tema 8 Álgebra lineal: teoría de grafos

Teorıa de grafosEl concepto de grafo

Grafos y matrices

Teorıa de grafosEstudios de Ingenierıa

Juan Gabriel Gomila

Frogames

[email protected]

10 de febrero de 2016

Juan Gabriel Gomila Tema 8 - Introduccion a la Teorıa de Grafos


Grafos y matrices

Indice

1 Teorıa de grafosUn poco de historia

2 El concepto de grafoDefinicion geometrica del grafoDefinicion algebraica del grafo

3 Grafos y matricesRepresentacion matricialIsomorfismo de grafosGrafos de Euler y grafos de Hamilton



Grafos y matricesUn poco de historia


2 El concepto de grafoDefinicion geometrica delgrafo

Definicion algebraica delgrafo

3 Grafos y matricesRepresentacion matricialIsomorfismo de grafosGrafos de Euler y grafos deHamilton




Origen de los grafos

La teorıa de grafos es una rama de la matematica que surge y sedesarrolla para dar soluciones a problemas muy concretos.El problema que la mayorıa de autores senalan como el origen de lateorıa de grafos es el problema de los puentes de Konigsberg





Durante el siglo XVIII, la ciudad de Konigsberg (Prusia Oriental)estaba dividida en cuatro zonas por el rio Prevel. Habıa sietepuentes que comunicaban estas regiones como demuestra el dibujo:





Los habitantes de la ciudad no tenıan ni BioFestes ni Univerlands,en lugar de tener vuestras mismas necesidades, necesitabanencontrar una manera de pasear por la ciudad que les permitiera ira una determinada region, cruzar cada puente una unica vez yvolver al lugar de partida.





Para resolver este problema, Euler represento las cuatro zonas de laciudad por cuatro puntos y los puentes por aristas que uniesen lospuntos, tal y como se ve en la figura:





Actualmente, la teorıa de grafos se aplica dentro y fuera de lasmatematicas y sigue siendo un rama de investigacion muy activa.Sus aplicaciones son muy importantes en la ingenierıa y resultan degran utilidad para la representacion de datos, diseno de redes detelecomunicacion...



Grafos y matrices

Definicion geometrica del grafoDefinicion algebraica del grafo







Grafos y matrices


¿Que es un grafo?

Los grafos se pueden considerar formalmente como diagramas(representaciones geometricas) o bien algebraicamente como unpar de conjuntos (representacion algebraica). Veanse ambos tiposde definiciones:



Grafos y matrices








Grafos y matrices


Definicion geometrica del grafo

Definicion

Geometricamente, un grafo G es un conjunto de puntos delespacio, algunos de los cuales estan unidos entre ellos mediantelıneas.

Este grafo puede simbolizar por ejemplo un mapa de carreterasdonde los puntos representan ciudades y las lıneas, las carreterasque las unen. En este caso, el grafo puede informar de las posiblescomunicaciones que existen entre las ciudades, pero este grafo Gtambien podrıa esquematizar un circuito electrico.



Grafos y matrices


Definicion geometrica del grafo

Se ha de hacer constar que un grafo solo contiene informacionsobre la conectividad entre puntos y no da informacion geometricaen sentido euclıdeo (distancias, angulos...). Ası los siguientesdiagramas representan el mismo grafo.



Grafos y matrices








Grafos y matrices


Definicion algebraica del grafo

Definicion

Un grafo G se define como un par ordenado de conjuntosG = (V ,E ) = (V (G ),E (G )) donde:

V es un conjunto no vacıo de puntos V = {v1, v2, · · · , vn}denominados vertices, y

E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V ,denominados aristas

Si dos vertices u, v estan unidos por la misma arista, entoncesdıcese que son adyacentes y se representan por su arista por {u, v}En este caso tambien se dira que u y v son incidentes a la arista{u, v}



Grafos y matrices


Definicion algebraica de grafo

Para representar algebraicamente un grafo es necesario poderdistinguir los vertices y las aristas. Ası:

G = (V (G ),E (G ))

V = V (G ) = {v1, v2, v3, v4}; E = E (G ) = {e1, e2, e3, e4}Donde e1 = {v1, v2}, e2 = {v2, v3}, e3 = {v3, v4}, e4 = {v2, v4}



Grafos y matrices



Definiciones

El numero de vertices del grafo G , |V (G )| se denomina elorden del grafo.

El numero de aristas del grafo G , |E (G )| se denomina eltamano del grafo.

Grafo trivial

Un grafo G es finito si |V (G )| y |E (G )| son finitos. Si un grafofinito tiene un vertice y no tiene ninguna arista, nos referiremos ael como grafo trivial (corresponde a un solo punto)



Grafos y matrices



Ejemplo

El siguiente diagrama no corresponde a un grafo ya que contiene:

Aristas multiples: las aristas e4 y e5 se unen a los vertices v3 yv4 (multigrafo).

Bucles: la arista e6 une el vertice v2 con el mismo(pseudografo).



Grafos y matrices



Ejemplo

Notese en este caso:

E (G ) = {e1 = {v1, v2}, e2 = {v2, v3}, e3 = {v1, v4},

e4 = {v3, v4}, e5 = {v3, v4}, e6 = {v2, v3}}

E (G ) no es un conjunto, ya que tiene elementos repetidos {v3, v4};es decir, las aristas e4 y e5 y la arista e6 comienzan y acaban en elmismo vertice.



Grafos y matrices



La definicion de grafo dada anteriormente se corresponde con ladefinicion que diversos autores dan de grafo simple. Y cuando sepermiten aristas multiples y/o bucles como los del ejemploanterior, se clasifica como grafo general.



Grafos y matrices


Grafos dirigidos

Otro concepto que resulta util es el de digrafo o grafo dirigido.

Digrafo

Sea G un grafo simple (o grafo general). Si a cada arista se leasigna un sentido, se dira que es un digrafo.

Las aristas en estos casos son pares ordenados D1 6= D2.Juan Gabriel Gomila Tema 8 - Introduccion a la Teorıa de Grafos


Grafos y matrices


Grado de un vertice

Ariastas incidentes

Dıcese que una arista e es incidente con un vertice v si v esextremo de e.

Grado de un vertice

El grado de un vertice v , gr(v) es igual al numero de aristas queson incidentes con v .



Grafos y matrices


Grado de un vertice

Como cada arista es incidente a ambos vertices, se tiene elsiguiente resultado util:

Teorema

Sea G = (V ,E ) un grafo, V = {v1, v2, · · · , vn}, entonces la sumade los grados de los vertices de G es igual al doble del numero dearistas:

n∑i=1

gr(vi ) = 2|E |



Grafos y matrices


Grado de un vertice

Ejemplo

gr(v1) = 2 gr(v2) = 3 gr(v3) = 3 gr(v4) = 2

n∑i=1

gr(vi ) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 · 5 = 2|E |



Grafos y matrices


Grado de un vertice

Teorema

Un vertice es par o impar segun su grado sea par o impar.

Nota

El teorema anterior tamben es valido para grafos generales.



Grafos y matrices


Grado de un vertice

Ejemplo

gr(v1) = 2 gr(v2) = 4 gr(v3) = 3 gr(v4) = 4

n∑i=1

gr(vi ) = 2 + 4 + 3 + 3 = 12 = 2 · 6 = 2|E |



Grafos y matrices


Grado de un vertice

Ejercicios

1 Dibujese, si es posible, un grafo con 5 vertices, de manera queel grado de cada vertice sea 3.

2 Dibujese, si es posible, un grafo con 5 vertices, de manera queel grado de cada vertice sea 2.



Grafos y matrices


Caminoss

En un grafo que represente, por ejemplo, una red decomunicaciones es importante conocer la existencia de caminosque recorren todas las aristas o todos los vertices y que, en ciertamanera, sean los mas economicos. Para eso se van a ver lassiguientes definiciones basicas (la nomenclatura que se da aquı noes unica, hay autores que dan nombres diferentes):



Grafos y matrices


Caminos

Definicion

Un camino en un grafo G es una secuencia finita alternada devertices y aristas de G :

v0 → e1 = {v0, v1} → v1 → e2 = {v1, v2} · · · en = {vn−1, vn} → vn

v0, e1, v1, e2 · · · en, vnDonde cada arista tiene por extremo los vertices inmediatamenteprecedentes o siguientes de la secuencia. Por lo que el caminotambien se puede representar por la secuencia de verticesv0, v1, · · · , vn.



Grafos y matrices


Caminos

Extremos del camino

Los vertices v0 y vn se denomina extremos del camino y se dice queel camino va de v0 a vn o que conecta v0 con vn.

Longitud del camino

La longitud del camino es el numero de aristas que contiene.



Grafos y matrices


Caminos

Clasificacion de los caminos

Recorrido: camino sin aristas repetidas.

Camino simple: recorrido sin vertices repetidos excepto elprimero y el ultimo.

Camino cerrado: camino en el cual sus dos extremoscoinciden. Es decir, comienza y acaba en el mismo vertice. encaso contrario el camino es abierto.

Circuito: recorrido cerrado.

Ciclo: circuito que tambien es camino simple.



Grafos y matrices


Caminos

Clasificacion de los caminos

Dado el grafo, clasifıquense los siguientes caminos:



Grafos y matrices


Caminos

Clasificacion de los caminosv2v3v4v5v2

v2v3v4v5

v6v2v3v4v5v2v1v6

v1v2v6v1



Grafos y matrices


Conectividad

Existen grafos en los cuales para cada par de vertices vi , vj hay, almenos, un posible camino que los conecta y otros casos en loscuales es imposible unir dos vertices dados.



Grafos y matrices


Conectividad

Grafo conexo

Un grafo G dıcese conexo si existe un camino simple entrecualquier par de vertices vi , vj .En caso contrario, el grafo es no conexo y los vertices vi y vjpertenecen a diferentes componentes conexas del grafo. El numerode componentes conexos de un grafo se denota por K (G ).



Grafos y matrices


Conectividad

Ejemplo

G1 es un grafo conexo, mientras que G2 y G3 no lo son.K (G1) = 1,K (G2) = 2,K (G3) = 3.



Grafos y matrices

Representacion matricialIsomorfismo de grafosGrafos de Euler y grafos de Hamilton







Grafos y matrices


Representacion matricial de los grafos

Definicion

Sea G = (V ,E ) un grafo simple con V = {v1, v2, · · · , vn}. Sedefine su matriz de adyacencia como la matriz cuadrada:

A(G ) = (aij)n×n =

{1 si vi y vj son adyacentes0 en otro caso

Notese que A(G ) es una matriz simetrica y queaii = 0 ∀ i = 1, · · · , n.La matriz de adyacencia no es unica (depende de la ordenacion delos vertices).



Grafos y matrices



Definicion

Si G = (V ,E ) es un grafo general V = {v1, v2, · · · , vn}, sedefine A(G ) = (aij)n×n donde aij es el numero de aristas queunen vi con vj . Entonces, A(G ) es simetrica.

Si G = (V ,E ) es un digrafo V = {v1, v2, · · · , vn}, se defineA(G ) = (aij)n×n donde aij es el numero de aristas que unen vicon vj . Entonces, A(G ) no es simetrica.



Grafos y matrices



Ejemplo

A(G ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

=

0 1 0 01 0 1 10 1 0 10 1 1 0

Con aij ∈ {0, 1} y aii = 0



Grafos y matrices



Ejemplo

A(G ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

=

0 1 0 11 1 1 00 1 0 21 0 2 0

En este caso aij puede ser mas grande que 1 ya que el grafo tienearistas multiples y aii 6= 0 (bucles)



Grafos y matrices



Teorema

Sea A(G ) la matriz de adyacencia de un grafo con n vertices.Entonces la entrada (i , j) de la matriz Am nos dara el numero decaminos de longitud m que conecten los vertices vi y vj .



Grafos y matrices



Ejemplo

Si se considera la matriz del ejemplo anterior:

A(G ) =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

=

0 1 0 01 0 1 10 1 0 10 1 1 0

Se tiene que:

A2(G ) =

1 0 1 10 3 1 11 1 2 11 1 1 2

; A3(G ) =

0 3 1 43 2 4 41 4 2 31 4 3 2



Grafos y matrices



Ejemplo

Considerese por ejemplo el elemento a14 de estas tres matrices.

El elemento a14 de A(G ) es cero, eso indica que no hayningun camino entre los vertices v1 y v4, pero eso no indicaque no se puedan conectar estos vertices.

El elemento a14 ∈ A2(G ) toma el valor 1, indicando ası queexiste un camino de longitud 2 que conecta v1 y v4. Estecamino sera: v1v2v4.

El elemento a14 ∈ A3(G ) toma el valor 1, entonces existe uncamino de longitud 3 que conecta v1 y v4. Este camino serav1v2v3v4.



Grafos y matrices








Grafos y matrices


Isomorfismo de grafos

Definicion

Sean G (V ,E ) y G ′(V ′,E ′) dos grafos (o grafos generales sinbucles) y f : V −→ V ′ una aplicacion biyectiva tal que

{u, v} ∈ E ⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ E ′

Entonces se dira que f es un isomorfismo entre G y G ′ o que G yG ′ son grafos isomorfos.

En general no es facil determinar cuando dos grafos son o no sonisomorfos.Es claro que si dos grafos son isomorfos han de tener el mismonumero de vertices e igual numero de aristas, pero eso no essuficiente.



Grafos y matrices



Teorema

Si G y G ′ son grafos isomorfos, entonces:

si v ∈ V =⇒ gr(v) = gr(f (v))



Grafos y matrices



Ejemplo

G y G ′ tienen el mismo numero de vertices y el mismo numero dearistas.∀ v ∈ V (G ), gr(v) = 2, pero en cambio gr(w3) = 1, por tanto Gy G ′ no pueden ser isomorfos.



Grafos y matrices








Grafos y matrices


Grafos de Euler

Definicion

Sea G un grafo conexo

Un camino euleriano es un recorrido en el cual aparecen todaslas aristas.

Un circuito euleriano es un camino euleriano cerrado.

Un grafo euleriano es un grafo con un circuito euleriano.



Grafos y matrices


Grafos de Euler

Teorema

Sea G un grafo entonces:

Si G tiene un circuito euleriano, el grado de cada vertice espar.

Si G tiene un camino euleriano, el grafo G tiene exactamentedos vertices de grado impar (exactamente los vertices dondecomienza y acaba el camino).



Grafos y matrices


Grafos de Euler

Ejemplos

Considerese el grafo siguiente:

La secuencia e2 e4 e5 e8 e1 e7 e3 e6 es un camino euleriano.

gr(v1) = 3, gr(v2) = 3, gr(v3) = 4, gr(v4) = 2, gr(v5) = 4

Teniendo dos vertices de grado 3, el camino comienza en uno deellos y acaba en el otro.



Grafos y matrices


Grafos de Euler

Ejemplo

Considerese el grafo que representa los puentes de Konigsberg.

Se observa que a, c y d tienen grado 3 y que b tiene grado 5.Como todos los vertices tienen grado impar se puede deducir queno existe ningun circuito euleriano. Por tanto el problema de lospuentes de Konigsberg no tiene solucion.



Grafos y matrices


Grafos de Hamilton

Definicion

Sea G un grafo:

Un camino de Hamilton es un camino que recorre todos losvertices solo una vez.

Un circuito de Hamilton es un camino de Hamilton cerrado(recorre todos los vertices solo una vez salvo los extremos).

Un grafo con un circuito de Hamilton se denomina un grafode Hamilton.


tema 8 Álgebra lineal: teoría de grafos

Education