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Tema I. Matrices y determinantes
1. Matrices sobre un cuerpo2. Operaciones con matrices3. Determinante de una matriz cuadrada4. Menor complementario y adjunto5. Cálculo de determinantes6. Inversa de una matriz cuadrada7. Rango de una matriz
©2007 Carmen Moreno Valencia
1. Matrices sobre un cuerpoDefinición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto de mn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas,
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a aa a a a
A a a a a
a a a a
=
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Matrices 2• A = ( aij), i=1, 2, ..., m; aij ŒKj=1, 2, ..., n.
• El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa aij,
• Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices sobre K de m filas y n columnas.
Ej.
3 2
1 21 ( )
1 22
Mπ ×
− ∈
−
R
2. Producto por escalares
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Matrices 3• Matriz Fila: A ŒM1xn(K)
3 1
13 ( )
2
A M ×
= ∈
R
( ) 1 31 1 ( )A Mπ ×= − ∈ R
• Matriz Columna: AŒMmx1(K)
• Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K). Tiene el mismo número de filas que de columnas
• Diagonal Principal de A la forman los elementos de la forma aii (iguales subíndices)
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Matrices 4
• Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal.• Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad)Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: aii=1; aij=0, iπj
• Matriz triangular Una matriz cuadrada A = ( aij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien por debajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, aij = 0 para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j
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Matrices 5• Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son igualescuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n
3
1 2 12 4 3 ( )0 1 0
A M− −
= ∈ −
R
Una submatriz de A es 3 2
1 22 4 ( )0 1
B M ×
− = ∈ −
R
•Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej.
2. Operaciones con matrices1. Suma
Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij)
A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+biji=1,..., m, j=1,...,n
Ej.2 3
2 3
1 1 0 0 0 1, ( )
2 1 0 2 1 1
1 1 1( )
4 2 1
A B M
A B M
×
×
− = = ∈ −
− + = ∈ −
R
R
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Matrices 6• (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano
• El elemento neutro
1,..,1,..,
0 00 (0)
0 0i mj n==
= =
• La opuesta de A:11 1
1,..,1,..,
1
( )n
ij i mj n
m mn
a aA a
a a==
− − − = − = − −
2. Producto por escalares
λŒK, A ŒMmxn(K)( ) ( )1,.., 1,..,
1,.., 1,..,
11 1
1
i m i mij ijj n j n
n
m mn
A a a
a a
a a
λ λ λ
λ λ
λ λ
= == =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
=
(Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K
Ejemplo
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Matrices 73. Producto de matrices
• AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz producto C= A · B = (cij), ŒMmxpcij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj
1
k n
ik kjka b
=
=
= ⋅∑
Ejemplo
• A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B
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Matrices 8Propiedades• Asociativa A(BC)=(AB)C•Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC• λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B)
(Mn(K), +, ·): Anillo unitario
Unidad del anillo: In: A· In= In·A=A
• El producto de matrices no es conmutativo:
4. Matriz traspuestaDada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz Traspuesta de A, At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m
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Matrices 9
Propiedades
• (A+B)t=At+Bt
• (AC)t=CtAt
• (At)t=A• (λA)t=λ(A)t
Sean A, BŒMmxn(K) , C ŒMnxp (K).
Una matriz cuadrada es simétrica siA = At, (aij = aji para todos i, j)
Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal.
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Matrices 10
Una matriz cuadrada es antisimétrica siA = -At, (aij = -aji para todos i, j)
Los elementos de la diagonal principal son nulos
0 1 2 0 1 21 0 1 , 1 0 12 1 0 2 1 0
tA A− −
= − = − − −
A = -At : A Antisimétrica
Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:
A=(aij), 2 2ij ji ij ji
ij
ij ij
a a a aa
b c
+ −= + =
= +
( ) :2
ji iji j ji ij
a aLa matriz b es simetrica b b
+= =
( ) :2
ji ijij ji ij
a ala matriz c es antisimetrica c c
−= = −
Luego, (aij)=(bij)+(cij)
y
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Matrices 113. Determinante de una matriz cuadrada
• Sea A ŒMn(K), el determinante de A, es un elemento de K dado por la aplicación:
det : ( )det( ) :
nM K KA A A
→= =
1 (1) 2 (2) ( )( ) n nSnsg a a aσ σ σ
σ
σ∈
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ …
• En det(A) aparecen n! sumandos
Determinantes de orden dos
11 12
21 22
a aA
a a
=
2 1 2
1 2 1
2 2
,
1 2( ) 1
1 2
1 2(1 2) ( ) 1
2 1
S
i sg
sg
σ σ
σ σ
σ σ
=
= = = +
= = = −
2n =S2, car(S2)=2!=2
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2
1 1 2 2
1 2
1 (1) 2 (2)
1 1 (1) 2 (2) 2 1 (1) 2 (2)
( )
( ) ( )S
A sg a a
sg a a sg a a
σ σσ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ
σ σ∈
= =
= ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ =
∑ Matrices 12
11 22 12 21 11 22 12 21( 1) ( 1)a a a a a a a a= + ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅
11 12A 11 22 21 1221 22
a aa a a a
a a
= = ⋅ − ⋅
2 3A 2 3 4 ( 3) 18
4 3−
= = ⋅ − ⋅ − =
Ejemplo
3n =
Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aA a a a
a a a
=
S3, car(S3)=3!=6
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Matrices 13 3 1 2 3 4 5, 6
1 3 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
, , , ,
1 2 3( ) 1
1 2 3
1 2 3(2 3) ( ) 1
1 3 2
1 2 3(1 2) ( ) 1
2 1 3
1 2 3(1 2 3) ( ) 1
2 3 1
1 2 3(1 3 2) ( ) 1
3 1 2
1 2 3(1 3) ( ) 1
3 2 1
S
i sg
sg
sg
sg
sg
sg
σ σ σ σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
=
= = = +
= = = −
= = = −
= = = +
= = = +
= = = −
σ σ σσ
σ∈
= = =
= ⋅ ⋅ ⋅ =∑3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 (1) 2 (2) 3 (3)
det( )
( )S
a a aA A a a a
a a a
sg a a a
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1 2 3
4 5 6
11 22 33 11 23 32 12 21 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
a a a a a a a a a
a a a a a a a a aσ σ σ
σ σ σ
= + + − + − +
+ + + + + − =
Matrices 14
11 22 33 12 23 31 21 32 13
13 22 31 12 21 33 23 32 11
( )( )a a a a a a a a aa a a a a a a a a
= + + −
− + +
1 -2 34 5 -2 = 5+0+(-12) 0+(-8)+2 =10 -1 1
( )-( )
Ejemplo
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Matrices 15Propiedades de los determinantesSea A ŒMn(K)
1. tA A=
2. Si en un determinante hay una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo.
3.
11 1 11
1 1
1 1
n in
i in i in
n nn n nn
a a a a
a a a a
a a a a
λλ λ =
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Matrices 16
5. Si se intercambia una fila por otra, el determinante cambia de signo
6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(A)=0
11 1 11 1 11 1
1 1 1 1
1 1 1
n n n
i i in in i in i in
n nn n nn n nn
a a a a a a
a b a b b b a a
a a a a a a
= ++ +
4.
7. Si a una fila se le suma una combinación lineal de las restantes filas, el determinante no varía.
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8. Si A, BŒMn(K), AB A B=9. Si una fila es combinación lineal de las restantes filas, el determinante es cero
10. (desarrollo de ÍAÍ a través de los elementos de una fila cualquiera). El ÍAÍviene dado por la suma de los productos de los elementos de la fila i por sus correspondientes adjuntos:
ÍA Í= ai1◊Ai1+ ai2◊Ai2+ ai3◊Ai3+...+ ain◊Ain=
1
k n
ik ikka A
=
=
=∑ donde los Aik son los correspondientes adjuntos
11. ai1◊Aj1+ ai2◊Aj2+ ai3◊Aj3+...+ ain◊Ajn=0 (iπj)La suma de los productos de los elementos de una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0
Matrices 17
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Matrices 184. Menor complementario y adjunto
Sea AŒMn(K), y aij un elemento de A. Se llama menor complementario del elemento aij, y se nota αij, al determinante de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A.
Se llama adjunto del elemento aij, y se nota Aij, al valor: Aij=(-1)i+j αij
Matriz adjunta de A, Adj(A)=(Aij), matriz de los adjuntos.
Definiciones
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Matrices 19
11
1 310
3 1α
−= = − 12
0 33
1 1α = = −
13
0 11
1 3α
−= =
21
2 28
3 1α
−= =
32
1 23
0 3α
−= =
23
1 21
1 3α = =
31
2 24
1 3α
−= =−
22
1 23
1 1α
−= =
33
1 21
0 1α = = −
−
1 2 20 1 31 3 1
A−
= −
Ejemplo
Menores Complementarios
Adjuntos A11=+α11=-10 A12=-α12=3 A13=+α13=1
A21=-α21=-8 A22=+α22=3 A23=-α23=-1
A31=+α31=4 A32=-α32=-3 A33=+α33=-1
Adjunta de A: 10 3 1( ) 8 3 1
4 3 1Adj A
− = − − − −
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5. Cálculo de determinantes Matrices 20
Órdenes dos y tres: Definición / Sarrus
Orden mayor o igual tres
Método del Pivote / Desarrollo por la fila del pivote (prop. 10)
1º Elegir un elemento como pivote (±1), (a11)
11 1
1
n
n nn
a a
Aa a
=
2º Obtener ceros en la fila (columna) del pivote, sumando combinaciones lineales de la columna (fila) del pivote (prop. 7)
11
1
0 0
n nn
a
A
a a
=
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3º Desarrollar el determinante por la fila (columna) del pivote.(prop. 10)
Matrices 21
11 11 12 1 11 110 0 nA a A A A a A= + + + =…
Orden n Orden n-1
Ejemplo
1 3
2 1 4
1 0 1 21 1 2 1
1 3 2 22 1 0 1
C C
C C
− +
− +
− −=
−
1 0 0 01 1 3 1
1 3 1 02 1 2 3
−=
− − −
1 111
1 3 11 ( 1) 3 1 0 19
1 2 3A += ⋅ = − =
− − −Por triangulación
Transformar el det(A) en el determinante de una matriz triangular = a11·...·ann
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Matrices 22
1 2
5 1 3
1 1 11 1 0
5 3 5
F F
F F
+
− +
− =2 3
1 1 1
0 2 10 2 0
F F+
=−
1 1 10 2 1 1 2 1 20 0 1
= = ⋅ ⋅ =
Ejemplo
6. Matriz inversa• (Mn(K),+,·) Anillo Unitario (no cuerpo)•AŒMn(K) es regular si existe BŒMn(K) tal que A·B=B·A=In (B es la inversa de A: B=A-1)• En otro caso, A es singular
Teorema Sea AŒMn(K). (1)A posee inversa si y sólo si ΩAΩπ0(2)En ese caso, 1 1 ( )tA adj A
A− =
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Matrices 23Ejemplo
7. Rango de una matriz• Sea AŒMmxn(K). Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A.• se llama rango de A al mayor orden posible de un menor no nulo de A.
• r(A)=r(At)• r(A)£minm,n• Si a una fila (columna) se le suma una c.l.del resto (o un múltiplo de otra), el rango no varía.
Propiedades
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Matrices 24• Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(A) coincide con el de la submatriz obtenida al eliminar dicha fila (columna) de A
En resumen, el rango de A no varía alrealizar operaciones elementales sobre A, tales como: Intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar a una fila un múltiplo de otra o una c.l. de las restantes..
Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal principal: aij=0, i>j. •Su rango=nºfilas no nulas completamente
− − = =
3 2 1 50 1 1 4
, ( ) 40 0 7 40 0 0 1
A r A
Ejemplos de matrices escalonadas:
Matrices triangulares
2 1 4 1 00 0 0 2 90 0 0 0 1
B−
=
r(B)=3
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Método de Gauss
Para obtener el rango de una matriz A
Transformar A≡···· ≡A´escalonadaOperaciones elementales
Matrices 25
− +
− +
− +
= ≡ − ≡
− ≡ − =
32
1 2
1 3
2 3
1 0 -11 0 -1 3 31 2 -3 1 0 2 -2 21 3 -4 0 0 3 -3 3
1 0 -1 30 2 -2 2 ´0 0 0 0
F F
F F
F F
A
A
Ejemplo
r(A)=r(A´)=2
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Matrices 26
Ω1Ωπ0fir(A)≥1¿Rango dos?
fir(A)≥2
¿Rango tres?
Luego el rango es dos
Algoritmo de cálculo del rango