tema 3.- conducción estacionaria unidimensional
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Tema 3: Conducción estacionaria unidimens. (I). Rafael Royo, José Miguel Corberán. Curso 2000-20001
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JM Corberán, R Royo (UPV) 1
Tema 3: Conducción estacionaria unidimensional
CONDUCCIÓNESTACIONARIA
UNIDIMENSIONAL(I)APLICACIÓN A PAREDES PLANAS Y
CONDUCTOS
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ÍNDICE1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL2. PAREDES PLANAS MULTICAPA
2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO
2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA
2.3.COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR
3. CONDUCTOS MULTICAPA
3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN.
3.2. ANÁLISIS DEL CONDUCTO MULTICAPA.
3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN
3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO
4. MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICA
5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LA TEORÍAUNIDIMENSIONAL. LIMITACIONES DEL MÉTODO.
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1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL
( )tTCgTk
∂∂
ρ ⋅⋅=+∇⋅∇
( ) 00 =+∇⋅∇⇒
= gTk
tT
∂∂
0=+
⋅ g
dxdT
kdxd
•Ecuación general de la conducción del calor
•Régimen permanente:
•Unidimensional (cartesianas):
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2. PAREDES PLANAS MULTICAPA.PARED PLANA CON Tas DE CONTORNO CONOCIDAS
0=
⋅
dxdTk
dxd
02
2
=dx
Td
Supongamos g=0Þ
k=cteÞ
====
=
22
11
2
2
0
xxenTTxxenTT
dxTd
( )12
1121 xx
xxTTTT
−−
⋅−+=•Campo de temperaturas
Si g es nula y k constante, la distribución de temperaturas através de una pared plana es función lineal.
•Aplicando la ley de Fourier
( ) ( )21
12
12 )( TTxkA
xxTTkA
dxdTkAqAQ −⋅
∆⋅
=−−
⋅⋅−=⋅⋅−=⋅=
∆x
x1
x2
T1
T2
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RV
I∆
=
kAxTT
Q
⋅∆−
= 21
2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN. RESISTENCIATÉRMICA DE CONTACTO
Analogía eléctrica a partir de la ley de Ohm:
•El calor transmitido análogo a una intensidad (Q@@I).
•La diferencia de temperaturas análogo a una diferencia depotenciales (T1-T2 @@DDV).
•De esta manera el término análogo a una resistenciaeléctrica R.
•Resistencia térmica de conducción�
kAx⋅
∆
)/( WKkA
xRcon ⋅
∆=
( )conR
TTQ 21 −
=
RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN
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( )tc
BLAL TTAQ
ℜ−
=
•En la zona de unión entre capas, debido a lasirregularidades superficiales el contacto no esperfecto, y el calor se transmite por radiación,conducción y convección.
•Se asocia una resistividad térmica de contacto querelaciona el calor transmitido en la interfase entredos materiales con la variación de temperatura através de la misma
RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO
RESISTIVIDAD TÉRMICA DE CONTACTO
T
X
TAL
TBL
A B
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• La resistividad térmica de contacto (K m2/W) esanáloga al término de la holgura (aire + zonas decontacto).
• Resistencia térmica de contacto de una superficie A es:
• depende de:•Rugosidad superficial.•Presión contacto
• debe considerarse sólo en la separación de capas demateriales de:
•k elevada (metales).•Espesores pequeños.
tcℜ
kx∆
AR tctc /ℜ=tcℜ
tcℜ
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2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA.
Ta ,Tb ⇒Tas ambiente interno yexterno.T1 ,T4 ⇒ Tas ambos lados delmuro.Td ,Td’⇒ Tas ambos lados de lasdistintas capas.
( ) ( ) ( ) ( ) =−∆
=ℜ
−=−∆
=−==′
3'232
3'2
'22
'2221
12
1211 TT
xkTTTT
xkTThcte
AQ
aa
( ))(... 44
'33
'33bb TTh
TT−==
ℜ−
=
El flujo de calor a través de cada capa se mantiene constante:
T1 T2 T2´ T3 T3´ Td-1 Td-1´ T4
Ta
Ta Tb
T1
T2T2´
T3
T3´ Td-1Td-1´ T4 Tb
CONVECCIÓN CONVECCIÓNCONDUCCIÓN
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11
1
aa hA
QTT ⋅=−
12
1221 k
xAQ
TT∆
⋅=−'22'22 ℜ⋅=−
AQ
TT
3'2
3'23'2 k
xAQ
TT∆
⋅=− '33'33 ℜ⋅=−AQ
TTb
b hAQ
TT4
4
1⋅=−
( )
++ℜ+
∆+ℜ+
∆+
−=
ba
ba
hkx
kx
h
TTAQ
4'33
3'2
3'2'22
12
12
1
11Κ
( )
⋅
++ℜ
+∆
+ℜ
+⋅
∆+
⋅
−=
ba
ba
hAAkx
AkAx
hA
TTQ
4
'33
3'2
3'2'22
12
12
1
11Κ
∑−
=i
ba
RTT
Q)(
11
1
aa hA
R⋅
=1,
1,1,
+
++ ⋅
∆=
ii
iiii kA
xR
AR ii
ℜ=′,donde:
•Sumando estasexpresiones:
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2.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR
∑−
= +
+ +∆
+=
1
1 1,
1,
1
11
1n
i nbii
ii
a hkx
h
U
( )ba TTUAQ −⋅=
•Se define:
•De esta forma:
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0=∆⋅+ Tkg
0=∆T
01
2
2
=⋅+drdT
rdrTd
0=
⋅
drdT
rdrd
3. CONDUCTOS
•Conducción de calor en cuerpos con simetría axial.
•Suponemos que no hay generación de calor, y la conductividades constante:
Desarrollando el Laplaciano en coordenadas cilíndricas queda:
T=T1 en r=r1
T=T2 en r=r2
r1
r2
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12.5
17.5
22.5
0 5 10 r
TT1
T2
r1 r2
⇒⋅=⇒=⋅r
drCdTCdrdTr 11 21 ln CrCT +⋅=
( ) ( )( )12
1121 ln
ln
rrrr
TTTT ⋅−+=
•Si g se anula y k se considera constante, la distribución detemperaturas a través de la pared cilíndrica es una funciónlogarítmica con el radio
• Se calculará el campo de temperaturas T=T(r)
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Aplicando la ley de Fourier rdTdkTkrq ⋅−=∇⋅−=)(
( )( ) rrr
TTdrdT 1
ln 12
12 ⋅−
=
( )( )
( )( ) r
krr
TTrLrk
rrTT
rAdrdT
krArArqQ ⋅−⋅
=⋅−
⋅−=⋅⋅−=⋅=12
21
12
12
ln
2
ln)()()()(
π
( )( )
kLrr
TTQ
π2
ln 12
21 −=
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3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN
conRTQ
RVI ∆
=⇒
∆
=
( )kLrr
Rcon π2ln 12=
•Resistencia térmica de conducción de una capa cilíndrica Rcon
Analogía eléctrica:
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3.2. ANÁLISIS CONDUCTO MULTICAPA
cterA
Q ≠)(
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
b
b
a
a
hLr
TT
kLrrTT
Lr
TT
kLrr
TT
Lhr
TTQ
33
3
3'2
'23
3'2
2
'22
'22
12
12
21
11
1
2
1
2
ln
22
ln
2
1
πππππ
−=
−=
ℜ−
=−
=−
=
( )( ) ( )
⋅
++ℜ
++⋅
⋅
−=
333'2
'23
2
'22
12
12
11
1lnln12
1rhk
rrrk
rrrhL
TTQ
ba
ba
π
En estacionario Q=cte, pero para un cilindro
: área aconsiderar es la lateral delcilindro, la cual depende delradio
r1
r2
r3
TaT1
Tb
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3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR (U)
( )
⋅++
⋅
=
∑−
= +
+
33
1
1 1,
1
11
,1ln1
1
rhkrr
rhr
U
b
n
i ii
ii
ai
icilindro
( )baicilindroi TTULrQ −⋅⋅⋅⋅⋅= ,2 π
ref
baArefbaArefref A
TTQUTTUAQ
)/()(
−=⇒−⋅⋅=
Se define Ucilindro respecto al área correspondiente a un radiocualquiera ri
De esta forma:
En general:
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3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO
•Al añadir capas de material sobre una pared plana, se incrementa la resistenciatérmica por lo que el flujo de calor siempre se reduce.
•En conductos, conforme se añaden capas, aumenta la resistencia térmica perotambién el área de transmisión de calor: tendencias contrapuestas sobre lamagnitud de calor conducido, por lo que debe estudiarse el aislamiento adecuadoen cada caso.
Radio crítico: valor para el cual el calor transmitido alcanza unmáximo. Normalmente es muy pequeño ( del orden de milímetros)
0
0 .05
0.1
0 .15
0.2
0 .25
0.3
0 .35
0.4
0 0 .02 0 .04 0 .06 0 .08 0.1 0 .12 0 .14 0 .16 0 .18 0.2
rad io (m)
Ca
lor
(W)
[ ]mrh
kcrit
AIS 03.001.02010
3.02.0÷⇒
÷≈÷=
Para cables eléctricos por ejemplo:
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( )( )
⋅++
⋅
−⋅⋅⋅=
∑−
= +
+
nnb
n
i ii
ii
a
ba
rhkrr
rh
TTLQ
1ln1
21
1 1,
1
11
π
( )
( )0
1ln1
112
21
1 1,
1
11
2
,,1=
⋅++
⋅
⋅−
⋅⋅−⋅−
=
∑−
= +
+
−
n
i nnbii
ii
a
nbnnnnba
n
rhkrr
rh
rhkrTTL
rQ
π
∂∂
011
2,,1
=⋅
−⋅ − nbnnnn rhkr bn
nnCRITICOn h
kr
,
,1)( −=
Para hallar el máximo se deriva respecto al radio que se añade, rny se iguala a 0:
•Si rd-1<rcrit al añadir espesor Q ↑↑
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4.MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICADEL CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN
• Dos posibilidades:– Definición de resistencia equivalente a la
radiación.
– Utilización del coeficiente de convecciónequivalente a la radiación
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DEFINICIÓN DE RESISTENCIA EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN.
)( aireconv TTAhQ −⋅⋅= )( 44recrad TTAQ −⋅⋅⋅= σε
)(
)()(44
rec
rec
rad
recrad
TTATT
QTTR
−⋅⋅⋅−=−=
σε
)()()()()()( 22222244recrecrecrecrecrec TTTTTTTTTTTT +⋅+⋅−=+⋅−=−
322 4
1
)()(
1
recrecrecrad
TATTTTAR
⋅⋅⋅⋅≅
+⋅+⋅⋅⋅=
σεσεSi T y Trec son similares
Taire
Si Taire y Trec son próximas:
Trec
Taire
Rrad
Rconv
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COEFICIENTE DE CONVECCIÓN EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN
)()( 44recaire TTATTAhQ −⋅⋅⋅+−⋅⋅= σε
)()( 44
rec
recr TT
TTh−
−⋅⋅= σε
)()()( recrrairerecraire ThThThThATTAhTTAhQ ⋅−⋅+⋅−⋅⋅=−⋅⋅+−⋅⋅=
)T(T)h(hAQ
hhThTh
T
eqr
r
recraireeq
−⋅+⋅=+
⋅+⋅=
+⋅+⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−⋅+⋅= ))(()())()((
r
recrairerrecrairer hh
ThThThhAThThThhAQ
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5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LATEORÍA 1D. LIMITACIONES DEL MÉTODO
Convección hi Convección he
A1, k1
A2, k2
A3=A1+A2
k3
x2=x1 x3
x1
22
2
kAx⋅
Ti
ii Ah ⋅1
ee Ah ⋅1
11
1
kAx⋅
33
3
kAx⋅
Te
MUY CONDUCTORES
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Diapositiva 23
JM Corberán, R Royo (UPV) 23
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POCO CONDUCTORES
Convección hi Convección he
A1, k1
A2, k2
A3=A1+A2
k3
x2=x1 x3
x1
1
1Ahi ⋅
2
1Ahi ⋅
11
1
kAx⋅
22
2
kAx⋅
31
3
kAx⋅
32
3
kAx⋅
1
1Ahe ⋅
2
1Ahe ⋅
Tsi1
Tsi2
Tse1
Tse2
T13
T23
Ti
Ti
Te
Te