MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO

TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA -

1. MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR

Módulo: Es la longitud del segmento AB, se representa así:

Dirección: Es la dirección de la recta que contiene el vector o de

cualquier recta paralela a ella.

Sentido: El que va del origen A al extremo B.

2. OBTENCIÓN DE UN VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS

Dados dos puntos A(x1, y1) B(x2, y2), para obtener el vector ,

=(x2 - x1, y2 - y1).

Ejemplo: Conociendo A (3,-1) y B (2,5)

= (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)

3. MÓDULO DE UN VECTOR (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS)

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

Ejemplo: Siendo A (3,-1) y B (2,5), calcula la distancia entre ambos puntos.

=

3761(-1))-(53)-(2 2222 6,08 cm

4. PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la

semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

Ejemplo: Siendo A (1,7) y B (5,-3), calcula los puntos medios.

MAB=

2

37,

2

51 (3,2)

5. PUNTO SIMÉTRICO DE UN PUNTO SOBRE OTRO

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del

segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

A’=

2,

2

12

12

yyy

xxx

Ejemplo: Siendo A (7,2) y B (4,4), calcula el punto simétrico de A sobre B

A’=

2

24,

2

74

yx= 28,78 yx =(x=1, y=6)=(1,6)

6. COMPROBACIÓN DE SI TRES PUNTOS ALINEADOS

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los

vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus

coordenadas son proporcionales.

Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

7. OPERACIONES CON VECTORES

SUMA: Las componentes del vector resta se obtienen restando

las componentes de los vectores.

RESTA: Las componentes del vector resta se obtienen restando

las componentes de los vectores.

Ejemplo: Dados los siguientes vectores calcula:

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K

las componentes del vector.

Ejemplo:

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al

multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo:

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR

Ejemplo:

ÁNGULO DE DOS VECTORES

Ejemplo:

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO

Ejemplo:

Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES

SUMA DE VECTORES

Ahora para representar la suma de vectores gráficamente lo que hay que

hacer es lo siguiente:

1º Represento las coordenadas de u y

uno desde el origen hasta la coordenada.

2º Represento las coordenadas de v y uno

desde el origen hasta la coordenada.

3º Represento las coordenadas de u+v y

uno desde el origen hasta la coordenada.

4º Traslado los vectores u y v, de

manera que se forme un paralelogramo.

Siempre la diagonal del paralelogramo

coincide con la suma de los vectores. La

suma de vectores se conoce como la Ley

del paralelogramo.

RESTA DE VECTORES

Ahora para representar la resta de vectores gráficamente lo que hay que

hacer es lo siguiente:

1º Represento las coordenadas de u y uno

desde el origen hasta la coordenada.

2º Represento las coordenadas de v y uno

desde el origen hasta la coordenada.

3º Represento las coordenadas de u-v y

uno desde el origen hasta la coordenada.

4º Traslado los vectores u y v, de manera

que se forme un paralelogramo. La resta de

vectores, lo que hacemos es unir siempre el

vector que lleva el menos con el otro.

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Ahora para representar el productor escalar de un número por un vector,

basta con trasladar el vector u, tantas veces como nos indique (hacía la

derecha si es positivo y hacía la izquierda si es negativo). Aunque basta con

unir el origen con el resultado del vector.

9. ECUACIONES DE LA RECTA

Para poder obtener una ecuación de la recta es necesario tener un

punto P (x1, y1) y un vector .

ECUACIÓN VECTORIAL

(x,y) =(x1, y1) + λ (v1, v2)

ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera

coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.

22

11

vpy

vpx

ECUACIÓN CONTINUA

Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la

primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e

igualamos.

1

1

v

px

2

2

v

py

2

2

1

1

v

py

v

px

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar

en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0

A partir de la general, podemos saber el vector =(-B,A) ó

=(B,-A), la pendiente B

Am y la ordenada

B

Cn .

ECUACIÓN EXPLÍCITA

Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”:

B

Cx

B

Ay ,siendo la pendiente

B

Am y la ordenada

B

Cn

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en la

ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.

y-y0= m (x-x0)

EJEMPLO DE ECUACIONES DE LA RECTA

Dados los puntos A (3,-1) y B (2,5) calcula las ecuaciones de la recta.

= (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)

A (3,-1)

ECUACIÓN VECTORIAL

(x,y) =(3,-1) + λ (-1,6)

ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera

coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.

61

3

y

x

ECUACIÓN CONTINUA

Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la

primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e

igualamos.

1

3

x

6

1

y

6

1

1

3

yx

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar

en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0

6

1

1

3

yx 6(x-3) = -1 (y+1); 6x-18=-y-1; 6x+y-17=0

ECUACIÓN EXPLÍCITA

Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”:

B

Cx

B

Ay 6x+y-17=0 y=-6x+17

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en

la ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.

y-y0= m (x-x0)

m=-6 A (3,-1)

y+1= -6 (x-3)

10. RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y SABEMOS EL VECTOR

Se resuelven directamente las ecuaciones de la recta ya que sabemos lo

que necesitamos.

11. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Es necesario obtener el vector AB, y utilizar el punto A. Una vez

calculado el vector ya podemos obtener las ecuaciones de la recta.

12. RECTA QUE ES PARALELA A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR UN

PUNTO

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=-2x+4 y el punto P (2,5), obtén

la ecuación paralela a ella que pasa por ese punto.

Lo que hay que saber es que si la ecuación es paralela va a tener la misma

pendiente, es decir, solo necesito saber la ordenada. Por ello yo sé que la

recta va a ser del tipo y=-2x+n. Lo que hay que hacer es sustituir el

punto en la recta esa.

5=-2(2)+n 5=-4+n n=9

Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=-2x+9

13. RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR

UN PUNTO

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=2x-7 y el punto P (4,-2), obtén

la ecuación perpendicular a ella que pasa por ese punto.

Lo que hay que saber es que si la ecuación es perpendicular hay que

calcular la pendiente, con la siguiente fórmula: m· m’=-1.

2 · m’ =-1 m’=2

1

Por ello yo sé que la recta va a ser del tipo y=2

1 x+n. Lo que hay que

hacer es sustituir el punto en la recta esa.

-2=2

1 (4)+n -2=-2+n n=0

Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=2

1 x

14. HALLAR EL VALOR DE K PARA QUE R SEA PERPENDICULAR A R’

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: 2x-ky+11=0 y la recta s:

5x+2y=0 calcula k para que ambas ecuaciones de la recta sean

perpendiculares.

Obtenemos las pendientes de ambas rectas: mr= k

2 y ms=

2

5

Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos k: m· m’=-1.

k

2 ·

2

5 =-1 k=5

15. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

MÉTODO 1 (ECUACIONES EN GENERAL)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

SOLUCIÓN

NUMÉRICA

SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO (SCD)

SECANTES EN ESE

PUNTO

INFINITAS

SOLUCIONES

(0=0)

SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO (SCI)

COINCIDENTES

NO TIENE

SOLUCIÓN (0=Nº)

SISTEMA INCOMPATIBLE

(SI)

PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:7x+3y-63=0

Resolviendo este sistema de ecuaciones por el método que queramos,

obtenemos x=6 e y=7, con lo que el punto donde se cortan es el punto

P (6,7).

Solución: SECANTES EN EL PUNTO P(6,7)

MÉTODO 2 (ECUACIONES EN GENERAL)

Sabiendo que la recta r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0

'A

A≠

'B

B

SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO (SCD)

SECANTES EN ESE

PUNTO

'A

A=

'B

B=

'C

C

SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO (SCI)

COINCIDENTES

'A

A=

'B

B

SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:6x-10y-63=0

'A

A=

'B

B≠

'C

C

6

3=

10

5

≠

63

17

PARALELAS

MÉTODO 3(ECUACIONES EN EXPLÍCITA)

Sabiendo que la recta r: y=mx+n y s: y=m’x+n’ =0

m ≠ 'm SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO (SCD)

SECANTES EN ESE

PUNTO

m = 'm

n=n’

SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO (SCI)

COINCIDENTES

m = 'm

n≠n’

SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: y=10x+17=0 y s: y=10x+17

m=m; 10=10

n=n; 17=17

COINCIDENTES

16. CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO MEDIANTE LA FÓRMULA DE

HERÓN

Mediante la fórmula de Herón, podemos calcular el área de cualquier triángulo,

conociendo tres puntos.

Área = ))·()·(·( cpbpapp siendo p el semiperímetro

Ejemplo: Dadas los puntos A(-2,2) B (1,6) C(6,-6), calcula el área formada por

estos tres puntos.

c= =(3,4) | |= 5 cm

a= =(5,-12)| |= 13 cm

b= =(8,-8) | |= 11,31 cm

Perímetro=29,31 cm

Semiperímetro=2

31,29=14,655 cm

))·()·(·( cpbpappA228)5655,14)·(31,11655,14)·(13655,14·(655,14 cm

17. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento

perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (2,-1) a la recta r de ecuación

3x+4y=0.

18. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

Si A=A’ y B=B’

La distancia entre dos rectas también se puede expresar del siguiente modo:

Calcular la distancia entre las rectas:

Si A≠A’ y B≠B’

19. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Conociendo el centro de la circunferencia y el radio, o conociendo el centro

de la circunferencia y un punto de la circunferencia, podemos obtener la

ecuación de la circunferencia, cuya fórmula es ésta:

222 )()( rbyax

Desarrollando obtenemos la

ecuación general de la

circunferencia:

Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C(-2,3) y el punto X (4,7),

calcula la ecuación general de la circunferencia.

Calculamos el módulo de = 5246 22

222 )()( rbyax 222 )52()3()2( yx si desarrollamos

obtenemos la ecuación general de la circunferencia: x2+y2+4x-6y-39=0

Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C (5,2) y el radio que es 6

cm, calcula la ecuación general de la circunferencia.

222 )()( rbyax 222 6)2()5( yx si desarrollamos obtenemos

la ecuación general de la circunferencia: x2+y2-10x-4y-7=0

Ejemplo: Conociendo la ecuación general de la circunferencia x2+y2-10x-4y-7=0,

calcula el centro y el radio de la misma.

En primer lugar, ordeno las “x” por un lado y las “y” por otro lado, el término

independiente, es decir, el número lo pasamos a la derecha: x2-10x+y2-4y=7

Ahora tenemos que colocar las “x” y las “y” como identidades notables por lo

que tengo que adivinar qué número falta con las “x” y cual con las “y”, para ello

es tan fácil como dividir la “x” y la “y” entre dos y elevarlo al cuadrado, y esos

mismos números lo sumamos a la derecha.

x2-10x +52 +y2-4y+22=7 +52 +22

x2-10x+25+y2-4y+4=7+25+4 222 6)2()5( yx