tema 11: descripción física del universo, cosmología...

Astrofísica Extragaláctica y Cosmología

Tema 11:

Descripción física

del Universo,

Cosmología relativista

Consultar: “An Introduction to Modern Cosmology”, Liddle, libro entero

“Galaxies and Cosmology”, Jones & Lambourne, 2007, Cambridge, temas 5-7 (J&L07).

NASA Extragalactic Database (NED) Level 5: http://ned.ipac.caltech.edu.

Ned Wright’s Cosmology web pages: http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htm.

http://ned.ipac.caltech.edu/


Presentar las ecuaciones cosmológicas teniendo en cuenta la Relatividad General.

Concepto de energía oscura.

Distancias.

La edad del Universo.

Cosmología de precisión.

Objetivos del tema


11.1.Cosmología relativista Las ecuaciones presentadas hasta ahora para describir el Universo se pueden derivar a partir de la Teoría General de la Relatividad. Además, en este contexto, se utiliza también la denominada métrica del espacio-tiempo, que es la “distancia” entre 2 eventos en el Universo.

Una métrica general compatible con la Teoría de la Relatividad debería escribirse en función de tensores. Una métrica específica que describe el espacio-tiempo isótropo y homogéneo con una curvatura k (que podría cambiar localmente por efectos de la materia del Universo) es la métrica de Robertson-Walker (RW), también conocida como Friedmann-Robertson-Walker (FRW) y otras combinaciones (con Lemaître).

La métrica FRW se escribe como (en coordenadas esféricas):

La métrica evoluciona de acuerdo con la Ecuación de Einstein en función del tensor de energía-momento Tnm y el tensor de Ricci Rnm y el escalar R, que dan la curvatura del Universo:

2222

2

22222 sin

1)( ddr

kr

drtadtcds

mmm

T

c

GRgR

4

8

2

1


11.1.Cosmología relativista La métrica se puede escribir en notación tensorial con índices contravariantes:

Donde gij sería el tensor métrico definido en coordenadas esféricas como:

Se define en función de la componente variante del vector dx, con lo que:

jiij

i

ii dxdxgdxdxds

3

1

2

22

2

sin00

00

001

r

rgij

jiji dxgdx

iidxdxds 2


11.1.Cosmología relativista En el espacio-tiempo tenemos cuatro componentes, que se suelen denotar con subíndices griegos m o n. m =1-4, con m =4 la coordenada temporal, o m =0-3 con m =0 la coordenada temporal.

Utilizaremos la notación m =0-3, de tal manera que:

La métrica se define de tal manera que dos observadores ven la luz propagándose a la velocidad de la luz:

),,,( 321 dxdxdxcdtdx m

r=ct

r’=ct’

Sistema de referencia O

v=0

Sistema de referencia O’

v=v’

iidxdxdtc 22

022 iidxdxdtc

0'''22 ii dxdxdtc


11.1.Cosmología relativista La separación entre dos eventos en el espacio-tiempo para la luz es nula o invariante, lo que implica que la coordenada temporal de la métrica tiene el signo opuesto que las coordenadas espaciales.

En coordenadas cartesianas:

1000

0100

0010

0001

][ m m g

iidxdxdtcdxdxdxdxds 222 m

mm

m


11.1.Cosmología relativista Según la Relatividad General el Universo está gobernado por la métrica y la ecuación del campo de Einstein:

Para un fluido uniforme e ideal se puede escribir el tensor energía-momento en función de la densidad de energía rc2, la presión P y la velocidad U:

Si el fluido es homogéneo e isótropo la densidad y la presión solo dependen del tiempo, no del espacio, y la velocidad se puede escribir como Um=(c,0,0,0). Con ello el tensor energía momento y su módulo quedan:

mmm

T

c

GRgR

4

8

2

1

PgUUc

PT mmm r

2

),,,( 2 PPPcdiagT rm PcT 32 r


11.1.Cosmología relativista De la ecuación de Einstein aplicada a la métrica de RW se puede sacar la ecuación de Friedmann y una ecuación que combinada con la de Friedmann da la ecuación de la aceleración del factor de escala. De estas dos se puede sacar la ecuación del fluido.

La Relatividad general es un contexto más robusto para describir el Universo, pero las ecuaciones implicadas al final son las mismas expuestas hasta ahora, aparte de la métrica RW, y la constante cosmológica. El conjunto se conoce como modelos de FRW.

De la ecuación de Friedmann completa (o de la inferior, que es derivada de la de la aceleración) se comprueba que las unidades de [k]=m-2 y [L]=m-2. A veces se utiliza L’= Lc2, con [L’]=s-2.

2222

2

22222 sin

1)( ddr

kr

drtadtcds

33

8 2

2

22c

a

kcG

a

a L

r

2

2

2

2

22

442 ca

kc

c

pGG

a

a

a

aL

r


11.2.La constante cosmológica La ecuación de Friedmann (ya en unidades naturales), obtenida a través de la Teoría General de la Relatividad, admite la inclusión de una constante L (cosmológica):

En el caso de un Universo plano k=0:

Para un Universo abierto k<0:

Para un Universo cerrado k>0:

1 L k

33

82

2L

a

kG

a

ar

GH

c

r

r

r

83 2

22Ha

kk

23H

LL

1 L

10 L

1 L


11.2.La constante cosmológica La constante L se suele identificar como energía oscura del Universo, una energía del vacío (predicha por teorías de Física cuántica pero con un valor mucho mayor del observado, “el problema de la constante cosmológica”). A veces se confunden términos y se habla de constante cosmológica y de energía del vacío como lo mismo, pero solo es una posible interpretación.

Esa energía oscura se suele tomar como un fluido (igual que la radiación) con una densidad rL y presión pL.

Este fluido tendría que seguir su propia ecuación del fluido:

L es en principio constante (derivada temporal nula), y el Universo se expande (H es positivo), con lo que:

2

2

2

2

3

8

33

8

a

kGH

a

kG

a

a

L

Lrr

r

Gr

8

LL

032

L

LLc

p

a

arr

2

2cp

c

pLL

LL rr


11.2.La constante cosmológica La energía del vacío, según la Física Cuántica, tiene un valor de unos Ev~10113 J/m3. ¿Cómo se compara esto con la constante cosmológica que se mide en Astrofísica?

En Astrofísica medimos L:

L no tiene unidades, con lo que, contando que H tiene unidades de s-1, L tiene que tener unidades de s-2 en unidades naturales, o de m-2 cuando se incluye la velocidad de la luz.

Para comparar la energía del vacío con lo que sale en las ecuaciones cosmológicas, consideramos que:

Dividiendo por densidad crítica (para h=0.7), 9.21x10-27 kg/m3:

Pero en Astrofísica medimos (para h=0.7):

23H

LL

396

21011.1

L mkg

c

Evr

coscuántipara12210L

252235327 1010104670

LLLL mosmkg /.. r


11.2.La constante cosmológica La constante cosmológica podría no ser tal y en realidad el efecto en la ecuaciones cosmológicas podría ser un efecto transitorio, que puede desaparecer, o variar lentamente. Esto, que supone una generalización del efecto de la constante cosmológica, se conoce como quintaesencia, de modo que se considera que el efecto que hay que tener en cuenta en las ecuaciones del fluido es:

w=-1 sería análogo a tener una constante cosmológica. Una expansión acelerada sería posible si w<-1/3 (para vencer la presión en la ecuación del fluido).

Esto significa que se considera una densidad debida a esta quintaesencia en la ecuación de Friedmann y en la del fluido.

2cp QQ rw

2

2

3

8

a

kGH

Qradmat rrr

032

c

p

a

a Q

QQrr


11.2.La constante cosmológica La ecuación de la aceleración quedaría:

Para un Universo sin presión (dominado por materia), el parámetro de desaceleración sería (en unidades naturales):

¿Qué se tiene que cumplir para q0<0 (aceleración)? ¿Qué pasa si el Universo es plano (k=0) –cómo se simplifica-?

3

Λc

c

3pρ

3

G4π

a

a 2

2

2

0

02

0

2

00

0

03H

Λρ

3H

Gπ4

H

1

)a(t

)(taq

Λ,0

0

02

0c,0

0

0Ω

2

Ωq

3H

Λ

2ρ

ρq


11.2.La constante cosmológica

J&L07


Ejercicio: evolución de la densidad de “polvo” en un Universo plano y dominado por “polvo”.

De la ecuación de Friedmann para k=0:

Para un Universo de materia:


0,

0

0 c

c

rr

rr

G

Hc

r

8

3 2

G

Hc

r

8

3 20

0,

2

20

0

0,

00 0,

0 H

H

c

c

c

c

r

r

r

r

r

r

rr

rr

L

L L 0,

0,

202

0

20

20

202

33

8

33

8

c

HH

H

H

GHGH

r

rr

r

303

0 )1( za

rr

r

ee

r

aa

az

1)1(


Considerando también que:

Obtenemos:

Sustituyendo la dependencia con (1+z):


1

0

0,0

1

0,

0,02

20

00

1

L

ccH

H

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

10,0 L

1

0

0,

303

0

1)1(

)1(

c

zz

r

r

03

0

3

01)1(

)1(

z

z


Mismo ejercicio, de otra manera:

Intentando expresar todo en función de ’s:

El cociente de densidades de la parte derecha es:

Finalmente:


303

0 )1( za

rr

ree

r

aa

az

1)1(

30,

03

0,

0,0 )1()1( zzc

c

c

c

cc

r

r

r

r

r

r

r

r

1

0

0,

1

0,

0,2

2

2

2

0, 1

8

38

3

0

0

L

ccc

c

H

H

G

HG

H

r

r

r

r

r

r

0

0,

3

0

3

0

11

1

c

z

z

r

r0

30

3

01)1(

)1(

z

z



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

redshift

¿Cuándo empezó el Universo a acelerarse si 0=0.3, es plano y está dominado por materia?

12

3)1(

220

000

00,0

0

L qqq

12

3

q


11.2.La constante cosmológica Una ecuación muy útil es aquella que liga todas los parámetros de densidad. Considerando cómo varían cada una de las densidades, si el Universo solo tuviera la componente material/energética correspondiente:

donde se ha tomado en cuenta una ecuación de estado para la quintaesencia del tipo p=(g-1)rc2 con 0<g<2 (que incluso podría ser variable!!!). Si g=0 hablamos de constante cosmológica y no se cumple la ecuación de arriba, sino rL=CTE.

En función del redshift:

3

0,

a

mat

mat

rr 4

0,

a

rad

rad

rr

g

rr

3

0,

a

Q

Q

30, )1( zmatmat rr

40, )1( zradrad rr

grr 30, )1( zQQ CTE LL 0,rr


11.2.La constante cosmológica La ecuación de Friedmann quedaría:

Sustituyendo las expresiones de las densidad en función del redshift:

Introduciendo la densidad crítica a z=0

Reorganizando:

2

2

3

8

a

kGH radmat Lrrr

20,

40,

30,

2 )1()1()1(3

8zkzz

GH radmat Lrrr

G

Hc

r

8

3 20

0,

20,

40,

30,

20

2 )1()1()1( zkzzHH radmat L

21

20

2

0,20,0,0

)1()1()1()1(

L

H

k

zzzzHH radmat

21

)()()()( 2

20

0,4

0,3

0,0

L

taH

ktataHtH radmat


11.2.La constante cosmológica Considerando que la curvatura es constante y se puede escribir en función de los parámetros de densidad a t=t0.

Se llega a:

Esta expresión se podría poner en función del redshift utilizando (1+z)=a-1.

2

2 1a

kH radmat L

ka

kH radmat L 2

0

0,0,0,20 1

21

20,0,0,0,

40,

30,0 1

LL

aaaHH rmrm


Modelos específicos h

ttp:/

/rq

gravity

.net/

Larg

eS

cale

Str

uctu

re

t t t

R R R

R R R

R R R R R

t t t t t

t t t


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. La luz no recorre ninguna distancia en el espacio-tiempo, es decir ds2=0. Esto se conoce como una geodésica nula.

Si consideramos un fotón proveniente de una galaxia lejana debemos tratar solo con la coordenada radial de la métrica. Con esto:

La parte izquierda de la ecuación sería la distancia comóvil recorrida por un rayo de luz, ya que recordamos que:

distancia física (propia)=factor de escala x distancia comóvil

2222

2

22222 sin

1)( ddr

kr

drtadtcds

01

)(2

22222

kr

drtadtcds

21)( kr

dr

ta

cdt


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Consideramos el tiempo transcurrido desde que un rayo de luz es emitido a te desde una galaxia lejana es recibido por nosotros tr, tiempo en el que recorre una distancia r0 (entre r=0 y r=r0):

Si consideramos un pulso de luz emitido poco después de uno anterior, podemos escribir una ecuación análoga a la anterior para este pulso, emitido en te+dte y recibido en tr+dtr. Hay que considerar que la posición de la galaxia no ha cambiado porque está fija en coordenadas comóviles!!!

Igualando con la expresión de arriba:

0

0 21)(

rt

t kr

dr

ta

cdtr

e

0

0 21)(

rdtt

dtt kr

dr

ta

cdtrr

ee

r

e

rr

ee

t

t

dtt

dtt ta

cdt

ta

cdt

)()(


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Desarrollando un poco el término de la izquierda de la ecuación:

El término entre paréntesis es la integral entre te y tr, que se va con la parte derecha de la ecuación original, con lo que:

rr

r

r

ee

ee

e

ee

e

rr

ee

dtt

t

t

dtt

dtt

t

dtt

t

dtt

dtt

ta

cdt

ta

cdt

ta

cdt

ta

cdt

ta

cdt

)(

)()(

)()(

rr

r

ee

e

dtt

t

dtt

t ta

cdt

ta

cdt

)()(


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Para un intervalo de tiempo infinitesimal las integrales se pueden escribir como:

En un Universo en expansión a(tr)>a(te), lo que implica dtr>dte. Es decir, el intervalo de tiempo que pasa entre los dos rayos se incrementa a medida que crece el tiempo.

Si consideramos que el intervalo de tiempo es el que pasa entre dos crestas de la onda electromagnética obtenemos, teniendo en cuenta que la longitud de onda es proporcional al tiempo (l~1/n=T):

Si consideramos que el momento de recepción es el actual tr=t0, y:

)()( r

r

e

e

ta

t

ta

t

e

r

e

r

ta

ta

l

l

)(

)(

zta

ta

e

1)(

)( 0z

a 1

1


Como ejemplo: observamos un QSO a z=2. ¿A qué redshift estaría para un alienígena a z=1? (George Djorgovski)

)(

)(1

e

obs

ta

taz

)(

)(1 ,

QSO

earthearthQSO

ta

taz

)(

)(1 ,

QSO

alienalienQSO

ta

taz

)(

)(1

alien

earthalien

ta

taz

)(

)(

)(

)(

)(

)(1 ,

earth

alien

QSO

earth

QSO

alienalienQSO

ta

ta

ta

ta

ta

taz

5.01

11 ,

,

,

alienQSO

alien

earthQSO

alienQSO zz

zz

11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología.


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. En Cosmología se definen varias tipos de distancia.

La primera, y quizás más importante, es la distancia de luminosidad. Es aquella que debe aplicarse para determinar la luminosidad de un objeto a partir de su flujo. Considerando la energía radiada por unidad de tiempo y de ángulo sólido L, y la densidad de flujo o energía recibida por unidad de área y tiempo S:

Si viviéramos en un Universo estático dL=a0r0, pero a=a(t). Esto provoca dos efectos:

los fotones individuales pierden energía proporcionalmente a (1+z)

Los fotones llegan con una menor frecuencia, de nuevo como (1+z)

Combinando los dos efectos, el flujo que nos llega de una fuente es:

S

LdL

42

2

00

220

20 )1(4)1(4 zra

L

zra

LS


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. La distancia de luminosidad sería entonces:

Para el Universo cercano la distancia de luminosidad es parecida a la distancia comóvil r0, pero para valores de redshift relativamente altos z~0.2 los objetos tienen un flujo menor que el esperado debido al efecto de la expansión del Universo.

En general la distancia de luminosidad se calcularía de la siguiente manera:

Considerando la relación entre z y a(t), que vivimos en un Universo en que la radiación es despreciable, y que la suma de da 1:

)1(00 zradL

21

20,0,0,0,

40,

30,0 1

LL

aaaHH rmrm

21

0,2

0,3

0,0 )1()1( L zzHH km

daza

dadzaz

2

2

1 1)1(

a

dtdtz

zH

dz

dt

dz

zz

z

a

aH dt

dz

)1(

)(1

1

1

12


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Volviendo a la geodésica nula:

La parte izquierda queda como:

Esta es la distancia comóvil DC recorrida por un rayo de luz moviéndose hacia nosotros en dirección radial. Es la distancia que se debe usar para discutir aspectos de la LSS que siguen el flujo de Hubble, es decir, la distancia entre murallas de la LSS. Depende de la distancia de Hubble DH. Tiene expresión analítica para L,0=0.

0

0 21)(

rt

t kr

dr

ta

cdtr

e

zt

t zH

dzc

ta

cdtr

e 0 )()(

L

z

km

t

t zz

dz

H

c

ta

cdtr

e 00,

20,

30,0 )'1()'1(

'

)(

C

z

H

t

tD

zE

dzD

ta

cdtr

e

0 )'(

'

)( 0H

cDH


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Otra distancia importante sería la distancia comóvil transversal DM, que a veces se denomina “propia” o “de movimiento propio” (pero es lioso) y es la distancia comóvil entre dos eventos al mismo redshift pero separados en el cielo un ángulo . En un espacio Euclídeo (k=0) esta distancia es igual a DC, pero en un espacio curvo esto ya no es verdad. Habría que integrar la parte derecha de la ecuación de un rayo de luz (que da un arcsin o un arcsinh, según la curvatura sea positiva o negativa). Esto nos daría (Hogg 1999):

Esta distancia sería la adecuada para calcular velocidades de los jets de un radio-loud QSO a partir del movimiento de los nódulos de materia. El motivo sería que la distancia recorrida debería estimarse contando que parte de la separación entre posiciones puede ser debida a la expansión del Universo. Como ésta no debe tenerse en cuenta para medir la velocidad del material hay que utilizar distancias comóviles, no propias.

0sin

0)(

0sinh

)()(1

)(1

KD

zD

kH

KC

KD

zD

kH

M

paraD

parazD

paraD

zD

H

c

k

H

c

k


Demostramos cómo se calcula DM(z) para Universo cerrado:

Cambio de variable y considerando k,0<0:


0

0 21

r

kr

dr

2

200,

2

22

22

2

c

H

c

Hak

Ha

kc kkk

drD

dxrc

Hrkx

H

k

k

0,00,

0

0,

00

0

0 2

0,0 2

arcsin1

1

1

1

x

D

x

Hk

r

x

x

dx

Dkr

dr

H

k



00 2

0,

0,

0

arcsin1

1r

kr

drH

k

H

kD

D

r

Igualando a la parte derecha de la ecuación de un rayo de luz, que es DC(z):

De igual manera se puede hacer para el caso de k=0 y k<0.

0

0,

0,

arcsin1

)( rzDH

k

H

kD

D

C

H

C

D

zD

k

k

HM

DrzD

)(

0,

0,

0 sin)(



La distancia de diámetro angular DA sería la distancia propia correspondiente a la distancia comóvil transversal. Por tanto:

Esta es la distancia adecuada para calcular el tamaño real (físico) de una galaxia a partir de su tamaño angular en el cielo.

Su comportamiento con z es muy interesante.

z

zDzD M

A

1

)()(

ADradT )(


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. La distancia de luminosidad DL sería:

Cuando se utilizan luminosidades monocromáticas hay que tener en cuenta la corrección K. Recordando:

)()1()()1()( 2 zDzzDzzD AML

oo

ee dLdL

)1()1()1(

z

dd

zz e

oe

oeo

ll

)1( z

L

d

dLL

o

e

ooe

2

)1(

22

4)1(

4)1(

4)1(

L

o

o

ezo

L

o

o

e

L

eo

D

L

L

LzS

D

L

L

Lz

D

LzS

o


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. De igual manera que se definen distancias comóviles, se pueden definir volúmenes comóviles, que serían los adecuados para estudiar LFs, dado que se pretende estudiar las propiedades de las poblaciones de galaxias y su evolución librándonos del efecto de la expansión del Universo.

El volumen comóvil se definiría como el adecuado para que una población de galaxias que no evoluciona y que sigue el flujo de Hubble sea constante. Sería el volumen propio o físico dividido por a3, o multiplicado por (1+z)3.

dzdzE

DzDdV A

HC

)(

)1( 22

0arcsin1

0

0arcsin1

12

4

3

4

12

4

2

23

3

2

23

KD

D

kD

D

KD

DD

K

D

KD

D

kD

D

KD

DD

C

para

para

parah

V

H

M

kH

M

H

M

K

H

M

H

M

kH

M

H

M

K

H


11.3.Geodésicas. Distancias en Cosmología. Para calcular distancias hay que usar la ecuación de un rayo de luz, integrarla (numéricamente?) y conocer 3 parámetros : (H0,m,0,L,0)

Distancia de Hubble DH:

Distancia comóvil DC:

Distancia comóvil transversal (propio o de movimiento propio):

Distancia de diámetro angular:

Distancia de luminosidad:

C

z

HC DzE

dzDD 0 )'(

'

0H

cDH

0,2

0,3

0, )1()1()( L zzzE km

0sin

0)(

0sinh

)()(1

)(1

KD

zD

kH

KC

KD

zD

kH

M

paraD

parazD

paraD

zD

H

c

k

H

c

k

z

zDzD M

A

1

)()(

)()1()()1()( 2 zDzzDzzD AML


11.3.Distancias vs. redshift

Hogg (1999)

Solid: (m,L)=(1,0)

Dotted: (m,L)=(0.05,0)

Dashed: (m,L)=(0.2,0.8)



NED

log (redshift)



Hogg (1999)

Solid: (m,L)=(1,0)

Dotted: (m,L)=(0.05,0)

Dashed: (m,L)=(0.2,0.8)


11.4.La edad del Universo El tiempo transcurrido entre 2 eventos se puede calcular a partir de la métrica como:

Sustituyendo el parámetro de Hubble por su valor en función de los parámetros de densidad, e integrando entre a=1 (actual) y a=0 (correspondiente a t=0), obtendríamos la edad del Universo:

Para el caso concreto en que no hay constante cosmológica, y el Universo tiene una densidad igual a la crítica (con lo que también el parámetro de densidad de radiación es 0):

aH

da

a

dada

da

dtdt

LL

1

00,0,0,

20,

20,

10,0 1

1)(

rmrm aaa

da

Hat

Gyrh

Ht

a

da

Hat 1

0

0

1

0 10

7.63

21)(


11.4.La edad del Universo Relacionando el factor de escala con el redshift:

En general:

Este es el “lookback time”, tiempo transcurrido desde un redshift z hasta nuestros días.

También se podría hablar de la edad del Universo a un determinado z:

0

20

1

00 )'()'1(

')'1(1)(

)(

1)(

zEz

dzz

Hzt

aaE

da

Hat

daza

dadzaz

2

2

1 1)1(

z

HLzEz

dztzt

0 )'()'1(

')(

00 )'()'1(

'1)(

zEz

dz

Hzt

zHage

zEz

dztzt

)'()'1(

')(

0

1

HtH



Hogg (1999)

Solid: (m,L)=(1,0)

Dotted: (m,L)=(0.05,0)

Dashed: (m,L)=(0.2,0.8)



http://icosmos.co.uk/

http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html









Resumen

Concepto de métrica.

Introducción de la constante cosmológica en las ecuaciones de Friedmann y del fluido.

Tipos de modelos cosmológicos incluyendo L.

Ecuación de estado de la constante cosmológica. Generalización a la quintaesencia. Soluciones con L.

Conceptos de distancias. ¿Cómo se calculan? Ecuación del rayo de luz.

¿Cómo se calculan tiempos en Cosmología (edad, lookback time –tiempo transcurrido-,…)?

tema 11: descripción física del universo, cosmología...

Documents