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Tema 1. Procesos EstacionariosCurso de doctorado: Series Temporales
Antonio Montañés Bernal
Universidad de Zaragoza
Marzo 2008
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 1 / 29
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1. Introducción
Objetivo
Estudiar las propiedades temporales de las variables macroeconómicas.
¿Por qué es interesante estudiar dichas propiedades?
Conocer el PGD nos facilita, por ejemplo, la predicción.Van a determinar el tipo de herramientas que vamos a aplicar en lamodelización econométrica
¿Por qué menciono variables macroeconómicas y no de otro tipo?
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1. Introducción
ESQUEMA
1 Conceptos Básicos
2 Ejemplos3 Extensiones
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1. Introducción
ESQUEMA
1 Conceptos Básicos2 Ejemplos
3 Extensiones
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1. Introducción
ESQUEMA
1 Conceptos Básicos2 Ejemplos3 Extensiones
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2. Conceptos básicos
De�nitionDenominamos proceso estocástico a una sucesión de variables aleatoriasordenadas en el tiempo. fytg, t = �∞, ...,�2, �1, 0, 1, 2, ...,∞.
Cada una de estas variables tiene su propia función de distribución.Existen muchos tipos de procesos estocásticos. Pongamos algunosejemplos
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2. Conceptos básicos
De�nitionSe llama ruido blanco a un proceso estocástico que se distribuye conmedia 0, varianza constante y �nita y la distribución es independiente.
E (ut ) = 0
Var (ut ) = σ2
E (ui uj ) = 0, 8i 6= j
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn paseo aleatorio es un proceso estocástico distribuido de la siguientemanera:
yt = yt�1 + εt (1)
siendo εt un ruido blanco.
yt = yt�1 + εt = yt�2 + εt + εt�1 =t
∑i=1
εi
donde, sin perdida de generalidad, hemos supuesto que yo = 0.El valor de yt no es sino una acumulación de los valores de lasperturbaciones aleatorias de ahí el nombre de paseo aleatorio.
Persistencia
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn paseo aleatorio con deriva se de�ne
yt = µ+ yt�1 + εt (2)
donde εt es un ruido blanco y µ es un parámetro constante
En qué se diferencia esenciamente del proceso anterior: en lapresencia de una tendencia
yt = µ+ yt�1 + εt = µ+ (µ+ yt�2 + εt�1) + εt
= yt�2 + 2µ+2
∑i=1
εi = µ t +t
∑i=1
εi (3)
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn proceso estocástico es estacionario en sentido estricto si se cumpleque:
F (y1, y2, ..., ym) = F (yk+1, yk+2, ..., yk+m)
donde m y k son sendos enteros.
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn proceso estocástico fytg es estacionario en sentido débil si secumple que:
E (yt ) = µ 8tVar (yt ) = σ2 8t
Cov (yi , yj ) = Cov (yk+i , yk+j ) = γ (i � j) = γ (j � i) , 8i 6= jsiendo µ y σ2 sendos parámetros y siendo k un número entero
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2. Conceptos básicos
Existe una relación directa entre ambos conceptos de estacionariedad. Así,si imponemos la restricción de que el proceso es generado por unadistribución normal, entonces resulta inmediatio veri�car que laestacionariedad débil implica estacionariedad fuerte.
ESTACIONARIEDADDÉBIL+
NORMALIDAD
9=; ) ESTACIONARIEDADFUERTE
¿Por qué?
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn proceso ARMA(p,q) se de�ne de la siguiente manera:
yt = δ+ φ1 yt�1 + ...+ φp yt�p + ut + θ1 ut�1 + ...+ θq ut�q
siendo u un ruido blanco.
De forma compacta el modelo anterior se puede expresar como:�1� φ1L� ...� φpL
p�yt = δ+ (1+ θ1L+ ...+ θqLp) ut
donde L es el operador matemático de retardos, tal que Ldxt = xt�d
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.
2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�13 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�1
3 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 12 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�13 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 12 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�13 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 12 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�13 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 12 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso MA(1) yt = δ+ ut + θ1ut�13 Es estacionarioE (yt ) = δVar(yt ) = (1+ θ21) σ2u = γ(0)La función de autocovarianzas es igual a γ(1) = θ1 σ2u y 0 para elresto
4 Sólo es invertible si jθ1j < 1
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico? ¿Para qué valores del parámetro θ1?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 12 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.
2 Proceso AR(1) yt = δ+ φ1 yt�1 + ut3 No siempre es estacionario, sólo si jφ1j < 1.Bajo este supuesto deestacionariedadE (yt ) = δ
1�φ1
Var(yt ) =σ2u1�φ21
= γ(0)
Cov(yt , yt�i ) = φi1γ(0)
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso AR(1) yt = δ+ φ1 yt�1 + ut
3 No siempre es estacionario, sólo si jφ1j < 1.Bajo este supuesto deestacionariedadE (yt ) = δ
1�φ1
Var(yt ) =σ2u1�φ21
= γ(0)
Cov(yt , yt�i ) = φi1γ(0)
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 13 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso AR(1) yt = δ+ φ1 yt�1 + ut3 No siempre es estacionario, sólo si jφ1j < 1.Bajo este supuesto deestacionariedadE (yt ) = δ
1�φ1
Var(yt ) =σ2u1�φ21
= γ(0)
Cov(yt , yt�i ) = φi1γ(0)
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 13 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso AR(1) yt = δ+ φ1 yt�1 + ut3 No siempre es estacionario, sólo si jφ1j < 1.Bajo este supuesto deestacionariedadE (yt ) = δ
1�φ1
Var(yt ) =σ2u1�φ21
= γ(0)
Cov(yt , yt�i ) = φi1γ(0)
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 13 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso AR(1) yt = δ+ φ1 yt�1 + ut3 No siempre es estacionario, sólo si jφ1j < 1.Bajo este supuesto deestacionariedadE (yt ) = δ
1�φ1
Var(yt ) =σ2u1�φ21
= γ(0)
Cov(yt , yt�i ) = φi1γ(0)
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 13 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.
2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 > 1, ¿qué sucede entonces?
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 14 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 > 1, ¿qué sucede entonces?
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 14 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 > 1, ¿qué sucede entonces?
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 14 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 > 1, ¿qué sucede entonces?
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 14 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.
2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 = 1, entoncesE (yt) = δtVar(yt ) = t σ2u
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 15 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 = 1, entoncesE (yt) = δtVar(yt ) = t σ2u
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 15 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 = 1, entoncesE (yt) = δtVar(yt ) = t σ2u
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 15 / 29
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2. Conceptos básicos
1 Casos particulares de interés.2 Proceso yt = δ+ φ1 yt�1 + ut . Si φ1 = 1, entoncesE (yt) = δtVar(yt ) = t σ2u
¿Cuál es el efecto de un shock? ¿Cuánto tiempo dura?
¿Tiene sentido económico?
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn proceso es integrado de orden d cuando es necesario diferenciarlo dveces para que sea estacionario. Esto se representa como yt � I (d).
De acuerdo con esta de�nición, si tenemos una variable yt integrada deorden d , entonces la variable zt = (1� L)dyt será estacionaria
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2. Conceptos básicos
Relación con el concepto de raíz unitaria:
yt = δ+ yt�1 + ut ) (1� L)yt = δ+ ut
Si tomamos el polinomio como una ecuación, ¿cuál es su solucióncaracterística?
(1� L�) = 0) L� = 1
Orden de integración�número de raíces unitarias.
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2. Conceptos básicos
De�nitionUn proceso ARIMA(p,d,q) se de�ne de la siguiente manera:
(1� L)d yt = δ+ φ1 yt�1 + ...+ φp yt�p + ut + θ1 ut�1 + ...+ θq ut�q
siendo u un ruido blanco.
De forma compacta el modelo anterior se puede expresar como:
�1� φ1 L � ...� φp L
p�(1� L)d yt = δ+ (1+ θ1L+ ...+ θqLq) ut
donde (1� L)d es el operador matemático de diferencias, tal que(1� L)xt = xt � xt�1El polinomio
�1� φ1 L � ...� φp L
p�tiene sus raíces fuera círculo unidad
El polinomio (1+ θ1L+ ...+ θqLq) tiene sus raíces fuera círculo unidad
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2. Conceptos básicos
Otro proceso que puede ser de gran interés es el siguiente:
yt = µ+ β t + ut
donde ut sigue un proceso ARMA estacionario e invertible.Este proceso...
presenta tendencia lineal de naturaleza determinista (TS)
es no estacionario
guarda ciertas similitudes con un paseo aleatorio con deriva... ¿Peroson realmente tan parecidos?
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2. Conceptos básicos
DS TS¿Cuanto dura el efecto de un shock? Permanente TransitorioEstacionario No NoIntegrado Sí NoComo se hace estacionario Diferenciando Quitando tendenciaSe anula la FAC ∞ ∞Cambian las propiedades MCO Sí Esencialmente no
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2. Ejemplos
Estudiar las propiedades temporales de las variables del primer �chero
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3. Extensiones
Estudiar las propiedades temporales de las variables del �chero caso12
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3. Extensiones3.1. Modelos ARCH(p)
Los modelos ARCH se utilizan para captar la volatilidad de las variablesDe forma analítica se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
h2t = αo +p
∑i=1
αi y2t�i , αo � 0,p
∑i=1
αi � 1
siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.Resulta inmediato comprobar que E (yt ) = 0 y Var(yt ) = αo
1�∑pi=1 αi
.
Pero, tambien es cierto que: Var(yt/=t�1,=t�2...) = h2t
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3. Extensiones3.2. Modelos GARCH(p,q)
Los modelos ARCH se utilizan para captar la volatilidad de las variablesDe forma analítica se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
h2t = αo +p
∑i=1
αi y2t�i +q
∑i=1
βi h2t�i , αo � 0,
p
∑i=1
αi +q
∑i=1
βi � 1
siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.Resulta inmediato comprobar que E (yt ) = 0 y Var(yt ) = αo
1�∑pi=1 αi�∑q
i=1 βi.
Pero, tambien es cierto que: Var(yt/=t�1,=t�2...) = h2t
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3. Extensiones3.3. Modelos IGARCH(p,q)
De forma analítica se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
h2t = αo +p
∑i=1
αi y2t�i +q
∑i=1
βi h2t�i , αo � 0,
p
∑i=1
αi +q
∑i=1
βi = 1
siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.
La varianza no tiene media de�nida
El proceso global sí que es estacionario y ergódico.
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3. Extensiones3.3. Modelos IGARCH(p,q)
De forma analítica se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
h2t = αo +p
∑i=1
αi y2t�i +q
∑i=1
βi h2t�i , αo � 0,
p
∑i=1
αi +q
∑i=1
βi = 1
siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.
La varianza no tiene media de�nida
El proceso global sí que es estacionario y ergódico.
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 25 / 29
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3. Extensiones3.4. Modelos Exponential GARCH
Un EGARCH(1,1) se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
ln h2t = αo + β1 ln h2t�1 + δ εt�1 + θ
�j εt�1j �
p2/π
�siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.
Las perturbaciones no tienen ahora un comportamiento simétrico
El parametro β1mide la persistencia en la volatilidad
El parametro δ mide la importancia de los shocks sobre la volatilidad(δ <0).
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3. Extensiones3.4. Modelos Exponential GARCH
Un EGARCH(1,1) se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
ln h2t = αo + β1 ln h2t�1 + δ εt�1 + θ
�j εt�1j �
p2/π
�siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.
Las perturbaciones no tienen ahora un comportamiento simétrico
El parametro β1mide la persistencia en la volatilidad
El parametro δ mide la importancia de los shocks sobre la volatilidad(δ <0).
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3. Extensiones3.4. Modelos Exponential GARCH
Un EGARCH(1,1) se puede representar de la siguiente manera:
yt = εt ht
ln h2t = αo + β1 ln h2t�1 + δ εt�1 + θ
�j εt�1j �
p2/π
�siendo εt un ruido blanco tal que E (εt ) = 0 y Var(εt ) = 1.
Las perturbaciones no tienen ahora un comportamiento simétrico
El parametro β1mide la persistencia en la volatilidad
El parametro δ mide la importancia de los shocks sobre la volatilidad(δ <0).
Antonio Montañés Bernal (Universidad de Zaragoza ) Procesos Estacionarios 03/08 26 / 29
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3. Extensiones3.5. Modelos GARCH-M
En ocasiones podemos pensar que los rendimientos de un producto esténcorrelacionados con su riesgo, de ahí que podamos emplear esta últimapara explicar aquella.Un ejemplo es el siguiente modelo:
yt = δ h2t + εt
h2t = αo + α1 ε2t�1
siendo εt un proceso que sigue un ARCH(1).
El parametro δ mide la importancia del riesgo sobre el rendimiento.
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3. Extensiones3.6.SETAR
Un proceso SETAR (Self Exciting Threshold Autoregressive Model) sede�ne de la siguiente manera:
yt = φ(i )o + φ(i )1 yt�1 + ...+ φ(i )p yt�p + ε
(i )t , i = 1, 2, ...Nr
donde ε(i )t � ID(0, σ2(i ))
Nr es el número de regímenes
Los parámetros con superíndice (i) pueden variar entre regímenes
La variable y está en el i-ésimo regimen siempre que ri�1 � yt�d < ri ,donde yt�d es continua en R
Posibles aplicaciones ?
Posibles extensiones ?
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3. Extensiones3.6.SETAR
Un proceso SETAR (Self Exciting Threshold Autoregressive Model) sede�ne de la siguiente manera:
yt = φ(i )o + φ(i )1 yt�1 + ...+ φ(i )p yt�p + ε
(i )t , i = 1, 2, ...Nr
donde ε(i )t � ID(0, σ2(i ))
Nr es el número de regímenes
Los parámetros con superíndice (i) pueden variar entre regímenes
La variable y está en el i-ésimo regimen siempre que ri�1 � yt�d < ri ,donde yt�d es continua en R
Posibles aplicaciones ?Posibles extensiones ?
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3. Extensiones3.7.Otros modelos
Markov Switching Autoregressive Models
El tamaño importa? TIMA Models
Estacionalidad
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3. Extensiones3.7.Otros modelos
Markov Switching Autoregressive Models
El tamaño importa? TIMA Models
Estacionalidad
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3. Extensiones3.7.Otros modelos
Markov Switching Autoregressive Models
El tamaño importa? TIMA Models
Estacionalidad
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