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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 10Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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Tema 10: Movimiento

ondulatorio*

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica,

Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso

*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez


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Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas lineales

Onda en una cuerda: energía transmitida

Reflexión y transmisión de ondas

Superposición de ondas. Ondas estacionarias


3

Introducción: ondas

mecánicas

Onda: perturbación que viaja sin

transferencia de materia

Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación:

Mecánicas: perturbación de un medio.

Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una

cuerda…

Electromagnéticas: no requieren un medio.

Luz, rayos X, ondas de radio…

transmiten energía


4

Ondas mecánicas

La formación y propagación de una onda mecánica requiere:

Una fuente de perturbación

Ej: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbado

Ej: El agua

Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio

Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas de agua


5

Ondas transversales y

longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)


6

Ondas transversales y

longitudinales

Clasificación de las ondas según la dirección

del desplazamiento de las partículas del

medio:

Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el

agua)

Longitudinales: paralela a

la dirección de propagación

(Ej: ondas de sonido,

ondas en un muelle)


7

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales




Superposición de ondas. Ondas estacionarias.


8

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:


9

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:

y

yx

x

0t ( , 0) ( )y x t f x

( , ) ( )y x t f x vt

P v

t

vt

P

Px

P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x

Función de onda


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Función de onda

Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante t

El signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro diagrama)

Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso

( , ) ( )y x t f x vt


11

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidalesDescripción y representación

Ecuación de onda lineal






12

Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objeto

que describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarse

como suma de ondas armónicas


13

Ondas sinusoidales: longitud

de onda y amplitud

Longitud de onda (l): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y velocidad (vy):

Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición de equilibrio

y

x

A


14

Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada

partícula del medio:

Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha

recorrido una distancia l:

Ondas sinusoidales:

frecuencia y velocidad

y

t

T

1f

T

vT

CUIDADO: No confundir v (letra griega nu)

con v (letra latina uve).


15

Ondas sinusoidales:

representación matemática

x

y

( ,0) seny x A kx

2k

Número de onda (m-1)

Constante de fase

• En t=0:

Función sinusoidal de amplitud A que se

repite cada l y cuyo valor en x=0 es Asen(d)


16

Ondas sinusoidales:

representación matemática

En un instante t:

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde:

Entonces:

( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt

2 2kv

T T

Frecuencia angular

( , ) sen( )y x t A kx t


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Ondas sinusoidales: resumen


• Amplitud:

• Longitud de onda:

• Frecuencia:

•Velocidad de la onda:

1f

T

A

v fT

2k

22 f

T

frecuencia angular

k

número de onda


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cos( )y

yv A kx t

t

22

2sen( )y

ya A kx t

t

cos( )y

kA kx tx

2

2

2sen( )

yk A kx t

x

2 2

2 2 2 2

1 1y y

k x t

2 2 2

2 2 2

y k y

x t

2 2

2 2 2

1y y

x v t


19


Ecuación diferencial que cumple una

perturbación que se propaga como una onda

lineal

Ondas armónicas son una posible solución

Solución general: onda viajera

2 2

2 2 2

1y y

x v t

( , ) ( )y x t f x vt


20

Es solución de la ecuación de ondas

lineal


2 2

2 2 2

1y y

x v t

2 2 2

2 2 2

y f f

x x

( , ) ( )y x t f x vt

y f f

x x

• Demostración: x vt Fase:

y f fv

t t

2 2 22

2 2 2

y f fv v

t t


21

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas linealesOnda en una cuerda

Onda de sonido





22

Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudes

pequeñas frente a l pueden considerarse

lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales:

Su velocidad depende solamente de las

propiedades del medio a través del que se

mueven

Ondas de diferente frecuencia se propagan con la

misma velocidad


23

Velocidad de las ondas: onda

en una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidad

Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta

Para una cuerda homogénea:

tF

tFv

dm

dL densidad de masa lineal

m

L

L

m


24

Velocidad de las ondas:

ondas sonoras

Bv

Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

PB

V V

Para muchos tipos de ondas mecánicas se

cumple:

Ondas de sonido en un fluido

v (propiedad elástica del medio)

(propiedad inercial del medio)


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ondas sonoras

Bv

Medio v (m/s)

Hidrógeno (0º C) 1286

Aire (20º C) 343

Aire (0º C) 331

Agua (20ºC) 1482

Agua (0º C) 1402

BT

En un gas:

Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago

83 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/sv 0.333

km s km

s

xd vt x t

t


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observaciones

La frecuencia de la onda la determina el

agente causante de la misma

La velocidad de la onda depende del medio

La longitud de onda se obtiene de:v

f

Ejemplo: sonar de los delfines 510 Hzf

5

14821.5

10

m/s cm

1/s

v

f

Agua a 20º C


27

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales






28

Onda en una cuerda: energía

transmitida

Una onda que se propaga en un medio transporta energía:

Un trozo de corcho sube y baja en el agua

Un pulso en una cuerda puede levantar una masa

Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerda

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino


29


transmitida

sent t t tP F v Fv

Potencia:

Ondas lineales A<<l sen tan

tant t t

y yP Fv F

t x

Válido para cualquier

forma de onda


cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t

2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v v


30


transmitida

Potencia promedio:

Es la mitad de la potencia instantánea máxima

: general para ondas sinusoidales

2 2 2

0 0

1

2

1 1( , ) cos ( )

T T

mP P x t dt v A kx t dtT T

2 21

2mP v A

2 2,mP A


31


transmitida

Energía media que fluye por un punto en un

intervalo de tiempo:

m m m

xE P t P

v

2 21

2mE A x

La energía viaja a la

velocidad de la onda


32

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales



Reflexión y transmisión de ondasReflexión total

Transmisión

Superposición de ondas. Ondas estacionarias


33

Reflexión y transmisión de

ondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinito

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.

Fenómenos relacionados:

Reflexión: onda que regresa

Ejemplo: eco

Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio

Ejemplo: luz en el agua


34


ondas

Reflexión total: onda en una cuerda

Cuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulso

incidente, pero invertido


35


ondas

Reflexión total: onda en una cuerda

Cuerda con extremo libre

Pulso reflejado con la misma forma que el incidente


36


ondas

Reflexión-transmisión: onda en una cuerda

Cuerda pesada

unida a otra más

ligera

Cuerda ligera

unida a otra más

pesada

Onda reflejada

no se invierte

Onda reflejada es

invertida


37


ondas

Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de separación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente

Si las velocidades son parecidas: transmisión es dominante

Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominante

Ejemplo: radiocomunicación


38

Índice

Introducción

Función de onda

Ondas sinusoidales



Ondas de sonido

Efecto Doppler


Superposición de ondasPrincipio de superposición

Interferencia de ondas armónicas

Ondas estacionarias


39

Superposición de ondas

En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente

Ejemplo: varias personas hablando a la vez

Principio de superposición:

Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas

Cuando dos o más ondas se combinan en

un determinado punto la perturbación

resultante es la suma de las perturbaciones

provocadas por cada onda


41

Superposición de ondas

Consecuencia del Principio de Superposición: dos

ondas pueden pasar la una a través de la otra sin

ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta

cuando dos o más ondas se superponen


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• Onda resultante con la misma f y l

• La amplitud depende de d (diferencia de fase)

Superposición de ondas:

interferencia de ondas armónicas

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:


43

Onda 1

Onda 2 Onda resultante


interferencia de ondas armónicas

Si d=0, cos(d/2)=1 y A’=2A;

interferencia constructiva

Si d=p, cos(d/2)=0 y A’=0;

interferencia destructiva

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

Onda 2

Onda 1

Onda resultanteA


44

Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia,

viajando por una cuerda tensa en direcciones opuestas:

Nodos:

Vientres:


Ondas estacionarias (I)

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( De nuevo, usamos:

1

2

sen( )

sen( )

y A kx t

y A kx t

1 2 2 sen( )cos( )y y y A kx t

sen( ) 02

kx kx n x n

1 1sen( ) 1

2 2 2kx kx n x n


45

Calculemos la potencia promedio transmitida por la onda

estacionaria en un periodo completo:


Ondas estacionarias (II)

2

0 0

sen(2 ) sen(2 )1 1

( , )t

T T

m F kA kx tP P x t dt dtT T

( 2 sen( )sen( ))( 2 cos( )cos( ))t t

y yP F F A kx t k A kx t

t x

2sen(2 )sen(2 )

tP F kA kx t

2sen(2 )

1sen(4 ) sen(0) 0

tm F kA kxPT

No se propaga

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