Tema 2. Tema 2. Elementos bElementos báásicos para el sicos para el

ananáálisis del crecimiento lisis del crecimiento econeconóómicomico

IntroducciónLas variables y la agregación: la medida del capital y la controversia de CambridgeLa función de producción agregadaLa frontera de precios de los factores El progreso técnico: representación y clasificaciónLa medición del progreso técnico: la contabilidad del crecimiento

Introducción• El crecimiento económico depende de dos

fenómenos:– El progreso tecnológico– La acumulación del capital

• Objetivo del capítulo: estudiar los principales conceptos, instrumentos y métodos que se utilizan en las teorías sobre el crecimiento económico y que tienen que ver sobre todo con la acumulación de capital y el progreso tecnológico

• Renta o producto nacional (Y): conjunto de bienes y servicios producidos durante un periodo de tiempo determinado

• Cantidad de trabajo (L): – Existencias: número de trabajadores– Flujo de servicios de trabajo: horas-hombreAlgunos supuestos: – L = a·N (proporción fija de la población)– Crecimiento de la población exógeno– Homogeneidad de la fuerza de trabajo

Las variables y la agregación

• Stock de capital (K): stock de medios de producción producidos que están a disposición de una economía para producir bienes y servicios– Inversión: flujo de nuevas máquinas que incrementan el

stock de capital– Inversión bruta: volumen total de capital nuevo producido

durante un periodo determinado, siendo una parte del mismo utilizada para la sustitución o renovación de una parte del capital (depreciación)

– Inversión neta: inversión bruta-depreciación– ¿Cómo medir el capital? Una de las discusiones más

relevantes de la economía: controversia de Cambridge

¿Cómo medir el capital?Consideremos una empresa que utiliza n tipos diferentes de bienes

de capital (i=1...n), de distinta edad y para diversos objetivosespecíficos. Puede representarse el equipo de capital de la siguiente forma: (K11, K12, K13, ... K1n)

Supongamos que existen m empresas en la economía (j=1...m): K11, K12, K13, ... K1nK21, K22, K23, ... K2nK31, K32, K33, ... K3n...................................Km1, Km2, Km3, ... Kmn

¿Qué procedimiento podría utilizarse para hablar del stock de capital como un agregado único? Una solución sería sumar todos los bienes de cada tipo (aquellos que son técnicamenteidénticos). Se obtendría así un vector de bienes de capital para la economía como un todo: (K1, K2, K3, ... Kn)

El problema es que los bienes de capital técnicamente idénticos pueden diferir en cuanto a los beneficios que pueden ofrecer durante sus respectivos periodos de vida (es decir, son económicamente distintos).

Incluso si se aceptase que los bienes de capital de cada tipo son técnica y económicamente idénticos, no se habrían solventado los problemas ya que cada uno de los n tipos de bienes de capital del vector son muy diferentes entre sí: cada uno se puede utilizar específicamente para aquello que fue diseñado.

Esto significa que una medida agregada del capital precisa un criterio común por el que se pueden convertir y sumar todos los tipos diferentes de bienes de capital método de valorar el capital por el valor actual de sus rendimientos esperados.

...)1)(1()1( 1

21 +++

++

+=+

++

te

t

te

t

te

tt iiz

izzV

La controversia del capital (o de Cambridge)

• Universidad de Cambridge (Inglaterra): Joan Robinson, Nicholas Kaldor, PieroSraffa y Luigi Passinetti

• Massachusetts Institute of Technology(M.I.T, Cambridge, EEUU): PaulSamuelson y Robert Solow

Cambridge (Inglaterra)• Creen en la inestabilidad del sistema capitalista.• El papel de la inversión como principal causa del

crecimiento y de dicha inestabilidad.• Su preferencia por teorías “magnas” del

crecimiento, es decir, por incluir elementos factuales y teorías sociológicas, psicológicas e históricas junto a las económicas para explicar dicho proceso.

• Su rechazo de la función de producción neoclásica y de la teoría de la productividad marginal como instrumentos útiles para analizar el proceso de crecimiento económico.

Cambridge, M.I.T. (EE.UU.)

• Creen en la conveniencia de utilizar modelos económicos o “parábolas” para analizar el crecimiento económico y, en concreto, la función de producción agregada neoclásica y la teoría de la productividad marginal les parecen instrumentos adecuados sobre los que construir una teoría del crecimiento económico.

Contenido de la controversia en 3 preguntas

1. ¿Pueden utilizarse modelos cuya validez no es general, como es el caso de los modelos neoclásicos basados en funciones de producción agregadas con perfecta sustituibilidad entre capital y trabajo, para analizar problemas económicos del mundo real?

2. Observamos que el mundo real es cambiante y estásujeto a una incertidumbre creciente. Por tanto, ¿es útil el concepto de equilibrio, tal y como lo utilizan los neoclásicos?

R. Solow: la utilidad de los modelos económicos es una “cuestión de fe”

3. ¿Puede sostenerse que existe una función de producción agregada cuando las tecnologías disponibles en diversos sectores de la economía son distintas? Debate más concreto sobre la medición del capital

Las 3 alternativas de Joan Robinson (Inglaterra):• Utilizar el factor trabajo imbuido en cada “máquina”• Utilizar el coste de adquisición de cada máquina • Utilizar el valor presente del flujo descontado de futuros beneficios.

• Resultados equivalentes en equilibrio (improbable).

• Neoclásicos utilizan un argumento circular para medir el capital: para agregar una gran variedad de bienes de capital es necesario conocer de antemano el tipo de interés, pero precisamente el objetivo de la función de producción es demostrar cómo se determinan el salario y el tipo de interés según las condiciones técnicas y la proporción entre los factores.

Las parábolasUn modo de eludir las dificultades de la

agregación consiste en presentar la teoría del crecimiento como una “parábola” en la economía se produce un solo bien (trigo), que se consume o se ahorra, en cuyo caso pasa a formar parte del stock de capital-trigo.

Este enfoque es válido en la medida en que pueda demostrarse que las conclusiones no resultan distorsionadas a pesar de esta simplificación “heroica”.

La función de producción agregada• Elemento fundamental a partir del cual se

construyen las teorías del crecimiento económico modernas:

Yt = F(Kt,Lt)Y: productoK: stock de capitalL: Número de trabajadores empleados

• Según las características de esta función podemos diferenciar entre:– Función de producción continua– Función de producción de coeficientes fijos

La función de producción con coeficientes fijos

• El capital y el trabajo no son sustituibles: versión extrema función de producción de coeficientes fijos

v es la relación capital-productou es la relación trabajo-productov/u es la relación capital-trabajo, la cual estáexógenamente determinada y no se ajusta ante cambios en el precio de los factores

0,

,min

>∀⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

uvuL

vKY tt

t

Pendiente: u/v

Isocuantas de la función de producción de coeficientes fijos

K

L

Y0

Y1

La función de producción continua• Hipótesis: los factores de producción son

perfectamente sustituibles• Supuestos:

Productos marginales de los factores positivos: FK>0, FL>0

Productividad marginal decreciente:FKK<0, FLL<0 y FKL>0

Los dos factores (capital y trabajo) son esenciales para la producción: si no se utiliza capital o trabajo, no puede producirse cantidad alguna de producto.

F(K, L2)

F(K, L1)

(L2 >L1)

K

Y

• Supuesto adicional: rendimientos constantes de escala:

λY= λ F(K,L)=F(λK, λL) ∀ λ>0– Este supuesto permite escribir la función en forma

intensiva. Siendo λ =1/L:

( )

( )kfy

kfLKf

LKF

LYy

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== 1,

– La primera derivada de la función intensiva de producción es la productividad marginal del capital:

( ) KFdkdfkf =='

f(k)

Función de producción neoclásica intensiva

k

y

– Si la función de producción está sometida a rendimientos constantes de escala, el pago de los productos marginales a los factores de producción agotará totalmente el producto

teorema de Euler (puede obtenerse derivando la expresión λY= F(λK, λL) con respecto a λ):

Y= FKK+ FLL

– Dividiendo la expresión Y= FKK+ FLL por L y sustituyendo:

Es decir, el producto por trabajador es igual a la productividad marginal del trabajo más la productividad marginal del capital multiplicada por el stock de capital por trabajador.

( ) LFkkfy += '

– Si se acepta la teoría de la distribución de la renta según la productividad marginal, entonces el precio del capital (la tasa real de beneficio) es igual a la productividad marginal del capital y el precio del trabajo (el salario real) es igual al producto marginal de trabajo.

– Entonces, la expresión anterior puede escribirse como:

El producto por trabajador es igual al salario por trabajador más el beneficio por trabajador.

wkry +=

f(k)

k

y

k*

y*

B

E

A

O

D

C

– La pendiente de la recta CA es la productividad marginal del capital o la tasa de beneficio:

rk* es la tasa de beneficio multiplicada por la cantidad de capital por trabajador. Por tanto, la distancia CD mide los beneficios por trabajador.

– Como OD es el producto por trabajador, entonces el salario por trabajador es:

– La pendiente de CA también puede expresarse como:

La distancia OB mide la relación entre los salarios por trabajador y la tasa de beneficios.

OCCDODw =−=

*kCD

OECD

DACDr ===

rwOB

OBw

OBOCr =→==

¿Qué relación existe entre la relación de los precios del capital y el trabajo y la relación capital-trabajo?

A medida que OB va aumentando, manteniendo tangente la recta AB a la curva f(k), la relación capital-trabajo crece. Esto significa que a medida que r/w disminuye, k es mayor: k=F(r/w), y esta relación es negativa.

Definimos la elasticidad de sustitución como la tasa proporcional de variación de la relación capital-trabajo con respecto a un cambio proporcional en la relación de precios del capital y el trabajo. Llamando p’=r/w:

kp

pk

ppkk '

''/'/

⋅ΔΔ

=ΔΔ

=σ

– Si σ=0, la relación capital-trabajo no responde ante ninguna variación de r/w caso de la función de producción de coeficientes fijos.

– Si σ=1, una reducción de la relación r/w produce un incremento proporcional igual de la relación capital-trabajo. Esto significa que la relación entre las participaciones relativas de ambos factores se mantiene constante:

Este es el caso de la función de producción Cobb-Douglas.

wLrK

LK

wr

=⋅

La Frontera de Precios de los Factores (FPF)

• La diferencia entre la función de producción neoclásica y la de coeficientes fijos no sólo refleja diferencias tecnológicas. También refleja una relación entre la intensidad en el uso de los factores y el precio relativo de los mismos. Esta relación puede obtenerse bajo el supuesto de competencia perfecta en el mercado de factores y se denomina FPF, la cual depende de las características de la tecnología.

• La FPF es una forma dual de representar la tecnología a través de una cierta relación entre los precios de los factores y la intensidad de uso de los factores.

• Para el caso de dos factores, capital y trabajo, la FPF representa el máximo salario real con el que puede remunerarse a los trabajadores para cada tasa de beneficio (en términos reales) que remunera al capital.

• Dada una función de producción continua, con sustituibilidad perfecta de los factores y, por tanto, con funciones de productividad marginal de los factores continuas, si los mercados de los factores son competitivos, existe una relación decreciente entre el cociente capital-trabajo y el precio relativo del capital y el trabajo:

K/L r/w(-)

A esta relación se le conoce como FPF (o “frontera del salario” -Hicks-)

• Debido a los rendimientos constantes de escala y por el teorema de Euler:

• Dado el supuesto de mercados competitivos:FL= w, FK = r

• Podemos escribir:y = f(k) = k r + w

w = f(k) – k r = f(k) – k f’(k) (1)• Donde:

w es el salario realr es la tasa de beneficio bruta (o tipo de interés real), que es igual a la productividad marginal: r =f’(k) (2)

( ) ( ) LFkkfkfy +== '

• Derivando (2) y (1) con respecto a k, se obtiene:

dr/dk = f’’(k) , que es negativadw/dk = f’(k) – k f’’(k) – f’(k) = – k f’’(k) ,

que debe ser positiva• Dividiendo dw/dk por dr/dk:

dw/dr = – k f’’(k) / f’’(k) = – k

Por tanto, la pendiente de la FPF es igual a la relación capital-trabajo agregada.

• La elasticidad del salario real respecto al tipo de interés real a lo largo de la FPF es igual ....– al cociente entre los beneficios totales y la

remuneración de los trabajadores, o– al cociente entre las participaciones de capital y

trabajo en la renta nacional.

YwLYrK

wLrK

wrk

rdrwdw

rdwd

FPF //

//

lnln

===−=−=ε

Pendiente: w/r

FPF (caso neoclásico)

rTipo de interés real

wSalario real

Pendiente: -K/L

La parábola del un único bien y la FPF con coeficientes fijos (Samuelson, 1962)

• Según la función de producción neoclásica: producción y distribución de la renta son “las dos caras de una misma moneda” obedecen a las restricciones tecnológicas de la economía

• ¿Se cumplen las mismas predicciones (relación entre precios de los factores e intensidad de uso) en una situación en la que:– no se cumple la parábola de un único bien– y existe otro tipo de tecnología?

Objetivo: obtener la FPF bajo los dos supuestos siguientes:

• La economía produce dos bienes: un bien de consumo y un bien de capital (ambos tienen unas características distintas y no se engloban en una misma función de producción).

• En ambos sectores la función de producción es de coeficientes fijos.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

C

C

C

CC u

LKY ,minυ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

I

I

I

II u

LKY ,minυ

;C

Cuυ

I

Iuυ

Son las relaciones capital-trabajo en cada uno de los sectores

• Por tanto, la economía produce dos bienes, pero existe una gran variedad de técnicas diferentes para producir el bien de consumo y cada técnica utiliza un bien de capital diferente (los bienes de capital están muy especializados en relación a la utilización para la que fueron diseñados).

• Analicemos una de esas técnicas. Dada la existencia de rendimientos de escala constantes, la remuneración de los factores es igual al valor del producto:

siendo P los precios, R el tipo de interés nominal y W el salario nominal.

CCCC WLRKYP +=

IIII WLRKYP +=

• Manipulando las expresiones, obtenemos:

• Sustituyendo la segunda en la primera, se obtiene la ecuación general de la FPF de esta técnica:

CCCC WLRKYP +=

IIII WLRKYP +=

CC

CIC

I uPW

PR

PP += υ1

IC

IIC

I

C

I uPW

PR

PP

PP

+= υ

II

CC

ICCI P

RuPWAu

PW

PR υυ ++−= )1(1

Donde:

• Esta ecuación relaciona la tasa de beneficio o tipo de interés real, , y el salario real, , en esta economía: es la FPF.

• Esta FPF depende de A (índice de intensidad relativa de capital).

• Si A=1 (los dos sectores tienen las mismas intensidades de capital o relaciones capital-trabajo), la FPF es:

O, alternativamente,

II

CC

ICCI P

RuPWAu

PW

PR υυ ++−= )1(1

IC

CIuuA υυ=

CPW

IPR

uPR

uPW

PRu

PW

IC

IC

υ

υ

−=

+=

1

1

• La pendiente de la FPF de esta técnica es la relación capital-trabajo común a los dos sectores, y la elasticidad será igual a la relación entre las participaciones relativas de ambos factores.

• Si hay varias técnicas disponibles que implican relaciones capital-trabajo distintas pero iguales en ambos sectores, tendremos un mapa de FPF, una para cada técnica la FPF es la envolvente de todas estas fronteras y tendrá una forma y unas propiedades similares a la FPF neoclásica.

FPF de funciones de producción con coeficientes fijos

w=W/PC

r=R/PI

• La FPF muestra una relación unívoca entre la relación capital-trabajo (K/L) y precio relativo de los factores (w/r), dando lugar a las mismas predicciones que la parábola de un solo bien. Es decir, un modelo más “complejo” (con capital heterogéneo y proporciones fijas) genera las mismas conclusiones básicas.

• ¿Es restrictivo el supuesto de que A=1 (la intensidad del capital en cada técnica disponible implica una misma intensidad de capital independientemente del sector en donde se utilice)?

• Si A es distinto de 1 tendremos FPF que no son rectas, serán curvas cóncavas (A>1) o convexas (A<1) Se produce el denominado efecto Wicksell o de “readopción de técnicas” No existe una relación unívoca entre la intensidad de capital y el precio relativo de los factores w/rno crece necesariamente cuando aumenta (K/L), supuesto explícito de las parábolas neoclásicas.

Técnica α, para valores muy altos o muy bajos de la relación w/r

El efecto Wicksell (“readopción de técnicas”)

r=R/PITipo de interés real

w=W/PCSalario real

Técnica β, para valores intermedios de la relación w/r

• En el gráfico anterior, dos economías podrían estar utilizando la misma técnica de producción, aunque en una la tasa de beneficio sería relativamente baja y en otra relativamente alta.

• Si las FPF de cada técnica tienen distintos grados de curvatura, la envolvente de la FPF se queda sin las propiedades del modelo de Samuelson: su pendiente no mide la relación capital-trabajo agregada de la economía y resulta imposible la formulación de afirmaciones inequívocas sobre la intensidad de capital.

La readopción de técnicas• Sea y = w + k r • Diferenciando:

• Y reordenando:

• La variación de k puede descomponerse en dos términos:a) El efecto Wicksell precio:

b) El efecto Wicksell real:

dydkr

dydrk

dydw

++=1

dwr

drrkdy

rdk 11 −−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +− dw

rdr

rk 1

dyr1

• Cuando la función de producción es neoclásica, el efecto precio es 0 puesto que:

PMgkrdkdy

dyr

dkEntonces

kdrdwqueya

rk

rk

rdrdw

rk

==

=

−=

=+−=−−

1,

01

• Si no se cumple que dw/dr=-k, aparece un efecto Wicksell precio que hace que la PMgk y el tipo de interés real no sean iguales

• Si el efecto Wicksell es suficientemente negativo, puede ocurrir que un descenso de r produzca una disminución de k por lo que la relación monótona decreciente entre el tipo de interés real y la acumulación del capital implícita en la FPF neoclásica no tiene porqué mantenerse

rdrdw

rk

rdrdy

drdk −−=

El progreso técnico• La tecnología es el fondo de conocimientos de la

sociedad y la tasa de progreso tecnológico la tasa a la que aumenta ese stock de conocimientos.

• El progreso técnico es la consecuencia del progreso tecnológico, permitiendo obtener más producción con las mismas cantidades de factores, mejorar la calidad de los productos existentes y obtener nuevos bienes y servicios. Se puede hablar de invención de proceso y de invención de producto. La innovaciónes la aplicación de un invento a la economía.

• El progreso técnico puede ser:– No incorporado: se produce con el simple paso

del tiempo. Cuando aparece una mejora técnica, todas las máquinas existentes hasta el momento aumentan su productividad (por ejemplo, los programas informáticos mejoran el rendimiento de todos los ordenadores existentes).

– Incorporado: se produce cuando se renuevan los factores productivos, es decir, se refiere a las innovaciones que no afectan todas las máquinas existentes sino solamente a las máquinas nuevas (por ejemplo, el hardware informático).

Progreso tecnológico no incorporado: desplazamiento de la función de producción

k

yL

wK

r

y=f(k)

y0

• Analíticamente:

• Formulación diferente:

• A(t) y B(t) funciones monótonamente crecientes del tiempo el progreso técnico aumenta la eficiencia de los factores

• A(t)K capital en unidades de eficiencia• B(t)L trabajo en unidades de eficiencia

0;),,( >∂∂

=tFtLKFY ttt

))(,)(( ttt LtBKtAFY =

La representación del progreso técnico no incorporado

3 casos particulares:• A(t)=1 y g>0 progreso tecnológico

aumentador de la eficiencia del trabajo• B(t)=1 y g>0 progreso tecnológico

aumentador de la eficiencia del capital• A(t)=B(t) y la función de producción

presenta rendimientos constantes a escala progreso tecnológico es un factor

multiplicativo a la función de producción (aumenta la eficacia de ambos factores)

),()())(,)(( LKFtALtBKtAFY ttt ==

))(,)(( ttt LtBKtAFY =

BBg•

=

AAg•

=

La clasificación del progreso técnicoSe basa en sus efectos sobre la distribución de

la renta:

• El progreso tecnológico es neutral si I es constante con el tiempo

• El progreso tecnológico es ahorrador de capital si I disminuye con el tiempo

• El progreso tecnológico es ahorrador de trabajo si I aumenta con el tiempo

YwLYrK

wLrKI

//

==

• Progreso tecnológico neutral, ahorrador de capital o ahorrador de trabajo en el sentido de Hicks en función de que I sea constante, disminuya o aumente, bajo la condición de que la relación capital-trabajo se mantenga constante.

• Progreso tecnológico neutral, ahorrador de capital o ahorrador de trabajo en el sentido de Harrod en función de que I sea constante, disminuya o aumente, bajo la condición de que la relación capital-producto se mantenga constante.

• Progreso tecnológico neutral, ahorrador de capital o ahorrador de trabajo en el sentido de Solow en función de que I sea constante, disminuya o aumente, bajo la condición de que la relación trabajo-producto se mantenga constante.

YwLYrK

wLrKI

//

==

Relaciones entre los tipos de progreso técnico

• Neutral en el sentido de Hicks: A(t)=B(t) y la función de producción tiene rendimientos constantes a escala aumentador de la eficiencia de ambos factores

• Neutral en el sentido de Harrod: A(t)=1 y B(t) creciente en el tiempo aumentador de la eficiencia del trabajo

• Neutral en el sentido de Solow: B(t)=1 y A(t) creciente en el tiempo aumentador de la eficiencia del capital

Si la función de producción presenta elasticidad de sustitución de los factores unitaria (Cobb-Douglas), los tres conceptos de progreso tecnológico anteriores son equivalentes

))(,)(( ttt LtBKtAFY =

El progreso tecnológico incorporado

• Depende de la fecha de producción de las máquinas que forman el stock de capital (del grado de obsolescencia del stock de capital) dificultades para su representación

• Forma habitual de representarlo: media ponderada de funciones de producción en la que cada una de ellas está en función de la fecha de las máquinas existentes.

Yvt cantidad de producto que se obtiene con las máquinas de antigüedad v en el momento t

Kvt cantidad de máquinas en el momento t

Lvt número de trabajadores que operan dichas máquinas

La cantidad de producto total puede obtenerse como la suma de estas funciones, en el caso de que v sea continua:

),,( vLKFY vtvtvvt =

∫=t

vtt dvYY0

∫=t

vtt dvLL0