temas 1 y 2 acciones dinamicas

Tema I Introducción

Apuntes de Acciones Dinámicas Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería, UNAM 1

TEMA I

INTRODUCCIÓN

1.1 La vibración

La mayoría de las actividades humanas involucran, de una u otra manera, a la vibración, por ejemplo,

nosotros podemos oír, ver y hablar desde el punto de vista mecánico gracias a la vibración.

La forma más simple de definirla es como un movimiento oscilatorio de ciertas características. Las

vibraciones son fluctuaciones de un sistema natural, estructural o mecánico alrededor de su posición de

equilibrio, estas se inician cuando un elemento es desplazado de su posición de equilibrio debido a la

energía inducida por una fuente externa, por lo que, se mueve o desplaza oscilando con respecto a un

punto o posición inicial.

Cualquier movimiento que, en general, se repite por si mismo después de un intervalo de tiempo es

llamado vibración u oscilación, un ejemplo típico de este fenómeno es el balanceo de un péndulo

(véase Figura 1.1).

L(1-cos )

x

L

0

y

mg

Figura 1.1. Movimiento de un péndulo simple.

En general, un sistema vibratorio consta de elementos que almacenan energía potencial (resortes

elásticos), elementos que almacenan energía cinética (masa o inercia) y medios por los que se pierde o

disipa gradualmente esa energía (amortiguadores).

La vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial a cinética y de la energía

cinética a potencial alternativamente, Si el sistema es amortiguado, parte de la energía se disipa en cada

ciclo de vibración y, para que la vibración se mantenga, esa energía debe de ser reemplazada por una

fuente externa al sistema.



1.2 La dinámica y la vibración

Para estudiar a la vibración es necesario recurrir a la Dinámica que, como sabemos, es la parte de la

mecánica que estudia a los cuerpos en movimiento y su relación con las fuerzas que lo originan, suele

también recurrirse a la Cinemática, que es la parte de la Dinámica que estudia sólo la geometría o

descripción del movimiento, sin tomar en cuenta a la fuerza y la masa del cuerpo o partícula que se

mueve. Así como a la cinética, que estudia la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas

que actúan sobre ellos.

Como antecedentes históricos sobre el tema están los trabajos de Galileo (1564–1642), algunos de ellos

sirvieron como base para la formulación de las leyes del movimiento enunciadas por Isaac Newton

(1632–1727) quien organizó y desarrolló la teoría de la vibración mecánica moderna, recientemente

muchos investigadores han contribuido a su desarrollo, destacando los trabajos de S. Timoshenko y J.

P. Den Hartog; en la actualidad son bien conocidos en el medio los trabajos de Neumark, Clough,

Wilson y Taylor.

En nuestro país también ha habido contribuciones importantes de varios investigadores y profesionistas

en el campo de la Dinámica Estructural como son E. Rosenblueth, L. Esteva, S. Ruíz, E. Bazán, J.

Damy (q.e.p.d.), M. Ordaz por mencionar algunos.

En ingeniería, la palabra Mecánica se usa en un sentido general para designar la ciencia que trata el

movimiento de los cuerpos, considerándose al reposo como un caso especial del movimiento.

El objetivo de la Mecánica es determinar las leyes que rigen los movimientos de los cuerpos

(principalmente sólidos) y aplicar esas leyes a las condiciones que se encuentran en la práctica usual de

la profesión de ingeniero, una aplicación interesante de la Mecánica es la Dinámica aplicada a las

estructuras o Dinámica Estructural.

Al exponer las leyes de la Mecánica se parte de ciertos conceptos que se suponen fundamentales, es

decir, ninguno de ellos puede ser expresado en función de los demás o en términos más simples. Estos

conceptos se derivan de nuestra experiencia y de ella se deducen otras ideas y leyes.

Los conceptos fundamentales involucrados en las leyes de la Mecánica son:

a) Fuerza, por ejemplo: la tensión o la compresión de nuestros músculos nos hacen distinguir

una tracción de un empuje.

b) Cuerpos o material inerte (materia), sobre los que actúan las fuerzas y sin los que éstas no

pueden existir.

c) Espacio para que la materia pueda existir.

d) Tiempo para que se desarrollen fenómenos dinámicos.

Después de estudiar las leyes de la Dinámica se obtiene una comprensión más correcta del concepto de

fuerza y del de cuerpos inertes.



Por así convenir, se divide el estudio de la Mecánica en tres partes principales, a saber: Estática,

Cinemática y Dinámica o (Cinética).

La Estática es la parte de la Mecánica que se ocupa de los cuerpos sobre los que actúan fuerzas en

equilibrio, como consecuencia esos cuerpos están en reposo o se mueven con movimiento rectilíneo

uniforme.

La Cinemática es la rama de la Mecánica que trata del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta la

manera como afectan al movimiento los factores (fuerza y materia) que influyen sobre el movimiento.

La Cinemática se ocupa de los conceptos fundamentales de espacio y tiempo y de las cantidades

velocidad y aceleración que se derivan de ellos. Por esta razón se la designa a veces con el nombre de

Geometría del Movimiento. La Cinemática constituye una parte importante del estudio de la Mecánica,

no sólo porque se ocupa de una parte del problema general de la Dinámica en el que intervienen

fuerzas, sino también porque en muchos problemas se implica sólo al movimiento.

La Dinámica es una división de la Mecánica que se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas

desequilibradas, por consiguiente están animados de movimientos no uniformes o acelerados. En

particular, trata del cambio de movimiento de los cuerpos y de la manera como ese cambio está

relacionado con los factores que le afectan, es decir las acciones de otros cuerpos (fuerzas), y las

propiedades que intervienen en el fenómeno (inercia, amortiguamiento o disipación de energía, etc.) de

los mismos cuerpos.

1.2.1 Leyes de Newton

Isaac Newton estableció sus leyes del movimiento basándose en el estudio del movimiento de los

planetas realizado con anterioridad por Johanes Kepler, puesto que las dimensiones de un planeta son

insignificantes en comparación con la amplitud de su movimiento, las leyes de Newton sólo son

aplicables directamente al movimiento de un punto material, es decir a un cuerpo tal que todos sus

puntos puedan considerarse como teniendo en cualquier momento la misma aceleración. No obstante,

en la mayoría de los casos de movimiento de los cuerpos, las aceleraciones de diferentes puntos del

cuerpo no son las mismas, por consiguiente, las leyes de Newton no son directamente aplicables a los

cuerpos. Desde un punto de vista ingenieril, en un buen número de casos, puede considerarse a los

cuerpos como formados por puntos materiales y, de esta manera, pueden extenderse a ellos las leyes de

Newton.

Con cierta frecuencia las leyes de Newton han sido enunciadas de la siguiente manera:

Primera ley. Si sobre un punto material no actúa ninguna fuerza, el punto continúa en reposo o se

mueve con una velocidad uniforme en línea recta.

La primera ley implica que un punto material tiene inercia, es decir, se resiste a que cambie su

movimiento. Implica que una fuerza tiene que actuar sobre el punto para que su movimiento

(velocidad) cambie en dirección o en magnitud, es decir, se acelere.

Segunda ley. Si sobre un punto material actúa una fuerza, este se acelera; la dirección de la aceleración

es la misma que la de la fuerza y su magnitud es directamente proporcional a la fuerza e inversamente

proporcional a la masa del punto.



La segunda ley es cuantitativa, nos dice cuál debe ser la magnitud y la dirección de la fuerza para

producir una cierta aceleración de un punto material dado y, muestra que, aunque un punto material no

puede por sí mismo cambiar su estado de movimiento, sin embargo, si influye en el cambio de

movimiento causado por la fuerza, regulando o gobernando la manera en que tendrá lugar la

aceleración; esto es, que ésta siempre será inversamente proporcional a la masa del punto.

Tercera ley. Entre dos puntos materiales cualesquiera de un cuerpo, existen acciones mutuas tales que

la acción de uno sobre el otro es igual, colineal y opuesta a la de aquél sobre éste.

En la segunda ley se supone que sobre un punto único actúa una sola fuerza. Pero la tercera ley hace

resaltar el hecho de que no existe una fuerza única. El significado especial de la tercera ley reside en

que, mediante su uso, la segunda ley de Newton (que sólo es aplicable a un punto único bajo la

influencia de una fuerza única), puede extenderse a un sistema de puntos (cuerpo) sobre el que actúa un

sistema de fuerzas.

La segunda ley de Newton puede expresarse matemáticamente por medio de la ecuación

F=ma (1.1)

Donde a es la aceleración del punto de masa m, y F es la fuerza única que actúa sobre el punto material.

En general, la masa de un cuerpo se designará por M y la de un punto material del cuerpo por m o dM.

En la Figura 1.2 un sistema cualquiera de fuerzas F1, F2, F3, etc. actúa sobre un punto material de

masa m produciéndole una aceleración a.

Figura 1.2. Sistema de fuerzas actuando sobre una partícula de masa m.

Designemos por R a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto (Figura 1.3), sean x, y y z

los ángulos que forma R con los ejes x, y y z (sistema cartesiano ortogonal), respectivamente. Según la

segunda ley de Newton, tenemos que R = ma, así la multiplicación de cada miembro de esta ecuación

por cos x, conduce a:

Rcos x=ma cos x (1.2)

Es decir:

Rx=max (1.3)



Figura 1.3. Fuerzas actuando sobre una partícula.

Pero Rx puede expresarse también en función de las fuerzas que actúan sobre el punto por medio de la

ecuación Rx = Fx, y por consiguiente, Fx = max. De la misma manera pueden obtenerse ecuaciones

expresando a las componentes y y z de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto. En

consecuencia, las ecuaciones del movimiento de un punto material son:

Fx = max

Fy=may (1.4)

Fz = maz

1.2.2 Principio de D’Alembert

La dinámica de la partícula está basada en la ecuación de movimiento:

)(= mvdt

dF

(1.5)

Donde F es la fuerza, el producto de la masa m y la velocidad v(mv) se define como el momentum

lineal de la partícula. Para la mayoría de los problemas, la masa m es una constante. Por lo tanto, es

conveniente escribir:

marmvmF === (1.6)

Que es una forma usual de representar la segunda ley de Newton, esta ecuación se le conoce

comúnmente como ecuación de Newton sobre el movimiento.

En la Dinámica es frecuente recurrir al Principio de D’Alembert, el cual establece que: la suma de las

fuerzas de inercia(o de las fuerzas efectivas invertidas) y de las fuerzas reales aplicadas, es cero.

Utilizando el principio de D’Alembert la ecuación 1.5 puede escribirse de la siguiente manera:



0)( amF - (1.7)

También podemos expresar a la segunda ley de Newton en la forma de una ecuación de movimiento:

rmF =

En donde, como se indica en la Figura 1,3 F es la resultante de un sistema de fuerzas que actúa sobre la

partícula m. En términos de los vectores unitarios, la ecuación anterior se expresa como:

)++(=++ kzjyixmkFjFiF zyx

(1.8)

Donde Fx, Fy y Fz son, respectivamente, las sumas de todas las componentes sobre los ejes x, y y z de

todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Por supuesto, podemos usar la expresión alternativa Fx,

en vez de Fx, etc. La anterior ecuación vectorial de movimiento se escribe generalmente en forma de

ecuaciones escalares, correspondientes a las componentes sobre los ejes x, y y z, es decir:

xmFx =

ymFy = (1.9)

zmFz =

Consideremos la forma más simple de movimiento de una partícula, es decir, el movimiento rectilíneo,

y sea x la recta sobre la que se efectúa el movimiento, entonces tenemos que las ecuaciones 1.9

conducen a:

xmFx =

0=yF (1.10)

0=zF

Ya que Fy = Fz = 0, por sencillez, se usará F en lugar de Fx o de Fx.

1.3 Origen y tipos de excitaciones dinámicas

La mayoría de las estructuras se ven sujetas a algún tipo de solicitación o acción ya sea natural o

artificial, que le induce movimientos en cierta dirección con variación en el sentido del movimiento,

son ejemplos; la variación en la dirección y velocidad del viento actuando sobre la estructura, la

operación de maquinaria de tipo rotatorio (motores) sobre la estructura, el paso repetido de vehículos o

personas directamente o a cierta distancia (vibración ambiental) de la estructura y principalmente los

sismos.

1.4 Características del comportamiento dinámico



La diferencia básica entre las fuerzas de tipo estático y la dinámicas es que en las primeras no está

presente la variable tiempo, es decir las características de las fuerzas (magnitud, dirección, sentido y

punto de aplicación no cambian con respecto al tiempo, por lo que, la solución obtenida para

solicitaciones de tipo estático no depende de esa variable, para las segundas la solución (respuesta de la

estructura) es una función del tiempo, es decir los desplazamientos, fuerzas internas y otros tipos de

respuesta ante las solicitaciones de tipo dinámico dependen no solo de las características estáticas de la

estructura, sino también de las propiedades dinámicas y de las condiciones iniciales (desplazamiento,

velocidad y aceleración) que el sistema estructural tiene al inicio del fenómeno así como de las

características de las fuerzas dinámicas que sobre la estructura actúen, son ejemplos típicos de las

solicitaciones dinámicas, el paso de vehículos sobre un puente o en una estructura de estacionamiento,

la acción variable del viento y, desde luego, los sismos.

Para entender correctamente el comportamiento dinámico de sistemas estructurales complejos

(estructuras reales) así como las bases y aplicación de la normativa sísmica (en nuestro país las Normas

Técnicas Complementarias para Diseño Sísmico NTCDS-04), lo correcto será entender los principios

básicos de la dinámica aplicada a las estructuras (teoría de ondas y vibraciones), el análisis dinámico y,

en general, la Ingeniería Sísmica. Para ello se puede iniciar con las primeras nociones acerca de las

características de los movimientos básicos como son: la vibración libre, el movimiento armónico

simple, el movimiento armónico simple amortiguado y al final el caso sísmico. Para ello se utiliza un

modelo de oscilador (sistema que se mueve alrededor de un punto de equilibrio) con las características

del movimiento que se estudia, del cual podemos obtener las características principales que rigen su

comportamiento dinámico.

En todos estos casos se inicia considerando que en una sola partícula se concentra toda la masa y que

puede desplazarse exclusivamente en una dirección, por lo que hablamos de un único grado de libertad

para poder describir la posición, velocidad y aceleración de esa partícula (vibración en sistemas de un

solo grado de libertad), después el estudio se extiende a sistemas de varios grados de libertad.

1.5 Tipos de vibración; vibración libre, vibración libre amortiguada y vibración forzada.

Iniciemos primero con el concepto de vibración libre, por esta se entiende al movimiento oscilatorio en

el que no existe una fuerza impulsiva que realimenta al movimiento, el cual fue inicialmente producido,

por ejemplo, por una fuerza de naturaleza dinámica, pero esta ya dejó de actuar.

El movimiento de un columpio (Figura 1.4) sirve como ejemplo típico de vibración libre, si

empujáramos una sola vez la sillita del columpio, la acción de la gravedad así como las características

del columpio (masa y altura) producen un movimiento oscilatorio el cual puede tratarse como una

vibración libre (ya que el columpio se empujó una sola vez), por todos ha sido observado que la

amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo y el rozamiento entre diversos elementos y medios

que intervienen en el fenómeno termina por parar el sistema por lo que, de hecho, es una vibración libre

amortiguada, el amortiguamiento se manifiesta como una disminución en la amplitud de la oscilación

del sistema.

Si no queremos que el movimiento del columpio termine entonces cada vez que baja el asiento

volvemos a empujarlo por lo que estaríamos frente al caso de oscilación forzada.



Como se habrá experimentado, de esta segunda manera es más fácil conseguir que el columpio llegue

más arriba si “sincronizamos” el vaivén del columpio con el empujón que le damos, lo anterior

constituye un ejemplo del fenómeno de resonancia que se caracteriza por un gran incremento en la

amplitud de las oscilaciones.

Figura 1.4. Columpio, ejemplo típico de un oscilador.

1.6 Características dinámicas; periodo, frecuencia, amortiguamiento y resonancia.

Para abundar en el fenómeno de resonancia, supongamos que un niño se está meciendo en el columpio,

el cual tarda determinado tiempo en ir y regresar, es decir en realizar un ciclo completo, a este tiempo

se le llama periodo de vibración del columpio, también podemos hablar de la frecuencia de la

oscilación, es decir, del número de ciclos que realiza el columpio en una unidad de tiempo, por

ejemplo, un segundo, entonces hay una relación entre el periodo y la frecuencia e identificamos que

uno es el inverso del otro; en efecto, si por ejemplo la frecuencia es de 5 ciclos en un segundo, esto

significa que un ciclo tarda 1/5 de segundo en realizarse. Por lo tanto, el columpio tiene una frecuencia

característica de oscilación.

En general, cuando un sistema puede oscilar (o vibrar) tiene una o varias frecuencias características que

dependen de las propiedades del sistema. Por ejemplo, en el caso del columpio la frecuencia depende

de la masa del columpio y del niño sentado en él y de la longitud del columpio. Hay muchos sistemas

que pueden vibrar (la mayoría de ellos lo hacen): una construcción (edificio, puente, casa, cubierta,

cortina de una presa, etc.) un resorte, una placa delgada sujeta en uno de sus vértices, una nave (avión,

barco, etc.), un árbol, nuestro planeta, etc. Cada uno de estos sistemas tiene su(s) frecuencia(s)

característica(s) de vibración.

Regresemos al caso del columpio con el niño, ahora, para que siga oscilando lo vamos a empujar en

determinados instantes. Supongamos que la frecuencia del columpio sea de 0.5 Hz, por lo que su

periodo sería 1/0.5 seg. = 2 seg., en efecto, realiza una vuelta completa en dos segundos. Si empujamos

el columpio, por ejemplo, cada 0.5 seg., la amplitud con la que oscila el columpio no será muy grande,

ya que, por ejemplo, en 1.5 seg., el columpio viene de regreso. Aun cuando empezamos aplicando la

fuerza en cada periodo de 0.2 seg., o sea, con una frecuencia de 1/0.2 = 5 Hz, no logramos una

amplitud grande, aun si la fuerza es grande.



Si alguna vez hemos empujado a un niño en un columpio sabemos que se puede lograr una amplitud

bastante grande si lo impulsamos cada vez que termina un ciclo, que en nuestro caso sería cada 2 seg.

Por lo tanto, si hacemos esto último estaremos aplicando sobre el columpio una fuerza también

periódica con una frecuencia igual a 0.5 Hz, que es precisamente la frecuencia característica de

oscilación del columpio.

Lo anterior ilustra un hecho muy importante. Si a un sistema que oscila se le aplica una fuerza externa

también periódica, entonces la amplitud de la oscilación del sistema dependerá de la frecuencia de la

fuerza externa. Si esta frecuencia es distinta de las frecuencias características del sistema, entonces la

amplitud de la oscilación resultante será relativamente pequeña, pero si la frecuencia de la fuerza

externa es igual a alguna de las frecuencias características del sistema, entonces la amplitud resultante

será muy grande. En este caso se dice que la fuerza externa ha entrado en resonancia con el sistema.

En la resonancia la amplitud de la oscilación es muy grande. Esto quiere decir que el sistema se aleja

mucho de la posición de equilibrio. Por ejemplo, en el caso de un resorte, si se le aplica una fuerza

periódica que tenga la misma frecuencia que la del resorte, éste se estirará tanto que llegará un

momento en que se romperá. Este hecho es general: si un sistema estructural entra en resonancia puede

ocurrir que se colapse ya que posiblemente el sistema no sea capaz de resistir las fuerzas asociadas a

esas grandes oscilaciones.

Por lo anterior, cuando se diseñan estructuras dinámicamente es importante hacerlo de manera que sus

frecuencias características sean tales que estén lo más lejanas posibles de las frecuencias de las

perturbaciones a las que la estructura pueda estar sujeta, como por ejemplo vientos, terremotos,

etcétera.

Una aplicación práctica de la resonancia es cuando un pelotón de soldados está marchando y va a

cruzar un puente, los soldados deben de romper la marcha ya que, de no hacerlo, los golpes que dan al

marchar podrían tener componentes con una frecuencia igual a alguna de las frecuencias características

del puente. Al romper la marcha evitan que haya resonancia y con ello el posible colapso del puente

debido a este fenómeno.

Un caso desafortunado fue el del terremoto que sacudió a la ciudad de México en 1985, el cual tuvo,

dentro de sus frecuencias, algunas de 0.5 Hz (periodo de 2 seg.), algunos edificios tenían entre sus

frecuencias naturales una de valor de alrededor de 0.5 Hz, por lo que entraron en resonancia con el

terremoto; sus amplitudes de oscilación crecieron a tal grado que los elementos de soporte de algunos

de ellos fueron incapaces de resistir esas amplitudes y se colapsaron. Desde luego que la resonancia no

fue la única causa por la que muchas desafortunadas estructuras se derrumbaron a consecuencia de ese

devastador terremoto.

1.7 Características de los modelos de osciladores

Como se mencionó con anterioridad, en general, un sistema vibratorio consta de elementos que

almacenan energía potencial (resortes elásticos), elementos que almacenan energía cinética (masa o

inercia) y medios por los que se pierde o disipa gradualmente esa energía (amortiguamiento interno o

externo –artificial, Figura 1.5–). Las principales características de los modelos se describen a

continuación.



Figura 1.5. Uso de elementos de protección sísmica (disipadores) en un edificio de departamentos sobre la

costera Miguel Alemán, Acapulco Gro., México.

1.7.1 Oscilador en vibración libre no amortiguada

Este es el oscilador más sencillo, queda definido por las siguientes características mecánicas (ver

Figura 1.6):

Masa m, la cual suponemos concentrada en un punto.

Rigidez K, en este caso se identifica con la rigidez de la barra que une a la masa con el suelo.

La rigidez produce una fuerza recuperadora del movimiento, que en un principio se puede

considerar elástica y lineal (fe=Kx). En estructuras de edificios K se obtendrá a partir de las

características de sus elementos (trabes, columnas y muros, principalmente).

En este modelo no se explica la causa inicial del movimiento, suponemos que la partícula sufrió, por

ejemplo, un desplazamiento de su posición de equilibrio por lo que la fuerza recuperadora le hizo

comenzar a vibrar. A falta de amortiguamiento el oscilador permanecerá continuamente en

movimiento.



X

K

m: Masa

K: Rigidez

m

Figura 1.6. Características básicas de un oscilador simple sin amortiguamiento.

Si registrásemos el movimiento del oscilador, por ejemplo, colocando una lámpara en el punto donde

se encuentra la masa m, y enfocáramos al modelo con una pequeña cámara situada en el techo tal que

se desplazara uniformemente en sentido perpendicular al movimiento del oscilador veríamos una

gráfica parecida a la de la Figura 1.7. En el eje de las ordenadas se representa la posición de la

partícula que contiene la masa respecto del tiempo x(t) representado este en el eje horizontal.

Figura 1.7. Características del movimiento de un oscilador simple sin amortiguamiento.

Este movimiento sinusoidal se conoce como movimiento armónico simple. Existe una relación directa

entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular asociado: un movimiento circular

uniforme se proyecta como un movimiento armónico simple en su propio plano (Figura 1.8). Es por

ello que a la hora de definir las magnitudes que definen el movimiento armónico simple conviene tener

en mente la analogía con el movimiento circular.

Los parámetros que definen a este movimiento son:

La amplitud A donde se alcanza el máximo desplazamiento.



Figura 1.8. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular.

La frecuencia circular , que es una velocidad angular en la analogía del movimiento

circular y tiene por dimensiones rad/s. Se define como:

m

K (1.11)

El periodo T, que podemos definir simplificadamente como el tiempo transcurrido entre dos

máximos sucesivos (esta distancia también se denomina longitud de onda l). En el esquema

del movimiento circular se corresponde con el tiempo que se tarda en recorrer una

circunferencia completa.

La frecuencia natural f, la cual se define a partir del periodo como:

2

1

Tf (1.12)

La frecuencia natural por el tiempo que dura el movimiento nos sirve para determinar el

número de ondas generadas (N), por lo que N = f t.

El ángulo de fase inicial del movimiento o, que al igual que antes se deduce por una relación

con el movimiento circular uniforme, aunque también podemos observar su sentido físico en

la Figura 1.8.

Antes de estudiar el equilibrio del oscilador (Figura 1.9), es conveniente darnos cuenta de que el

movimiento del oscilador posee aceleración que varía con el tiempo, dado que la partícula llega a variar

su velocidad a lo largo del mismo (esta es nula cuando se encuentra en su punto de máximo

desplazamiento).

Para estudiar a la vibración es necesario recurrir a la Dinámica que, como sabemos, es la parte de la

mecánica que estudia a los cuerpos en movimiento y su relación con las fuerzas que lo originan. Por lo



tanto debe cumplirse la segunda ley de Newton, siendo las fuerzas existentes la fuerza de recuperación

de la barra, que suponemos elástica, y la fuerza de inercia debida a la aceleración de la partícula.

Xfi

fi(t) = Fuerza de inercia

fe(t) = Fuerzas elásticas

mfe

fi(t) + fe(t) = 0

Figura 1.9. Equilibrio del oscilador simple no amortiguado.

Ahora ya estamos en disposición de analizar el equilibrio. Para ello haremos uso del principio de

D’Alembert: “Un sistema dinámico está en equilibrio cuando todas las fuerzas que actúan en el

mismo, incluidas las de inercia, cumplen las ecuaciones de equilibrio estático en cada instante de

tiempo”. Por tanto, tenemos que:

0)()( tfetfi (1.13)

xmtfi )( (1.14)

Kxtfe )( (1.15)

El signo ( ) de las fuerzas de inercia surge por el hecho de oponerse a la aceleración. Entonces:

0kxxm (1.16)

Siendo (1.16) la ecuación que representa al movimiento del oscilador libre sin amortiguamiento, ésta

ecuación puede también expresarse en función de como:

0)()(2

txtx (1.17)

1.7.2 El oscilador con vibración libre amortiguada

Un oscilador con amortiguamiento queda definido por las características anteriormente tratadas y

además por el amortiguamiento que se define habitualmente según la ley de Kelvin-Voigt, el cual se

hace proporcional a la velocidad del movimiento (amortiguamiento viscoso), actuando siempre en

sentido contrario al movimiento. El amortiguamiento viene definido por su constante de

amortiguamiento c y la fuerza debida al amortiguamiento por fa = xc siendo x la derivada de la posición

respecto al tiempo, es decir la velocidad. Este amortiguamiento viene a simular las características reales

de la estructura en la que la oscilación prácticamente termina desapareciendo debido al rozamiento, las

fuerzas de fricción internas y la misma viscosidad del material. El modelo se muestra en la Figura 1.10.



X

m = Masa

K = Rigidez

c = Constante de amortiguamiento

mc

K

Figura 1.10. Características fundamentales del modelo de un oscilador libre amortiguado.

El funcionamiento de este oscilador consiste en que en un instante dado t0 se desplace a la partícula de

su posición de equilibrio o bien se le imprima cierta velocidad inicial, de modo que el sistema intente

comenzar a vibrar. La rigidez de la estructura hace que se produzca una fuerza restauradora y lleve a la

masa primero a su lugar original y después posiblemente a un punto a una distancia algo menor que la

mayor correspondiente al ciclo anterior en sentido contrario al primero como consecuencia de la

cantidad de amortiguamiento presente en el sistema que, dependiendo de esta cantidad, el mismo

proceso puede repetirse hasta que el oscilador vuelve al reposo (Figura 1.11).

Figura 1.11. Análisis del movimiento del modelo de un oscilador libre amortiguado.

Para estudiar el equilibrio del oscilador además de las fuerzas que intervenían en el modelo anterior,

aparece la fuerza de amortiguamiento fa = xc que se opone al movimiento (Figura 1.12). La ecuación

de equilibrio para este sistema es:

fi(t) + fe(t) + fa(t) = 0 (1.18)



Xfi

fi(t) = Fuerza de inercia

fe(t) = Fuerzas elásticas

fa(t) = Fuerza de amortiguamiento

fe

fi(t) + fe(t) + fa(t) = 0

mfa

Figura 1.12. Equilibrio de un oscilador libre amortiguado.

Sustituyendo el valor de las fuerzas:

0)()()(

)(;)()(;)()(

tKxtxctxM

xctfatKxtfetxmtfi

(1.19)

La ecuación 1.19 representa el movimiento del oscilador en vibración libre con amortiguamiento y es

importante dado que la mayoría de las normas de diseño sísmico trabajan con ella a la hora de

establecer las características dinámicas de sus modelos con varios grados de libertad. Las ecuaciones

resultantes no serán más que la generalización de la ecuación 1.19 a varios grados de libertad (por

ejemplo, el modelo de cortante utilizado en edificios).

1.7.3 El oscilador en el caso sísmico.

Este modelo representa mejor el comportamiento ante el sismo en comparación con los modelos

anteriores ya que toma en cuenta el origen de la vibración. Hasta ahora nuestro modelo estaba en

movimiento cuando comenzábamos su estudio, no planteándonos como había surgido dicho

desplazamiento. Sin embargo, la vibración de las estructuras surge como respuesta a la acción de las

ondas sísmicas, que se traducen en un movimiento del terreno que posee una aceleración, una

velocidad y un desplazamiento dependientes del tiempo [a(t), v(t) y s(t)]. Este supuesto es importante

ya que ahora el sistema de referencia elegido (eje X) no es inercial al estar acelerado lo que influirá en

el equilibrio.

En cuanto a las fuerzas de inercia, podemos decir que, son experimentadas por la mayoría de las

personas, por ejemplo, son aquellas que nos hacen caer cuando no vamos bien tomados en el vagón del

metro; si el tren acelera parece como si nos empujaran hacia la parte posterior del vagón, al contrario si

el vagón frena nuestro cuerpo sigue hacia delante “por inercia”.

Esta fuerza, de la que en principio parece que desconocemos su origen, tiene su causa en la aceleración

del movimiento, de hecho ha estado presente hasta ahora, pero nula. Esta fuerza es independiente de la

que también es de inercia y se ha considerado anteriormente debido a la aceleración de la partícula de

masa. Ahora la aceleración a considerar es la del modelo completo como sólido rígido deslizando sobre

el carrito (Figura 1.13).



X

a(t) =Aceleración terreno

m = Masa

K = Rigidez

c = Constante de amortiguamiento

m c

K

a(t), v(t), s(t)

Figura 1.13. Modelo del oscilador para el “caso sísmico”.

A partir del equilibrio podemos notar que el diagrama de fuerzas es el mismo que el del modelo

anterior, sólo que en las fuerzas de inercia se incluirá un nuevo término que hace referencia a la nueva

aceleración, por lo que la ecuación de equilibrio que define el movimiento para el caso sísmico es:

fi(t) + fe(t) + fa(t) = 0 (1.20)

Sustituyendo el valor de las fuerzas:

xctfatKxtfetatxmtfi )(;)()(;)()()( (1.21)

)()()()( tmatKxtxctxm

Es importante comentar que los modelos anteriores pese a su sencillez (dado que tan sólo poseen un

grado de libertad, este es, el desplazamiento horizontal en la coordenada x), son un instrumento muy

útil y el punto de partida para entender sistemas más complejos. Por otro lado con estos modelos es

posible analizar, con cierta sencillez, la respuesta dinámica de aquellas estructuras en las que se pueda

suponer que su masa está concentrada en un punto, y la rigidez de sus elementos frente al

desplazamiento puede asimilarse a la rigidez K de dicho oscilador (la rigidez de la barra como se ha

supuesto), son ejemplos, los depósitos elevados (Figura 1.14), las torres de control (Figura 1.15), los

marcos y estructuras de un piso, etc.



Figura 1.14. Tanques elevados.

Figura 1.15. Torres para control de tráfico aéreo



1.8 Coordenadas y grados de libertad

La selección de las coordenadas constituye un aspecto muy importante del estudio y solución de los

problemas en Dinámica. Hasta en el más sencillo de los problemas, las matemáticas pueden volverse

difíciles si se usan coordenadas impropias o no seleccionadas acertadamente.

Se pueden seleccionar las coordenadas convencionales tales como las coordenadas cartesianas y las

coordenadas polares, pero, también se puede usar como coordenada cualquier medida conveniente del

desplazamiento. El término coordenada en su forma más general define una cantidad independiente que

especifica una posición.

A manera de ejemplo, en la Figura 1.16 se puede establecer el movimiento del péndulo simple en

términos de las coordenadas cartesianas z y y, o en términos del ángulo . La selección de como

coordenada es más conveniente que la selección de z y y. El péndulo sólo tiene un grado de libertad

siempre que el movimiento se restrinja a un plano único. Al seleccionar a como coordenada se hace

uso del hecho adicional de que la longitud del péndulo es constante, esta es una restricción del sistema,

las coordenadas y y z están restringidas por la ecuación de compatibilidad z2 + y

2 = L

2.

La restricción juega un papel muy importante en la solución de problemas, reconocer las restricciones

es tan importante (o más aún) como el seleccionar las coordenadas, por lo general, podemos describir

por completo el movimiento con un número menor de coordenadas si reconocemos la restricción como

una limitación al movimiento.

El número mínimo de coordenadas que se requiere para describir por completo las posiciones de todas

las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo, corresponde al número de grados de libertad

del sistema. Esto implica que si tenemos un gran número de coordenadas, mayor que el de grados de

libertad, deben existir suficientes ecuaciones de restricción para subsanar la diferencia.

Figura 1.16. Coordenadas en el movimiento de un péndulo.

Se denomina sistema de coordenadas generalizadas a aquel que describe al movimiento general y

reconoce sus restricciones. En la Figura 1.16, la coordenada angular es la coordenada generalizada



que reconoce la longitud fija del péndulo como una restricción del sistema, las coordenadas lineales y y

z no lo hacen así.

Sólo se necesita una afirmación adicional sobre coordenadas, el movimiento en el cual sólo varía una

coordenada se denomina un modo principal de movimiento. Una característica de un modo principal es

el patrón común de todo movimiento, todas las partículas pasan a través de las velocidades máximas y

mínimas al mismo tiempo, al definir el movimiento de una partícula se define el movimiento de todas

las partículas, sólo se necesita una coordenada para definir el movimiento, y esta coordenada se

denomina la coordenada principal. Analíticamente, la mayor parte de los problemas no requieren el uso

de coordenadas principales, pero el concepto de coordenadas principales es en extremo importante. En

sistemas lineales se puede describir todo el movimiento mediante la superposición de modos

principales.

Es interesante notar que las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas principales,

no es importante en este momento hacer la definición pero es importante reconocer que existen las

coordenadas principales y los modos principales.

En la Figura 1.18 se muestran, respectivamente, sistemas masa-resorte de un solo grado y de dos

grados de libertad, para la primera la coordenada lineal x puede ser usada para especificar el

movimiento; así como x1 y x2 también coordenadas lineales describen la posición de las masas uno y

dos respectivamente.

x1k1 m1

x2

k2m2x

k m

Figura 1.18. Sistemas de uno y dos grados de libertad (lineales).

1.9 Reglamentos de diseño

La interacción de varias disciplinas como son: la sismología, la teoría de ondas y vibraciones, la

dinámica estructural aplicada a sistemas de uno y de varios grados de libertad (tridimensional), las

experiencias con el comportamiento dinámico real de las estructuras, la investigación, el desarrollo de

equipos, métodos numéricos y programas de computadora para la solución de problemas dinámicos ha

traído como resultado el modelado dinámico tridimensional de sistemas estructurales cuya solución por

computadora permite entre otras cosas ver animaciones (formas modales, análisis paso a paso, etc.), las

cuales son muy didácticas e ilustrativas para identificar movimientos tridimensionales laterales y

torsionales de sistemas estructurales tanto sencillos como de relativa complejidad lo anterior es parte

fundamental del análisis sísmico moderno.

Por otra parte, con respecto al avance de la ciencia y la tecnología, los códigos de diseño sísmico

avanzan con cierta lentitud ya que poco a poco incorporan los avances logrados, y en la práctica

profesional ya se usan más los métodos dinámicos y de historia en el tiempo (análisis paso a paso) así

como el uso de espectros de sitio.



Una buena parte del futuro de la ingeniería sísmica está en aprovechar las propiedades de

amortiguamiento y disipación de energía de nuevos sistemas y materiales que no sean propios de la

estructura.

Hoy en día, la mayoría de los reglamentos modernos de diseño sísmico establecen como objetivos:

a) En sismos excepcionalmente severos, evitar el colapso de la estructura pero permitir cierto

grado de daño.

b) En sismos de ocurrencia moderada, evitar cualquier tipo de daños.

Los anteriores objetivos se cumplen atendiendo a los estados límite de servicio, de integridad

estructural y de supervivencia.

La mayoría de los reglamentos describen con cierto detalle los métodos específicos de diseño, en orden

de refinamiento estos métodos son: el simplificado, el estático y los dinámicos.

Como índice de la acción sísmica se emplea el coeficiente sísmico que representa la fracción del peso

de la estructura que actúa como cortante en la base de la misma, el coeficiente sísmico también sirve

como base para la construcción de los espectros de aceleraciones de diseño utilizados en el análisis

dinámico que permiten obtener las fuerzas dinámicas que habrán de considerarse en el diseño de los

elementos estructurales.

El coeficiente sísmico refleja el tipo de suelo en el que se desplantará la estructura así como su la

importancia de la misma, en este sentido el coeficiente sísmico se amplifica cuando la falla de la

estructura, a raíz de un evento sísmico, es muy importante. Con algunas limitaciones en su aplicación

se presentan criterios y métodos que incluyen efectos de interacción suelo-estructura.

En cuanto a los espectros elásticos especificados, las ordenadas se pueden reducir para considerar la

capacidad significativa que la estructura tenga de deformarse más allá de su intervalo elástico-lineal, lo

anterior se realiza dividiendo la ordenada espectral elástica entre un factor Q que puede tomar valores

comprendidos comúnmente entre uno y cuatro en función del tipo de estructuración y los detalles de

dimensionamiento que se llevaran a cabo tanto en los elementos como en sus uniones.

También especifican que la estructura debe revisarse para la acción conjunta de dos componentes

horizontales ortogonales del movimiento del terreno considerando la rotación en plata así como los

efectos de torsión (estática o dinámica).

En cuanto a la determinación de la magnitud de los daños el índice más utilizado es la distorsión de

entrepiso (desplazamiento relativo entre dos pisos sucesivos dividido entre la altura de entrepiso)

multiplicado por el factor de reducción de fuerzas sísmicas Q, ese índice se compara con las

deformaciones admisibles especificadas por el reglamento.



1.10 Ondas, movimiento ondulatorio y tipos de ondas

El estudio de las vibraciones producidas por diversos fenómenos que afectan a las estructuras de la

ingeniería civil es de mucha importancia el conocimiento sobre las ondas por lo que es conveniente que

revisemos el concepto de onda.

La energía se puede transmitir de un lugar a otro por distintos medios sin que se realice una

transferencia física del material entre esos dos puntos. Por ejemplo, cuando se deja caer una piedra en

un estanque de agua, la piedra mueve el agua cuando toca su superficie. En instantes posteriores, partes

adyacentes a la porción de agua en que cayó la piedra empiezan a moverse; nótese que estas partes no

fueron tocadas por la piedra, tiempo después, otras partes del agua que tampoco fueron tocadas por la

piedra también empiezan a moverse. La piedra causó una perturbación en el agua, es decir, se creó una

onda que se propaga en círculos concéntricos, que al cabo de un tiempo se extienden a todas las partes

del depósito, algún objeto sobre la superficie del agua se moverá hacia arriba y hacia abajo a medida

que se propaga la perturbación. En este ejemplo la onda se propagó en el agua, o sea que el agua fue el

medio.

El anterior caso nos muestra que la energía se ha transferido a través de una cierta distancia desde el

punto de impacto de la piedra hasta el lugar donde se encuentra el objeto flotante, ella (la energía) se

transmite mediante la agitación entre partículas de agua colindantes entre sí, únicamente la

perturbación se mueve a través del agua y el movimiento real de cualquier partícula de agua es

comparativamente pequeño. A la propagación de la energía en un medio originada por una

perturbación y no por el movimiento del medio mismo se le llama movimiento ondulatorio, la

existencia de una onda mecánica depende de una fuente mecánica (el choque de la piedra sobre el

agua) y de un medio material (el agua), de manera general, una onda mecánica es una perturbación

física en un medio elástico.

Ahora imaginemos una cuerda inicialmente en reposo y en posición horizontal que está fija en uno de

sus extremos a una pared (Figura 1.19) y su otro extremo lo sostenemos con la mano. Ahora, subamos

y regresemos la mano con cierta velocidad; en un principio, al hacerlo moveremos la parte AB de la

cuerda. En un instante posterior la porción BC de la cuerda empezará a subir. Posteriormente, CD

empezará a subir y después, DE también lo hará, y así sucesivamente. De hecho, cuando la parte AB

sube arrastra hacia arriba la porción BC; al subir BC arrastra a su vez hacia arriba a CD, etc. Es decir,

al moverse cada parte de la cuerda arrastra la porción que está a su lado. En todo esto hay que darse

cuenta de que nuestra mano solamente movió la porción AB; nuestra mano NO movió las porciones

BC, CD, DE, etc. De hecho, ni siquiera las ha tocado.



Figura 1.19. Al perturbar la cuerda en el punto A los demás puntos de la cuerda llegan a perturbarse.

Esta perturbación es una onda.

Podemos decir que nuestra mano sacó a la cuerda de su posición de equilibrio, que es la horizontal; es

decir, nuestra mano perturbó la cuerda, y más específicamente, la parte AB. A su vez, la parte AB

perturbó la sección BC; en seguida, la parte BC perturbó la porción CD, etc. Es decir, la perturbación

que nuestra mano causó en una parte bien precisa de la cuerda se ha ido propagando al resto de ella.

Esta propagación de la perturbación es una onda. La perturbación que generó nuestra mano se propagó

a lo largo de la cuerda. Se dice que la cuerda es el medio en el que se propaga la onda así generada.

Otro tipo de onda es el siguiente: consideremos un recipiente con aire en su interior; supongamos que

la parte superior del recipiente está cubierta con una membrana elástica que no deja pasar el aire hacia

afuera. Ahora apretemos la membrana para comprimir el aire dentro del recipiente. Para empezar, el

aire adyacente a la membrana se comprime. Al transcurrir el tiempo esta región deja de estar

comprimida, pero el aire que ocupa la región adyacente, dentro del recipiente, se comprime a su vez.

De esta forma la compresión se va propagando a lo largo de todas las regiones del aire dentro del

recipiente. Es decir, la perturbación que aplicamos al apretar la membrana, que comprimió el aire en la

región AB, se fue propagando al resto del aire. Por tanto se generó una onda. En este caso la onda es de

compresión del aire y el medio en que se propaga es precisamente el aire.

Otra posibilidad es que en lugar de apretar la membrana la estiremos hacia arriba. En este caso el aire

que queda junto a la membrana ocupa un volumen mayor que el que tenía originalmente. Como las

cantidades de aire son las mismas, ahora el aire queda diluido, es decir, rarificado. Este efecto es el

opuesto al de compresión. Por lo tanto, al estirar la membrana la región adyacente a ella experimenta

una rarefacción. En instantes posteriores las diversas regiones del gas se van rarificando. Es decir, la

perturbación, que ahora es la rarefacción, se ha propagado en el aire. Es este caso, la onda así creada es

de rarefacción.

También se puede generar una onda en que se propague tanto una compresión como una rarefacción.

En efecto, supóngase que primero empujamos y luego jalamos la membrana. Al empujar comprimimos

el aire y al jalar lo rarificamos. Lo que ocurre es lo siguiente: en primer lugar, la región adyacente a la

membrana se comprime. Posteriormente, la región adyacente a la anterior se comprime. Si ahora la

membrana se jala, entonces la región adyacente a la membrana se rarifica. Estas compresiones y

rarefacciones se van propagando en el gas. De esta manera se ha generado una onda de compresión y

de rarefacción. El sonido es justamente este tipo de onda.



Cuando hablamos emitimos sonidos. Nuestra garganta, a través de las cuerdas vocales perturba el aire

que está a su alrededor comprimiéndolo y rarificándolo. Estas perturbaciones se propagan a través de la

atmósfera que nos rodea, constituyendo una onda de sonido.

Cuando se toca algún instrumento musical lo que se está haciendo efectivamente es hacerlo vibrar. Por

ejemplo, al tocar un violín se hace vibrar la cuerda con el arco; ésta a su vez hace vibrar el cuerpo de

violín. Al vibrar la madera de que está hecho, el violín comprime y rarifica al aire que está junto a él.

Estas perturbaciones se propagan y forman un sonido. Lo mismo ocurre con cualquier otro instrumento

musical.

Cuando un objeto se rompe o choca con algún cuerpo, perturba el aire que está a su alrededor y genera

una onda sonora.

Las ondas de compresión y rarefacción se propagan no solamente en el aire sino en cualquier otra

sustancia. Es claro que para que esta onda se propague la sustancia debe poder comprimirse y

rarificarse. Esto ocurre con cualquier sustancia, unas en mayor grado y otras en menor grado. Por lo

tanto, una onda sonora se propaga en un medio, por ejemplo el agua, un sólido como el concreto o el

hierro, etcétera.

Si no hay medio entonces una onda no se propaga; así, no puede propagarse en una región en que no

haya nada, en el vacío. Por ejemplo, en la Luna no hay atmósfera, es decir, no hay aire y por tanto no se

propaga el sonido.

Una característica de una onda es la longitud de onda, denotada por λ (Figura 1.20). Esta cantidad es la

distancia entre dos máximos sucesivos de la onda. La longitud de onda se mide en metros, centímetros,

kilómetros, etcétera.

Figura 1.20. La longitud de onda es la distancia entre dos máximos sucesivos.

Otra característica de una onda es su frecuencia, denotada por f, que es el número de ciclos que se

repite en un segundo. La unidad de la frecuencia es el ciclo/segundo que se llama hertz (abreviado Hz).

Hay una relación entre la longitud y la frecuencia de una onda; en efecto, resulta que su producto es

igual a la velocidad con que se propaga la onda.

f =



En vista de que en un medio dado la velocidad es una cantidad constante, si la frecuencia f aumenta,

para que el producto (f ) sea constante, necesariamente la longitud de onda debe disminuir, e

inversamente. Por lo tanto:

E inversamente:

Las ondas se clasifican de acuerdo al movimiento que generan en una parte determinada en el medio en

el cual se producen con respecto a la dirección en que se propaga la onda.

En una onda transversal, la vibración de las partículas individuales es perpendicular a la dirección de

propagación de la onda, la perturbación de la cuerda mencionada anteriormente es un ejemplo de ondas

transversales.

Otro tipo de onda, como la que se genera con un resorte en espiral cuando la espira de uno de sus

extremos se comprime y se suelta, las espiras cercanas se tensan y se comprimen formando una

condensación, ese pulso se propaga a lo largo del resorte, este tipo de onda se llama longitudinal debido

a que las partículas del resorte se desplazan en la misma dirección en que avanza el resorte. En general,

una onda longitudinal consiste en una serie de condensaciones y rarefacciones que se desplazan en

cierta dirección.

La descripción matemática de la propagación de las ondas arriba descritas se hizo durante la segunda

mitad del siglo XVIII y las dos primeras décadas del XIX, para ello se utilizaron como punto de

partida las ecuaciones de la mecánica que desarrolló Isaac Newton. En cada caso se obtuvo la ecuación

que describe la variación de la correspondiente cantidad con respecto a su valor en equilibrio. Así, por

ejemplo, en el caso de la cuerda (Figura 1.19) se obtuvo la ecuación que debe satisfacer el

desplazamiento h de la cuerda con respecto a su posición de equilibrio, en cada instante y en cada

posición a lo largo de la cuerda. Se encuentra una ecuación que contiene el valor de la velocidad con la

que se propaga la onda la que depende de la tensión de la cuerda y la densidad de masa.

De la misma manera se encontraron las ecuaciones para la propagación de las ondas en el estanque de

agua y del sonido, arriba mencionadas. En cada una de esas ecuaciones el valor de la velocidad de

propagación de la onda depende de las características mecánicas de los sistemas en cuestión. Resulta

que todas las ecuaciones mencionadas tienen la misma estructura matemática. Por este motivo, a una

ecuación de este tipo se le llama ecuación de onda. Por supuesto que también se estudió otro tipo de

ondas, como por ejemplo las que se propagan en un tambor, en cada caso se encuentra el mismo tipo de

ecuación de onda. La única variante entre caso y caso es el valor de la velocidad de propagación de la



onda que depende de las propiedades mecánicas particulares del sistema en cuestión. A estas ondas se

les llama ondas mecánicas. A principios del siglo XIX se inició también el estudio matemático para

obtener las soluciones de las ecuaciones de onda.

Apuntes de Acciones Dinámicas

Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería UNAM

25

TEMA II

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE

DINÁMICA ESTRUCTURAL

2.1 Introducción

En un buen número de fenómenos físicos relacionados con las estructuras existen variaciones cíclicas

de la fuerza y, por consiguiente, en los desplazamientos producidos por esas fuerzas, el estudio de estas

variaciones cíclicas o periódicas, constituye el estudio de la vibración. Los problemas de vibración son

complicados. Para su estudio, se puede clasificar a la vibración de varias maneras.

Una vibración libre ocurre sin la aplicación de fuerzas por el exterior. Por lo general, la vibración libre

surge cuando se desplaza un sistema elástico, o se le proporciona cierta velocidad inicial por lo cual

oscilará libremente debido a la energía inducida inicialmente.

Una vibración forzada está asociada a la aplicación de fuerzas exteriores. Las vibraciones forzadas

pueden ser periódicas, aperiódicas o aleatorias (Figura 2.1). El movimiento periódico simplemente se

repite a sí mismo en intervalos de tiempo regulares. En el movimiento aperiódico o aleatorio no existen

tales intervalos regulares, un ejemplo típico de este último lo constituyen los movimientos producidos

por los sismos.

Figura 2.1. Representación gráfica de un movimiento armónico.

Las vibraciones libres forzadas pueden ser amortiguadas, que es el término usado en el estudio de la

vibración para denotar una disipación de energía observada por la disminución en la amplitud de la

vibración en el transcurso del tiempo. También las vibraciones se clasifican por el número de grados de

X

T=2

a) Movimiento periódico

(armónico)

Desplazamiento

0

0

0 Tiempo

b) Movimiento aleatorio



26

libertad del movimiento. El número de grados de libertad corresponde al número de coordenadas

independientes que se necesitan para describir por completo al movimiento.

Un problema particular de estudio se puede describir por más de una clasificación, por ejemplo, la

vibración forzada amortiguada, es un movimiento que es forzado exteriormente en tanto se disipa la

energía.

En la mayoría de los problemas de vibración intervienen diferentes tipos de fuerzas, si las fuerzas

disipativas son proporcionales a la velocidad del movimiento, las fuerzas de restauración

proporcionales al desplazamiento y las fuerzas de inercia proporcionales a la aceleración, se dice que la

vibración es lineal. Si no se satisface alguna de estas proporcionalidades, se dice que la vibración es no

lineal.

2.1 Sistemas de un grado de libertad.

El péndulo simple mostrado en el tema anterior, así como el columpio son algunos ejemplos típicos con

los que varios textos relacionados con la dinámica inician el estudio de las vibraciones, las estructuras

reales como las mencionadas también en el tema anterior (tanques elevados, torres, estructuras de un

nivel, etc.) son ejemplos cuyo comportamiento dinámico se puede estudiar modelándolos como

sistemas de un solo grado de libertad.

2.2 Masa y Rigidez

Ya algunos desarrollos iniciales presentados así como determinadas expresiones sobre las

características y ecuaciones que gobiernan la respuesta dinámica presentan como parámetros a la masa

y la rigidez esta última representada por un resorte elástico de masa y amortiguamiento despreciable, en

él una fuerza se desarrolla la cual es proporcional a la deformación que el resorte experimenta, la

rigidez k del resorte representa la capacidad de restitución de la estructura al movimiento, es decir al

actuar la fuerza externa o la fuerza de inercia la estructura se deforma y es la rigidez de la misma la que

trata de regresar a la estructura a su posición inicial de equilibrio.

En la mayoría de los casos debemos usar un modelo matemático para representar al sistema vibrante e

identificar de los varios tipos de modelos cual es el más apropiado, una vez que el modelo ha sido

seleccionado la masa y los elementos de inercia pueden ser fácilmente identificados, por ejemplo,

consideremos una viga en voladizo con una masa en su extremo libre, para un análisis rápido y

razonablemente preciso el amortiguamiento y la masa de la viga pueden ser despreciables y el sistema

puede ser modelado como un sistema masa-resorte de un solo grado de libertad, si consideramos un

edificio de varios pisos, podemos asumir que la masa del marco es despreciable comparada con la masa

de los pisos y el edificio puede ser modelado como un sistema de varios grados de libertad.

En muchas situaciones prácticas varias fuentes de masa intervienen de manera combinada para un

análisis simple podemos remplazar esas masas por una sola masa equivalente.

2.3 Vibración libre no amortiguada de sistemas de un grado de libertad



27

Considérese un resorte elástico deformado por una fuerza aplicada f, se le denomina elástico porque

obedece la ley de Hooke, variando linealmente la fuerza f con el desplazamiento x (véase Figura 2.2).

La constante de proporcionalidad del resorte, constante del resorte o módulo k del resorte, es la

pendiente de la curva fuerza-desplazamiento. La fuerza del resorte es entonces.

f=kx (2.1)

Si se sujeta una masa m al extremo inferior del resorte y se permite que el resorte y la masa se muevan

hasta una posición de equilibrio, el resorte se deformará verticalmente una distancia = mg/k a partir

de su posición libre, y la fuerza en el resorte será igual al peso de la masa suspendida. Si se mueve la

masa desde esta nueva posición de equilibrio, oscilará alrededor de ésta. Usando la segunda ley del

movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para cualquier desplazamiento x es xmF , la

que se puede describir como una ecuación diferencial lineal de segundo orden en términos de la

coordenada única x.

xmkxmgW (2.2)

Es decir

0kxxm (2.3)

Figura 2.2. Masa suspendida de un resorte.

2.3.1 Solución directa

Para el problema de vibración libre, relativamente simple, no es difícil comprender que la solución será

armónica. Esto se puede verificar sustituyendo una función ya sea exponencial o trigonométrica, como

solución de prueba de la ecuación homogénea, por ejemplo, consideremos

rtCex (2.4)

Cuya primera y segunda derivada son:

rt

rt

Cerx

rCex

2

Sustituyendo en la ecuación 2.3 tenemos:

0kxxm



28

02 rtrt

CekCemr

02

kmr

La sustitución muestra que, la solución de prueba es una integral de la ecuación diferencial si se

satisface la siguiente ecuación característica.

02

m

kr (2.5)

La ecuación característica tiene dos raíces, las cuales están dadas por la siguiente expresión:

222,1 nn i

m

kr (2.6)

La cantidad mk / , es la frecuencia del movimiento armónico, en radianes por segundo, y por lo

general, se le denomina frecuencia circular natural n .

Las raíces de la ecuación característica se denominan valores característicos, valores propios,

eigenvalores o autovalores.

Existen dos integrales particulares de la ecuación 2.3, estas son:

ti

ti

n

n

eCx

eCx

22

11 (2.7)

Si sustituimos ambas soluciones en la ecuación 2.3 y la suma satisface también la ecuación de

movimiento y tiene el número requerido de constantes arbitrarias, entonces, la solución general es:

titi nn eCeCx 21 (2.8)

Siempre que x1 y x2 no sean linealmente dependientes. La integral general se puede escribir también en

la forma hiperbólica siguiente:

tiCCtiCCx nn senh)(cosh)( 2121 (2.9)

O más usualmente en forma trigonométrica siguiente

tBtAx nn sencos (2.10)

En las ecuaciones 2.7 a 2.10, C1, C2, A y B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones

de movimiento, por ejemplo, si x0 y v0 son, respectivamente, el desplazamiento y la velocidad inicial,

es decir correspondientes a t=0 (inicio del movimiento), puede demostrarse que las ecuaciones 2.11 a

2.13 son la solución al problema de vibración libre no amortiguada representando respectivamente al

desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa.

tsenv

txx n

n

n0

0 cos (2.11)



29

tcosvtsenxx nnn 00 (2.12)

tsenvtxx nnnn 00

2 cos (2.13)

Si se selecciona al extremo libre del resorte, en lugar de la posición de equilibrio, como origen para la

coordenada x, se añade a las ecuaciones 2.6 y 2.7, el término mg/k el cual es un término estático, y no

es de importancia en la dinámica, siempre se le puede eliminar sí se selecciona la posición de equilibrio

como origen para la coordenada x.

2.3.2 Movimiento armónico

Las ecuaciones 2.8, 2.9 y 2.10 son funciones armónicas del tiempo, el movimiento es simétrico

alrededor de la posición de equilibrio. La velocidad es máxima y la aceleración es cero cada vez que la

masa pasa a través de esta posición. En los desplazamientos extremos la velocidad es cero y la

aceleración es un máximo. Esta es la forma más simple de vibración y se denomina con frecuencia

movimiento armónico simple. Este movimiento es típico de la mayoría de los sistemas con un solo

grado de libertad que se han desplazado en una pequeña cantidad desde una posición de equilibrio

estático y se han liberado. Modela con cierta precisión un sorprendente número de sistemas mecánicos

reales.

Con frecuencia es conveniente usar un diagrama vectorial para representar visualmente al movimiento

armónico. En la Figura 2.3, el desplazamiento x es la suma de las proyecciones sobre el eje x de los dos

vectores A y B que giran alrededor del origen con una velocidad angular n y en ángulo recto entre sí.

El desplazamiento angular de cualquiera de los vectores en cualquier momento t es, = nt, este

desplazamiento se mide a partir de las posiciones originales de los vectores A y B en el tiempo t=0, en

el eje vertical para el vector A y en el eje horizontal para el vector B. Las magnitudes A y B dependen

de las condiciones iniciales del movimiento.

Figura 2.3. Representación gráfica de un movimiento armónico.

A

nt

x

B

t

X

x

=T

nt

2 =T 2 =T 2

=T 2



30

Se llama un ciclo al movimiento completo llevado a cabo en cualquier tiempo, e inversamente, el

periodo T es el tiempo necesario para completar un ciclo de movimiento, así tenemos:

2Tn

De donde:

m

kT

n

22

k

mT 2 (2.14)

k

mTfn

2

11

m

kfn

2

1 (2.15)

n = frecuencia circular natural

n = frecuencia natural

Algunas veces es conveniente describir al periodo del movimiento armónico, que generalmente se da

en segundos, y otras es conveniente hablar de la frecuencia del movimiento, es decir, del número de

ciclos que se completa en cualquier unidad de tiempo. La unidad conveniente para la frecuencia es el

hertz (Hz) que es un ciclo por segundo (cps). EL uso del hertz es una práctica normalizada en muchos

países europeos y se aplica ampliamente en la electrónica, acústica y en la mayor parte de los campos

científicos relacionados con el estudio de las vibraciones. Para la frecuencia natural de un sistema

vibratorio se usa el símbolo n.

La ecuación 2.10 está limitada a dos constantes arbitrarias, pero éstas no necesitan ser ambas

amplitudes. A veces es más conveniente pensar en términos de una amplitud, y de un ángulo de fase,

con referencia a la Figura 2.3.

)( tsenXx n (2.16)

O

)(cos tXx n (2.17)

Los desplazamientos( nt+ )y( nt- )se miden a partir de los ejes horizontal y vertical

respectivamente, que, otra vez, son las posiciones generales para la iniciación del movimiento de los

vectores A y B. X, y son nuevas constantes arbitrarias que se pueden describir en términos

de A y B.

22 BAX (2.18)



31

cotA

Btan (2.19)

El término X es la amplitud máxima o valor pico del desplazamiento.

2.3.3 Vibración torsional

La vibración torsional se refiere a la vibración de un cuerpo rígido alrededor de un eje de referencia

específico. En este caso, el desplazamiento se mide en términos de una coordenada angular. El

momento de restablecimiento se debe, ya sea a la torsión de un elemento elástico o al momento no

equilibrado de una fuerza o de un par de fuerzas.

Figura 2.4. Péndulo sujeto a torsión.

Con referencia a la Figura 2.4, del extremo de una barra larga se soporta un disco que tiene una masa

relativamente grande con relación a la de la barra, y su otro extremo está fijo a una base rígida. Si la

barra es elástica, cualquier desplazamiento angular del disco, lejos de la posición de equilibrio, creará

un momento de restablecimiento igual a:

L

JGM (2.20)

En donde J es el segundo momento del área (momento polar de inercia de área) alrededor del eje de la

barra, G es el módulo de rigidez a cortante, L es la longitud de la barra, y es la medida de la

coordenada angular del disco con respecto al eje de la barra. Este momento de restablecimiento es

proporcional al ángulo y la constante de proporcionalidad se define como la constante torsional del

resorte.

L

JGMK (2.21)

El símbolo para la constante torsional del resorte es K (rigidez torsional) y sus unidades son par de

torsión por unidad de desplazamiento angular (p. ej. N-m/radián). Tomando la suma de momentos

alrededor del eje de la barra, se puede enunciar la segunda ley de Newton para el movimiento como:



32

0

00

IK

IM (2.22)

El momento de restablecimiento es ,K por lo que, la ecuación del movimiento es:

0

0I

K (2.23)

Que es similar a la ecuación 2.3, en donde está en lugar de la coordenada x, y K/I0 reemplaza a

k/m, la frecuencia natural de este sistema es:

02

1

I

Kfn (2.24)

Al sistema de resorte torsional y masa, se conoce como péndulo de torsión.

Con los cambios necesarios, el modelo anterior puede representar, por ejemplo, el movimiento de

torsión de un sistema estructural de losa rígida apoyada sobre columnas.

Apuntes de Dinámica Estructural

Fernando Monroy, Facultad de Ingeniería, UNAM

39

2.4 Vibración libre no amortiguada de sistemas de múltiples grados de libertad

2.4.1 Introducción

El análisis de vibraciones de sistemas con muchos grados de libertad requiere de una aproximación

sistemática para lograr tanto claridad en su formulación como simplicidad en su cálculo. Por lo que, los

métodos matriciales son muy adecuados, no solo por los dos requisitos antes mencionados, sino

también, por proporcionarnos discusiones más simples de algunas de las propiedades de los sistemas

vibrantes con varios grados de libertad.

En esta sección se presentan varias propiedades de los sistemas vibrantes de múltiples grados de

libertad y técnicas matriciales que les son aplicables. Estos conceptos forman una base para el

tratamiento y la comprensión del comportamiento de grandes sistemas estructurales.

2.4.2 Matrices de flexibilidad y de rigidez

Como se verá más adelante, el análisis de sistemas vibrantes de varios grados de libertad conduce a una

ecuación matricial dinámica y en ella, generalmente, interviene la matriz de rigidez del sistema

estructural y, durante el proceso de solución de dicha ecuación dinámica, está puede reescribirse en

términos de la matriz de flexibilidad, por lo que es conveniente recordar que, el coeficiente de

influencia de flexibilidad aij se define como el desplazamiento en i, debido a la aplicación de una

fuerza unitaria en j. Por ejemplo, con las fuerzas f1, f2, f3 actuando en los puntos 1, 2 y 3, (véase

Figura 2.5) se puede aplicar el principio de superposición para determinar los desplazamientos en

términos de coeficientes de influencia de flexibilidad, así se pueden expresar como:

3332321313

3232221212

3132121111

fafafax

fafafax

fafafax

(2.22 3.1)



40

Figura 2.5 3.1. Coeficientes de flexibilidad.

Las ecuaciones anteriores (3.1) pueden agruparse en forma matricial, así tenemos:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

f

f

f

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(2.23 3.2)

o bien

fx a (2.24 3.3)

donde

a es la matriz de flexibilidad

x es el vector de desplazamientos

f es el vector de fuerzas

Si la ecuación 3.3 se premultiplica por la inversa de la matriz de flexibilidad, 1a obtenemos

fx1a

Sabemos que la inversa de la matriz de flexibilidad es la matriz de rigidez K , es decir:

K1a

1

Ka (2.25 3.4)

1

1

1

f2 f3

a31

f1

a23

a21a11

a32

a12

a22

a33

a13



41

o bien

xKf (2.26 3.5)

Escribiendo los términos de la ecuación 3.5, tenemos:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

x

x

x

kkk

kkk

kkk

f

f

f

(2.27 3.6)

Recordando que los elementos de la matriz de rigidez tienen la siguiente interpretación. Si x1=1 y x2 = x3 = 0, sustituyendo y desarrollando la ecuación 3.6 tenemos que las fuerzas en 1, 2 y 3 requeridas

para mantener este desplazamiento, de acuerdo con la ecuación 3.6 son kll, k2l y k31 (primera

columna véase Figura 3.2). Similarmente, las fuerzas f1, f2 y f3 requeridas para mantener la

configuración de desplazamientos x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 0 son k12, k22, y k32 (segunda columna).

Así la regla general para establecer los elementos de rigidez de cualquier columna, es hacer el

desplazamiento correspondiente a esa columna igual a la unidad, con todos los otros desplazamientos

iguales a cero y obtener las fuerzas requeridas en cada grado de libertad que serán los elementos de la

columna correspondiente en la matriz .K

Figura 2.6 3.2. Significado de la primer columna de K .

3.3 Ecuaciones de equilibrio dinámico para un sistema de varios grados de libertad.

Considere el sistema estructural que se muestra en la Figura 3.3.

k31k11 k21x1 = 1



42

Figura 2.7 3.3. Sistema estructural de 3 grados de libertad.

Al actuar el sistema de fuerzas F1(t), F2(t) y F3(t), en un instante t cualquiera, el sistema puede

adoptar una configuración como la mostrada en la Figura 3.4.

Figura 2.8 3.4. Configuración deformada para un instante t.

Ahora, el diagrama de cuerpo libre de los elementos del primer nivel se muestra en la Figura 3.5.



43

Figura 2.9 3.5. Diagrama de cuerpo libre del primer nivel.

Con respecto a la Figura 3.5 se tiene:

x1 = desplazamiento del primer nivel (masa)

Fa, Fb, Fc y Fd = Fuerzas en las columnas que están unidas al primer nivel

Fa + Fb = Fuerzas en las columnas del primer nivel

Fc + Fd = fuerzas en las columnas del segundo nivel

Las fuerzas anteriores son proporcionales al desplazamiento relativo de sus extremos(comportamiento

lineal), a esa constante de proporcionalidad se le conoce como rigidez lateral, como estamos

considerando a la losa rígida en su plano, las columnas a y b sufren el mismo desplazamiento relativo,

que será el desplazamiento x1.

11 x

Para las columnas del segundo nivel, el desplazamiento relativo es entonces

122 xx

De manera similar para las del tercer nivel

233 xx

Entonces, la fuerza en las columnas que están unidas a la losa del primer nivel (véase la Figura 3.6)

estará dada por

Fa + Fb = k1x1



44

Fc + Fd = k2(x2 – x1)

Figura 2.10 Figura 3.6. Fuerzas en el primer nivel.

La ecuación de equilibrio dinámico para este nivel conduce a:

0)( 11221111 Fxxkxkxm

0112221111 Fxkxkxkxm

12212111 )( Fxkxkkxm (2.28 3.7)

De manera similar, para el segundo nivel (véase la Figura 3.7) se tiene



45

Figura 2.11 Figura 3.7. Fuerzas en el segundo nivel.

Ahora la ecuación de equilibrio dinámico expresa que, en el segundo nivel

0)()( 223312222 Fxxkxxkxm

2332321222 )( Fxkxkkxkxm

2332321222 )( Fxkxkkxkxm

(3.8)

Por último, para el tercer nivel se tienen las fuerzas que se muestran en la Figura 3.8

Figura 2.12 Figura 3.8. Fuerzas actuando el tercer nivel.

La relación entre las fuerzas de este nivel queda definida por la ecuación de equilibrio dinámico

siguiente

0)( 323333 Fxxkxm

03233333 Fxkxkxm

3332333 Fxkxkxm (2.29 3.9)



46

Agrupando a las ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9) obtenemos

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

3

2

1

3

2

1

0

0

00

00

00

F

F

F

x

x

x

kk

kkkk

kkk

x

x

x

m

m

m

o bien, expresando matricialmente a la ecuación anterior se tiene

FxKxM (2.30 3.10)

en donde

M = matriz de masas

K = matriz de rigidez

xx , = vector de aceleraciones y de desplazamientos respectivamente

si 0F tenemos el caso de vibración libre no amortiguada.

La solución de la ecuación (3.10) puede escribirse como:

tXx

tXx

tXx

sen

sen

sen

33

22

11

Por lo que, la velocidad y aceleración para cada grado de libertad es:

tXx

tXx

tXx

cos

cos

cos

33

22

11

tXx

tXx

tXx

sen

sen

sen

32

3

22

2

12

1

Las relaciones anteriores pueden expresarse en forma matricial, por lo que:

tXx sen

tXx cos

tXx sen2

Al sustituir las ecuaciones anteriores en la ecuación (3.10) se llega a:

0sen)sen(2

tXKtXM



47

0sen2

tXMK

Las posibles soluciones de la ecuación anterior pueden ser

i) 0X no hay movimiento

ii) 02MK

Por obvia razón trabajando con la ecuación ii, por lo que, premultiplicando por M -1 se tiene

0121MMKM

haciendo KMA1

2

Por lo que, la ecuación ii puede expresarse como

0IA

MI

KA

2

(2.31 3.11)

3.4 Eigenvectores y Eigenvalores

Sea A una matriz de n x n y x un vector en Rn, en general no hay una relación geométrica entre x y Ax

(ver Figura 3.9).

Figura 2.13 Figura 3.9. Vectores x y Ax

Con cierta frecuencia pueden existir vectores x diferentes de cero tales que x y Ax son múltiplos

escalares entre sí (ver Figura 3.10), los vectores x que satisfacen lo expuesto con anterioridad surgen de

manera natural en el estudio de las vibraciones y en muchas otras áreas.

Ax

x



48

Figura 2.14 Figura 3.10. Vector Ax como múltiplo escalar del vector x.

Es decir, si A es una matriz de n x n, y existe un vector x diferente de cero tal que

xAx (2.32 3.12)

donde

= (Lambda) escalar = eigenvalor de A

x = eigenvector de A correspondiente a

Para obtener los eigenvalores de una matriz de n x n podemos proceder de la siguiente manera; sea I

la matriz identidad de n x n entonces la ecuación 3.12 se puede escribir como:

Ax = Ix

Ax - Ix = 0

(A - I)x = 0

El anterior sistema de ecuaciones homogéneo tiene soluciones diferentes de cero sí y sólo si la matriz

de coeficientes A - I no es invertible, es decir, sí y sólo si el determinante de (A - I) es cero,

en resumen:

si x 0 entonces

(A- I)=0 (2.33 3.11)

para ello

det(A- I)=0

Los términos valor característico y vector característico corresponden a los términos eigenvalor y

eigenvector, derivados del término alemán Eigenwert cuyo significado es “valor propio”, por lo que, a

los problemas en donde intervienen, también se les conoce como de valores y vectores propios.

x

Ax



49

Es de notarse que un vector característico no puede ser cero, si fuese x el vector cero, entonces la

definición carecería de sentido porque A0 = 0 se cumple para todos los valores reales de , pero por

otro lado, sí es posible un valor característico de =0.

3.5 Ecuación característica

El desarrollo del determinante de la matriz en la ecuación 3.11 conduce a una ecuación conocida como

polinomio característico de A, de la forma

det(A- I)= n+ b1

n-1 + b2

n-2 + ..................... + bn = 0

Debido a que el grado del polinomio característico de A es igual a n, entonces A puede tener cuando

mucho n soluciones distintas, conduciendo a n eigenvalores distintos.

El eigenvector de A correspondiente a un eigenvalor es el vector x diferente de cero que satisface

Ax = x (2.34 3.12)

3.6 Valores propios y vectores propios del sistema de varios grados de libertad

Para la vibración libre del sistema no amortiguado de varios grados de libertad, las ecuaciones de

movimiento en forma matricial se han expresado como:

0xKxM (2.35 3.13)

en donde:

nnnn

n

mmm

mmm

M

21

11211

= matriz de masa (matriz cuadrada)

nnnn

n

kkk

kkk

K

21

11211

= matriz de rigidez (matriz cuadrada)

nx

x

x

x

2

1

= vector de desplazamientos (matriz columna)

Cuando no hay ambigüedad, podemos no incluir los paréntesis ni las llaves y escribir

0KxxM (2.36 3.14)



50

Si premultiplicamos por M-1, obtenemos:

IMM1 (matriz identidad)

AKM1 (matriz dinámica del sistema)

y

0AXXI (2.37 3.15)

La matriz A es la matriz del sistema o matriz dinámica puesto que define las propiedades dinámicas del

sistema.

Suponiendo un movimiento armónico xx , con 2 , la ecuación 3.15 se transforma en

0xIA (2.38 3.16)

Puesto que 0x (hay movimiento), entonces, para que la ecuación 3.16 se satisfaga, IA debe

ser nulo, por lo que, la ecuación característica del sistema es el determinante igualado a cero, o

0IA (2.39 3.17)

Las raíces i de la ecuación característica son los valores propios o eigenvalores y, las frecuencias

naturales del sistema se determinan a partir de ellos por medio de la relación.

2ii (2.40 3.18)

Sustituyendo i en la ecuación matricial 3.16, obtenemos la correspondiente forma modal Xi que se

denomina vector propio. Así, para un sistema con n grados de libertad, tendremos n valores propios y n

vectores propios.

También es posible obtener los vectores propios a partir de la matriz adjunta del sistema. Haciendo B

= A- I y utilizando la definición de la inversa

BadjB

B11

(2.41 3.19)

podemos premultiplicar por B B para obtener:

BadjBIB

o en términos de la expresión original para B:

IAadjIAIIA (2.42 3.20)

Si ahora hacemos = i, un valor propio, entonces el determinante en el lado izquierdo de la

ecuación es cero y obtenemos

IAadjIA ii0 (2.43 3.21)



51

La ecuación anterior es válida para todo i y representa n ecuaciones para los n grados de libertad del

sistema. Comparando esta ecuación con la ecuación 3.16 para el modo i-ésimo.

Para el modo i

0ii xIA (2.44 3.22)

Reconocemos que la matriz adjunta, adj A- iI , debe constar de columnas, cada una de las cuales

es el vector propio Xi (multiplicado por una constante arbitraria). Los valores propios y los vectores

propios pueden calcularse para cualquier matriz simétrica por medio de métodos conocidos.

3.7 Ecuaciones basadas en la flexibilidad

En una sección previa de este capítulo se estableció la ecuación característica a partir de las ecuaciones

de movimiento basadas en la matriz de rigidez. Partiendo de la matriz de f1exibilidad también es

posible obtener los valores y vectores propios. Para ello, reescribiendo la ecuación 3.2

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

f

f

f

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(2.45 3.2)

Y si suponemos un movimiento armónico y reemplazamos las fuerzas por las de inercia

iiiii xmxmf2

La ecuación anterior (3.2) se transforma en:

3

2

1

333232131

323222121

313212111

2

3

2

1

x

x

x

mmm

mmm

mmm

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(2.46 3.23)

la cual puede ordenarse como

2

1,0XIma

o bien

0

0

0

1

1

1

3

2

1

2333232131

3232222121

3132122111

x

x

x

mmm

mmm

mmm

aaa

aaa

aaa

(2.47 3.24)

La ecuación característica es entonces el determinante de la matriz cuadrada de la ecuación anterior y

los valores propios, en este caso son iguales a =1/ 2 en lugar de 2

.



52

3.8 Propiedades ortogonales de los vectores propios

Propiedades de ortogonalidad de M y K

De la ecuación

02

AMK (2.48 1)

Se obtuvieron

A1, A2, .....An

Desarrollando la ecuación (1)

02MAKA

MAKA2

FKA

Figura 2.15 Figura 3.11. Formas modales.

donde

K Matriz de Rigidez

A Desplazamiento (forma modal)

A2 A1



53

F Fuerza

Para el modo i de amplitud Ai y frecuencia circular i

iiii FMAKA2

Para el modo j con características Aj, j

jjjj FMAKA2

Ahora con relación a la Figura 3.12 el teorema de los trabajos recíprocos (Maxwell-Betti) se expresa

como

Figura 2.16 3.12. Desplazamientos en i y en j producidos por las fuerzas Pi y Pj.

jijiji PP

Aplicándolo a los modos i, j

Tii FP

jij A

Tjj FP

iji A

ji

Pj

ji

ij

Pi



54

iTjj

Ti AFAF

iT

jjjT

ii AMAAMA )()(22

Recordando que la transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de

las matrices en orden inverso

= escalar y M es simétrica por lo que MMT

iTjjj

Tii AMAAMA )()(

22

Transponiendo sólo el lado derecho (es trabajo)

jTijj

Tij AMAAMA

22)(

jTijj

Tii AMAAMA

22

022

jTijj

Tii AMAAMA

0)(22

jTiji AMA

si ji

022ji

por lo que, para que se satisfaga la ecuación anterior

0j

Ti AMA

o bien

0j

Ti AMA

0i

Tj AMA

si j = i entonces

*0 ii

Ti mAMA masa modal o masa generalizada del modo i

Para el modo ii,

iii AMAK2

premultiplicando por TjA

iTjii

Tj AMAAKA

2



55

pero 0iTj AMA , por lo que

jiAKA iTj 0

para ji

iTiii

Ti AMAAKA

2

*2iii

Ti mAKk rigidez modal o rigidez generalizada del modo i

*

*2

i

ii

m

k



56

Los modos normales, o los vectores propios del sistema, son ortogonales con respecto a las matrices de

masa y de rigidez. Para ello, sea la ecuación para el modo iésimo

iii XMXK (2.49 3.25)

Premultiplicando por la traspuesta del modo j tenemos

)(''

ijiij XMXXKX (2.50 3.26)

Enseguida, partiendo de la ecuación para el modo j y premultiplicamos por 'iX para

obtener

)(''

jijji XMXXKX (2.51 3.27)

Como K y M son matrices simétricas, se cumplen las siguientes relaciones

jiij

jiij

XKXXKX

XMXXMX

''

''

(2.52 3.28)

Así, restando la ecuación 3.27 de la 3.28, obtenemos

jiji XMX'

)(0 (2.53 3.29)

Si i j, la ecuación anterior requiere que:

0'

ji XMX (2.54 3.30)

Puede verse que, de la ecuación 3.26 o de la 3.27, como consecuencia de la ecuación

3.30 se tiene:

0'

ji XKX (2.55 3.31)

Las ecuaciones 3.30 y 3.31 definen el carácter ortogonal de los modos normales.

Finalmente, si i=j, la ecuación 3.29 se satisface para cualquier valor finito de

los productos dados por las ecuaciones 3.30 o 3.31, entonces:

*'

*'

iii

iii

KXKX

MXMX (2.56 3.32)

En donde, *iM y

*iK son, respectivamente, la masa generalizada y la rigidez

generalizada.

temas 1 y 2 acciones dinamicas

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