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Tema 2: Bases de Grobner

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Febrero de 2018

Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Grobner Febrero de 2018 1 / 52

Contenido

1 Introduccion

2 Orden sobre los monomios de k[x1, . . . , xn]

3 Un algoritmo de division en k[x1, . . . , xn]

4 Ideales monomiales y Lema de Dickson

5 El teorema de la base de Hilbert y bases de Grobner

6 Propiedades de las Bases de Grobner

7 Algoritmo de Buchberger


Introduccion

Problemas

1.- El problema de la descripcion del ideal¿Tiene todo ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] una base finita? Es decir, ¿puedeescribirse I = 〈f1, . . . , fs〉 con fi ∈ k[x1, . . . , xn]?

Esto ya lo hemos resuelto mediante el Teorema de la base de Hilbert.


Introduccion

Problemas

2.- El problema de la pertenencia a un idealDados f ∈ k[x1, . . . , xn] y un ideal I = 〈f1, . . . , fs〉, ¿es posible decidir sif ∈ I?

Geometricamente este problema esta estrechamente relacionado con elproblema de determinar si V(f1, . . . , fs) esta sobre la variedad V(f ).


Introduccion

Problemas

3.- El problema de la resolucion de las ecuaciones polinomicasEncontrar todas las soluciones en kn de un sistema de ecuacionespolinomicas

f1(x1, . . . , xn) = · · · = fs(x1, . . . , xn) = 0.

Es lo mismo que preguntarse si se pueden calcular los puntos deV(f1, . . . , fs).


Introduccion

Problemas

4.- El problema de la implicitacionSea V ⊂ kn dado parametricamente por

x1 = g1(t1, . . . , tm),...

xn = gn(t1, . . . , tm).

Si las funciones gi son polinomios (o funciones racionales) en las variablestj , entonces V sera una variedad afın o parte de una.El problema, entonces, es calcular un sistema de ecuaciones polinomicasque defina la variedad.


Introduccion

Algunos casos resueltos

Ejemplo (1.1)

Dado un ideal I ⊂ k[x ], hemos demostrado que I = 〈g〉 para algung ∈ k[x ].Tambien hemos visto que para comprobar si f ∈ I = 〈g〉 dividimos f entreg :

f = q · g + r ,

donde q, r ∈ k[x ] y r = 0 o deg(r) < deg(g). Hemos probado que f ∈ I siy solo si r = 0.Ası que tenemos un algoritmo para resolver el problema de la pertenenciaa un ideal en el caso n = 1.


Introduccion


Ejemplo (1.2)

Consideremos el sistema lineal

2x1 + 3x2 − x3 = 0,x1 + x2 − 1 = 0,x1 + x3 − 3 = 0.

Reduciendo por filas la matriz del sistema obtenems su forma reducidaescalonada por filas: 1 0 1 3

0 1 −1 −20 0 0 0

.


Introduccion


Ejemplo (1.2)

La forma de esta matriz prueba que x3 es una variable libre, poniendox3 = t tenemos

x1 = −t + 3,x2 = t − 2,x3 = t.

Estas son las ecuaciones parametricas de una recta L en k3.


Introduccion


Ejemplo (1.3)

Consideremos ahora la variedad lineal afın V ⊂ k4 parametrizada comosigue:

x1 = t1 + t2 + 1,x2 = t1 − t2 + 3,x3 = 2t1 − 2,x4 = t1 + 2t2 − 3.

Dejando las ti y xj en el lado izquierdo de cada ecuacion y los terminosindependientes en el derecho, tenemos un sistema lineal de matriz:

1 1 −1 0 0 0 −11 −1 0 −1 0 0 −32 0 0 0 −1 0 31 2 0 0 0 −1 3

.


Introduccion


Ejemplo (1.3)

Cuya forma escalonada reducida por filas es:1 0 0 0 −1/2 0 10 1 0 0 1/4 −1/2 10 0 1 0 −1/4 −1/2 30 0 0 1 −3/4 1/2 3

.

Las dos ultimas filas se corresponden con ecuaciones si terminos con tj :{x1 − (1/4)x3 − (1/2)x4 − 3 = 0,x2 − (3/4)x3 + (1/2)x4 − 3 = 0.

Estas dos ecuaciones definen V en k4.


Orden sobre los monomios de k[x1, . . . , xn ]

Algunos casos ya vistos

En k[x ] para dividir dos polinomios ordenamos sus terminos por el grado.Es decir, el orden para los monomios es

· · · > xm+1 > xm > · · · > x2 > x > 1.

En el caso de las ecuaciones lineales en k[x1, . . . , xn] hemos visto en losejemplos anteriores que se usan los algoritmos sobre matrices para calcularformas escalonadas reducidas por filas. Al disponer los coeficientes en lasmatrices estamos estableciendo un orden entre los monomios:

x1 > x2 > · · · > xn.



Ordenando monomios

Sea α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn≥0, recordemos que escribimos xα = xα1

1 · · · xαnn .

Esto establece una correspondencia biunıvoca entre los monomios dek[x1, . . . , xn] y Zn

≥0. Es decir, que ordenar monomios es lo mismo queestablecer un orden en Zn

≥0. Por tanto, si α > β en un orden determinado,

tambien diremos que xα > xβ.¿Que propiedades queremos que verifique un orden para los monomios dek[x1, . . . , xn]? Para comenzar, queremos que poder ordenar todos losterminos de un polinomio sin ambiguedad. Es decir, queremos que sea unorden total. O sea, que dados dos monomios xα y xβ exactamente una delas siguientes afirmaciones

xα > xβ, xα = xβ, xα < xβ

sea verdadera.



Ordenando monomios

Tambien exigiremos que el orden sea transitivo. Es decir, si xα > xβ yxβ > xγ se tiene que xα > xγ .Tambien queremos que, de alguna forma, el orden entre los monomios seacompatible con la estructura de anillo de k[x1, . . . , xn]. Para estorequeriremos, si xα > xbeta y xγ ∈ k, que xα+γ > xβ+γ .O en terminos de los exponentesm esto quiere decir que si α > β y γ ∈ kn

entonces α + γ > β + γ.



Orden monomial

Definicion (2.1)

Un orden monomial > sobre k[x1, . . . , xn] es una relacion sobre Z≥0,satisfaciendo:

(i) > es un orden total sobre Zn≥0.

(ii) Si α > β y γ ∈ Zn≥0 entonces α + γ > β + γ.

(iii) > es un buen orden sobre Zn≥0. Es decir, todo subconjunto no vacıo

de Zn≥0 tiene un menor elemento.



Orden monomial

Lema (2.2)

Una relacion de orden > sobre Zn≥0 es un buen orden si y solo si existe

toda sucesion estrictamente decreciente en Zn≥0

α(1) > α(2) > α(3) > · · ·

eventualmente termina.



Orden lexicografico

Definicion (2.3 - Orden lexicografico)

Sean α = (α1, . . . , αn) y β = (β1, . . . , βn) en Zn≥0. Decimos que α >lex β

si la entrada no nula mas a la izquierda de α− β ∈ Zn es positiva.Escribiremos xα >lex xβ si α >lex β.

Proposicion (2.4)

El orden lexicografico sobre Zn≥0 es un ordn monomial.



Ordenes graduados

Nota

Sea α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn≥0, recordemos que

|α| =n∑

i=1

αi .

Definicion (2.5 - Orden lexicografico graduado)

Sean α, β ∈ Zn≥0. Decimos que α >grlex β si |α| > |β| o bien |α| = |β| y

α >lex β.



Ordenes graduados

Definicion (2.6 - Orden lexicografico reverso graduado)

Sean α, β ∈ Zn≥0. Decimos que α >grevlex β si |α| > |β| o bien |α| = |β| y

la entrada no nula mas a la derecha de α− β ∈ Zn es negativa.



Definiciones

Definicion (2.7)

Sea f =∑

α aαxα un polinomio no nulo en k[x1, . . . , xn] y sea > un orden

monomial.

(i) El multigrado de f es

multideg(f ) = max(α ∈ Zn≥0 | aα 6= 0).

(ii) El coeficiente lıder de f es lc(f ) = amultideg(f ) ∈ k .

(iii) El monomio lıder de f es lm(f ) = xmultideg(f ).

(iv El termino lider de f es lt(f ) = lc(f ) · lm(f ).



Multigrado

Lema (2.8)

Sean f , g ∈ k[x1, . . . , xn] polinomios no nulos. Entonces:

(i) multideg(fg) = multideg(f ) + multideg(g).

(ii) Si f + g 6= 0, entoncesmultideg(f + g) ≤ max(multideg(f ),multideg(g)). Si ademasmultideg(f ) 6= multideg(g) se tiene la igualdad.


Un algoritmo de division en k[x1, . . . , xn ]

Ejemplo 3.1

En k[x , y ] con el orden lexicografico y x > y , dividimos f = xy2 + 1 entref1 = xy + 1 y f2 = y + 1.

xy2 + 1 |xy + 1 |y + 1

xy2 + y y −1

−y + 1−y − 1

2

Por tantoxy2 + 1 = y · (xy + 1) + (−1) · (y + 1) + 2.



Ejemplo 3.2

En k[x , y ] con el orden lexicografico y x > y , dividimosf = x2y + xy2 + y2 entre f1 = xy − 1 y f2 = y2 − 1.

x2y + xy2 + y2 |xy − 1 |y2 − 1

x2y − x x + y 1

xy2 + x + y2

xy2 − y

x + y2 + yy2 − 1

x+y+1

Luego x2y + xy2 + y2 = (x + y) · (xy − 1) + 1 · (y2 − 1) + x + y + 1.



Algoritmo de division en k[x1, . . . , xn]

Teorema (3.3 - Algoritmo de division)

Sea > un orden monomial en Zn≥0 y sea F = (f1, . . . , fs) una s–upla

ordenada de polinomios en k[x1, . . . , xn]. Entonces todo f ∈ k[x1, . . . , xn]puede escribirse como

f = q1f1 + · · ·+ qs fs + r ,

donde qi , r ∈ k[x1, . . . , xn], y o bien r = 0, o bien r es una combinacionlineal de monomios, ninguno de los cuales es divisible por ningunlt(f1), . . . , lt(fs). Decimos que r es un resto de la division de f entre F .Ademas, si qi fi 6= 0, entonces

multideg(f ) ≥ multideg(qi fi ).



Algoritmo de division

Input: f1, . . . , fs , f .Output: q1, . . . , qs , r .q1 := 0;... ;qs := 0; r := 0p := fWHILE p 6= 0 DO

i := 1divisionoccurred :=falseWHILE i ≤ s AND divisionoccurred =false DO

IF lt(fi ) divides lt(p) THENqi := qi + lt(p)/lt(fi )p := p − (lt(p)/lt(fi ))fidivisionoccurred :=true

ELSEi := i + 1



Algoritmo de division

IF divisionoccurred =false THENr := r + lt(p)p := p − lt(p)

RETURN q1, . . . , qs , r



Ejemplo 3.4

En k[x , y ] con el orden lexicografico y x > y , dividimosf = x2y + xy2 + y2 entre f1 = y2 − 1 y f2 = xy − 1.

x2y + xy2 + y2 |y2 − 1 |xy − 1

x2y − x x + 1 x

xy2 + x + y2

xy2 − x

2x + y2

y2 − 1

2x+1

Luego x2y + xy2 + y2 = (x + 1) · (y2 − 1) + x · (xy − 1) + 2x + 1.



Ejemplo 3.5

Sean f1 = xy − 1 y f2 = y2 − 1 en k[x , y ] con el orden lexicografico yx > y . Dividiendo f = xy2 − x entre F = (f1, f2), el resultado es

xy2 − x = y · (xy − 1) + 0 · (y2 − 1) + (−x + y).

Pero dividiendo entre F = (f2, f1) se obtiene

xy2 − x = x · (y2 − 1) + 0 · (xy − 1) + 0.

Luego f ∈ 〈f1, f2〉, aunque el resto de la division entre F = (f1, f2) no esnulo.


Ideales monomiales y Lema de Dickson

Ideal monomial

Definicion (4.1)

Un ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] es un ideal monomial si existe un subconjuntoA ⊂ Zn

≥0 (posiblemente infinito) tal que I = 〈xα | α ∈ A〉.



Pertenencia a un ideal monomial

Lema (4.2)

Sea I = 〈xα | α ∈ A〉 un ideal monomial. Entonces un monomio xβ

pertenece a I si y solo si xβ es divisible por xα para algun α ∈ A.




I = 〈x4y2, x3y4, x2y5〉. LOs exponentes de los monomios de I estan en

((4, 2) + Z2≥0) ∪ ((3, 4) + Z2

≥0) ∪ ((2, 5) + Z2≥0).




Lema (4.3)

Sea I un ideal monomial y sea f ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces sonequivalentes:

(i) f ∈ I .

(ii) Cada termino de f pertenece a I .

(iii) f es una combinacion lineal de monomios en I .

Corolario (4.4)

Dos ideales monomiales son iguales si y solo si contienen los mismosmonomios.



Lema de Dickson

Teorema (4.5 - Lema de Dickson)

Sea I = 〈xα | α ∈ A〉 ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal monomial. Entonces sepuede escribir I = 〈xα(1), . . . , xα(s)〉, donde α(1), . . . , α(s) ∈ A. Enparticular, I tiene una base finita.



Buen orden

Corolario (4.6)

Sea > una relacion sobre Zn≥0 satisfaciendo:

(i) > es un orden total sobre Zn≥0.

(ii) Si α > β y γ ∈ Zn≥0 entonces α + γ > β + γ.

Entonces > es un buen orden si y solo si α ≥ 0 para todo α ∈ Zn≥0.



Base minimal

Proposicion (4.7)

Un ideal monomial I ⊂ k[x1, . . . , xn] tiene una base con la siguientepropiedad: xα(i) no divide a xα(j) para i 6= j . Ademas esta base es unica,se llama base minimal de I .


El teorema de la base de Hilbert y bases de Grobner

Ideal de los terminos lıderes

Definicion (5.1)

Sea I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal distinto de {0}, y fijemos un ordenmonomial en k[x1, . . . , xn]. Entonces:

(i) Denotamos por lt(I ) al conjunto de los terminos lıderes de loselementos no nulos de I . Es decir,

lt(I ) = {cxα | existe f ∈ I \ {0} con lt(f ) = cxα}.

(ii) Denotamos por 〈lt(I )〉 al ideal generado por los elementos de lt(I ).



Ideal de los terminos lıderes

Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 ⊂ k[x1, . . . , xn]. Es claro que〈lt(f1), . . . , lt(fs)〉 ⊂ 〈lt(I )〉. Sin embargo ambos ideales no tienene porque ser iguales. Por ejemplo...

Ejemplo (5.2)

En k[x , y ] con el orden lexicografico graduado, sean f1 = x3 − 2xy yf2 = x2y − 2y2 + x , consideremos el ideal I = 〈f1, f2〉. Observemos que

x · (x2y − 2y2 + x)− y · (x3 − 2xy) = x2,

luego x2 ∈ I . Sin embargo x2 no es divisible por lt(f1) = x3 nilt(f2) = x2y , luego x2 /∈ 〈lt(f1), lt(f2)〉.



Teorema de la base de Hilbert

Proposicion (5.3)

Sea I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal distinto de {0}.(i) 〈lt(I )〉 es un ideal monomial.

(ii) Existen g1, . . . , gt ∈ I tales que 〈lt(I )〉 = 〈lt(g1), . . . , lt(gt)〉.

Teorema (5.4 - Teorema de la base de Hilbert)

Todo ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] tiene un conjunto finito de generadores. Esdecir, I = 〈g1, . . . , gt〉 para algun g1, . . . , gt ∈ t.



Bases de Grobner

Definicion (5.5)

Fijemos un orden monomial sobre el anillo de polinomios k[x1, . . . , xn]. Unsubconjunto finito G = {g1, . . . , gt} de un ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] distintode {0} se dice una base de Grobner (o base estandar) si〈lt(g1), . . . , lt(gt)〉 = 〈lt(I )〉.Conveniendo que 〈∅〉 = {0}, definimos el conjunto vacıo ∅ como la base deGrobner del ideal cero {0}.

Corolario (5.6)

Fijado un orden monomial, todo ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] tiene una base deGrobner. Ademas, cualquier base de Grobner de un ideal I es una base deI .



Ejemplos

Consideremos el ideal I = 〈f1, f2〉 ⊂ k[x , y ] del ejemplo 5.2, conf1 = x3 − 2xy y f2 = x2y − 2y2 + x . Ya vimos que x2 ∈ 〈lt(I )〉 perox2 /∈ 〈lt(f1), lt(f2)〉. Por tanto {f1, f2} no es una base de Grobner para I .

Consideremos ahora los polinomios g1 = x + z y g2 = y − z de R[x , y , z ].Sea J = 〈g1, g2〉, el conjunto {g1, g2} es una base de Grobner deJ ⊂ R[x , y , z ] con el orden lexicografico.



Condicion de Cadena Ascendente

Teorema (5.7 - Condicion de Cadena Ascendente)

SeaI1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ · · ·

una cadea ascendente de ideales en k[x1, . . . , xn]. Entonces existe unN ≥ 1 tal que

IN = IN+1 = IN+2 = · · · .



Variedad de un ideal

Definicion (5.8)

Sea I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal. Denotamos por V(I ) al conjunto

V(I ) = {(a1, . . . , an) ∈ kn | f (a1, . . . , an) = 0 para todo f ∈ I}.

Proposicion (5.9)

V(I ) es una variedad afın. En particular, si I = 〈f1, . . . , fs〉, entoncesV(I ) = V(f1, . . . , fs).


Propiedades de las Bases de Grobner


Proposicion (6.1)

Sean I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal y G = {g1, . . . , gt} una base de Grobnerpara I . Entonces dado f ∈ k[x1, . . . , xn] existe un unico r ∈ k[x1, . . . , xn]con las siguientes propiedades:

(i) Ningun termino de r es divisible por ningun lt(g1), . . . lt(gt).

(ii) Existe g ∈ I tal que f = g + r .

En particular, r es el resto de dvidir f entre G sin importar el orden entrelos elementos de G al usar el algoritmo de division.

Corolario (6.2)

Sea G = {g1, . . . , gt} una base de Grobner de un ideal I ⊂ k[x1, . . . , xn] ysea f ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces f ∈ I si y solo si el resto de la division de fentre G es cero.



Resto de la division

Definicion (6.3)

Escribiremos como fF

el resto de la division de f entre la s-upla ordenadaF = (f1, . . . , fs). Si F es una base de Grobner para 〈f1, . . . , fs〉 entonces,por la proposicion 6.1, se puede ver F com un conjunto no necesariamenteordenado.



S-polinomios

Definicion (6.4)

Sean f , g ∈ k[x1, . . . , xn] polinomios no nulos.

(i) Si multideg(f ) = α y multideg(g) = β, entonces seaγ = (γ1, . . . , γn), donde γi = max(αi , βi ) para cada i . Decimos quexγ es el mınimo comun multiplo de lm(f ) y lm(g). Escribiremosxγ = lcm(lm(f ), lm(g)).

(ii) El S-polinomio de f y g es la combinacion

S(f , g) =xγ

lt(f )· f − xγ

lt(g)· g .



S-polinomios

Lema (6.5)

Supongamos que tenemos una suma∑s

i=1 pi , dondemultideg(pi ) = δ ∈ Zn

≥0 para cada i . Si multideg(∑s

i=1 pi ) < δ, entonces∑si=1 pi es una combinacion lineal, sobre k , de los S-polinomios S(pj , pl)

para 1 ≤ j , l ≤ s. Ademas, cada S(pj , pl) tiene multigrado < δ.



El criterio de Buchberger

Teorema (6.6 - Criterio de Buchberger)

Sea I ⊂ k[x1, . . . , xn] un ideal. Entonces una base G = {g1, . . . , gt} de I esuna base de Grobner de I si y solo si para cada par i 6= j , el resto de ladivision de S(gi , gj) entre G es cero.

Ejemplo

Consideremos el ideal I = 〈y − x2, z − x3〉 de la cubica alabeada en R3.Entonces G = {y − x2, z − x3} es una base de Grobner de I para el ordenlexicografico con y > z > x .


Algoritmo de Buchberger

Ejemplo 7.1

En el anillo Q[x , y ] con el orden lexicografico graduado, sea el idealI = 〈f1 = x3 − 2xy , f2 = x2y − 2y2 + x〉. Ya vimos anteriormente queF = {f1, f2} no es una base de Grobner.

S(f1, f2)F

= −x2 f3 = −x2,F = {f1, f2, f3}.S(f1, f3)

F= −2xy f4 = −2xy ,F = {f1, f2, f3, f4}.

S(f1, f4)F

= 0.

S(f2, f3)F

= −2y2 + x f5 = −2y2 + x ,F = {f1, f2, f3, f4, f5}.S(f2, f4)

F= S(f2, f5)

F= S(f3, f4)

F= S(f3, f5)

F= S(f4, f5)

F= 0.




Teorema (7.2 - Algoritmo de Buchberger)

Sea I = 〈f1, . . . , fs〉 6= {0} un ideal de k[x1, . . . , xn]. Se puede construiruna base de Grobner de I mediante el siguiente algoritmo:Input: F = {f1, . . . , fs}Output: una base de Grobner G = {g1, . . . , gt} para I , con F ⊂ G .G := FREPEAT

G ′ := GFOR cada par {p, q}, p 6= q de G ′ DO

r := S(p, q)G ′

IF r 6= 0 THEN G = G ∪ {r}UNTIL G = G ′

RETURN G



Base de Grobner minimal

Lema (7.3)

Sea G una base de Grobner de I ⊂ k[x1, . . . , xn]. Sea p ∈ G un polinomiotal que lt(p) ∈ 〈lt(G \ {p})〉. Entonces G \ {p} es tambien una base deGrobner de I .



Base de Grobner minimal

En el ejemplo 7.1 hemos visto que{f1 = x3 − 2xy , f2 = x2y − 2y2 + x , f3 = −x2, f4 = −2xy , f5 = −2y2 + x}es una base de Grobner del ideal I = 〈f1, f2〉 ⊂ Q[x , y ].Como lt(f1) = −x · lt(f3) y lt(f2) = −(1/2)x · lt(f4), podemos eliminarf1 y f2. Dividiendo por los respectivos coeficientes lıderes se obtiene unabase de Grobner minimal

{f3 = x2, f4 = xy , f5 = y2 − (1/2)x}.

Observese que la base de Grobner minimal no es unica. De hecho es facilcomprobar que

{f3 = x2 + axy , f4 = xy , f5 = y2 − (1/2)x}

es tambien una base minimal de I , con a ∈ Q.



Base de Grobner reducida

Definicion (7.4)

Una base de Grobner reducida para un ideal de polinomios I es una basede Grobner G para I tal que

(i) lc(p) = 1 para todo p ∈ G .

(ii) Para cada p ∈ G , ningun monomio de p esta en 〈lt(G \ {p})〉.

Teorema (7.5)

Sea I 6= {0} un ideal polinomico. Entonces, para un orden monomial dado,I tiene una base de Grobner reducida que ademas es unica.


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