Os

cila

torn

o k

reta

nje

Teh

nič

ka f

izik

a 1

23/1

1/2

018

Tehnolo

škifa

kultet

Oscila

torn

o k

reta

nje

•P

eriodič

no k

reta

nje

i h

arm

onijs

ke o

scila

cije

•O

scilo

vanje

tije

la o

bje

šenog o

ela

stičnu o

pru

gu

•M

ate

matičko k

latn

o,

fizič

ko k

latn

o i t

orz

iono

kla

tno

•P

rigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije

•prinudne o

scila

cije

i r

ezonancija

Oscila

torn

o k

reta

nje

Periodič

no k

reta

nje

. O

scila

cije.

•K

reta

nje

koje

se p

onavlja

u

određenim

vre

menskim

inte

rvalim

a n

aziv

a s

e

periodič

no k

reta

nje

.

•Periodič

no k

reta

nje

koje

se p

onavlja

na isti n

ačin

naziv

a s

e o

scila

torn

o k

reta

nje

, a p

roces o

scilo

vanje

.

•O

scila

cija

je jedan c

iklu

s o

scila

torn

og k

reta

nja

poslij

e

čega s

e k

reta

nje

ponavlja

.

Oscila

torn

o k

reta

nje

Periodič

no k

reta

nje

. O

scila

cije.

•O

blic

i oscila

torn

og k

reta

nja

:

•m

ehanič

ka

•ele

ktr

om

agnets

ka;

•ele

ktr

om

ehanič

ka.

•T

ijelo

ili

sis

tem

koji

vrš

i oscila

torn

o k

reta

nje

naziv

a s

e

oscila

tor.

•U

zavis

nosti o

d p

risustv

a s

polja

šnjih

sila

oscila

cije

mogu b

iti:

•slo

bo

dn

e ili

so

pstv

en

e –

izvo

di ih

oscila

torn

i sis

tem

ako

se

izve

de

iz r

avn

ote

žn

og

po

loža

ja i p

rep

usti s

am

se

bi;

•p

rig

uše

ne

i•

pri

nu

dn

e p

od

de

jstv

om

sp

olja

šn

je p

eri

od

ičn

e s

ile.

Oscila

torn

o k

reta

nje

Velič

ine k

od p

eriodič

nog k

reta

nja.

•P

eriod o

scilo

vanja

pre

dsta

vlja

vrije

me k

oje

je p

otr

ebno

da s

iste

m izvrš

i je

dnu p

unu o

scila

ciju

.

•F

rekvencija

oscilo

vanja

pre

dsta

vlja

bro

j iz

vrš

enih

oscila

cija

u jedin

ici vre

mena.

•E

longacija

(pom

jera

j) p

redsta

vlja

rasto

janje

mate

rija

lne

tačke ili

tije

la o

d r

avnote

žnog p

olo

žaja

•A

mplit

uda p

redsta

vlja

maksim

aln

i pom

jera

j

kod p

rosto

periodič

nog

kre

tanja

.

Harm

onijs

ke o

scila

cije.

•K

reta

nje

mate

rija

lne t

ačke p

o k

rugu p

olu

prečnik

a r

je

prim

jer

harm

onijs

kih

oscila

cija

, odnosno o

scila

torn

og

kre

tanja

čija

se e

longacija

mije

nja

po p

rosto

periodič

nom

zakonu.

•Harm

onijs

ko k

reta

nje

može d

a b

ude s

a p

očetn

om

fazom

.

ty

yω

sin

0=

()

00si

nϕ

ω+

=t

yy

Tije

lo o

bje

šeno o

ela

stičnu o

pru

gu.

•V

ert

ika

lni h

arm

on

ijski o

scila

tor

–tije

lo m

ase

m o

bje

še

no

o o

pru

gu

izvo

di slo

bo

dn

e o

scila

cije

na

ko

n izvođ

en

ja iz r

avn

ote

žn

og

po

loža

ja

•K

ada s

e t

ijelo

pom

jeri iz r

avnote

žnog p

olo

žaja

za x

(t):

•o

pru

ga

se

ra

ste

že

ta

kođ

e z

a x

(t),

•n

a k

raje

vim

a o

pru

ge

de

jstv

uju

je

dn

ake

sile

su

pro

tno

g s

mije

ra –

ela

stičn

a s

ila k

oja

je

pre

ma

Hu

ko

vo

m z

ako

nu

:

•k je

ko

nsta

nta

pro

po

rcio

na

lno

sti, kru

tost o

pru

ge

•P

rem

a III N

jutn

ovo

m z

a s

va

ku

silu

po

sto

ji sila

re

akcije

ko

ja d

jelu

jeu

su

pro

tno

m s

mije

ruT

ijelo

se

kreće

po

dd

ejs

tvo

m e

lastičn

esile

op

rug

e.

() tkx

F=

Tije

lo o

bje

šeno o

ela

stičnu o

pru

gu.

•P

rem

a II N

jutn

ovo

m z

ako

nu

sila

ko

ja d

ejs

tvu

je n

a tije

lo:

•Iz

jed

nača

va

nje

m g

orn

jeg

izra

za

za

silu

sa

izra

zo

m z

a e

lastičn

u

silu

do

bija

se

dife

ren

cija

lna

je

dn

ačin

a k

reta

nja

:

•zn

ak „

-“ u

ka

zu

je n

a č

inje

nic

u d

a je

ela

stičn

a s

ila u

vije

k s

up

rotn

og

sm

ijera

od

sm

ijera

kre

tan

ja.

•S

ređ

iva

nje

go

rnje

je

dn

ačin

e d

ob

ija s

e izra

z:

0)

(

0)

(

0)

(

2

0=

+

=+

=+

xt

x

xmk

tx

kxt

xm

ωɺɺɺɺ

ɺɺ

() tx

mF

ɺɺ= ()

kxt

xm

−=

ɺɺ

mk=

0ω

Sopstv

ena k

ružna f

rekvencija

Tije

lo o

bje

šeno o

ela

stičnu o

pru

gu.

•R

ješa

va

nje

m d

ife

ren

cija

lne

je

dn

ačin

e:

•D

ob

ija s

e je

dn

ačin

a k

reta

nja

:

•T

ijelo

izvo

di h

arm

on

ijske

oscila

cije

sa

pe

rio

do

m o

scilo

va

nja

:

•što

je

ma

sa

tije

la v

eća

pe

rio

d o

scilo

va

nja

je

veći.

0)

(2

0=

+x

tx

ωɺɺ

kmT

πωπ

22

0

==

()

ϕω

+=

tA

tx

0si

n)

(

Tije

lo o

bje

šeno o

ela

stičnu o

pru

gu.

•K

ine

tička

en

erg

ija tije

la je

dn

aka

je

:

•P

ote

ncija

lna

en

erg

ija u

od

no

su

na

ra

vn

ote

žn

i p

olo

ža

j:

•Z

a m

aksim

aln

i p

om

jera

j u

od

no

su

na

ra

vn

ote

žn

i po

loža

j:

•U

ku

pn

a e

ne

rgija

:

2

2m

vE

k=

2

2kx

kxdx

Fdx

AE

p

=

==

=

2

2kA

Ep

=

22

22

22 0

22

2A

mkA

kxm

vE

ω=

=+

=

Mate

matičko k

latn

o.

•M

ate

rija

lna t

ačka o

bje

šena o

neis

teglji

vu n

it b

ez t

ežin

e.

•Iz

vođenje

m m

ate

matičkog k

latn

a iz r

avnote

žni polo

žaj:

•n

a k

latn

o d

ejs

tvu

je te

žin

a, čija

je

ta

ng

en

cija

lna

ko

mp

on

en

taa

ktivn

a;

•o

va

sila

je

uvije

k u

sm

jere

na

ka

ra

vn

ote

žn

om

po

loža

ju;

•kla

tno

oscilu

je o

ko

ra

vn

ote

žn

og

po

loža

ja,

na

izm

jen

ičn

o p

retv

ara

jući kin

etičku

up

ote

ncija

lnu

en

erg

iju.

Mate

matičko k

latn

o.

•P

ri r

ota

cio

nom

kre

tanju

na k

latn

o d

jelu

je m

om

ent sile

:

•Mom

ent in

erc

ije:

•u

ga

on

o u

brz

an

je:

•S

dru

ge

str

an

e, sila

F=

mg

sinθ

ima

kra

klu

od

no

su

na

osu

ro

tacije

, ta

ko

da

je

mo

me

nt sile

:

α⋅=

IM

2m

lI

=

2

2

dt

dθ

α=

θsi

nm

gl

M−

=

Mate

matičko k

latn

o.

•Iz

jednačavanje

m m

om

enata

dobija

se d

ifere

ncija

lna

jednačin

a:

•S

ređiv

anje

m izra

za:

•Z

a m

ale

ug

love

sinθ

=θ

:

2

2

2si

ndt

dm

lm

gl

θθ

=−

0si

n

0si

n

2

2

2

2

2

=+

=+

θθ

θθ

lg

dt

d

gl

dt

dl

02 0

2

2

=+

θω

θdt

d

Mate

matičko k

latn

o

•O

pšte

rje

šenje

difere

ncija

lne jednačin

e d

aje

jednačin

u

kre

tanja

:

•O

scila

cije

mate

matičkog k

latn

a s

u h

arm

onijs

ke s

a

periodom

oscilo

vanja

:

•p

eri

od

oscilo

va

nja

ne

za

vis

i o

d m

ase

kla

tna

;•

za

vis

i o

d d

užin

e k

latn

a i g

ravita

cio

no

g u

brz

an

ja.

•Po

što

sva

ko

kla

tno

im

a p

eri

od

oscilo

va

nja

ko

risti s

e z

a izra

du

ča

so

vn

ika

.

()

ϕω

θθ

+=

tt

00si

n)

(

glT

πωπ

22

0

==

Fiz

ičko k

latn

o

•T

ijelo

u r

avnote

žni polo

žaj vraća s

ila:

•N

a k

latn

o d

jelu

je m

om

ent:

�=

−�

��

sin

•Z

a m

ale

ug

love

je

:

�=

−�

��

•N

a o

sn

ovu

dru

go

g N

jutn

ovo

gza

ko

na

:

�=

�

�

��

�

��

+�

��

=

0

��

=�

��

�

�=

2�

��

=2

��

��

�

�=

��

���

s

CM

Fiz

ičko k

latn

o

•O

pšte

rje

šenje

difere

ncija

lne jednačin

e d

aje

jednačin

u

kre

tanja

:

•O

scila

cije

fiz

ičkog k

latn

a s

u h

arm

onijs

ke s

a p

eriodom

oscilo

vanja

:

•p

eri

od

oscilo

va

nja

za

vis

i o

d m

om

en

ta in

erc

ije I;

ma

se

m i r

asto

jan

ja s

.

()

ϕω

θθ

+=

tt

00si

n)

( �=

2�

��

=2

��

��

�

ϕ

M

rF1

F2

Torz

iono

kla

tno

•A

ko n

eko t

ijelo

čvrs

to v

ežem

o z

a d

onji

kra

j ela

stične

žic

e,

onda ć

e u

vrt

anje

m ž

ice z

a u

gao φ

na t

ijelo

dje

lovati

mom

ent ela

stične s

ile:

�=

−�

∙�

•K

onsta

nta

pro

porc

ionaln

osti c

naziv

a s

e t

orz

iona

konsta

nta

. O

na p

redsta

vlja

mom

ent

sile

potr

eban d

a s

e

žic

a u

vrn

e z

a u

gao o

d 1

rad.

�=

2�

� �

Prigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije.

•N

a o

scila

torn

i sis

tem

veom

a č

esto

, pore

d e

lastične i

gra

vitacio

ne s

ile,

dejs

tvuju

i d

ruge s

ile (

sile

tre

nja

).

•R

ealn

i sis

tem

i im

aju

određeno p

rigušenje

koje

dovodi

do s

manje

nja

am

pitude o

scilo

vanja

i p

oste

penog

pre

sta

nka k

reta

nja

sis

tem

a.

•M

eh

an

izm

i p

rig

uše

nja

(vis

ko

zn

o tre

nje

, su

vo

tre

nje

) u

zro

ku

ju d

a s

e

en

erg

ija n

ep

ovra

tno

gu

bi n

pr.

pre

tva

ran

jem

u to

plo

tnu

en

erg

iju p

ri

tre

nju

.

•O

scila

cije

ko

je n

asta

ju u

ta

kvim

sis

tem

ima

na

ziv

aju

se

pri

gu

še

ne

h

arm

on

ijske

oscila

cije

.

•K

od

sis

tem

a u

pri

su

stv

u tre

nja

am

plit

ud

a o

scilo

va

nja

će

po

ste

pe

no

o

pa

da

ti k

a n

uli

uslje

d tro

še

nja

en

erg

ije o

scila

torn

og

sis

tem

a n

a r

ad

sa

vla

da

va

nja

sile

tre

nja

.

Prigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije.

•K

ada s

e t

ijelo

pom

jeri iz r

avnote

žnog p

olo

žaja

za x

(t):

op

rug

a s

e r

aste

že

ta

kođ

e z

a x

(t),

na

kra

jevim

a o

pru

ge

de

jstv

uju

je

dn

ake

sile

su

pro

tno

g s

mije

ra–

ela

stičn

a s

ila k

oja

je

pre

ma

Hu

ko

vo

m z

ako

nu

:

•k je

ko

nsta

nta

pro

po

rcio

na

lno

sti, kru

tost o

pru

ge

•Ja

vlja

se

sila

pri

gu

še

nja

(vis

ko

zn

o tre

nje

) ko

ja je

za

ma

le b

rzin

e

sra

zm

jern

a b

rzin

i, a

su

pro

tno

g s

mije

rao

d b

rzin

e:

Sila

pri

gu

še

nja

dje

luje

na

kra

jevim

ap

rig

ušiv

ača

.

() tkx

F= () txr

Ftr

ɺ=

Prigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije.

•Pre

ma I

I N

jutn

ovom

zakonu r

ezultanta

sila

koja

dje

luje

na t

ijelo

, tije

lu s

aopšta

va u

brz

anje

:

•Iz

jed

nača

va

nje

m g

orn

jeg

izra

za

za

silu

sa

re

zu

lta

nto

m s

ila d

ob

ija

se

dife

ren

cija

lna

je

dn

ačin

a:

Zn

ak „

-“ u

ka

zu

je n

a č

inje

nic

u d

a s

u e

lastičn

asila

i s

ila v

isko

zn

og

tre

nja

uvije

k s

up

rotn

og

sm

ijera

od

sm

ijera

kre

tan

ja.

() tx

mF

ɺɺ=

()xr

kxt

xm

ɺɺɺ

−−

=

Prigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije.

•Jednačin

a k

reta

nja

može s

e n

apis

ati u

oblik

u:

Rje

še

nje

dife

ren

cija

lne

je

dn

ačin

e z

avis

io

d p

rig

uše

nja

.

()()

()0

=+

+t

xmk

tx

mrt

xɺ

ɺɺ ()()

()0

22

=+

+t

xt

xt

xn

nω

ξωɺ

ɺɺ

kmr

2=

ξ

Prigušene h

arm

onijs

ke o

scila

cije.

•K

ada je p

rigušenje

malo

javlja

ju s

e p

rigušene

periodič

ne o

scila

cije

:

•K

ad

a je

pri

gu

še

nje

ve

liko

ja

vlja

ju s

e p

rig

uše

ne

ap

eri

od

ičn

e

(ne

pe

rio

dič

ne)

oscila

cije

, n

e ja

vlja

ju s

e o

scila

cije

već s

iste

m o

dm

ah

id

e u

ra

vn

ote

žn

i p

olo

ža

j.

km2

r ,1

<<

ξ

km2

r ,1

≥≥

ξ

Prinudne o

scila

cije

.Rezon

ansa.

•A

ko s

e k

od s

iste

ma s

a p

rigušenje

m ž

eli

održ

avati

oscilo

vanje

, neophodno je p

rim

jeniti spolja

šnju

silu

koja

će d

a n

adoknadi gubitak u

slje

d p

rigušenja

.

•U

slje

d d

ejs

tva n

eke s

polja

šnje

sile

nasta

ju p

rinudne

oscila

cije

.

•Fre

kvencija

oscilo

vanja

sis

tem

a z

avis

i od f

rekvencije

prinudne s

ile.

Prinudne o

scila

cije

.Rezon

ansa.

•A

ko s

e f

rekvencija

prinudne s

ile m

ijenja

:

•Z

a f

rekvencije

koje

su m

anje

od s

opstv

ene f

rekvencije

,

am

plit

uda v

ibra

cio

nog s

iste

ma ć

e s

e p

ovećavati s

a

pora

sto

m f

rekvencije

prinudne s

ile;

•M

aksim

um

se p

ostiže n

a s

opstv

enoj fr

ekvenciji

;

•U

kolik

o u

sis

tem

u n

e p

osto

ji prigušenje

, am

plit

uda

dostiže b

eskonačnu v

rije

dnost.

•K

ada je f

rekvencija

prinudne s

ile m

nogo v

eća o

d

sopstv

ene,

prinudne o

scila

cije

ne p

osto

je.

•P

oja

va m

aksim

aln

og p

ojačanja

am

plit

ude p

rinudnih

oscila

cija

pod d

ejs

tvom

prinudne p

eriodič

ne s

ile n

aziv

a

se r

ezonansa.

•P

ri r

ezonansi m

ože d

oći i do r

azara

nja

sis

tem

a.

•The first T

acom

a N

arr

ow

s B

ridge, w

hic

h

colla

psed in 1

940.