Tema – Progresiones

Fibonacci

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Profesor Juan Sanmartín Matemáticas

Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada. De modo que se puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc…

,...a ,a ,a ,a,...27 ,9 ,3 ,1

4321

Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que

ocupa en la sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an

,...b ,b ,b ,b,...8 ,6 ,4 ,2

4321 ,...c ,c ,c ,c,...14- ,11- ,8- ,-5

4321

Se puede designar una sucesión con cualquier letra del abecedario: b , c , d , t, z , r , ….

Término general de una sucesión

Se llama término general de una sucesión a, y se representa como an, a la

expresión que representa un término cualquiera de esta.

50n220an

En este caso, el término general puede expresarse mediante una fórmula, an =f(n), en la cual, dando a n un cierto valor, se obtiene el término correspondiente a la posición que indica ese valor. Es decir, para obtener a1 se sustituye n por 1.

170150220a1

120250220a2

70350220a3

20450220a4

Ejemplos sucesión a partir del término general

...

53352a

35342a

21332a

11322a

5312a

32na

25

24

23

22

21

2n

...

12342)(515b

6232)(414b

2122)(313b

0012)(212b

0102)(111b

2n1nb

5

4

3

2

1

n

Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5

Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que están dadas en forma recurrente.

,...13,8,5,3,2,1,1

Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria.

2n1nn fff

1223133 fffff

Sucesión recurrente

Ejemplos sucesión recurrente2n1nn t3t2t

En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.

1t1

2t2

23133 t3t2t 12 t3t2 1322 34 1

24144 t3t2t 23 t3t2 2312 62 4

25155 t3t2t 34 t3t2 1342 38 11

26166 t3t2t 45 t3t2 43112 1222 10

...

2n1nn t3t2t

Ejemplos sucesión recurrente

2n1nn fff En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.

0f1 1f2

23133 fff 12 ff 01 1

24144 fff 23 ff 11 0

25155 fff 34 ff 1-0 1...

Sucesiones – progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la que se denomina diferencia d de la progresión

,...17,14,11,8,5,2

diferencia

3 3

El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1 y la diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:

d1naa 1n

Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer

término) la diferencia d.

d1naa 1n

Ejemplo:

,...17,14,11,8,5,2

3 3

1a 3a 4a 5a 6a2a

Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un

número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.

17532a6

Teniendo en cuenta esto, para la sucesión anterior, el término general será.

44n1641n16bn

Otros ejemplos de sucesiones aritméticas…

4,0,4,8,12,16

4 4

1b 3b 4b 5b 6b2b

31-n2an

13nan

4n20bn

5´7,7,5´6,6,5´5,5

5´0 5´0

1c 3c 4c 5c 6c2c 0´5n5´05´55´01n5´5cn

n5´05cn

d1naa 1n 33n2an

Ejemplos obtención término general de una progresión

aritmética

Ejemplo ,...22,17,12,7,2na

5d2a

d1naa 11n

35n55n2a51n2a nresolvemos

n

2235535na 5ejemplo

n a

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

51n2an

Ejemplo ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb

2d9b

d1nbb 11n

2n1122n9b21n9b nresolvemos

n

314117211211b 7ejemplo

n bn

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

21n9bn

Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde muy pequeño.

En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética el profesor propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus compañeros no.

Anécdota de gauss

Carl Friedrich Gauss

“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:

101101101101101101101101101101212345...979899100

10099989796...4321

n

n

n

SSS

1001012Sn

La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101.

2100101Sn

Carl Friedrich Gauss

50502

10100

Suma de los términos de unaprogresión aritmética

nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321

Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los términos de una progresión aritmética.

nnn

nnnn

nnnnn

aaaaSaaaaaaaSaaaaaaaS

11

123421

123321

()()()()()()2......

naaS nn 12 2

1 naaS nn

Ejemplo: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 7 y la suma de los 12 primeros términos

,...220,200,180,160,140,120nc

20d801c

d1ncc 11n

nn 201602020180c201n801c nn

300140160720160c7 n20160cn

Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es decir b7.

201n801cn

2400

210360120

210101

10

cc

S

2

nccS n1

n

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión aritmética

No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…

3602001601020160c10

Entonces…

2

1010110

ccS

Sucesiones - progresión geométricaUna progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se multiplica por una cantidad fija, y siempre la misma, a la que se denomina razón r de la progresión.

...243,81,27,9,3,1

razón

3x 3x

El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer término a1 y la razón r, viene dado por la siguiente expresión:

1-n1n raa

Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por la

razón r un numero de veces igual a n-1.

Ejemplo:

,...30000,3000,300,30,3

10x 10x

1a 3a 4a 5a2a

Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón

r=10 un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cuatro veces.

30000103103 415

1-n1n raa

Entonces para la sucesión anterior, el término general será....

Otros ejemplos:

,...5,10,20,40,80

5,021x

1b 3b 4b 5b2b

1-n1n raa

1-nn

1-n1n 013araa

5,021x

11-n

n1-n

1n 5,0802108brbb

n

x3

1c 3c 4c 5c2c

x3

,...243,81,27,9,3n1n11-nn

1-n1n 3333crcc

Ejemplos obtención término general de una

progresión geométrica

Ejemplo ,...96,48,24,12,6,3 na

1n 23a n

48232323a 4155

ejemplo1n an

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

23a

aa 111n rr n

Calcula el término general de la siguiente sucesión

1n1n rbb

1nn 0,20001b

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

6,1;8;40;200;1000

2,0x 2,0x

Dividir entre 5 es igual

a multiplicar por 0,2

2,051

0,2r

1000b1

32,00,200010,20001b 5166

ejemplo

Suma de los términos de unaprogresión geométrica

La suma de una progresión geométrica es.

raaSrSaaaaaaS

raaaaaarS

nnn

nnnn

nnnnn

1

12321

1232

...

...

nnnn aaaaaaS 12321 ...

raaaaaaa

rararararararS

nnnn

nnnn

12432

12321

...

...

Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r (la razón de una sucesión geométrica)nos queda…

Ahora restamos ambas sucesiones… nn SrS

Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:

1araSrS nnn

1n

111n.

1n

1n.r1ana1nn araarra1rSara1rS

1r

1raS

n1

n

Tras las anteriores operaciones obtenemos…

Con lo que obtenemos que…

11 ararS nn

1raara1rS n11

n1n

Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la suma de los 10 primeros términos

0,...0,1250,6252,10,50,25en

5r

2eree 11n

1n

1nn 52e

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

3.906.2505252e 911010

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica.

Entonces…

1r

1reS

101

10

1r

1reS

101

10

4.882.81215

152 10

1r

1reS

n1

n

Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3

.

3r

2brbb 11n

1n

1nn 32b

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión

45813232b 6177

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica.

Entonces…

1r

1rbS

n1

n

1r

1rbS

101

10

1r

1rbS

101

10

59.048

13132 10

Ejemplo.- Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a2=17 y

a5=50.

d1naa 1n

1750d4d

d450

d17

1

1

a

a

61117a1

511nan

4dad15a50a

1dad12a17a

115

112

d450

d17

1

1

a

ad450d17

333d 113

33d

111n6an 1111n6

Ejemplo : Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que c5=8 y

c11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.

d10cd111c17c

d4cd15c8cd1ncc

1111

115

1n

23

69d817d4d10

d1017d48d1017c

d48c

d10c17

d4c8

1

1

1

1

2682348

23

1481

cd dc

2312 ncn

1

322152

23

12152152

nncc nn

1011100n1n100

Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos obtener la posición que ocupa el término 152.

En una progresión geométrica su término tercero es a3 = 50 y el quinto es a5= 2.

Calcula la razón, el término general de la progresión, el término 8 y la suma de los 7 primeros términos

41

1515

21

1313

ra50ra2a

ra50ra50a

414

1

212

1

r2ara2

r50ara50

42 r2

r50

502

rr

2

4

0,20,04r0,04r 2

1n1n raa

1nn 2,02501a

21 r50a 22,0

50 1250

04,050

término general de la progresión

Fin de Tema

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