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Tema 2

Movimiento Ondulatorio

2.1 Movimiento ondulatorio: ondas. 2.2 Magnitudes caranterísticas de las ondas. 2.3 Ecuación de ondas armónicas. 2.4 Fenómenos ondulatorios.

2.1 Movimiento ondulatorio: ondas

Es bien conocido el efecto de arrojar una piedra en un estanque; se produce una

alteración circular en el agua que se va propagando por toda la superficie. Un fenómeno similar

ocurre cuando se agita una cuerda por un extremo y se transmite el movimiento a lo largo de la

misma. Ambos fenómenos tienen una característica común; se transmite energía y cantidad de

movimiento sin que haya una transmisión de masa. Una hoja en el agua se moverá arriba y

abajo con las ondas pero no se desplazará lateralmente, por lo tanto el agua bajo la hoja

tampoco lo hará. En el caso de la cuerda es más sencillo, los puntos de la misma se mueven

arriba y abajo pero tampoco se desplazan lateralmente. Otros ejemplos de ondas son el sonido

a través del aire, las fichas de un dominó cayendo en cadena, la luz, las señales que emiten las

emisoras de radio, etc.

Las ondas, al igual que las partículas, pueden transmitir energía pero hay dos

características fundamentales que diferencian a unas de otras:

1. las ondas no transportan materia y las partículas sí;

2. las partículas están perfectamente localizadas y las ondas no. Una onda está

completamente deslocalizada, se encuentra a lo largo de todo el espacio pero no en un

punto concreto.

El origen de las ondas son movimientos oscilatorios que se producen en un punto

concreto del medio, denominado foco, y que se transmiten al espacio que lo rodea. Para ello

es necesario que el medio sea capaz de propagar la perturbación ya que, en el vacío por

ejemplo, no se puede transmitir el sonido.

Tema 2: Movimiento ondulatorio Física 2º Bachillerato

2.1.1 Fenómenos ondulatorios. Clasificación.

Existen diferentes formas de clasificar los fenómenos ondulatorios; se pueden clasificar

en función a su naturaleza, forma de propagarse, lugares por los que se propaga, dirección de

vibración, etc.

A) Clasificación por tipo de fenómeno ondulatorio.

Se pueden diferenciar dos tipos de fenómenos ondulatorios:

• los pulsos son perturbaciones que pasan por cada punto una sola vez;

• las ondas son perturbaciones que suceden de forma permanente y están

distribuidas por todo el espacio. Idealmente una onda va desde −∞ hasta +∞.

OndaPulso

Figura 2.1. Comparación entre pulsos y ondas

B) Clasificación por la naturaleza de la perturbación.

Si se atiende a la naturaleza de la perturbación se distinguen:

• ondas mecánicas, son las que necesitan de un medio material para

propagarse como por ejemplo el sonido;

• ondas electromagnéticas, son las que no necesitan de un medio para

propagarse como la luz o las ondas de radio.

Las ondas mecánicas se propagan porque las partículas que forman un medio están

ligadas entre sí mediante interacciones de algún tipo de manera que una deformación o una

compresión en un punto se transmite al siguiente y así sucesivamente. Las ondas

electromagnéticas se propagan debido a la relación existente entre el campo magnético y el

campo eléctrico. En el siguiente tema se verá cómo un campo eléctrico variable genera un

campo magnético también variable y viceversa, de modo que los campos eléctricos y

magnéticos se van generando mutuamente propagandose por el medio.

C) Clasificación por la dirección de vibración.

Por la dirección de vibración se tienen:

• ondas transversales; son aquellas en las que la dirección de vibración es

perpendicular a la dirección de propagación, como en una cuerda, las olas o la

luz;

Tema 2-2

Colegio Sagrado Corazón

• ondas longitudinales; son las que ambas direcciones son paralelas, como en

un muelle o el sonido.

Onda

Onda transversal

Figura 2.2. Comparación entre ondas transversales y longitudinales

Onda longitudinal

D) Clasificación por el frente de onda.

Se define el frente de onda como el lugar geométrico de los puntos adyacentes del

espacio que están en el mismo estado de vibración. Por ejemplo, en el caso de la piedra

arrojada en el estanque cada una de las crestas de las circunferencias que se forman es un

frente de onda. Se define el rayo como un vector con la dirección perpendicular al frente de

onda y el sentido de propagación de la perturbación. El rayo, por lo tanto, indica la dirección y

sentido de propagación de la perturbación. Atendiendo al frente de onda las ondas también se

pueden clasificar en:

− ondas esféricas; en las que el frente de onda es una esfera;

− ondas planas; aquellas cuyo frente de onda es plano.

A largas distancias las ondas esféricas se aproximan a ondas planas, tal y como ocurre

con el Sol, cuyos frentes de onda se pueden considerar planos en su llegada a la Tierra.

Figura 2.3. Frentes de onda y rayos

Tema 2-3


Cuando las ondas se propagan por un medio real van perdiendo energía de manera de

manera que el alcance de las ondas es es limitado. Las ondas se debilitan debido a dos efectos

diferentes: la absorción y la atenuación. El medio absorbe parte de la energía de la onda

debido al rozamiento de las partículas en las ondas mecánicas y a la dispersión de los campos

electromanéticos, de modo que la energía de la perturbación va disminuyendo; este fenómeno

se conoce como absorción. Por otro lado, en frentes de onda esféricos la energía de la onda se

debe repartir en superficies cada vez mayores por lo que a cada punto le corresponde cada vez

una energía menor, este efecto se denomina atenuación.

2.1.2 Periodicidad espacial y temporal de las ondas

Un fenómeno es periódico cuando ocurre de modo repetitivo, como por ejemplo las

estaciones del año o las farolas de una calle. Sin embargo entre los dos ejemplos anteriores

existe una diferencia fundamental; las estaciones se repiten a lo largo del tiempo y las farolas lo

hacen a lo largo del espacio. Se puede diferenciar, por lo tanto, entre periodicidad temporal y

periodicidad espacial.

Las ondas presentan periodicidad espacial y temporal. En el ejemplo de la cuerda que

es agitada por uno de sus extremos:

- un punto cualquiera describe siempre el mismo movimiento arriba y abajo a lo largo

del tiempo (x es fijo y t varía), lo que supone una periodicidad temporal; el tiempo en

describir ese movimiento ha sido definido como periodo T;

- si en un momento se le hace una fotografía a toda la cuerda (se fija t y varía x) se

puede apreciar cómo toda la cuerda tiene una forma que es la repetición del mismo

perfil (~). La longitud del perfil que se repite se define como la longitud de onda λ.

2.2 Magnitudes características de las ondas

A continuación se enumeran las principales magnitudes que se pueden definir en las

ondas transversales.

− Elongación (y(x,t)); es el valor de separación de un punto de la onda respecto de la

posición de equilibrio. Se mide en m.

− Amplitud (A); es el valor máximo de la elongación, la máxima separación desde la

posición de equilibrio. El valor de la elongación siempre estará comprendido entre −A

y +A. Su unidad es el m.

Tema 2-4


− Periodo (T); es el tiempo que tarda un punto de la onda en realizar una oscilación

completa. Como es un tiempo su unidad es el segundo.

− Frecuencia lineal (f o ν); representa el número de veces que un punto realiza una

oscilación completa en la unidad de tiempo. La frecuencia lineal se mide en hercios

Hz.

− Frecuencia angular o pulsación ω que representa los radianes que se barren en un

segundo. Se mide en rad/s. La relación con la frecuencia lineal es:

ω = 2π f

Periodo y frecuencia se relacionan según las expresiones siguientes

T1f

T2πω ==

− Longitud de onda (λ); es la distancia que hay entre dos puntos que están en el

mismo estado de vibración. Esto significa que tanto las elongaciones como los

sentidos de vibración han de ser los mismos. Se mide en m.

− Número de onda (k) representa el número de radianes contenidos en un metro y se

miden en rad/m. El número de onda se relaciona con la longitud de onda mediante la

expresión:

λ2πk =

− Fase inicial (ϕ0) representa el estado inicial de oscilación del origen. Se mide en rad.

y

x

y

λ

A

Figura 2.4. Representación de algunas magnitudes características de las ondas

Tema 2-5


− Velocidad de propagación (vp); es la velocidad a la que la perturbación viaja por el

medio. Se puede calcular como el cociente entre la distancia recorrida (λ) entre el

tiempo en recorrerla (T). Se mide en m/s.

kω

Tλvp ==

La velocidad de propagación depende de las características del medio. La tabla

siguiente muestra, a modo de ejemplo, la expresión de la velocidad de propagación de algunas

ondas.

Tipo de onda Velocidad de propagación

Onda propagándose por una cuerda λ

Tvp = T es la tensión y λ es la densidad lineal de la cuerda (kg/m).

Onda longitudinal en un sólido ρ

Evp = E es el módulo de elasticidad y ρ es la densidad del medio.

Onda electromagnética με1vp = ε es la permitividad y μ es la

permeabilidad magnética del medio.

2.3 Ecuación de ondas armónicas

Cuando una perturbación se propaga por un medio lo hace con una determinada

velocidad de propagación. Esto significa que lo que ocurrirá en un punto alejado una distancia

‘x’ del origen de coordenadas es exactamente lo mismo que ocurre en el origen pero retrasado

el tiempo ‘tR’ necesario para que la perturbación se propague hasta dicho punto. Un ejemplo

cotidiano es el eco; el sonido que se hace se oye igual transcurrido un determinado tiempo, que

es el necesario para que la perturbación llegue hasta el obstáculo y retorne. Cuando ocurre un

relámpago simultáneamente se producen la luz y el sonido; sin embargo, se ve prácticamente

de modo instantáneo (vluz=300.000.000 m/s), pero se oye transcurrido el tiempo apreciable

(vsonido=340m/s), el necesario para que la onda sonora se propague desde el lugar donde se

produjo el rayo.

Teniendo en cuenta lo anterior, si la expresión que representa la elongación en el

origen es:

( ) ( )t ωsenA t0,y =

la elongación del punto x se puede expresar como:

( ) ( )( )Rtt ωsenA tx,y −=

es decir exactamente la misma expresión retardada un tiempo tR.

Tema 2-6


Figura 2.5. Propagación de un pulso con tR=7s

Como la onda se propaga con velocidad constante ‘v’:

vxt

txv RR

=⇒=

Sustituyendo y operando se obtiene:

( )

( ) ( )kx-ωt senA tx,y

vxω-ωt senA tx,y

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Si se incluye la fase inicial, la expresión resultante es la más general posible y recibe el

nombre de ecuación de ondas armónicas.

( )0kxωtAsent)y(x, ϕ+−=

Consideraciones:

1. Esta ecuación permite calcular el valor de la elongación en cualquier punto del

medio (ya que depende de x) y en cualquier instante (ya que depende de t).

2. El signo negativo indica el sentido de la propagación de la onda, de izquierda a

derecha. Una onda propagándose en el sentido contrario tendría velocidad

negativa y el signo que aparecería en la ecuación de ondas sería positivo.

3. La periodicidad temporal está contenida en el término ω (que depende de T) y la

periodicidad espacial en k (que depende de λ).

Tema 2-7


4. Un punto cualquiera del medio (x0) oscila con una ecuación:

( )000 kxωtAsent),y(x ϕ+−=

teniendo en cuenta que el término [β0=–kx0 + ϕ0] es constante, se puede expresar:

( )0βωtAseny(t) +=

que es la expresión típica de un MAS. Se puede comprobar como la onda en

realidad consiste en que un oscilador armónico propaga la perturbación a los

puntos que lo rodean, convirtiéndose éstos a su vez en otros osciladores

armónicos.

5. Un punto cualquiera del medio oscila con una velocidad:

( ) ( )0kxωtcos ωA dt

t)dy(x,tx,v ϕ+−==

que es la velocidad de vibración del punto, que nada tiene que ver con la

velocidad de propagación de la onda.

6. De la misma manera que el MAS se puede describir indistintamente con la función

seno o coseno, sin más que cambiar la fase inicial, la ecuación de onda se puede

expresar también mediante cualquiera de esas dos funciones trigonométricas.

2.4 Fenómenos ondulatorios.

Se han definido las ondas como la propagación de una perturbación a través de un

medio. En lo sucesivo se va a suponer que las ondas son transversales aunque la mayoría de

estos fenómenos pueden ocurrir también a las ondas longitudinales. La reflexión, la

refracción y la difracción ocurren cuando la onda interacciona con la materia; las

interferencias y las ondas estacionarias ocurren cuando las ondas interaccionan entre sí, y

la polarización es una característica exclusiva de las ondas transversales.

2.4.1 Reflexión y refracción

Ambos fenómenos ocurren cuando una onda llega a la superficie de separación de dos

medios. La refracción consiste en que la onda atraviesa dicha superficie y pasa al otro medio,

mientras que en la reflexión la onda ‘rebota’ en la superficie y no la atraviesa, sino que vuelve

propagándose por el mismo medio que llegó.

Tema 2-8


Se define la normal como la línea perpendicular a la superficie en el punto de

incidencia. El ángulo de incidencia (ϕi) es el que forma el rayo incidente con la normal, y el

ángulo de reflexión (refracción) (ϕr) es el que forman el rayo reflejado (refractado) con la

normal. Estos ángulos se expresan siempre en grados.

Figura 2.6. Fenómenos de la reflexión a) y la refracción b)

El estudio experimental de ambos fenómenos ondulatorios permite establecer las

siguientes leyes:

1. Leyes de la reflexión:

a) el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de reflexión

ϕi=ϕr

b) el rayo incidente, el reflejado y la normal están en el mismo plano.

2. Leyes de la refracción:

a) el ángulo de incidencia y el de refracción se relacionan con las

velocidades de propagación de la siguiente manera:

r

i

r

i

vv

sensen

=ϕϕ

b) el rayo incidente, el refractado y la normal están en el mismo plano.

Según la primera ley de la refracción y teniendo en cuenta que la función seno es

creciente entre 0º y 90º, para una onda que pase de un medio a otro donde la velocidad de

propagación sea menor (aire→agua, por ejemplo) el rayo refractado se acerca a la normal; en

cambio si la velocidad de propagación es mayor (agua→aire) el rayo se aleja de la normal.

Tema 2-9


En el fenómeno de la reflexión las ondas incidente y reflejada se propagan por el

mismo medio y, como consecuencia, la frecuencia y la longitud de onda de ambas es la misma.

En la refracción la frecuencia permanece constante y, como la velocidad varía al cambiar de

medio, debe cambiar la longitud de onda. Observando la expresión de la velocidad de

propagación de una onda se puede ver con facilidad que, cuando una onda pasa de un medio

a otro en donde la velocidad de propagación sea mayor, la longitud de onda aumenta.

λ·fTλv ==

En los casos reales cuando una onda llega a una frontera entre medios se produce una

combinación de ambos efectos, parte de la onda se refleja (vuelve al medio) y parte se refracta

(pasa al otro medio). Las amplitudes de las ondas varían dependiendo de cada caso, pero

siempre se debe verificar la ley de la conservación de la energía.

2.4.1.1 Ángulo límite y reflexión total

Supongamos una onda que pasa de un medio a otro de modo que vi<vr. Aplicando la

primera ley de la refracción se deduce que ϕi<ϕr, es decir el rayo refractado se aleja de la

normal.

Se define el ángulo límite (ϕL) como el ángulo de incidencia al cual corresponde un

ángulo de refracción de 90º, es decir que el rayo refractado viaja entre ambas superficies. Si el

ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite el rayo no se refracta, sino que se produce

un fenómeno llamado reflexión total, y ya sólo hay componente reflejada. Nada pasa al otro

medio.

Figura 2.7. Refracción total y ángulo límite. a) Ángulo de incidencia menor que el ángulo límite ⇒ Refracción. b) Ángulo de incidencia igual al ángulo límite ⇒ La luz viaja entre los dos medios. c) Ángulo de incidencia mayor que el ángulo límite ⇒ Reflexión total, no hay refracción.

Tema 2-10


2.4.2 Difracción

La difracción consiste en el cambio de dirección en la propagación de una onda como

consecuencia la interacción con aberturas u obstáculos. Este fenómeno es solamente

apreciable cuando las aberturas son de un tamaño parecido o menor que la longitud de onda

de la perturbación, tal y como se indica en la figura 2.8. Cuanto más pequeña sea una abertura

mayor será el efecto de la difracción. Dado que la longitud de onda del sonido es grande, éste

se puede difractar a través de ventanas o esquinas, y por eso es posible oír a través de estos

obstáculos. En cambio, la longitud de onda de la luz es muy pequeña, por lo que no es fácil

observar la difracción luminosa.

Figura 2.8. Fenómeno de la difracción: a) se aprecia, b) no se aprecia

2.4.3 Polarización

Las ondas transversales se caracterizan porque la dirección de vibración es

perpendicular a la de propagación. En general la oscilación podría ser en muchas direcciones

(todas ellas perpendiculares a la de propagación) y es común que esta dirección vaya

cambiando con el tiempo. Una onda está linealmente polarizada cuando esta dirección

permanece constante, es decir la vibración se da en un plano. Existen otros tipos de

polarización, como la circular o la elíptica donde la vibración describe una circunferencia o una

elipse.

Figura 2.9. Polarización de una onda

Tema 2-11


Un artilugio que permite polarizar una onda se llama polarizador. Una placa de madera

con una ranura a través de la cual pasa una cuerda actúa como polarizador, ya que cualquier

movimiento de la cuerda en cualquier dirección de la cuerda lo convierte en un movimiento en

la dirección de las ranuras.

2.4.4 Interferencias

Hasta ahora se ha trabajado con una única onda que se propaga por el espacio e

interactúa con obstáculos o cambia de medio. Las interferencias consisten en que dos o más

ondas se propagan por el mismo medio e interactúan entre si. Por simplicidad, se van a tratar

las interferencias debidas a solamente dos ondas. Cuando los puntos del medio se ve

afectados por dos ondas al mismo tiempo, el efecto total es la suma de los efectos de cada una

Cuando las elongaciones de dos ondas se suman

de las ondas por separado, tal como se indica en la figura 2.10.

interfere

upóngase que un punto (P) del

espacio

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Y1Y2Y1+Y2

a

d

c

b

Figura 2.10. Superposición de dos ondas

en un punto se dice que la

ncia es constructiva (puntos a y b de la gráfica). Si se restan (pudiendo incluso

anularse) se dice que la interferencia es destructiva (puntos c y d).

S

es alcanzado por dos ondas que

recorren distancias x1 y x2 tal como se indica

en la figura 2.11. Por simplicidad se va a

suponer que las dos ondas son idénticas. es

decir, tienen igual amplitud, frecuencia y

número de onda.

Figura 2.11. Interferencia entre dos ondas.

Tema 2-12


( ) ( )

( ) ( 222

111

kxωtsenA t,xy

kxωtsenA t,xy

−= )

−=

La perturbación en P será la suma de perturbaciones. Aplicando la relación

trigonométrica

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2βαcos

2βα2senβ senα sen

se obtiene:

( ) ( )

( )[ ] ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−=

−+−=+=

1221

2121

2121Total

xx2kcosxxkωtsen2A

2kxωtkxωt

cos2

kxωtkxωtsen2A

kxωtsenA kxωtsenA yyy

Esto se puede expresar de la siguiente manera:

( )[ ]21total xxkωtsenA'y +−=

Donde se ha realizado el cambio:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 12 xx2k2AcosA'

El término A’ es independiente del tiempo y actúa como una amplitud que depende de

la diferencia de distancias entre los focos y el punto P. Este parámetro se conoce como

diferencia de camino Δ = |x1 – x2|.

Se pueden dar tres situaciones dependiendo del valor de la diferencia de camino:

1. Δ = nλ (con n=0, 1, 2, ...). En este caso

( )2A

nπ2Acos

nλ2λ2π2Acos

nλ2k2AcosA'

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Se obtiene una amplitud doble que las ondas originales. Es un punto donde la

interferencia ha sido constructiva

Tema 2-13


2. Δ = (2n+1)λ/2 (con n=0, 1, 2, ...)

( )

( )

( )

02π12n2Acos

2λ12n

2λ2π2Acos

2λ12n

2k2AcosA'

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

En este caso se ha producido una interferencia destructiva extrema y se anulan por

completo ambos fenómenos ondulatorios.

3. En los demás casos la amplitud toma valores intermedios entre cero y el doble de

la amplitud individual de cada onda.

2.4.5 Ondas estacionarias

Como ya se ha visto una onda es una perturbación que se propaga por un medio. A

este tipo de ondas se las denomina ondas viajeras. Las ondas estacionarias surgen cuando

una onda se refleja e interfiere consigo misma estando confinada en un medio. En estas

condiciones las dos ondas que interfieren tienen la misma amplitud, frecuencia y longitud de

onda pero diferente sentido de propagación. Ejemplos de ondas estacionarias son las que se

forman en las cuerdas de una guitarra, en un muelle, o en una cuerda que oscila y cuyo

extremo está fijo a la pared, las ondas de sonido dentro de un tubo, etc. Las ondas

estacionarias se pueden formar en un medio con un solo límite (por reflexión) o en medios

limitados por los dos extremos (cuerda de guitarra). Además se pueden tener los extremos fijos

si no se pueden mover o libres si tienen movilidad.

La onda estacionaria se produce por la superposición de la onda incidente y la

reflejada, por lo que la perturbación total será la suma de las perturbaciones individuales:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kxωtsenA kxωtsenA tx,ytx,ytx,y ++−=+= ←→

Aplicando la misma regla trigonométrica que en el apartado anterior se obtiene

directamente la ecuación de ondas estacionarias:

( ) ωt senkx 2Acostx,y =

El término (2A cos kx) es independiente del tiempo y representa la máxima elongación

en cada punto del espacio, por lo que se puede interpretar como una amplitud (A’).

Tema 2-14


En término A’ se anulará siempre que se anule el coseno, con lo que algunos puntos no

oscilarán. Estos puntos se llaman nodos. Cuando el coseno valga +1 o −1 la amplitud será

máxima y estos puntos se llaman vientres o antinodos.

nodo vientre

Figura 2.12. Representación de una onda estacionaria

La distancia entre dos nodos consecutivos se puede calcular a partir de las

propiedades del coseno. Supóngase que en una posición x1 existe un nodo; en ese caso:

( ) 0kxcos 1 =

el siguiente nodo se encuentra en la posición x2 que también tiene que verificar:

( ) 0kxcos 2 =

como son consecutivos se tiene que cumplir que:

2λxx

2λxx

πxλ

2πxλ

2ππkxkx

12

12

12

12

=−

+=

+=

+=

de donde se demuestra que la distancia entre dos nodos consecutivos vale la mitad de la

longitud de onda. Para vientres consecutivos se puede realizar la misma demostración.

Un ejemplo frecuente de onda estacionaria es la producida en una cuerda fijada por

ambos extremos como la cuerda de una guitarra. En este caso los extremos son

automáticamente nodos porque no pueden oscilar, lo cual establece las longitudes de onda de

la onda estacionaria que se forma en dicha cuerda de guitarra. La frecuencia fundamental de

la cuerda es la menor frecuencia obtenible, es decir, la de mayor longitud de onda. El primer

estado de vibración recibe el nombre de primer armónico, el segundo es el segundo armónico

y así sucesivamente tal y como está representado en la figura 2.13.

Tema 2-15


Figura 2.13. Primeros cuatro armónicos en una cuerda

En una guitarra se obtienen frecuencias cada vez más altas a medida que se pulsa la

cuerda mas abajo, ya que se acorta la longitud (L) de la misma con lo que ‘λ‘ disminuye y por lo

tanto ‘f’ aumenta.

La diferencia fundamental entre ondas estacionarias y viajeras está en que las ondas

viajeras representan la propagación de una perturbación y un transporte de energía, mientras

que en las ondas estacionarias no se propaga la perturbación y no hay transporte neto de

energía. En cada punto hay una transformación continua entre energía potencial elástica y

energía cinética. Las siguientes páginas contienen una representación más detallada de la

evolución de las ondas estacionarias y las viajeras.

Tema 2-16


Onda estacionaria: cada punto oscila con una amplitud diferente: los de amplitud máxima son

los vientres (o antinodos) y los de amplitud mínima (nula) son los nodos.

t =3

-4-3-2-101234

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=3

t =5

-4-3-2-101234

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=5

t =6

-4-3-2-101234

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=6

t =4

-4-3-2-101234

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=4

t =6

-4

-2

0

2

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=6

t=5

-4

-2

0

2

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=5

t =4

-4-3-2-101234

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5t=4

Tema 2-17


Onda viajera: la perturbación se va propagando de izquierda a derecha en este caso. Todas

las gráficas son idénticas salvo que están desplazadas

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

-1 ,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1 ,5

0 1 2 3 4 5

Tema 2-18


Relación de ejercicios

MOVIMIENTOS ONDULATORIOS 1. De los siguientes fenómenos indica cuales se pueden considerar ondulatorios y cuales no.

a) Echar agua con una manguera. b) Soplar aire. c) Llamar a una puerta con los nudillos. d) Abrir una frasco de perfume y olerlo a distancia.

2. Supongamos que emitimos una onda esférica en un medio que no es absorbente. ¿Por

qué en este caso se nota que la onda se va debilitando a medida que se aleja del foco, si el medio realmente no absorve la onda?

3. Di dos ejemplos en los que se pueda apreciar la periodicidad espacial y otros dos de

periodicidad temporal. 4. ¿Qué es una onda armónica o sinusoidal? 5. ¿Qué diferencias existen entre el movimiento de una onda a través de un medio y el

movimiento de las partículas del propio medio? 6. Explique las diferencias entre ondas transversales y ondas longitudinales y ponga algún

ejemplo de cada tipo. MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS 7. Represente las gráficas elongación-tiempo y elongación-posición de una onda con las

siguientes características: A=5m, k=5π rad/m, vp=20m/s. Indique en las gráficas los valores que tome.

8. Conteste verdadero o falso.

a) La longitud de onda es la distncia entre dos puntos que se encuentran en máximo de elongación.

b) La longitud de onda es la distancia entre dos puntos con la misma elongación. c) La longitud de onda es la distancia entre dos puntos que se encuentran en el origen.

9. a) Defina: onda, velocidad de propagación, longitud de onda, frecuencia, amplitud,

elongación y fase. b) Dos ondas viajeras se propagan por un mismo medio y la frecuencia de una es doble

que la de la otra. Explique la relación entre las diferentes magnitudes de ambas ondas. 10. Considere la ecuación de onda:

y (x, t) = A sen (b t – c x)

a) ¿Qué representan los coeficientes A, b y c? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Qué cambios supondría que la función fuera “cos” en lugar de “sen”? ¿Y que el signo

dentro del paréntesis fuera “+” y no “–“? 11. Dos fenómenos físicos vienen descritos por las expresiones siguientes:

y = A sen (b t)

y = A sen (b t – c x)

en las que “x” e “y” son coordenadas espaciales y “t” el tiempo. a) Explique de qué tipo de fenómeno físico se trata en cada caso e identifique los

parámetros que aparecen en dichas expresiones, indicando sus respectivas unidades. b) ¿Qué diferencia señalaría respecto de la periodicidad de ambos fenómenos?

Tema 2-19


ECUACIÓN DE ONDAS ARMÓNICAS 12. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es

y(x, t) = 0.5 sen π(8t – 4x) (S.I.)

a) Calcular la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda y explicar el significado de cada una de ellas.

b) Representar gráficamente la posición de los puntos de la cuerda en el instante t=0s y la elongación en x=0m en función del tiempo.

Sol. a) vp = 2m/s, v(x,t) = 4π cos (8πt – 4πx).

13. Un altavoz produce una onda sonora de 10m de amplitud y una frecuencia de 200Hz, que se propaga con una velocidad de 340ms–1. a) Escriba la ecuación de la onda, suponiendo que ésta se propaga en una sola dirección. b) Represente la variación espacial de la onda, en los instantes t = 0 y t = T / 4. Sol. a) y(x,t) = 10 sen (400πt – 1.17πx)

14. Una onda armónica de amplitud 0,3m se propaga por una cuerda con una velocidad de 2ms–1 y longitud de onda de 0,25m. a) Escriba la ecuación de la onda en función de x y t. b) Determine la velocidad de un punto de la cuerda situado en x = 13/16 m, en el instante

t = 0,5s. Sol. a) y(x,t) = 0.3 sen (16πt – 8πx), b) v(13/16,0.5) = 0m/s.

15. Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un período de 0,5πs y una amplitud de 0,2cm, propagándose a través de ella una onda con una velocidad de 0,1ms–1. a) Escriba la ecuación de la onda, indicando el razonamiento seguido. b) Explique qué características de la onda cambian si: i) se aumenta el período de la

vibración en el extremo de la cuerda; ii) se varía la tensión de la cuerda. Sol. a) y(x,t) = 0.2 sen (4t – 40x)

16. La ecuación de una onda armónica en una cuerda tensa es: y(x,t) = A sen (ω t – kx)

a) Indique el significado de las magnitudes que aparecen en dicha expresión. b) Escriba la ecuación de otra onda que se propague en la misma cuerda en sentido

opuesto, de amplitud mitad y frecuencia doble que la anterior. Sol. a) y(x,t) = A/2 sen (2ωt + kx)

17. Por una cuerda tensa, colocada a lo largo del eje X, se propaga un movimiento ondulatorio transversal cuya función de onda es:

y = 0.15 sen ( 4π x + 400π t) (S.I.)

a) Represente gráficamente la forma de la onda en el instante inicial y un cuarto de periodo después.

b) Determine la elongación y la velocidad de un punto de la cuerda situado en la posición x = 0,5 m, en el instante t = 0,01 s.

Sol. b) y(x,t) = 0m, v(x,t) = 60π m/s= 188.5m/s

18. Por una cuerda tensa (a lo largo del eje x) se propaga una onda armónica transversal de amplitud A = 5cm y de frecuencia f = 2Hz con una velocidad de propagación v = 1,2ms–1. a) Escriba la ecuación de la onda. b) Explique qué tipo de movimiento realiza el punto de la cuerda situado en x = 1m y

calcule su velocidad máxima. Sol. a) y(x,t) = 0.05 sen (4πt – 3.33πx); b) vmáx = 0.2π m/s

19. Por una cuerda se propaga la onda; y = cos (50 t – 2 x) (S.I.)

a) Indique de qué tipo de onda se trata y determine su velocidad de propagación y su

amplitud. b) Explique qué tipo de movimiento efectúan los puntos de la cuerda y calcule el

desplazamiento del punto situado en x = 10cm en el instante t = 0,25s.

Tema 2-20


Sol. a) A = 1m, vp = 25m/s; b) y(0.1, 0.25) = – 0.21m

20. Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio caracterizado por la función de onda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−π=

xTt 2 sen Ay

Razone a qué distancia se encuentran dos puntos de esa cuerda si: a) La diferencia de fase entre ellos es de π radianes. b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo de un cuarto de periodo. Sol. a) Δx = λ/2; b) Δx = λ/4.

21. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y(x,t) = 0,05 sen π (25 t – 2 x) (S.I.)

a) Explique de qué tipo de onda se trata y en qué sentido se propaga e indique cuáles son

su amplitud, frecuencia y longitud de onda. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad del punto x = 0m de la

cuerda en el instante t = 1s y explique el significado de cada una de ellas. Sol. a) A = 0.05m, f = 12.5Hz, λ = 1m; b) vp = 12.5m/s, v(0,1) = –1.25πm/s.

22. Un tabique móvil ha provocado, en la superficie del agua de un estanque un movimiento ondulatorio caracterizado por la función:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=2π t 4π - x 10π sen 0.04y (SI)

Suponiendo que los frentes de onda producidos se propagan sin pérdida de energía, determine: a) El tiempo que tarda en ser alcanzado por el movimiento un punto situado a una

distancia de 3m del tabique. b) La elongación y la velocidad, en dicho punto, 0,5s después de haberse iniciado el

movimiento. Sol. a) t = 1.2s; b) y(x,t) = 0m, v(x,t)=0m/s.

FENÓMENOS ONDULATORIOS 23. Comentar cómo varían las siguientes magnitudes cuando una onda pasa desde el medio 1

al medio 2 siendo v1>v2. Amplitud, frecuencia, longitud de onda, fase inicial, periodo, número de onda.

24. Calcula el ángulo límite de una onda que pasa de un medio con vp1=1.200m/s a otro con

vp2=2.300m/s Sol. ϕL = 31.45º

25. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) La velocidad de propagación de una onda armónica es proporcional a su longitud de

onda. b) Cuando una onda incide en la superficie de separación de dos medios, las ondas

reflejada y refractada tienen igual frecuencia e igual longitud de onda que la onda incidente.

26. Explicar por qué durante el día se puede ver el exterior a través del cristal de una ventana

pero no el interior y por la noche se invierte la situación. Suponer una casa sin luz en el exterior.

27.

a) Explique qué son una onda transversal y una onda longitudinal. ¿Qué quiere decir que una onda está polarizada linealmente?

b) ¿Por qué se dice que en un fenómeno ondulatorio se da una doble periodicidad? ¿Qué magnitudes físicas la caracterizan?

28.

Tema 2-21


a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía.

b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas.

29. Una onda de vp=200.000m/s y T=10–8s llega a una ranura. ¿De qué anchura debe ser la

ranura para que se aprecie el fenómeno de la difracción? Sol. d = 0.002m.

30. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la onda

incidente, la reflejada y la refractada? 31. ¿Se puede polarizar el sonido? 32. La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación

y(x,t)=0.01sen(10πx)cos(200πt) (en unidades S.I.)

a) Indicar de qué tipo de onda de trata y calcular la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha onda.

b) ¿Cuál es la energía de una partícula de la cuerda situada en el punto x=10cm? Razonar la respuesta.

Sol. a) A = 0.005m, vp = 20m/s; b) E = 0J.

33. La ecuación de una onda en una cuerda tensa es: y (x, t) = 4·10–3 sen (8πx) cos (30πt) (S.I.)

a) Indique qué tipo de onda es y calcule su período y su longitud de onda. b) Explique cuál es la velocidad de propagación de la onda y cuál es la velocidad de los

puntos de la cuerda. Calcule la velocidad máxima del punto x = 0,5 m. Sol. a) T=0.067s, λ=0.25m; b) vp=0m/s, v(x,t)= –0.12π sen (8πx) sen (30πt), v(0.5,t)=0m/s

34. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y(x, t) = 4 sen π(50t–4x) (S.I.).

a) Calcular la amplitud, la longitud de onda y el periodo de dicha onda. ¿Qué significado

físico tiene el menos que aparece dentro del paréntesis? b) Determinar la velocidad de propagación de la onda. ¿Se mueven los puntos del medio

con esa velocidad? Sol. a) A = 4m, λ = 0.5m, T = 0.04s; b) vp = 12.5m/s

35. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4m de longitud, sujeta por los dos extremos. a) Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de

propagación de la onda en la cuerda es de 352ms–1. b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido

resulta más agudo. Sol. a) ffund = 440Hz.

36. La ecuación de una onda en una cuerda es: y( x, t ) = 0,2 sen (6πx) cos( 20πt ) ( S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y

velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero e indique el

nombre y las características de dichos puntos. Sol. a) T =0.1s, λ = 0.33m, vp = 0m/s; b) d = 0.17m

37. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es: y(x, t) = 0.06 cos2π(4t-2x) (S.I.)

Tema 2-22


Tema 2-23

a) Calcular la diferencia de fase entre los estados de vibración de una partícula de la cuerda en los instantes t=0s y t=0.5s.

b) Calcula la diferencia de fase entre dos puntos separados 3m. Sol. a) Δθ = 4πrad., b) Δθ = 12πrad

38. La ecuación de una onda en una cuerda es: ( ) t)cos(40 x)(12 sen 0.4tx,y ππ= (S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero. Sol. a) T = 0.05s, λ = 0.17m, vp = 0m/s; b) d = 0.083m

39. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda posibles de las ondas estacionarias producidas en

una cuerda tensa, de longitud L, sujeta por ambos extremos? Razone la respuesta. b) ¿En qué lugares de la cuerda se encuentran los puntos de amplitud máxima? ¿Y los de

amplitud nula? Razone la respuesta.

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