telproblemen overzichtelijk weergeven
DESCRIPTION
Telproblemen overzichtelijk weergeven. boomdiagram wegendiagram rooster maken alle mogelijkheden systematisch uit schrijven. 1.1. Boomdiagram. Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´ experiment ´. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Telproblemen overzichtelijk weergevenboomdiagramwegendiagramrooster makenalle mogelijkheden systematisch uit schrijven
1.1
Boomdiagram
Bij een Boomdiagram schrijf je systematisch op welke mogelijkheden er zijn bij het uitvoeren van een ´experiment´.
We voeren het volgende experiment uit:
Het bestellen van een menu.
Een restaurant heeft 3 verschillende voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 3 desserts.
Hoeveel verschillende menu’s kun je samenstellen?
Dit gaan we schematisch uitschrijven in een boomdiagram.
Het boomdiagram
Wat kies je eerst?
Welke keuzes heb je?
Wat kies je vervolgens?
Wat kies je nu?
Welke keuzes heb je nu?
In totaal zijn er 45 verschillende menu’s te bestellen.
Dit kun je uitrekenen door alle takken te tellen of de vertakkingen te vermenigvuldigen
Vb. aan de hand van het menu
Uit 3 voorgerechten
Uit 5 hoofdgerechten
Uit 3 nagerechten
Hoe maak je een boomdiagram ?1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken
uit het beginpunt2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken3 zet de volgorde achter de laatste takken
1.1
Tip :
Als je weet hoeveel takken er na de laatste keuze zijn zet dan dat aantal stippen eerst op papier en teken vervolgens terug. Dit i.v.m. de netheid.
voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets1e set 2e set 3e set
N wint
N wint
N wint
N wint
N wintG wint
G wint
G wint
G wint
G wint
N-N
N-G-N
N-G-G
G-N-N
G-N-G
G-G
N-G-G
G-N-G
geef aan hoe G in 3 sets wint
1.1
Wegendiagram
Een boomdiagram kan erg groot en onoverzichtelijk worden. Dan kun je beter gebruik maken van een wegendiagram.
We kijken weer naar het restaurant.
Dit kunnen we ook als volgt weer geven:
Eerste keus Tweede keus Derde keus
3
Aantal keuzes Aantal keuzes Aantal keuzes
5 3 x x = 45
Wegendiagram
∙ ∙ ∙ ∙soep
cocktail
kip
ham
schnitzel
pizza
ijs
meloen
2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden
vermenigvuldigingsregel
2 x 4 x 2 = 16
1.1
De vermenigvuldigingsregeleen gecombineerde handeling die bestaat uit1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerdkan op p x q x r manieren worden uitgevoerd
1.1
Rooster maken
121110987611109876510987654987654387654327654321654321som
je gooit met een rode en een groene dobbelsteentel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster
1.1
Systematisch de mogelijkheden noterenEr zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.
1112
1121
1211
2111
1.1
halve competitieje speelt maar 1x tegen elkaarbv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden
hele competitieje speelt 2x tegen elkaarbv. hoeveel wedstrijden spelen 4 teams4 x 3 = 12 wedstrijden
XXXXD
C-DXXXC
B-DB-CXXB
A-DA-CA-BXADCBA
XD-CD-BD-AD
C-DXC-BC-AC
B-DB-CXB-AB
A-DA-CA-BXADCBA
6 wedstrijden 12 wedstrijden
je speelt niet tegen jezelf
1.1
De vermenigvuldigingsregel of de somregelkan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,dan kan :1 handeling I EN handeling II op p x q manieren2 handeling I OF handeling II op p + q manieren
1.1
Herhalinghet is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn toegestaanzonder herhalingbijvoorbeeld bij een bestuur kiezenmet herhalinghet aantal mogelijke nummerborden
1.2
Zonder herhalingUit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris.Het aantal manieren is
aantal = 5 × 4 = 20
eerst de voorzitter: keuze uit 5 personen
dan de secretaris: keuze uit 4 personen
1.2
Met herhalingIn Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters, hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.Het aantal mogelijke nummerborden is
aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100
10 cijfers voor de eerste plaats
10 cijfers voor de tweede
plaats
26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats
26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats
enz.
1.2
Tellen met en zonder terugleggen
Een cijfer slot openen op de gok is een gebeurtenis waarbij je te maken hebt met een gebeurtenis met teruglegging. Voor elke ring heb je immers telkens 10 cijfers die je mag gebruiken ( Je telt met terug legging )
Hoeveel cijfer “combinaties” zijn er bij een cijferslot die uit drie ringen bestaat?
Hoe zit dat met de pin-code van je bankpas?
Dat zijn er maar 10 x 10 x 10 = 103 = 1000
Hoeveel mensen hebben er eigenlijk een pin-pas? ! ? ! ?
opgave 24
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
a
aantal = 225 = 33.554.432 b aantal velletjes = 225 : 100 ≈ 335.544
1 velletje = 0,1 mm.100 velletjes = 1 cm.dus stapel ≈ 335.544 : 100 ≈ 3355 cm. ≈ 34 m.
c aantal = 29 = 512
1 2 3
4 5 6
7 8 9
opgave 2515 meisjes en 12 jongens 27 leerlingen3 leerlingen 1 (muziek) + 1 (drank) + 1 (hapjes)a één meisje voor de muziek 15
verder komt het er niet op aan 26 x 25aantal = 15 x 26 x 25 = 9750
b één meisje voor de muziek 152 jongens voor de drank+hapjes 12 x 11aantal = 15 x 12 x 11 = 1980
c m m j - m j m - j m j - j j m15x14x12 + 15x12x14 + 12x15x11 + 12x11x15aantal = 9000
opgave 26
3j + 4m 3(psy) + 2(eco) + 1(wis) + 1(fra) totaal = 7 studentena eerst de 4 meisjes dan de 3 jongens
meisjes 4 × 3 × 2 × 1jongens 3 × 2 × 1aantal = 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 144
b jongens en meisjes om en om het gesprekm j m j m j m 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 aantal = 144
c eerst de student Frans 1de rest maakt niet uit 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1aantal = 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
d de 2 studenten economie het laatst zijn 2 × 1de rest maakt niet uit 5 × 4 × 3 × 2 × 1aantal = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 240
e eerste en laatste student psychologie 3 × 1 OFeerste en laatste student economie 2 × 1aantal = 3 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 960
opgave 29
een code bestaat uit een rijtje van 5 vierkantjes die gevuld zijn met één van de tekens of of a 5 vierkantjes en ieder vierkantje kan 3 symbolen hebben
aantal = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243b aantal = 1 x 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81c aantal = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48d voor het andere vierkantje zijn nog 2 mogelijkheden
dit andere vierkantje kan op 5 plaatsen voorkomenaantal = 5 x 2 = 10
1.2
Permutaties en faculteiteneen ander woord voor rangschikking is permutatiebij een permutatie mogen geen herhalingen optredenhet aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingenvan drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 x 7 x 6
het aantal permutaties van 4 uit 9 is9 x 8 x 7 x 6
het aantal permutaties van 9 uit 9 is9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
de notatie voor dit product is 9!spreek uit : 9 faculteitkortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
het aantal permutaties van n dingen, dus het aantalrangschikkingen van n dingen is n!n ! = n x (n -1) x (n -2) x (n -3) x …… x 4 x 3 x 2 x 1
1.3
opgave 33
Elke van de 5 personen die de kamer met acht stoelen binnen komt neemt ergens plaats.
Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Vraag je niet af hoeveel personen er plaats kunnen nemen op de eerste stoel
Maar vraag je af welk stoelnummer kan je aan de eerste persoon koppelen?
8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720
opgave 36
een volleybalteam bestaat uit 9 spelers
a de fotograaf zet de spelers op een rij, hoeveel rijen zijn er?aantal = 9! = 362 880
b er wordt een aanvoerder en een reserve-aanvoerder gekozenaantal = 9 × 8 = 72
c shirts met de rugnummers 1 tot en met 6aantal =9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 9 nPr 6 = 60 480
9 – MATH – PRB – nPr - ENTER – 6
of
9 – MATH – PRB – 2 – 6
opgave 38
a 6! op hoeveel manieren zijn de letters te rangschikken zonder herhaling van letters?.
b 6 × 5 × 4 Hoeveel codes zijn er te maken met drie verschillende letters?
c 64 hoeveel codes zijn er te maken met 4 letters?
d 63 hoeveel codes zijn er te maken met 3 letters?
Een bedrijf gebruikt codes met de letters a,b,c,d,e en f.
Bedenk een vraag waarop het antwoord luidt:
Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijnhet aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
(en de rest verschillend is) is
zo kun je de letters van het woord ADRIANA op = 840manieren rangschikken
n!p!
7!3!
1.3
Nogmaals opgave 33
Vijf personen op acht stoelen is ook te lezen als acht naamplaatjes op acht stoelen waarvan drie naamplaatjes niet beschreven zijn .
8!3! = 6720
n!p! = n nPr (n-p)
Permutaties en CombinatiesUit een groep van 7 mensen kies ik een bestuur met een voorzitter, penningmeester en secretaris. Hoeveel verschillende besturen kunnen er samengesteld worden?
Stel jezelf weer de volgende vraag:
Uit hoeveel mensen kun je kiezen als voorzitter?
Uit hoeveel mensen kun je nu kiezen als penningmeester en hoeveel als secretaris ?
Je hebt nu 7 x 6 x 5 = 210 verschillende permutaties.
Het maakt bij een permutatie uit wie er op welke plaats staat.
7
6
5
CombinatiesBij het kiezen van een groep van drie mensen uit zeven krijg ik ik 210 permutaties.
Op hoeveel manieren kan ik drie mensen neer zetten? Dit zijn 3 x 2 x 1 = 6 manieren.
Van de 210 verschillende permutaties zijn er nu elke keer 6 permutaties van dezelfde 3 mensen.
Als de plaats van een gekozen persoon of ding er niet toe doet moeten de verschillende permutaties van eenzelfde groepje niet meerdere keren meegeteld worden.Er zijn dan maar 210 / 6 = 35 verschillende combinaties
Bij een combinatie is de volgorde van de gekozen permutaties onbelangrijk
ABC BAC CABACB BCA CBA
Combinatiesis bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7
het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als
spreek uit : 7 boven 4
het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is
7 4
7 4
1.3
7 – MATH – PRB – nCr - ENTER – 4
of
7 – MATH – PRB – 3 – 4
Aantallen combinaties optellen en vermenigvuldigen
1.3
Schema
op hoeveel manieren kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingenvolgorde van belang ?
nee
aantal = ‘8 boven 5’
jaherhaling toegestaan ?
nee jaaantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8
1.3
Combinaties
Permutaties
Mogelijkheden
Wat is de naam van dit voorwerp ?
1.3
? ! ?
Herhaling of toch anders ?!?Handig tellen en de rekenformules van de combinatoriek is belangrijk voor volgende hoofdstukken. Het volgende schema kan hier handig bij zijn
Herhaling toegestaan
Herhaling niet toegestaan
Volgorde niet van belang
Volgorde wel van belang nPr
nCr
kn)!(
!kn
n
)!(!!
knkn
kn
k
kn 1
•Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.•Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.•Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.•Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.
Voorbeelden
•Pin code•Afspelen van 9 nummers van een CD•Toto voor een competitie met 13 wedstrijden•Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden•Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28•Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken•Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen•Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6•Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen •Verdeling van de kaarten bij klaverjassen•4 rings’combinatieslot ‘ ?!?
4
15
7
13
4
10!8!8!8!8
!324
410
64
109
363
3143283Pr28
3
!910
uitslag
nCr
nCrn
opgave 50
a 3 groottes en 4 bodems en 2 vleessoorten en 3 groentesoorten
aantal = 3 x 4 x x = 2520
b medium en 4 bodems en (2vleessoort of 3vleessoort of 4vleessoort)
aantal = 1 x 4 x + + = 44
c 3 groottes en 4 bodems en (4groent of 5groent of 6groent of 7groent)
aantal = 3 x 4 x + + + = 768
vlees vis groente kaas/zuivel fruit
hamsalamispek
gehakt
tonijngarnalenmosselen
zalmansjovis
champignonsartisjokken
uienkappertjes
pepersknoflookpaprika
mozarellagorgonzolaparmezaans
ananaspeer
perzik
4 2
7 3
4 2
4 3
4 4
7 4
7 5
7 6
7 7
opgave 51
per uur 60 artikelen van de lopende bandbij de eindcontrole een steekproef van 4 exemplarena hoeveel steekproeven zijn er elke keer mogelijk?
aantal = = 487.635
b 6 defecte dus 54 geen defecte exemplaren
aantal = = 316.251
c 2 defecte en 2 geen defecte of 3 defecte en 1 geen defect of 4 defecte exemplaren
aantal = x + x + = 22.560
60 4
54 4
6 2
54 2
6 3
54 1
6 4
Het aantal rijtjes bestaande uit A’s en B’s
dus er zijn = = 330 manieren
er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoorttotaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren
het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
B A B A A B B B A B B
het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
114
117
1.4
opgave 56
verlichting met 19 lampjes die onafhankelijk van elkaar voortdurend aan en uit gaan
v.b.
a aantal = 219 = 524.288 b 5 van de 19 lampjes branden
aantal = = 11.628
c minder dan 3 lampjes 0 of 1 of 2 lampjes branden
aantal = + + = 191
d in ieder geval het 1e , middelste en het laatste lampje brandtvoor de 16 overige lampjes zijn er steeds 2 mogelijkheden : aan of uitaantal = 216 = 65.536
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
195
19 0
191
192
opgave 57
een bedrijf voorziet zijn artikelen van een code door in een rijtje van 6 vierkantjes er 2 zwart te maken
v.b.
a 2 van de 6 vierkantjes zijn zwart
aantal = = 15
b eerste en het laatste vierkantje zwartaantal = 1
c de code verander niet bij
of
of
dus bij 3 rijtjes
6 2
Routes in een rooster
Oost
Noor
d
A
B
C
∙
hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B
van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1 N en 2 O’s
dat zijn = 3 mogelijkheden
van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s
dat zijn = 5 mogelijkheden
het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus
x = 3 x 5 = 15
∙
3 1
5 2
3 1
5 2
van A naar BENvan B naar Cdusvermenigvuldigen
∙
1.4
Algemeenhet aantal routes zonder omwegen van A naar B in het
rooster hiernaast
is
afspraakin deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal niet bij
A
B
∙
∙
8 3
1.4
opgave 63
a bij een voetbalwedstrijd is de eindstand 2 – 4geef het scoreverloop in een rooster aan
b aantal = = 15
c aantal = = 56
d ruststand 3 – 1 eindstand 5 - 4 0 1
1
2
2
3
4
∙∙∙ ∙
∙∙
6 2
8 3
(0,0)
(3,1)
(5,4)
∙∙
∙
aantal = x = 4 x 10 = 404 1
5 3
Onvolledige roosters.
0
1
1
2 3 4
1 1
4 4 4 4
4 8
8
8 28
12 16 20
20 36 56
64
64
120
184
Bij onvolledige roosters zal er bij elk kruispunt het aantal mogelijkheden om er te komen.
Je kunt het niet berekenen met n r
De driehoek van Pascal• in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen
die er schuin boven staan• elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die
plaats te komen• in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
• de som van de getallen in de vierde rij is 24
4 0
4 1
4 2
4 3
4 4
, , , en
1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
3 3
4 6 4
rij 0
rij 1
rij 2
rij 3
rij 4
1 = 20
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
1.4