1, koja vrijedi za polje sile teže, ucrtani nivoi 1 i 2, razmaknuti po pravcu vertikale za h, za koje su potencijalne energije 1pE i 2pE :

1 20, p pE E mgh= = (3.4.4-1)

Slika 3.4.4-1 Skice za definicije potencijalne energije za polje sile teže i cilindričnu oprugu Na desnoj skici slike 3.4.4-1, koja vrijedi za cilindričnu oprugu, takoñer su ucrtani nivoi 1 i 2, razmaknuti po dužini cilindrične opruge za duljinu x. Za ove nivoe definiraju se potencijalne energije 1pE i 2pE :


MEH-POD-01.doc

21 2

10,

2p pE E c x= = (3.4.4-2)

∫ =→=x

xcWdxxcW0

21212

2

1 (3.4.4-3)

U takvim sredinama je zbroj kinetičke i potencijalne energije, koje se nazivaju mehanička energija, konstantan. Izvod se daje na slici 3.4.4-2 za polje sile teže.

Slika 3.4.4-2 Skica za izvod zakona održanja mehaničke energije

Neka čestica mase m na nivou 1 ima brzinu 1 0v = i nakon gibanja,

pod djelovanjem sile teže, na nivou 2 ima brzinu 2 0v ≠ . Kinetičke energije su:

21 2 2

10

2k kE E mv= = (a)

Radi primjene zakona kinetičke energije:

2 1 12k kE E W− = (b) odreñuje se rad sile teže od nivoa 1 do nivoa 2:

12 W mg h= (c) Uvrštenjem (a) i (c) u (b) dobije se:

22

1

2mv mg h= (d)

Zakon održanja mehaničke glasi Zbroj kinetičke i potencijalne energije na nivou 1 jednak je zbroju kinetičke i potencijalne energije na nivou 2: 1 1 2 2k p k pE E E E+ = + (3.4.4-4)

Uvrštenjem izraza (3.4.4-1) i (a) u izraz (3.4.4-4) dobije se:

22

10 0

2mv mg h+ = + (e)

Jednakost Izraza (d) i (e) dokazuje valjanost zakona održanja mehaničke energije. U dokazivanju zakona održanja mehaničke energije nivoi 1 i 2 mogu biti bilo koji nivoi u polju sile teže pak se često razmatrani zakon izriče u obliku:

konstEE kp =+ (3.4.4-4)

Takoñer putanja čestice može biti bilo koja putanja s kojom se može doći iz nivoa 1 na nivo 2.

3.4.5 Zakon momenata

Kinetički moment ili moment količine gibanja, slika 3.4.5-1, definira se donjim izrazima: KOM r K= ×� ��

(3.4.5-1) KOM r mv= ×� � �

(3.4.5-2) Derivacija kinetičkog momenta za točku O po vremenu važna je za razvijanje teorije:

( )KOdM d

r mvdt dt

= ×�

� � (a)

KOdM dr dv

mv r mdt dt dt

= × + ×� � �

� � (b)

Prvi član u izrazu (b) jednak je nuli:

0=×=× vmvvmdt

rd ��

(c)

jer je vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora jednak nuli. Drugi član istog izraza daje statički moment rezultantne sile za točku O:

Framrdt

vdmr

��

� ×=×=× (d)

Slika 3.4.5-1 Skica za definiciju kinetičkog momenta

Uvrštenjem izraza (c) i (d) u (a) dobije se:


MEH-POD-01.doc

KOdM

r madt

= ×�

� � (3.4.5-3)

Kako je FOr ma M× =��

može se napisati: K

FOO

dMM

dt=

��

(3.4.5-4)

Gornji izraz predstavlja zakon momenata koji kaže: Derivacija kinetičkog momenta za točku O po vremenu jednaka je statičkom momentu rezultantne sile za istu točku. Ako je:

0FOM =�

(e) to znači da je suma momenata svih sila za točku O jednaka nuli. Uvrsti li se (e) u izraz (3.4.5-4) dobije se:

0KOdM =�

(f) i nakon integriranja:

KOM konst=�

(3.4.5-5) Izraz (3.4.5-5) predstavlja zakon održanja kinetičkog momenta koji glasi: Ako je suma statičkih momenata sila, koje djeluju na kruto tijelo, za točku O jednaka nuli kinetički moment tijela za tu točku ostaje konstantan.

3.5 DINAMIKA/KINETIKA SISTEMA ČESTICA


MEH-POD-01.doc

3.6 ROTACIJA OKO NEPOMI ČNE OSI

Rotacija krutog tijela oko nepomične osi se definira: Ako sve točke krutog tijela opisuju kružnice čija su središta na nepomičnom pravcu onda to kruto tijelo izvodi rotaciju oko nepomične osi. Nepomični pravac na kojem se nalaze središta svih kružnica naziva se os rotacije. Za definiranje ovog gibanja potrebna su dva koordinatna sistema, slika 3.6.1-1, od kojih je ξης nepomičan a xyz je vezan za kruto tijelo i rotira s njime. Os rotacije je os ς odnosno os z i ona obično prolazi kroz tijelo ali može biti i van tijela. Ako je R udaljenost neke točke krutog tijela od osi rotacije onda je R radijus kružnice po kojoj se ta točka giba. Za odreñivanje položaja tijela važan je kut φ, kojeg opisuje radijus R od nekog početnog položaja φ = 0 ili os x u odnosu na os ξ.

3.6.1 Sistem sila i zakon gibanja

Stanje sila pokazano je na slici 3.6.1-1. Na kruto tijelo djeluje sistem sila niFi ,...,3,2,1 , =�

; n je

po volji veliki ali konačan prirodni broj. Ovaj sistem sila treba zadovoljavati sljedeće uvjete:

0, 0, 0

0, 0

x y z

F Fx y

R R R

M M

= = =

= = (3.6.1-1)

0 FzM ≠ (3.6.1-2)

Gornji uvjeti znače da kruto tijelo može vršiti samo jednu elementarnu rotaciju. Zakon gibanja u vektorskom obliku je.

( )r r t=� � (a)

ali je: r konst=� (b)

( )tϕ ϕ= (3.6.1-3)

Izraz (3.6.1-3) je zakon gibanja za rotaciju krutog tijela oko nepomične osi.

Slika 3.6.1-1 Rotacija krutog tijela oko nepomične osi

3.6.2 Kinematika kružnog gibanja čestice

Promatra se gibanje jedne, bilo koje, čestice krutog tijela po kružnici radijusa R. Brzina i ubrzanje odredit će se na tri načina: - promatrajući gibanje u polarnoj ravnini CKS-a, - u prirodnom koordinatnom sistemu, - pomoću vektora kutne brzine i kutnog ubrzanja. Brzina i ubrzanje u polarnoj ravnini U 3.3.3 je dan kompletan izvod izraza za brzinu i ubrzanje čestice u CKS-u. Kako se pojedine čestice krutog tijela, u razmatranom gibanju, gibaju u ravninama okomitim na os rotacije, koje su meñusobno paralelne, koristit će se spomenuta teorija uz uvjete:

( )0

R konst

z

tϕ ϕ

=

==

�

(a)

Gornji uvjeti znače da su sve točke krutog tijela, slika 3.6.1-1, projicirane u ravninu Oξ η . Ako se osi i xξ sa slike 3.6.1-1 izjednače s osima 0 i Rϕ = na slici 3.3.3-1 uz z=0 čestica se giba u polarnoj ravnini koja je prikazana na slici 3.6.2-1. Odgovarajući izraz za brzinu je:

ϕϕ

edt

dRvv c

�� == (3.6.2-1)

Ubrzanje ima dvije komponente: radijalnu i cirkularnu, slika 3.6.2-1:

R ca a a= +� � � (3.6.2-2)

koje su definirane donjim izrazima:


MEH-POD-01.doc

2 2

2, R R c

d da R e a R e

dt dtφ

φ φ = − =

� � � � (3.6.2-3)

Veličina ukupnog (rezultantnog) ubrzanja i kut kojeg pravac ukupnog ubrzanja zatvara s osi R definirani su donjim izrazima:

22cR aaa += (3.6.2-4)

R

c

a

atg =β (3.6.2-5)

Slika 3.6.2-1 Brzina i ubrzanje u polarnoj ravnini

Brzina i ubrzanje u PKS-u Putanja čestice, brzina i ubrzanje u PKS-u prikazani su na slici 3.6.2-2. Brzina je u PKS-u definirana izrazom (3.3.4-1):

tedt

dsv

�� = (b)

kako vrijedi: ϕRs = (c)

za brzinu se dobije:

tedt

dRv

�� ϕ= (3.6.2-5)

Koristeći izraze (3.3.4-4) do (3.3.4-6) definira se ukupno ubrzanje:

nt aaa�� += (3.6.2-5)

tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja:

ttt edt

dRe

dt

dva

��

2

2ϕ== (3.6.2-6)

nnn edt

dRe

R

va

��22

== ϕ (3.6.2-7)

Veličina ukupnog (rezultantnog) ubrzanja i kut kojeg pravac ukupnog ubrzanja zatvara s osi R definirani su donjim izrazima:

22nt aaa += (3.6.2-8)

n

t

a

atg =β (3.6.2-9)

Slika 3.6.2-2 Brzina i ubrzanje u PKS


MEH-POD-01.doc

Kutna brzina i kutno ubrzanje Već je rečeno da kut kojeg radijus R zatvara s početnim položajem radijusa R odreñuje položaj krutog tijela oko nepomične osi i položaj bilo koje čestice na njenoj kružnici pak je zakonitost

( )tϕϕ = inaugurirana kao zakon gibanja. U prije izvedenim izrazima za brzinu i ubrzanje pojavljuju

se prve i druge derivacije zakonitosti ( )tϕϕ = po vremenu. Korisno je u razmatranje kružnog gibanja čestice, i bilo kojeg gibanja koje sadrži rotaciju, uvesti pojmove kutne brzine i kutnog ubrzanja. Kutna brzina je brzina promjene kuta u vremenu i mjeri se u radijanima/sekundi. Matematički se definira sljedećim izrazom:

dt

dϕω = (3.6.2-10)

Kutna brzina je vektorska veličina, slika 3.6.2-3, čiji vektor leži u osi rotacije, veličina je odreñena izrazom (3.6.2-10) a smjer se odreñuje po pravilu desne ruke. Promjena kutne brzine u vremenu je kutno ubrzanje: Kutno ubrzanje je promjena kutne brzine u vremenu i definira se kao prva derivacija kutne brzine po vremenu ili kao druga derivacija zakona gibanja po vremenu a mjeri se u radijanima u sekundi na kvadrat. Matematička definicija kutnog ubrzanja je:

2

2

dt

d

dt

d ϕωε == (3.6.2-11)

Kutno ubrzanje je vektorska veličina, slika 3.6.2-3, čiji vektor leži u osi rotacije, veličina je odreñena izrazom (3.6.2-11) a smjer se odreñuje po pravilu desne ruke. Temeljen izloženog definiraju na slici 3.6.2-3 vektorski brzina te tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja:

Rv�� ×= ω (3.6.2-12)

Rat

�� ×= ε (3.6.2-13)

( )Ran

�� ××= ωω (3.6.2-14)

Slika 3.6.2-3 Vektorski izražene brzina i ubrzanje Veličine brzine te tangencijalne i normalne komponente ubrzanja, apsolutne vrijednosti vektorskog produkta, daju sljedeći izrazi: v R ω= (3.6.2-15) ta R ε= (3.6.2-15)

2 na R ω= (3.6.2-15) Izraz (3.6.2-7) za normalnu komponentu ubrzanja u PKS-u daje istu veličinu normalnog ubrzanja kao i izraz (3.6.2-15). Ako se u (3.6.2-7) uvrsti (3.6.2-15) dobije se (3.6.2-15). Rješavanje prvog i drugog zadatka kružnog gibanja čestice prikazano je u tablici 3-6-2-1. Tablica 3.6.2-1 Rješavanje prvog i drugog zadatka Prvi zadatak Drugi zadatak

( )tϕϕ = 1 ∫ +=→= cdtdtd εωεω

dt

dϕω =

1 ∫ +=→= cdtdtd εωεω

↓

d

dt

ωε =

( )tε ε=

↑


MEH-POD-01.doc

Korisno je istaknuti analogiju u matematičkom rješavanja zadataka iz pravocrtnog i kružnog gibanja čestice koja je prikazana u tablici 3.6.2-2. Ova analogija uključuje i primjenu metode kinematičkih dijagrama u rješavanju prvog i drugog zadatka kinematike kružnog gibanja čestice. Tablica 3.6.2-2 Analogija pravocrtnog i kružnog gibanja čestice

Pravocrtno gibanje Kružno gibanje Zakon gibanja ( )x x t= ( )tϕϕ =

Brzina

dxv

dt=

dt

dϕω =

Ubrzanje

dva

dt=

d

dt

ωε =

3.6.3 Kinematika rotacije krutog tijela oko nepomi čne osi

Treba istaknuti da su kutna brzina i kutno ubrzanje jednaki za sve čestice krutog tijela što slijedi iz definicije krutog tijela. Polazeći od značajke krutog tijela da su razmaci bilo koje dvije čestice krutog tijela nepromjenjivi tijekom gibanja zaključuje se da je i raspored čestica nepromjenjiv. Slijedi da su kutovi rotacije radijusa svih čestica isti. Položaj bilo koje čestice krutog tijela, slika 3.6.3-1, odreñen je radijvektorom ( )r r t=� �

. Dokazat će se da vrijede za

brzinu i ubrzanje izrazi (3.6.2-12) do (3.6.2-14), izvedeni za kružno gibanje čestice, u kojima će se vektor R

� zamijeniti

s vektorom r�

: v rω= ×��

(3.6.3-1)

ta rε= ×�� (3.6.3-2)

( )na rω ω= × ×� ��

(3.6.3-3)

Slika 3.6.3-1 Brzine i ubrzanja pri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi

Valjanost izraza (3.6.3-1) do (3.6.3-3) za odreñivanje brzine i ubrzanja bilo koje čestice krutog tijela slijedi iz jednakosti:

r Rω ω× = ×��

(a)

r Rε ε× = ×��

(b) Prema definiciji vektorskog produkta u oba slučaja, izrazi (a) i (b), rezultantni vektori s lijeve i desne strane imaju isti pravac i smjer. Što se tiče veličine rezultantnih vektora može se napisati: sinr Rω α ω= (c) sinr Rε α ε= (d) Kako prema slici 3.6.3-1 vrijedi:

sinr Rα = (e) dokazana je polazna namjera. Zaključno treba reći da su brzine i ubrzanja svih čestica krutog tijela koje leže na pravcu paralelnom osi rotacije jednake po pravcu, veličini i smjeru. Dakle za rješavanje prvog i drugog zadatka kinematike rotacije krutog tijela oko nepomične osi može se koristiti teorija izložena za kinematiku kružnog gibanja čestice.

3.6.4 Kinetika rotacije krutog tijela oko nepomi čne osi

Uzročnik rotacije krutog tijela oko nepomične osi je spreg sila FzM�

. Osnovna jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične osi izvodi se primjenom D'Alembertovog principa. Na prikazu gibanja

na slici 3.6.4-1 ucrtan je spreg sila FzM�

, koji predstavlja djelovanje sistema sila niFi ,...,3,2,1 , =�

( n je po volji veliki ali konačan prirodni broj) i D’Alembertovih inercijalnih sila tdL�

i ndL�

koje djeluju na česticu krutog tijela mase dm koja je udaljena od osi rotacije za R. Uvjet kinetostatičke ravnoteže glasi:

0zM =∑ (a)


MEH-POD-01.doc

Moment za os z, koja je os rotacije, od dvije D'Alembertove inercijalne sile ima tangencijalna a nema normalna jer njen pravac djelovanja siječe os z. Realizacijom uvjeta kinetostatičke ravnoteže dobije se:

( ) 0F

z t

m

M R dL− =∫ (b)

Integral u izrazu (b) znači da su uzeti u obzir momenti tangencijalnih D'Alembertovih inercijalnih sila koje djeluju na sve čestice krutog tijela. Svaka od ovih sila definirana je izrazom:

t tdL dm a= −� �

(c) Veličina tangencijalnog ubrzanja je:

ta R ε= (d) Uzevši u obzir izraze (c) i (d) izraz (b) se transformira u:

( ) 0F

z

m

M R dm R ε− =∫ (e)

Kako je kutno ubrzanje isto za sve čestice krutog tijela ono se može izvući ispred integrala:

( )

2 0Fz

m

M R dmε− =∫ (f)

Integral u izrazu (f) je kinetički moment tromosti tijela za os z:

Slika 3.6.4-1 Skica za izvod osnovne jednadžbe rotacije

( )∫=m

z dmRJ 2 (3.6.4-1)

Sada se može napisati osnovna jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične osi: εz

Fz JM = (3.6.4-2)

Ovaj izraz treba usporediti s izrazom (1.3.2.2) koji ilustrira drugi osnovni zakon gibanja odnosno drugi Newtonov aksiom: F m a= a koji je osnovna jednažba translatornog gibanja. Oba izraza imaju na lijevoj strani uzročnika gibanja a na desnoj strani prvi članovi predstavljaju materijalnost objekta gibanja a drugi članovi ubrzanja. Postoji i matematička sličnost - iz oba izraza se može dobiti diferencijalna jednadžba pomoću koje se odreñuje brzina i zakon gibanja. Materijalnost objekta gibanja pri translaciji izražava se količinom mase dok kod rotacije treba uzeti u obzir količinu i raspored mase u odnosu na os rotacije. Materijalnost krutog tijela pri rotaciji karakterizira se kinetičkim momentom tromosti kako je definirano u izrazu (3.6.4-1). Na primjeru

Slika 3.6.4-2

kružnog vijenca pokazat će se računanje kinetičkog momenta tromosti za os kroz njegovo središte i okomitu na ravninu u kojoj leži - slika 3.6.4-2. Pretpostavlja se da su zadani radijusi R1 i R2 te masa m kružnog vijenca. Debljina kružnog vijenca nije bitna u predstojećem razmatranju. Na slici 3.6.4-3 definirana je čestica mase dm u obliku koji je pogodan za predstojeće računanje a i odgovara razmatranom gibanju. Neka vrijedi:

dm dAρ= U gornjem izrazu ρ je gustoća kružnog vijenca po m2 a dA je diferencijal površine A kružnog vijenca:

dA r d drα= Kinetički moment tromosti kružnog vijenca je:

( )

2

1

22 3

0

R

z

m R

J r r d dr d r drπ

ρ α ρ α= =∫ ∫ ∫

Rješenje gornjeg integrala je: 2

1

4 442 2 10

24 4

R

z

R

R RrJ

πα ρ π ρ−= =

Slika 3.6.4-3


MEH-POD-01.doc

Uzevši u obzir da je masa kružnog vijenca:

( )2 22 1 m A R Rρ π ρ= = −

može se napisati konačni izraz: 2 22 1

2z

R RJ m

+= (3.6.4-3)

Analiza izraza (3.6.4-3) daje : - kinetički moment tromosti odreñuje materijalnost krutog tijela pri rotaciji umnoškom mase i polovinom zbroja kvadrata radijusa R1 i R2, - veličina kinetičkog momenta tromosti za istu masu veća je ako su radijusi R1 i R2 veći, - ako je R1 = 0 kružni vijenac je postao kružna ploča čiji je kinetički moment tromosti:

22

2z

RJ m= (3.6.4-4)

- neka je R1 = R2 što znači da je ukupna masa m smještena na kružnici radijusa R2 tada je je kinetički moment tromosti: 2

2zJ mR= (3.6.4-5) Konačno se može reći da veličina kinetičkog momenta tromosti raste s udaljavanjem mase od osi rotacije. U nekim slučajevima se nastoji da kruto tijelo ima što manji kinetički moment tromosti jer se slabije opire spregu koji ga pokreće a u nekim slučajevima se teži što većem kinetičkom momentu tromosti kako bi tijelo imalo što veću kinetičku energiju. U proučavanju rotacije krutih tijela važan je moment količine gibanja koji se još naziva i kinetički moment. Kinetički moment će se definirati na osnovu prikaza na slici 3.6.4-4. Diferencijalni moment količine gibanja je:

( )Kzd M k R dmv= ×� � �

(g)

a ukupni se dobije integriranjem po masi tijela:

( ) ( )

K Kz z

m m

M k dM k R dmv= = ×∫ ∫� � � �

(h)

Podintegralna funkcija u izrazu (h) može se preurediti:

kvdmRvdmR��

=× (i)

Uvrštenjem (i) u (h) uz ispuštanje jediničnog vektora k�

dobije se:

( )( ) ( )∫=∫ ∫==mm m

Kz dmRRdmRvdmRM 2 ωω (j)

U izrazu (j) brzina v je izražena pomoću kutne brzine i pojavio se je kinetički moment tromost. Veličina kinetičkog momenta se odreñuje izrazom:

ωzKz JM = (3.6.4-6)

Kinetički moment je vektorska veličina:

Slika 3.6.4-4 Skica za definiranje kinetičkog momenta

kJM zKz

�� ω= (3.6.4-7)

Vektor kinetičkog momenta, slika 3.6.4-4, leži u osi rotacije. Derivacijom kinetičkog momenta po vremenu odnosno derivacijom izraza (3.6.4-7) po vremenu dobije se:

Kz

z z

dM dJ k J k

dt dt

ω ε= =�

� � (k)

U izrazu (k) zJ ε je prema izrazu (3.6.4-2) jednako rezultantnom spregu sila FzM koji uzrokuje

rotaciju oko nepomične osi i zato se može izraz (k) napisati u oblicima: K

Fzz

KFzz

dMM k

dt

dMM

dt

=

=

��

��

(3.6.4-8)

Izrazi (3.6.4-8) predstavljaju zakon momenata za kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi. Ako je rezultantni spreg jednak nuli dobije se:


MEH-POD-01.doc

0 i 0K

Kzz

dMdM

dt= =

��

(l)

što znači da nema promjene kinetičkog momenta pak se može napisati: KzM konst=�

(3.6.4-9) Izraz (3.6.4-9) predstavlja zakon održanja kinetičkog momenta za kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi i glasi: Ako je suma momenata vanjskih sila za os rotacije jednaka nuli kinetički moment krutog tijela za tu os ostaje nepromijenjen. Drugim riječima kruto tijelo će rotirati konstantnom kutnom brzinom oko nepomične osi ako je suma momenata vanjskih sila za tu os jednaka nuli. Takoñer se može reći da kruto tijelo ustraje u vrtnji konstantnom kutnom brzinom dok na njega ne djeluje neki spreg. Zakon održanja kinetičkog momenta ima za rotaciju oko nepomične osi isto značenje kao princip inercije za translaciju.

3.6.5 Kineti čka energija, rad i snaga

Za česticu mase dm, slika 3.6.4-4, definira se kinetička energija, prema izrazu (3.4.3-1), koja je diferencijal kinetičke energije cijelog krutog tijela:

21

2kdE dm v= (a)

Izrazivši brzinu čestice pomoću kutne brzine krutog tijela dobije se:

( )21

2kdE dm Rω= (b)

Integracijom preko mase izraza (b) dobije se izraz koji odreñuje kinetičku energiju cijelog krutog tijela:

( )( )

2 21

2k k

m m

E dE dm R ω= =∫ ∫ (c)

Kutna brzina krutog tijela ista je za sve čestice krutog tijela pak se ona izvlači ispred integrala:

( )

2 21

2k

m

E R dmω= ∫ (3.6.5-1)

U izrazu (3.6.5-1) pojavljuje se kinetički moment tromosti pak se može napisati konačni izraz za kinetičku energiju tijela pri rotaciji:

2

2

1 ωzk JE = (3.6.5-2)

Definicija kinetičke energije krutog tijela koje rotira glasi: Kinetička energija krutog tijela koje rotira oko nepomične osi jednaka je polovini umnoška kinetičkog momenta tromosti tog tijela, za os rotacije, i kvadrata kutne brzine kojom kruto tijelo rotira. Elementarni mehanički rad i-te sile se definira prema definiciji - izraz (3.4.3-2)

iii sdFdW��

⋅= (d)

Prema prikazu na slici 3.6.5-1 rad vrši samo tangencijalna komponenta sile:

itiii dsFsdF ,=⋅ ��

(e)

Uzevši da vrijedi: ϕdRds ii = (f)

uvrštenjem (f) u (e) i (e) u (d) dobije se:

,i i t idW F R dϕ=

Kako je:

Slika 3.6.5-1 Skica za definiranje mehaničkog rada pri rotaciji

,,

i tFi t i zF R M=

za elementarni mehanički rad i-te sile se dobije: ,i tF

i zdW M dϕ= (g)

Elementarne radove sila iF�

(i= 1,2,3,...,n) treba zbrojiti da bi se dobio elementarni mehanički rad:


MEH-POD-01.doc

,

1 1

i t

n nF

i zi i

dW dW M dϕ= =

= =∑ ∑ (h)

Kako je.

,

1

i t

nFF

z zi

M M=

=∑

može se napisati izraz koji definira elementarni mehanički rad pri rotaciji oko nepomične osi: FzdW M dϕ= (3.6.5-3)

Definicija elementarnog mehaničkog rada pri rotaciji krutog tijela glasi: Elementarni mehanički rad pri rotaciji krutog tijela jednak je umnošku momenta rezultantnog sprega, koji uzrokuje tu rotaciju, i diferencijalnog kuta rotacije krutog tijela. Veza izmeñu kinetičke energije krutog tijela koje rotira oko nepomične osi i mehaničkog rada nalazi se polazeći od osnovne jednadžbe, izraz (3.6.4-2), napisane u obliku:

dt

dJM z

Fz

ω= (i)

Pomnoživši izraz (i) s donjim izrazom: dtd ωϕ =

dobije se: ωωϕ dJdM z

Fz = (j)

Lijeva strana izraza (j) predstavlja elementarni mehanički rad ili totalni diferencijal mehaničkog rada pri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi a desna strana je totalni diferencijal kinetičke energije:

kz dEJddW =

= 2

2

1 ω (k)

Integriranjem izraza (k) dobije se izraz koji predstavlja zakon kinetičke energije pri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi:

2

1

2 1F

k k zE E M dϕ

ϕ

ϕ− = ∫ (3.6.5-4)

Promjena kinetičke energije krutog tijela koje rotira oko nepomične osi izmeñu dva položaja jednaka je mehaničkom radu momenata svih sila koje su djelovale na kruto tijelo tijekom njegove rotacije izmeñu tih položaja. Snaga se odreñuje po definiciji, izraz (3.4.3-5):

dWP

dt= (l)

Uvrsti li se u izraz (l) izraz (3.6.5-3) dobije se: Fz

dP M

dt

ϕ= (m)

Uvoñenjem kutne brzine krutog tijela u izraz (m) dobije se izraz koji definira snagu kod rotacije oko nepomične osi:

ωFzMP = (3.6.5-5)

3.6.6 Dinami čke reakcije u osloncima

Dinamičke reakcije pojavljuju se u ležajima krutog tijela koje rotira oko nepomične osi a nije statički i/ili dinamički uravnoteženo. Ovisno o kutnoj brzini krutog tijela dinamičke reakcije mogu biti višestruko veće od statičkih reakcija. Zbog promjene svoje veličine izazivaju vibracije koje mogu biti opasne po funkcionalnost i sigurnost krutog tijela odnosno mogu prouzročiti lom krutog tijela ili njegovih ležaja a u najgorem slučaju može doći i do lomova u konstrukciji u kojoj neuravnoteženo kruto tijelo rotira. Promatra se kruto tijelo prikazano na slici 3.6.6-1 koje rotira s kutnom brzinom ω i kutnim ubrzanjem ε oko osi z. Za tijelo je vezan koordinatni sistem xyz. Rotacija se mjeri kutom ( )tϕ ϕ= .

Kruto tijelo je vezano za okolinu alsijalno-radijalnim ležajem u A i radijalnim ležajem u B. Odgovarajuće reakcije veza ucrtane su na slici 3.6.6-1. Na kruto tijelo djeluje sistem sila iF

� (i = 1,

2, 3, ,n) u koji nisu uključene reakcije veza.


MEH-POD-01.doc

Slika 3.6.6-1 Skica za odreñi- vanje dinamičkih reakcija

Pri odreñivanju dinamičkih reakcija postavljaju se uvjeti kinetostatičke ravnoteže, za kruto tijelo koje rotira, pak se uvode D'Alembertove inercijalne sile.

t t

n n

dL dm a

dL dm a

= −

= −

� �

� � (a)

U izraze (b) uvode se supstitucije:

( )

, t

n

R x i y j

a R k

a R

ε ε ε

ω ω

= +

= × =

= × ×

� � �

��

��

(b)

pak se D'Alembertove inercijalne sile mogu izraziti pomoću komponenata, slika 3.6.6-2, po osima x i y:

2 2

t

n

dL y dm i x dm j

dL x dm i y dm j

ε εω ω

= −

= +

� � �

� � � (3.6.6-1)

Uvjet ravnoteže za sile paralelne osi z neće se razmatrati jer ove sile djeluju statički. Takoñer se neće razmatrati uvjet kinetostatičke ravnoteže:

0FzM = (c)

jer se njegovom realizacijom dobije izraz (3.6.4-2). Realizacijom preostala četiri uvjeta kinetostatičke ravnoteže dobije se:

Slika 3.6.6-2 Inercijalne sile

( )( )

2x ,

1

0 A 0n

x x i xi m m

R B F y dm x dmε ω=

= → + + + + =∑ ∫ ∫ (d)

( )( )

2y ,

1

0 A 0n

y y i yi m m

R B F x dm y dmε ω=

= → + + − + =∑ ∫ ∫ (e)

( )( )

2

1

0 0i

nFF

x x yi m m

M M h B x z dm y z dmε ω=

= → − + − =∑ ∫ ∫ (f)

( )( )

2

1

0 0i

nFF

y y xi m m

M M h B y z dm x z dmε ω=

= → + + + =∑ ∫ ∫ (g)

Pri pisanju gornjih izraza uzeto je u obzir da su kutna brzina i kutno ubrzanje konstane s obzirom na područje integracije pak ne spadaju u podintegralne funkcije. Članove izraza (d) i (e) koji sadrže integrale može se napisati u drugom obliku uzevši u obzir da ti integrali predstavljaju statičke momente mase i jednaki su umnošku mase i odgovarajuće koordinate težišta:

( )( )

( )( )

2 2

2 2

,

,

G G

m m

G G

m m

y dm y m x dm x m

x dm x m y dm y m

ε ε ω ω

ε ε ω ω

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫ (h)

Integrali koji se pojavljuju u izrazima (f) i (g) su maseno-geometrijske značajke krutog tijela i nazivaju se centrifugalni momenti tromosti:

( )( )∫ ∫==m m

yzxz dmzyJdmzxJ (i)

Uzevši u obzir (h) i (i) izrazi (d) do (g) se preureñuju:

2

1

1i

nF

x y yz xzi

B M J Jh

ε ω=

= − + +

∑ (3.6.6-2)

2

1

1i

nF

y x xz yzi

B M J Jh

ε ω=

= + −

∑ (3.6.6-3)

2,

1

n

x x i x G Gi

A B F y m x mε ω=

= − + + +

∑ (3.6.6-4)


MEH-POD-01.doc

2,

1

xn

y yy i y G Gi

A B F m y mε ω=

= − + − +

∑ (3.6.6-5)

Za kruto tijelo čije težište se ne nalazi u osi rotacije, u tom su slučaju i G Gx y različiti od nule, kaže

se da je statički neuravnoteženo. Ako je težište krutog tijela na osi rotacije pak su i G Gx y jednaki nuli kruto tijelo je statički uravnoteženo ali dinamičke reakcije mogu biti različite od nule. U ovom slučaju je kruto tijelo dinamički neuravnoteženo, zbog nesimetričnog rasporeda mase krutog tijela u odnosu na os rotacije, centrifugalni momenti tromosti su različiti od nule. Dinamičke reakcije pojavljuju se kod konstantne kutne brzine kao i kod rotacije s kutnim ubrzanjem. Veličina dinamičkih reakcija u koordinatnom sistemu ξης mijenja se vremenu. Na slici 3.6.6-3 prikazane su dinamičje reakcije u točki A u oba koordinatna sistema te se odreñuje:

cos sin

sin cos

x y

x y

A A A

A A A

ξ

η

ϕ ϕϕ ϕ

= −

= + (3.6.6-5)

Na sličan način odreñuju se dinamičke reakcije u točki B: cos sin

sin cos

x y

x y

B B B

B B B

ξ

η

ϕ ϕϕ ϕ

= −

= + (3.6.6-6)

Dinamičke reakcije su u većini slučajeva nepoželjne. Kod

Slika 3.6.6-3 Skica za definiranje dinamičkih reakcija u koordinatnom sistemu ξης

nekih naprava (vibratori, strojevi za nabijanje šljunčane posteljice cesta) nastoji se povećati njihovu veličinu.


MEH-POD-01.doc

3.6.7 Kineti čki momenti tromosti

Kinetički momenti tromosti (KMT) su svjostva objekata gibanja koja se očituju kod rotacije. Njihova veličina ovisi o masi tijela, volumenu tijela i rasporedu mase unutar tijela a u odnosu na os rotacije. Polarni moment inercije računa se za neku točku a aksijalni momenti inercije se računaju za neku os. U oba slučaja računaju se kao integrali, preko volumena ili mase tijela, od umnoška diferencijala mase dm i kvadrata udaljenosti tog dm od točke, za polarni KMT, odnosno od osi za aksijalni KMT. Postoje i centrifugalni KMT za koje se uzima umnožak dm s udaljenostima do dvije osi. Matematičke definicije KMT daju se na osnovu prikaza na slici 3.6.7-1. Polarni KMT:

Slika 3.6.7-1 Skica za definicije KMT

( )( )

( )

2 2 2 2 O

m m

J r dm x y z dm= = + +∫ ∫ (3.6.7-1)

Aksijalni KMT: ( )

( )( )∫ ∫ +==m m

xx dmzydmdJ 222 (3.6.7-2)

( )( )( )

∫ ∫ +==m m

yy dmzxdmdJ 222 (3.6.7-3)

( )( )( )

∫ ∫ +==m m

zz dmyxdmdJ 222 (3.6.7-4)

Za aksijalne KMT se definiraju radijusi tromosti:

, , m

Ji

m

Ji

m

Ji z

zy

yx

x === (3.6.7-5)

Centrifugalni KTM:

( )

( )

( )

xy yx

m

xz zx

m

yz zy

m

J J xydm

J J xzdm

J J yzdm

= =

= =

= =

∫

∫

∫

(3.6.7-5)

Veličine KMT zavise o položaju koordinatnih osi u odnosu na kruto tijelo. Ta zavisnost je vidljiva iz zakonitosti koja se zove Steinerovo pravilo a koje služi i za izračun veličine KMT naročito za kruta tijela koja su složena od više dijelova. Izvod Steinerova pravila daje se na osnovu prikaza na slici 3.6.7-2; cilj je naći vezu izmeñu KMT za osi xyz i KMT za osi x1y1z1. Odnosi izmeñu koordinata ova dva koordinatna sustema su definirani izrazima (a):

1

1

1

zzz

yyy

xxx

S

S

S

+=+=+=

(a)

KMT za os x je prema izrazu (3.6.7-2):

( )( )

2 2x

m

J y z dm= +∫ (b)

Zamjenom koordinata x, y i z s izrazima (a) dobije se:

Slika 3.6.7-2 Skica za izvod Steinerova pravila


MEH-POD-01.doc

( ) ( )( )

2 21 1x S S

m

J y y z z dm = + + + ∫ (c)

Nakon kvadriranja sadržaja zagrada izraz (c) prelazi u oblik:

( ) ( )( ) ( )( )( )

∫

∫ ∫++∫+++=

m m mSS

mSSx dmzzdmyydmzydmzyJ 11222

121 2 (d)

Značenje pojedinih članova u izrazu (d) je sljedeće: ( )

( )∫ +=m

x dmzyJ 21

211

KMT za os x1,

222xSS dzy =+ kvadrat udaljenosti osi x i x1,

( )( )∫ ∫ ==m m

dmzdmy 0 ,0 11 ovi su integrali su statički momenti mase i jednaki su nuli ako

osi koordinatnog sistema x1y1z1 prolaze kroz težišta krutog tijela

Neka osi koordinatnog sistema x1y1z1 prolaze kroz težište krutog tijela pak vrijedi: mdJJ xxx

2

1+= (3.6.7-6)

Sličnim izvodom se dobiva slijedeće: mdJJ yyy

2

1+= (3.6.7-7)

mdJJ zzz2

1+= (3.6.7-8)

Steinerovo pravilo za aksijalne KMT govori: Aksijalni KMT za bilo koju os jednak je zbroju KMT za paralelnu os, koja prolazi kroz težište, i umnoška kvadrata razdaljine tih osi s masom tijela. Sličnim izvodima se nalaze Steinorova pravila za centrifugalne KMT:

myxJJJ SSyxyxxy +==11

(3.6.7-9)

mzxJJJ SSzxzxxz +==11

(3.6.7-10)

mzyJJJ SSzyzyyz +==11

(3.6.7-11)

Za tijela složena od n tijela KMT za os ξ se računa pomoću donjeg izraza:

( )2, ,

1i i

n

i i ii

J J d mξ ξ ξ=

= +∑ (3.6.7-12)

U općem slučaju se za kruto tijelo mogu odrediti osi za koje su KMT najmanji ili najveći.

Slika 3.6.7-3 Izvod za KMT za proizvoljnu os

Slika 3.6.7-4 Elipsoid inercije

KMT za os a, slika 3.6.7-3, po definiciji je:

( )∫=m

a dmdJ 2

koji se može transformirati u oblik: ( )zyyzzxxzyxxyzzyyxxa JJJJJJJ ααααααααα coscoscoscoscoscos2coscoscos 222 ++−++=

Iz gornjeg se izraza izvodi jednadžba elipsoida inercije, izraz (3.6.7-13), prikazanog na slici 3.6.7-4 ako se uzme u obzir:

bOB =


MEH-POD-01.doc

aJb

1=

xb x =αcos

yb y =αcos

zb z =αcos

( ) 12222 =++−++ yzJxzJxyJzJyJxJ yzxzxyzyx (3.6.7-13)

U koordinatnom sistemu x1y1z1 centrifugalni KMT su jednaki nuli: 0=== yzxzxy JJJ

i ove se koordinatne osi zovu glavne osi inercije. Za ove osi aksijalni KMT imaju najmanje i najveće vrijednosti.

Primjer 3.6.7-1 Odrediti KMT kvadra, mase m i stranica a, b i c, prikazanog na slici 3.6.7-5:

a) aksijalni i centrifugalni KTM za os z, b) aksijalni i centrifugalni KTM za os kroz težište kvadra paralelnu osi z.

Za aksijalne KTM odrediti radijuse tromosti.

Rješavanje: U prvom koraku odreñuje se diferencijal mase kvadra tako da sve čestice kvadra koje su u diferencijalu mase budu na istoj udaljenosti od osi za koju se računa aksijalni KMT ili da x i y koordinate budu jednake kada se računa centrifugalni KMT. Ovi su zahtjevi zadovoljeni formiranjem direrencijala volumena dV na slici 3.6.7-5. Diferencijal mase kvadra definira se umnoškom diferencijala volumena i gustoće: dm dV ρ= (1) i kako je diferencijal volumena: dV dx dy c= (2) za diferencijal mase se dobije: dm dx dy c ρ= (3)

Slika 3.6.7-5 Skica za odreñivanje KMT kvadra za os z

a) Aksijalni KMT za os z odreñuje se pomoću izraza (3.6.7-4): ( )

( )( )∫ ∫ +==m m

zz dmyxdmdJ 222 (4)

Uvrstivši (3) u (4), prilagodivši granice integacije i izvukavši konstantne veličine ispred integrala dobije se:

( )2 2

0 0

y bx a

z

x y

J c x y dx dyρ==

= =

= +∫ ∫ (5)

Integracijom se dobije:

,3 3 3 3

0, 0

3 3 3 3

x a y b

z

x y

x y xy a b abJ c cρ ρ

= =

= =

= + = +

(6)

Uzevši u obzir da je masa kvadra: m a b cρ= (7) dobije se konačni izraz za aksijalni KMT za os z:

( )2 2

3z

mJ a b= + (8)

Treba istaknuti da za veličinu aksijalnog KMT nije važna dimenzija kvadra paralelna s osi za koju se odreñuje KMT – isti bi se rezultat dobio za pravokutnik axb. Centrifugalni KMT za os z odreñuje se pomoću izraza (3.6.7-5):

( )

xy yx

m

J J xydm= = ∫ (9)

u koji treba uvrstiti izraz (3), prilagoditi granice integracije i izvući konstante ispred integrala:


MEH-POD-01.doc

0 0

y bx a

xy yx

x y

J J c xy dx dyρ==

= =

= = ∫ ∫ (10)

Nakon integriranja i sreñenja dobije se izraz za odreñivanje centrifugalnih KMT za os z:

4xy yx

mJ J a b= = (11)

b) Aksijalni i centrifugalni KTM za os z1 kroz težište kvadra paralelnu osi z Os kroz težište kvadra udaljena je od osi z za: xS = a/2 yS = b/2 (12) Aksijalni KMT za os z1 odreñuje se pomoću izraza (3.6.7-8): 2

1z z zJ J d m= − (13) Kako je : 2 2 2

z S Sd x y= + (14) nakon uvrštenja (12) u (14) i dobijenog rezultata u (13) dobije se izraz za aksijalni KMT za os z1:

( )2 21 12z

mJ a b= + (15)

Centrifugalni KMT za os z1 odreñuje se pomoću izraza (3.6.7-9):

1 1 1 1 4 2 2x y y x xy S S

m a bJ J J x y m ab m= = − = − (16)

1 1 1 1 0x y y xJ J= = (17)

Radijusi tromosti odreñuju se pomoću izraza (3.6.7-5):

zz

Ji

m= (18)

Radijus tromosti za aksijalni KMT za os z:

( ) ( )2 2 2 2

3 3z

ma b a b

im

+ += = (19)

Radijus tromosti za aksijalni KMT za os z1:

( ) ( )2 2 2 2

12 12z

ma b a b

im

+ += = (20)


MEH-POD-01.doc

3.7 PRIJENOSNICI ROTACIJSKOG GIBANJA

Prijenosnici rotacijskog gibanja dijela se na dvije grupe: - prijenosnici s nepomičnim osima rotacije, - prijenosnici čiji bar jedan član ima os rotacije koja rotira oko nepomične osi.

3.7.1 Kinematika prijenosnika s nepomi čnim osima

Radi proučavanja prijenosa rotacijskog gibanja ističu se dvije zakonitosti: 1. Brzina bilo koje točke na obodu kružne ploče jednaka je umnošku radijusa i kutne brzine kružne ploče: v R ω= (3.7.1-1) Ova je zakonitost ilustrirana slikom 3.7.1-1 a već je prije dokazana u 3.6.2, izraz (3.6.2-15). Brzina točaka na obodu često se naziva obodna brzina. 2. Ako su dvije kružne ploče kruto vezane za isto vratilo onda su im kutne brzine i kutna ubrzanja jednaka. Za kružne ploče 1 i 2, slika 3.7.1-2, može se napisati: 1 2ω ω= (3.7.1-2)

1 2ε ε= (3.7.1-3) Valjanost gornjih izraza slijedi iz činjenice da se obje kružne ploče mogu smatrati dijelom jednog krutog tijela.

Slika 3.7.1-1 Kružna ploča, obodna i kutna brzina

Slika 3.7.1-2 Paralelna veza

U praksi se za rotaciju još uvijek koristi mjera „broj okretaja u minuti“ koja nije mjerna jedinica SI sistema jedinica. Veza izmeñu kutne brzine i broja okretaja n dobije se polazeći od definicije srednje kutne brzine:

t

ϕω ∆=∆

(a)

Prirasti kuta i vremena su: 2 60 n t sϕ π∆ = ∆ = (b) Uvrštenjem (b) u (a) dobije se tražena veza:

30

n πω = (3.7.1-4)

Prijenosnici s nepomičnim osima rotacije klasificiraju se prema tri moguća meñusobna položaja osi rotacije: osi su paralelne ili se sijeku ili se mimoilaze.

Prijenosnici s paralelnim osima rotacije Na slici 3.7.1-3 prikazan je osnovni par ove vrste prijenosnika. Postavlja se zadatak:

- poznati su radijusi obje kružne ploče i kutna brzina kružne ploče 1, - odrediti kutnu brzinu kružne ploče 2.

Iz činjenice da se kružne ploče stalno dodiruju u jednoj točki na svom obodu i da je brzina tih dodirnih točaka jednaka po veličini i smjeru:

1 2v v= (3.7.1-5) primjenom izraza (3.7.1-1): 1 1 1 2 2 2 v R v Rω ω= = (c) dobije se uvrštavanjem (c) u (3.7.1-5):


MEH-POD-01.doc

1 1 2 2R Rω ω= (d) Iz (d) slijedi rješenje postavljenog zadatka:

12 1

2

R

Rω ω= (3.7.1-6)

Slika 3.7.1-3 Osnovni par

Slika 3.7.1-4 Osnovni par - unutarnji zahvat

Uz gornji rezultat treba uočiti da kutna brzina kružne ploče 2 ima smjer suprotan smjeru kutne brzine kružne ploče 1. Prije postavljeni zadatak za osnovni par s unutarnjim zahvatom, slika 3.7.1-5, rješava se na isti način i vrijedi izraz (3.7.1-6). U ovom slučaju su smjerovi kutnih brzina obje kružna ploče isti. Na slici 3.7.1-5 veza kružnih ploča je s remenom. Ako remen ne kliže po obodu kružnih ploča vrijedi (3.7.1-5) i (3.7.1-6) s napomenom da su smjerovi kutnih brzina obje kružna ploče isti.

Slika 3.7.1-5 Veza s remenom

Slika 3.7.1-6 Serijska veza više kružnih ploča

Za serijsku vezu više kružnih ploča, slika 3.7.1-6, obodne brzine svih kružnih ploča su jednake. Može se za serijsku vezu n kružnih ploča napisati:

1 2 3 i nv v v v v= = = ⋅⋅ ⋅ = = ⋅⋅ ⋅ = (e) Pretpostavljajući da je zadana kutna brzina kružne ploče 1 i da su zadani radijusi svih kružnih ploča može se, temeljem (e), izraz (3.7.1-6) poopćiti:

11i

i

R

Rω ω= (3.7.1-7)

Na slici 3.7.1-7 prikazan je prijenosnik sa serijskim i paralelnim vezama kružnih ploča. Postavlja se zadatak:

- poznati su radijusi svih kružnih ploča i kutna brzina kružne ploče 1, - odrediti kutne brzine svih kružnih ploča.

Zadatak se rješava primjenom: - definicije obodne brzine, izraz (3.7.1-1), - jednakosti obodnih brzina kod serijske veze, izraz (3.7.1-5), - jednakosti kutnih brzina kod paralelne veze, izraz (3.7.1-2)


MEH-POD-01.doc

tako da se prema prikazu na slici 3.7.1-7 realiziraju jednakosti obodnih brzina i jednakosti kutnih brzina:

1 2v v=

1 1 1 2 2 2 v R v Rω ω= =

3 4v v=

3 3 3 4 4 4 v R v Rω ω= =

5 6v v=

5 5 5 6 6 6 v R v Rω ω= =

2 3 23ω ω ω= =

4 5 45ω ω ω= =

Slika 3.7.1-7 Prijenosnik s paralelnim vezama

Iz gornjih izraza se dobije:

123 1

2

R

Rω ω= (3.7.1-8)

1 345 1

2 4

R R

R Rω ω= (3.7.1-9)

1 3 56 1

2 4 6

R R R

R R Rω ω= (3.7.1-10)

Prijenosnici s osima koje se sijeku Kružne ploče ovih prijenosnika su dijelovi koničnih ploha, slika 3.7.1-8, koje imaju vrh u istoj točki. Zadatak:

- poznati su radijusi obje kružne ploče i kutna brzina kružne ploče 1, - odrediti kutnu brzinu kružne ploče 2

rješava se kao kod serijske sprege jer se i u ovom slučaju kružne ploče stalno dodiruju u jednoj točki na svom obodu i brzina je tih točaka ista. Dakle vrijedi izraz (3.7.1-6):

12 1

2

R

Rω ω= (a)

Iz slike 3.7.1-8 radijusi kružnih ploča se mogu odrediti na sljedeći način:

1 2sin sinR OA R OAα β= = (b) Uvrštenjem (b) u (a) dobije se:

12 1

2

R

Rω ω= (3.7.1-10)

Kod prijenosnika s osima koje se sijeku prijenos rotacijskog gibanja ovisi o sinusima polovine vršnog kuta koničnih ploha.

Slika 3.7.1-8 Prijenosnik s osima koje se sijeku

Prijenosnici s mimoilaznim osima Na slici 3.7.1-9 prikazan je prijenosnik s mimoilaznim osima. Element 1 se naziva pužno kolo a element 2 je pužni vijak s usponom h. Prijenos rotacijskog gibanja se odreñuje temeljem činjenice da se za jedan puni okret pužnog vijka neka točka na obodu pužnog kola pomakne za uspon vijka na pužnom vijku. Broj okretaja pužnog vijka

2n potreban da se pužno kolo okrene za puni kut može se naći ako se umnožak broja okretaja pužnog vijka pomnoži s usponom i izjednači s opsegom pužnog kola:

2 2n h Rπ= (a)

Uzevši u obzir da se je pužno kolo za 2n okretaja pužnog vijka okrenulo jedanput:

Slika 3.7.1-9 Prijenosnik s mimoilaznim osima

1 1n = (b)


MEH-POD-01.doc

dijeljenjem izraza (a) i (b) dobije se:

2 1

2Rn n

h

π= (3.7.1-11)

Uzevši u obzir odnos izmeñu broja okretaja u minuti i kutne brzine, izraz (3.7.1-4), dobije se:

2 1

2R

h

πω ω= (3.7.1-12)

3.7.2 Kinematika prijenosnika s nepomi čnim i pomi čnim osima

Prijenosnik prikazan na slici 3.7.2-1 je osnovni planetarni par i sastoji se od kružne ploče 1, koja je nepomična, kružne ploče 2, koja se odvaljuje po kružnoj ploči 1 bez klizanja, i ručice O1O2, koja rotira kutnom brzinom Oω oko osi o1. Os o2, koja prolazi kroz središte kružne ploče 2, rotira kutnom

brzinom Oω skupa s ručicom O1O2. Nepomična kružna ploča naziva se sunce a kružna ploča 2 koja kruži oko sunca je planet. Sličnost gibanja kružnih ploča gibanju Zemlje oko Sunca priskrbilo je ovom prijenosniku atribut planetarni. Ako se kružnoj ploči 1 osnovnog planetarnog para omogući rotacija, kutna brzina 1ω na slici 3.7.2-2, a ručica O1O2 istovremeno rotira kutnom brzinom Oω dolazi do razlike u kutnoj brzini kružne ploče 2. Zato se prijenosnik prikazan na slici 3.7.2-2 naziva osnovni diferencijalni par. Oba opisana prijenosnika nose atribut osnovni jer se uvijek koriste kao dijelovi složenih prenosnika bilo planetarnih bilo diferencijalnih.

Slika 3.7.2-1 Osnovni planetarni par

Slika 3.7.2-2 Osnovni diferencijalni par

Za osnovni planetarni par rješava se sljedeći zadatak: - poznati su radijusi kružnih ploča i kutna brzina Oω ručice O1O2,

- odrediti kutnu brzinu 2ω kružne ploče 2. Zadatak se rješava Willisovom metodom tako da se gibanje podijeli u dvije faze koje su definirane na slikama 3.7.2-3 i 3.7.2-4. U fazi 1 rotiraju, kao jedno tijelo - slika 3.7.2-3, kružne ploče i ručica O1O2 kutnom brzinom Oω . Kako je kružna ploča 1 ustvari nepomična u fazi 2, slika 3.7.2-4, daje se kružnoj ploči 1 kutna brzina Oω ali u suprotnom smjeru od smjera zadanog na slici 3.7.2-1. Ovim se ispravlja „pogreška“ učinjena u fazi 1. Središte kružne ploče 2 u ovoj fazi se drži nepomičnim pak kružne ploče 1 i 2 predstavljaju osnovni par u serijskoj vezi koji je već razmatran u 3.7.1. Koristeći izraz (3.7.1-5) mo-

Slika 3.7.2-3 Faza 1: svi skupa

Slika 3.7.2-4 Faza 2: vraćanje sunca


MEH-POD-01.doc

že se napisati: 1, 2,pl plv v= (a)

radi jednakih obodnih brzina dodirnih točaka kružnih ploča 1 i 2. One brzine su: 1, 1 2, 2 2, pl O pl plv R v Rω ω= = (b)


12,

2pl O

R

Rω ω= (3.7.2-1)

Kutna brzina kružne ploče 2 dobije se kao zbroj njenih kutnih brzina u fazi 1 i 2. U općem slučaju je: 2 2,O plω ω ω= ± (3.7.2-2)

U razmatranom slučaju se smjerovi kutnih brzina Oω i 2,plω poklapaju pak se u gornjem izrazu za

rješenje zadatka uzima predznak +: 2 2,O plω ω ω= + (3.7.2-3)

Za osnovni diferencijalni par rješava se sljedeći zadatak: - poznati su radijusi kružnih ploča, kutna brzina Oω

ručice O1O2, i kutna brzina 1ω kružne ploče 1

- odrediti kutnu brzinu 2ω kružne ploče 2. Zadatak se rješava, takoñer, Willisovom metodom tako da se gibanje podijeli u tri faze koje su definirane na slikama 3.7.2-3, 3.7.2-4 i 3.7.2-5. Gibanja u prve dvije faze su ista kao kod osnovnog planetarnog para te treba odrediti kutnu brzinu kružne ploče 2 u fazi 3. Istim postupkom kao u fazi 2 ali za stanje prikazano na slici 3.7.2-5 odreñuje se:

1, 2,dif difv v= (c)

1, 1 1 2, 2 2, dif dif difv R v Rω ω= = (d)

12, 1

2dif

R

Rω ω= (3.7.2-4)

Slika 3.7.2-5 Faza 3: diferencijalna faza

Kutna brzina kružne ploče 2 dobije se kao zbroj njenih kutnih brzina u fazama 1, 2 i 3. U općem slučaju je: 2 2, 2,O pl difω ω ω ω= ± ± (3.7.2-5)

U razmatranom slučaju kutne brzine Oω i 2,plω imaju iste smjerove a kutna brzina 2,difω ima

suprotan smjer pak gornji izraz za razmatrani slučaj izgleda: 2 2, 2,O pl difω ω ω ω= + − (3.7.2-6)

Planetarni prijenosnik prikazan na slici 3.7.2-6 može biti i diferencijalni prijenosnik ako se kružnoj ploči 5 narine kutna brzina 5ω . Za ovaj će se prijenosnik riješiti zadatak:

- poznati su radijusi kružnih ploča, kutna brzina Oω ručice O1O2, i kutna brzina 5ω kružne ploče 5 - odrediti kutnu brzinu 4ω kružne ploče 4 smatrajući ovaj prijenosnik prvo kao planetarni a zatim kao diferencijalni. Zadatak se rješava, prije izloženom, Willisovom metodom. Treba uočiti da je u sastavu prijenosnika par kružnih ploča 2 i 3 u paralelnoj vezi za koju vrijedi:

2, 3, 23, 2, 3. 23, pl pl p dif dif dω ω ω ω ω ω= = = = (e)

Sa slika 3.7.2-8 i 3.7.2-9 se očitava: 2, 5, 3, 4, p p p pv v v v= = (f)

2, 5, 3, 4, d d d dv v v v= = (g)

Koristeći izraze (e) i (f) a prema izrazu (3.7.2-3) za planetarni prijenosnik se dobije kutna brzina kružne ploče 4:

3 54

2 4O O

R R

R Rω ω ω= + (3.7.2-7)


MEH-POD-01.doc

Slika 3.7.2-7 Faza 1: svi skupa

Slika 3.7.2-6 Planetarni prijenosnik, poprečni presjek

Slika 3.7.2-8 Faza 2: vraćanje sunca

Slika 3.7.2-9 Faza 3: diferencijalna faza

Kutna brzina kružne ploče 4 za diferencijalni prijenosnik se dobije koristeći izraze (e) i (g) a prema izrazu (3.7.2-5):

3 5 3 54 5

2 4 2 4O O

R R R R

R R R Rω ω ω ω= + − (3.7.2-8)

3.7.3 Kinetika prijenosnika rotacijskog gibanja

Razmotrit će se gibanje kružne ploče, slika 3.7.3-1, koja je dio nekog prijenosnika rotacijskog gibanja. Na kružnu ploču, slika 3.7.3-1a), radijusa 1R , mase 1m i težine 1G te kinetičkog momenta

tromosti 1J djeluje pogonski spreg momenta 1M i sila 21F kojom na nju djeluje neka druga kružna ploča. Kružna ploča uležištena je u radijalnom kliznom ležaju, koeficijent trenja je µ , i rotira s

kutnim ubrzanjem 1ε . Mehanički model definiran je na slici 3.7.3-1b) u koji je uključen

D'Alembertov inercijalni spreg 1 1J ε . Spreg S je otpor trenja u radijalnom ležaju koji djeluje na vratilo, radijusa r , na koje je zaklinjena kružna ploča. Postavljanjem uvjeta kinetostatičke ravnoteže dobije se:

1 1 1 1 21 0M J S R Fε− − − = (a) a Iz ravnoteže po osi y :

1 1 21 0N G F− − = (b) Iz (b) slijedi:

1 1 21N G F= + (c) pak jesila trenja:

( )1 21T G Fµ= + (d)

Prema lzloženom u 2.8.4 spreg trenja je: ( )1 21 S r G Fµ= + (e)

Uvrštenjem (e) u (a) i sreñenjem može se

Slika 3.7.3-1 a) stanje sila na elementu prijenosnika rotacijskog gibanja; b) mehanički model

odrediti kutno ubrzanje kružne ploče:

( )1 1 21 1 21

11

M r G F R F

J

µε

− + −= (3.7.3-1)


MEH-POD-01.doc

Iz izraza (3.7.3-1) lako se napiše diferencijalna jednadžba:

( )1 1 21 1 21

1

M r G F R Fd dt

J

µω

− + −= (3.7.3-2)

iz koje se s dvije integracije može odrediti zakon gibanja kružne ploče. Za prijenosnik rotacijskog gibanja prikazan na slici 3.7.3-2, koji se obično naziva reduktor, netom opisani postupak ponavlja se tri puta: dva puta za za preostala dva para kružnih ploča i jedamput za kružnu ploču 6. Za prije spomenuti reduktor razmotrit će se gibanje od stanja mirovanja do vrtnje s nekom zadanom kutnom brzinom i protok snage kroz reduktor pri konstantnoj brzini vrtnje. U oba slučaja primjenit će se zakon kinetičke energije imajući u vidu: - poznati su radijusi svih kružnih ploča 1 R do 6R , - kružne ploče 2 i 3 te 4 i 5 tvore paralelne sprege, - zadani su kinetički momenti tromosti i spregovi trenja za: kružnu ploču 1 1J i 1S ,

kružne ploče 2 i 3 23J i 23S ,

kružne ploče 4 i 5 45J i 45S ,

kružnu ploču 6 6J i 6S . Polazi se od izraza:

2 1 12k kE E W− = (a)

Slika 3.7.3-2 Skica za odreñivanje protoka snage kroz reduktor U izrazu (a) kinetičke energije predstavljaju zbroj kinetičkih energija svih kružnih ploča i parova kružnih ploča reduktora a mehanički rad je zbroj mehaničkih radova svih spregova. Gibanje od stanja mirovanja U stanju 1, kada svi elementi reduktora miruju, zbroj kinetičkih energija je jednak nuli: 1 0kE = (b) Zbroj kinetičkih energija u stanju 2 je:

2 2 2 22 1 1 23 23 45 45 6 6

1 1 1 1

2 2 2 2kE J J J Jω ω ω ω= + + + + (c)

a zbroj mehaničkih radova: 12 1 1 1 1 23 23 45 45 6 6W M S S S Sϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − − − − (d) Uvrštenjem (b), (c) i (d) u (a) dobije se:

2 2 2 21 1 23 23 45 45 6 6 1 1 1 1 23 23 45 45 6 6

1 1 1 1

2 2 2 2J J J J M S S S Sω ω ω ω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + = − − − − (e)

Interesantno je odrediti, iz izraza (e), veličinu momenta 1M pogonskog sprega potrebnu za

postizanje kutne brzine 1ω kružne ploče 1. U tu svrhu koriste se izrazi (3.7.1-8) do (3.7.1-10), izvedeni u 3.7.1, koji definiraju odnose kutnih brzina i kutova okretanja kružnih ploča. Riješivši izraz (e) po 1M i uzevši u obzir prije spomenute odnose dobije se:

22 221 3 1 3 51 1

1 1 23 45 6 1234561 2 2 4 2 4 62

R R R R RRM J J J J S

R R R R R R

ωϕ

= + + + +

(3.7.3-3)

U izrazu (3.7.3-3) zadnji član predstavlja sumu momenata svih spregova trenja:

1 3 1 3 51123456 1 23 45 6

2 2 4 2 4 6

R R R R RRS S S S S

R R R R R R= + + + (3.7.3-4)

Rotacija s konstantnim kutnim brzinama Zbog konstantnih kutnih brzina nema promjene kinetičke energije i iz izraza (a) slijedi:


MEH-POD-01.doc

12 0W = (f) što znači da je zbroj mehaničkih radova jednak nuli. Na slici 3.7.3-2 na vratilo kružne ploče 1 dovodi se pogonski spreg momenta 1M a s ostalih vratila

se uzimaju ili dovode spregovi momenata 23M , 45M i 6M pak je suma mehaničkih radova:

1 1 1 1 23 23 45 45 6 6 23 23 45 45 6 6 0M S S S S M M Mϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − − ± ± ± = (g) Pozitivni predznaci u gornjem izrazu su za spregove koji se dovode a negativni za spregove koji se odvode. Uzevši diferencijalne veličine kutova okretanja kružnih ploča i podijelivši ih s diferencijalom vremena dobije se: 1 1 1 1 23 23 45 45 6 6 23 23 45 45 6 6M S S S S M M Mω ω ω ω ω ω ω ω= + + + ∓ ∓ ∓ (g) Neka je: 1 1 1P M ω= dovedena snaga,

1 1 23 23 45 45 6 6TP S S S Sω ω ω ω= + + + snaga koju troši trenje,

23 23 23P M ω= snaga koja se dovodi ili odvodi s vratila 23,

45 45 45P M ω= snaga koja se dovodi ili odvodi s vratila 45,

6 6 6P M ω= snaga koja se dovodi ili odvodi s vratila 6 može se napisati: 1 23 45 6TP P P P P= + + + (3.7.3-5) Gornji izraz definira mogućnosti raspodjele dovedene snage: dio se uvijek troši na trenje a ostatak se može uzeti s bilo jednog, dva ili svih vratila. U svim razmatranjima uzeti su momenti svih spregova konstantni u vremenu.


MEH-POD-01.doc

3.8 RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA

3.8.1 Opis ravninskog gibanja krutog tijela

U općem slučaju, nevezano za koordinatni sistem, ravninsko gibanje krutog tijela se definira: Ako tijekom gibanja udaljenost bilo koje točke krutog tijela od referentne i nepomične ravnine ostaje ista, kaže se, kruto tijelo izvodi ravninsko gibanje.

Slika 3.8.1-1 Skica za definiciju ravninskog gibanja krutog tijela

Definicija ravninskog gibanja ilustrirana je slikom 3.8.1-1:

0π je nepomična referentna ravnina a ravnine 1π i 2π su

paralelne ravnini 0π . Točke A0, A1 i A2 nalaze se na pravcu, koji je okomit na sve tri ravnine, i koji tijekom ravninskog gibanja krutog tijela ostaje paralelan svom početnom položaju. Udaljenosti izmeñu točaka A0, A1 i A2 ostaju tijekom gibanja iste. Za putanje točaka A0, A1 i A2 kaže se da su kongruentne krivulje. Smjestivši kruto tijelo u DPKS, slika 3.8.1-2, tako da ravnina 0π leži ili je paralelna s ravninom 1Oξ η mogu se

definirati uvjeti koje mora zadovoljiti sistem sila iF�

, koji djeluje na kruto tijelo, da bi se kruto tijelo ravninski gibalo. Da bi definicija ravninskog gibanja krutog tijela bila zadovoljena treba biti sprečena elementarna translacija po pravcu paralalnom osi ς dok su moguće elementarne translacije po pravcima paralelnim osima ξ i η ; sprečene

su elementarne rotacije oko osi 'ξ i 'η a moguća je

elementarna rotacija oko osi 'ς . Ovo će biti ispunjeno ako vrijedi:

0≠ξR , 0≠ηR , 0=ςR (3.8.1-1)

' 0Mξ = , ' 0Mη = , ' 0Mς ≠ (3.8.1-2)

,1

n

ii

R Fξ ξ=

=∑ , ,1

n

ii

R Fη η=

=∑ (3.8.1-3)

' '

1

i

nF

i

M Mς ς=

=∑ (3.8.1-4) Slika 3.8.1-2 Ravninsko gibanje krutog tijela

Najčešće se ravninsko gibanje krutog tijela predočuje kao gibanje ravne krute figure. Ova se ravna kruta figura dobije ili kao ortogonalna projekcija krutog tijela u ravninu 0π ili kao presjek krutog tijela

s ravninom 1π ili 2π . Tako će se ravninsko gibanje krutog tijela nadalje razmatrati. U tu svrhu na slici 3.8.1-3 je definirana ravna kruta figura i sredina u kojoj će se gibanje razmatrati. Obzirom na uvjete postavljene izrazima (3.8.1-1) do (3.8.1-4) definiraju se uzročnici gibanja ravne krute figure: rezultantna sila F

� i spreg 0

FM odreñeni donjim izrazima:

21 eFeFF��

ηξ += (3.8.1-5)

1

i

nFF

O Oi

M M=

=∑ (3.8.1-6) Slika 3.8.1-3 Gibanje ravne krute figure

Rezultantna sila je uzročnik dviju elemntarnih translacija a spreg jedne elementarne rotacije pak se može reći da je ravninsko gibanje ravne krute figure složeno od translacije i rotacije.


MEH-POD-01.doc

3.8.2 Zakon gibanja, brzina i ubrzanje

Za opis gibanja ravne krute figure potrebna su tri koordinatna sistema, slika 3.8.2-1, kako je objašnjeno u 3.1.1. Izbor točaka O, za ishodište pomičnih koordinatnih sistema, i T nije ničim uslovjen. Posebno treba istaknuti da točka T predstavlja bilo koju točku krute ravne figure. Zakon gibanja je:

( )trr�� = (a)

Prema prikazu na slici 3.8.2-1 vrijedi:

Or r R= +��

(3.8.2-1) Obzirom na gibanje ravne krute figure za komponente radijvektora vrijedi:

( )

( )

O Or r t

R konst

tϕ ϕ

=

=

=

� �

�

(3.8.2-2)

Drugi od gornjih izraza govori da je udaljenost točaka

Slika 3.8.2-1 Skica za definiranje zakona gibanja ravne krute figure

O i T nepromjenjiva u vremenu što proizlazi iz definicije krutog tijela. Promjenu pravca vektora R�

odreñuje promjena kuta ϕ u vremenu. Komponentni vektori radijvektora r

� odreñuju se pomoću

svojih komponenata:

1 2O O Or e e

R xi yj

ξ η= +

= +

� � �

� � � (3.8.2-2)

Brzina bilo koje točke ravne krute figure odreñuje se derivacijom radijvektora r�

po vremenu:

( )Od r Rdrv

dt dt

+= =

��

(b)

Tijek deriviranja i rezultati su sljedeći:

1 2O O Odr d d

e edt dt dt

ξ η= +

��

(c)

Izraz (c) je zapravo brzina ishodišta O:

OO

drv

dt=�

� (3.8.2-3)

koja se može izraziti i pomoću komponenata:

1 2O O

O

d dv e e

dt dt

ξ η= +� � �

(3.8.2-4)

Derivacija po vremenu vektora R�

daje:

( )dt

jdyj

dt

dy

dt

idxi

dt

dxjyix

dt

d

dt

Rd�

��

��

+++=+= (d)

Slika 3.8.2-2 Promjene jediničnih vektora i

� i j�

Kako su x i y konstantni vrijedi:

0, 0dx dy

dt dt= = (e)

Uvrštenjem (e) u (d) dobije se: dR di dj

x ydt dt dt

= +� � �

(f)

Promjene jediničnih vektora i�

i j�

definirane su na slici 3.8.2-2:

di d j dj d iϕ ϕ= = −� � � �

(g) Uvrštenjem (g) u (f) dobije se:

dR d dx j y i

dt dt dt

ϕ ϕ= −�

� � (h)

Derivacija kuta ϕ po vremenu je kutna brzina:

d

dt

ϕω = (i)


MEH-POD-01.doc

pak se uvrštenjem (i) u (h) dobije: dR

x j y idt

ω ω= −�

� � (j)

Brzine u izrazu (j), slika 3.8.2-3, su: - brzina točke T oko O:

TO

dRv

dt=�

� (k)

- komponente brzine točke T oko O: y xv x j v y iω ω= = −

� �� (l)

Brzina točke T oko O se obično piše u sljedećem obliku:

TOv Rω= ×��

(m)

Slika 3.8.2-3 Brzina točke T oko O

Slika 3.8.2-4 Brzine ravne krute figure

Konačno se može definirati brzina za bilo koju toćku ravne krute figure:

O TOv v v= +� � � (3.8.2-5)

Ov v Rω= + ×��

(3.8.2-6) Izvod izraza za ubrzanje počinje deriviranjem brzine, izraz (3.8.2-6), po vremenu:

( )O

dv da v R

dt dtω= = + ×

��

(n)

( )Odv da R

dt dtω= + ×

��

(o)

Prvi član izraza (o) je zapravo ubrzanje ishodišta O:

OO

dva

dt=�

� (3.8.2-7)

Derivacija po vremenu drugog člana izraza (o) daje:

( )dt

RdR

dt

dR

dt

d�

��

��×+×=× ωωω (p)

Kako je:

εω ��

=dt

d (q)

Prvi član izraza (p) je tangencijalno ubrzanje točke T oko O:

tTOa Rε= ×

�� (3.8.2-8)

Drugi član izraza (p) je normalno ubrzanje točke T oko O . Korištenjem izraza (k) i (m) može se napisati u obliku:

( )nTOa Rω ω= × ×� ��

(3.8.2-9) Slika 3.8.2-5 Ubrzanja ravne krute figure

Uvrštenjem izraza (3.8.2-8) i (3.8.2-9) u (p) dobije se

( ) t nTO TO

dR a a

dtω × = +��

(r)


MEH-POD-01.doc

izraz koji odreñuje ubrzanje bilo koje točke ravne krute figure: t n

O TO TOa a a a= + +� � � � (3.8.2-10)

Izrazi izvedeni za brzinu i ubrzanje slijede navod iz 3.8.1 da se gibanje ravne krute figure može tretirati kao složeno od translacije i rotacije. U tom smislu se brzina i ubrzanje točke O nazivaju prenosnom brzinom i prenosnim ubrzanjem. Sve točke ravne krute figure imaju brzinu i ubrzanje točke O kojima treba vektorski pribrojiti komponente brzine i ubrzanja koje dolaze od rotacije ravne krute figure oko točke O.

3.8.3 Geometrijsko prikazivanje gibanja ravne krute figure

Ravninsko se gibanje ravne krute figure može predočiti kao složeno od translacije i rotacije u nekoj nepomičnoj referentnoj ravnini bez koordinatnih osi. Odaberu li se dvije bilo koje točke ravne krute

Slika 3.8.3-1 Pomaci

Slika 3.8.3-2 Brzine

figure, točke A i B na slici 3.8.3-1, tada se translatorni pomak izvodi s brzinom točke A a rotacioni kao rotacija oko točke A. Za brzinu točke B vrijedi:

BAAB vvv�� += (3.8.3-1)

što je prikazano na slici 3.8.3-2. Gornji izraz je istog oblika i značenja kao i izraz (3.8.2-5). Brzina točke B oko A je prema izrazu (m) iz prethodnog poglavlja:

ABvBA ×= ω�� (3.8.3-2)

pak se ukupna brzina točke B može definirati sljedećim izrazom:

B Av v ABω= + ×�� (3.8.3-3)

Izraz (3.8.3-3) je istog oblika i značenja kao i izraz (3.8.2-6). Za ubrzanje točke B koristi se izraz (3.8.2-10) u obliku:

nBA

tBAAB aaaa�� ++= (3.8.3-4)

Tijekom translacijskog pomaka točka B ima ubrzanje Aa

� a

rotacijskoj fazi pripadaju komponente:

ABa tBA ×= ε��

(3.8.3-5)

( )ABa nBA ××= ωω ��

(3.8.3-6) Irazi (3.8.3-5) i (3.8.3-6) istog su oblika i značenja kao i izrazi (3.8.2-8) i (3.8.2-9). Odreñivanje ubrzanja točke B ilustrirano je na slici 3.8.3-3

Slika 3.8.3-3 Ubrzanja Ravninsko se gibanje može predstaviti i kao rotacija oko trenutnog centra rotacije, koji je točka ravne krute figure, i koja u tom trenutku ima brzinu jednaku nuli. Izraze li se brzine točaka A i B pomoću brzine trenutnog centra rotacije Pv

�:

BPPB vvv�� += (a)

APPA vvv�� += (b)

a po pretpostavci je: 0Pv =� (c)

uvrštenjem (c) u (a) i (b) dobije se: Slika 3.8.3-4 Trenutni pol

PBvB ×= ω�� (3.8.3-7)

PAvA ×= ω�� (3.8.3-8)

Sad se konstrukcijom prikazanom na slici 3.8.3-4 odreñuje položaj trenutnog centra rotacije u presjecištu okomica na pravce brzina točaka A i B jer su to brzine rotacije točaka A i B oko točke P. Trenutni centar rotacije se često naziva pol brzina.


MEH-POD-01.doc

Trenutni centarl rotacije je dodirna točka dviju krivulja: pomične centroide, koja je pričvršćena za ravnu krutu figuru, i nepomične centroide koja leži u ravnini gibanja – slika 3.8.3-5. Ravninsko gibanje ravne krute figure može se predočiti kao odvaljivanje, bez klizanja, pomične centroide po nepomičnoj centroidi.

Slika 3.8.3-5 Pomična i nepomična centroida

Primjer 3.8.3-1 Štap duljine d giba se tako da mu krajevi A i B stalno leže na osima x i y, slika 3.8.3-1a. Naći pomičnu i nepomičnu centroidu.

Slika 3.8.3-1a

Slika 3.8.3-1b

Slika 3.8.3-1c

Na slici 3.8.3-1b pokazan je princip odreñivanja trenutnog centra rotacije, točka P, u presjecištu okomica na pravce brzina točaka A i B. Ponavljanjem tog postupka dovoljan broj puta na slici 3.8.3-1c odreñene su pomična centroida, polukružnica radijusa d/2, i nepomična centroida četvrtina kružnice radijusa d.

3.8.4 Kinematika motornog mehanizma

Štap AB jednostavnog motornog mehanizma, prikazanog na slici 3.8.4-1, giba se ravninski dok ojnica OA rotira oko osi z. Odredit će se brzine i ubrzanja točaka A i B u ovisnosti o kutu rotacije i konstantne kutne brzine ojnice OAω . Brzine Brzina točke A jednaka je:

A OAv r ω= (3.8.4-1) Da bi se odredila brzine točke B treba definirati zakon gibanja točke B:

2 2 2 sin cosBy r l rϕ ϕ= + − (a)

Derivacijom izraza (a) po vremenu dobije se brzina točke B:

( ) ( ) ( )1

2 2 2 221cos cos 2cos sin

2B

d dv r l r r

dt dt

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ−

= + − − − (b)

Uzevši u obzir:

Slika 3.8.4-1 Shema motornog mehanizma

OA

d

dt

ϕω = (c)

izraz (b) se može napisati u obliku: 2

2 2 2

sin 2cos

2 cos

OAB OA

rv r

l r

ω ϕω ϕϕ

= +−

(3.8.4-2)

Ubrzanja Točka A se giba po kružnici radijusa r s konstantnom kutnom brzinom pak ima normalno ubrzanje:

2 A OAa r ω= (3.8.4-3) Ubrzanje toćke B dobije se deriviranjem izraza (3.8.4-2) po vremenu:


MEH-POD-01.doc

( )

4 22 2 2 2 2

2 2 22

2 2 2

sin 22 cos2 cos

2 cossin

2 cos

OAOA

B OA

rr l r

l ra r

l r

ω ϕω ϕ ϕϕω ϕ

ϕ

− −−

= − +−

(3.8.4-4)

U pisanju izraza (3.8.4-4) uzet je u obzir izraz (c). Izvedeni izrazi za brzinu i ubrzanje točke B napisat će pomoću brzina i ubrzanja točke A te omjera duljina klipnjače i ojnice:

l

rλ = (d)

2 2

sin 2cos

2 cosB Av v

ϕϕλ ϕ

= + −

(3.8.4-5)

( )

2 2

2 2

2 2

sin 22cos2 cos

2 cossin

2 cosB Aa a

ϕϕ λ ϕλ ϕϕ

λ ϕ

− − − = − + −

(3.8.4-6)

Trenutni centar rotacije štapa OA Koordinate trnutnog centra rotacije odreñuju se temeljem prikaza na slici 3.8.4-2:

P By y= (e) 2 2 2 sin cosPy r l rϕ ϕ= + − (3.8.4-7)

PP

yx

tgϕ= (f)

2 2 2cos coscos

sinP

l rx r

ϕ ϕϕϕ

−= + (3.8.4-7)

Za vrijednosti kuta ϕ 00 i 1800 trenutni centar rotacije štapa AB se nalazi u beskonačnosti po osi x.

Slika 3.8.4-2 Shema motornog mehanizma

3.8.5 Kinetika ravninskog gibanja

Za definiranje jednadžbi gibanja treba odrediti moment količine gibanja po donjem izrazu:

( )

KO

m

M r dmv= ×∫� � �

(a)

Prema prikazu na slici 3.8.5-1 vrijedi:

RvvRrr SS

�� ×+=+= ω , (b)


( ) ( )( )

KO S S

m

M r R v R dmω= + × + ×∫� � ��

(c)

Raspisivanjem integrala u izrazu (c) dobije se:

Slika 3.8.5-1 Skica za izvod momenta količine gibanja

( ) ( )( ) ( )

KO S S S S

m m m m

M r v dm r Rdm Rdm v R Rdmω ω = × + × × + × + × ×

∫ ∫ ∫ ∫� � � � ��

(d)

Neka se u točki S nalazi težište ravne krute figure pak vrijedi:

( )∫ =m

dmR 0 (e)

( )( )∫ ∫ ==××m m

S eJdmRedmRR 32

3 ��

ωωω (f)


MEH-POD-01.doc

Uvrštenjen (e) i (f) u (d) dobije se izraz koji odreñuje moment količine gibanja ravne krute figure za točku O:

3 KO S S SM r mv J eω= × +� � � �

(3.8.5-1) Jednadžbe gibanja izvode se izjednačujući derivaciju momenta količine gibanja ravne krute figure, za točku O, sa statičkim momentom sila, koje djeluju na ravnu krutu figuru, za istu toćku:

KFOO

dMM

dt=

��

(g)

Slijedi:

( ) 330 e

dt

dJ

dt

vdmrvm

dt

rdeJvmr

dt

d

dt

MdS

SSS

SSSS

K�

��

��

�ωω +×+×=+×= (h)

Kako je SS v

dt

rd ��

= prvi član izraza (h) jednak je nuli. U drugom članu izraza (h) se pojavljuje

dt

vda S

S

�� = i u trećem članu kutno ubrzanje ε pak je konačno:

30 eJamr

dt

MdSSS

K��

�

ε+×= (3.8.5-2)

Statički moment sila, koje djeluju na ravnu krutu figuru, za točku O može se rastaviti na dva dijela:

( )FO S SM r F r R F r F R F= × = + × = × + ×� � � � � � ��

(i)

Drugi član izraza (i) je moment sila, koje dejluju na ravnu krutu figuru, za os kroz težište ravne krute figure:

3eMFR FS

��=× (j)

Iz izraz (g), (3.8.5-2), (i) i (j) dobije se:

33 eMFreJamr FSSSSS

�� +×=+× ε (k)

Slijedi:

SF ma=� �

(3.8.5-3) FS sM J ε= (3.8.5-4)

Kinetička energija ravne krute figure koja se ravninski giba odreñuje se u donjem tekstu.

( )∫=m

k dmvE 2

2

1

Rvv S

�� ×+= ω

( ) ( )222 Rvvv S

�� ×+== ω

( )222 2 RRvvv SS

�� ×+×⋅+= ωω

( )( )( )∫ ∫ ∫+×⋅+=m m m

SSk dmRdmRvdmvE 222

2

12

2

1

2

1 ωω��

drugi član, statički moment mase za težište, je jednak nuli pak je:

22

2

1

2

1 ωSSk JmvE += (3.8.5-5)

Kinetička energija ravne krute figure, koja se giba ravninski, jednaka je zbroju kinetičkih energija translacijske i rotacijske komponente gibanja. Translacijski dio kinetičke energije jednak je polovini umnoška njene mase i kvadrata brzine njenog težišta a rotacijski dio kinetičke energije jednak je polovini umnoška kinetičkog momenta tromosti ravne krute figure, za njeno težište, i kvadrata kutne brzine. Za ravninsko gibanje ravne krute figure zakon kinetičke energije ima oblik kao i za druga gibanja:

1212 WEE kk =−

uz definiciju kinetičke enegije danu izrazom (3.8.5-5) i napomenu da za mehanički rad 12W treba uzeti u obzir kako radove sila tako i radove spregova.


MEH-POD-01.doc

3.9 ROTACIJA KRUTOG TIJELA OKO TO ČKE

Razmatra se dio teorije rotacije krutog tijela oko nepomične točke potreban za izlaganje približne teorije gibanja simetričnog giroskopa.

3.9.1 Opis i zakon gibanja

Ako tijekom gibanja krutog tijela položaj jedne njegove točke ostaje nepromijenjen u odnosu na neki nepokretni referentni koordinatni sistem kaže se da kruto tijelo izvodi sferno gibanje ili rotaciju oko nepomične točke. Gibanje se naziva sferno jer se sve pokretne točke krutog tijela gibaju po sfernim plohama čije je središte nepokretna točka. Za proučavanje sfernog gibanja potrebna su dva koordinatna sistema: - nepokretni i referentni koordinatni sistem ξης , - pokretni koordinatnim sistem xyz koji je vezan za kruto tijelo koja su prikazana na slici 3.9.1-1. Sistem sila iF

�, i = 1, 2, 3. ..., n, koji

djeluje na kruto tijelo mora zadovoljavati sljedeće uvjete:

0 0 0R R Rξ η ς= = = (3.9.1-1)

0 0 0NL zM M Mς ≠ ≠ ≠ (3.9.1-2)

Uvjeti (3.9.1-1) govore da su spriječene tri elemen tarne translacije. Kako u uvjetima (3.9.1-2) spregovi sila sistema sila iF

� nisu jednaki nuli

kruto tijelo u sfernom gibanju može izvodiri tri elementarne rotacije.

Slika 3.9.1-1 Sferno gibanje krutog tijela

Elementarne rotacije se definiraju po prijedlogu Eulera, slika 3.9.1-1, na sljedeći način: - neka se poklapaju osi i , i te i x y zξ η ς , -prva elementarna rotacija izvodi se oko osi ς za kut ψ ; odgovarajući položaj osi x u ravnini Oξ η naziva se čvorna ili nodalna linija, - druga elementarna rotacija izvodi se oko nodalne linije za kut ϑ , - treće elementarna rotacija je rotacija oko osi z za ktu ϕ . Zakon gibanja je:

( )R R t=� �

(3.9.1-3)

Kako radijvektor R�

odreñeuje položaj bilo koje točke krutog tijela u odnosu na ishodište O a razdaljine su točaka konstantne, po definicij krutog tijela, vrijedi:

R konst=�

(3.9.1-4)

Dakle za odreñivanje sfernog gibanja važan je pravac radijvektora R�

a on je odreñen ako je poznato:

( )tψ ψ= (3.9.1-5)

( )tϑ ϑ= (3.9.1-6)

( )tϕ ϕ= (3.9.1-7)

Izrazi (3.9.1-3) do (3.9.1-7) definiraju sferno gibanje krutog tijela.


MEH-POD-01.doc

3.9.2 Kutne brzine i aksoidi

Deriviranjem izraza (3.9.1-5) do (3.9.1-7) po vremenu dobiju se kutne brzine elementarnih rotacija koje se zovu Eulerove kutne brzine: kutna brzina precesije

1

d

dt

ψω = (3.9.2-1)

kutna brzina nutacije

2

d

dt

ϑω = (3.9.2-2)

kutna brzina (vlastite) rotacije

3

d

dt

ϕω = (3.9.2-3)

Vektori Eulerovih kutnih brzina prikazani su na slici 3.9.1-1. Zbroje li se ovi vektori dobije se rezultantna kutna brzina:

1 2 3ω ω ω ω= + +� � � � (3.9.2-4)

Vektor rezultantne kutne brzine ucrtan je na slici 3.9.1-2 i leži u pravcu koji se naziva trenutna os rotacije što znači da tijekom gibanja mijenja pravac. Poznato je, iz rotacije krutog tijela oko nepomične osi, da su brzine točaka krutog

Slika 3.9.2-1 Sferno gibanje krutog tijela, pomična i nepomična aksoida

tijela koje leže na osi rotacije jednake nuli.Tako su i brzine točaka krutog tijela pri sfernom gibanju koje leže na trenutnoj osi rotacije jednake nuli. Zato se sferno gibanje krutog tijela može predočiti kao odvaljivanje bez klizanja pomične aksoide po nepomičnoj aksoidi – slika 3.9.1-2. Ove aksoide su konične plohe s vrhom u nepomičnoj točki krutog tijela, koje se sferno giba, a nastaju kao skupovi pravaca u kojima leže trenutne osi rotacije: jedan skup ovih pravaca nalazi se u krutom tijelu i formira pomičnu aksoidu a drugi skup pravaca je u nepomičnoj okolini i formira nepomičnu aksoidu. U slučaju kada su aksoide pravilne konične plohe odnosno kružni stošci sferno gibanje krutog tijela se naziva regularna precesija.

3.9.3 Gibanje simetri čnog giroskopa

U proučavanju gibanja simetričnog giroskopa zadržavaju se koordinatni sistemi ξης i xyz , opisani u 3.91, i dodatno se uvodi pravokutni Resalov koordinatni sistem, slika 3.9.3-1, čije su osi , i m n z . Čvorna linija n stalno leži u koordinatnoj ravnini Oξ η i rotira

konstantnom kutnom brzinom 1ω , kutna brzina precesije, oko osi ς . Os z, koja je i os simetrije simetričnog giroskopa, zatvara s osi ς kut ϑ koji je konstantan tijekom gibanja pak je kutna brzina nutacije 2ω jednaka nuli. Simetrični giroskop još rotira konstantnom kutnom brzinom 3ω oko osi z. Razmatrat će se gibanje simetričnog giroskopa mase m i kinetičkog momenta tromosti zJ , za os z, uležištenog sfernim zglobom u ishodištu O koordinatnog sistema ξης prema prikazu na slici 3.9.3-2. U približnoj teoriji gibanja simetričnog giroskopa kinetički moment (moment količine gibanja) simetričnog giroskopa definira se izrazom:

3Kz zM J kω=

�� (3.9.3-1)

Slika 3.9.3-1 Sferno gibanje simetričnog giroskopa


MEH-POD-01.doc

Slika 3.9.3-2 Sferno gibanje simetričnog giroskopa pod djelovanjem vlastite težine

Slika 3.9.3-3 Promjena jediničnog vektora k

�

Prema zakonu momenata, izraz (3.4.5-4), vrijedi: K

Fzn

dMM

dt=

��

(a)

Derivacijon izraza (3.9.3-1) dobije se:

( )3

3

Kzz

z

d J kdM dkJ

dt dt dt

ωω= =

� ��

(b)

Apsolutna veličina promjene jediničnog vektora k�

u vremenu odreñuje se prema prikazu na slici 3.9.3-3:

sin dk k dϑ ψ=� �

(c)

Uzevši u obzir da je apsolutna veličina jediničnog vektora jedan i da je pravac od dk

� paralelan s

pravcem vektora ne�

i smjerovi su im isti izraz (c) može se napisati u obliku

sin ndk d eϑ ψ=� �

(d) Uvrstivši (d) u (b) i iskoristivši izraz (3.9.2-1) dobije se:

1 3 sin Kz

z n

dMJ e

dtω ω ϑ=

��

(e)

Statički moment težine simetričnog giroskopa za os n, uz b OA= , definiran je donjim izrazom:

sin Fn nM b m g eϑ=� �

(f) Izjednačenjem izraza (e) i (f) dobije se:

1 3 sin sin z n nJ e b m g eω ω ϑ ϑ=� � (3.9.3-2)

odakle se može naći kutna brzina precesije simetričnog giroskopa:

13

z

b m g

Jω

ω= (3.9.3-3)

Iz gornjeg izraza proizlazi da simetrični giroskop koji ima vlastitu rotaciju s kutnom brzinom 3ω i uležišten je u sfernom zglobu a os mu zatvara kut ϑ s vertikalom neće „pasti“ već će rotirati s kutnom brzinom precesije

1ω oko vertikale. Opisano gibanje je regularna precesija. Regularnu precesiju simetričnog giroskopa objašnjava se uvoñenjem inercionog sprega, koji se naziva giroskopski moment označenog s GM

� na slici 3.9.3-4.

Primjenom D'Alembertova principa postavlja se uvjet kinetostatičke ravnoteže:

0nM =�

(g) Uvjet (g) govori da je suma svih momenata za os n jednaka nuli i da je sprečena rotacija oko osi n (simetrični giroskop neće „pasti“). Realizacijom izraza (g) dobije se:

sin 0G nM b m g eϑ+ =� �

(h) Napiše li se izraz (3.9.3-2) u obliku:

1 3 sin sin 0z n nJ e b m g eω ω ϑ ϑ− + =� � (i)

nalazi se:

Slika 3.9.3-4 Sile i momenti na simetrični giroskop

1 3 sin G z nM J eω ω ϑ= −� �

(3.9.3-4) što se može napisat i na sljedeći način:

1 3 G zM J ω ω= − ×� � �

(3.9.3-5) Giroskopski moment je inercijalno svojstvo kojim se kruto tijelo, koje rotira oko svoje osi, opire promjeni svog kinetičkog momenta.


MEH-POD-01.doc

Ako je simetrični giroskop uležišten na nekoj platformi s dva radijalna ležaja, kao na slici 3.9.3-6, i rotira s kutnom brzinom 3ω a platforma rotira s kutnom brzinom 1ω u ležaju se pojavljuju giroskopske reakcije. O odreñivanju giroskopskih reakcija bit će govora u primjeru 3.9.3-1. U konstrukciji girokompasa simetrični giroskop, označen s R na slici 3.9.3-5, održava svoju os rotacije jer sistem okvira i ležaja nemože prenijeti na njega vanjski moment. Pretpostavlja se da su u ležajina kako simetričnog giroskopa tako i u ležajima okvira O1 do O3 spregovi trenja mali. Zadržavanje osi vlastite rotacije simetričnog giroskopa slijedi iz zakona održanja kinetičkog momenta, izraz (3.6.4-9), koji kaže: ako je moment vanjskih sila jednak nuli onda je kinetički moment konstantan što podrazumljeva konstantnu kutnu brzinu i istu os rotacije.

Slika 3.9.3-5

Primjer 3.9.3-1 Odrediti giroskopske reakcije rotora mase m i radijusa R, prikazanog na slici 3.9.3-6, i usporediti ih sa statičkim reakcijama oslonaca. Zadano: AB = b = 2.0 m, R = 0.60 m, m = 150.0 kg, ω1 = 10.0 rad/s, ω = 280.0 rad/s. Rješavanje:

Slika 3.9.3-6

Na slici 3.9.3-7 rotor je smješten u Resalov koordinatni sistem. Zbog precesije rotora javlja se giroskopski moment:

1 3 G zM J ω ω= − ×� � �

kojeg uravnotežuje spreg sila 2 2 i RA BR� �

kojima ležaji A i B djeluju na rotor. Kako je kut ϑ = 900 veličina giroskopskog momenta je:

1 3GM Jω ω= Kinetički moment tromosti rotora je:

2 2150 0.6027.0

2 2

mRJ

⋅= = = kgm2

Sada se može izračunati veličina giroskopskog momenta:

GM = 27.0x10.0x280.0 = 75600.0 Nm

Slika 3.9.3-7

Kako je prije rečeno giroskopskom momentu jednak je, i suprotan, spreg sila 2 2 i RA BR� �

pak se može napisati:

2 2

75600.0=R

2.0G

A B

MR

b= = = 37800.0 N

Statičke reakcije, zbog simetrije, iznose polovinu težine rotora: Rst = 0.5x 150.0x 9.81 = 735.8 N Omjer veličina giroskopskih i statičkih reakcija je:

2 37800.051.4

735.8A

st

R

R= =


MEH-POD-01.doc

4. LITERATURA 1. Bazjanac, D.: Zbirka zadataka iz Tehničke mehanike, I. dio (Statika krutih tijela),

skripta Strojarsko-brodograñevnog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1962.

2. Bazjanac, D.: Zbirka zadataka iz Tehničke mehanike, II. dio (Kinematika),


3. Bazjanac, D.: Zbirka zadataka iz Tehničke mehanike, III. dio (Statika krutih tijela),


4. Ginsberg, J. H. Genin, J. : Statics and Dynamics, John Wiley& sons, New York, 1977. 5. Jablonski, A. A. i

suuradnici: Zadaci i rješeni primjeri iz mehanike, Tehnička knjiga, Zagreb, 1972. 6. Meščerski, I. V.: Zbirka zadatak iz teorijske mehanike, Grañevinska knjiga, Beograd,

1972. 7. Timošenko, S. P. Young, D. H. : Tehnička mehanika, Grañevinska knjiga, Beograd, 1962.

tehnicka mehnika

Documents