tema 1. repaso de teoría de circuitos

Tema 1.

Repaso de Teoría de Circuitos

Joaquín Vaquero López

Joaquín Vaquero López 1Electrónica, 2007

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1.1) Conceptos preliminares. Concepto de circuito, elementos de un circuito

1.2) Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos: Leyes de Kirchhoff

1.3) Principio de Superposición

1.4) Teoremas de reducción de circuitos: Equivalente de Thévenin y Norton

1.5) Divisores de voltaje y corriente

1.6) Característica I-V, función de transferencia, recta de carga

1.7) Método gráfico de resolución de circuitos

1.8) Circuitos RC (1er orden). Función de transferencia compleja

Electrónica, 2007

Repaso de Teoría de Circuitos: índice

Joaquín Vaquero López 2




Conceptos preliminares

CIRCUITO: Asociación de elementos activos o pasivos conectados en serie/paralelo por donde puedecircular corriente. Modelo matemático simplificado de una instalación real.

Se utiliza para estudiar (análisis y síntesis) la respuesta de un sistema eléctrico ante un estímulo.Señales de entrada, salida y función de transferencia.

Aplicable a circuitos lineales y cuasilineales.

VARIABLES FUNDAMENTALES: I, V y P

Convenios de signos. Múltiplos y submúltiplos. Notación (v, V, u, U)

ELEMENTOS DE UN CIRCUITO:

Son los modelos matemáticos de los dispositivos físicos reales de un circuito. Modelos de parámetros concentrados.

Activos: fuente de tensión/corriente - continua/alterna – dependientes/independientes.

Pasivos: R,L,C.

Relación entre voltaje y corriente en cada uno de estos elementos. Potencia y energía.

ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS SERIE/PARALELO

Concepto de impedancia-admitancia-immitancia.

Electrónica, 2007 Joaquín Vaquero López 3




Electrónica, 2007

Característica I-V de un elemento de un circuito:

Describe la relación entre la corriente que circula por el elemento y el voltaje através de sus terminales.

Recta de carga:

Gráfica I-V determina todos los puntos de operación permitidos de dichodispositivo en el circuito en que se halla.

Fundamental: entender qué nos dice una gráfica.

Característica I-V. Recta de carga





Electrónica, 2007

Ejemplos:






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Ejemplos:

Recta de carga

Característica I-V de entrada de un transistor

Punto de operación Q

IBQ

VBEQ






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Ejemplos:





Ley de conservación de la carga y la energía para describir relación voltaje-corriente en cualquier red, lineal o no:

1ª.- La suma de caídas de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado es cero.

2ª.- La suma de todas las corrientes que entren en cualquier nodo de un circuitoes igual a cero.

Nodo: Punto donde se conectan tres o más conductores.

Rama: Elemento o grupo de elementos con 2 terminales. Tramo entre dosnudos

Malla/lazo: cualquier camino cerrado que pueda se definido en el circuito.

Resolver un circuito: calcular todas las intensidades que circulan por cadaelemento del circuito y las tensiones que caen en cada uno de ellos. NOhay una única forma de resolverlo.

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Leyes fundamentales: Leyes de Kirchoff





21 ·· ibiav

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ELEMENTO LINEAL: aquel cuya característica v-i es de la forma:

ó

con a, b, c, d constantes.

En general a, b, c, d pueden ser operadores lineales (derivada o integral)

la característica v-i es de la forma:

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: en todo sistema lineal, la respuesta del

circuito debida a una suma de entradas, será igual a la suma de las

respuestas de cada una de las entradas aplicadas individualmente.

Notar que podemos aplicar superposición aunque no todas las fuentes se

apliquen en la misma localización.

dtibdt

diav 2

1

21 ·· vdvci

Principio de superposición





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Equivalente de Thévenin:

Cualquier circuito resistivo (contiene únicamente resistencias y fuentes)puede ser representado por un circuito más sencillo, formado sólo por unasola fuente de voltaje y una resistencia en serie. Este circuito se denomina“Equivalente de Thévenin” del circuito original.

Vth representa todas las fuentes.

Rth representa todas las resistencias.

Equivalente de Norton:

Aquí la fuente independiente es una fuente de corriente, Ith, y la resistenciaequivalente está conectada en paralelo.

Teoremas de reducción de circuitos





Divisor de tensión:

Las impedancias son atravesadas por la misma corriente

Divisor de corriente:

Las impedancias está sometidas a la misma tensión

21

22

21

11

222111

21

21

·;

·

·;·

RR

VRV

RR

VRV

RIVRIVRR

VII

ii

i

21

12

21

21

2

1121

212211

·;

·

;··

RR

IRI

RR

IRI

R

RIIIII

IIIRIRI

ii

ii

i

R1

R2

Vi

V1

V2

R1 R2Vi I1 I2

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Divisores de tensión y corriente





Circuitos de primer orden: Son circuitos caracterizados por una ecuacióndiferencial de primer orden. Cualquier circuito formado por un conjuntocualquiera de resistencias y fuentes independientes y un solo elementoalmacenador de energía (L ó C) es de 1er orden.

Régimen transitorio: Solución a la ec.dif. homogénea, que es la respuesta

natural del sistema.

Régimen permanente: Solución a la ec.dif. completa, que es la respuesta del

sistema forzada por una excitación exterior.

Ejemplo 1: Circuito RC

VinR

Ci

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Circuitos RC: Circuitos de 1er orden

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

0)(1

)0()(·0

t

C dttiC

utiR

Homogénea:

Completa:





fRC ·21

;

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Ejemplo 1: Circuito RC (C inicialmente cargado)

Solución homogénea:

Condiciones iniciales:

Solución tipo:

Tensión en el condensador:

Constante de tiempo:

;0)(1

)0()(·0

t

C dttiC

utiR

teKti ·)(

R

VitvVu inC

00 )0(0)(;)0(

RC

t

eR

Vti

·)( 0

000 ·)( VeVVtu RC

t

C

0)0( VuC

t

CC dttiC

utu0

)(1

)0()(RC

t

C eVtu

·)( 0

%95

·3

%63






)(·)0()0()( tfefftft

Electrónica, 2007


Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):


Solución tipo:

Tensión en el condensador:

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

)0()·()(

0

0 C

t

RC

t

inC ueVVtu

inRC

t

inC VeVVtu

)·()( 0

t

CC dttiC

utu0

)(1

)0()(

teKti ·)(

R

VViVtvVu in

ininC0

0 )0(;)(;)0(

RC

t

in eR

VVti

·)( 0






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Solución completa. Excitación senoidal. Características de las funciones senoidales:

1.- La respuesta en régimen permanente de un circuito lineal con excitación senoidal es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

2.- La suma de funciones senoidales de igual frecuencia es una función senoidal de igual frecuencia. La amplitud y la fase puede variar.

3.- La derivada de una senoide es de forma senoidal, y su integral.

4.- Mediante la descomposición en serie de Fourier cualquier función periódica puede representarse como una combinación lineal de un número finito de funciones senoidales.

5.- Los alternadores generan tensión con forma senoidales. Es una forma de onda fácil de obtener.

6.- La respuesta de un sistema ante funciones senoidales de distinta frecuencia nos da información del sistema.






iinI ,

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Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:

Solución tipo:

Particularizando para:

(Ec.trascendentes mediante métodos

numéricos, vectorialmente

ó mediante complejos)

t

Cin dttiC

utiRtv0

)(1

)0()(·)(

)·cos()( iin tIti

2;0

tt

)·cos()( vinin tVtv siendo

)·cos()sin(1

)0()cos(· viniinCiin tVtIC

utIR

)·cos()sin(1

)0()cos(· viniinCiin VIC

uIR

)·sin()cos(1

)0()sin(· viniinCiin VIC

uIR

comodidad porpara izandoparticular 0)0( Cu






C

Iin

inIR

inV

i

v

2

2

22

)(·

C

IIRV in

inin

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Resolución vectorialmente (trigonometría).

Módulo:

Argumento:

Solución:

Método muy laborioso y difícil para circuitos más complicados

RCarctgvi

1;

2

2

)(

1

CR

VI in

in

)cos(

)(

1)(

2

2

vin t

CR

Vti

)(1

)(

1)(

2

2

vin

C tsenC

CR

Vtu






tjj

in

tj

iniin eeIeItIti ii

ReRe)·cos()()(

j

t

tj

e

)cos( t

)( tsen

tjj

in

tjj

in

tjj

in eeVeeIjC

eeIR Vii

·

11·

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Resolución mediante complejos

Euler:

Solución tipo:

Solución para régimen senoidal permanente

)()cos(

)()cos(

tsenjte

tsenjte

tj

tj

tj

tj

etsen

et

Im)(

Re)cos(

)2

(

2

2

·

)(

1;·

1

V

iVij

inj

in

jinj

in e

CR

VeIe

CjR

VeI

)

2(

2

2

·Re

)(

1Re

Vi

jinj

in e

CR

VeI






tjj

in

tjj

in eeItieeVtu iV ·)(;·)(

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Respuesta de los elementos pasivos básicos al régimen senoidal permanente:

Resistencia Bobina Condensador

)()( tiRtu

tjj

in

tjj

in eeIReeV iV ··

in

in

I

VR

2 iV

Corriente y la tensión en fase

dt

diLtu )(

tjj

in

tjj

in eeILjeeV iV ··

2··

iV j

in

j

in eILeV

inin ILV

LjZL

La corriente retrasa 90º a la tensión

iV 2 Vi

dt

duCti )(

tjj

in

tjij

in eeVCjeeI V ··

2··

Vi j

in

j

in eVCeI

inin VCI

CjZC

1

La corriente adelanta 90º a la tensión

2 Vi






RCjV

VjH

RCj

V

CjR

VCj

Vin

outin

in

out

1

1)(

11

·1

Vin

R

Cj

1Vout

tj

ininin eVtVtv Re)·cos()( Siendo

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)·cos()(1

Re)(·Re2

tRC

VejHeVV injtj

inout

Ejemplo 1: Circuito RC. Función de transferencia.

Resolución directa al régimen senoidal permanente mediante complejos.

Función de transferencia.

Módulo Fase o argumento

2)(1

1)(

RCV

VjH

in

out

)()0()( RCarctgarctg

V

VjH

in

out






Electrónica, 2007

Ejemplo 1: Circuito RC.


Función de transferencia. Representación gráfica.







Ejemplo 1: Circuito RC.

Resolución a la completa.

La particular es el régimen permanente, resuelta mediante complejos.

La homogénea es la respuesta transitoria:

Solución tipo

La solución completa resulta

Con la condición inicial

RC

t

inC eKt

RC

Vtu

·)·cos()(1

)(2

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t

C eKtu ·)(

0)0( VuC

RC

t

C eKtu

·)(

)·cos()(1 2

0 RC

VVK in

RC

t

ininC e

RC

VVt

RC

Vtu

·)·cos(

)(1)·cos(

)(1)(

20

2






RC

t

inRC

t

ininout et

RC

Ve

RC

Vt

RC

VV )·cos()cos(·

)(1)··cos(

)(1)·cos(

)(1 222

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Ejemplo 1: Circuito RC. Tensión (rojo) y corriente (azul) en C. F= 60Hz; R=10K; C= 1,5uF






VinR

L

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Solución a la homogénea (transitorio):

Ejemplo 2: Circuito RL


Solución tipo:

Tensión en la resistencia:

Constante de tiempo:

dt

diLtiRtvin )(·)(

0)(· dt

diLtiR

Homogénea:

Completa:

teKti ·)(

RIutvIi Lin ·)0(;0)(;)0( 00 tL

R

eIti·

0·)(

tL

R

L eRIdt

diLtu

·

0 ··)(

fR

L·2

1;

%95

·3

%63






dt

diLtiRtvin )(·)(

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Solución completa. Excitación escalón (habitual en electrónica):

Condiciones iniciales y finales:

Solución genérica a los sistemas de 1er orden:

Tensión en la bobina:

tL

R

ininL eIRVtu·

)··()(

dt

diLtuL )(

R

ViVtvIi in

inin )(;)(;)0( 0

)(·)0()0()( tfefftft

R

Ve

R

VIti in

tL

R

in

·

0 ·)(






Electrónica, 2007


Solución analítica a la completa. Excitación senoidal:

Solución tipo:

Particularizando para:

dt

diLtiRtvin )(·)(

)·cos()( iin tIti

2;0

tt

)·cos()( vinin tVtv siendo

)·cos()sin(·)cos(· viniiniin tVtILtIR

)·cos()sin(·)cos(· viniiniin VILIR

)·sin()cos(·)sin(· viniiniin VILIR iinI ,






LIin

i

Vin

RI in

v

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Resolución vectorialmente.

Módulo:

Argumento:

Solución:

R

Larctgvi

;

2222 ·)(·inin

ILIRVin 22 )( LR

VI in

in

)cos()(

)(22

vin t

LR

Vti )(

)()(

22

v

inL tsenL

LR

Vtu






Vin

R

VoutLj

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)(·

1

)2

·cos(

1

Re)(·Re22

2

tsen

L

R

Vt

L

R

VejHeVV inin

jtj

inout

Ejemplo 2: Circuito RL. Función de transferencia.


Función de transferencia.


LjR

Lj

V

VjH

LjR

VLjV

in

outinout

)(

·

2

1

1)(

L

RV

VjH

in

out

2)()(

R

Larctgarctg

V

VjH

in

out

R

LarctgeVtVtv tj

ininin

ySiendo Re)·cos()(






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Ejemplo 2: Circuito RL. Tensión (rojo) y corriente (azul) en L. F= 60 Hz; R=10K; L= 1,5mH






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