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1Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

Tema 5: Dinámica del punto II

FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton

Dinámica del punto material

Trabajo mecánico

Teoremas de conservación

Energía

Cantidad de movimiento

Momento cinético

Oscilaciones


Leyes de NewtonLeyes de Newton

Ley de inercia

Segunda ley

Principio de acción y reacción

Principio de superposición

Lasa leyes de Newton de la Dinámica permiten calcular el movimiento de

una partícula provocado por las interacciones que actúan sobre ella


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


Dinámica de una partículaDinámica de una partícula

Conocidas las fuerzas, la Segunda Ley proporciona la ecuación diferencial

del movimiento en un sistema de referencia inercial

Ecuación diferencial

Ligaduras

Condiciones iniciales

Elementos para resolver un problema de dinámica del punto

A la inversa, conocida la aceleración y los vínculos, podemos determinar

las fuerzas


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


Trabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccionalTrabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccional

La fuerza realiza un trabajo sobre el cuerpo durante su movimiento

A B

El signo depende del sentido relativo

si F ⊥ dr no hay trabajo mecánico

En el SI internacional la unidad base es el Julio


Trabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitrariaTrabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitraria

Se divide el trayecto en segmentos infinitesimales

(t)

En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales

XY

Z

O

AB

X Y

Z

O

Trabajo de la fuerza sobre la partícula cuando esta se

desplaza un dr


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


Energía cinéticaEnergía cinética

Puede interpretarse diciendo que, al realizar trabajo sobre la partícula, la

fuerza le transfiere la cantidad d(mv2/2) en el trayecto dr

Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton


Energía cinéticaEnergía cinética

Definición

Depende de las propiedades de la partícula: masa y velocidad

Está relacionada con la capacidad de la partícula de realizar trabajo

Es un escalar

Se mide en Julios

Combina la inercia (m) con la cinemática (v)

No es igual que caiga en el pie una pluma que una bola de plomo, aunque tengan la

misma velocidad


Energía cinética: relación con el trabajoEnergía cinética: relación con el trabajo

Trabajo total de una fuerza sobre una partícula en el trayecto A - B

A

B

Teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética

Versión localVersión finita

El trabajo modifica el valor de la energía cinética de la partícula

Es válido para cualquier tipo de fuerza

Si hay varias fuerzas actuando


PotenciaPotencia

Potencia instantánea

Mide la tasa con la que se realiza trabajo

Se mide en Watios

Potencia transferida por una fuerza sobre una partícula en movimiento

Versión instantánea del teorema de las fuerzas vivas


Conservación de la energía cinéticaConservación de la energía cinética

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su

trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo

Ejemplos

Partícula libre

Movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra

Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular)

Movimiento de una carga eléctrica en el seno de un campo magnético


A

B

1

Energía potencialEnergía potencial

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que

se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida

2

La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la

fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando

el signo

El origen de la energía potencial es arbitrario

A

B

12


Energía potencial gravitatoriaEnergía potencial gravitatoria

z

Z A

B

12

Fuerza gravitatoria cerca de la superficie

Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento

infinitesimal

Diferencia de energía potencial entre dos puntos

Energía potencial gravitatoria (con una referencia arbitraria en z=0)


Energía potencial de un muelle idealEnergía potencial de un muelle ideal

PO

Fuerza del muelle

Trabajo realizado por Fk en un

desplazamiento infinitesimal

Energía potencial elástica (con referencia de potencial en l0)


Energía mecánicaEnergía mecánica

Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una

energía potencial por cada fuerza conservativa)

Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su

energía mecánica se conserva

Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía

mecánica

Demostración


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


Cantidad de movimientoCantidad de movimiento

La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto

de su masa por su velocidad

Teorema de la cantidad de movimiento

Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton

Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental

y finita)

Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño

[p] = kg m s-1


Conservación de la cantidad de movimientoConservación de la cantidad de movimiento

Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de

movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su

cantidad de movimiento

Demostración

Ejemplo

Z

X


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


Momento cinéticoMomento cinético

El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto

vectorial

[L] = kg m2 s-1 O

P

Teorema del momento cinético


Conservación del momento cinéticoConservación del momento cinético

Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con

centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante

Demostración

Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la

proyección del momento cinético sobre n

Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético

En este casoO

P


ÍndiceÍndice

Leyes de Newton


Trabajo mecánico


Energía


Momento cinético

Oscilaciones


OscilacionesOscilaciones

Movimiento periódico: la posición, velocidad y aceleración del cuerpo se

repiten cada cierto intervalo de tiempo

Ejemplos

Barca en el mar

Bandera al viento

Péndulo de un reloj

Moléculas en un sólido

Voltaje e intensidad en circuitos de corriente alterna

En general cualquier objeto desplazado ligeramente de una posición de

equilibrio realiza un movimiento periódico


Dinámica del MASDinámica del MAS

Ecuación diferencial del MAS

Fuerza restauradora proporcional al

desplazamiento

Constante del muelle k

Segunda Ley de Newton en una dimensión

Cuerpo unido a un muelle

Si la ecuación de un movimiento tiene esa forma, es un MAS


Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS

Problema

Solución general

Ecuación diferencial

Condiciones iniciales

Forma 1

Forma 2

Relación


Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS

Significado físico de las constantes

A es la amplitud

es la frecuencia angular

es la constante de fase

La constante de fase indica cuando “comienza” la función


T

T

Período y frecuenciaPeríodo y frecuencia

Período: es el tiempo necesario para completar una oscilación

Frecuencia: número de oscilaciones por

segundo

[T] = s

[f] = Hz = s-1

Frecuencia angular


Ejemplos: muelle verticalEjemplos: muelle vertical

Muelle de longitud natural

Una masa colgando en equilibrio

Se tira de la masa y se suelta

Problema de movimiento

Solución

La frecuencia no depende de la amplitud ni de la velocidad inicial

MAS


Aplicaciones del muelleAplicaciones del muelle

El hecho de que la frecuencia no dependa de la amplitud ni la velocidad

inicial tiene aplicaciones interesantes

Medida de masas a partir del período de oscilación

El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa en el segundo viaje del Skylab (1973)

En los instrumentos musicales la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con

que se pulse la cuerda o se apriete la tecla de un piano


x

t

0A

0A−

Condiciones inicialesCondiciones iniciales

Aplicación de las condiciones iniciales

Representación gráfica

x


Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración

PosiciónA

-A

2T 3

2TT

-Aω

Aω

2T 3

2TT

-Aω2

Aω2

2T 3

2TT

Aceleración

Velocidad

Amplitud máxima:

Velocidad máxima:

Desfase de /2 con la posición

Aceleración máxima:

Desfase de /2 con la velocidad

Desfase de con la posición


A

-A

-Aω

Aω

-Aω2

Aω2

2T

2T

2T

32T

32T

32T

T

T

T

x

x

x

x

x

Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración


Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle

cE

21

2E kA=

No depende de la masa

La energía se trasvasa

continuamente de cinética a potencial

y viceversa

Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante


cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

x

x

x

x

x



x

x

x

x

xcE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=

cE

21

2E kA=



Energía: energía mecánica del muelleEnergía: energía mecánica del muelle

Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante

Energía cinética:

Energía potencial:

Posición y velocidad

Energía mecánica


ResumenResumen

Introducción

Leyes de Newton

Trabajo mecánico

dW = F⋅dr

Energía

Energía cinética: conservación

Energía potencial

Energía mecánica: conservación


Impulso mecánico

Conservación

Momento cinético

Conservación


ResumenResumen

Oscilaciones

Amplitud, período frecuencia

Posición, velocidad y aceleración

Energía

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