tema 5: teoría de colas

Tema 5: Teoría de colas

Ezequiel López Rubio

Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación

Universidad de Málaga

Sumario

Conceptos básicosCola M | M | 1Cola M | M | cCola M | M | 1 | kRedes de colas Redes de Jackson abiertas Redes de Jackson cerradas

Conceptos básicos

Concepto de cola

Una cola es una línea de espera para determinado servicio Este servicio lo proporciona uno o varios

dependientes La teoría de colas analiza la causa de la

formación de la cola, que es la existencia de momentos en los que hay una mayor demanda de servicio que la capacidad de servicio

Clasificación de sistemas de colas

Llamaremos clientes, trabajos o tareas a los que demandan servicio, y dependientes, empleados o servidores a los que ofrecen servicio

Un sistema de colas viene dado por varias características: 1º Modelo de llegada de clientes, El índice de

llegadas será el número medio de llegadas por unidad de tiempo, Alternativamente podemos usar el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadas sucesivas


2º Modelo de servicio, Puede venir dado por el tiempo de servicio o por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo, Tendremos una variable aleatoria o bien un servicio determinista, Aquí supondremos que el modelo de servicio es independiente del de llegada

3º Disciplina de la cola, Establece el orden en que se va atendiendo a los clientes: Por orden de llegada (FIFO) Por orden inverso al de llegada (LIFO) Selección aleatoria (RANDOM) Según prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos:

Con interrupción, Si llega un cliente de más prioridad, el trabajo que se estaba sirviendo se interrumpe para atenderlo

Sin interrupción, No se pueden interrumpir los trabajos Dentro de cada clase de prioridad se podrán aplicar disciplinas LIFO, FIFO

o RANDOM,


4º Capacidad del sistema, Es el número máximo de clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Si llega un cliente y el sistema está lleno, se marcha,

5º Número de canales de servicio, Es el número de dependientes, Puede haber una cola para cada dependiente o bien una sola cola global

6º Número de estados de servicio, Puede haber varias partes en las que se subdivide el trabajo (estados), cada una con su cola y su dependiente, que deben ser completadas sucesivamente, P, ej,, tres estados:

Notación de Kendall

La notación de Kendall nos permite escribir resumidamente todas las características que hemos estudiado, Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde: A es el modelo de llegadas, Valores posibles:

M=tiempos entre llegadas exponenciales D=tiempos entre llegadas deterministas G=tiempos entre llegadas generales (cualquier

distribución) B es el modelo de servicio, Puede tomar los

mismos valores que A

Notación de Kendall

X es el número de dependientes (servidores) Y es la capacidad del sistema (número máximo

de clientes en el sistema), Se puede omitir si es infinita

Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO V es el número de estados de servicio, Se puede

omitir si es 1 Por ejemplo, M | M | 1 | | FIFO | 1 se

escribe abreviadamente M | M | 1

Medidas de rendimiento

Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo es evaluar su rendimiento, Para ello tenemos varias medidas de rendimiento: Número medio de clientes en el sistema, notado

L Tiempo medio de espera de los clientes, W Número medio de clientes en la cola, Lq

Tiempo medio de espera en cola de los clientes, Wq

Cola M | M | 1

Descripción del modelo Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un

solo servidor, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de

Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()

Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturación

Se demuestra que si , el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

donde,1

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades

El parámetro se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos

Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

1nnp

Medidas de rendimiento El número medio de clientes en el sistema, L, se

calcula así:

000

11j

j

j

j

jj jjpjL

Sumamos la serie aritmético-geométrica:

...432 432 S

...32 432 S

1

...1 432S

111 2L


La utilización del dependiente, notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él:

UU

Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1

Medidas de rendimiento El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que

un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

1111

1000

LppjpjW j

jj

jj

j

Tiempo que se pasaen el sistema sihay j por delante

al llegar

Probabilidad de quehaya j por delante

al llegar


Podemos simplificar algo más:

11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):

1

WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

qW

Ejemplo

Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante de dependiente, pagado con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min

Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo

Tenemos dos opciones: Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 h Con ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, = 10 clientes/h Opción 1 (sin ayudante):

mecánicos5

1210

1

1210

1;

12

10

1

111

L

Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h

Ejemplo

Opción 2 (con ayudante):

mecánicos2

1510

1

1510

1;

15

10

1

112

L

Por tanto, perdemos 2·(10€/h) = 20€/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos 4€/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son 24€/h

En la opción 1 perdemos 50€/h y en la opción 2 perdemos 24€/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2,

Más medidas de rendimiento

El número medio de trabajos en la cola Lq, se calcula restándole a L el número medio de trabajos que están siendo servidos:

111

2

0 LpLLq

Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en el sistema:

WtetW /

Wtq etW /

Probabilidad de que un cliente que llega pase más de t unidades de tiempo en la cola:

Ejemplos

Ejemplo: Un canal de comunicación se usa para enviar datos desde unos ordenadores fuente a uno central, Cada fuente envía paquetes de datos según un proceso de Poisson de razón 2 paquetes/seg, Además cada fuente envía independientemente de las otras, Todos los paquetes son idénticos, esperan en una cola común y después se transmiten de uno en uno, Los tiempos de transmisión se distribuyen exponencialmente, con media 25 mseg, Determinar el número máximo de fuentes que se pueden conectar al canal de tal manera que:

Ejemplos

1º El canal no se sature Si tenemos k fuentes, llegarán a la cola 2k

paquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg = 40 paquetes/seg

El canal no se satura cuando <1:

fuentes2012040

2 k

kk

Ejemplos

2º En media los paquetes no pasen en el sistema más de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán

a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/seg

Nos exigen W0,1 seg:

fuentes151,0240

11

k

kW

Ejemplos 3º En el estado estacionario se garantice que al

menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo de respuesta que no exceda de 100 mseg Tal como ocurría en el apartado anterior, llegarán a la

cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/seg Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase

más de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, es decir, W(100 mseg)0,05:

05,0ln42,005,005,01,0 2401,0 keW k

)k que (ya fuentes 5021,52,0

05,0ln4N

kkk

Ejemplos Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parámetros

y se sustituye por n colas M|M|1 independientes de parámetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo y la capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar el efecto del cambio usando como medidas de rendimiento el tiempo medio de respuesta y el número medio de trabajos en el sistema

/n/n

/n/n

…

Ejemplos

Alternativa 1 (una sola cola), 1=, 1= :

1

11 1L

11

111W

Alternativa 2 (n colas independientes), 2=/n, 2=/n :

12

2

1 2

22

1111nLnnnnL

n

n

n

nn

i

Ejemplos

122

2

111nWnW

nn

Como la alternativa 1 tiene menores valores para ambas medidas de rendimiento, concluimos que la dicha alternativa es mejor

Esto nos indica que lo mejor es no dividir la capacidad de procesamiento, es decir, tener un único servidor que atienda a todos los clientes

Teorema de Little

Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y la razón de llegadas al sistema, Entonces:

WL

Teorema de Little

Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las ganancias:

Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a cada uno de los trabajos que vea pasar por unidad de tiempo

Cada vez que transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como media hay en ese instante en el sistema

Teorema de Little

Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el siguiente resultado, también muy útil:

qq WL

Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder conseguir resultados explícitos

Cola M | M | c

Descripción del modelo Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y c

servidores, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de

Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()

Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio de servicio


Se demuestra que si c, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:

c

donde ,1

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

1

1

00 !1!

c

n

ncc

n

c

c

cp

caso otroen ,!

,...,1,0 si ,!

0

0

pc

c

cnpn

c

pnc

n

n


Número medio de clientes en cola:

20

1

1!

c

pcL

cc

q

Usamos razonamientos ya vistos para obtener:

1

qWW

qq WL WL

Otras medidas de rendimiento

Número medio de servidores ocupados, S, En el estado estacionario, la razón de las salidas será igual a la razón de las llegadas:

cSS

Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (fórmula de retraso de Erlang):

1!

0

c

pcq

cc

Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

/2

/2

Alternativa 1: Alternativa 2:

Ejemplos

Alternativa 1:

11L

Alternativa 2:

22

2

1

12

0

22

02 !

2

1!2

2

n

n

np

Ejemplos

12212

02 12

4422421

12

4

p

1

1

12

221

02p

2

2122

2222

qqq WWWWL

2

11

122

12

42 2

3

202

3

22

p

LL q

Ejemplos

11

2

11

2222

11

2 333

2L

1

210

111

2

1

Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de cumplirse que L1<L2:

121 Como <1 siempre se cumple, tendremos que

la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no conviene dividir la capacidad de procesamiento en dos servidores

Ejemplos Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el

sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

/2/2

/2

/2

Alternativa 2:Alternativa 1:

/2/2

Ejemplos

Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):

donde,1

2

12

1

11L

Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo anterior):

22

2

11

22L

Ejemplos

1

110

1

2

11

2

1

2

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2:

011

Como >0 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener una única cola global

Ejemplos

Ejemplo: En una copistería se dispone de 3 máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan como promedio 5 clientes a la hora,

Parámetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, c = 3 servidores, El sistema no se satura porque <1,

245

8·35

c

Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez?

12

0

331

1

00 !

31!3

3!1! n

nc

n

ncc

nnc

cc

p

0,5342706569304

12825

85

12432125

!23

!13

!03

1!33

1121033

clientes 0,00722643

41791302

1!3

3

1! 256930443

20

1

c

pcL

cc

q

¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?

Ejemplos

¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

h 00144529,035979

5241791·5302

q

q

LW

¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?

h 126445,04065514

81

35979521

qWW

¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?

clientes0.632226813514

4065514

·5 WL

Cola M | M | 1 | k

Descripción del modelo Hay una sola cola, cuya disciplina será FIFO, La

capacidad del sistema es limitada, de tal modo que sólo puede haber k clientes como máximo en el sistema, Por lo tanto, el número máximo de clientes en la cola es k–1, Si un cliente llega y el sistema está lleno, es rechazado y nunca más regresa

Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()

Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(), de tal manera que es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo

Probabilidades

El sistema nunca se satura, ya que la capacidad es limitada

Se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n{0, 1, 2, …, k}:

1 si ,1k

1

1 si ,1

11

k

n

np

Probabilidades

El valor de determina cómo varían los pn: Si <1, los estados más probables son los de menor

número de clientes, porque la oferta de servicio supera a la demanda

Si >1, los estados más probables son los de mayor número de clientes, porque la demanda de servicio supera a la oferta

Si =1, todos los estados son equiprobables, Podemos llegar a la fórmula del caso =1 aplicando la regla de L’Hôpital al límite para 1 de la fórmula del caso 1

Si hacemos k, llegamos al modelo M | M | 1


Tasa efectiva de llegadas, ef, Es el número medio de clientes admitidos al sistema por unidad de tiempo de entre los que intentan entrar (ef<):

kef p 1

1 si ,2

1 si ,1

11 1

1

k

k

Lk

k

Número medio de clientes en el sistema (este valor siempre debe ser inferior a k):


Podemos obtener las demás medidas de rendimiento mediante razonamientos ya vistos, teniendo en cuenta que la tasa efectiva de llegadas al sistema es ef:

1

qWW

WL efqefq WL

Ejemplo A un taller mecánico llegan vehículos para el cambio de

pastillas de freno, Los coches llegan a un promedio de 18 a la hora según un proceso de Poisson, El espacio físico del taller sólo permite que haya 4 vehículos, y las ordenanzas municipales prohíben esperar fuera, El taller puede servir a un promedio de 6 coches por hora de acuerdo a una distribución exponencial,

Parámetros del sistema: = 18 vehículos/h, = 6 vehículos/h, k = 4 vehículos

36

18

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún vehículo en el taller?

0,00826446

1211

2422

31

31

1

11414

0

0

p

¿Cuál es el promedio de vehículos que hay en el taller?

14

14

1

1

31

31431

3

1

11 k

kkL

vehículos3,5206611121426

2421215

23

Ejemplo

¿Cuánto tiempo pasa por término medio un coche en el taller?

11

111 k

k

kef p

clientes/h 5,950413

121720

31

23118

5

4

horas 0,591666612071

720426

121720

121426

ef

LW

Ejemplo

¿Cuánto tiempo esperan por término medio en la cola los coches?

horas 425,04017

61

120711

WWq

¿Cuál es la longitud media de la cola?

vehículos2,52893121306

4017

·121720 qefq WL

Redes de colas

Redes de colas

Una red de colas es un sistema donde existen varias colas y los trabajos van fluyendo de una cola a otra

Ejemplos: Fabricación (trabajos=artículos) Oficinas (trabajos=documentos) Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes) Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajos

Criterios para decidir a qué cola se dirige un trabajo que acaba de salir de otra: Probabilístico: se elige una ruta u otra en función

de una probabilidad (puede haber distintos tipos de trabajos, cada uno con sus probabilidades)

Determinista: cada clase de trabajo se dirige a una cola fija

Tipos de redes de colas

Se distinguen dos tipos de redes de colas: Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un

momento dado, y tras pasar por una o más colas, sale del sistema, Dos subtipos: Acíclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma

cola (no existen ciclos) Cíclicas: Hay bucles en la red

Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un número fijo de trabajos,

Red abierta acíclica

Red abierta cíclica

Red cerrada

Redes de Jackson abiertas

Definición

Una red de colas abierta se dice que es de Jackson sii: Sólo hay una clase de trabajos Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar del sistema después de haber salido del nodo i, donde r i0 = 1– ∑jrij

Cada nodo i es una cola .|M|ci

La tasa de llegadas externas al nodo i se notará i

El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

1

, 1,...,K

i i j jij

r i K

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal con solución única, que resolveremos para hallar las tasas de llegada a cada nodo i


Para que ninguna de las colas del sistema se sature, es preciso que se cumpla la siguiente condición:

ii

iii c

dondeKi ,1,,...,2,1

Nota: Se trata de la condición de no saturación del modelo M|M|c, aplicada a cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para redes abiertas

Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condición de no saturación, Entonces en el estado estacionario, la distribución del número de clientes en cada nodo es la que sigue:

11

( ) ( ), , , 0K

i i Ki

p p n n n

n

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni clientes en el nodo i, calculada según las ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teorema

Corolario: Las medidas de rendimiento para cada nodo se calculan según las ecuaciones del modelo M|M|c, Además se tendrán las siguientes medidas: Tasa global de salidas del sistema (throughput),

que es el número medio de trabajos que salen del sistema por unidad de tiempo, Coincide con el número de trabajos que entran en el sistema:

K

iired

1


Número medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos:

K

iired LL

1

Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella:

red

redred

LW


Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale:

red

iiVKi ,,...,2,1

Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acíclica)

11,5 2

0,8

3

0,2

60,5

40,6

50,4

1

2 1,2,..,6i i


En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; 6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:

1 2 31,5; 0,3; 1,2;

4 5 60,72; 0,98; 0,5

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r r

4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r r


Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L

4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L

Condición de no saturación (se cumple porque i<1):

ii

i

1 2 30,75; 0,15; 0,6;

4 5 60,36; 0,49; 0,25

i

iiL

1


ii

iW 1

1 2 32; 0,5882; 1,25;W W W

4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W

i

iqi WW1

1 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W

4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W

Red abierta cíclica

10,2 2

0,7

3

0,3

40,1

50,9

0,8

0,6

3 1,2,4

4 3,5

i

i

i

i

Ejemplo (red cíclica)

En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:

1 2 30,2; 0,06; 2,0434;

4 50,2043; 1,8391


1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r r

4 3 34 5 3 35;r r


Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L

4 50,0731; 0,8511L L

Condición de no saturación (se cumple porque i<1):

ii

i

1 2 30,0666; 0,02; 0,5108;

4 50,0681; 0,4597

i

iiL

1


ii

iW 1

1 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W

4 50,3576; 0,4627W W

i

iqi WW1

1 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W

4 50,0243; 0,2127q qW W

Redes de Jackson cerradas

Definición

Una red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii: Sólo hay una clase de trabajos Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del nodo i,

Cada nodo i es una cola .|M|ci

Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema

El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

* *

1

, 1,...,K

i j jij

r i K

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegada relativas a cada nodo i*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incógnita, por ejemplo 1*=1

Análisis del valor medio

Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema: Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i

Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visita

i(M)=Tasa real de salidas del nodo i

Se trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0

Análisis del valor medio

Las ecuaciones son:

*

*1

( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

( )( ) , 1,..., 1,...,

( )

jj

j j j

j jj K

i ii

L mW m j K m M

c

W mL m m j K m M

W m

(0) 0, 1,...,jL j K

( )( ) , 1,..., 1,...,

( )j

jj

L mm j K m M

W m

Red cerrada

1

20,3

40,7

31

1

1 5 1,2,..,6i i

Ejemplo (red cerrada)

En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solución es, tomando 1*=1:

* *1 21; 0,3;

* *3 40,3; 0,7


* * * * *1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r r

* * * *3 2 23 4 1 14;r r


1 ( 1)( ) , 1,...,4

5j

j

L mW m j

11

1 2 3 4

( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

22

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

33

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

44

1 2 3 4

0,7 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m


Primera iteración:

(0) 0, 1,...,4jL j 1 (0)(1) 0,2 1,...,4

5j

j

LW j

1

0,2(1) 1 0,4347

2,3 0,2L

2

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L

4

0,7 0,2(1) 1 0,3043

2,3 0,2L

3

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L


m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)

0 -- -- -- -- 0 0 0 0

1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043

2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034

3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849

4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401

5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644

6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564

7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16


m

L

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


m

W

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ejemplo (red cerrada)Utilización del

servidor (%)

U=/=

L/(W)

m

Cola 1

Cola 4

Colas 2 y 3

Cuellos de botella

Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema

Definición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m

En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1

tema 5: teoría de colas

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