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Tema 3: TOPOLOGIA Y DUALIDAD

3.0 OBJETIVOS 3.1 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA OPERACIONALES3.2 DISTINTAS PARTES DE UN CIRCUITO3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO

3.3.1 GRAFICO RETICULAR3.3.2 CIRCUITO CONEXO3.3.3 LAZO3.3.4 GRUPO DE CORTE3.3.5 ARBOL DE UN CIRCUITO3.3.6 ESLABÓN3.3.7 LAZO BÁSICO3.3.8 GRUPO DE CORTE BÁSICO3.3.9 CIRCUITO PLANO3.3.10 MALLA

3.4 DUALIDAD EN CIRCUITOS3.5 BIBLIOGRAFIA

2

• Observar que el operador D=d/dt es lineal pero no conmutativo, así como las implicaciones que ello conlleva.

• Razonar sobre la importancia de la Topología de redes en la obtención de un sistema lineal de ecuaciones independientes.

• Conocer la diferencia entre circuito espacial y circuito plano.• Entender el porqué solo existen mallas en circuitos planos.• Definir de forma univoca los distintos conceptos topológicos de una red, así como la norma

que los regula.• Distinguir entre circuitos análogos, duales e inversos.• Saber construir el circuito dual y el inverso de uno dado.

3.0 OBJETIVOS

3

3.1 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA OPERACIONALES (1)

td

dD =

)()( tiRtu ⋅=

i(t)Ltu ⋅= D)(

)(D

1)( ti

Ctu ⋅=

i(t)

u(t)

Z(D)

D

1DDD

C

L

R

)Z(i(t))Z(u(t) =⇒⋅=

i(t)

u(t)

R)()( tiRtu ⋅=

i(t)

u(t)

L

t

tiLtu

d

)(d)( ⋅=

u(t)

C i(t)tti

Ctu d)(

1)(

t

∫ ∞−⋅⋅=

4

3.1 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA OPERACIONALES (2)

i(t)

u(t)

G)()( tuGti ⋅=

t

tuCti

d

)(d)( ⋅=

u(t)

C i(t)

ttuL

ti d)(1

)(t

∫ ∞−⋅⋅=

td

dD =

u(t)Gi(t) ⋅=

u(t)Ci(t) ⋅= D

u(t)L

i(t) ⋅=D

1

i(t)

u(t)

Y(D)

D

1D(D))((D))(

L

C

G

YtuYti =⇒⋅=

i(t)

u(t)

L

5

3.2 DISTINTAS PARTES DE UN CIRCUITO (1)

i(t)

u(t)

LEqu

uu((tt))eegg((tt))

ii((tt))RRgg

RRgg··ii((tt))

uu((tt))

iigg((tt))

ii((tt))

RRLL

GGLL

RAMAS PASIVASRAMAS PASIVAS

RAMAS ACTIVASRAMAS ACTIVAS

u(t)

Ci(t)LR

RAMA RAMA rr ii

i(t)

u(t)

i1(t)

i2(t)

i3(t)

L1

L2

L3

6

NUDO NUDO

3.2 DISTINTAS PARTES DE UN CIRCUITO (2)

CLR1

R2

A B

7

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (1)3.3.1 GRAFICO RETICULAR

r5A

B

B

C

B

D

E

F

r1 r2

r3

r4

r6

r7

r8

r9

r11

r10

G

EL GRÁFICO RETICULAR DE UN CIRCUITO ES UNA REPRESEN TACIÓN DEL CIRCUITO EN LA QUE SE SUSTITUYEN LAS RAMAS DEL CIRC UITO POR SEGMENTOS ORIENTADOS CON LA DIRECCIÓN DE LA CORRIEN TE DE LA RAMA DEL CIRCUITO ORIGINAL.

8

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (2)3.3.1 GRAFICO RETICULAR

9

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (3)3.3.2 CIRCUITO CONEXO

DECIMOS QUE UN CIRCUITO ES CONEXO CUANDO PODEMOS LL EGAR DESDE UNO DE SUS NUDOS, A CUALQUIER OTRO DE LOS NUDOS DEL CIRCUITO A TRAVES DE RAMAS DEL PROPIO ARBOL

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

10

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (4)3.3.2 CIRCUITO NO CONEXO

DECIMOS QUE UN CIRCUITO ES NO CONEXO CUANDO PARA LL EGAR DESDE UNO DE SUS NUDOS, A ALGUN OTRO DE LOS NUDOS DEL CIR CUITO NO SE PUEDE HACER A TRAVES DE RAMAS DEL PROPIO ARBOL

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

G

r11r12r13

H

11

DEFINIMOS UN LAZO COMO UN CONJUNTO DE RAMAS QUE PRE SENTAN UNA LDEFINIMOS UN LAZO COMO UN CONJUNTO DE RAMAS QUE PRE SENTAN UNA L ÍÍNEA NEA CERRADA A LAS QUE SE PUEDE APLICAR LA 2CERRADA A LAS QUE SE PUEDE APLICAR LA 2 ªª LEY DE KIRCHHOFF LEY DE KIRCHHOFF

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (5)3.3.3 LAZO

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

12

SE DEFINE UN GRUPO DE CORTE COMO TODO CONJUNTO DE RAMAS AL QUE SE DEFINE UN GRUPO DE CORTE COMO TODO CONJUNTO DE RAMAS AL QUE SE SE PUEDE APLICAR LA 1PUEDE APLICAR LA 1 ªª LEY DE KIRCHHOFF GENERALIZADALEY DE KIRCHHOFF GENERALIZADA

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (6)3.3.4 GRUPO DE CORTE

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

13

EL ARBOL DE UN CIRCUITOEL ARBOL DE UN CIRCUITO SE DEFINE PARA UN CIRCUITO CONEXO, Y SE DICE QUE ES SE DEFINE PARA UN CIRCUITO CONEXO, Y SE DICE QUE ES UN CONJUNTO DE RAMAS CONEXO Y ABIERTO QUE CONTIENE A TODOS LOS NUN CONJUNTO DE RAMAS CONEXO Y ABIERTO QUE CONTIENE A TODOS LOS N UDOS UDOS DEL CIRCUITO. SI EL CIRCUITO TIENE n NUDOS EL NUMER O DE RAMAS QUDEL CIRCUITO. SI EL CIRCUITO TIENE n NUDOS EL NUMER O DE RAMAS QU E E CONFORMAN EL ARBOL SERA DE nCONFORMAN EL ARBOL SERA DE n --11

6 NUDOS, LUEGO 6-1=5 RAMAS DEL ARBOL

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (7)3.3.5 ARBOL DE UN CIRCUITO

A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10r5

14

DEFINIMOS EL ESLABDEFINIMOS EL ESLAB ÓÓN EN UN CIRCUITO, PARA ELLO EL ESLABN EN UN CIRCUITO, PARA ELLO EL ESLAB ÓÓN SE DEFINE N SE DEFINE RESPECTO A UN ARBOL Y SE DICE QUE SON ESLABONES TOD AS LAS RAMAS RESPECTO A UN ARBOL Y SE DICE QUE SON ESLABONES TOD AS LAS RAMAS DEL DEL CIRCUITO QUE NO PERTENECEN AL ARBOL, EL NUMERO DE E SLABONES POR CIRCUITO QUE NO PERTENECEN AL ARBOL, EL NUMERO DE E SLABONES POR TANTO TANTO SERA: NSERA: N ºº DE ESLABONES= NDE ESLABONES= N ºº DE RAMAS DE RAMAS –– NNºº DE RAMAS DEL ARBOL= r DE RAMAS DEL ARBOL= r –– (n(n--1)1)

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (8)3.3.6 ESLABÓN

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

15

PARA UN CIRCUITO EL LAZO BPARA UN CIRCUITO EL LAZO B ÁÁSICO SE DEFINE RESPECTO DE UN ARBOL Y SON SICO SE DEFINE RESPECTO DE UN ARBOL Y SON TODOS AQUELLOS LAZOS QUE CONTIENEN UN UNICO ESLABTODOS AQUELLOS LAZOS QUE CONTIENEN UN UNICO ESLAB ÓÓN. POR TANTO EL NN. POR TANTO EL N ºº DE DE L. B. COINCIDE CON EL NUMERO DE ESLABONES POR TANT O SERA:L. B. COINCIDE CON EL NUMERO DE ESLABONES POR TANT O SERA:

NNºº L.BL.B .= r .= r –– (n(n--1)1)

LB1 LB5

LB2

LB3

LB4

LB1 {r1, r2, r3} LB2{r4,r3} LB3 {r5, r3, r6}

LB4 {r8, r6, r7, r9} LB5 {r10, r11}

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (9)3.3.7 LAZO BÁSICO

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

16

EL GRUPO DE CORTE BEL GRUPO DE CORTE B ÁÁSICO SE DEFINE RESPECTO DE UN ARBOL Y SON TODOS SICO SE DEFINE RESPECTO DE UN ARBOL Y SON TODOS AQUELLOS GRUPOS DE CORTE QUE CONTIENEN UNA UNICA RA MA DEL ARBOL.AQUELLOS GRUPOS DE CORTE QUE CONTIENEN UNA UNICA RA MA DEL ARBOL. POR POR TANTO EL NTANTO EL N ºº DE DE G.C.BG.C.B. COINCIDE CON EL NUMERO DE . COINCIDE CON EL NUMERO DE DEDE RAMAS DEL ARBOL POR RAMAS DEL ARBOL POR TANTO SERA: NTANTO SERA: N ºº G.C.BG.C.B.= (n.= (n--1)1)

G.C.B. A

G.C.B. B

G.C.B. C

G.C.B. EG.C.B. D

GCBA {r9, r8, r10} GCBB {r6, r5, r8} GCBC {r2, r1, r5} GCBD {r7,r8} GCBE {r3, r1, r4, r5}

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (10)3.3.7 GRUPO DE CORTE BÁSICO

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

17

CIRCUITO PLANO, DEFINIMOS COMO TAL A TODO AQUEL CIR CUITO QUE PUECIRCUITO PLANO, DEFINIMOS COMO TAL A TODO AQUEL CIR CUITO QUE PUEDE DE REPRESENTARSE EN UN PLANO SIN QUE SUS RAMAS SE CORT EN SALVO EN LREPRESENTARSE EN UN PLANO SIN QUE SUS RAMAS SE CORT EN SALVO EN L OS OS NUDOS. NUDOS.

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (11)3.3.7 CIRCUITO PLANO

18

EN UN CIRCUITO LAS MALLAS SE DEFINEN SOBRE CIRCUITO S PLANOS, DEFEN UN CIRCUITO LAS MALLAS SE DEFINEN SOBRE CIRCUITO S PLANOS, DEF INIENDOSE INIENDOSE COMO MALLA A TODOS AQUELLOS LAZOS QUE NO CONTIENEN NINGUN OTRO LCOMO MALLA A TODOS AQUELLOS LAZOS QUE NO CONTIENEN NINGUN OTRO LAZO EN AZO EN SU INTERIOR. POR ELLO, EL NSU INTERIOR. POR ELLO, EL N ÚÚMERO DE MALLAS DE UN CIRCUITO COINCIDE CON EL MERO DE MALLAS DE UN CIRCUITO COINCIDE CON EL DE LAZOS BDE LAZOS B ÁÁSICOS:SICOS: NNºº MALLAS = rMALLAS = r -- (n(n--1)1)

MA

MB

MC

MDME

MA {r1, r2, r3} MB {r3, r4} MC {r 4, r2, r5, r6} MD {r6, r7,r8,r9} ME {r9, r10}

3.3 TOPOLOGIA DE UN CIRCUITO (12)3.3.7 MALLA

r5A

B

C

D

E

F

r1 r2

r3 r4

r6

r7

r8

r9

r10

19

CIRCUITOS ANALOGOS: DECIMOS QUE DOS CIRCUITOS SON A NALOGOS CUANDCIRCUITOS ANALOGOS: DECIMOS QUE DOS CIRCUITOS SON A NALOGOS CUAND O SUS O SUS ECUACIONES DE DEFINICIECUACIONES DE DEFINICIÓÓN RESPONDEN AL MISMO MODELO MATEMN RESPONDEN AL MISMO MODELO MATEM ÁÁTICOTICO

uu((tt))iigg((tt))

ii((tt))

GG

ii ’’ ((tt))

CC

eegg((tt))

ii((tt))RR

CC

dt

di(t)Li(t)Rtu ⋅+⋅=)(

dt

du(t)Cu(t)Gi(t) ⋅+⋅=

q(t)Cdt

dq(t)Ru(t)

dt

dq(t)i(t)

⋅+⋅=

=

1

dy

)y(g)y(g)y(f

dba ⋅+⋅=

3.4 DUALIDAD EN CIRCUITOS(1)

CIRCUITOS ANALOGOS

eegg((tt))

ii((tt))

LL

RR

20

CIRCUITOS DUALES: SE DICE QUE DOS CIRCUITOS SON DUA LES CUANDO, ACIRCUITOS DUALES: SE DICE QUE DOS CIRCUITOS SON DUA LES CUANDO, A DEMAS DE DEMAS DE SER ANALOGOS, EN SUS ECUACIONES DE DEFINICISER ANALOGOS, EN SUS ECUACIONES DE DEFINICI ÓÓN SE PUEDE PASAR DE UNA A LA N SE PUEDE PASAR DE UNA A LA OTRA SIN MAS QUE INTERCAMBIAR ENTRE SI ALGUNAS PALA BRAS DE LAS OTRA SIN MAS QUE INTERCAMBIAR ENTRE SI ALGUNAS PALA BRAS DE LAS DEFINICIONES, SIN QUE POR ELLO LAS ECUACIONES CAMBI EN SALVO EN LDEFINICIONES, SIN QUE POR ELLO LAS ECUACIONES CAMBI EN SALVO EN L AS AS CONSTANTES, Y EN ALGUNOS SIMBOLOS DE LAS ECUACIONES . EN TEORIA DCONSTANTES, Y EN ALGUNOS SIMBOLOS DE LAS ECUACIONES . EN TEORIA DE E CIRCUITOS LAS PALABRAS QUE SE SUELEN INTERCAMBIAR E N LA DUALIDADCIRCUITOS LAS PALABRAS QUE SE SUELEN INTERCAMBIAR E N LA DUALIDAD SON SON TENSITENSIÓÓN Y CORRIENTE N Y CORRIENTE

t

titituteg d

)(dL)(R)()( ⋅+⋅==

t

)t(u)t(u)t(i

d

dCG ⋅+⋅=

t

)t(u)t(u)t(i

d

dLR ⋅+⋅=

i(t)�u(t)u(t) � i(t)

i(t)�u(t)u(t) � i(t)

t

)t(i)t(i)t(u

d

dCG ⋅+⋅=


CIRCUITOS DUALES

uu((tt))iigg((tt))

ii((tt))

GG

ii ’’ ((tt))

CCeegg((tt))

ii((tt))

LL

RR

21

EN TEORIA DE CIRCUITOS LA DUALIDAD NOS VA APREMITIR QUE SI DEMOSEN TEORIA DE CIRCUITOS LA DUALIDAD NOS VA APREMITIR QUE SI DEMOSTRAMOS TRAMOS UNA PROPOSICIUNA PROPOSICIÓÓN, TEOREMA O LEY, LA DUAL QUEDE DEMOSTRADA.N, TEOREMA O LEY, LA DUAL QUEDE DEMOSTRADA.

POR EJEMPLO EN LAS LEYES DE KIRCHHOFF:POR EJEMPLO EN LAS LEYES DE KIRCHHOFF:

�� 11ªª LEY DE KIRCHHOFF: LA SUMA DE LAS CORRIENTES CONCURR EN EN UN LEY DE KIRCHHOFF: LA SUMA DE LAS CORRIENTES CONCURR EN EN UN NUDO ES NULA EN TODO INSTANTE NUDO ES NULA EN TODO INSTANTE ∑∑ ii ii=0=0

�� 22ªª LEY DE KIRCHHOFF: LA SUMA DE LAS TENSIONES A LO LAR GO DE UNA LEY DE KIRCHHOFF: LA SUMA DE LAS TENSIONES A LO LAR GO DE UNA MALLA ES NULA EN TODO INSTANTE MALLA ES NULA EN TODO INSTANTE ∑∑ uu ii=0=0

LUEGO PODEMOS DECIR QUE EXISTE DUALIDAD ENTRE TENSILUEGO PODEMOS DECIR QUE EXISTE DUALIDAD ENTRE TENSI ÓÓN E INTENSIDAD Y N E INTENSIDAD Y MALLA Y NUDOMALLA Y NUDO


22

DECIMOS QUE DOS ELEMENTOS SON DUALES ENTRE SI CUAND O SUS ECUACIONES DE

DEFINICIÓN LO SON.

PARA LA RESISTENCIA CON ECUACIÓN DE DEFINICIÓN: u(t)= R·i(t), ELELEMENTO DUAL

DEBERIA DE TENER COMO ECUACIÓN: i(t)= K·u(t), QUE SE CORRESPONDE CON LA ECUACIÓN

DE LA CONDUCTANCIA, LUEGO LA RESISTENCIA Y LA CONDU CTANCIA SON DUALES ENTRE SI.

PARA LA BOBINA LA ECUACIÓN DE DEFINICIÓN NOS DICE Q UE u(t)= L·(di(t)/dt), LUEGO EL

ELEMENTO DUAL TIENEN QUE TENER UN ECUACIÓN DE DEFIN ICIÓN QUE SE CORRESPONDA

CON: i(t)= K ’·(du(t)/dt), QUE SE CORRESPONDE CON LA ECUACÍÓN DEL CONDENSADOR, LUEGO

EL CONDENSADOR Y LA BOBINA SON DUALES ENTRE SI.

EN EL CASO DE LA FUENTE IDEAL DE TENSIÓN, CON ECUAC IÓN DE DEFINICIÓN: eg(t)= u(t),

ENTONDES EL ELEMENTO DUAL TENDRA UNA ECUACIÓN DE DE FINICIÓN: ig(t)= i(t), , QUE SE

CORRESPONDE CON LA ECUACIÓN DE LA FUENTE IDEAL DE C ORRIENTE LUEGO LA FUENTE

IDEAL DE TENSIÓN Y LA DE CORRIENTE SON DUALES ENTRE SI.

SI CONSIDERAMOS UN CORTOCIRCUITO COMO UNA FUENTE DE TENSIÓN CON eg(t)= 0, EL

ELEMENTO DUAL TENDRA UNA ECUACIÓN: ig(t)=0 , QUE SE CORRESPONDE CON EL CIRCUITO

ABIERTO QUE ES EQUIVALENTE A UN AFUENTE DE CORRIENT E QUE NOS DE 0 A.

PARA LA IMPEDANCIA OPERACIONAL Z(D) = u(t)/i(t), LUEGO EL ELEMENTO DUAL TIENE QUE

TENER COMO ECUACIÓN: i(t)/u(t), QUE SE CORRESPOND ECON LA ECUACIÓN DE LA

ADMITANCIA OPERACIONAL, LUEGO IMPEDANCIA Y ADMITANC IA SON DUALES


ELEMENTOS DUALES EN TEORÍA DE CIRCUITOS

23

GRUPO DE CORTE BÁSICOLAZO BÁSICO

RAMA DEL ARBOLESLABÓN

CIRCUITO ABIERTOCIRCUITO CORTOCIRCUITADO

FUENTE IDEAL DE CORRIENTEFUENTE IDEAL DE TENSIÓN

NÚMERO DE NUDOSNÚMERO DE MALLAS

RAMAS CONCURRIENDO EN UN NUDORAMAS FORMANDO UNA MALLA

CONFIGURACIÓN PARALELOCONFIGURACIÓN SERIE

2ª LEY DE KIRCHHOFF ∑u i=01ª LEY DE KIRCHHOFF ∑i i=0

ADMITANCIA OPERACIONAL Y(D)IMPEDANCIA OPERACIONAL Z(D)

FLUJO MAGNÉTICO Φ(t)CARGA ELECTRICA q(t)

CAPACIDAD CINDUCTANCIA L

CONDUCTANCIA GRESISTENCIA R

CORRIENTE i(t)TENSIÓN u(t)


PROPOSICIONES DUALES EN TEORIA DE CIRCUITOS

24

3.5 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema VI.

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.Capitulo IV, lección 11.

• J.W. Nilsson, Circuitos Eléctricos, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington 1995.Capitulo 5.

• UNE-EN 60375 Convenios relativos a circuitos eléctricos magnéticos.• UNE-EN 60027-1: 2009 Símbolos literales utilizados en Electrotecnia. Parte 1.• UNE 21302-131 Vocabulario electrotécnico. Parte 131: Teoría de Circuitos.• UNE 21302-151: 2004 Vocabulario Electrotécnico. Parte 151: dispositivos eléctricos y

magnéticos.

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