Instituto Tecnolgico de Aguascalientes

Materia: Calculo Integral

1.1 Medicin Aproximada de Figuras Amorfas

Mediciones De Figuras AmorfasIntroduccin:

Lasfigurasamorfas, son aquellasfiguras que no tienenforma porque en realidad TODO tiene unaforma, pero se refiere a que no tieneformaconocida, no es un cuadrado, ni tringulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o unafigurade muchos lados distintos y "deforme". y suprincipalfinalidad es encontrar en una graficadada su rea de la parte de adentro de lafiguradondese encuentrael puntodado de lafiguraamorfa.

Aunque ser necesario definirla de forma un tanto complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo e intuitivo: el del rea. En geometra elemental se deducen frmulas para las reas de muchas figuras planas, pero para el rea de una figura amorfa (ver Figura 1) o una regin debajo de una curva (ver Figura 2) se define a veces como el nmero de cuadrados de lado unidad que caben en una regin.

Las veces que cabe un cuadrado unitario en una regin, puede ser inadecuada para ciertas regiones como los crculos ya que no parece ser posible dividir el cuadrado unidad en pedazos que puede ser yuxtapuestos de manera que formen un crculo. Dicho de otra manera es fcil obtener el rea de regiones acotadas por rectas.

1.2 Notacin Sumatoria

Notacin Sigma El operando matemtico que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos est expresado con la letra griega sigma (sigma mayscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notacin sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.

La variable i es el ndice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado lmite inferior, m. La variable i recorrer los valores enteros hasta alcanzar el lmite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros nmeros naturales podemos hacerlo de esta forma:

Algunos ejemplos adicionales:Ejemplo 1

Propiedades:

Frmulas Interesantes:

En estadstica se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notacin simplificada para indicar la suma de estos datos. As, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben

En general, la i-sima observacin se escribe X ; i=1, ..., n.

La letra griega sigma mayscula () se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.

La notacin se lee:Suma de X sub-i ( sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

La letra debajo del operador se llama ndice de la suma; en la expresin

note que el ndice de la suma es i. Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones: Notacin suma abierta.- Esta notacin va de una representacin de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo: Notacin suma pertinente.- Esta notacin es al contrario de la suma abierta, va de la representacin de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representacin matemtica resumida, por ejemplo: .Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11Encontrar: Solucin:

Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1Encontrar: Solucin:

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12Encontrar: Solucin:

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebrica se necesita identificar variables y constantes, as s X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresin que es la suma de dos ms trminos es igual a la suma de las sumas de los trminos por separado. Por ejemplo:

2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es

3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

A continuacin se explicara paso a paso como resolver un ejercicio de este tema.

1.- Identificar cual es el numero con el que vas a empezar a sumar. Ese numero esta debajo de este signo:

2.-Despues de haber identificado el nmero tienes que identificar otro numero para saber hasta que numero vas a terminar de sumar. Ese numero esta arriba de este signo: .

3.- Despus de haber identificado los nmeros, entonces pones los nmeros que vas a sumar delante del signo igual que debes de poner enseguida del signo: .

4.-Sumas los numero y esta terminado tu ejercicio.

5.- Si hay letra debajo del smbolo de suma, sustituyes la letra por el valor numrico hasta que llegues al nmero que esta arriba del smbolo de suma.

A continuacin se te muestra un ejemplo:

1.- 4n=0 n=0+1+2+3+4= 10

2.- 7k=1 k(k +1) = 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1)+7(7+1)= 143

Notacin SigmaLos nmeros cuya suma se indica en una notacin sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemticos ms complicados. Si la suma tiene un nmero infinito de trminos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesin:

sta se puede representar como la suma de los primeros trminos con la notacin de sumatoria o notacin sigma. El nombre de esta notacin se denomina de la letra griega (sigma mayscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notacin sigma es de la siguiente manera:

La ecuacin anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k es el ndice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuacin despus de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuacin. EjemplosEjemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:

Solucin:

Ejemplo # 2

Solucin:

Ejemplo # 3

Solucion:

Ejemplo # 4

Solucion:

Ejemplo # 5 Exprese cada suma en notacin sigma:

(a)

Solucin:

Ejemplo # 5

(b)

Solucion:

Sin embargo, no hay forma unica de escribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:

Solucion

(a)

(b)

Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los numeros naturales. Propiedades de las sumasSean las sucesiones

y

Entonces, para todo entero positivo y todo numero real , sabemos: 1.

2.

3.

4.

5.

6. Demostracin

Para la demostracin de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuacin de la siguiente manera:

para obtener:

Sabemos que la suma es asociativa y conmutativa por lo que los trminos se reordenan y queda de la siguiente manera:

y sabemos que la sucesin y se puede escribir en notacin sigma de la siguiente manera:

y

por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad:

La demostracin de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos acabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:

y por notacion sigma sabemos que:

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

NOTACIN SUMATORIA

Con frecuencia una serie se representa por medio de la notacin de sumatoria de esta manera

que se lee asi:

la sumatoria de los a sub k cuando k varia desde 1 hasta nLos trminos de la serie que aparecen a la derecha se obtienen a partie de la expresin del centro al sustituir sucesiva mente k en ak por entero positivos desde 1 hasta n.Ejemplo La serie corresponde = esta dada por: La serie corresponde a la sucesin es

Ejemplos: sin la notacin de sumatoria Sustituimos k por 1,2,3,4,5,6,7,8 respectivamente y posterior mente sumamos, as. Luego= 2+8+18+32+50+72+98+128 es la forma desarrollada de la sumatoria dada.

NOTACIN SUMATORIA

Representa frecuentemente una serie

Su smbolo es Se cambia n por k

1.3 Suma de Riemann

Las sumas de Riemann son un mtodo para aproximar el rea total bajo la grfica de una curva. Llevadas al lmite se obtiene la integral de Riemann.La suma de Riemann consiste bsicamente en trazar un nmero finito de rectangulos dentro de un rea irregular, calcular el rea de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las reas se obtiene un margen de error muy grande.Introduccin

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el rea bajo la curva: Dividimos la regin "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos: La ecuacin para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior Para esta suma es importante saber las siguientes identidades: Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante) Ejemplos Ejemplo # 1Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente funcin: ,lmites

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje , menos la suma de las areas debajo del eje ; esa es el rea neta de los rectngulo respecto al eje .

Ejemplo # 2Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la izquierda de la siguiente funcin: ,lmites

Ejemplo # 3Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente funcin: ,lmites

Ejemplo # 4Evaluando la suma de Riemann en cinco subintervalos tomando los puntos medios de la siguiente funcin: ,lmites

Cuatro de los mtodos de suma de Riemann para aproximar el rea bajo las curvas. Los mtodos derecha e izquierda hacen la aproximacin usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los mtodos mximo y mnimo hacen la aproximacin usando, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

Sumas de Riemann S'n de una misma funcin, con n = 5 rectngulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el rea total de los rectngulos se aproxima al rea delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.