tema 1 conceptos previos. nocións de mecánica clásica. · pdf file1:...

1: Mecánica clásica 1

Tema 1 Conceptos previos. Nocións de mecánica clásica. 1-1 Productos escalar e vectorial 1-2 Derivación e integración de

funcións vectoriais. Aplicacións ao movemento

1-3 Estudio dalgúns movementos

Composición de movementos

1-4 Interaccións físicas fundamentais.

As leis de Newton 1-5 Momento lineal e momento

angular: principios de conservación. 1-6 Problemas e cuestións

1-1 Productos escalar e vectorial

Compoñentes dun vector no espacio.

Dado un vector v con orixe na orixe de coordenadas O, e extremo no punto C, as súas compoñentes cartesianas , ,x y z v v v son as proxeccións do vector sobre cada un dos eixes cartesianos, é dicir, os lados dun paralelepípedo que ten como diagonal ao vector. Como x yOB v v= + e zv = OB+v será:

x y z+ +v = v v v Aplicando o teorema de Pitágoras aos triángulos rectángulos OAB e OBC:

2 2 2 2 2 2x y z= + ; = +OB v v v OB v

polo que: 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z= + + ; v = + +v v v v v v v

O producto dun escalar c, por un vector v (Fig.a) é outro vector de igual dirección que v , igual sentido se c>0 e sentido oposto se c<0, e de módulo c veces o de v . Por esto un vector v pode expresarse coma un producto do seu módulo v por un vector unitario u de igual dirección e sentido: v = vu .


Os vectores unitarios no sentido positivo dos eixes X, Y e Z represéntanse por i , j e k , (Fig.b), respectivamente, polo que as compoñentes cartesianas dun vector v poden expresarse:

x x y zy z= v i , = v j , = v kv vv

Producto escalar de dous vectores a e b que forman un ángulo α, e o escalar ou número que resulta de multiplicar os seus módulos polo coseno do ángulo formado:

· cosa b = ab α podendo demostrarse que a súa expresión en función das compoñentes cartesianas é:

· x x y y z za b = a b a b a b+ + Xeometricamente é igual ao producto do módulo dun dos vectores pola proxección do outro sobre el (Fig. a). O producto escalar de dous vectores perpendiculares é nulo, porque o coseno de 90º é cero. Un exemplo de magnitude física definida coma un producto escalar é o traballo: ·W = F s , sendo F a forza aplicada e s o desprazamento producido.

(a)

a

bacosαα

a b

ab

b b

a a

α bsenα

(b) (c) Producto vectorial de dous vectores a e b é outro vector (Fig.b), que se representa

axb ou a b∧ , coas seguintes características:

• módulo: producto dos módulos polo seno do ángulo formado polos dous vectores sena b = ab α∧ . Xeometricamente representa a área do paralelogramo construído

sobre os dous vectores (Fig.c). • dirección: perpendicular ao plano determinado polos dous vectores. • sentido: o de avance dun sacarrollas que xire dende o primeiro vector a ao segundo

b , percorrendo o menor ángulo.

Os productos vectoriais entre os vectores unitarios i, j e k valen: i j = k , j i = -k , i k = -j , k i = j , j k = i , k j = -i , i i = j j = k k = 0∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

A expresión do producto vectorial de dous vectores en función das compoñentes

rectangulares é (non se demostrará):


( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xa b = - i + - j + - ka b a b a b a b a b a b∧ que pode obterse desenrolando o determinante. O producto vectorial de dous vectores paralelos é sempre nulo porque o seno de 0º é igual a cero. Un exemplo de magnitude física definida coma un producto vectorial é o momento angular dunha partícula:

L r p= ∧ sendo r o vector de posición e p mv= o momento lineal ou producto da masa pola velocidade. Momento de un vector respecto a un punto. O momento dun vector AB con respecto a un punto O é outro vector M dado por:

M OA AB= ∧ Xeometricamente, como se ve na figura, o módulo do vector momento é igual ao producto do módulo do vector pola distancia d do punto á recta soporte do vector. En efecto, de: M=OA·AB·senα , ao ser d=OA·senα , teremos: M=AB·d Por tratarse dun producto vectorial, o vector momento M será perpendicular ao plano de OA e AB e o seu sentido obtense pola regra do sacarrollas.

Un exemplo importante é o momento dunha forza F aplicada sobre unha partícula situada na posición r respecto a un punto O :

M r F= ∧ Para entender o significado desta magnitude consideremos un corpo que pode xirar arredor do punto O. Ao actúar unha forza F , o efecto sobre a rotación do corpo queda determinado polo producto da compoñente de forza perpendicular a r , de valor Fsenα, pola distancia r ao punto: Fsenα·r, que coincide exactamente co módulo do vector momento M .

x y z

x y z

i j ka a ab b b


1-2 Derivación e integración de funcións vectoriais. Aplicacións ao movemento. Derivada dun vector respecto a un escalar. Recordemos primeiro o concepto de derivada dunha función escalar. Sexa f(x) unha función definida no intervalo [a,b]. A derivada da función f(x) no punto x0 é o límite do cociente entre o incremento da función: ∆f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0), e o incremento da variable independente ∆x, cando este tende a cero:

0 0

( ) ( )( ) limx

f x df xf xx dx∆ →

∆′ = ≡∆

A última igualdade (con tres raias) indica unha forma de notación empregada no ámbito científico, que recorda a definición de derivada como un cociente incremental entre unha variación infinitesimal da función, df(x), e unha variación infinitesimal da variable, dx. A continuación resumimos as principais regras de derivación: sexan f(x) e g(x), dúas funcións escalares da variable x, e c unha constante:

Derivadas das operacións alxebraicas:

( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )· ;d c f x d f x g xdf x df x dg xc

dx dx dx dx dx + = = +

[ ]( )· ( ) ( ) ( )· ( ) ( )·d f x g x df x dg xg x f x

dx dx dx= +

( )2

( ) ( ) ( )· ( ) ( )·( )( )

f x df x dg xd g x f xg x dx dxdx g x

− =

Derivada dunha función de función (regra da cadea): ( ) ( )

( ) ( )( ) ·d g f x df xg f x

dx dx ′=

Derivadas da función potencial e da raíz cadrada: 1 1;2

nndx d xnx

dx dx x−= =

Derivadas das funcións logarítmica e exponencial: ln 1 ;x

xd x de edx x dx

= =

Derivadas das funcións trigonométricas:

2

cos tan 1cos ; ;cos

d sen x d x d xx senxdx dx dx x

= = − =

Definamos a derivada dunha función vectorial. Sexa ( ) ( ) ( ) ( )x y zR t R t i R t j R t k= + + un vector que varía respecto a un

escalar, t. Defínese a derivada do vector R respecto ao escalar t, coma o vector:

( ) ( )lim lim0 0

yx zdRdR dRdR t R R t t i j kt tdt t t dt dt dt

∆ + ∆= = = + +∆ → ∆ →∆ ∆


Para calcular a derivada dun vector respecto a un escalar, debemos derivar cada unha das súas compoñentes, empregando as regras de derivación de funcións escalares xa coñecidas. Concepto de integral definida. O concepto de integral definida non se estudia nas matemáticas de 2º Bacharelato ata o último trimestre, e en física precísase dende o primeiro momento. Por este motivo introdúcense as ideas básicas. Definamos a área limitada por unha función f(x) co eixe de abscisas. Sexa y=f(x) unha función continua no intervalo [a,b] e tomemos unha sucesión de números que determinen unha partición de [a,b] en n intervalos de igual amplitude ∆x=ai+1-ai:

a=a0<a1<a2<a3<......<an-1<an=b , e tomemos un punto xi, i=1...n, en cada intervalo da partición:

a=a0<x1<a1<x2<a2<......<an-1<xn<an=b Se multiplicamos ∆x polo valor da función f(xi) en cada punto, f(xi)·∆x, e sumamos para todos os intervalos, obtemos un valor aproximado da área buscada. Se tomamos límite cando n tende a infinito, obtemos exactamente a área limitada por f(x) entre a e b. Polo tanto:

1

lim ( )·n

ba i

iA f x xn

=

= ∆→∞∑

Teorema fundamental do cálculo de áreas por integración. Sexa y=f(x) unha función continua no intervalo [a,b] e sexa F(x) unha función primitiva de f(x):

[ ]( ) ( ) ,dF x f x x a bdx

= ∀ ∈

entón a area baA limitada pola función f(x) entre a e b vale:

baA =F(b)-F(a).

Non se demostrará. A área denomínase integral definida e represéntase:

( )b

af x dx∫

que se lee integral de f(x) entre a e b. O símbolo ∫ non é máis que unha S estilizada, inicial da palabra suma.

Resumindo, se [ ]( ) ( ) , ,dF x f x x a bdx

= ∀ ∈ , despexando queda ( ) ( )dF x f x dx= e

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )F b

b

aF a

dF x F b F a f x dx= − =∫ ∫


Se calculamos a integral definida da función f(x) cambiando os límites de integración, é dicir, entre b e a, as amplitudes dos intervalos da partición fanse negativas, ∆x=ai-ai+1<0 , polo que a integral cambia de signo:

( ) - ( )a b

b af x dx f x dx=∫ ∫

Para obter funcións primitivas, ( )f x dx∫ , empréganse regras de integración, de demostración inmediata, pois basta comprobar que a derivada do termo da dereita de cada igualdade, coincide coa función que integramos no termo da esquerda. Sexan f(x) e g(x) funcións escalares da variable x, f'(x) a derivada da función f=f(x), e c unha constante: ( )( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx cf x dx c f x dx+ = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 11 ( )) , ( ) ( )

1 1

nnnn f xxx dx C f x f x dx C

n n

++

′= + = ++ +∫ ∫

1 ( )ln , ln ( )

( )f xdx x C dx f x C

x f x′

= + = +∫ ∫

( ) ( ), ( )x x f x f xe dx e C e f x dx e C′= + = +∫ ∫

( )cos , ( ) ( ) cos ( )sen xdx x C sen f x f x dx f x C′= − + = − +∫ ∫

( )cos , cos ( ) ( ) ( )xdx sen x C f x f x dx sen f x C′= + = +∫ ∫

Integral dunha función vectorial. Sexa ( ) ( ) ( ) ( )x y zR t R t i R t j R t k= + + un vector que varía respecto a un escalar t.

Defínese a integral definida do vector R entre os límites t=a e t=b coma o vector:

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

x y za a a a

R t dt R t dti R t dt j R t dtk= + +∫ ∫ ∫ ∫

Para integrar unha función vectorial, debemos integrar cada unha das súas compoñentes, empregando as regras de integración de funcións escalares. Definición dos vectores desprazamento, velocidade e aceleración. Consideremos un punto en movemento con respecto a un sistema de referencia. O vector que une a orixe de coordenadas coa posición que ocupa o punto en cada instante chámase vector de posición, ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + + . As compoñentes cartesianas do vector de posición: x=x(t), y=y(t), z=z(t), denomínanse ecuacións do movemento. Traxectoria é a liña descrita polo punto no seu movemento, ou liña trazada polo extremo do


seu vector de posición.

Definición dos vectores desprazamento, velocidade e aceleración.

Consideremos un punto en movemento con respecto a un sistema de referencia. O vector que une a orixe de coordenadas coa posición que ocupa o punto en cada instante chámase vector de posición, r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k . As compoñentes cartesianas do vector de posición: x=x(t), y=y(t), z=z(t), denomínanse ecuacións do movemento. Traxectoria é a liña descrita polo punto no seu movemento, ou liña trazada polo extremo do seu vector de posición. Desprazamento entre dous puntos, 1 e 2, da traxectoria, e o vector 2 1r = -r r∆ , é un vector con orixe na posición 1 e extremo na posición 2, e o seu módulo é igual a distancia en liña recta entre as dúas posicións.

Supoñamos que unha partícula sofre un desprazamento r∆ nun tempo ∆t. O vector velocidade defínese coma o límite do cociente r/ t∆ ∆ cando ∆t tende a cero:

lim r drv = = t 0 t dt∆

∆ → ∆

A expresión do vector velocidade en función das compoñentes cartesianas será: dx dy dzv = i + j + kdt dt dt

O módulo da velocidade instantánea é igual ao límite do cociente entre o espacio percorrido ∆s e o tempo invertido ∆t cando este tende a cero, ou derivada do espacio respecto ao tempo: v=ds/dt. Como a dirección do vector desprazamento r∆ tende a aproximarse á recta tanxente á traxectoria en cada instante, a dirección do vector velocidade será tanxente á traxectoria, e o seu sentido o do movemento.

O vector aceleración instantánea a , é o límite ao que tende o cociente v/ t∆ ∆ , cando ∆t tende a cero:

lim v dva = = t 0 t dt∆

∆ → ∆

A expresión do vector aceleración en función das compoñentes cartesianas será:

yx zdvdv dva = i + j + kdt dt dt

Consideremos un móbil que describe unha traxectoria curva. Se descompoñemos a aceleración, a , en dúas compoñentes, unha normal, na , e outra tanxente, ta , á traxectoria, obtemos a expresión (non se demostrará):

2

n tdvva = + = n +a a

R dtτ

sendo n e τ vectores unitarios normal e tanxente á traxectoria, respectivamente.


A compoñente da aceleración normal á traxectoria, na , é igual en módulo ao cociente v2/R, sendo R o radio de curvatura. Existe sempre que a traxectoria sexa curva, é dicir, sempre que a dirección da velocidade varíe. Nos movementos rectilíneos será nula, pois unha recta pode considerarse coma unha curva de radio infinito: R=∞, an=0. A compoñente da aceleración tanxente á traxectoria, ta , é igual en módulo á derivada do módulo da velocidade respecto ao tempo, at=dv/dt. Existe sempre que o módulo da velocidade varíe. Nos movementos uniformes, con módulo de velocidade constante, será nula: v=cte, dv/dt=0, at=0. Os vectores na e ta chámanse compoñentes intrínsecas da aceleración, e ao ser perpendiculares entre si será:

2 2n t| a |= +a a

1-3 Estudio dalgúns movementos.

A continuación estudiaremos algúns movementos importantes: movemento rectilíneo

uniforme, movemento rectilíneo uniformemente acelerado, caída libre e movemento circular uniforme.

Movemento rectilíneo uniforme. É o movemento dun móbil que describe unha traxectoria recta percorrendo espacios

iguais en tempos iguais. Recordando o significado físico das compoñentes intrínsecas da aceleración, temos que: an=0 e at=0. Podemos integrar na expresión da velocidade, v=ds/dt, para obter a ecuación da posición en función do tempo:

sendo s0 a posición inicial. Movemento rectilíneo uniformemente acelerado, M.R.U.A. É o dun móbil que describe unha traxectoria recta, e que experimenta unha variación uniforme do módulo da velocidade, é dicir, sofre aumentos ou diminucións da velocidade iguais en tempos iguais. Nun M.R.U.A. so hai at, e escribiremos a=at. Calculemos por integración as ecuacións da velocidade e a posición en función do tempo:

0

0 0,v t

v 0

dva = , dv = a dt v v = at , v = v +atdt

−∫ ∫ (1)

sendo v0 a velocidade inicial.

0

0 0,s t

s 0

dsv = , ds = v dt s s = vt , s = s +vtdt

−∫ ∫


2 20 0 0 0 0 0 0

t t t1 12 2

0 0 0

ds = v +at, s s = (v +at)dt = v dt atdt = v t + at , s = s +v t + atdt

+− ∫ ∫ ∫ (2)

sendo s0 a posición inicial. Despexando t na ecuación (1) e substituíndo na ecuación (2) eliminando o tempo, e operando obtemos a seguinte relación entre a velocidade e a posición:

v2=v02+2a(s-s0) (3)

Un movemento de caída libre vertical é un movemento rectilíneo uniformemente

variado con aceleración de 9,8 ≈ 10 m/s2 vertical e cara abaixo. Esto é válido só cando, a forza de rozamento do corpo contra o aire, sexa pequena en comparación co seu peso, como sucede, por exemplo na caída dunha bola de aceiro dende pequenas alturas (en caídas dende altura elevadas, debe considerarse a forza de rozamento co aire, que aumenta coa velocidade).

Movemento circular uniforme

É o dun móbil que describe unha traxectoria circular movéndose co módulo da velocidade constante. Nun M.C.U. an=v2/R=constante, pois o módulo da velocidade v e o radio de curvatura R, que é o radio da circunferencia, son constantes; e at=0. Nun MCU so hai aceleración normal ou centrípeta e ten as seguintes características:

• Módulo: an = v2/R • Dirección: radial. • Sentido: Cara ó centro da traxectoria. • Punto de aplicación: A posición do móbil.

Defínese o período T como o tempo que tarda o móbil en percorrer unha circunferencia completa. e a frecuencia f ou ν (letra grega “ni”) como o número de voltas realizadas nun segundo. A relación entre ámbalas dúas magnitudes obtense da proporción:

1 volta f voltas 1= f =T segundos 1 segundo T

⇒

O módulo da velocidade pode obterse da expresión:

2 rvTπ

=

Para estudiar o M.C.U. podemos empregar o ángulo θ formado polo vector de posición r coa orixe de ángulos. En física e enxeñería, os ángulos mídense en radiáns. Un radián é o ángulo correspondente a un arco de circunferencia de lonxitude igual ao radio. Para obter o ángulo θ correspondente a un arco arbitrario, dividimos a súa lonxitude s entre o radio R da circunferencia: : θ=s/R ou s=θR. Está última ecuación expresase: "arco igual a ángulo en radiáns multiplicado polo radio".


O ángulo expresado en radiáns correspondente a unha circunferencia completa, obtense dividindo a lonxitude da circunferencia 2πR, entre a lonxitude R do arco correspondente a un radián: 2πR/R=2π radiáns. Como a unha circunferencia completa correspóndelle un ángulo de 360º, podemos pasar de graos sesaxesimais a radiáns, mediante a relación:

2π radiáns= 360º. O cociente entre o ángulo θ varrido polo vector de posición r e o tempo t empregado, chámase velocidade angular: ω=θ/t. Mídese en radiáns/s. A relación entre a velocidade lineal v e a angular ω é:

s Rv = = = R = R v = Rt t t

θ θ ω ω⇒

Composición de movementos

Principio de Galileo de independencia dos movementos. Se sobre un corpo actúan simultaneamente dous

movementos durante certo tempo, o desprazamento do corpo e o mesmo que se os movementos actuaran sucesiva e separadamente, durante dito tempo. É dicir, o vector desprazamento r resultante da acción simultánea dos dous movementos é igual á suma dos vectores desprazamento 1r e

2r , debidos á acción separada de cada movemento compoñente:

1 2r = r r+ (1) onde para simplificar as ecuacións tomamos orixe de coordenadas na posición inicial do corpo 0r = 0 de xeito que o desprazamento 0r = r - r∆ coincide con vector de posición r . Supoñamos, por exemplo, a un nadador cruzando ao ancho un río. Sexa 1r o desprazamento perpendicular ao río, debido ao esforzo do nadador (é dicir, o que realizaría se non fora arrastrado simultaneamente pola corrente) e sexa 2r o desprazamento provocado pola corrente. Entón o desprazamento resultante da acción simultánea de ambos movementos ven dado pola ecuación (1). Derivando respecto ao tempo na expresión (1) obtemos: 1 2v = v +v , a velocidade resultante é a suma vectorial das velocidades dos movementos compoñentes. Analogamente obtemos:

1 2a = a +a .

Apliquemos as ecuacións anteriores á composición de movementos rectilíneos: De igual dirección e sentido. Por exemplo unha persoa nadando no mesmo sentido cá corrente: s=s1+s2, v=v1+v2. De igual dirección e sentidos opostos. Por exemplo unha persoa que nada en sentido contrario á corrente: s=s1-s2, v=v1-v2.


De direccións arbitrarias. Supoñamos que enviamos un barco de xoguete a pilas cara ao punto P. Sexa 1r o desprazamento debido ás hélices do barco, 2r o desprazamento debido á corrente, e r o desprazamento debido á acción simultánea dos dous movementos. Entón cúmprese a igualdade vectorial:

1 2r = r +r e a relación entre os módulos obtense aplicando o teorema do coseno:

2 21 2 1 2 cosr = r +r +2r r α

Analogamente para as velocidades: 2 2

1 2 1 2 1 2 cosv = v +v , v = v +v +2v v α No caso particular en que as direccións dos movementos foran perpendiculares, os módulos do desprazamento e da velocidade obteríanse polo teorema de Pitágoras:

2 2 2 21 2 1 2r = r +r , v = v +v

Os lanzamento de proxectís son exemplos de composición de movementos rectilíneos de direccións perpendiculares.

Tiro horizontal. Consiste no lanzamento con velocidade

inicial v0 horizontal, dende unha altura H. É unha composición dun M.R.U. no eixe X,

pois despois de saír do canón o proxectil non ten aceleración nesta dirección, e un M.R.U.A. no eixe Y, pois o proxectil sofre a aceleración da gravidade. As ecuacións correspondentes ao desprazamento e a velocidade en cada eixe son:

Eixe X: x=v0t , vx=v0. Eixe Y: y=1/2gt2, vy=gt, xa que voy=0.

O tempo de caída obtense igualando o desprazamento vertical y coa altura H e despexando:

21 2,2

Hy gt H tg

= = =

O alcance do proxectil A é igual ao desprazamento horizontal x realizado durante o tempo de caída:

0 02HA= v t = vg

A ecuación da traxectoria calcúlase despexando o tempo da ecuación do desprazamento horizontal, t=x/v0, e substituíndo na expresións do desprazamento vertical:

2 20 0

221 gxy = g = x2 v 2v


de xeito que eliminamos o tempo, obtendo a ecuación dunha parábola.

1-4 Interaccións físicas fundamentais.

Hai 4 tipos de interaccións básicas entre as partículas que constitúen o universo que ordenadas de maior a menor intensidade son:

A interacción nuclear forte responsable de que protóns e neutróns (coñecidos como nucleóns), se manteñan dentro do núcleo atómico e de outros procesos relacionados. É a mais intensa das interaccións pero o seu alcance é moi limitado, arredor de 10-15 m, que é o tamaño dun núcleo pequeno. A interacción electromagnética, é a mellor comprendida e a responsable de múltiples fenómenos que observamos na vida diaria, incluíndo os procesos químicos e biolóxicos, ó ligar os electróns en torno ó núcleo para formar os átomos, e enlazando os átomos para formar moléculas. A súa intensidade é arredor da centésima parte (10-2) da forza nuclear forte, e decrece co cadrado da distancia. A interacción nuclear feble, causante de certos procesos entre partículas fundamentais, como a desintegración beta, na que un neutrón transformase nun protón ao emitir un electrón e un antineutrino:

00n p e ν+ −→ + +

A súa intensidade é do orde de 10-14 en comparación á interacción nuclear forte, e o seu radio de acción é corto. A interacción gravitacional, que se manifesta no movemento planetario e no peso dos corpos, a pesar de ser a mais feble das interaccións coñecidas, foi a primeira en ser estudiada coidadosamente, debido ó interese do home, dende a antigüidade, na astronomía e porque a gravitación é responsable de fenómenos, que afectan diariamente a nosa vida, asociados o peso dos corpos. A súa intensidade é 10-39 da intensidade da interacción forte. Produce efectos a gran escala, xa que é sempre atractiva e opera a largo alcance. Pero a súa acción a escala atómica é indetectable. Moitas partículas sofren as 4 interaccións. Por exemplo o protón é unha partícula que interacciona fortemente; ten carga eléctrica positiva polo que sinte a forza electromagnética; pode, pola interacción débil, transformarse no interior dun núcleo inestable nun neutrón, emitindo un positrón e un neutrino: p+ → n0 + e+ + ν0; e coma o resto da materia, o protón é atraído pola gravidade. Cando dúas partículas interaccionan mediante unha destas forzas, créese que a interacción e debida ao intercambio dunha partícula. Para entender esta idea consideremos dúas persoas pasándose a unha á outra, coas mans, unha pelota. Como as dúas persoas permanecen xuntas porque se intercambian a pelota, teríamos unha forza de atracción, que podemos chamar de intercambio. Créese tamén que o alcance da interacción está determinada pola masa da partícula intercambiada. Na analoxía da pelota, o seu peso determina a distancia a que se pode lanzar, de xeito que se a substituímos por unha esfera de chumbo, teriamos que


acercarmos moito máis para intercambiala e a hipotética forza de atracción sería de menor alcance. Resumindo a idea de campo para describir ás interaccións substitúese polo concepto de intercambio de partículas. A interacción gravitacional prodúcese polo intercambio de gravitóns, partículas de masa nula, aínda non observadas experimentalmente. A interacción feble é debida ao intercambio das partículas W+, W- e Z0, de gran masa, preditas pola teoría electrofeble, que considera as forzas electromagnética e feble como manifestacións distintas do mesmo tipo de interacción, e observadas experimentalmente no CERN en 1983. A interacción electromagnética consiste no intercambio de fotóns, de masa nula. A interacción nuclear forte é producida polo intercambio de gluóns, partículas de masa nula identificadas indirectamente, pero que non poderon ser illadas e probablemente non poidan selo. O feito, aparentemente contradictorio, dunha forza de alcance limitado ás distancias nucleares (10-15 m), mediante intercambio de partículas de masa nula, é debido as características peculiares da forza nuclear e dos gluóns. De xeito similar a como a carga eléctrica é responsable da interacción electromagnética, as partículas que interaccionan fortemente posúen carga de color (nome arbitrario que non garda ningunha relación co que entendemos na linguaxe ordinaria). Pero a diferencia dos fotóns intercambiados na interacción electromagnética que non posúen carga eléctrica, os gluóns si teñen carga de color. Cando unha partícula emite un gluón, cambia de color e atrae ao gluón emitido que por está razón non pode a penas afastarse. 1-5 As leis de Newton. A súa validez na mecánica clásica. 1ª lei de Newton ou lei de inercia: se sobre unha partícula non actúa ningunha forza, ou a resultante das que actúan é nula, a partícula permanece indefinidamente en repouso ou en MRU. Se a experiencia diaria parece desmentir esta lei, ao observarse que os corpos en movemento terminan por parar, é a causa da acción de forzas de fricción ou rozamento. 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinámica: as forzas que actúan sobre un corpo son proporcionais ás aceleracións producidas, F = ma , sendo a constante de proporcionalidade, m, a masa inercial do corpo. Se sobre unha partícula non actúa ningunha forza, non terá aceleración, polo que o vector velocidade será constante en módulo e dirección: F = ma, a = dv/dt = 0, v = constante , e a partícula permanecera en repouso ou en MRU (lei de inercia). Se sobre unha partícula actúa unha forza, terá aceleración, polo que o vector velocidade variará en módulo e/ou dirección. Como a forza aplicada produce unha aceleración coa mesma dirección e sentido, se a forza é tanxente á traxectoria, produce unha aceleración tanxencial, modificando o módulo da velocidade; se a forza é perpendicular á traxectoria produce unha aceleración normal, modificando a dirección da velocidade. 3ª lei de Newton ou lei de acción e reacción: se unha partícula A actúa sobre outra B, mediante unha forza ABF (acción), a partícula B actúa sobre A cunha forza BAF (reacción),


de igual módulo e dirección pero de sentido oposto: AB BAF F= − . Por tanto un corpo non pode exercer unha forza sobre outro, sen que simultaneamente se vexa afectado el mesmo, por unha forza igual e oposta. As forzas nunca actúan soas na natureza, sempre aparecen coma resultado de accións mutuas, ou interaccións, entre corpos. Validez da Mecánica Clásica. As leis de Newton da mecánica xunto coa súa lei da gravitación universal, poden aplicarse a multitude de experiencias e fenómenos, denominándose mecánica clásica ao conxunto destas aplicacións. Noutros casos as leis de Newton dan lugar a resultados aproximados ou incorrectos. Para poder aplicalas deben cumprirse dúas circunstancias: a) A velocidade das partículas debe ser pequena en comparación coa velocidade da luz,

c = 300.000 km/s. b) O tamaño dos corpos obxecto de estudio debe ser grande comparado cás partículas

atómicas e nucleares. Se a velocidade da partícula é próxima á velocidade da luz, debemos empregar a teoría da relatividade especial de Albert Einstein, na que desaparecen os conceptos de espacio e tempo absoluto e a masa dos corpos aumenta coa velocidade conforme á expresión:

02

21

mmvc

=

−

onde m0 é a masa en repouso. Observar que o aumento da masa dun corpo só é apreciable cando a súa velocidade v aproxímase á velocidade da luz c. No campo da física atómica e nuclear debe empregarse a mecánica cuántica, na que desaparece o concepto de traxectoria e so podemos falar en termos de probabilidade de que unha partícula estea nunha posición nun determinado intre. Estudio dinámico de movementos sinxelos. Nun MRU a velocidade permañece constante en módulo, dirección e sentido, polo que a aceleración a = dv/dt é nula, e tamén é cero a forza aplicada F = ma = 0 . Reciprocamente se a forza total que actúa sobre un corpo é cero F = 0 , será a = 0 e o vector velocidade permañece constante, polo que o corpo realiza un MRU ou permanece en repouso. Nun MRUA a aceleración a é constante polo que a forza F = ma é constante. Reciprocamente unha forza F constante provoca un MRUA. Nun MCU a velocidade ten módulo constante pero varía en dirección, polo que hai aceleración normal: an=v2/R. Dita aceleración está producida por unha forza normal ou centrípeta de módulo Fn=man de igual dirección e sentido cá aceleración, é dicir, dirixida cara ao centro da circunferencia. O corpo tende por inercia a moverse en liña recta e a forza


centrípeta curva a súa traxectoria obrigándoo a describir unha circunferencia. 1-6 Momento lineal e momento angular dunha partícula: a súa conservación. Momento lineal ou cantidade de movemento p dunha partícula é un vector definido como o producto da masa da partícula pola súa velocidade: p = mv . Ten igual dirección e sentido cá velocidade, e o seu módulo é o producto da masa polo módulo da velocidade. Principio e conservación do momento lineal dunha partícula: Se sobre unha partícula non actúa ningunha forza exterior, ou a resultante das que actúan é nula, o seu momento lineal non varía. En efecto, a forza aplicada ao corpo é igual á derivada do momento lineal p con respecto ao tempo:

dv d(mv) dpF = ma = m = =dt dt dt

polo que se a forza aplicada e nula, F = 0 , o momento lineal p permañece constante. Esto non é máis có principio de inercia, xa que se p e m son constantes, tamén será constante a velocidade v . Principio de conservación do momento lineal para un sistema de partículas: O momento lineal total dun sistema de partículas sometidas a interaccións mutuas, pero sobre o que non actúen forzas externas, permañece constante. En efecto, consideremos dúas partículas que interaccionan entre si. A forza exercida pola partícula 1 sobre a 2, 12F é igual á derivada do momento lineal

2p con respecto ao tempo: 212

d p=F dt, e analogamente: 1

21d p=F dt

.

Da lei de acción e reacción, 12 21F = F− . polo que:

2 1 2 1 2 12 1

d d d d d( + )p p p p p p= ; + = 0 ; = 0 ; + = constantep pdt dt dt dt dt

Este resultado é válido para calquera número de partículas. Momento angular L dunha partícula é un vector definido como o producto vectorial do vector de posición r da partícula polo seu momento lineal p :

L = r p∧


Principio de conservación do momento angular dunha partícula: Se o momento da forza M = r F∧ que actúa sobre unha partícula é nulo, o momento angular L da partícula permañece constante. Primeiro demostremos que o momento da forza aplicada é igual á derivada con respecto ao tempo do momento angular:

dLM =dt

.

Derivando o momento angular respecto ao tempo: dL d(r p) dr dp= = p + rdt dt dt dt

∧∧ ∧

e como: dr dpp = v mv = 0 ; r = r F = Mdt dt

∧ ∧ ∧ ∧

xa o temos demostrado. Aplicando este resultado é inmediato que se o momento de forza é nulo, M = 0 , o momento angular L debe ser unha constante.

1-7 Problemas e cuestións

(1) Dados os vectores: a = 2i - j +3k e b = -i + 2j + 5k , obter: a) Os módulos de cada vector. b) O producto escalar. c) O producto vectorial. d) Emprega o resultado do apartado b) para obter o coseno do ángulo que forman.

Analogamente obtén o seno do ángulo a partir do apartado c) R.- a) a=3,742 , b=5,477 ; b) 11 , c) -11i - 13j +3k ; d) cosα=0,5367 , senα=0,8436.

(2) Obter o momento do vector a = 3i - 2j +k con orixe no punto P(-1,-3,-2) respecto á

orixe de coordenadas. (Axuda: PM = xar ) (3) Demostrar que os vectores a = 2i +4j +k e b = 3i - j - 2k son perpendiculares.

(Axuda: basta demostrar que o producto escalar é cero) R.- -7i - 5j +11k

Derivación e integración de funcións vectoriais. Aplicacións ao movemento

(4) Calcula a primeira derivada, ( )( ) df xf xdx

′ = , e a segunda derivada, 2

2

( )( ) d f xf xdx

′′ = ,

das seguintes funcións: a) f(x) = 5sen2x b) f(x) = 3senπx

(5) Un móbil de 1 kg segue as seguintes ecuacións do movemento:


x = t3 - 2t2 m, y = t2 - 5t +6 m a) Compoñentes rectangulares da velocidade en calquera instante e cando t = 2 s. b) Compoñentes rectangulares da forza en calquera instante e cando t = 2 s. c) Instante no que a forza é paralela ao eixe Y. Solución:

a) 2x y

dx m dy m= = 3 4t ; = = 2t5 v t vdt s dt s

Para t=2 s : vx= 3·22-4·2=12-8=4 ms-1 ; vy=2·2-5=-1 ms-1.

b) yxx y2 2

m mdvdv= = 6t4 ; = = 2a adt dts s

Para t=2 s : ax=6·2-4=12-4=8 ms-2 ; ay=2 ms-2. Fx=max=1 kg·(6t-4) ms-2=6t-4 N ; Fy=may=1 kg·2 ms-2=2 N.

c) A forza é paralela ao eixe Y, cando Fx=0: Fx=6t-4=0 ; t=4/6 ; t=2/3 s.

(6) As ecuacións do movemento dun corpo de masa 4 kg son:

a) Demostrar que a forza é proporcional á distancia entre o corpo e o eixe X. b) Representar graficamente a traxectoria do corpo.

Solución: a) Calculamos a velocidade e a aceleración por derivación:

xx x 2

dx m mdv = = 5 , = = 0 v adt s dt s

cos2

yy y 2

dy 3 m 3 mdv = = t , = = sen t v adt 2 2 s dt 4 2 s

π π ππ

Empregando a 2ª lei de Newton: 2 2

x y yF = ma = m( i + j)= m j = -3 sen tj = yj Na a a 2π

π π

sendo y a distancia entre o corpo e o eixe x como queriamos demostrar. b) Obtense unha función senoidal, correspondente á composición dun MRU no eixe x e un

MHS no eixe y.

(7) Demostrar que: 2

1dx Cx x

= − +∫

Estudio dalgúns movementos (8) ¿Existe algún tipo de movemento con velocidade constante e que posúa aceleración.

Solución: Si. Nun movemento circular uniforme M.C.U. a velocidade non varia en módulo, pero si en dirección de xeito que hai aceleración: an= v2/R.

(9) Unha roda xira con velocidade angular constante. ¿Ten un punto da súa periferia aceleración tanxencial? ¿e aceleración normal?

Solución: Se ω=v/R=cte, ó módulo da velocidade dun punto da periferia será constante, v=cte, polo

x = 5t , y = 3sen t2π


que non hai aceleración tanxencial: at=dv/dt=0. Como a dirección da velocidade, tanxente á circunferencia, varía co tempo hai aceleración normal: an=v2/R. (10) Comenta a seguinte frase: " Cando un corpo vira arredor dun eixe fixo con

movemento circular uniforme, tódolos seus puntos teñen a mesma velocidade". Solución: Posúen a mesma velocidade angular ω pero distinta velocidade lineal v que aumenta coa distancia R ao eixe de xiro: v = ωR. (11) Calcular a velocidade angular en rad./s dunha roda que xira a 300 rpm. Solución:

min ·min min

revol revol 2 rad 1 300 2 rad rad300 rpm = 300 = 300 = = 31,42 1 revol 60 s 60 s sπ π

(12) As rodas dun coche teñen 70 cm de diámetro e xiran a 820 rpm. Obter:

a) A velocidade angular das rodas. b) A velocidade con que se move o coche. c) A aceleración dun punto da superficie exterior da roda.

Solución:

a) min ·

min minrevol revol 2 rad 1 820 2 rad rad820 rpm = 820 = 820 = = 85,87

1 revol 60 s 60 s sπ π

b) v = ω·R = 85,87 rad/s · 0,35 m = 30,05 m/s = 108,2 km/h. c) an = v2/R = (30,05 m/s)2/0,35 m = 2580 m/s2.

(13) Un móbil desprázase a 90 km/h sobre unha curva de 98 m de diámetro cunha aceleración tanxencial de 5 m/s2. Calcular a aceleración total do móbil.

Solución: v = 90 km/h = 25 m/s. an = v2/R = 252/49 = 12,76 m/s2. 2 2 2 2 2

t na = + = + 12, = 13,7 m/a a 5 76 s

(14) Un punto da periferia dun rodamento de 2 cm de radio rota a 0,65 m/s. Calcular a velocidade angular do rodamento en rpm.

Solución: v 0,65 m/sv = R, = = = 32,5 rad/sR 0,02 m

ω ω

min

rad 1 revol 60 s= 32,5 = 310,4 rpms 2 rad 1

ωπ

(15) Un ciclista corre nun velódromo circular de radio 60 m cunha velocidade constante de

45,36 km/h. Calcular: a) O espacio que percorre nun minuto. b) A posición, con respecto a posición inicial de saída, do ciclista nese intre. c) O tempo que tarda en dar unha volta. d) A velocidade angular.

R.- a) 756 m , b) 2 m , c) 29,92 s , d) 0,21 rad/s. (16) A distancia Terra-Lúa é de 384.000 km e a Lúa tarda 28 días en dar unha volta arredor

da Terra. Calcula a velocidade da Lúa no seu movemento de translación arredor da


Terra, en m/s e en km/h. Calcula a aceleración normal. R.- v = 3591 km/h , an= 2,591·10-3 m/s2.

(17) Un móbil percorre, con MCU, 1/4 de volta en 2 s (lonxitude de 1/4 de volta 16 m.). a) ¿Canto tarda en dar unha volta? b) Calcula a velocidade do móbil. c) ¿Cantas voltas daría en 1 minuto? ¿E en 1 s? d) Calcula o radio da circunferencia. R.- a) 8 s , b) 8 m/s , c) 7,5 voltas ; 1/8 de volta , d) 10,19 m

(18) Un corpo está xirando a razón de 30 voltas/minuto. Calcula a velocidade de dous puntos situados a 5 cm e 15 cm do eixe de xiro. R.- 0,1571 m/s e 0,4713 m/s respectivamente.

(19) Calcula a velocidade lineal, debida á rotación da Terra, dunha persoa situada na liña do Ecuador. R = 6400 km. Noutro punto, fóra do Ecuador, a persoa do problema, ¿Tería a mesma velocidade? ¿Cal sería a súa velocidade se estivese situada no Polo? R.- 1675 km/h. A velocidade depende da distancia, r, ao eixe de rotación terrestre. No polo v = 0 m/s.

(20) O cegoñal dun automóbil vira a 3500 r.p.m. Calcula o seu período e a súa frecuencia expresándoos no S.I. R.- T = 1,714·10-2 s, f = 58,34 revol./s


Cálculo da expresión dun vector e suma de vectores no plano:

Todo vector pode escribirse como producto do seu módulo por un vector unitario: v v u=

O vector unitario pode obterse facilmente sabendo o ángulo que forma cun dos eixes de coordenadas, aplicando as fórmulas válidas para calquera triángulo rectángulo de hipotenusa unidade:

cateto contiguo= cosenoα cateto oposto=senoα

As compońentes serán positivas se están dirixidas nas direccións positivas dos eixes de coordenadas e, negativas en caso contrario. Exemplo resolto: Escribe as compoñentes dos vectores da figura e calcula a súa suma. Solución:

6(cos30º 30º ) 5,196 3

5( cos60º 60º ) 2,5 4,337( cos 25º 25º ) 6,344 2,958

4(cos75º 75º ) 1,035 3,864

2,613 0,508

a i sen j i j N

b i sen j i j Nc i sen j i j N

d i sen j i j N

a b c d i j N

= + = +

= − + = − +

= − − = − −

= − = + −

+ + + = − +

Exemplo resolto: Escribe as compoñentes dos vectores da figura e calcula a súa suma

Solución:

2 2 2 27 5 8,602 , 4 8 8,9447 56(cos º º ) 6( ) 4,883 3,4888,602

4 85( cos º º ) 5( ) 2,236 4,4728,944

2,647 7,96

OA OBi ja i sen j i j N

i jb i sen j i j N

a b i j N

α α

β β

= + = = + =

+= + = = +

− += − + = = − +

+ = +


Exercicio: Escribe as compoñentes dos seguintes vectores e calcula a súa suma en cada caso.

R.-

1) 1,84 0,474 ; 2) 1,913 3,279 ; 3) 6,956 0,7054) 4,06 0,41 ; 5) 2,5 3,67 ; 6) 1,347 7,024

i j i j i ji j i j i j

− − + +

− − − −

tema 1 conceptos previos. nocións de mecánica clásica. · pdf file1:...

Documents