A9Meschke/Kuhl

Teilprojekt A9 Modellbildung und numerische Simula-tion gekoppelter chemisch, physikalischund mechanisch induzierter Schadigungvon Betonstrukturen

Leiter Prof. Dr. techn. G. MeschkeDr.-Ing. D. Kuhl

Mitarbeiter F. Bangert, Dipl.-Ing. (EA)S. Grasberger, Dr.-Ing., (bis April 2003) (GA)E. Rumanus, Dipl.-Ing., (seit Mai 2003) (GA)

Forderung durchdie DFG 2002 58495,07 EUR

2003 58367,00 EUR

2004 59567,00 EUR

A9Meschke/Kuhl

1. Ausgangsfragestellung und Ziel des Forschungsvorhabens

Die dem Teilprojekt A9 zugrundeliegende Fragestellung ist die Quantifizierung des Einflus-

ses langzeitlicher physikalischer und chemischer Schadigungsmechanismen im Zusammenwir-

ken mit Schadigungen infolge außerer Belastung auf die Lebensdauer von Stahlbetonkonstruk-

tionen als Grundlage fur dauerhaftigkeitsorientierte Tragwerksentwurfe. Leitgedanke bei der

Entwicklung der numerischen Modelle fur Beton unter Berucksichtigung von Transport- und

Schadigungsvorgangen ist die Erfassung der zugrundeliegenden prinzipiellen physikalischen

bzw. chemischen Mechanismen im Rahmen einer makroskopischen Beschreibung des Werk-

stoffs Beton als poroses Material. Diese Modelle sollen direkt im Projektbereich C im Rahmen

wirklichkeitsnaher dreidimensionaler Simulationen von Stahlbetontragwerken unter Zuhilfe-

nahme moderner – teilweise im Rahmen des Projektbereichs B zu entwickelnder – Methoden

der computergestutzten Strukturmechanik eingesetzt werden.

In der ersten Forderungsperiode (2000-2001) wurden zunachst unabhangig voneinander, je

ein physikalischer und ein chemischer Schadigungsmechanismus einschließlich der zugehori-

gen Wechselwirkungen mit lastinduzierten Schadigungen betrachtet. Dabei ging es zum

einen um die Entwicklung eines Simulationsmodells zur Beschreibung der Wechselwirkun-

gen zwischen dem Feuchtetransport und dem Deformations- und Schadigungsverhalten (hygro-

mechanisches Modell) und zum anderen um die Modellbildung chemisch losender Angriffe

(chemo-mechanisches Modell) von Betonstrukturen. Prototypisch fur chemisch losende Angrif-

fe wurde die durch das Auslaugen fester Bestandteile aus dem Zementstein infolge des Kon-

takts mit weichem Wasser verursachte Materialdegradation modelliert. Beide Modelle wurden

als Mehrfeldformulierungen im Rahmen der Methode der Finiten Elemente aufbereitet und zu

Strukturanalysen eingesetzt.

Das zentrale Forschungsziel der zweiten Forderungsperiode (2002-2004) bildete die Weiterent-

wicklung und die Erweiterung des Anwendungsspektrums der in der ersten Bearbeitungsphase

entwickelten Modelle zur Simulation gekoppelter physikalisch bzw. chemisch und mechanisch

induzierter Schadigung in Betonstrukturen. Dazu gehorte die Erweiterung des bisher auf 2D-

Analysen beschrankten hygro-mechanischen Modells auf 3D-Problemstellungen und die Kop-

plung mit dem thermischen Feld. Desweiteren wurde die Modellformulierung um das Lang-

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zeitkriechen erweitert. Schließlich wurde die Modellbildung des Feuchtetransports in Rissen

und deren Umgebung anhand experimenteller Untersuchungen mittels Computertomographie

validiert.

Was das chemo-mechanische Modell fur chemisch losende Angriffe anbelangt, so wurde

zunachst die Modellbildung des Ionentransports im Rahmen der Theorie der Elektrolyte ver-

bessert. Weiterhin wurde die mechanische Schadigungsformulierung mit Hilfe einer Gradien-

tenerweiterung regularisiert. Das nun zur Verfugung stehende Modell ist grundsatzlich auch

fur andere Arten losender chemischer Angriffe, beispielsweise durch kalklosende Kohlensaure,

anwendbar. In Anschluß daran stand die Modellbildung und numerische Simulation treibender

chemischer Angriffe im Vordergrund. Als Prototyp dieser Art von Schadigungsprozessen wurde

die Alkali-Kieselsaure-Reaktion betrachtet. Die Modellierung erfolgte wie bisher auf makro-

skopischer Ebene, so daß das Modell unmittelbar im Rahmen numerischer Tragwerksanalysen

eingesetzt werden kann.

2. Verwendete Methoden

2.1 Modellierung gekoppelter thermo-hygro-mechanischer Deterioration von Beton-

strukturen unter Berucksichtigung von Kriechverformungen

2.1.1 Experimentelle Beobachtungen

Nanoporose zementgebundene Materialien, wie Beton, sind aufgrund einer sehr großen inne-

ren Oberflache durch ein ausgepragtes hydrophiles Verhalten gekennzeichnet. Hygrisch in-

duzierte Spannungen in den Nano-, Mikro- und Kapillarporen beeinflussen das makroskopi-

sche Festigkeits- und Steifigkeitsverhalten von Beton (Wittmann 1968; Pihlajavaara 1974) und

fuhren infolge von Verformungsbehinderungen zu Schadigungen auf der Meso- und der Makro-

Ebene (Colina & Acker 2000). Umgekehrt werden Transportvorgange in und in der unmittel-

baren Umgebung von Rissen stark beschleunigt (Bazant & Raftshol 1982; Breysse & Gerard

1997; Oshita & Tanabe 2000; Gerard & Marchand 2000). Weitere Wechselwirkungen zwi-

schen Feuchtetransport und Strukturdeformation manifestieren sich z.B. in der Feuchtigkeits-

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abhangigkeit von Lanzeitkriechverformungen, dem sogenannten Pickett-Effekt (Trocknungs-

kriechen) (Pickett 1942; Bazant & Xi 1994).

2.1.2 Zustandsgleichungen und entsprechende thermo-hygro-mechanische Kopplungen

Das erweiterte thermo-hygro-mechanische 3D-Materialmodell fur Beton wurde im thermody-

namischen Rahmen der Biot-Coussy-Theorie (BCT) poroser Medien formuliert (Biot 1941;

Coussy 1995). Dabei wird angenommen, dass Beton aus einer festen Phase (Index s) aus Zu-

schlagstoffen und Zementstein, einer flussigen Phase (Index l) aus Wasser und einer Gasphase

(Index g) als ideale Mischung aus trockener Luft und Wasserdampf besteht. Wechselwirkun-

gen zwischen adsorptiv gebundenem Wasser bzw. Kapillarwasser sowie dem Matrixmaterial

werden phanomenologisch durch die Einfuhrung eines sattigungsabhangigen makroskopischen

Kapillardrucks pc = pg−pl (van Genuchten 1980) erfasst, der als die makroskopische Differenz

des jeweiligen durchschnittlichen Drucks der Gasphase pg und der flussigen Phase pl definiert

ist (Bear & Bachmat 1991). Unter der Voraussetzung, dass ein thermodynamisches Gleich-

gewicht zwischen der Mischung aus trockener Luft und Wasserdampf und der Atmosphare

herrscht, lasst sich vereinfacht annehmen, dass die Gasphase einen konstanten atmospharischen

Druck aufweist, der, verglichen mit der Großenordnung von pc, vernachlassigbar ist. Folglich

ergibt sich der makroskopische Kapillardruck als negativer Flussigkeitsdruck zu pc = −pl. Die

vielfaltigen Wechselwirkungen auf den unterschiedlichen Skalen werden im Rahmen der BCT

in einem makroskopischen Rahmen mit Hilfe von Zustandsvariablen und der Festlegung einer

Funktion der freien Energiedichte Ψ

Ψ = W(ε − εp − εf , ml − ρlφpl , ψ, γf , T ) + U(αR, αDP ) . (1)

erfasst. Zu den externen Variablen zahlen der linearisierte Verzerrungstensor ε, der Feuchtege-

halt ml und die Temperatur T . Der Tensor der plastischen Verzerrungen εp, die Kriechverzer-

rungen εf , der irreversible Anteil der Porositat φpl , die Kontinuitat ψ nach (Kachanov 1958), die

Mikrogleitungen γf in den Nanoporen und die verzerrungsaquivalenten inneren Variablen αR

und αDP bezeichnen hingegen die internen Zustandsvariablen. Dabei beschreibt αR das Vor-

und Nachbruchverhalten bei Zug und αDP bei Druck.

Unter Verwendung der Entropieungleichung ergeben sich die konstitutiven Gleichungen in dif-

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ferentieller Form gemaß (Grasberger & Meschke 2003) zu

dσ = Cedu :

[

dε − dεp − dεf]

− ψMB

[

dml

ρl

− dφpl

]

+ Λu dψ − Au dT , (2)

dpl = ψM

[

dml

ρl

− dφpl

]

− ψMB :[

dε − dεp − dεf]

+ Ξ dψ + L dT , (3)

dS =Cu

T0

dT +Au :[

dε − dεp − dεf]

+sl [ dml − ρl dφpl ]−L

[

dml

ρl

− dφpl

]

+Π dψ . (4)

Dabei stellen die Symbole in den Gleichungen (2) bis (4) die gemischten Ableitungen der freien

Energie W dar, die wie folgt interpretiert werden konnen:

• Cedu stellt den undrainierten, tangentialen, vierstufigen und aufgrund der Schadigung mo-

difizierten Materialtensor dar.

• -ψMB beschreibt die hygro-mechanischen Kopplungen, wobei M den isotropen Biot-

Modul und B = b1 den zweistufigen Tensor des tangentialen Biot-Koeffizienten b dar-

stellen.

• Der zweistufige Tensor Λu berucksichtigt die Wechselwirkungen zwischen der Schadi-

gungsevolution dψ und dem Inkrement der totalen Spannung dσ.

• Au = Cedu : 1αt,u beschreibt den undrainierten, tangentialen, zweistufigen thermo-

mechanischen Kopplungstensor, wobei αt,u den undrainierten thermischen Ausdehnungs-

koeffizienten bezeichnet.

• Die skalare Variable Ξ berucksichtigt den Einfluss der Schadigungsevolution dψ auf den

inkrementellen Flussigkeitsdruck.

• L = 3ψMαt,u ist die thermo-hygrische Kopplungsvariable des Modells.

• Cu bezeichnet die undrainierte volumenbezogene Warmekapazitat mit T0 als Referenz-

temperatur.

• sl stellt die interne Entropie der flussigen Phase dar.

• Der Ausdruck T0Π reprasentiert die latente Warme infolge der Schadigungsevolution dψ.

Eine Umformung der Gleichung (3) und anschließendes Einsetzen in Gleichung (2) liefert die

drainierte Formulierung der totalen Spannungen

dσ = Ced :

[

dε − dεp − dεf]

− B dpl + Λ dψ − A dT . (5)

In der obigen Gleichung stellt Ced = ψ [Cu −Mb2 [1 ⊗ 1]] = ψC den drainierten Schadi-

gungstensor, A = Au − 3αt,uMB = Ced : 1αt den drainierten thermo-mechanischen Kopp-

lungstensor und Λ = Λu + ΞB den drainierten Tensor dar.

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Die Identifikation der poroelastischen hygro-mechanischen Kopplungskoeffizienten b und M

basiert auf einem Vergleich der makroskopisch ermittelten Zustandsgleichungen mit einer me-

soskopischen Betrachtungsweise (Meschke & Grasberger 2003). Somit lassen sich der Biot-

Koeffizient b und der isotrope Biot-Modul M wie folgt darstellen

b = Sl

[

1 − ψK

Ks

]

und M =1

ψ

[

φ

[

1 − Slpl

Ks

]

∂Sl

∂pl

+ φSl

Kl

+Sl[b− φSl]

Ks

]−1

, (6)

wobei K dem Kompressionsmodul der entsprechenden Phase entspricht. Die Herleitung der

Kopplungskoeffizienten Λ und Ξ bezuglich der Schadigungsevolution erfolgt anhand der

Maxwell-Bedingungen, die an die Existenz eines makroskopischen Potentials geknupft sind.

Somit ergeben sich gemaß (Grasberger & Meschke 2004) folgende Identifikationen

Λ = C :[

ε − εp − εf]

+K

Ks

∫

pl

Sl dpl1−C : 1αtT und Ξ = ψMSlK

K2s

∫

pl

Sl dpl ≈ 0 . (7)

2.1.3 Effektive Spannungen

Das Konzept der effektiven Spannungen (Fillunger 1936; von Terzaghi 1936) stellt eine geeig-

nete Annahme fur die Beschreibung vollgesattigter geologischer Materialien mit inkompressi-

blen Konstituierenden dar. In (Burlion, Bourgeois & Shao 2000; Grasberger & Meschke 2001;

Coussy & Fleureau 2002) ist die Erweiterung auf teilgesattigte porose Materialien dokumen-

tiert, die im gegenstandlichen Modell Anwendung findet. Grundlage fur die Herleitung des

elastischen effektiven Spannungstensors σ ′e ist die integrierte Form von (5), die schließlich auf

den Ausdruck

σ′e = ψC :[

ε − εp − εf]

− AT mit σ = σ′e +

[

1 − ψK

Ks

]∫

pc

Sl(pc) dpc1 (8)

fuhrt (Grasberger & Meschke 2004). Der Tensor der plastischen effektiven Spannung σ ′p = σ′

stellt im Rahmen der Poroplastizitat die thermodynamisch assoziierte Große zu dem plastischen

Verzerrungstensor εp dar (Coussy 1995)

σ′ = σ − bp pc 1 , (9)

wobei bp den plastischen Biot-Koeffizienten darstellt. Die Identifikation von bp erfolgt gemaß

(Grasberger & Meschke 2001; Meschke & Grasberger 2003)

bp = ψ φSl . (10)

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2.1.4 Langzeitkriechen von Beton

Fur die im Berichtszeitraum erfolgte Berucksichtigung von langzeitigen Kriechverformun-

gen und der Wechselwirkungen mit dem Feuchtefeld wird die Microprestress-Solidification-

Theorie (Bazant, Hauggaard, Baweja & Ulm 1997) herangezogen. Die Mikrovorpspannung

(Microprestress) wird als die thermodynamisch zu Mikrogleitungen in den Gelporen konjugier-

te Große aus der freien Energiefunktion (1) erhalten. Sie lautet in Ratenform

Sf =∂2Ψ

∂γ2f

γf +∂2Ψ

∂γf∂pc

pc = −Hγf + c1pc = −c0Spf + c1pc , (11)

wobei ein Evolutionsgesetz fur die Mikrogleitungen gemaß (Bazant, Hauggaard, Baweja &

Ulm 1997) eingesetzt wurde (Grasberger & Meschke 2003). Fur die Kriechverzerrungen wird

ein rheologisches Modell gemaß (Bazant, Hauggaard, Baweja & Ulm 1997) in der Form

εf =E

ηf (Sf)C−1 : σ′ (12)

mit dem ElastizitatsmodulE und der Viskositat ηf herangezogen. Die Feuchteabhangigkeit der

Kriechverzerrungen εf manifestiert sich einerseits in der Feuchteabhangigkeit der Mikrospan-

nungen Sf gemaß (11) und andererseits in der Verwendung des effektiven Spannungstensors

σ′. Mit diesem Modell wurden in (Grasberger & Meschke 2003) erste Nachrechnungen von

Laborversuchen zu Untersuchung des Trocknungskriechens (Granger 1996) durchgefuhrt.

2.1.5 Elasto-plastisches Schadigungsmodell

Das im gegenstandlichen Projekt verwendete 3D-Mehrflachen-Modell (Meschke, Lackner &

Mang 1998) ist im Hauptspannungsraum formuliert und besteht aus drei Rankine-(Riss-)Fla-

chen und einer Drucker-Prager-Flache. In Analogie zur klassischen Mehrflachen-Plastizitats-

theorie wird ein Bereich elastischen Materialverhaltens im Raum der plastischen effektiven

Spannung festgelegt

IE = (σ′, qk)|fk(σ′, qk(αk)) ≤ 0, k = 1, . . . , 4 . (13)

Darin bezeichnet fk(σ′, qk) ≤ 0 die Fließbedingung mit qk(αk) als dem zugehorigen span-

nungsaquivalenten Verfestigungsparameter. Details bezuglich der Evolutionsgleichungen und

Fließfunktionen sind in (Meschke & Grasberger 2003) dokumentiert.

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2.2 Elektrolytdiffusion als Grundlage eines Modells des Kalziumauslaugens von Ze-

mentstein

Das bereits im Arbeitsbericht (Meschke & Kuhl 2001) eingehend dargelegte chemomechani-

sche Schadigungsmodell (Kuhl, Bangert & Meschke 2000b; Kuhl, Bangert & Meschke 2004a;

Kuhl, Bangert & Meschke 2004b) wurde in dieser Projektphase um ein wirklichkeitsnahes Dif-

fusionsmodell zur Beschreibung des Ionentransports im Porenfluid erweitert. Bestehende Mo-

delle des Kalziumauslaugens verwenden das Fick’sche Diffusionsmodell (Fick 1855) welches

unabhangig von der Konzentration der im Porenraum gelosten Kalziumionen und deren Interak-

tionen ist. In der vorangehenden Antragsphase wurde dieses Modell bereits um elektrostatische

Interaktionen migrierender Kalziumionen im Rahmen des Kohlrausch-Transportmodells (Kohl-

rausch 1900) berucksichtigt. Ausgangspunkt der in der aktuellen Antragsphase durchgefuhrten

Arbeiten ist die Tatsache, dass das Porenfluid eine Vielzahl verschiedener interagierender Io-

nen beinhaltet. Zur Darlegung der grundsatzlichen Zusammenhange beschranken sich die im

Folgenden untersuchten Elektrolyt-Diffusionsmodelle auf jenen Anteil der Ionen des Poren-

fluids, die durch die Dissoziation von Calziumhydroxid entstehen. Details der Entwicklung von

Elektrolyt-Diffusionsmodellen sind (Kuhl & Meschke 2003; Kuhl 2002; Kuhl 2004) zu entneh-

men.

2.2.1 Chemomechanisches Schadigungsmodell

Das im vorliegenden Abschnitt kurz zusammengefasste chemomechanische Schadigungsmo-

dell (Kuhl, Bangert & Meschke 2000b; Kuhl, Bangert & Meschke 2004a; Kuhl, Bangert &

Meschke 2004b) basiert auf den Bilanzen des Impulses und der Masse der Kalziumionen Ca2+

des Porenfluids.

divσ = 0, divq + [φ c]˙+ s = 0 in Ω (14)

Diese im Spannungstensor σ und der Kalziumkonzentration des Porenfluids c formulierten Bi-

lanzen werden durch konstitutive Gesetze

σ = [1 − φ] C : ε, q = φ D · γ, γ = −gradc, D = D(c) 1 (15)

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und Evolutionsgleichungen betreffend die mechanische Schadigung (Simo & Ju 1987) und die

chemischen Losung von Zementstein (Gerard 1996) komplettiert. Gegenstand des vorliegenden

Beitrags ist die Entwicklung des konzentrationsabhangigen Diffusionskoeffizienten D(c) im

Rahmen der Theorie der Elektrolyte.

2.2.2 Dissoziation von Calziumhydroxid in Wasser

Im Kontakt mit dem Porenwasser dissoziiert Calziumhydroxid (Portlandit) in zweifach gelade-

ne Kalzium-Kationen und einfach geladene Hydroxid-Anionen.

Ca(OH)2 Ca2+ + 2OH−, H2O H2O (16)

Diese Reaktion kann allgemein als Dissoziation eines Elektrolyts B im Losungsmittel A in ν+

Kationen B+ und ν− Anionen B− beschrieben werden.

B ν+ Bz+

+ + ν−B−z−− , A A (17)

Die stoichiometrischen Koeffizienten ν+ und ν− und die Valenzen z+ und z− erfullen das Prin-

zip der Elektroneutralitat.

ν+ z+ − ν− z− = 0 (18)

2.2.3 Thermodynamik der Elektrolytdiffusion

Das chemische Potenzial oder die partielle freie Gibbs-Energie der Elektrolytlosung

µB = µ0

B +R T ln aB (19)

ist durch das chemische Potenzial eines Standardzustands µ0B , die Aktivitat der Losung aB , die

universelle Gaskonstante R und die absolute Temperatur T bestimmt. Die Aktivitat wiederum

ist durch den mittleren molaren Aktivitatskoeffizienten y±, der molaren Elektrolytkonzentration

c und den stoichiometrischen Koeffizienten definiert.

aB = yν++ν−± ν

ν+

+ νν−− cν++ν− (20)

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Den molaren Fluss der Ionen q erhalt man mit den Gleichungen (19) und (20) als Produkt des

Gradienten des chemischen Potenzials und der molaren Konzentration c sowie einer Proportio-

nalitatskonstante.

q = −CB R T [ν+ + ν−]

[

1 + cd ln y±dc

]

gradc = −D(c) gradc (21)

Der Vorfaktor des Terms gradc stellt den konzentrationsabhangigen Diffusionskoeffizient D(c)

dar. Im Folgenden werden verschiedene Diffusionsmodelle elektrolytischer Losungen beschrie-

ben.

2.2.4 Fick-Diffusionsmodell

Als Vergleichsmodell wird zunachst das Diffusionsmodell von (Fick 1855) beschrieben. Es setzt

voraus, dass nur eine Spezies von Ionen in der Porenflussigkeit vorhanden ist und die Ionen-

bewegung keinen Interaktionsmechanismen unterliegt. Im Fall diffundierender Kalziumionen

kann der folgende Diffusionskoeffizient angegeben werden (siehe z.B. (Atkins 1998)):

D = DF = DCa2+ =0.7918·10−9m2

s(22)

2.2.5 Onsager-Fuoss-Elektrolyt-Diffusionsmodell

Das von (Onsager & Fuoss 1932) vorgestellte Elektrolyt-Diffusionsmodell beinhaltet

das Nernst-Hartley-Elektrolyt-Diffusionsmodell (Hartley 1931) und das Nernst-Elektrolyt-

Diffusionsmodell (Nernst 1888). Entsprechend beinhaltet es die in den jeweiligen Arbeiten

untersuchten Interaktionsmechanismen in Elektrolytlosungen.

D = DOF =[

DN + 4]

[

1 + cd ln y±dc

]

(23)

In dieser Gleichung stellt DN den Nernst-Diffusionskoeffizienten bei infiniter Verdunnung dar.

Dieser Diffusionskoeffizient berucksichtigt, dass sich geloste Kat- und Anionen infolge des

Prinzips der Elektroneutralitat (18) gemeinsam mit einer mittleren Migrationsgeschwindigkeit

im Porenfluid bewegen.

DN =R T

F 2

z+ + z−z+ z−

λ0

+ λ0

−

λ0

+ + λ0

−

(24)

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Dabei ist F die Faraday-Konstante und λ0+ und λ0

−sind die aquivalenten Konduktivitaten der

Kat- und Anionen bei infiniter Verdunnung (siehe z.B (Atkins 1998)). Fur die Elektrolytlosung

von Calziumhydroxid ergibt sich damit die DiffusionskonstanteDN =1.829·10−9 m2/s, was ei-

ne betrachtlichen Abweichung vom Fick’schen Diffusionsmodell bedeutet. Weiterhin beinhaltet

Gleichung (23) die Relaxation der Ionen nach (Hartley 1931).

cd ln y±dc

= A3

κ

[1+κ a]2, A3 =

−z+z− e216 π ε k T

(25)

Im Relaxationsterm (25) ist e die Elementarladung, k ist die Bolzmann-Konstante, ε = ε0εr

ist die Permeabilitat des Losungsmittels, a ist der Ionengroßenparameter und κ ist die inverse

Debye-Huckel-Lange (Durchmesser der Ionenwolke).

κ = A2

√c, A2 =

√

N e2

ε k T[ν+z2

++ν−z2−] (26)

N ist die Avogadro-Zahl. Das vollstandige Modell nach (Onsager & Fuoss 1932) beinhaltet die

Elektrophoresis als dritten Interaktionsmechanismus migrierender Ionen. Die Elektrophoresis

wird durch den Term

4 = A1

κ

1 + κ a, A1 = − k T

6 π η

[

z+ λ0

−− z− λ

0

+

]2

z+ z−[

λ0

+ + λ0

−

]2(27)

mit der Viskositat des Losungsmittels η berucksichtigt. Die in diesem Abschnitt angegebenen

Gleichungen beruhen auf den Annahmen, dass im betrachteten Konzentrationsbereich die mola-

len und molaren Konzentrationsskalen identisch sind sowie die Aktivitaten des Losungsmittels

vernachlassigt werden konnen. Die Zulassigkeit dieser Annahmen wurde in (Kuhl 2002) ge-

zeigt.

2.2.6 Synthese der Elektrolyt-Diffusionsmodelle

Aus der Zusammenfassung des vorangehenden Abschnitts erhalt man das Onsager-Fuoss-

Elektrolyt-Diffusionsmodell als Funf-Parameter-Modell.

D = DOF = DN +A1κ

1 + κa+

DNA3κ

[1 + κa]2+

A1A3κ2

[1 + κa]3(28)

Die Parameter DN , A1, A2 A3 sind in den Gleichungen (24,27,26,25) als Funktion von Natur-

konstanten sowie Eigenschaften des Losungsmittels und des Elektrolyts gegeben. a kann der

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CaCl2 Ca(OH)2 NaCl Na2SO4

Ca2+ + 2Cl− Ca2+ + 2OH− Na+ + Cl− 2Na+ + SO2−

z+ :z− 2 : 1 2 : 1 1 : 1 1 : 2

ν+ :ν− 1 : 2 1 : 2 1 : 1 2 : 1

DN 1.33502145 ·10−09 1.82903379 ·10−09 1.61023236 ·10−09 1.22990707 ·10−09 m2

s

A1 -5.76509839 ·10−19 -2.10188565 ·10−19 -1.05571120 ·10−20 -2.95285642 ·10−21 m3

s

A2 1.80048775 ·10+08 1.80048775 ·10+08 1.03951208 ·10+08 1.80048775 ·10+08√

mmol

A3 -3.56975479 ·10−10 -3.56975479 ·10−10 -1.78487740 ·10−10 -3.56975479 ·10−10 m

a 4.73000000 ·10−10 4.25000000 ·10−10 3.97000000 ·10−10 5.46000000 ·10−10 m

Tabelle 1: Parameter von Elektrolytlosungen in Wasser fur T = 298K: CaCl2, Ca(OH)2, NaCl

und Na2SO4

Literatur (z.B. (Bockris & Reddy 1998) und (Robinson & Stokes 1955)) entnommen werden.

Durch die Vernachlassigung der ElektrophoresisA1 =0 entsteht aus Gleichung (28) das Nernst-

Hartley-Elektrolyt-Diffusionsmodell.

D = DNH = DN +DNA3κ

[1 + κa]2, A1 = 0 (29)

Vernachlassigt man weiterhin die Relaxation (A1 =A3 =0), entsteht das ursprungliche Nernst-

Elektrolyt-Diffusionsmodell.

D = DN , A1 = A3 = 0 (30)

Fur die Elektrolyt-Diffusionsmodelle (28-30) wird fur verdunnte Losung die Vernachlassi-

gung des Ionengroßenparameters a gegenuber der Debye-Huckel-Lange 1/κ (Onsager 1926)

(1 + κa ≈ 1) und zusatzlich der Interaktion von Relaxation und Elektrophoresis (Kohlrausch

1900) (vierter Summand in Gleichung (28)) vorgeschlagen. Diese Naherungen werden durch

die Indizes O und K gekennzeichnet.

2.2.7 Validierung der Elektrolyt-Diffusionsmodelle

Zur Validierung der in den Abschnitten 2.2.5 und 2.2.6 diskutierten Elektrolyt-

Diffusionsmodelle werden diese auf die Losungen des monovalenten Elektrolyts NaCl und

der bivalenten Elektrolyte CaCl2 und Na2SO4 in Wasser angewendet und mit von (Robinson

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Elektrolyt-Diffusionsmodelle Approximationen

D

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

c0 5 10 15 20 25

(Robinson & Stokes 1955) D

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

c0 5 10 15 20 25

(Robinson & Stokes 1955)DN

DNH

DOF

CaCl2

Ca(OH)2

NaCl

Na2SO4

DOFK

DOFO

DOF

CaCl2

Ca(OH)2

NaCl

Na2SO4

Abbildung 1: Diffusionskoeffizienten D [10−9m2/s] wassriger Elektrolytlosungen von Calzi-

umchlorid CaCl2, Calziumhydroxid Ca(OH)2, Natriumchlorid NaCl and Natriumsulfat Na2SO4

als Funktion der Elektrolytkonzentration c [mol/m3] (Kuhl 2004)

& Stokes 1955) tabellierten Messwerten verglichen. Fur das Elektrolyt Ca(OH)2 stehen kei-

ne Messwerte zur Verfugung. Tabelle 1 beinhaltet die Diffusions-Parameter der untersuchten

Elektrolyte. In Abbildung 1 sind die Diffusionskoeffizienten nach den Modellen nach Nernst

(DN ), Nernst-Hartley (DNH ) und Onsager-Fuoss (DOF ) als Funktion der Elektrolytkonzen-

tration c gegeben. Ferner sind in Abbildung 1 Approximationen des Onsager-Fuoss-Modells

nach den Vorschlagen von (Onsager 1926) (DOFO ) und (Kohlrausch 1900) (DOF

K ) dargestellt.

A9Meschke/Kuhl

Im Fall infiniter Verdunnung konnen alle drei Elektrolyt-Diffusionsmodelle direkt verifiziert

werden (strichlierte Linien in Abbildung 1). Bei konzentrierten Losungen ist die Ubereinstim-

mung von Messwerten und dem Nernst-Hartley-Modell gut. Das Onsager-Fuoss-Modell bil-

det die Messwerte ausgezeichnet ab. Die Untersuchung auf der rechten Seite von Abbildung 1

hinsichtlich von Naherungen im Rahmen des Onsager-Fuoss-Modells (DOFO und DOF

K ) zeigt,

dass die Große der beteiligten Ionen im Vergleich zur Ionenwolke keinesfalls vernachlassigt

werden kann. Der Diffusionskoeffizient des Onsager-Fuoss-Modells fur dissoziiertes Calzium-

hydroxid unterscheidet sich infolge der außergewohnlich hohen Mobilitat der Hydroxidionen

(Protonensprungmechanismus, vgl. (Robinson & Stokes 1955)) signifikant vom Fick’schen

Diffusionskoeffizienten (22) unabhangig migrierender Kalziumionen. Diese Sonderstellung

der Diffusion von Hydroxidionen verursacht weiterhin deutliche Unterschiede der Elektrolyt-

Diffusionsmodelle (DN , DNH und DOF ) im Kontext der Calziumhydroxid-Losung.

2.2.8 Erganzende Entwicklungen zum chemomechanischen Schadigungsmodell

Im Berichtszeitraum wurden verschiedene Diplomarbeiten zur Weiterentwicklungen des Mo-

dells des gekoppelten losenden chemischen Angriffs und mechanischer Schadigung durch-

gefuhrt. Dies waren die Parameteridentifikation des Gerard-Gleichgewichtsmodells mit Hil-

fe von gradientenbasierten Optimierungsmethoden (Mergheim 2002), die Regularisierung des

Schadigungsmodells (Eberle 2003) unter Verwendung des Gradientenkontinuummodells nach

(Peerlings, de Borst, Brekelmans & de Vree 1996) und (in Kooperation mit Teilprojekt C1) die

stochastische Lebensdaueranalyse eines Zementsteinbalkens unter chemisch losendem Angriff

(Kljaic 2003).

2.3 Chemo-hygro-mechanische Modellierung der Schadigung infolge der Alkali-

Kieselsaure-Reaktion und der Einwirkung mechanischer Lasten

Bei der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion (AKR) reagieren alkaliempfindliche Kieselsaurebestand-

teile der Zuschlage mit der alkalihaltigen Porenflussigkeit. Dabei bildet sich als Reaktionspro-

dukt ein Gel, das bestrebt ist Wasser aufzunehmen. Die damit verbundene Volumenvergroße-

A9Meschke/Kuhl

rung fuhrt lokal zu Quelldrucken, die zur Expansion und Deterioration des Betons fuhren. Die-

ser Mechanismus wird im folgenden detailliert erlautert. Darauf aufbauend werden die we-

sentlichen Modellgleichungen des im Rahmen der Theorie Poroser Medien (Ehlers 2002) im

Berichtszeitraum entwickelten chemo-hygro-mechanischen AKR-Modells (Bangert, Kuhl &

Meschke 2003; Bangert, Kuhl & Meschke 2004) dargelegt.

2.3.1 Mechanismus der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion

Alkaliempfindliche Zuschlage reagieren mit den in der Porenflussigkeit des Betons gelosten

Alkalien (Powers & Steinour 1955). Die gelosten Alkalien stammen uberwiegend aus dem Ze-

ment und werden je nach Bindungsform sofort beim Anmachen des Betons oder erst im Laufe

der Hydratation in Form von Alkali- und Hydroxid-Ionen (Na+, Ka+, OH−) freigesetzt (Locher

& Sprung 1973). Die Reaktion der alkaliempfindlichen Zuschlage mit der Porenflussigkeit be-

schrankt sich zunachst auf die Oberflachen der Zuschlagpartikel. Dabei werden in einem ersten

Schritt die stabilen Siloxan-Gruppen der Kieselsaure in den Zuschlagen durch die Hydroxid-

Ionen aufgebrochen und durch terminale Silanol-Gruppen, die keine echten Bindungen zu an-

deren Teilen der Struktur eingehen, ersetzt (Glasser 1992). In einem zweiten Schritt reagieren

die Silanol-Gruppen mit weiteren Hydroxid-Ionen. Diese beiden Reaktionen wiederhohlen sich

kontinuierlich. Je mehr Silanol-Gruppen von vornherein in der Struktur der Kieselsaure vorhan-

den sind, um so weniger stabile Siloxan-Gruppen mussen aufgebrochen werden, um das Gefuge

der Kieselsaure zu zerstoren und aufzulosen. Infolge der Auflosung der Kieselsaure bildet sich

auf der Oberflache der Zuschlagpartikel eine Gelschicht, die sich allmahlich ins Innere der

Zuschlagpartikel ausbreitet. Die Kinetik des Losungsprozesses der Kieselsaure wurde experi-

mentell von (Dron & Brivot 1992) untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass der Losungsprozess

bezuglich der Kinetik als eine chemische Reaktion erster Ordnung (Atkins 1998) interpretiert

werden kann. Fuhrt man den Reaktionsfortschritt ξ, der zum Reaktionsbeginn (t = 0) den Wert

ξ = 0 und zum Reaktionsende (t→ ∞) den Wert Eins annimmt, als chemische Zustandvariable

ein, so kann die Kinetik des Losungsprozesses auf Grundlage des folgenden Geschwindigkeits-

gesetzes erster Ordnung beschrieben werden (Larive & Coussy 1996)

∂ξ

∂t= k[1 − ξ] , (31)

A9Meschke/Kuhl

worin k die Reaktionsgeschwindigkeit kennzeichnet. Die Integration der Evolutionsgleichung

(31) fur konstante Umgebungsbedingungen (k = konst.) liefert:

ξ = 1 − e−k t. (32)

Das wahrend der Losung der Kieselsaure gebildete Gel ist bestrebt, Wasser aufzusaugen und

zu quellen (Vivian 1950). Das Aufsaugen von Wasser ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die

einzelnen Gelpartikel mit einer Hulle von Wassermolekulen umgeben. Da mit zunehmendem

Wassergehalt die Dicke der Hulle und infolgedessen auch der Platzbedarf zunimmt, ubt das

Gel bei nicht hinreichendem Platzangebot einen Quelldruck auf seine Umgebung aus und der

Beton expandiert. Das Gelquellen infolge des Aufsaugens von Wasser kann im Vergleich zur

Gelbildung infolge der Losung der Kieselsaure als ein spontan ablaufender Prozess interpre-

tiert werden (Steffens, Li & Coussy 2003). Durch die allmahlich fortschreitende Reaktion der

Kieselsaure und die gleichzeitige spontane Wasseraufnahme des Gels erhoht sich der Quell-

druck kontinuierlich. Uberschreiten die dabei auftretenden Spannungen die Zugfestigkeit des

Zementsteins oder der Zuschlage, kommt es zur Initiierung von Rissen. Die Rissbildung fuhrt

zur AKR-bedingten Reduktion der Steifigkeit und Festigkeit des Betons (Ono 1990). Zusam-

men mit den starken Verformungen kann dies bis zum volligen Verlust der Nutzungsfahigkeit

eines AKR-befallenen Bauwerks fuhren (Wieker, Herr & Hubert 1994).

2.3.2 AKR-gefahrdeter Beton als poroses Medium

Der AKR-gefahrdete Beton wird als teilgesattigtes poroses Medium betrachtet, welches sich

auf makroskopischer Ebene aus dem Festkorperskelett ϕs, der Porenflussigkeit ϕl und dem

Porengas ϕg zusammensetzt:

ϕ = ϕs + ϕl + ϕg . (33)

Zum Zeitpunkt t = 0 reprasentiert das Festkorperskelett ϕs eine Mischung aus den unreagier-

ten Zuschlagen und den Hydratationsprodukten. Im Verlauf der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion

wird durch die allmahliche Reaktion der alkaliempfindlichen Zuschlage mit der Porenflussig-

keit ein Teil der Masse der Zuschlage in Masse des Gels umgewandelt. Die Gelbildung wird auf

der Oberflache der alkaliempfindlichen Zuschlage initiiert und schreitet allmahlich ins Innere

A9Meschke/Kuhl

der Zuschlage fort. Es wird vorausgesetzt, dass sich das Gel von den Reaktionsstellen in den

Zuschlagen nicht wegbewegt und somit einen Bestandteil des Festkorperskeletts ϕs darstellt.

Folglich reprasentiert das Festkorperskelett ϕs fur t > 0 eine Mischung aus den Zuschlagen,

den Hydratationsprodukten und dem Gel. Vor dem Hintergrund einer Modellentwicklung, wel-

che auf einer moglichst geringen Anzahl von anschaulichen Materialparametern beruht, wird

das Festkorperskelett ϕs jedoch vereinfachend als binare Mischung einer unreagierten Phase

ϕu und einer reagierten Phase ϕr betrachtet

ϕs = ϕu + ϕr , (34)

ohne eine genaue Unterscheidung zwischen den Zuschlagen, dem Gel und den Hydratationspro-

dukten vorzunehmen. Die unreagierte Phase ϕu reprasentiert denjenigen Anteil des Festkorper-

skeletts ϕs, der noch nicht durch die Alkali-Kieseslsaure-Reaktion befallen wurde. Anderer-

seits stellt die reagierte Phase ϕr denjenigen Anteil des Festkorperskeletts ϕs dar, fur den die

alkaliempfindliche Kieselsaure der Zuschlage vollstandig in ein Gel umgeformt wurde und so-

mit die Alkali-Kieseslsaure-Reaktion bereits abgeschlossen ist. Wahrend des Ablaufens der

Alkali-Kieseslsaure-Reaktion wird kontinuierlich Masse der unreagierten Phase ϕu in Masse

der reagierten Phase ϕr umgewandelt, was im Rahmen der phanomenologischen Beschreibung

der AKR den Gelbildungsprozess infolge der Reaktion der reaktiven Zuschlage mit der Poren-

flussigkeit verkorpert.

Den Grundkonzepten der Theorie Poroser Medien folgend, wird die lokale Zusammensetzung

der Mischung ϕ auf Grundlage der Volumenanteile φα = dvα/dv (Index α = s, u, r, l, g)

als lokales Verhaltnis des Partialvolumina dvα der Konstituierenden ϕα zum Volumen dv der

Mischung ϕ beschrieben. Da gemaß dem Ansatz (34) das Festkorperskelett ϕs als eine binare

Mischung interpretiert wird, ergibt sich der zugehorige Volumenanteil als Summe zweier An-

teile:

φs = φu + φr . (35)

Fur die Partialdichte ρs = dms/dv, welche das Massenelement dms des Festkorperskeletts ϕs

auf das von der Mischung ϕ belegte Volumenelement dv bezieht, wird der folgende Ansatz

angenommen

ρs = φs%s = φu%u + φr%r , (36)

A9Meschke/Kuhl

worin %α = dmα/dvα die effektive Dichte der Konstituierenden ϕα kennzeichnet. Demnach

setzt sich die Partialdichte ρs aus einem unreagierten und einem reagierten Anteil zusammen.

Fur die effektiven Dichten der Konstituierenden ϕu und ϕr wird vorausgesetzt:

%u > %r . (37)

Mit dieser Beziehung wird berucksichtigt, dass das von der unreagierten Phase ϕu zur rea-

gierten Phase ϕr ubergehende Material unmittelbar eine gewisse Menge Wasser aufsaugt und

gegenuber dem Ausgangszustand quillt. Dieser Mechanismus verkorpert im Rahmen der phano-

menologischen Beschreibung der AKR das spontane Gelquellen.

2.3.3 Bilanzgleichungen

Im Rahmen der Theorie Poroser Medien sind die Massen- und Impulsbilanz separat fur jede

Konstituierendeϕα zu formulieren. Betrachtet man zunachst das Festkorperskelettϕs = ϕu+ϕr

als binare Mischung, so lautet die zugehorige Massenbilanz allgemein (Ehlers 2002):

∂[φs%s]

∂t+ div(φs%s x′

s) = φs%s . (38)

Darin bezeichnet x′

s die Geschwindigkeit des Festkorperskeletts ϕs. Der Produktionsterm φs

berucksichtigt den Massenaustausch zwischen dem Festkorperskelett ϕs und den ubrigen Kon-

stituierenden. Dabei geht wahrend der Gelbildung und dem Gelquellen ein Teil der Masse der

Porenflussigkeit ϕl in Masse des Gels als Bestandteil des Festkorperskeletts ϕs uber. Die ex-

perimentellen Untersuchungen von (Larive 1998) haben ergeben, dass reaktive und nicht reak-

tive Betonprobekorper, die bis auf die Reaktivitat der als Zuschlage verwendeten Gesteine die

gleiche Zusammensetzung aufweisen, bei gleichen hygrischen Umgebungsbedingungen gleich

viel Wasser aufnehmen. Folglich hat die Alkali-Kieseslsaure-Reaktion keinen nennenswerten

Einfluss auf den Feuchtehaushalt des Betons (Larive, Laplaud & Coussy 2000). Fur die Mo-

dellbildung bedeutet dies, dass in guter Naherung

φs = 0 (39)

vorausgesetzt werden kann, womit der Massenaustausch zwischen der Porenflussigkeit ϕl und

dem Festkorperskelett ϕs vernachlassigt wird.

A9Meschke/Kuhl

Fur die unreagierte Phase ϕu und die reagierte Phase ϕr wird angenommen, dass diese einer

einheitlichen Bewegung folgen und somit die gleiche Geschwindigkeit aufweisen (x′

s = x′

u =

x′

r). Setzt man fur die unreagierte Phase ϕu und die reagierte Phase ϕr ein inkompressibles

Materialverhalten voraus (%u, %r = konst.), so reduzieren sich die zugehorigen Massenbilanzen

zu den folgenden Volumenbilanzen:

∂φu

∂t+ div(φu x′

s) = φu ,∂φr

∂t+ div(φr x′

s) = φr . (40)

Die Produktionsterme φu und φr berucksichtigen den Massenaustausch zwischen ϕu und ϕr,

welcher im Rahmen der phanomenologischen Beschreibung der AKR den Gelbildungsprozess

durch die Losung der Kieselsaure verkorpert. Da die Summation der mit den jeweiligen ef-

fektiven Dichten multiplizierten Massenbilanzen (40)1 und (40)2 in der Mischungsbilanz (38)

resultieren muss, ergibt sich fur die Produktionsterme die folgende Zwangsbedingung:

%u φu + %r φr = 0 . (41)

Gemaß den Ausfuhrungen in Abschnitt 2.3.1 lasst sich der Gelbildungsprozess im Hinblick auf

die Kinetik als chemische Reaktion erster Ordnung interpretieren. Folglich kann ein linearer

Zusammenhang zwischen dem Volumenverbrauch φu und dem Volumenanteil φu angenommen

werden (Atkins 1998):

φu = −k φu, φr = −%u

%rφu =

%u

%rk φu . (42)

Das Einsetzen der Ausdrucke (42)1 und (42)2 in die Volumenbilanzen (40)1 und (40)2 liefert

unter Vernachlassigung der Geschwindigkeit des Festkorperskeletts (x′

s ≈ 0) die Gleichungen

∂φu

∂t= −k φu ,

∂φr

∂t=%u

%rk φu , (43)

welche fur konstante Umgebungsbedingungen (k, %u, %r = konst.) analytisch integriert werden

konnen. Auf diese Weise erhalt man unter Verwendung des Reaktionsfortschritts (32):

φu = φu0 [1 − ξ] , φr =

%u

%rφu

0 ξ . (44)

Das Einsetzen der Volumenanteile (44)1 und (44)2 in den Ansatz (36) liefert nach entsprechen-

der Umformung die effektive Dichte %s des Festkorperskeletts in Abhangigkeit des Reaktions-

fortschritts ξ:

%s =%u %r

%r + ξ [%u − %r]. (45)

A9Meschke/Kuhl

Demnach sinkt die effektive Dichte %s des Festkorperskeletts von dem initialen Wert %u fur

t = 0 und ξ = 0 im Verlauf der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion ab und nahert sich fur t → ∞und ξ → 1 an den Wert %r an.

2.3.4 Konstitutive Gesetze

In einem teilgesattigten porosen Medium wie dem hier betrachteten Beton besteht ein funda-

mentaler Zusammenhang zwischen der Sattigung sl = φl/[φl + φg] als Maß fur den Feuch-

tegehalt und dem Kapillardruck pc = pg − pl als Differenz zwischen dem Gasdruck pg und

dem Flussigkeitsdruck pl. Im Rahmen des chemo-hygro-mechanischen Modells findet die von

(van Genuchten 1980) vorgeschlagene Parametrisierung der sl(pc)-Beziehung Verwendung. Zur

Beschreibung des Transports der Porenfluide ϕβ (Index β = g, l) wird das fur Mehrphasen-

stromungen generalisierte Darcy’sche Gesetz verwendet (Helmig 1998).

In einem gekoppelten Festkorper-Fluid-System teilen sich die Spannungen in dem Festkorper-

skelett ϕs und in den Porenfluiden ϕβ in zwei Anteile auf (Ehlers 2002):

σs = σs′ − φs p 1 , σβ = σβ ′ − φβ pβ1 . (46)

Die effektive Spannung σs′ resultiert aus der Deformation des Festkorperskeletts ϕs, wahrend

die Reibungsspannung σβ ′ sich aus der Bewegung des Porenfluids ϕβ ergibt. Der Porendruck

p = slpl +[1− sl] pg berechnet sich aus den Partialdrucken der Porenfluide ϕβ. Die Summation

der Partialspannungstensoren σα resultiert in dem Gesamtspannungstensor σ der Mischung ϕ.

Unter Vernachlassigung der Reibungsspannung σβ ′ ≈ 0 in (46)2 erhalt man

σ = σs′ − p 1 (47)

in Analogie zum Konzept der effektiven Spannung (Bishop 1959).

Das quasi-sprode Materialverhalten von Beton wird im Rahmen der Kontinuumsschadigungs-

theorie modelliert. Dabei wird ein isotropes Schadigungsmodell mit einem skalaren Schadi-

gungsparameter d und einer verzerrungsbasierten Beschreibung der Schadigungsentwicklung

verwendet (Simo & Ju 1987). Zur Regularisierung wird auf eine gradientenerweiterte Schadi-

gungsformulierung zuruckgegriffen (Peerlings, de Borst, Brekelmans & de Vree 1996). Aus

A9Meschke/Kuhl

physikalischer Sicht resultiert die Schadigung aus der Initiierung und dem Wachstum von Mi-

krorissen. Im isotropen Fall konnen die Mikrorisse als gleichmaßig verteilte Mikroporen mit

dem Volumenanteil φm interpretiert werden (Kuhl, Bangert & Meschke 2000a)

φm = [1 − φ0]d , (48)

wobei φ0 die Porositat bezeichnet. Auf Grundlage dieser Modellierung ergibt sich der makro-

skopische Schadigungstensor C in Abhangigkeit der effektiven Lame-Konstanten µs, λs des

Festkorperskeletts ϕs zu:

C = [1 − φ0 − φm] Cs, Cs = 2µs

I + λs1 ⊗ 1 . (49)

Damit kann fur die effektive Spannung σs′ der folgende Ausdruck angegeben werden:

σs′ = C : [εs − εas1] . (50)

Darin kennzeichnen εs und εas den linearen Verzerrungstensor und die Expansion infolge

der Alkali-Kieselsaure-Reaktion. Im Rahmen der phanomenologischen Modellformulierung

zieht das Fortschreiten der AKR unmittelbar eine Verringerung der effektiven Dichte %s des

Festkorperskeletts ϕs mit sich, vergleiche Gleichung (45). Es wird vorausgesetzt, dass diese

Dichteanderung unmittelbar zur Deformation des Festkorperskeletts ϕs fuhrt. Folglich wird der

folgende Zusammenhang

εas =

1

3

[

%s0

%s− 1

]

(51)

zwischen der AKR-Expansion εas und dem Verhaltnis %s

0/%s ≥ 0 der initialen zur aktuellen

effektiven Dichte des Festkorperskeletts ϕs angenommen.

Der Schadigungsparameter d(κ) wird in expliziter Form uber die verzerrungsahnliche interne

Variable κ mit der Belastungsgeschichte des Materials in Verbindung gesetzt. Um Aussagen

daruber treffen zu konnen, ob eine bestimmte Belastung zu einem Schadigungswachstum fuhrt

oder nicht, wird das Schadigungskriterium eingefuhrt:

Φm = η − κm ≤ 0 . (52)

Darin bezeichnet η die nichtlokale aquivalente Verzerrung, welche das nichtlokale Gegenstuck

zur (lokalen) aquivalenten Verzerrung η verkorpert, siehe (Peerlings, de Borst, Brekelmans

A9Meschke/Kuhl

& de Vree 1996). Die aquivalente Verzerrung η berechnet sich aus den lokalen Verzer-

rungen und stellt somit ein Maß zur Beurteilung des lokalen Deformationszustands dar.

Fur das AKR-Modell wird eine aquivalente Verzerrung η korrespondierend zum RANKINE-

Hauptspannungskriterium verwendet. Dazu wird der Verzerrungstensor

εs =λs + µs

µs[3λs + 2µs]C

s : [εs − εasI] (53)

und dessen Spektralzerlegung

εs =

3∑

i=1

εs,i ni ⊗ ni (54)

in die Eigenwerte εs,i und die Basistensoren ni ⊗ ni eingefuhrt. Die aquivalente Verzerrung η

wird dann gleich dem maximalen Eigenwert des Verzerrungstensors εs gesetzt:

η = maxi=1, 2, 3

(εs,i) . (55)

3. Ergebnisse und ihre Bedeutung

3.1 Validierung des Feuchtetransportmodells in Rissen und deren Umgebung

Im Rahmen einer Kooperation mit dem Institut fur Bauphysik der Universitat Leuven (Belgi-

en) sind zur Absicherung der Modellierung des Feuchtetransports in Rissen und deren Um-

gebung experimentelle Untersuchungen durchgefuhrt worden. Hierbei wurden in getrockneten

Probekorpern (80 x 80 mm2) aus Ziegelsteinen sowie in Mortelproben Risse mit vorgegebe-

ner Rissweite w induziert. Es wurden sowohl glatte Risse, die durch Schnitte erzeugt wur-

den als auch bruchrauhe Risse untersucht. Die Probekorper wurden von einer Seite durch ein

Wasserbad befeuchtet. Die induzierten Risse befanden sich in der Mitte der Probekorper und

verliefen senkrecht zur Wasseroberflache. Die fur die Versuche erforderliche hygrische Kenn-

werte, wie die Kapillardruck-Sattigungs-Beziehung Sl(pc), die initiale (kapillare) Porositat φ0

sowie die initiale und relative Permeabilitat des ungeschadigten Materials wurden zuvor er-

mittelt. Der eingeleitete Feuchtetransport infolge kapillares Saugen wurde mittels Mikrofocus-

Computertomographie zu verschiedenen Zeiten aufgezeichnet und ausgewertet. Nahere Infor-

mationen uber den Versuchsaufbau und uber die Messtechnik konnen (Roels, Vandersteen &

Carmeliet 2003) entnommen werden.

A9Meschke/Kuhl

In Abbildung 2 ist fur Ziegelmaterial und einer Rissweite von w = 0.01mm eines durch Schnitt

erzeugten (fast) glatten Risses die Feuchtigkeitsverteilungen aus den Computertomographie-

aufnahmen zu unterschiedlichen Zeiten dargestellt. Dieser Versuch wurde mit Hilfe des ent-

wickelten hygro-mechanischen Modells nachgerechnet. Dabei sollte die Tauglichkeit der vor-

genommenen phanomenologischen Erfassung des Feuchtetransports in Rissen uberpruft wer-

den sowie Wertebereiche fur den TortuositatsparameterR (siehe (Meschke & Grasberger 2003;

Grasberger, Neumann & Meschke 2003)) abgeleitet werden. Die in Abbildung 2 enthaltenen

numerischen Resultate basieren auf einem Wert von R = 4. Sowohl die berechnete Feuch-

teverteilung in der Umgebung des Risses als auch die zeitlichen Entwicklungen des totalen

Wassergehalts und der Hohe der Wasserfront zeigen eine sehr befriedigende Ubereinstimmung

mit den entsprechenden experimentellen Resultaten. Entsprechende Versuche an Mortelproben

sind fur Mitte Mai 2004 anberaumt.

3.2 Dauerhaftigkeits- und Gebrauchstauglichkeitsanalyse einer Tunnelinnenschale

Um die Praxistauglichkeit des entwickelten thermo-hygro-mechanischen Modells zu untersu-

chen, wurden numerische Dauerhaftigkeitsanalysen einer Tunnelinnenschale (Abbildung 3) un-

ter langzeitiger thermischer, hygrischer und mechanischer Belastung durchgefuhrt. Dabei geht

es um die Prognose achsparalleler Firstrisse, die haufig in Tunnelinnenschalen als Folge be-

hinderter Schwindverformungen i.a. erst mehrere Monate nach dem Ausschalen auftreten. Eine

ausfuhrliche Beschreibung der Analysen einschließlich der verwendeten Material- und Mo-

dellparameter sowie der erzielten Ergebnisse ist in (Grasberger 2002; Grasberger, Neumann &

Meschke 2003; Grasberger & Meschke 2004) enthalten. Neben dem Eigengewicht werden in

der Analyse an der luftseitigen Oberflache der Innenschale zyklische thermische und hygrische

Randbedingungen anhand von metereologischen Wetterdaten (Rocznik 1995) aufgebracht. Das

umgebende Gebirge wird vereinfachend in Form einer elastischen Bettung berucksichtigt.

Abbildung 4 illustriert die Rissentwicklung, reprasentiert durch den skalaren Schadigungspa-

rameter d, und die Feuchtigkeitsverteilung im Firstbereich der Tunnelinnenschale wahrend des

untersuchten Zeitraums von funf Jahren. Innerhalb der ersten Monate nach Fertigstellung des

Tunnelabschnitts entstehen mehr oder weniger gleichmaßig verteilte Mikrorisse infolge der

A9Meschke/Kuhl

Experiment Simulation

t = 6 Min

t = 15 Min

t = 40 Min

1 0 0 0 k g / m 30 k g / m 3 1 5 7 k g / m 30 k g / m 3

Numerische Analyse (w=0.01mm)Universit at Leuven (Simulation)

Zeit t [s]

Was

serg

ehal

t[kg

/m]

70006000500040003000200010000

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Numerische Analyse (w=0.01mm)Universit at Leuven (Simulation)

Zeit t [s]

Hoh

ed.

Was

serf

ront

[mm

]

70006000500040003000200010000

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Abbildung 2: Validierung des Feuchtetransports infolge Kapillaritat anhand von Ziegelmaterial

mit einer vorgegebenen Rissweite von w = 0.01mm.

ungleichmaßigen Austrocknung in einem Bereich von bis zu 3 m um den First. Im weiteren

Verlauf bleiben die meisten dieser Mikrorisse stationar wahrend sich aus einigen Mikrorissen

Makrorisse entwickeln, die wahrend der folgenden Jahre weiter anwachsen und einen mittleren

Rissabstand von 20 ∼ 25 cm und eine Rissoffnungsweite von ca. 1 mm besitzen. Der ubrige Be-

reich der Innenschale bleibt aufgrund der Uberlagerung der hygrisch und thermisch induzierten

Spannungen mit den Druckspannungen infolge des Eigengewichts uber die gesamte Zeit un-

geschadigt. Die numerisch berechnete Schadigungsentwicklung der Tunnelinnenschale stimmt

mit den in situ Beobachtungen an Tunneln (vgl. z.B. (Hintzen & Grube 1995; Springenschmid

& Plannerer 1997)) gut uberein. Wahrend der Trocknungsprozess in den intakten Bereichen

A9Meschke/Kuhl

930 83595

5 4 0 5 0 040

180930710

Tunne

lachse

Streck

enachs

e

4 0

RH

T

rel.

Luf

tfeu

chtig

keit

RH

[%]

Zeit t

Tem

pera

turT

[C

]

90

85

80

75

70

65

60AprFebDezOktAugJunApr

20

15

10

5

0

Abbildung 3: Numerische Simulation einer Tunnelinnenschale: Geometrie des untersuchten

Straßentunnels (Einheiten in [cm]) und jahreszeitlicher Verlauf der thermischen und hygrischen

Einwirkungen.

Schadigungsvariable d Sattigung Sl

1 Jahr

2 Jahre

5 Jahre

0.9 Sl [-] 0.4

0.0 d [-] 1.0

Abbildung 4: Numerische Simulation einer Tunnelinnenschale: Rissentwicklung und Feuchte-

verteilung im untersuchten Zeitraum von 5 Jahren

der Tunnelkonstruktion aufgrund der geringen initialen Permeabilitat nur sehr langsam fort-

schreitet, lasst sich die beschleunigende Wirkung der Risse im rechten Teil der Abbildung 4 gut

erkennen.

A9Meschke/Kuhl

MessungenSimulation

Zeit t [a]

Ris

swei

tew

[mm

]

54321

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

4.3 a2.3 a1.3 a0.3 a

AußenInnenDicke [cm]

Ris

swei

tew

[mm

]

4035302520151050

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Abbildung 5: Numerische Simulation einer Tunnelinnenschale: Vergleich des zeitlichen Ver-

laufs der berechneten Rissbreite w am Firstpunkt mit Messwerten gemaß (Springenschmid &

Plannerer 1997) und berechneter Verlauf der Rissprofile uber die Schalendicke der Innenschale

zu verschiedenen Zeitpunkten.

Abbildung 5 zeigt einen Vergleich der zeitlichen Entwicklung der numerisch ermittelten

Rissoffnungsweite w sowie der Rissprofile am Firstpunkt mit entsprechenden Messungen von

(Springenschmid & Plannerer 1997). Der Riss wachst keilformig in die Schale hinein. Aufgrund

des mit der Zeit abnehmenden Feuchtegradienten verlangsamt sich der Rissfortschritt wahrend

des untersuchten Zeitraums. Im letzten Jahr der Simulation ist die Innenschale zu 87.5 % durch-

trennt. Die numerischen Ergebnisse stimmen gut mit den in situ Messungen uberein. Ein Ver-

gleich mit ungekoppelten Berechnungen (Grasberger, Neumann & Meschke 2003) zeigt, dass

die Berucksichtigung der hygro-mechanischen Wechselwirkungen, insbesondere die Verande-

rung der Transporteigenschaften durch Risse, wesentlich fur die Prognose der Risstiefen ist. Die

Beschleunigung des Trocknungsprozesses im Bereich der Risse fuhrt zu einem Fortschreiten

des Feuchtigkeitsgradienten in Richtung der Risswurzel, was wiederum Voraussetzung dafur

ist, dass der daraus resultierende Rissfortschritt entsprechend der in Abbildung 5 illustrierten

Weise verlauft. In entkoppelten Berechnungen wurde die Risstiefe stark unterschatzt (Grasber-

ger, Neumann & Meschke 2003).

A9Meschke/Kuhl

3.3 Deterioration eines Zementsteinstabes infolge Kalziumauslaugens

Ein Zementsteinstab der Lange L = 0.8 m wird am linken Rand X = 0 dem chemi-

schen Angriff durch Wasser inklusive darin geloster Kalziumionen der Konzentration c? =

〈Tc? − t〉 c0/Tc? ausgesetzt. Die Konzentration am Rand c? wird ausgehend von den Anfangs-

bedingungen des gesamten Felds c = c0 in Tc? = 109s bis auf Null reduziert. Die Parameter des

phanomenologischen Gleichgewichtsmodells nach (Gerard 1996) konnen (Meschke & Kuhl

2001) und (Kuhl, Bangert & Meschke 2004a; Kuhl, Bangert & Meschke 2004b) entnommen

werden. Die Parameter der Diffusionsmodelle sind in Tabelle 1 und in Gleichung (22) gege-

ben. Die raumliche Diskretisierung erfolgt mit 200 quadratischen Finiten Elementen und die

Zeitdiskretisierung des Zeitintervalls [0, T ] mit T = 1011s ist mit der endpunktorientierten For-

mulierung der Chung-Hulbert-Methode (Chung & Hulbert 1993) mit αf = 0, 2β = γ = 0.5,

u = 0 und der Zeitschrittweite ∆t = 107s realisiert.

Die Resultate der Simulationsrechnung auf Grundlage des Onsager-Fuoss-Elektrolyt-

Diffusionsmodells sind in Abbildung 6 anhand der normierten Kalziumkonzentration

des Porenfluids c/c0, der verbleibenden Kalziumkonzentration des Skeletts s/s0 und

der normierten logarithmischen Dissoziationsrate log sn = [log[−s 109 m3s/mol] −1]/[log[smax 109 m3s/mol] − 1] mit smax = 1.2019 ·10−4 mol/sm3 dargestellt. Detaillierte

Analysen dieser Resultate sind (Kuhl, Bangert & Meschke 2004b; Kuhl 2002; Kuhl & Meschke

2003) zu entnehmen. Hier sollen lediglich die fortschreitenden Dissoziationsfronten von Calzi-

umhydroxid und CSH-Phasen, die anhand hoher Dissoziationsraten und großer Gradienten der

Konzentration s/s0 zu lokalisieren sind, diskutiert werden. Anhand der hoheren Geschwindig-

keit des Dissoziationsfortschritts und die deutlich großere Dissoziationsrate ist die Losung von

Calziumhydroxid bestimmend fur die Dauerhaftigkeit chemisch belasteter Betonstrukturen. In

Abbildung 6 ist weiterhin der Fortschritt der CSH- und Calziumhydroxid-Dissoziationsfronten

fur die Diffusionskoeffizienten DF , DN , DNH und DOF (siehe Unterkapitel 2.2) als Funktion

von√

t/∆t dargestellt. Daraus ergeben sich deutliche Unterschiede zwischen den untersuchten

Diffusionsmodellen:

XFront = αp

√t,

αOFp = 11.2 mm/

√a, αNH

p = 11.5 mm/√a

αNp = 12.3 mm/

√a, αF

p = 8.1 mm/√a

(56)

Die Tragweite der unterschiedlichen Koeffizienten αp wird deutlich, wenn man die Zeit tL, die

A9Meschke/Kuhl

Kalziumkonzentration c/c0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X1/L

tT

c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0c/c0 = 0.0

c/c0 = 1.0

Kalziumkonzentration s/s0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X1/L

tT

Cal

zium

hydr

oxid

CSHCSHCSHCSHCSHCSHCSHCSHCSH

Dissoziationsrate log sn

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X1/L

tT

Cal

zium

hydr

oxid

CSH

Dissoziationsfronten

√

t/∆t

X1

L

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 80 100

DOF

DNH

DN

DF

(28)(29)(30)(22)

Calziumhydroxid

CSH

Abbildung 6: Kalziumauslaugen eines Zementstabs: Prognose langzeitlicher Deterioration auf

Basis des Elektrolyt-Diffusionsmodells (28). Untersuchung zur Propagation der Dissoziations-

fronten fur verschiedene Diffusionsmodelle (Kuhl 2004)

die Calziumhydroxid-Front zum Erreichen einer Eindringtiefe XL benotigt, als lebensdauerre-

levantes Kriterium betrachtet:

tOFL

tFL=

[

αFp

αOFp

]2

= 0.523,tOFL

tNL= 1.206,

tOFL

tNHL

= 1.054 (57)

Dies bedeutet, dass die Diffusionsmodelle nach Fick und Nernst mit einem Fehler von 50%

beziehungsweise von 20% als Grundlage lebensdauerorientierter Entwurfskonzepte von Stahl-

A9Meschke/Kuhl

Betonbalken Hygrische Belastungsgeschichte

64016

16

160

X2

X1

Ω

Γ1sl

Γ2slR u?

[mm]t[d]

sl?[−]

sl? on Γ1sl

sl? on Γ2sl

0 50 100 150 3000.6

0.7

0.8

0.9

Abbildung 7: Deterioration eines Betonbalkens infolge der Alkali-Kieselsaure-Reaktion: Geo-

metrie, mechanische und hygrische Randbedingungen, raumliche Diskretisierung mit Finiten

Elementen und hygrische Belastungsgeschichte.

betonstrukturen ungeeignet sind. Einzig das Nernst-Hartley-Elektrolyt-Diffusionsmodell kann

als adaquate Approximation des Onsager-Fuoss-Elektrolyt-Diffusionsmodells bewertet werden.

Da sich die Diffusionskoeffizienten DOF (28) und DNH (29) lediglich durch den Parameter A1

unterscheiden wird im gegenstandlichen Projekt das Relaxation und Elektrophoresis erfassende

Onsager-Fuoss-Elektrolyt-Diffusionsmodell verwendet. Analoge Untersuchungen und Resulta-

te bezuglich mehrdimensionaler Anfangsrandwertprobleme konnen (Kuhl 2004) und (Bangert,

Rumanus, Kuhl & Meschke 2004) entnommen werden.

3.4 Deterioration eines Betonbalkens infolge der Alkali-Kieselsaure-Reaktion

Als Beispiel fur die langzeitliche Degradation infolge der Alkali-Kieselsaure-Reaktion wird

mit Hilfe des in Abschnitt 2.3 beschriebenen chemo-hygro-mechanischen Modells die AKR-

Deterioration eines Betonbalkens unter zyklischen hygrischen Umgebungsbedingungen nume-

risch simuliert. Eine detaillierte Beschreibung des Anwendungsbeispiels einschließlich aller

Material- und Modellparameter ist in (Bangert, Kuhl & Meschke 2004) enthalten.

In Abbildung 7 sind die Geometrie des Balkens, fur den eine ebener Verzerrungszustand vor-

ausgesetzt wird, die Randbedingungen, die raumliche Diskretisierung mit Finiten Elemente und

die hygrische Belastungsgeschichte dargestellt. Die initiale Sattigung des Balkens wird mit

sl0 = 0.8 angesetzt. Gemaß Abbildung 7 ist die hygrische Belastungsgeschichte in drei Pha-

sen unterteilt. Zunachst wird ein Trocknungsprozeß initiiert (Phase I), indem die Sattingung sl

A9Meschke/Kuhl

t [d] S attigung sl Expansionsrate εas Sch adigungsparameter d

20

75 AKR-Sch adigungs-Front

0.6 sl [-] 0.9

0.0 εas [10−5/d] 4.5

0.0 d [-] 1.0

130

Abbildung 8: Deterioration eines Betonbalkens infolge der Alkali-Kieselsaure-Reaktion: Ver-

teilung der Satttigung sl, der Expansionsrate εas und des Schadigungsparameters d zu unter-

schiedlichen Zeitpunkten.

auf allen Oberflachen auf sl? = 0.6 abgesenkt wird. Nach 20-tagiger Trocknung wird die Satti-

gung sl an der Unterseite auf sl? = 0.6 erhoht (Phase II), wodurch ein Feuchtetransport von

der Unterseite in Richtung der Oberseite induziert wird. In der letzten Phase (Phase III) werden

alle hygrischen Randbedingungen auf den Initialwert sl? = sl0 zuruckgesetzt und anschließend

konstant gehalten.

Abbildung 8 illustriert zu ausgewahlten Zeitpunkten der hygrischen Belastungsgeschichte die

Verteilung der Sattigung sl, der AKR-Expansionsrate εas und des Schadigungsparameters d. Die

Ergebnisse in der ersten Zeile (t = 20 d) korrespondieren zum Ende des initialen Trocknungs-

prozesses (Phase I). Infolge der Austrocknung schreitet die Alkali-Kieseslsaure-Reaktion im

Inneren des Balkens starker voran als in den austrocknenden oberflachennahen Bereichen. Das

ist daran zu erkennen, daß zum Zeitpunkt t = 20 d die Expansionrate εas im Inneren des Bal-

kens hohere Werte annehmen als auf den Oberflachen. Der innere Bereich des Balkens wird

infolge der ungleichmaßigen Expansion und der zumindest teilweise behinderten Verformung

auf Druck beansprucht. Die außeren Bereiche werden hingegen aufgrund des feuchteren und

daher starker expandierenden Kerns auf Zug beansprucht. Die Verteilung des Schadigungspa-

rameters d zeigt, daß die Zugspannungen in den oberflachennahen Bereichen die Zugfestigkeit

A9Meschke/Kuhl

des Betons erreichen und zur Offnung von Rissen fuhren (Abbildung 8, t = 20 d). Diese Ober-

flachenrisse stellen ein typisches Merkmal von AKR-befallenen Betonstrukturen dar (Hobbs

1988).

In Phase II der hygrischen Belastungsgeschichte (Abbildung 8, t = 75 d und t = 130 d) wird

ein von unten nach oben orientierter Feuchtetransport induziert, indem die Sattigung sl auf der

Unterseite des Balkens auf sl? = 0.9 erhoht wird. Zum Zeitpunkt t = 75 d kann man anhand

der Verteilung der Expansionrate εas erkennen, daß die Erhohung des Feuchtegehalts an der

Balkenunterseite unmittelbar zur einer Beschleunigung der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion fuhrt.

Die simultane Aktivierung des Feuchtetransports und der Reaktionskinetik im unteren Bereich

des Balkens fuhrt zur Formierung einer AKR-Schadigungs-Front, die sich – dem Feuchtetrans-

port folgend – von der Unterseite des Balkens in Richtung der Oberseite bewegt. Anhand der

Verteilung des Schadigungsparameters d kann man erkennen, daß zum Zeitpunkt t = 75 d

die AKR-Schadigungs-Front etwa um 1/3 der Balkenhohe ins Innere vorgedrungen ist. Die

Front separiert den trockeneren, weniger expandierenden oberen Bereich des Balkens von dem

feuchteren, starker expandierenden unteren Bereich. Der obere Teil des Balkens wird durch

den starker expandierenden unteren Bereich auf Zug beansprucht. Unmittelbar in Hohe der

AKR-Schadigungs-Front erreichen die Zugspannungen die Festigkeit des Beton und fuhren zur

Rißbildung infolge der ungleichmaßigen AKR-Expansion.

Wahrend der hygrischen Entlastung (Phase III, t > 130d) konnen nur marginale Anderungen

des Schadigungszustands beobachtet werden (Bangert, Kuhl & Meschke 2004). An dieser Stelle

sei bemerkt, daß eine rein hygro-mechanische Analyse (d.h. εas = 0) korrspondierend zu einem

Balken aus Beton ohne reaktive Zuschlagsbestandteile zu keiner Schadigung fuhrt (d.h. d = 0).

Das linke Diagramm in Abbildung 9 zeigt die zeitliche Entwicklung der AKR-Expansion εas

in drei Punkten der Symmetrieachse des Balkens. Der anfangliche Trocknungsprozeß (Pha-

se I) verringert signifikant die Geschwindigkeit der Alkali-Kieseslsaure-Reaktion in den ober-

flachennahen Bereichen (Punkte A und C) im Vergleich zu dem nur langsam austrocknenden

Kern des Balkens (Punkt B). Das Einsetzen des von unten nach oben orientierten Feuchte-

transports (Phase II) schlagt sich zum Zeitpunkt t = 20 d in einer deutlichen Vergroßerung der

Expansionsgeschwindigkeit im Punkt A nieder. Obwohl am Ende der numerischen Simulation

A9Meschke/Kuhl

Evolution der AKR-Expansion Last-Verschiebungs-Diagramme

t0 50 100 200 250 300

εas

0

0.1

0.3

0.4

ABC

Punkt APunkt APunkt APunkt APunkt APunkt APunkt APunkt APunkt A

Punkt BPunkt BPunkt BPunkt BPunkt BPunkt BPunkt BPunkt BPunkt B

Punkt CPunkt CPunkt CPunkt CPunkt CPunkt CPunkt CPunkt CPunkt C

λ0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R

0

20

40

60

100

120

140

160

E300

E0

Ru0

Ru300

Belastung bei t = 0dBelastung bei t = 300d

Abbildung 9: Deterioration eines Betonbalkens infolge der Alkali-Kieselsaure-Reaktion: AKR-

Expansion εas [%] als Funktion der Zeit t [d] in drei Punkten der Symmetrieachse. Last-

Verschiebungs-Diagramme R(λ) [N ] der zu den Zeitpunkten t = 0 d (keine AKR-Vorschadi-

gung) und t = 300 d (AKR-Vorschadigung) durchgefuhrten Drei-Punkt-Biege-Versuche.

(t = 300 d) die Sattigung in dem Balken nahezu gleichmaßig verteilt ist (sl ≈ sl0), unterschei-

den sich die AKR-Expansionen in den Punkten A, B und C maßgeblich voneinander. Diese

Beobachtung zeigt, daß nicht nur der Feuchtegehalt selbst sondern auch die zeitliche Entwick-

lung des Feuchtegehalts einen signifikanten Einfluß auf die Alkali-Kieseslsaure-Reaktion hat,

vergleiche (Steffens, Li & Coussy 2003).

Abschließend wird die strukturelle AKR-Degradation im Sinne der Reduktion der maximal

aufnehmbaren Last und der Struktursteifigkeit des betrachteten Balkens analysiert. Zu diesem

Zweck wird zu Beginn (t = 0) und am Ende (t = 300 d) des Belastungsszenarios ein nu-

merischer Drei-Punkt-Biege-Versuch durchgefuhrt, indem der Balken mittig durch eine ver-

schiebungsgesteuerte Last R belastet wird (vergleiche Abbildung 7). Die Aufbringung der Ver-

schiebung u? = λ 0.048 cm wird uber den Lastfaktor λ kontrolliert. Das rechte Diagramm

in Abbildung 9 stellt fur die beiden Drei-Punkt-Biege-Versuche die resultierende Last R in

Abhangigkeit des Lastfaktors λ dar. Offensichtlich fuhrt die chemo-hygro-mechanische De-

terioration des Balkens mit alkaliempfindlichen Zuschlagsbestandteilen zu einem geringfugig

sproderen Verhalten im fruhen post-kritischen Bereich. Ferner kann eine drastische Redukti-

A9Meschke/Kuhl

on der Struktursteifigkeit E und der maximal aufnehmbaren Last Rm des AKR-geschadigten

Balkens festgestellt werden. Innerhalb des simulierten Zeitraums von 300 Tagen hat sich Struk-

tursteifigkeit E um 55% und die Maximallast Rm um 27% gegenuber dem Ausgangszustand

verringert. Die weitere Validierung der Modellergebnisse anhand experimenteller Untersuchun-

gen ist im nachsten Projektzeitraum vorgesehen.

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Steffens, A., K. Li und O. Coussy (2003). Aging approuch to water effect on alkali-silica reac-tion degradation of structures. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 129, 50–59.

van Genuchten, M.T. (1980). A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivityof unsaturated soils. Soil Science Society of America 44, 892–898.

Vivian, H.E. (1950). Studies in cement aggregate reaction. XV. The reaction product of alkalisand opal. Bulletin No. 256, Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation,Melbourne, Australia.

von Terzaghi, K. (1936). The shearing resistance of saturated soils and the angle between theplanes of shear. In First Int. Conf. Soil Mech, Volume 1, 54–56. Harvard University.

Wieker, W., R. Herr und C. Hubert (1994). Alkali-Kieselsaure-Reaktion – Ein Risiko fur dieDauerhaftigkeit? Betonwerk + Fetigteil-Technik 11, 86–91.

Wittmann, F.H. (1968). Surface tension, shrinkage and strength of hardened cement paste. Ma-terials and Structures 1, 547–552.

4. Eigene Veroffentlichungen und sonstige Aktivitaten

4.1 Publikationen

Bangert, F., S. Grasberger, D. Kuhl und G. Meschke (2003). Environmentally induced dete-rioration of concrete: Physical motivation and numerical modeling. Engineering FractureMechanics 70, 891–910.

Bangert, F., D. Kuhl und G. Meschke (2003). Modeling of concrete deterioration by alkali-silicareaction. In N. Bicanic, R. de Borst, H. Mang, und G. Meschke (Hrsg.), ComputationalModelling of Concrete Structures, Lisse, The Netherlands, 361–371. Zwets & Zeitlinger.

A9Meschke/Kuhl

Bangert, F., D. Kuhl und G. Meschke (2004). Chemo-hygro-mechanical modeling and numeri-cal simulation of conrete deterioration caused by alkali-silica reaction. International Journalfor Numerical and Analytical Methods in Geomechanics. accepted.

Bangert, F. und G. Meschke (2004). A coupled hygro-chemo-mechanical damage model forASR-affected concrete. In Fith International Conference on Fracture Mechanics of Concre-te and Concrete Structures (FraMCoS-5), Vail, Colorado, USA.

Bangert, F., E. Rumanus, D. Kuhl und G. Meschke (2004). Modeling and numerical simulationof long-term deterioration of concrete structures. In F. Stangenberg, O.T. Bruhns, D. Hart-mann, und G. Meschke (Hrsg.), Second International Conference on Liftime Oriented De-sign Concepts, Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fur Bauingenieurwesen.

Grasberger, S. (2002). Gekoppelte hygro-mechanische Materialmodellierung und numeri-sche Simulation langzeitiger Degradation von Betonstrukturen, Dissertation. Fortschritt-Berichte. Dusseldorf: VDI Verlag.

Grasberger, S., F. Bangert, D. Kuhl und G. Meschke (2003). Numerical modeling of environ-mentally induced deterioration of concrete. International Journal for Restoration of Buil-dings and Monuments 9, 265–283.

Grasberger, S. und G. Meschke (2003). Drying shrinkage, creep and cracking of concrete: fromcoupled material modelling to multifield structural analyses. In N. Bicanic, R. de Borst,H. Mang, und G. Meschke (Hrsg.), Computational Modelling of Concrete Structures, Lisse,The Netherlands, 433–442. Balkema.

Grasberger, S. und G. Meschke (2004). Thermo-hygro-mechanical degradation of concrete:From coupled 3D material modelling to durability-oriented multifield structural analyses.Materials and Structures 37, 244–256.

Grasberger, S., M. Neumann und G. Meschke (2003). Numerische Dauerhaftigkeitsanalysenvon Betonstrukturen am Beispiel einer Tunnelinnenschale. Bauingenieur 9, 411–421.

Kuhl, D. (2002). Ion diffusion models based on the Debye-Huckel-Onsager theory applied tocalcium leaching of cementitious materials. Journal of Engineering Mechanics. submitted.

Kuhl, D. (2004). Modellierung und Simulation von Mehrfeldproblemen der Strukturmechanik.Bochum: Habilitation, Institute for Structural Mechanics, Ruhr University Bochum.

Kuhl, D., F. Bangert und G. Meschke (2004a). Coupled chemo-mechanical deterioration ofcementitious materials. Part I: Modeling. International Journal of Solids and Structures 41,15–40.

Kuhl, D., F. Bangert und G. Meschke (2004b). Coupled chemo-mechanical deterioration ofcementitious materials. Part II: Numerical methods and simulations. International Journalof Solids and Structures 41, 41–67.

Kuhl, D. und G. Meschke (2002). Higher order transport models for the simulation ofdissociation-diffusion processes in reactive porous media. In H.A. Mang, F.G. Rammer-storfer, und J. Eberhardsteiner (Hrsg.), Proceedings of the Fifth World Congress on Compu-tational Mechanics (WCCM V), Vienna. Vienna University of Technology.

Kuhl, D. und G. Meschke (2003). Computational modeling of transport mechanisms in reactiveporous media - Application to calcium leaching of concrete. In R. de Borst, N. Bicanic,H. Mang, und G. Meschke (Hrsg.), Computational Modelling of Concrete Structures, Rot-terdam, 473–482. Balkema.

A9Meschke/Kuhl

Kuhl, D. und G. Meschke (2004a). Higher-order accurate Galerkin time integration schemes fornon-linear reaction-diffusion problems. In P. Neittaanmaki, T. Rossi, S. Korotov, E. Onate,J. Periaux, und D. Knorzer (Hrsg.), European Congress on Computational Mechanics inApplied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2004), Jyvaskyla, Finland. CD-Rom.

Kuhl, D. und G. Meschke (2004b). Robust time integration schemes for durability analyses. InProceedings of the Sixth World Congress on Computational Mechanics (WCCM V), Beijing,China.

Meschke, G., F. Bangert, S. Grasberger und D. Kuhl (2002). ,,Computational Durability Me-chanics” als Grundlage kunftiger lebensdauerorientierter Entwurfskonzepte von Stahlbeton-konstruktionen. In D. Dinkler (Hrsg.), Baustatik - Baupraxis 8, 225–236. Institut fur Statik,TU Braunschweig, Deutschland.

Meschke, G., P. Dumstorff, F. Bangert und D. Kuhl (2004). Fracture and long-term deteriorati-on of concrete structures: Discontinuous discretization concepts and multiphase models. InP. Neittaanmaki, T. Rossi, S. Korotov, E. Onate, J. Periaux, und D. Knorzer (Hrsg.), Euro-pean Congress on Computational Mechanics in Applied Sciences and Engineering (ECCO-MAS 2004), Jyvaskyla, Finland. CD-Rom.

Meschke, G. und S. Grasberger (2003a). Gekoppelte numerische Analysen trocknungs- undlastinduzierter Schadigung von Betonstrukturen. Beton- und Stahlbetonbau 98, 226–235.

Meschke, G. und S. Grasberger (2003b). Numerical modeling of coupled hygromechanical de-gradation of cementitious materials. Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 129, 383–392.

4.2 Vortrage und Teilnahme an Kongressen

Bangert, F. (Marz 2003). Modeling of concrete deterioration by alkali-silica reaction. Compu-tational Modelling of Concrete Structures (EURO-C 2003). St. Johann, Austria. Forderungdurch SFB: 510 EUR.

Bangert, F. (Marz 2004). Numerical modeling of long-term deterioration of concrete structuresaccounting for hygral and chemical processes. Second International Conference on LiftimeOriented Design Concepts. Bochum, Germany.

Kuhl, D. (April 2003). Ein elektrochemisches Modell des Ionentransports als Grundlage zu-verlassiger Lebensdauerprognosen von Betonstrukturen. Workshop Porose Medien, Biome-chanik und verwandte Gebiete. Kleinwalsertal, Osterreich.

Kuhl, D. (April 2002). Interaction of calcium leaching and mechanical damage in concrete.International Conference on Multifield Problems. Stuttgart, Deutschland. Forderung durchSFB: 335 EUR.

Kuhl, D. (Dezember 2002). Simulation interagierender mechanischer und chemischer Schadi-gungsmechanismen in Beton. Werkstoffwissenschaftliches Kolloquium der Fakultat furChemie, Pharmazie und Werkstoffwissenschaften. Universitat des Saarlandes, Saarbrucken.

Kuhl, D. (Februar 2002). Galerkin-Zeitintegratoren zur Losung semidiskreter Anfangswertpro-bleme erster und zweiter Ordnung. Workshop Continuum Mechanical Modeling and Nume-rical Methods. Kleinwalsertal, Osterreich.

A9Meschke/Kuhl

Kuhl, D. (Juli 2004). Higher-order accurate Galerkin time integration schemes for non-linearreaction-diffusion problems. European Congress on Computational Methods in AppliedSciences and Engineering (ECCOMAS 2004). Jyvaskyla, Finland.

Kuhl, D. (Juli 2002). Higher order transport models for the simulation of dissociation-diffusionprocesses in reactive porous media. Fifth World Congress on Computational Mechanics(WCCM V). Vienna, Austria. Forderung durch SFB: 1040 EUR.

Kuhl, D. (Juli 2002). Higher order transport models for the simulation of dissociation-diffusionprocesses in reactive porous media. Fifth World Congress on Computational Mechanics.Vienna, Osterreich.

Kuhl, D. (Marz 2003). Computational modeling of transport mechanisms in reactive porousmedia - application to calcium leaching of concrete. Computational Modelling of ConcreteStructures (EURO-C 2003). St. Johann, Osterreich.

Kuhl, D. (Marz 2004). Galerkin-Zeitintegratoren zur Losung semidiskreter Anfangswertpro-bleme erster und zweiter Ordnung. Workshop Porose Medien, Biomechanik und verwandteGebiete. Freudenstadt-Lauterbad, Deutschland.

Kuhl, D. (Marz 2002). Modellierung chemomechanischer Schadigung von Beton im Rahmender Mischungstheorie. Workshop Porose Medien. Vorderbuchelberg, Deutschland.

Kuhl, D. (Marz 2004). Simulation of dissoziation-diffusion in porous media. Workshop Conti-nuum Mechanical Modeling and Numerical Methods. Sterzing, Italien.

Meschke, G. (April 2004). A coupled chemo-hygro-mechanical damage model for ASR-affected concrete. Fith International Conference on Fracture Mechanics of Concrete andConcrete Structures (FraMCoS-5). Vail, Colorado, USA.

Meschke, G. (Juni 2002). Finite Elemente Analysen langzeitiger Schadigung von Betonstruk-turen. Eingeladener Vortrag, Bauhaus-Universitat Weimar. Weimar, Germany.

Meschke, G. (Juli 2004). Fracture and long-term deterioration of concrete structures: Disconti-nuous discretization concepts and multiphase models. European Congress on Computatio-nal Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2004). Jyvaskyla, Finland.

Meschke, G. (Juli 2002). Numerical modelling of hygro-mechanical couplings in cementi-tious materials. Model based Simulation of Durability of Structures (NFS-Workshop). Prag,Tschechische Republik. Forderung durch SFB: 868 EUR.

Meschke, G. (Juli 2003). Poroplastic-damage modelling of concrete considering creep. ASCE-Engineering Mechanics Conference. Seattle, USA.

Meschke, G. (Marz 2002). ,,Computational Durability Mechanics” als Grundlage kunftiger le-bensdauerorientierter Entwurfskonzepte von Stahlbetonkonstruktionen. Baustatik - Baupra-xis 8. Brunswick, Germany.

Meschke, G. (Marz 2003). Drying shrinkage, creep and cracking of concrete: from coupledmaterial modelling to multifield structural analyses. Computational Modelling of ConcreteStructures (EURO-C 2003). St. Johann, Austria.

Meschke, G. (September 2004). Robust time integration schemes for durability analyses. SixthWorld Congress on Computational Mechanics (WCCM VI). Beijing, China.

A9Meschke/Kuhl

4.3 Lehrveranstaltungen und Seminare

Teilaspekte aus der in dem Teilprojekt A9 behandelten Thematik fließen in die Vorlesungen

,,Finite Elemente Methoden II” (G. Meschke, D. Kuhl), ,,Advanced Finite Element Methods”

(G. Meschke, D. Kuhl, S. Reese) sowie in das Seminar ,,Numerische Methoden der Strukturme-

chanik” (G. Meschke, D. Kuhl) ein.

4.4 Organisation von projektrelevanten Konferenzen und Minisymposia

• Minisymposium Computational Durability Mechanics im Rahmen des 5th World Con-

gress on Computational Mechanics, Wien, Osterreich, 7.-12. Juli 2002, gemeinsam mit

Prof. F.-J. Ulm (MIT).

• Konferenz EURO-C 2003 – Computational Modelling of Concrete Structures, St. Johann

im Pongau, Osterreich, 17.-20. Marz 2003, gemeinsam mit Prof. R.de Borst (TU-Delft),

Prof. N. Bicanic (TU-Glasgow) und Prof. H.A. Mang (TU-Wien).

• Konferenz ICLODC 2004 – 2nd International Conference on Liftime-Oriented Design

Concepts, Bochum, 1.-3 Marz 2004, gemeinsam mit Prof. F. Stangenberg (RUB), Prof.

O.T. Bruhns (RUB) und Prof. D. Hartmann (RUB).

• Minisymposium Computational Geomechanics and Environmental Mechanics with Cou-

pled Problems im Rahmen des 6th World Congress on Computational Mechanics, Peking,

China, 5.-10. September 2004, gemeinsam mit Prof. X. Li (Dalian University) und B.A.

Schrefler (University of Padua).

• EUROMECH-Kolloquium Numerical Analysis of Concrete Cracking, Innsbruck, Oster-

reich, 21.-23. Februar 2005, gemeinsam mit Prof. G. Hofstetter (Universitat Innsbruck).

5. Kooperationen

Ein wissenschaftlicher Austausch zu Dauerhaftigkeitsprognosen zementgebundener Materiali-

en wird mit dem Teilprojekt A11 gepflegt. Insbesondere werden instationare Transportprozesse

von Warme, Wasser und Schadstoffen gemeinsam erortert. Die im Teilprojekt A9 entwickel-

ten Modelle werden in Zusammenarbeit mit dem Teilprojekt C1 im Rahmen probabilistischer

A9Meschke/Kuhl

Methoden hinsichtlich der Variation der Modellparameter untersucht. Entsprechende Koopera-

tionen mit dem Teilprojekt C1 finden uber die Simulationsplattform des Teilprojekts B3 anhand

von Struktursimulationen statt. Im Rahmen einer kooperativen Diplomarbeit (Kljaic 2003) wur-

de gemeinsam mit Teilprojekt C1 eine stochastische Lebensdaueranalyse eines Zementsteinbal-

kens unter chemischen Angriff durch weiches Wasser durchgefuhrt. Mit Teilprojekt A5 erfolgte

ein wissenschaftlicher Austausch zur Modellierung des Langzeitkriechens von Beton.