teknik riset operasional - metode simpleks

BAB 4 METODE SIMPLEKS

4.1 Pendahuluan

• Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss

Jordan.

• Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi

grafik) satu per satu dengan cara perhitungan iteratif.

• Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang kita

sebut dengan iterasi.

• Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

• Ada beberapa istilah yang sangat sering kita gunakan dalam metode simpleks, diantaranya

iterasi, variabel non basis, variabel basis, solusi atau nilai kanan, variabel slack, variabel

surplus, variabel buatan, kolom pivot, baris pivot, elemen pivot, variabel masuk, variabel

keluar.

4.2 Bentuk Baku

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar dari sebuah

kendala, yaitu:

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, diubah menjadi bentuk baku

persamaan (=) dengan menambahkan suatu variable baru yang disebut sebagai slack

variable untuk setiap kendala. Slack variable menyatakan jumlah sunber daya yang tidak

digunakan dari kendala sumber daya yang diwakilinya.

Contoh,

3 x1 + 4 x2 ≤ 10 → 3 x1 + 4 x2 + S1 = 10

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, diubah menjadi bentuk baku

persamaan (=) dengan menambahkan satu surplus variable (negative dari slack variable)

dan artificial variable. Surplus variable perlu ditambahkan untuk mengubah kendala kedlam

bentuk persamaan. Karena surplus variable mempunyai koefisien -1 maka perlu

ditambahkan artificial variable untuk membentuk suatu matriks identitas pada tabel awal

simpleks.

Contoh,

3 x1 + 4 x2 ≥ 10 → 3 x1 + 4 x2 - S1 + A1 = 10

3. Fungsi kendala dengan persamaan = dalam bentuk umum, diubah menjadi bentuk baku

persamaan dengan menambahkan satu artificial variable. Artificial variable ditambahkan

untuk membentuk suatu matriks identitas pada tabel awal simpleks. Pada kahir iterasi (solusi

optimal), artificial variable tidak diperkenangkan mempunyai suatu nilai yang tidak sama

dengan nol. Apabila artificial variable mempunyai suatu nilai yang tidak sama dengan nol

maka solusi yang diperoleh dinyatakan sebagai solusi yang tidak layak.

Contoh,

3 x1 + 4 x2 = 10 → 3 x1 + 4 x2 + A1 = 10

4. Fungsi kendala yang mempunyai nilai kanan bernilai negatif, perlu diubah dengan

mengalikan dengan -1.

Contoh,

3 x1 + 4 x2 ≥ -10 → -3 x1 - 4 x2 ≤ 10 → -3 x1 - 4 x2 + S1 = 10

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar dari sebuah

variabel, yaitu syarat umum bentuk baku sebuah pemrograman linear untuk simpleks adalah

bahwa semua variabel harus bernilai non-negatif.

Suatu variable yang bernilai tidak terbatas (unrestricted) berarti bahwa variabel tersebut bisa

bernilai positif maupun negatif. Untuk variabel yang bernilai tidak terbatas (mungkin bernilai

negatif) maka perlu diubah kedlam bentuk variabel non-negatif. Pengubahan variabel tidak

terbatas menjadi variabel non-negatif dapat dilakukan dengan menjadikan variabel tersebut

menjadi selisih dua variabel yang bernilai non-negatif.

Contoh,

Maksimumkan Z = 15 x1 + 20 x2

terhadap:

3 x1 + 4 x2 ≤ 10 (garis kendala 1)

2 x1 + 5 x2 ≤ 8 (garis kendala 2)

x1 ≥ 0, x2 tak terbatas (garis kendala 3)

Agar x2 bernilai non-negatif maka x2 digantikan dengan variabel (x2′ - x2″) sehingga formulasi

berubah menjadi:

Maksimumkan Z = 15 x1 + 20 x2′ - 20 x2″

terhadap:

3 x1 + 4 x2′ - 4 x2″ ≤ 10 (garis kendala 1)

2 x1 + 5 x2′ - 5 x2″ ≤ 8 (garis kendala 2)

x1 ≥ 0, x2′ ≥ 0, x2″ ≥ 0 (garis kendala 3)

Bentuk baku dari formulasi diatas menjadi:

Maksimumkan Z = 15 x1 + 20 x2′ - 20 x2″ + S1 + S2

terhadap:

3 x1 + 4 x2′ - 4 x2″ + S1 = 10 (garis kendala 1)

2 x1 + 5 x2′ - 5 x2″ + S2 = 8 (garis kendala 2)

x1 ≥ 0, x2′ ≥ 0, x2″ ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0 (garis kendala 3)

Contoh 1.

Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2

terhadap:

x1 + x2 = 90 (garis kendala 1)

0.001 x1 + 0.002 x2 ≤ 0.9 (garis kendala 2)

0.09 x1 + 0.6 x2 ≥ 27 (garis kendala 3)

0.02 x1 + 0.06 x2 ≤ 4.5 (garis kendala 4)

x1, x2 ≥ 0 (garis kendala 5)

Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman linearnya. Kedalam bentuk baku/standar,

model matematik tersebut akan berubah menjadi:

Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2

Terhadap:

x1 + x2 + s1 = 90

0.001 x1 + 0.002 x2 + s2 = 0.9

0.09 x1 + 0.6 x2 - s3 = 27

0.02 x1 + 0.06 x2 + s4 = 4.5

x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

• Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah

menggunakan bentuk persamaan.

• Fungsi kendala kedua dan keempat (s2 dan s4) mendapatkan variable slack karena bentuk

umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan

surplus variable (s3) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥..

Contoh 2.

Maksimumkan z = 2 x1 + 3 x2

terhadap:

10 x1 + 5 x2 ≤ 600

6 x1 + 20 x2 ≤ 600

8 x1 + 15 x2 ≤ 600

x1, x2 ≥ 0

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan kedalam bentuk baku hanya

membutuhkan variable slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk

pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya.

Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

Terhadap :

10x1 + 5x2 + s1 = 600

6x1 + 20x2 + s2 = 600

8x1 + 15x2 + s3 = 600

x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

Semua fungsi kendala (s1, s2 dan s3) mendapatkan variable slack karena bentuk umumnya

menggunakan pertidaksamaan ≤,

4.3 Pembentukan Tabel Simpleks

Langkah-langkah pembentukan sebuah tabel simpleks:

1. Memeriksa kelayakan tabel

Kelayakan tabel simpleks dapat dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang

bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk

proses optimalisasi.

2. Menetukan kolom pivot

Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z)

dan tergantung dari bentuk tujuan.

• Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien

negatif terbesar.

• Jika tujuan minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif

terkecil.

Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita

memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke

atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan

maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu

secara sembarang.

3. Menetukan baris pivot

Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang

bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada

kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi.

Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak

mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom

pivot.

Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar.

Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.

4. Menentukan elemen pivot

Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

5. Membentuk tabel simpleks baru.

Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru.

Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya

merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru

dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom yang sama.

6. Memeriksa apakah tabel sudah optimal.

Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari

bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z

sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris

z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi

optimalnya.

Contoh.

Jika diketahui bentuk baku sebagai berikut:

Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

Terhadap :

10x1 + 5x2 + s1 = 600

6x1 + 20x2 + s2 = 600

8x1 + 15x2 + s3 = 600

x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0

Tabel awal simpleks dari persamaan baku diatas dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1: Variabel baku

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z -2 -3 0 0 0 0 S1 10 5 1 0 0 600 S2 6 20 0 1 0 600 S3 8 15 0 0 1 600

Penyelesaian:

1. Memeriksa kelayakan tabel

Kelayakan tabel simpleks dapat dilihat dari solusi (nilai kanan).

Tabel 4.1: Memeriksa kelayakan tabel


Solusi tidak ada yang bernilai negatif, maka tabel dianggap layak dan proses optimalisasi

bisa diteruskan.

2. Menetukan kolom pivot

Tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif

terbesar.

Tabel 4.2: Menentukan kolom pivot


Kolom pivot ditandai dan kemudian ditarik ke atas, maka diperoleh X2 sebagai variabel

masuk.

3. Menetukan baris pivot

Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang

bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada

kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi.

Tabel 4.3: Menghitung rasio

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z -2 -3 0 0 0 0 - S1 10 5 1 0 0 600 600/5 = 120 S2 6 20 0 1 0 600 600/20 = 30 S3 8 15 0 0 1 600 600/15 = 40

Dari Tabel 4.3 didapatkan bahwa nilai rasio pembagi terkecil adalah 30 sehingga baris pivot

adalah seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4: Menentukan baris pivot

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z -2 -3 0 0 0 0 - S1 10 5 1 0 0 600 600/5 = 120 S2 6 20 0 1 0 600 600/20 = 30 S3 8 15 0 0 1 600 600/15 = 40

Baris pivot ditandai dan kemudian ditarik ke kiri, maka diperoleh S2 sebagai variabel keluar.

4. Menentukan elemen pivot

Dari Tabel 4.4 terlihat bahwa nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot

adalah 20; sehingga 20 disebut sebagai elemen pivot.

5. Membentuk tabel simpleks baru.

Iterasi ke-0.

Tabel 4.4 kemudian digambarkan sebagai Tabel 4.5; tabel awal simpleks (itersi ke-0).

Dimana X2 adalah variabel masuk, S2 adalah variabel keluar dan 20 adalah elemen pivot.

Tabel 4.5: Tabel awal simpleks; iterasi ke-0

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z -2 -3 0 0 0 0 - S1 10 5 1 0 0 600 120 X2 6 20 0 1 0 600 30 S3 8 15 0 0 1 600 40

Iterasi ke-1.

Tabel simpleks baru (itersi ke-1) dibentuk dengan menghitung nilai baru baris pivot. Baris

pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot.

Tabel 4.6: Nilai baru baris pivot

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z S1 X2 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20 30 S3

Nilai baru untuk baris selain baris pivot = Nilai lama - (Nilai pada kolom kerja * Nilai baru

baris pivot).

Nilai pada kolom kerja adalah nilai pada titik perpotongan kolom pivot dengan baris yang

akan dicari nilai baru-nya.

Tabel 4.7: Nilai baru baris pivot; baris ke-1

X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z lama -2 -3 0 0 0 0

-3 6/20 20/20 0/20 1/20 0/20 600/20 Z baru -2 - (-3*6/20)

= - 1.1 -3 - (-3*20/20)

= 0 0 - (-3*0)

= 0 0 - (-3*1/20)

= 0.15 0 - (-3*0)

= 0 0 - (-3*600/20)

= 90


X1 X2 S1 S2 S3 Solusi S1 lama 10 5 1 0 0 600

5 6/20 20/20 0/20 1/20 0/20 600/20 S1 baru 10 - (5*6/20)

= 8.5 5 - (5*20/20)

= 0 1 - (5*0)

= 1 0 - (5*1/20)

= -0,25 0 - (5*0)

= 0 600 - (5*600/20)

= 450


X1 X2 S1 S2 S3 Solusi S3 lama 8 15 0 0 1 600

15 6/20 20/20 0/20 1/20 0/20 600/20 S3 baru 8 - (15*6/20)

= 3.5 15 - (15*20/20)

= 0 0 - (15*0)

= 0 0 - (15*1/20)

= -0,75 1 - (15*0)

= 1 600 - (15*600/20)

= 150

Memasukkan nilai-nilai Zbaru, S1 baru dan S3 baru kedalam Tabel 4.6. Dan diperoleh Tabel 4.10

sebagai tabel nilai baru untuk interasi ke-2.

Tabel 4.10: Tabel nilai baru; iterasi ke-1

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z -1,1 0 0 0,15 0 90 S1 8.5 0 1 -0,25 0 450 X2 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20 S3 3.5 0 0 -0,75 1 150

Dari Tabel 4.10 terlihat bahwa masih terdapat nilai negative pada fungsi tujuan sehingga

dapat dinyatakan bahwa solusi yang diperoleh belum optimal. Untuk itu perlu dilakukan

perbaikan solusi dengan cara lanjut ke iterasi berikutnya.

Iterasi ke-2.

Tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif

terbesar.

Tabel 4.11: Menentukan kolom pivot untuk iterasi ke-1

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z -1,1 0 0 0,15 0 90 S1 8.5 0 1 -0,25 0 450 X2 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20 S3 3.5 0 0 -0,75 1 150

Tabel 4.12: Menghitung rasio untuk iterasi ke-1

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z -1,1 0 0 0,15 0 90 - S1 8,5 0 1 -0,25 0 450 450/8,5 = 52,94 X2 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20 (600/20) / (6/20) = 100 S3 3,5 0 0 -0,75 1 150 150/3,5 = 42,857

Dari Tabel 4.12 didapatkan bahwa nilai rasio pembagi terkecil adalah 42,857 sehingga baris

pivot adalah seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.13.

Tabel 4.13: Menentukan baris pivot

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z -1,1 0 0 0,15 0 90 - S1 8,5 0 1 -0,25 0 450 52,94 X2 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20 100 S3 3,5 0 0 -0,75 1 150 42,857

Variabel masuk adalah x1, variabel keluar adalah S3 dan 3,5 adalah elemen pivot.

Tabel simpleks baru (itersi ke-2) dibentuk dengan menghitung nilai baru baris pivot. Baris

pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot.

Tabel 4.14: Nilai baru baris pivot

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio Z S1 X2 X1 3,5/3,5 0/3,5 0/3,5 -0,75/3,5 1/3,5 150/3,5 42,857/3,5

Nilai baru untuk baris selain baris pivot = Nilai lama - (Nilai pada kolom kerja * Nilai baru

baris pivot).

Nilai pada kolom kerja adalah nilai pada titik perpotongan kolom pivot dengan baris yang

akan dicari nilai baru-nya.


X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z lama -1,1 0 0 0,15 0 90

-1,1 3,5/3,5 0/3,5 0/3,5 -0,75/3,5 1/3,5 150/3,5 Z baru -1,1 - (-1,1*1)

= 0 0 - (-1,1*0)

= 0 0 - (-1,1*0)

= 0 0,15 - (-1,1*-0,2143)

= 0,1264 0 - (-1,1*0,2857)

= 0.3143 900 - (-1,1*42,857)

= 137,1429


X1 X2 S1 S2 S3 Solusi S1 lama 8,5 0 1 -0,25 0 450

8,5 3,5/3,5 0/3,5 0/3,5 -0,75/3,5 1/3,5 150/3,5 S1 baru 8,5 - (8,5*1)

= 0 0 - (8,5*0)

= 0 1 - (8,5*0)

= 1 -0,25 - (8,5*-0,2143)

= 1,5715 0 - (8,5*0,2857)

= -2,4285 450 - (8.5*42,857)

= 85,7155


X1 X2 S1 S2 S3 Solusi X2 lama 6/20 20/20 0 1/20 0 600/20

6/20 3,5/3,5 0/3,5 0/3,5 -0,75/3,5 1/3,5 150/3,5 X2 baru 0,3 - (0,3*1)

= 0 1 - (0,3*0)

= 1 0 - (0,3*0)

= 0 0,05 - (0,3*-0,2143)

= 0,1143 0 - (0,3*0,2857)

= -0,0857 30 - (0,3*42,857)

= 17,1429

Memasukkan nilai-nilai Zbaru, S1 baru dan X2 baru kedalam Tabel 4.14. Dan diperoleh Tabel

4.19 sebagai tabel nilai baru untuk interasi ke-2.

Tabel 4.19: Tabel optimal

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z 0 0 0 0,1264 0.3143 137,1429 S1 0 0 1 1,5715 -2,4285 85,7155 X2 0 1 0 0,1143 -0,0857 17,1429 X1 3,5/3,5 0/3,5 0/3,5 -0,75/3,5 1/3,5 150/3,5 = 42,8571

Dari Tabel 4.19 terlihat bahwa tidak terdapat nilai negatif pada fungsi tujuan sehingga dapat

dinyatakan bahwa solusi yang diperoleh sudah optimal.

6. Membaca tabel optimal

Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal

yang bisa dibaca dari tabel optimal, antara lain:

1. Solusi optimal variabel keputusan.

2. Status sumber daya.

3. Harga bayangan (dual/shadow prices)

Membaca solusi optimal

Tabel 4.20 dibuat berdasarkan Tabel 4.19 dimana nilai-nilai tertentu dihapus untuk memudahkan

membaca solusi optimal.

Tabel 4.20: Solusi optimal

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z 137,1429 S1 X2 17,1429 X1 42,8571

Berdasarkan Tabel 4.20, diperoleh solusi optimal tercapai jika X1 = 42,8571, X2 = 17,1429 dan

Z= 137,1429. Ini berarti bahwa untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar 137,1429

maka perusahaan harus memproduksi produk 1 sebanyak 42,8571 unit dan produk X2 sebanyak

17,1429 unit.

Membaca status sumber daya


membaca status sumber daya.

Tabel 4.21: Status sumber daya

Variabel Baku Solusi Z S1 85,7155 X2 X1

Sumber daya dilihat dari keberadaan variabel basis dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal.

Berdasarkan Tabel 4.20,

• Fungsi kendala ke-1 diperoleh dengan cara memeriksa keberadaan S1 pada variabel basis

tabel optimal; S1 ditemukan dan nilai solusi untuk S1 adalah 85,7155.


tabel optimal; S2 tidak ditemukan karena telah berganti menjadi X2. Ini berarti bahwa S2=0.


tabel optimal; S3 tidak ditemukan karena telah berganti menjadi X1. Ini berarti bahwa S3=0.

• Nilai S2 = 85,7155; sehingga sumber daya ini disebut berlebih (abundant).

• Nilai S1 = S3 = 0; sehingga sumber daya ini disebut disebut habis terpakai (scarce).

Membaca harga bayangan

Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.


membaca harga bayangan.

Tabel 4.22: Harga bayangan

Variabel Baku X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Z 0 0,1264 0,3143 S1 X2 X1

• Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan demikian harga bayangan

sumber daya pertama adalah 0.

• Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0,1264, dengan demikian harga

bayangan sumber daya kedua adalah 0,1264.

• Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0,3143, dengan demikian harga

bayangan sumber daya ketiga adalah 0,3143.

teknik riset operasional - metode simpleks

Documents