ESTADISTICA TEMA 11297 y 223

Estimación de intervalo para la media poblacionalCaso de muestras grandes En el tema sobre distribuciones muestrales

revisaste que cuando realizas una encuesta, el valor que obtienes en la muestra sirve como un estimador puntual del verdadero valor poblacional.

También viste que la dispersión de los valores que se pueden obtener en las distintas muestras disminuye considerablemente cuando aumenta el tamaño de la muestra, y obtuviste la fórmula

para expresar dicho valor al que llamaste margen de error y la utilizaste para encontrar la probabilidad de que una estimación se encontrará a una determinada distancia del valor real.

Así puedes decir que la estimación puntual está sujeta a un error que depende de la dispersión de las medias muestrales y de la probabilidad de que éstas se den:

Valor de la media de la población = Valor de la media de la muestra ± margen de error

O con símbolos:El error máximo posible que se puede

cometer está determinado por la dispersión de los valores de las medias muestrales y por la “confianza” que se quiera tener en el estimador.

Esta confianza está definida como la proporción de muestras diferentes para las que el verdadero poblacional esté incluido en el intervalo y, en la fórmula corresponde al número de desviaciones estándar necesarias para garantizarla.

Así, el estimador de intervalo para una media poblacional a partir de una muestra, queda determinado por la siguiente fórmula:

Esta fórmula es aplicable cuando la muestra es de tamaño 30 o superior

Considerando el caso de un estudio para determinar el peso promedio de las adolescentes entre 15 y 19 años. Se recopilaron datos de 100 adolescentes obteniéndose un promedio de 56.24 kg. Por datos publicados en estudios previos, se sabe que las adolescentes presentan una desviación estándar en su peso de 10.54 kg. ¿En qué intervalo quedarían el 95% de las medias muéstrales posibles de tamaño 100?

Considerando el teorema del límite central sabes que la distribución de medias muestrales se distribuye normalmente, busca los valores de z que corresponden a un área del 95% para lo cual hay que considerar un área de .025 en cada una de las colas.

El valor obtenido de 56.24 kg es la media de la muestra, con la que estimarás el valor de la media poblacional, para medir el margen de error, considera que el 95% de los valores de la distribución normal se encuentran entre -1.96 y 1.96 distribuciones estándar, por lo que la estimación que define el intervalo en estas condiciones es la siguiente:

Este intervalo puede expresarse de esta manera o calculando sus límites:

Lím. Inferior: 56.24-2.07=54.17; Lím. Superior: 56.24+2.07 = 58.31 Esto significa que aunque sabes que cada

muestra de 100 adolescentes que se pueda seleccionar en forma aleatoria producirá un valor diferente para la media muestral, el 95% de éstas estarán comprendidas en el intervalo y por lo tanto la media verdadera será un valor comprendido entre 54.17 y 58.31

Caso de muestras pequeñas En los casos en los que la muestra no llega a

30 elementos, la forma de la distribución muestral para  dependerá de la población de la que se extrajo la muestra. Si ésta es normal, entonces se pueden considerar los siguientes casos:

Si se conoce la desviación estándar poblacional, se puede proceder de la misma forma que para muestras grandes.

Si no se conoce la desviación estándar poblacional, ésta se tendrá que estimar basándose en la de la muestra, pero en este caso, aunque la fórmula del estimador es análoga a la anterior, se tendrá que utilizar otra distribución de probabilidad, la distribución t.

La distribución t está conformada por una familia de distribuciones que mantiene fijo un parámetro al que llamarás grados de libertad y que para el caso que nos ocupa, está definido por una unidad menos que el tamaño de la muestra.

Si deseas estimar el valor de la estatura de los alumnos de un campus mediante un intervalo de confianza al 95% a partir de una muestra de 6 de ellos.

Los valores se presentan a continuación:

AlumnoEstatura en centímetros

1 181

2 175

3 172

4 160

5 166

6 179

En esta muestra  y s=7.99. Ahora sólo te resta calcular el valor que corresponde a t. Éste se busca en la tabla de la distribución t, ubicando el valor de la cola superior en .025 y tomando 5 grados de libertad.

Tomando en cuenta los valores anteriores, calcula el intervalo:

Determinación del tamaño de la muestraLos estimadores anteriores te permiten

también encontrar mediante un simple despeje algebraico, el tamaño de la muestra necesario para realizar una estimación de una media poblacional.

Despejando

La dificultad más común aquí es que normalmente no contarás con el valor de σ por lo que lo puedes estimar de las siguientes formas:

A partir de estudios anteriores de la misma población.

Con una muestra piloto. Dividendo entre cuatro el rango estimado de

los posibles valores.

Por ejemplo, si quieres hacer una investigación sobre cuánto cobran en promedio los médicos generales por consulta y deseas saber cuál sería el número mínimo de médicos de los que debe constar una muestra aleatoria para obtener una estimación de promedio que produzca un margen máximo de error de $50 respecto a la media verdadera. Considera un nivel de confianza del 95%. Como no se tienen datos anteriores, considera como valor mínimo $30 porque es el que promocionan algunas farmacias que proporcionan el servicio y como valor máximo $500 porque es el valor más alto del que se tiene conocimiento.

Ejercicios1. Cuatro de cada diez habitantes de una

población leen el periódico A. Hallar el intervalo de probabilidad para la proporción de habitantes de esa población que leen el periódico A , en muestras de tamaño 49, correspondientes al 95%.

2. A continuación se tiene una lista de estaturas de 60 alumnos a los que se ha identificado con un número de clave.

El grupo se dividirá en equipos de cuatro personas y cada uno llevará a cabo lo siguiente:

Realicen un muestreo aleatorio simple para determinar 6 muestras diferentes de 6 alumnos en cada una. Deberá justificarse el procedimiento.

 Una vez seleccionadas las muestras, encuentren el promedio y desviación estándar de cada una.

Obtengan un intervalo de confianza al 95% para cada una. Muestren los intervalos sobre una recta numérica.

Según una encuesta realizada a el departamento de bomberos sobre el salario que adquieren de esta dependencia , sabemos que el salario promedio diario es de 152.15 pesos con una desviación estándar de 12.34 calcular el intervalo de 80% de las medias muéstrales posibles si la escueta se realizo a 54 bomberos.

1. Y si la encuesta se la hubieran echo a 6 personas cambia el intervalo de confianza y porque.

2. Y si la encuesta se la hubieran echo a 30 personas cambia el intervalo de confianza y porque.

Se sabe que la estatura promedio de los adolecentes de 14 a 15 años es de 172.57 con una desviación estándar de 9.54 calcular el intervalo de 90% de las medias muéstrales posibles si se elijen 67 adolecentes.