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Tema 8:Cuerpos geométricos
Matemáticas Específicas para Maestros
1º Grado en Educación Primaria
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ÍNDICE
DefinicionesTeoremas y fórmulas para el cálculo de
área y volumen
Cuerpos geométricos• Poliedros.
Elementos.Clasificaciones:o Poliedros cóncavos y convexos.o Poliedros regulares e irregulares.
PrismasElementos. Clasificaciones. PirámidesElementos. Clasificaciones
• Cuerpos/sólidos de revolución Cilindro. Elementos. Clasificación. Cono. Elementos. Clasificación. Esfera. Elementos.
• Teorema de Euler
• Área total de poliedros regulares
• Área lateral y total y volumen de prismas
• Área lateral y total y volumen de pirámides
• Área total y volumen de cilindro, cono y esfera• Relación entre el volumen de una esfera, un
cilindro y un cono2
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¿Qué es un cuerpo geométrico?
Definición: un cuerpo geométrico es una porción del espacio cerrada o limitada por superficies.
En este tema nos centraremos en dos tipos: poliedros y cuerpos de revolución.
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Poliedros
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Definición: un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Poliedro: definición
De la definición se deduce que las caras de un poliedro son planas, luego ningún poliedro puede tener ninguna superficie curva 5
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Caras: son los polígonos que delimitan el poliedro.
Aristas: son los segmentos intersección de cada dos caras. Es decir, los lados de las caras del poliedro.
Vértices: son los puntos donde concurren tres o más aristas. Es decir, son los vértices de las caras del poliedro.
Poliedro: elementos
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Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Ángulos diedros: los obtenidos al cortarse dos caras, tienen una arista en común.
Ángulos poliédricos: los obtenidos al cortarse tres o más caras del poliedro, tienen un vértice común.
Poliedro: elementos
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Poliedros: clasificación
Hay varias formas de clasificar los poliedros:
• Según sean cóncavos o convexos
• Según la igualdad de sus caras: regulares o irregulares
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Poliedro convexo: cuyas diagonales son internas.Equivalentemente:• El poliedro en el que una recta solo puede cortar a su superficie en
dos puntos.• El poliedro en el que ninguna cara corta al poliedro al prolongarla.
Poliedro cóncavo: es aquel no convexo. Es decir, que tiene al menosuna diagonal externa.Equivalentemente:• El poliedro en el que una recta puede cortar a su superficie en tres
puntos o más.• El poliedro que tiene al menos una cara que al prolongarla corta al
poliedro.
Poliedros cóncavos y convexos
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Poliedros cóncavos y convexos
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Convexo Cóncavo
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Teorema de EulerFórmula de Euler para poliedros convexos:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2
¿Cuáles de los siguientes poliedros son cóncavos y cuáles convexos?¿Cumplen todos la fórmula de Euler?
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Poliedro regular: es aquel cuyas caras son polígonosregulares y congruentes entre sí (es decir, de lados yángulos iguales).
Poliedro irregular: es aquel no regular.
Poliedros regulares o irregulares
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Poliedros regulares
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Solo existen 5 poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos:
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos 15
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Tetraedro
• Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros
• Tiene 4 vértices y 6 aristas
• Desarrollo plano:
• Área = 4 x Áreatriángulo
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Hexaedro
• Su superficie está formada por 6 cuadrados
• Tiene 8 vértices y 12 aristas
• Desarrollo plano:
• Área = 6 x Áreacuadrado
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Octaedro
• Su superficie está formada por 8 triángulos equiláteros
• Tiene 6 vértices y 12 aristas
• Desarrollo plano:
• Área = 8 x Áreatriángulo
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Dodecaedro
• Su superficie está formada por 12 pentágonos regulares
• Tiene 20 vértices y 30 aristas
Desarrollo plano
Área = 12 x Áreapentágono
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Icosaedro
• Su superficie está formada por 20 triángulos equiláteros
• Tiene 12 vértices y 30 aristas
Desarrollo plano:
Área = 20 x Áreatriángulo20
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Prismas
(un tipo particular de poliedro)
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Prisma: definición
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales (llamadas bases) y el resto de sus caras, (llamadas laterales) son paralelogramos.
Elementos:
• Altura: distancia entre las bases
• Arista básica: arista de las bases
• Arista lateral: arista de las caras laterales
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Prismas: clasificación
Hay varias formas de clasificar los prismas:
• Según sus caras laterales sean rectángulos o no (rectos u oblicuos)
• Según sus bases sean:• Polígonos regulares o no (regulares o irregulares)
• Triángulos, cuadrados, pentágonos… (triangular, cuadrangular, pentagonal…)
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Prismas: rectos u oblicuos
•Prisma recto: sus caras laterales son rectángulos
•Prisma oblicuo: sus caras laterales no son rectángulos
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Prismas: regulares o irregulares
•Prisma regular: sus bases son polígonos regulares
•Prisma irregular: sus bases son polígonos irregulares
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Prismas: triangulares, cuadrangulares, pentagonales…Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos
Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal
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Prismas: área y volumen
Área lateral de un prisma recto
AL=perímetro de la base x h
Área total de un prisma recto
AT=AL +2AB
Volumen de cualquier prisma
V=AB x h
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Pirámides(un tipo particular de poliedro)
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Pirámide: definición
Una pirámide es un poliedro con una sola base poligonal y caras laterales que son triángulos con un vértice común, el vértice de la pirámide.
Elementos:
• Altura: distancia entre la base y el vértice
• Apotema: altura de una cara
• Arista básica: arista de la base
• Arista lateral: arista que concurre en el vértice29
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Pirámides: clasificación
Al igual que pasaba con los prismas, hay varias formas de clasificar las pirámides:
• Según sus caras laterales sean triángulos isósceles o no (rectas u oblicuas)
• Según sus bases sean:• Polígonos regulares o no (regulares o irregulares)
• Triángulos, cuadrados, pentágonos… (triangular, cuadrangular, pentagonal…)
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Pirámides: rectas u oblicuas• Pirámide recta: sus caras laterales son triángulos isósceles, es
decir, la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la altura de la pirámide
• Pirámide oblicua: no es recta
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Pirámides: regulares o irregulares
•Pirámide regular: su base es un polígono regular
•Pirámide irregular: su base es un polígono irregular
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Pirámides: triangulares, cuadrangulares, pentagonales…Reciben su nombre del tipo de polígono que tienen de base.
Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal
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Pirámides: área y volumenÁrea lateral de una pirámide recta
AL= 1
2perímetro base x ap. cara lateral
Área total de una pirámide recta
AT=AL +AB
Volumen de cualquier pirámide
V(pirámide)=1
3V(prisma)=
1
3AB x h
https://www.youtube.com/watch?v=qXC8uzy_HFw
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Cuerpos/sólidos de revolución
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Cuerpos/sólidos de revoluciónLlamamos cuerpo o sólido de revolución al cuerpo geométricoobtenido al rotar una región del plano alrededor de una rectaubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicharecta se denomina eje de revolución.
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Cilindro recto
Llamamos cilindro recto al cuerpo geométrico que se obtiene algirar un rectángulo alrededor de un eje paralelo a él.
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Cilindros: área y volumen• Área lateral
𝐴𝐿 = 2 𝜋𝑟 ℎ
• Área total
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 = 2 𝜋𝑟 ℎ + 2𝜋𝑟2
𝐴𝑇 = 2 𝜋𝑟 (𝑟 + ℎ)
• Volumen𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
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Cono rectoLlamamos cono recto al cuerpo geométrico que se obtiene algirar un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos.
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Cumple: ℎ2 + 𝑟2 = 𝑔2
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Conos: área y volumen
• Área lateral
𝐴𝐿 =2𝜋 𝑟
2 𝜋 𝑔𝜋𝑔2 = 𝜋𝑟 𝑔
• Área total
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟2
𝐴𝑇 = 𝜋𝑟 (𝑔 + 𝑟)
• Volumen
𝑉 𝑐𝑜𝑛𝑜 =1
3𝑉(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) =
1
3𝜋𝑟2ℎ
40https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (min 0-1:15)
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Esfera
Llamamos esfera de radio r alconjunto de los puntos delespacio que están a unadistancia menor o igual que rde otro punto llamado centro.
La esfera es también un cuerpode revolución que se obtiene algirar medio círculo alrededorde uno de sus diámetros.
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Esferas: volumen
𝑉 =4
3𝜋𝑟3
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“Demostración”: Arquímedes probó:
V(esfera)=2
3V(cilindro)
https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (1:15-2:00)
Por tanto, V(esfera)=2
3𝜋𝑟2ℎ =
2
3𝜋𝑟22𝑟 =
4
3𝜋𝑟3
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Relación entre los volúmenes de cilindro, esfera y cono
Comprobación usando las relaciones ya vistas:
V(cono)+V(esfera)=1
3V(cilindro)+
2
3V(cilindro)=V(cilindro)
43
https://www.youtube.com/watch?v=RZkhnIzBC_k (min 2-2:30)
Comprobación usando las fórmulas ya vistas:
V(cono)+V(esfera) =1
3𝜋𝑟2ℎ +
4
3𝜋𝑟3 =
1
3𝜋𝑟2 2𝑟 +
4
3𝜋𝑟3 = 2𝜋𝑟3
V(cilindro)=𝜋𝑟2ℎ = 𝜋𝑟2(2𝑟) = 2𝜋𝑟3
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Esferas: área
𝐴 = 4𝜋𝑟2
44
“Demostración”:
𝑉 =1
3𝑟𝐴𝐿
https://www.youtube.com/watch?v=eg8VO2I_2Gs
4
3𝜋𝑟3 =
1
3𝑟𝐴𝐿 𝐴𝐿 = 4𝜋𝑟2