tema 2 intersecciones inversas mÉtodos topogrÁficos curso...
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Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 1
TEMA 2Intersecciones inversas
MÉTODOS TOPOGRÁFICOSCurso 2015/2016
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 2
Intersecciones angulares
• Basadas en la determinación tridimensional de UN SOLO punto
• Medidas exclusivamente angulares
• Según la naturaleza del punto a determinar, se clasifican en:
– INTERSECCIÓN DIRECTA. Punto desconocido no
estacionable
– INTERSECCIÓN INVERSA. Punto estación desconocido
– INTERSECIÓN MIXTA. Combinación de los dos anteriores o
con inclusión de distancias
• Según el número de soluciones, se clasifican en:
– INTERSECCIONES SIMPLES
– INTERSECCIONES MÚLTIPLES
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 3
Aplicaciones de la intersección inversa
• Estacionamientos Libres o “No forzados” en Replanteos:
– Obras lineales que requieren elevada precisión
– Construcción de grandes edificaciones
– Control dimensional:
Aeronáutica
Naval
Elementos industriales
• Basada en:
– Estacionar en un sitio que interese, aunque no se conozca
su posición
– Mediante una intersección inversa, a veces con medida de
distancias, determinar la ubicación de la estación
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 4
Aplicaciones de la intersección inversa
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 5
Aplicaciones de la intersección inversa
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 6
Aplicaciones de la intersección inversa
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 7
Aplicaciones de la intersección inversa
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 8
Aplicaciones de la intersección inversa
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 9
Fundamento de la intersección inversa
• Realizada desde puntos desconocidos
• Se observa angularmente a puntos conocidos
• También denominado Trisección inversa o Método de
Pothenot
• Muy utilizado en Astronomía o
Geodesia
• Observando a dos vértices,
por geometría → P se
encuentra en cualquier punto
del arco capaz de ángulo
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 10
Fundamento de la intersección inversa
• Observando a un tercer vértice C → arco capaz de
ángulo
• Intersección de los arcos capaces en P
• Existe un tercer arco
capaz, de ángulo
(+)
• Sólo serviría de
comprobación de los
resultados
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 11
Fundamento de la intersección inversa
• Analíticamente → Calcular los ángulos A y C
• Para obtener buenos resultados → Ángulos de
intersección > 25g
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 12
Fundamento de la intersección inversa
• Puede suceder que P se encuentre en la circunferencia
que pasa por A, B y C → caso sin solución
• Sólo habría un arco capaz
• Es denominada circunferencia peligrosa, cuando +y B fueran ángulos suplementarios:
ˆ 200gB
• Es improbable que suceda
• Pero la solución será menos precisa
y fiable cuando esta suma tienda a
200g
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 13
Resolución de la Intersección inversa
• Métodos gráficos:
– Cassini
– Punto auxiliar de
Collins
– De los arcos
capaces
• Métodos analíticos:
– Cassini
– Punto auxiliar de
Collins
– De los arcos
capaces
– Pothenot
– Mayer
– De las constantes
– Gauss…
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 14
Resolución de la Intersección inversa
• Si A o C son negativos → problema de difícil solución
ˆ sensen
ˆ sensen
PB a
A
PB b
C
ˆsen
sen
ˆsen
sen
a APB
b CPB
ˆ ˆˆsen sen sen sen
ˆsen sen sensen
a A b C C a
bA
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 15
Resolución de la Intersección inversa
• En P confluyen tres ángulos
• Para evitar el problema:
– Situar aproximadamente P
– Elegir y en el sentido de las agujas del reloj y en este orden
– Que no superen 200g
– El lado a se opondrá al ángulo
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 16
Método de las constantes
• Haciendo:
• Se tendrá:
• Por otra parte:
• Siendo:
sen
sen
aH
b
ˆˆsen senH A C
ˆˆ ˆ ˆ400gA C B K
ˆ ˆ ˆC K A
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 17
Método de las constantes
• Sustituyendo:
• Dividiendo por cos A:
• Sustituyendo los valores de K y H, se obtiene A y C:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen sen sen cos cos senH A K A K A K A
ˆ ˆ ˆ ˆtan sen cos tan
ˆ ˆ ˆsen tan cos
H A K K A
K A H K
ˆsenˆtanˆcos
KA
H K
ˆsen 400ˆ arctan
sen ˆcos 400sen
ˆ ˆ ˆ400
g
g
g
BA
aB
b
C A B
→
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 18
Solución analítica de Cassini
• Propuso dos variantes,
basadas en su método de
resolución gráfica:
– Desde B, se construye el
ángulo 100-
– Se traza perpendicular
en A
– Se obtiene d como
intersección
– Análogamente para e
– P es la intersección de la
recta d-e con la
perpendicular desde B
– Bd y Be: diámetros
– BAd, BPd, BPe y BCe:
triángulos rectángulos
– dPe: recta
– BP: perpendicular a dPe
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 19
Solución analítica de Cassini
• Analíticamente, basándose en los incrementos de
coordenadas:
• Sustituyendo:
sen cosD D
D A A D A AE E AD N N AD
100
sen sen 100 cos
cos cos 100 sen
D B g
A A
D B g B
A A A
D B g B
A A A
cos senB B
D A A D A AE E AD N N AD
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 20
Solución analítica de Cassini
• Como:
• Sustituyendo:
• Como:
• Volviendo a sustituir:
tan
ABAD
cos sen
tan tan
B B
A A
D A D A
AB ABE E N N
cos senB B
A B A A B AAB N N AB E E
tan tan
tan tan
B A B A
D A D A
B A B A
D A D A
N N N NE E E E
E E E EN N N N
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 21
Solución analítica de Cassini
• Análogamente se podría hacer con el punto E
• Con D y E se podría sacar el acimut entre B y P
• Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
• Siendo:
tan tanE PP D P B
D B
P D P B
E E E E
N N N N
5 2 4
5 1 3
P B
P B
E E X X X
N N X X X
1 21 2 4 2 1 3
5 22
1 3 2 43 4
tan tan
tan tan
B A B AB A B A
B C B CB C B C
N N E EX E E X N N
X X X X X XX
N N E E X X X XX E E X N N
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 22
Solución del punto auxiliar de Collins
• También apoyada en su resolución gráfica
• Por el teorema de los senos en AQC se calculan las
coordenadas de Q:
• Ahora, se tiene:
sen
sen sen sen
AQ AC ACAQ
sen
cos
Q
Q A A
Q
Q A A
E E AQ
N N AQ
tanB QB P B
Q Q Q
B Q
E E
N N
Q C
A A
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 23
Solución del punto auxiliar de Collins
• Deduciéndose:
• También:
• Por lo que puede resolverse otra intersección directa
en APC:
200
200
200
B B g
P Q
A B P A g
P P A P
C B P C g
P P C P
1̂
2̂
P C
A A
A P
C C
ˆsen2
ˆ sen sensen2
AP AC ACAP
sen
cos
P
P A A
P
P A A
E E AP
N N AP
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 24
Solución del punto auxiliar de Collins
• Resolución calculando dos
intersecciones directas: a Q
y a P
• Si la figura no corresponde
con la anterior, porque uno
(o los dos) ángulos son
obtusos:
– Los ángulos hacia Q
son los suplementarios
de los y
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 25
Propiedades de las tangentes a
los arcos capaces
• El ángulo que forman dos arcos capaces al cortarse es
el de sus tangentes en el punto en cuestión
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 26
Propiedades de las tangentes a
los arcos capaces
• Se debe conocer su comportamiento y construcción
• Suponiendo el problema resuelto → TT’ es la tangente
al arco capaz de ángulo
• El ángulo A es inscrito y
abarca el arco BP
• El ángulo en P es
semiinscrito y contempla
el mismo arco
• Los ángulos A y BPT’ son
iguales
• Ídem para el ángulo B1
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 27
Propiedades de las tangentes a
los arcos capaces
• La tangente TT’ cumple la condición de
antiparalelismo respecto de la base AB, por crearse los
ángulos A y B en posiciones opuestas con respecto al
par de rectas PA y PB
• Primera propiedad: La
tangente al arco capaz es
antiparalela a la base
• Sólo es necesario construir
uno de los ángulos A o B1 en
P, a partir de las visuales
correspondientes, dirigidas a
los vértices
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 28
• Si se traza una paralela a la
tangente en cualquier posición entre
P y los vértices, se formarán los
triángulos semejantes:
Propiedades de las tangentes a
los arcos capaces
• Segunda propiedad: Toda paralela a la tangente,
corta a las visuales trazadas desde P hacia los
vértices, bajo distancias inversamente
proporcionales a la longitud de las mismas
PAB PbaPb Pa
PA PB
PA Pa PB Pb K K K
Pa PbPA PB
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 29
Ángulo de intersección de dos tangentes
• Influye en gran medida en la precisión de las
observaciones
• Según la primera propiedad se trazan las tangentes
utilizando los ángulos B1 y B2
1 2 200gB B
ˆ 200gB
• Cuando la suma B++tiende hacia los 200g, el
ángulo de las tangentes
se hace más agudo
• Cuando es igual a 200g,
no existirá intersección
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 30
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
• Como consecuencia de los
errores accidentales, los arcos
capaces serán otros diferentes
• Existirán los arcos capaces de
ángulos y 2·σ
• Al desplazarse el arco capaz,
así lo hace su tangente en la
misma medida
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 31
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
• Si no hubiera error:
– P: punto intersección
– : ángulo del arco capaz
– TT’: tangente al arco capaz
• Debido a los errores σ en cada una de las visuales:
– P’: punto intersección
– - 2·σ: ángulo del arco capaz
– QQ’: tangente al arco capaz
• Desplazamiento de la tangente: d
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 32
• Contemplando el ángulo σ como error en una sola visual
• El incremento del ángulo será la mitad
• Según la teoría de errores, el desplazamiento total será:
• Prolongando la recta AP hasta a, se forma un triángulo Pba, semejante a PAB
• El desplazamiento sufrido por la tangente es Pm
• Si por b se traza una perpendicular a Pa → punto de intersección l
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
2d n
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 33
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
• Se crean dos triángulos rectángulos
y semejantes: Pma y bla
• Como ba es antiparalela de AB:
Pm Pa
bl ba
Pa blPm
ba
ba Pa
AB PB
Pa PB
ba AB *
PB blPm
AB
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 34
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
• Equiparando bl al arco de
desplazamiento que sufre la visual
PA por efecto del error angular σ :
bl PA PB PA
PmAB
PB PAL
AB
Pm L n
*
• Como el desplazamiento real es la componente cuadrática de los errores en las visuales:
2 2d n L
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 35
Comportamiento de las tangentes
debido a errores angulares
• Igual que el movimiento lateral que experimenta una visual en la intersección directa
• Tercera propiedad: La tangente, por efecto de los errores angulares accidentales, sufre un desplazamiento paralelo a sí misma idéntico al que corresponde a una visual de intersección directa, cuyo error angular fuese σ y su longitud obedeciese a la expresión:
cuya magnitud se denominará distancia ficticia de la tangente
PA PBL
AB
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 36
Error máximo en la intersección inversa
• Cualquier error en la medida de un ángulo →
desplazamiento paralelo de las tangentes
• Este desplazamiento es función directa de la distancia
ficticia de la tangente y del error angular cometido:
• Esta figura se asemeja a la forma en la intersección
directa
2a
PA PBPM
AB
2a
PB PCPN
BC
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 37
• El ángulo de intersección de las tangentes:
• Si no es el más agudo:
• Los semidiámetros conjugados:
Error máximo en la intersección inversa
ˆ 200gB
ˆ200g B
2
sen
2
sen
a
a
PA PBPV b
AB
PB PCPV c
BC
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 38
Error máximo planimétrico
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 39
Error máximo planimétrico
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 40
Error máximo planimétrico
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
• Se abate 100g uno de los
semidiámetros
ˆ 200 100 100g g gA
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 41
Error máximo planimétrico
• Los semidiámetros
conjugados b y c forman
un ángulo , intersección
de las visuales
• Semidiámetro mayor de
la elipse, coincide con el
radio de la circunferencia
mayor
• Se abate 100g uno de los
semidiámetros
ˆ 200 100 100g g gA
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 42
Error máximo planimétrico
• Determinación del semidiámetro mayor de la elipse:
– Determinación de O’T:
Aplicando el teorema del coseno
– Determinación de PO’:
Aplicando el teorema de la mediana
• Finalmente:
a PO O T
2 2QN dO T
2 2 2 cosd b c bc A
2 2 21 22dPO m b c d
12da m d
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 43
Error máximo de posición de un punto,
contemplando la correspondiente a los vértices
• Tres maneras de contemplar estos errores:
– Como error de dirección → Se alterará el σa del
aparato a través del σd:
siendo σs el error estimado de posición
planimétrica de los vértices. La distancia es la
promedio
2 2
e s
dD
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 44
Error máximo de posición de un punto,
contemplando la correspondiente a los vértices
– Como un error más a añadir en la componente
cuadrática del error angular. σs sería el
desplazamiento que tendría la visual por la
indeterminación del punto visado:
– Como errores a añadir al semieje mayor de la
elipse componiéndolos cuadráticamente:
2 2 2 2 2
a p l v d s cc
s
mr
AP
2 2 2 2ˆ ˆ ˆP A B CEN EN EN EN a 2 23 ˆ
P AEN EN aó
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 45
Consideraciones sobre la trisección inversa
• Basado únicamente en observaciones angulares, como la intersección directa
• A priori, gozará de las mismas propiedades que aquella, en cuanto a precisiones y relaciones angulares
• Se puede hacer un estudio comparativo con la intersección directa en las mismas condiciones
• Factores perturbadores:
– Los errores angulares
– Los ángulos de intersección
– Las distancias
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 46
Consideraciones sobre la trisección inversa
• La figura que mejor se adaptaba
para atenuarlos lo más posible
era la de la Y
• Los desplazamientos de las
tangentes son idénticos a los de
las visuales
• La situación presentada es la
misma
• La figura más adecuada: vértices
bajo la forma de un triángulo
equilátero y el punto P en su
centro geométrico
120º
120º
ˆ 60º
ˆ360º 60º
B
B
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 47
• Las precisiones obtenidas dependerán del tamaño que
tome el semieje mayor de la elipse
• Cuanto mayor resulte éste, menor será la precisión
• Tres supuestos atendiendo a la relación existente
entre la longitud de las bases y la de las visuales:
– Supuesto con bases más
cortas que las distancias de
observación: la intersección
directa es más precisa que
la inversa
Estudio comparativo en precisión entre
los dos tipos de intersección
2a
PA PBb
AB
2am L
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 48
Estudio comparativo en precisión entre
los dos tipos de intersección
– Supuesto con bases iguales a
las distancias de
observación: ambos métodos
tienen la misma precisión
– Supuesto con bases más
anchas que las distancias de
observación: la intersección
inversa es más precisa que la
directa
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 49
Solución altimétrica
• Una vez obtenidas las coordenadas planimétricas
• En campo se toman las cenitales, así como la altura
del instrumento y la de observación de los vértices
• Las distancias se deducen de las coordenadas de los
puntos
• Existen dos formas de resolver el cálculo altimétrico:
– Sistema de coordenadas locales (Tierra plana)
– Sistema de coordenadas en una proyección
conforme
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 50
Solución altimétrica: coordenadas locales
2 2A
P A P A PD E E N N
tan
AA PP P A erA
P
DH i m C
V
tan
BB PP P B erB
P
DH i m C
V
2 2B
P B P B PD E E N N
P
A
V A PH H H P
B
V B PH H H
tan
CC PP P C erC
P
DH i m C
V
2 2C
P C P C PD E E N N
C
C
V C PH H H
Estudio de tolerancias y ponderación
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 51
Solución altimétrica: coordenadas UTM
• Puesto que el sistema proyectivo es conforme, las
distancias sufren deformaciones y estas habrán de ser
tenidas en cuenta para el cálculo de la altitud
ARCO
UTMr
DD
K
cos 2
sen
ESTr
g V
EST
DD
V r
tan
AA PP P A erA
P
DH i m C
V
cosA A A
P gP P P A erH D V i m C
ARCO
EST
r P
r
D R HD
R
A
P A PH H H
tanARCOrA
P P A erA
P
DH i m C
V
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 52
Ponderación en la solución altimétrica
2
2AP
A
P rHD
2
2ˆAAPA
H HHP
2 2
A C P PA CP P H HH H
2 2 22 2 2
2 2 22 2 2
1 1 11 1 1
1 1 1 1 1 1
A B CA B C
P P PA B C
P P PA B C
P P PP P P A B CH H H P P P
P
A B CH H H P P P
H H HH H HD D D
H
D D D
2
2BP
B
P rHD
2
2ˆBBPB
H HHP
2
2CP
C
P rHD
2
2ˆCCPC
H HHP
2 2
A B P PA BP P H HH H
2 2
C B P PC BP P H HH H
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 53
Error máximo altimétrico
• Error altimétrico “a priori”, en una intersección
inversa simple:
• Error altimétrico “a posteriori”, en una intersección
inversa simple:
2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆA B CP A B CP P P
H H H HH H H
2
ˆprom P
i
i i P H
vv H H
m n
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 54
Intersección inversa múltiple
• La intersección inversa simple no ofrece comprobación
de los resultados
• La múltiple más sencilla: compuesta por cuatro
• El número de soluciones viene determinado por:
• Para 4 visuales → 4 soluciones, para 5 → 10
soluciones y para 6 → 20 soluciones
• Con cuatro visuales, si una es errónea no puede
conocerse cuál de ellas es
• Para asegurar el resultado, al menos cinco visuales
!con 3
! !
n
m
mC n
m n n
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MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 55
Intersección inversa múltiple
• Si son correctas, las soluciones no deben sobrepasar
los límites tolerables
• El estudio de tolerancias se hará comparando las dos
soluciones más extremas con sus respectivas
desviaciones típicas a posteriori
2 22 2
1 2 1 21 2
2 22 2
1 3 1 31 3
2 22 2
1 4 1 41 4
P P
P P
P P
EN EN
EN EN
EN EN
E E N N
E E N N
E E N N
2 2 2 2
11
2 2 2 2
22
2 2 2 2
33
2 2 2 2
44
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
P A B C
P A B D
P A C D
P B C D
EN EN EN EN
EN EN EN EN
EN EN EN EN
EN EN EN EN
a
a
a
a
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 56
Intersección inversa múltiple
• Si son válidas, las coordenadas definitivas se
obtendrán como media ponderada inversamente
proporcional al cuadrado de sus semiejes de error
2 23 31 4 1 42 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1P P
E NE NE E N Na a a a a a a a
E N
a a a a a a a a
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 29
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 57
Intersección inversa por MM.CC.
• Con cinco observaciones se tienen diez soluciones
• Se procede al cálculo por MM.CC.
• Válidos los razonamientos planteados para la
intersección directa
• Se parte unas coordenadas aproximadas para P,
obtenidas a través de una de las intersecciones
• Resolución mediante relaciones de observación de
dirección
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 58
Intersección inversa por MM.CC.
• Forma general de la relación de observación:
• O:
• Fundamento de los MM.CC.: Encontrar el residuo
• Resolución a través de los acimuts:
– Aproximados, si se utilizan las coordenadas
calculadas a priori del punto
– Observados, si se utilizan las observaciones de
campo
Valor aproximado + Corrección = Valor observado + Residuo
Residuo = Corrección + Valor calculado - Valor observado
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 30
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 59
Intersección inversa por MM.CC.
• Forma de la ecuación:
• Nº de ecuaciones de observación > Nº de incógnitas
• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no
los acimuts
• Relación entre acimuts y coordenadas: Tangente
Corrección cal obsV
tan A A PP
A P
E E
N N
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 60
Intersección inversa por MM.CC.
• Es no lineal: no puede formar un sistema de
ecuaciones
• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,
despreciando términos de segundo orden
• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas
• Forma general:
• Particularizando:
uy
v
2
' ''
u v v uy
v
2 2cos
AA P A P A P A PP
A
P A P
E E N N N N E E
N N
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 31
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 61
Intersección inversa por MM.CC.
• Operando:
• Teniendo en cuenta:
• Se tiene, en radianes, la expresión linealizada:
2 2
2
2
cos
cos
AA A P P A P A A P P A PP
A
P A P
AA PP A A P P A P A A P P A P
A P
E N N E N N N E E N E E
N N
E N N E N N N E E N E EN N
2 2 2
cos
cos
A A
A P P P
A
A P P
N N N D
N N D
2
2 2
cos1A
P
A PD N N
2 2 2 2
A A A AA P P P PP A A P P
N E N EE N E N
D D D D
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 62
Intersección inversa por MM.CC.
• La expresión en segundos centesimales:
• Volviendo a la fórmula general:
• cal se obtiene de las coordenadas aproximadas de P y
las correspondientes del vértice considerado fijo
• Para la determinación del obs, se debe utilizar la
desorientación de P
2
ccA A A A A
P P A P A P P P P
rN E E N N E E N
D
A A A
P P cal P obsV
A A
P obs P PL
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 32
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 63
Intersección inversa por MM.CC.
• Como las coordenadas de P son aproximadas, no es
posible conocer su desorientación
• Se recurre a una aproximada, que puede calcularse
como promedio de todas las que puedan obtenerse:
• Sumando a esta desorientación las lecturas de campo
se obtienen unos acimuts de observación falsos
A
B
A A
P P cal P
B B
P P cal P P P P P
L
L
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 64
Intersección inversa por MM.CC.
• Sustituyendo en la fórmula:
• Particularizando sobre la intersección inversa, donde
las coordenadas del punto visado no sufren alteración:
A A A
P P cal P P PV L
2
ccA A A A A A
P A P A P P P P P cal P P P
rV N E E N N E E N L
D
2
ccA A A A
P P P P P cal P P P
rV N E E N L
D
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 33
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 65
Intersección inversa por MM.CC.
• Sistema de ecuaciones formado:
• Tres incógnitas y tantas ecuaciones como visuales
• Resolución de este sistema:
– Por notaciones de Gauss
– Matricialmente
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
n n n n n
a E b N c k v
a E b N c k v
a E b N c k v
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 66
Resolución por notaciones de Gauss
• La suma de los cuadrados de los residuos debe ser
mínima. Derivando parcialmente, el segundo término
será cero
• Se obtiene el sistema de ecuaciones normales:
0
0
0
aa E ab N ac ak
ba E bb N bc bk
ca E cb N cc ck
2
1 1 1
2
1 1 1
2
1 1 1
[ ]
[ ]
[ ]
n n n
i i i i i
n n n
i i i i i
n n n
i i i i i
aa a ak a k ab ba a b
bb b bk b k ac ca a c
cc c ck c k bc cb b c
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(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 34
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 67
Resolución matricial
• El sistema de ecuaciones es de la forma:
– A: matriz de los coeficientes
– x: matriz de las incógnitas
– L: matriz de los términos independientes
– V: matriz de los residuos
• La suma del cuadrado de los residuos tiene que ser
mínima:
• Es un escalar → sus sumandos también → un escalar
es igual a su traspuesto:
Ax L V
TT T T T T T T T T TV V Ax L Ax L x A L Ax L x A Ax x A L L Ax L L
2 2T T T T T T T T Tx A Ax x A L L L x Nx x A L L L
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 68
Resolución matricial
• Como ø tiene que ser mínimo:
• Propiedades de N-1:
– Simétrica
– También denominada Q: matriz de varianzas-covarianzas
– Diagonal principal → Varianzas de las incógnitas
1
1
2 2 0T
T
T
Nx A Lx
Nx A L
x N A L
x N t
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 35
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 69
Resolución matricial
• Precisión de las coordenadas del punto estación:
• Siendo, la desviación estándar de la serie:
• Donde:
– n: número de incógnitas
– m: número de ecuaciones
– m-n: redundancia o grados de libertad
1 1
1,1 2,2ˆ ˆ ˆ ˆE NN y N
22ˆ ˆ
TiVV V
m n m n
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 70
Resolución matricial
• Elipse de error del punto: semieje mayor, menor y
orientación:
22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
2 2
1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ
2
1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ
2
2 ˆ1arctan
2 ˆ ˆ
E N E N EN
E N E N EN
EN
E N
a
b
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 36
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 71
Altimetría mediante MM.CC.
• Coordenadas planimétricas ya resueltas → se obtienen
las distancias
• Forma general de la relación de observación:
o o
V V V
E E i V E E iH H H H H
1
2
3
oA
A P P
oB
B P P
oC
C P P
on
n P P n
H H H
H H H
H H H
H H H
• Se dispondrán de tantas
ecuaciones como
observaciones de desnivel se
hallan realizado
• Sistema de n ecuaciones con
una incógnita
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 72
Altimetría mediante MM.CC.
• Cada ecuación tiene una precisión distinta
• Conveniente ponderar las observaciones: inversamente
proporcional a la desviación típica “a priori” de cada desnivel
• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:
– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal principal se
situarán la inversa de la varianza de cada observación, el
resto de la matriz será nula
– Ponderar las ecuaciones de desnivel inversamente
proporcional a la desviación típica de cada desnivel
• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados, con la
ventaja del segundo sobre el primero de no tener que manejar
tantas matrices
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(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 37
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 73
Altimetría mediante MM.CC.
Formación de la matriz de pesos
• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
ad m mm
A x L V
21 1
0
tN
T T
mmm
A P A x A P L
2
1
1m mm
x N t
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 74
Altimetría mediante MM.CC.
Formación de la matriz de pesos
1
1
1
1
P
ad
H
A
2
2
2
2
2
1
1 0 0 0
10 0 0
10 0 0
0
10 0 0 0
AP
BP
CP
nP
H
H
H
H
m
P P
m
x H
i
A
P A
B
P B
C
P C
n
P n
m
t
H H
H H
L H H
H H
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(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 38
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 75
Altimetría mediante MM.CC.
Ponderación de las ecuaciones de desnivel
• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
1
1 1 1 1
1
1
m ad adm
A A P
L L P A x L V
V V P
1 1 1 1 0
0
T T
T T
N t
A A x A L
A P P A x A P P L
2
1
1m mm
x N t
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 76
Altimetría mediante MM.CC.
Ponderación de las ecuaciones de desnivel
1
1
1
1
1
1
AP
BP
CP
nP
P
H
H
H
H
m
H
A P
m
x H
1
1
1
1
1
AP
BP
CP
nP
i
A
P A
H
B
P B
H
C
P C
H
n
P n
H
ad
t
H H
H H
LH H
H H
1
2
3
1
1
1
1
AP
BP
CP
nP
oA
A P P
H
oB
B P P
H
oC
C P P
H
on
n P P n
H
H H H
H H H
H H H
H H H
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 39
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 77
Altimetría mediante MM.CC.
Análisis de los residuos
• Residuos ponderados
(adimensionales). Desviación
típica “a priori” como
referencia
• Residuos peso unidad, en
metros y sin ningún patrón
de referencia
• Desviación típica media “a
posteriori”
• Desviación típica “a
posteriori” de los parámetros
1 1 1
1 m ad adm
A x L V
1 1ˆT
ad
V V
m n
1ˆiH ii
admm
N
1
1
1 1 1
1
ji
j j ji i i
ji
H
mmH H H
ad ad Hm
V
A x L V V
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 78
Problema de Hansen
• Aplicación: cuando sólo son visibles dos vértices de coordenadas conocidas desde el punto de observación
• No puede aplicarse la resolución de la trisección inversa, por necesitarse al menos tres
• Dos situaciones diferentes que se resuelven del mismo modo:
– Recurrir a otro punto auxiliar visible desde el anterior
– Conocer los datos de una base a partir de dos vértices:
Distancia
Coordenadas de los extremos
Orientación
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 40
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 79
• También llamado de reducción o ampliación de bases
• La resolución de Hansen no presenta comprobación de
los resultados
• Las observaciones se realizan desde los puntos desconocidos, teniendo entonces los valores de los ángulos 1, 2, 3 y 4
• Los ángulos que corresponden a 5 y 6 se pueden obtener de sus triángulos respectivos
• Los ángulos A y C son desconocidos
Problema de Hansen
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 80
Problema de Hansen
• Ordenando:
ˆsen
ˆ ˆ ˆsen1 sen sen1
ˆ ˆsen sen6
ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen6 sen1 sen3
ˆ ˆ ˆsen sen6 sen2
ˆ ˆ ˆˆ ˆsen2sen5 sen1 sen3 sen5
ˆ ˆ ˆ ˆsen sen6 sen2 sen4
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆsen sen4 sen1 sen3 sen5 sen
AC AM AC CAM
C
AM MN AC CMN
MN NC AC CNC
NC AC AC CAC
A A
ˆˆ ˆ ˆsen sen1 sen3 sen5
ˆ ˆ ˆˆsen sen2 sen4 sen6
C
A
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 41
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 81
Problema de Hansen
• Teniendo en cuenta:
• Resulta:
• y ya que el ángulo en el vértice intersección de las
visuales MC y NA es el mismo, se tiene:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 200 2 3 4 sen5 sen 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 200 1 2 3 sen6 sen 1 2 3
g
g
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen1 sen3 sen 2 3 4ˆsen
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆsen sen2 sen4 sen 1 2 3
C
A
ˆ ˆ ˆˆ 2 3A C
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 82
Problema de Hansen
• Recurriendo al método de las constantes de la
intersección inversa:
• Conociendo con ello toda la figura:
• Por tanto:
ˆsenˆˆ 6ˆsen1
M C
A A
AC CA AM
sen
cos
M
M A A
M
M A A
E E AM
N N AM
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen1 sen3 sen 2 3 4ˆsen ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ tansen2 sen4 sen 1 2 3
ˆcosˆ ˆˆ 2 3
H KA C K A
H K
K
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 42
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 83
Problema de Hansen: Solución analítica por
aplicaciones homotéticas
• La figura de campo es semejante a
otra, mediando entre ellas una
simple relación de escala donde
puede darse a la distancia MN la
magnitud que se desee, por
ejemplo, el valor 1
• Las relaciones angulares se
mantienen en las dos:
ˆ ˆsen3 sen3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen6sen 1 2 3 sen 1 2 3
ˆ ˆˆ ˆsen 3 4 sen 3 4
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ sen5sen 3 4 sen 2 3 4 sen 2 3 4
AM MN MNAM
MNCM MNCM
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 84
Problema de Hansen: Solución analítica por
aplicaciones homotéticas
• y entonces, por el teorema del coseno:
• También, por el teorema del seno:
de donde se deduce el valor de C
• Además:
• Con lo que el problema queda resuelto
2 2 ˆ2 cos1AC AM CM AM CM
ˆsen1ˆsenˆ ˆsen sen1
AM AC AMC
ACC
ˆ ˆ ˆˆ 2 3A C
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 43
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 85
Problema de Hansen: Solución analítica por
aplicaciones homotéticas
• Puede presentarse una resolución
con otra geometría que resulta
muy difícil de determinar por el
método de las constantes
• Aplicando las relaciones
homotéticas:
ˆsen4
ˆ ˆ ˆˆ ˆsen4 sen 1 4 sen 1 4
ˆsen3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen 2 3 sen 2 3
AN MN MNAN
CN MN MNCN
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 86
Problema de Hansen: Solución analítica por
aplicaciones homotéticas
• y entonces:
• deduciendo el valor de A, que será:
• Del mismo modo, los otros dos ángulos:
2 2 ˆ ˆ2 cos 1 2AC AN CN AN CN
ˆ ˆsen 1 2
ˆsenˆ ˆ ˆsen sen 1 2
ANAN ACC
ACC
ˆ ˆ ˆˆ 200 1 2gA C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 200 1 4 6 200 2 3g gA C
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 44
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 87
Altimetría en el problema de Hansen
• Coordenadas planimétricas ya
resueltas → se obtienen las
distancias
• Tres soluciones para cada uno de
los puntos
• La solución será idéntica a la
tratada en la intersección inversa
• Diferencia: existen visuales entre
los puntos M y N cuyas cotas son
desconocidas
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 88
Altimetría en el problema de Hansen
• Para aprovechar tales visuales → resolución por
MM.CC.
• Forma general de la relación de observación:
o o
V V V
E E i V E E iH H H H H
1
2
3
4
5
6
oA
A M M
oC
C M M
oN
N M M
oA
A N N
oC
C N N
oM
M N N
H H H
H H H
H H H
H H H
H H H
H H H
• Se dispondrán de tantas
ecuaciones como observaciones
de desnivel se hayan realizado:
en el caso del problema de
Hansen es de seis
• Sistema de 6 ecuaciones con 2
incógnitas
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 45
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 89
Altimetría en el problema de Hansen
• Cada ecuación tiene una precisión distinta
• Conveniente ponderar las observaciones: inversamente
proporcional a la desviación típica “a priori” de cada desnivel
• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:
– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal principal se
situarán la varianza de cada observación, el resto de la
matriz será nula
– Ponderar las ecuaciones de desnivel inversamente
proporcional a la desviación típica de cada desnivel
• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados, con la
ventaja del segundo sobre el primero de no tener que manejar
tantas matrices
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 90
Altimetría en el problema de Hansen
Formación de la matriz de pesos
• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
ad m mm
A x L V
21 1
0
tN
T T
mmm
A P A x A P L
2
1
1m mm
x N t
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 46
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 91
Altimetría en el problema de Hansen
Formación de la matriz de pesos
1 0
1 0
1 1
0 1
0 1
1 1
M N
ad
H H
A
2
2
2
2
2
2
2
1
1 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
AM
CM
NM
AN
CN
MN
H
H
H
H
H
H
m
P
M
N
m
Hx
H
i
A
M A
C
M C
N
M
A
N A
C
N C
M
N
m
t
H H
H H
HL
H H
H H
H
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 92
Altimetría en el problema de Hansen
Ponderación de las ecuaciones de desnivel
• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas
• Sistema de Ecuaciones Normales
• Solución del Sistema
1
1 1 1 1
1
1
m ad adm
A A P
L L P A x L V
V V P
1 1 1 1 0
0
T T
T T
N t
A A x A L
A P P A x A P P L
2
1
1m mm
x N t
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 47
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 93
Altimetría en el problema de Hansen
Ponderación de las ecuaciones de desnivel
1
10
10
1 1
10
10
1 1
AM
CM
N NM M
AN
CN
M MN N
M N
H
H
H H
z
H
H H
m
H H
A
M
N
m
Hx
H
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
AM
AM
AM
AN
CN
MN
oA
A M M
H
oC
C M M
H
oN
N M M
H
oA
A N N
H
oC
C N N
H
oM
M N N
H
H H H
H H H
H H H
H H H
H H H
H H H
1
1
1
1
1
1
AM
CM
NM
AN
CN
MN
i
A
M A
H
C
M C
H
N
M
H
A
N A
H
C
N C
H
M
N
H
ad
t
H H
H H
H
L
H H
H H
H
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 94
Altimetría en el problema de Hansen
Análisis de los residuos
• Residuos ponderados
(adimensionales). Desviación
típica “a priori” como
referencia
• Residuos peso unidad, en
metros y sin ningún patrón
de referencia
• Desviación típica media “a
posteriori”
• Desviación típica “a
posteriori” de los parámetros
1 1 1
1 m ad adm
A x L V
1 1ˆT
ad
V V
m n
1ˆiH ii
admm
N
1
1
1 1 1
1
ji
j j ji i i
ji
H
mmH H H
ad ad Hm
V
A x L V V
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 48
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 95
Cálculo del factor de escala
• Dos formas de dar factor de escala:
– Con dos puntos fijos
– Distancias medidas con MED
• Podrían ser diferentes
• Necesario introducir una variable más en el sistema que controle y permita calcular la diferencia entre ambos factores
• Ejemplos:
– Que los vértices de la base no tengan la precisión suficiente
– Que el distanciómetro puede estar mal calibrado e introduzca errores sistemáticos en la medida de distancias
• Da idea de la bondad de la escala de la red
• Para introducir la variable factor de escala en las ecuaciones del sistema, se va a suponer que la distancia observada posee un grado de incertidumbre
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 96
Cálculo del factor de escala
• La ecuación de distancia tendría la forma:
• Donde representa la variable factor de escala
• Se puede calcular a priori para una sola dirección:
• El factor de escala vendrá expresado como la media de todos los
referentes a cada medida
• Su introducción en el sistema de ecuaciones reduce los grados
de libertad
• Sin embargo, los resultados finales de las precisiones mejoran
con su utilización
1P
A P A P P A P cal obs obsV E E E N N N D D DD
cal obs
obs
D D
D
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 49
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 97
Cálculo del factor de escala
• Ejemplo: Intersección múltiple CON DISTANCIAS en la que se
han realizado las observaciones de dirección y de distancia que
aparecen en el siguiente gráfico:
– La distancia entre los puntos
A y B errónea, por ejemplo,
0,10 m mayor que la que
realmente existe.
– El distanciómetro utilizado
para la medida de distancias
está mal calibrado y adolece
de un error de 100 ppm
AB
V
A
B’
V’
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 98
Cálculo del factor de escala
• La distancia entre los puntos A y B es 0,10 m mayor que la que
realmente existe
AB
V
A
B’
V’
– En el caso de medir sólo
direcciones:
El punto V pasaría a V’
Se obtendrían residuos
admisibles
La figura resultante será
semejante a la anterior
– En el caso de medir direcciones
y distancias:
Conflicto entre la escala
definida por los puntos fijos y la
definida por el distanciómetro
utilizado
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 50
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 99
– En cualquier ajuste topográfico
donde exista más de un punto
fijo (exista transmisión de
escala) y se realicen medidas de
distancia, se deberá plantear el
factor de escala como incógnita
– Con ello, se podrá establecer la
proporción existente entre la
escala definida entre puntos
fijos y la definida por el
distanciómetro
Cálculo del factor de escala
• En el caso de que el distanciómetro estuviera mal calibrado y en
cada 1000 m midiera 1000,10 m, equivaldría a tener un factor de
escala entre la establecida por los puntos fijos y el distanciómetro
de 100 ppm
AB
V
A
B’
V’
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 100
Cálculo del factor de escala
• Utilización de ecuaciones de observación de distancia
conjuntamente con las de dirección:
– Se deberán expresar en las mismas unidades ambas
ecuaciones y deberán tener la misma representatividad en el
ajuste, a igualdad de precisión
– Para conseguir estos dos requisitos se introduce la
ponderación como criterio homogeneizador
• Residuos en segundos y metros, respectivamente
2
ccP P P P P
A P A P A A A A AcalP
A
rN E E N LH V
D
1 P P P P P P
A P A P A A A AP obs cal obsA
E E N N D D D VD
Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 51
MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 101
Consecuencia de utilizar sistemas no
consistentes