tema 1 : mecÁnica - ude · 4 movimiento lineal x x(t) origen v (t) mide la velocidad instantánea...
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• TEMA 1 : MECÁNICA
• MOVIMIENTOS• FUERZAS• FLUÍDOS• ENERGÍAS
1
θ (t)0
x Ox(t)
MOVIMIENTOS BÁSICOS Clasificación según trayectorias y funciones asociadas
y
x0
vo
θ0
x(t)
y(t)
•|PARABÓLICO
• CIRCULAR
• LINEAL
¿ Qué ?22 / 25
3
x Origenx(t)
MOVIMIENTO LINEAL
V(t)
Velocidad
Aceleración
xVt
∆=∆
Vat
∆=∆
* Conceptos fundamentales
t∆Intervalo
detiempo
V∆
Variaciónde
velocidad
Trayectoria :línea recta
Desplazamientox∆
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4
MOVIMIENTO LINEAL
x Origenx(t)
V (t)
Mide la Velocidad instantánea V(t) del móvil, no la
Velocidad media V
Mide la Distancia
recorrida desde el origen
* Comentarios
La distancia medida no siempre es el Desplazamiento
∆ xo la posición
x(t)
∆ x
Para hallar la aceleración hayque medir 2
Velocidades enun intervalo de
tiempo
4 / 25
5
5 / 25
6
Utilización de Funciones reales y su representación gráfica para
visualizar fácilmente la relación entre las variables
• LINEAL: x(t)
• CIRCULAR: θ (t)
• PARABÓLICO: x(t), y(t)
Funciones utilizadas para analizar movimientos :
Mayor nivel de abstracción pero mejor comprensión y cálculo
t
∆ x
∆ t
x
x (t )
(1) Conexiones con Matemática ¿ Cómo ?
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x f(x) =3x+20 21 52 83 114 14
Ejemplos de funciones a utilizar
Con tablas de valores numéricos :
a) lineal b) cuadrática c) Polinomio 2o. grado
x g(x) =3x2 +20 21 52 143 294 50
x h(x)=3x2+4x+20 21 92 223 414 66
(1) Conexiones con Matemática
No se visualiza bien la relación entre variables, aunque los
valores que va tomando la función se calculan con facilidad
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Ejemplos de funciones a utilizar
Con representación gráfica :
a) lineal b) cuadrática c) Polinomio 2o. grado
f(x) = 3x+2 g(x) = 3x2 + 2 h(x) = 3x2 + 4x + 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
2
4
6
8
10
12
14
16
x
f(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
10
20
30
40
50
60
x
g(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
10
20
30
40
50
60
70
x
h(x)
(1) Conexiones con Matemática
Se visualiza bien la relación entre variables, aunque los valores
que va tomando la función se estiman aproximadamente.
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x
∆ f
∆ x
f
0
Significado de la Pendiente de una curva
Mide el efecto de una variación de la variable independiente x
en la variable dependiente f(x)
Ejemplos : en 1 hora un móvil se desplazó 80 km ( 80 km/h)En 5 s un auto llega a 100 km/h ( 20 km/h /s )
En 100 m una carretera tiene un desnivel de 5 m ( 5 % )
( ) fPENDIENTE dex
f x ∆≡∆
(2) Conexiones con Matemática 9 / 25
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
10
20
30
40
50
60
x
g(x)
Si x es posición y t tiempo, la pendiente da la velocidad media en el intervalo ∆ t elegido
y en el límite da la velocidad instantánea en cada tiempo :
MOVIMIENTO LINEAL
t
∆ x
∆ t
x
0
Con velocidad variable
(2) Conexiones con Matemática
xVt
∆=∆
0( ) lim txV tt∆ →
∆≡∆
20 /201
m sxVt
= ∆= =∆
En intervalo [ 3-4 ] s
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11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
10
20
30
40
50
60
70
x
h(x)
Si V es velocidad y t tiempo, la pendiente da la aceleración media en el intervalo ∆ t elegido
y en el límite da la aceleración instantánea en cada tiempo :
0( ) lim ta Vtt∆ →
∆≡∆
MOVIMIENTO LINEAL
t
∆ V
∆ t
V
0
con aceleración variable
(2) Conexiones con Matemática
Vat
∆=∆
En intervalo [ 2 - 3 ] s
220 /201
a m sVt
= ∆= =∆
11 / 25
120 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
2
4
6
8
10
12
14
16
x
f(x)
(3) Conexiones con Matemática
0( )( )
i
i i
f ii
aV t V ctex t x V tx x
Vt
== =
= +−
=∆
Ecuaciones de movimiento
B) lineal aceleración constante (MRUA)
2
2 2
0( )
( )2
2 ( )
2
i
i i
f i f i
f i f i
a cteV t V a t
a tx t x V t
V V a x xx x V V
t
= ≠= +
= + +
= + −
− +=
∆
A ) lineal velocidad constante (MRU)
t
x
xi0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0
10
20
30
40
50
60
70
x
h(x)
t
x
xi
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θ (t)0
MOVIMIENTO CIRCULAR
Velocidad angular
Longitud de 1 vuelta = R 2π
Trayectoria:Circunferencia
radio Rcentro O
* Conceptos fundamentales
tθω ∆=
∆
θ∆
x R θ∆ = ∆
x
Desplazamiento lineal =
Desplazamiento angular
∆ x = R ω ∆ t Desplazamiento lineal
Desplazamiento angular
∆ θ = ω ∆ t
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MOVIMIENTO CIRCULAR * Conceptos fundamentales
Período
Tiempo de una vuelta
T = 2 π / ω
Usualmente se miden las RPM ( revoluciones por minuto ) de un motor, magnitud que se relaciona con :
Frecuencia
vueltas por segundo
f = 1 / T
Velocidad angular
14 / 25
ω = π ( RPM )/30
T = 60 / RPM
tθω ∆=
∆
f = RPM / 60
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Se trata de un movimiento con 2 tipos de velocidades : angular y lineal, relacionadas.
Aunque se trate de un movimiento con rapidez constante, igualmente existe una
aceleración ( centrípeta ) ya que la velocidad ( tangencial ) cambia de sentido
Velocidad tangencial V = ω R
Aceleración centrípeta
a = ω 2 R
ω = ∆θ /∆t
R
MOVIMIENTO CIRCULAR * Conceptos fundamentales15 / 25
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Aceleración centrípeta
a = ω 2 R
(4) Conexiones con Matemática
Frecuencia f = RPM / 60
PeríodoT = 60 / RPM
Velocidad angularω = π ( RPM )/30
Ecuaciones principales
MOVIMIENTO CIRCULAR
Velocidad tangencial V = ω R
16 / 25
θ (t)0
∆ x = R ω ∆ t
∆ θ = ω ∆ t
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y
x0
vo
θ0
x(t)
y(t)
MOVIMIENTO PARABÓLICO * Conceptos fundamentales
Trayectoria:parábola
Es un movimiento complejo y para estudiarlo
se lo descompone en 2 movimientos lineales
( mediante trigonometría ) :
g
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( g = aceleración debida a la atracción gravitatoria )
En x es un movimiento con velocidad constante ( MRU )
En y es un movimiento con aceleración constante ( MRUA )
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Trigonometría
Los ángulos se miden usualmente en grados sexagesimales ( θ ° ) pero en Matemática – Física se miden en radianes.
La conversión es sencilla usando una regla de 3 : π rad ---- 180 ° θ rad ---- θ °
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(5) Conexiones con Matemática
. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :
2 2cos
asenhb h a bhatgb
θ
θ
θ
≡
≡ = +
≡
θ
h a
b Teorema de Pitágoras
Conociendo el valor de la función trigonométrica ( sen, cos, tg ) de un ángulo se halla éste usando la función inversa correspondiente ( arcsen, arc cos, arc tg, que en calculadoras es : sin -1, cos -1, tan -1 )
0°0 rad
180°π rad
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(5) Conexiones con Matemática 19 / 25
30 0,5 cos 60sen ° = = °
Trigonometría / Ejemplos
60°+ 30° = 90°
ó 90°- 30° = 60°H=10 m
60°
D
L H = 10 m
Ejemplo : ¿ L, D, tg 60° ?
#
2 2L = H - D = 100 - 25 = 8,7 m
8,760 1,75
LtgD
° = = =
D = H cos 60° = H sen 30° = 5m
60 km
30 km
β Hr
β
α
β
Ejemplo : ¿ H, α, β ?
30 0,5 0,5 2760
tg arctgβ β= = ⇒ = = °
2 230 60 67H km= + =
90 27 63α∴ = ° − ° = °
20
0 0
0 0
2
0 0
0 0
2
0 2 20 0
( ) ( cos )cos
( ) ( )2
( )
( )2 cos
x
y
x t v tv v cte
gty t v sen t
v t v sen gt
gxy x xtgv
θθ
θ
θ
θθ
== =
= −
= −
= −
v
vx
vy
MOVIMIENTO PARABÓLICO(6) Conexiones con Matemática
Ecuaciones de movimiento Velocidades
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MRU
MRUA2 2V = x yV V+
variableyV =
constantexV =
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MOVIMIENTO PARABÓLICO(6) Conexiones con Matemática
Trayectoria y características :
21 / 25
2 20 0
2MAXv seny
gθ=
20 02
MAXv senx
gθ=
20 02
MAXv senx
gθ=
v min = vo cos θ o
Todas funciones de v o , θ o y g
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ω
APLICACIONES PRINCIPALES ¿ Para qué ? 22 / 25
23 ω1
ω2
Mecanismos, Engranajes y transmisión de movimiento
APLICACIONES PRINCIPALES¿ Para qué ?
23 / 25
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APLICACIONES PRINCIPALES Máquinas agrícolas, Riego
¿ Para qué ?24 / 25
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Unidades del Sistema internacional (S.I.) Conversiones usuales : x en metros ( m ) 1 mi = 1,609 km V en metros por segundo ( m/s) 1 m/s = 3,6 km/h a en metros por segundo por segundo 1 mi/h = 1,6 km/h ( m/s) /s = m/s2
ω en radianes por segundo ( rad/s ) Ver más en Tablas f en ciclos por segundo 1/s = Hertz ( Hz ) En el movimiento circular : La velocidad tangencial : V = ω R = ( rad/s ) . m = m/sLa aceleración centrípeta : a = ω 2 R = ( rad/s ) 2 m = m / s 2
Observación : la unidad radian es adimensionada, lo mismo que las Funciones trigonómetricas ( sen, cos, tg )
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