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TEMA 0: CONCEPTOS PREVIOSTEMA 0: CONCEPTOS PREVIOS -- TEORTEORÍÍAA

0.- INTRODUCCIÓN

A lo largo de este primer tema se desarrollan una serie de conceptos de diferentetemática, que por ser básicos se supone resultarán conocidos para el alumno, aún así, dada suimportancia para el presente curso se prefiere recordarlos.

1.- CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS.

- Positivos o Naturales (N) ( 1, 2, 3...)- Enteros - 0

- Racionales (Q) ( Z ) - Negativos ( -1, -2, -3, …)Reales (R)

- Fraccionarios (2/7, 3/5, …)Números

- Irracionales - Algebraicos ( 5 , 7 , …)

( I ) - Trascendentes ( π, e, …)

Imaginarios - Puros ( 2i, 3i, -i,…)- Con parte real no nula ( 5+2i, 3-i,… )

2.- NÚMEROS COMBINATORIOS

Los números combinatorios, muy usados en matemáticas, se representan con dosvalores, escritos uno encima del otro, estando ambos entre paréntesis, como se ve a continuación,nh

n n ! Sabiendo que n ! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ……h h ! · ( n – h ) !

Ejemplo 0.1: 9 9 ! 9 · 8 · 7 · 6 · 5 !4 4 ! · ( 9-4 ) ! 4 ! · 5 !

Resulta muy útil la siguiente propiedad: n + 1 n nh h h - 1

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=

= = = 126

- =

leyéndose en este caso n sobre h. El valor del número combinatorio se calcula así:

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3.- BINOMIO DE NEWTON

Se debe aplicar el Binomio de Newton para hallar el resultado de una suma o restade 2 sumandos, elevada toda ella a un exponente mayor a 2.

( x + y ) n = · xn · y0 + · xn-1 · y + · xn-2 · y2 + …… + · x · yn-1 + · x0 · yn

( x - y ) n = · xn · (-y)0 + · xn-1 · (-y) + · xn-2 · (-y)2 + …… + · x · (-y)n-1 + · x0 · (-y)n

Ej. 0.4:( 2 + 4 ) 3 = · 23 · 40 + · 22 · 4 + · 2 · 42 + · 20 · 43

n0

n1

n2

nn-1

nn

n0

n1

n2

nn-1

nn

30

31

32

33

=

=

Nótese cómo se trabaja con números combinatorios en los que uno de los valores sea un númerofraccionario o negativo estudiando los siguientes ejemplos:

Ej. 0.2: 3/5 (3/5) · ( 3/5 – 1 ) · ( 3/5 – 2 ) !2 2 · ( 3/5 – 2 ) !

Ej. 0.3: - 4 ( -4 ) · ( -4 -1) · ( -4 -2)2 2 · ( -4 -2)

4.- LOGARITMOS

A continuación veremos unos conceptos y propiedades básicos que esimprescindible conocer acerca de los logaritmos:

- Si loga x = y entonces ay = x Se nombrará como “log” cuando a = 10y como logaritmo neperiano “ln” o “L” cuando a = e

- Propiedades: loga ( x y ) = loga x + loga yloga ( x/y ) = loga x - loga yloga x y = y loga x

- Cambio de base “a” a base “b” de un logaritmo: loga x = y ; ay = x ; logb ay = logb x- Representación gráfica general:

.

.

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PROGRESIÓN GEOMÉTRICAEl valor de an surge de multiplicar un valor constante denominado razón ( r ) al

valor anterior, a n -1 : an = a1 · r ( n – 1 )

Σ = [( an · r ) - a1 ] / ( r – 1 )

Ej. 0.6: Serie: 1, 2, 4, 8, 16… Su razón es 2 y la suma de los 5 primeros elementos será:Σ = [ ( 16 · 2 ) - 1 ] / ( 2 – 1 ) = 31

PROGRESIÓN POLINÓMICAEn este caso encontramos que an es el resultado de un polinomio en función de n. Lo

más normal es que dándonos la serie y diciéndonos que es polinómica, nos pidan el valor deltérmino general an . Para ello aplicaremos el método de las restas sucesivas, esto es, se resta acada elemento el elemento anterior obteniendo una nueva serie, se repite este paso hasta que laserie obtenida sea todo 0, 0, 0… se cuenta el número de series que se ha sacado, sin contar laprimera ni la de los 0, ese es el grado del polinomio buscado. Con un polinomio genérico del gradoobtenido se propone y resuelve un sistema de ecuaciones, a continuación se verá con un ejemplo.

Ej 0.7: Serie polinómica: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Se restan sucesivamente, obteniendo:3, 5, 7, 9, 112, 2, 2, 20, 0, 0 Sin contar la de inicio ni la de los 0,

hemos obtenido 2 series, el polinomioserá de tipo: an = a n2 + b n + c

Se resolverá el siguiente sistema: n = 1 : an = 1 a + b + c = 1n = 2: an = 4 4a + 2b + c = 4 a = 1, b = 0, c = 0n = 3: an = 9 9a + 3b + c = 9

El polinomio buscado, y por lo tanto el término general de la progresión será an = n2

. .

5.- PROGRESIONES

Una progresión es una serie de números ordenados que cumplen una determinadanorma, en función de cual sea esa norma nos encontraremos en uno de los tres tipos siguientes:

PROGRESIÓN ARITMÉTICAEl valor de an surge de sumar un valor constante denominado razón ( r ) al valor

anterior, a n -1 : an = a1 + ( n – 1 ) · rΣ = [ ( an + a1 ) · n ] / 2

Ej. 0.5: Serie: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Su razón es 1, y la suma de sus 6 primeros elementos será:Σ = [ ( 0 + 5 ) · 6 ] / 2 = 15

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6.- GEOMETRÍA

ÁREAS:

Rectángulo:

h A = b · h

b

Rombo:D A = ( D · d) / 2

d

Trapecio:b

h A = · h

B

Paralelogramo:

hb

Usaremos una de las dos fórmulas siguientesen función de los datos de que dispongamos

A = b · h

i j kA = Xb-Xa Yb-Ya 0 =

Xc-Xa Yc-Ya 0

= [(Xb-Xa)(Yc-Ya)–(Yb-Ya)(Xc-Xa)]

Se calcula en valor absoluto dado queaunque por las coordenadas pueda salir unvalor negativo, el área debe ser positivo. M

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(B + b)2

Triángulo:

Usaremos 4 modos de calcular el área enfunción de los datos de que se disponga:

A = ( b · h ) / 2

A = ( b · c · sen α ) / 2Esta formula puede aplicarse en cualquierpar de lados y el ángulo que forman.

A = p ( p – a ) ( p - b ) ( p – c )

Siendo p el semiperímetro. Esta formulaes conocida como fórmula de Herón.

i j kA = (1/2) Xb-Xa Yb-Ya 0 =

Xc-Xa Yc-Ya 0

= (1/2) [(Xb-Xa)(Yc-Ya)–(Yb-Ya)(Xc-Xa)]

Se calcula en valor absoluto dado queaunque por las coordenadas pueda salir unvalor negativo, el área debe ser positivo.

Puntos característicos del triángulo:

h

b

ac

B ( Xb, Yb)

A ( Xa, Ya)C ( Xc, Yc)

α

B ( Xb, Yb)

A ( Xa, Ya) C ( Xc, Yc)

Baricentro: cortede las 3 medianas

Ortocentro: cortede las 3 alturas

Incentro: bisectricescentro de la circunf.inscrita

Circuncentro: meditricescentro de la circunf.circunscrita

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π · R2 · α360º

R

Círculo:

A = π · R2

R

Longitud = 2 · π · R

Sector circular:

αR A =

Segmento circular:

A = El del sector circular- el del triángulo

Cono:

g

A = π · ( R2 - r2 ).

A = π · a · b

Corona circular:

Rr

Elipse:

ab

Esfera:

A =

Cilindro

R

h

4 · π · R2R

A lateral = π · R · g

A total = A lat + A base

A lateral = 2 · π · R · h

A total = A lat + A bases

Casquete esférico:

h

R V = 2 · π · h · R

Siendo R el radio de laesfera de la que elcasquete forma parte.

Polígono regular:

A =a

perímetro · apotema2

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VOLUMENES

Cono:

R

h V = (1/3) · π · R2 · h

Cilindro:

R

hV = π · R2 · h

Esfera: Elipsoide de revolución:

V = (4/3) · π · R3R

Casquete esférico:

h

RV = π · h2 · (R- (h/3))

Siendo R el radio de laesfera de la que elcasquete forma parte.

Pirámide:

V = (1/3) · A.base · hh

Prisma:

V = A.base · hh

b

a

V = (4/3) · π · a · b2

En este caso debemos conocer si la rotación dela elipse que ha generado el elipsoide se haproducido respecto del eje a o del b.

Respecto del eje a:

Respecto del eje b

V = (4/3) · π · b · a2

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7.- TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

- Seno = lado opuesto / hipotenusa. - Cosecante = 1 / seno.- Coseno = lado contiguo / hipotenusa. - Secante = 1 / coseno.- Tangente = seno / coseno. - Cotangente = 1 / tangente.

- Arcoseno : función opuesta del seno. - Arcocosecante : opuesta de la cosecante- Arcocoseno : función opuesta del coseno. - Arcosecante : opuesta de la secante- Arcotangente : función opuesta de la tangente. - Arcocotangente: opuesta de la cotangente

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

- Teorema de Pitágoras: c12 + c2

2 = h2 Siendo c1 y c2 los 2 catetos y h la hipotenusa.- (sen x )2 + ( cos x )2 = 1- (sen x )2 ( cos x )2 = (1/4) (sen 2x )2 - (sec x )2 - ( tg x )2 = 1

- Sen (A+B) = ( sen A ) · ( cos B ) + ( cos A ) · ( sen B )- Sen (A-B) = ( sen A ) · ( cos B ) - ( cos A ) · ( sen B )- Cos (A+B) = ( cos A ) · ( cos B ) - ( sen A ) · ( sen B )- Cos (A-B) = ( cos A ) · ( cos B ) + ( sen A ) · ( sen B )

- Tg (A+B) =

- Tg (A-B) =

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DOBLE:

Se obtienen directamente aplicando las fórmulas anteriores:

- Sen ( 2A ) = sen ( A + A ) = 2 ( sen A ) · ( cos A )- Cos ( 2B ) = cos ( B + B ) = ( cos B )2 - ( sen B )2

- Tg (2C ) = tg ( C + C ) =

.

tg A + tg B1 – (tg A · tg B)

tg A - tg B1 + (tg A · tg B)

2 · ( tg C )1 – (tg C ) 2

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RAZONES DE ÁNGULOS MITAD

En este caso se aplicarán las siguientes fórmulas:

- (sen A )2 + ( cos A )2 = 1- Cos ( 2A ) = ( cos A )2 - ( sen A )2

Despejando en la segunda el ( cos A )2 y sustituyéndolo en la primera te queda:

- (sen A )2 + Cos ( 2A ) + ( sen A )2 = 12(sen A )2 = 1 - Cos ( 2A )

Sen A = +Haciendo el cambio A = B/2 :

Sen (B/2) = +

Con el mismo razonamiento se obtiene el cos ( B/2) y la tg (B/2)

1 – Cos ( 2A )2

1 – Cos ( B )2

Cos ( B/2 ) = + Tg ( B/2 ) = +1 + Cos ( B )

21 - Cos ( B )1 + Cos ( B )

TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOS.

A

C

^ B

ab

c

a b csen A sen B sen C

Teorema del seno:

= =

Teorema del coseno:

a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos A

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TRANSFORMACIONES DE OPERACIONES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación veremos cómo transformar el producto de dos razonestrigonométricas en una suma o una resta de razones, esto es de gran utilidad en muchasocasiones.

- Cuando las dos razones son diferentes, es decir, de tipo: (sen A · cos B) , se usarán lasfórmulas vistas anteriormente de sen (A+B) y sen (A-B) del siguiente modo:

Sen (A+B) = ( sen A )( cos B ) + ( cos A )( sen B )+ Sen (A-B) = ( sen A )( cos B ) - ( cos A )( sen B )

Sen (A+B) + sen (A-B) = 2 · sen A · cos B

sen A · cos B = (1/2) · [Sen (A+B) + sen (A-B) ]

- Cuando ambas razones son la misma, es decir, de tipo: (sen A · sen B) o bien (cos A · cos B),se usarán análogamente al razonamiento anterior, las fórmulas de cos (A-B) y cos (A+B), peroen este caso restándolas, obteniendo el siguiente resultado:

cos (A-B) - cos (A+B) = 2 · sen A · sen B

sen A · sen B = (1/2) · [cos (A-B) - cos (A+B) ]

8.- DERIVACIÓN

A continuación se verán las principales reglas de derivación así como las principalesderivados inmediatas, conceptos que resultará imprescindible conocer en temas posteriores.Si representamos una función cualquiera con y = f(x) , representaremos su derivada con y’= f´(x)

REGLAS ALGEBRAICAS

f(x) = g(x) + h(x) f´(x) = g'(x) + h'(x)f(x) = k · g(x) f´(x) = k · g'(x); siendo k una constantef(x) = g(x) · h(x) f´(x) = g'(x) · h (x) + g(x) · h'(x)f(x) = g(x) / h(x) f´(x) = [g'(x) · h (x) - g(x) · h'(x)]/[h(x)]2

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DERIVADAS INMEDIATAS

f(x) = k ---> f’(x) = O ; siendo k una constantef(x) = [g(x)]n ---> f’(x) = n·[g(x)]n-1. g’(x)f(x) = g (x) ---> f’(x) = [1/(2 g(x) )] · g’(x)f(x) = n g (x) ---> f’(x) = [1/[n n (g(x))n-1] · g’(x)f(x) = e g(x) ---> f’(x) = e g(x) · g’(x)f(x) = ag(x) ---> f’(x) = ag(x) · g’(x) · Laf(x) = L g(x) ---> f’(x) = [ 1 /g(x) ] · g’(x)f(x) = loga g(x) ---> f’(x) = [ 1 /g(x) ] · g’(x) · loga ef(x) = sen g(x) ---> f’(x) = cos g(x) · g’(x)f(x) = cos g(x) ---> f’(x) = - sen g(x) · g’(x)f(x) = tg g(x) ---> f’(x) = sec2 g(x) · g’(x) = [1+tg2 g(x)] · g'(x)f(x) = cosec g(x) ---> f’(x) = - cosec g(x) · cotg g(x) · g’(x)f(x) = sec g(x) ---> f’(x) = sec g(x) · tg (x) · g’(x)f(x) = cotg g(x) ---> f’(x) = -cosc2 g(x) · g'(x) = -[ 1+ cotg2 g(x)] · g’ (x)f(x) = arcsen g(x) ---> f’(x) = [ 1 / 1-(g(x))2 ] · g’(x)f(x) = arccos g(x) ---> f’(x) = [ - 1 / 1-(g(x))2 ] · g’(x)f(x) = arctg g(x) ---> f’(x) = [ 1 / 1 + (g(x))2 ] · g’(x)f(x) = arc cosec g(x) ---> f’(x) = [ -1 / ( g(x) · (g(x))2 -1] · g’(x)f(x) = arc sec g(x) ---> f’(x) = [ 1 / ( g(x) · (g(x))2 -1] · g’(x)f (x) = arc cotag g(x) ---> f’(x) = [ -1 / ( 1 + (g(x))2 )] · g’(x)

9.- INTEGRACIÓN

A continuación veremos un listado con las principales integrales inmediatas, entemas posteriores se verá con mucha más profundidad la integración de funciones, susmétodos, sus utilidades, etc.

a dx = a · x + K siendo a una constante.

xn dx = [[x (n+1) ] / (n+1) ] + K

[f (x)] n · f’(x) dx = [[f(x)] (n+1) / (n+1)] + K

[ f’(x) / f(x) ] dx = Ln f(x) + K

e f(x) · f’(x) dx = e f(x) + K

af(x) · f’(x) dx = [ af(x) / Ln a ] + K

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[sen f(x)] · f’(x) dx = - cos f(x) + K

[cos f(x)] · f’(x) dx = sen f(x) + K

[tg f(x)] · f’(x) dx = - Ln cos f(x) + K

[cosec f(x)] · f’(x) dx = Ln cosec f(x) – cotg f(x) + K

[sec f(x)] · f’(x) dx = Ln sec f(x) + tg f(x) + K

[cotg f(x)] · f’(x) dx = Ln sen f(x) + K

[cosec2 f(x)] · f’(x) dx = - cotg f(x) + K

[sec2 f(x)] · f’(x) dx = tg f(x) + K

10.- EXPRESIONES POLINÓMICAS

Denominamos polinomio a aquella suma en la que, estando igualada a 0, todos sussumandos son factores de una incógnita, habitualmente x, elevada a diferentes potencias.

Debemos saber que el número de soluciones de un polinomio es igual al mayor gradode la incógnita, teniendo en cuenta que esas soluciones pueden ser tanto reales comoimaginarias. Las soluciones imaginarias siempre aparecen de 2 en 2, de tal modo que cuando elgrado mayor a que está elevada la incógnita es impar, podemos asegurar que al menos existe unasolución real, mientras que si es par, puede ser que todas las soluciones sean imaginarias.

También resulta interesante saber que cuando el coeficiente que multiplica a laincógnita de mayor potencia es 1, si existe raíz real, será un divisor del término independiente.Existe un método para transformar un polinomio cualquiera en uno con el coeficiente quemultiplica a la incógnita de mayor potencia igual a 1, como se ve a continuación:

2x3 + 4x2 – 5x + 3 = 0 Se hace el siguiente cambio de variable: x = z / 2 :

2 · (z3/8) + 4 · (z2/4) – 5 · (z/2) + 3 = 0 ;(z3/4) + (z2) – 5 · (z/2) + 3 = 0 ; multiplicando todo por 4 ;z3 + 4z2 – 10z + 12 = 0 ; z tiene que ser un divisor de 12, aplicando Ruffini vemos

que la primera solución será z = -6, y como x = z / 2,obtenemos que una solución al polinomio es x = -3