tensiones y deformaciones

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Versión 2004 C C A A P P I I T T U U L L O O 2 2 T T E E N N S S I I O O N N E E S S Y Y D D E E F F O O R R M M A A C C I I O O N N E E S S . . R R E E V V I I S S I I Ó Ó N N D D E E P P R R I I N N C C I I P P I I O O S S F F Í Í S S I I C C O O S S División 4 Teorías de Falla Estática Análisis de Casos UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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CCAAPPIITTUULLOO 22

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS

División 4

Teorías de Falla Estática

Análisis de Casos

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Introducción En esta división 4 del capítulo 2, se verán las diferentes teorías de falla estática con sus respectivas metodologías de cálculo y análisis y aplicaciones a casos reales. Esto significa que se analizará desde el punto de vista estático o quasi-estático la resistencia de un órgano de máquina. Se sabe que la “resistencia” es una propiedad o característica de un elemento mecánico. Esta propiedad depende en conjunto de diversos factores, a saber: la identidad del material, el aspecto geométrico de la pieza, y los aspectos debidos a la solicitación. Todas estas facetas se deben considerar apropiadamente antes de poder establecer algún cuantificador para la “resistencia de una parte del elemento”. Las tablas de materiales y tablas de dispositivos (embragues, frenos, etc) no dan información alguna sobre la resistencia de partes específicas. La “resistencia de una parte del elemento” es una propiedad específica de un elemento de máquina antes de ser ensamblado en la máquina. Tal propiedad es un indicador muy importante para caracterizar la respuesta del elemento de máquina. Sin embargo se debe tener en cuenta que este tipo de indicadores es de carácter aleatorio cuando se trate de elementos producidos en serie o sometidos a variaciones en los procesos de carga o selección del material. En esta división se analizarán las relaciones entre cargas estáticas y resistencias estáticas con el fin de tomar decisiones respecto del material y su tratamiento, condiciones de geometría y de carga para poder garantizar un funcionamiento eficiente a un órgano de máquina. Se analizará el concepto de falla y de rotura y la distinción entre ambas.

2. Concepto de Rotura y de Falla

La idea de rotura o de falla de una pieza está asociada a la idea de desafectar la misma del mecanismo o máquina en la cual actúa. Sin embargo entre ellas existe una diferencia conceptual que permite efectuar un análisis diferente en cada caso y tomar decisiones afines. Un proceso de rotura significa que la pieza se divide en dos o más partes dejando así de cumplir con la función que tiene asignada como órgano de máquina. Un proceso de falla aunque es entendido de la misma manera que el anterior como que la pieza deja de cumplir con la función asignada en la máquina, de por sí constituye un concepto algo más general ya que contempla al anterior sin embargo la falla de una pieza puede ocurrir sin necesidad de su rotura. Esta diferencia se puede apreciar en una comparación entre dos probetas de ensayo compresivo tal como la que se ve en la Figura 2.54

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Existen diferentes mecanismos de falla en diferentes tipos de piezas construidas con diferentes tipos de materiales (En algunos casos se presentan dos o más como en la Figura

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2.55, donde pueden aparecen deformación por fuerzas, impacto, erosión superficial entre otras), algunas de las cuales se pueden enunciar a continuación:

Figura 2.54. Distinción del proceso de falla y de rotura

Figura 2.55. Multiplicidad de efectos de falla en una misma pieza

1. Deformación inducida por fuerzas y/o Temperatura 2. Desplazamientos inducidos por fuerzas o temperatura (pandeo) 3. Límite de Fluencia 4. Rotura Dúctil 5. Rotura Frágil 6. Fatiga estructural 7. Fatiga Superficial 8. Impacto o falla dinámica 9. Desgaste por fricción 10. Endurecimiento parcial 11. Daño por Radiación: típico en materiales como los plásticos. 12. Corrosión 13. Desgaste por Corrosión 14. Fatiga por Corrosión 15. Fatiga por “Fretting” 16. Desgaste por “Fretting” 17. Relajación Térmica. 18. Rotura por tensiones térmicas: Efectos concentradores de tensiones 19. Falla por efectos Creep: presencia de deformaciones sostenidas en el tiempo 20. Fatiga Térmica: 21. Shock o Golpe Térmico: modificación estructural por efecto térmico

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22. Spalling

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23. Debonding: Pérdida de contacto entre fibras y resina en materiales compuestos 24. Delamination Pérdida de contacto entre laminas de materiales compuestos La lista anterior es solo una muestra de la gran cantidad de mecanismos de falla que se pueden presentar en piezas construidas con diversos materiales y formas. Cada una de las precedentes tiene un proceso de análisis específico para caracterizar el potencial estado de falla de la pieza. Si bien cada caso es diferente en su enfoque y en las variables que se ponen en juego y los métodos de cálculo que se utilizan (en complejidad y representatividad), todas tienen en común la necesidad de caracterizar aspectos geométricos relativos al proceso de falla.

La concentración de Tensiones La concentración de tensiones es un efecto geométrico sumamente localizado. En algunos casos se puede deber a una grieta superficial, en otros se puede deber a un maquinado no adecuado o a la selección de radios de acuerdo muy bruscos entre superficies no concordantes. Si el material es dúctil, la carga estática de diseño, puede generar una fluencia en el punto crítico sobre la mueca. Esta fluencia puede conducir a un endurecimiento por deformación del material y a un incremento de la resistencia de fluencia en tal punto. Suele suceder que siendo las cargas estáticas, la fluencia localizada no conduce a fluencia general y en consecuencia la pieza globalmente puede soportar la solicitación.

Figura 2.56. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por foto elasticidad

Figura 2.57. Distribución y concentración de tensiones evidenciado por termo elasticidad radiométrica

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Un concentrador de tensión, es una discontinuidad que altera la distribución de la tensión en inmediaciones de la discontinuidad. Este tipo de discontinuidades se puede ver en las Figuras

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2.56 a 2.57. La concentración de tensiones es la zona donde se hallan los concentradores de tensiones. Normalmente se define el factor de concentración de tensiones, como el indicador del incremento de tensiones en la concentración de tensiones, y se calcula de la siguiente manera:

PuntualomedioPrTensiónPuntualMáximaTensiónKC

= (2.155)

Los factores concentradores de tensión, históricamente han sido y actualmente son muy útiles para poder emplear metodologías de cálculo tradicionales (Resistencia de Materiales) sin incurrir en graves errores de representatividad del estado tensional. De manera que el estado tensional en un punto viene dado por la siguiente expresión:

NomCMax K σσ = (2.156)

Donde σMax es la tensión normal o tangencial que se pretende valorar en la zona concentradora de tensiones, KC el coeficiente concentrador de tensiones y σNom la tensión nominal obtenida por cálculo de resistencia de materiales (Flexión, Tracción, torsión, etc.). Para la obtención de los factores de concentración de tensiones usualmente se recurría a ensayos de foto-elasticidad (Figura 2.56) o termo-elasticidad radiométrica (Figura 2.57) los cuales son métodos costosos en términos generales. Sin embargo hoy en día con el avance computacional es mucho más fácil y obtener los factores concentradores de tensión mediante el empleo de plataformas de cálculo por elementos finitos bidimensionales y/o tridimensionales, con las cuales se puede hallar en forma precisa el valor de las tensiones en los puntos de interés. Aun así en casos de importancia superlativa, por el riesgo que implica la mala predicción de los estados de tensiones, se suelen efectuar modelos computacionales de elementos finitos y correlacionarlos con modelos de foto elasticidad a escala o de tamaño real tal como se puede ver en el ejemplo de un tren de aterrizaje en la Figura 2.58. Normalmente los factores de concentración de tensiones se condensan en gráficos o ábacos o programas de cálculo para una configuración de solicitación determinada, un elemento estructural determinado para varias configuraciones de parámetros geométricos, como por ejemplo relaciones de alturas de vigas a radios de acuerdo en muescas, de agujeros, chaveteros, etc.

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En las Figuras 2.59 a 2.70 se muestran las gráficas de factores de concentración de tensiones para diferentes configuraciones geométricas y de carga. Nótese que las curvas se grafican en función de la razón del radio de acuerdo (o agujero) a una longitud característica (diámetro menor o altura menor, etc). En las Figuras a su vez se indican las formulas particulares de cada caso, homónimas a la (2.156) para calcular la tensión máxima en función de la denominada tensión nominal. En el disco que la cátedra suministra se hallan como rutinas de cálculo en una planilla excel denominada “Formulas-Calculo-Basico.xls”, todos los casos

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identificados en las Figuras 2.59 a 2.70 y otros adicionales que fueron adaptados de la referencia [3]. El mencionado archivo se halla en “D:\Programas-Calculos Varios”.

Figura 2.58. Modelo de foto elasticidad de tren de aterrizaje (Tomado de Referencia [4])

Figura 2.59. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con radio de acuerdo

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Figura 2.60. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con radio de acuerdo

Figura 2.61. Concentración de tensiones para planchuela traccionada con muesca

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Figura 2.62. Concentración de tensiones para planchuela flexionada con muesca

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Figura 2.63. Concentración de tensiones para eje traccionado con radio de acuerdo

Figura 2.64. Concentración de tensiones para eje flexionado con radio de acuerdo

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Figura 2.65. Concentración de tensiones para eje torsionado con radio de acuerdo

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Figura 2.66. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a tracción.

Figura 2.67. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a flexión

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Figura 2.68. Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a torsión

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Figura 2.69. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a tracción

Figura 2.70. Concentración de tensiones para planchuela con agujero sometida a flexión.

En la expresión (2.156), el factor KC cambia de significado cuando cambia el tipo de tensión que magnifica. Esto quiere decir que en los casos de las Figuras 2.65 y 2.68, KC significa un factor de concentración de tensiones de corte o tangenciales, en cambio para los restantes casos se trata de un factor de concentración de tensiones normales. La importancia en el uso de los diagramas 2.59 a 2.70 radica en que son indispensables cuando se usa una metodología de cálculo basada en modelos de resistencia de materiales. En caso de contar con una plataforma computacional de análisis por elementos finitos u otra semejante, las graficas mencionadas dejan de prestar utilidad.

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3. Predicción de falla estática Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado más general que puede presentarse ante una condición de solicitación, sin embargo aquel puede reducirse a estados biaxiales o triaxiales. En la práctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinación de tensiones, puesto que tal circunstancia se debe al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal razón se necesitan modelos o teorías que permitan evaluar, comparar y relacionar las tensiones tridimensionales con los resultados experimentales del ensayo de tracción típico, cuyo costo es relativamente muy bajo.

TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES DUCTILES Entre los materiales dúctiles se encuentran la mayoría de los metales y plásticos poliméricos. Se debe tener presente que en términos generales, los materiales dúctiles tienen la misma resistencia a la tracción y a la compresión y no son tan susceptibles a las zonas de concentración de tensiones en términos comparativos con los materiales frágiles. Se puede considerar que un material dúctil ha fallado cuando en términos globales la tensión que está soportando alcanza la tensión de fluencia.

Teoría de la máxima tensión cortante La teoría de la máxima tensión cortante fue introducida en forma independiente por Coulomb (1773) y por Tresca (1868), y se la suele llamar también Criterio de Fluencia de Coulomb-Tresca o Criterio de Fluencia de Tresca. De acuerdo con la evidencia experimental sobre laminas de titanio y otros metales, según las cuales los mismos se deformabas según planos de corte perfectamente definidos. Estas observaciones condujeron a definir el criterio de fluencia como sigue: Una pieza sujeta a cualquier combinación de cargas sufrirá falla cuando la tensión cortante máxima exceda un valor crítico. El valor crítico se puede obtener a partir de los ensayos de tracción y compresión convencionales. La forma analítica de representar este comportamiento es la siguiente

s

yji n

S=/σ donde

−−−

=

31

32

21

ji Máxσσσσσσ

σ / (2.157)

si se supone que 321 σσσ ≥≥ , entonces (2.157) se puede escribir de la siguiente manera

s

y31 n

S=−σσ (2.158)

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En (2.157) y (2.158), ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensión de fluencia del material. Las diferentes combinaciones de tensiones que verifican el criterio definido por la

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ecuación (2.157) o la (2.158) se pueden representar gráficamente y el lugar geométrico de todos los puntos que verifican fluencia. En la Figura 2.71.a se puede apreciar la zona correspondiente a un caso en el plano.

(a) (b)

Figura 2.71. Gráficas de (a) teoría de tensión de corte máximo (b) Teoría de la energía de distorsión

Teoría de la Energía de Distorsión Esta teoría postula que la falla es causada por la energía elástica asociada con la energía de deformación por corte. La hipótesis de la energía de distorsión surge de la observación que los materiales dúctiles sometidos a tensiones hidrostáticas tienen resistencias a la fluencia que exceden los valores de los experimentos de tracción simples (Ver Figura 2.71.b). Esto da la idea que la fluencia no es un proceso de tracción o compresión simples sino que hay involucrada cierta distorsión angular en el volumen unitario más solicitado. Esta teoría predice la fluencia bajo cargas combinadas con mayor exactitud que cualquier otra teoría conocida. La teoría de la energía de distorsión se puede deducir matemáticamente de varias maneras. Se analizarán algunas formas de obtener la expresión que rige el comportamiento de fluencia, para poder cotejarlas y mostrar la utilidad en cada contexto. En la Figura 2.72 se muestra un volumen elemental con las tensiones principales y como el estado tensional puede disgregarse en dos, uno de tensiones hidrostáticas y otro de tensiones de distorsión. Las tensiones hidrostáticas se pueden hallar de la siguiente manera:

3321

hσσσ

σ++

= (2.159)

La energía de deformación total del cuerpo de la Figura 2.72 viene dada por la expresión:

( )[ ]31232123

22

21T 2

E21U σσσσσσνσσσ ++−++= (2.160)

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Para hallar la energía de deformación para producir solo un cambio de volumen (como en el caso de la Figura 2.72.b), se tiene que sustituir en (2.160) σh por cada σ1, σ2 y σ3, así se obtiene:

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( )νσ21

E23

U2h

h −= (2.161)

Ahora reemplazando (2.159) en (2.161) y operando se tiene:

[ ]31232123

22

21h 222

E621U σσσσσσσσσν

+++++−

= (2.162)

Ahora la energía para distorsionar el cuerpo (Figura 2.72.c) se obtiene de la diferencia entre (2.160) y (2.162), en consecuencia se obtiene:

( ) ( ) ( )

−+−+−+=−=

2E31UUU

232

221

231

hTdσσσσσσν (2.163)

Nótese que la energía de distorsión es nula si las tensiones principales son todas iguales es decir si σ1 =σ2 =σ3.

Figura 2.72. Volumen elemental bajo tensiones principales. Tensiones hidrostáticas y de distorsión.

Ahora bien, la hipótesis de la energía de distorsión postula que la fluencia ocurrirá cuando la energía de distorsión de un volumen unitario sea igual a la energía de distorsión del mismo volumen cuando se lo someta a un esfuerzo uniaxial hasta la resistencia a la fluencia. Para un ensayo de tracción se cumple que σ1 =σe, σ2 =σ3 =0, luego la energía de distorsión se obtiene como:

2ed E3

1U σν+= (2.164)

siendo σe la denominada tensión efectiva o tensión de Von Mises.

( ) ( ) ( )2

232

221

231

eσσσσσσ

σ−+−+−

= (2.165)

En consecuencia la expresión de la teoría de la energía de distorsión se puede escribir como:

s

ye n

S=σ (2.166)

Donde ns y Sy son el coeficiente de seguridad y la tensión de fluencia del material.

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Una de las formas más simples e inmediatas para obtener la mencionada expresión es empleando el concepto de tensiones octaédricas. Se recordará de la expresión (2.35) donde se

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definen las tensiones octaédricas tangenciales y normales. Entonces, comparando (2.165) y (2.35) se puede obtener

eto 32σσ = (2.167)

Lo que significa que la falla se obtendrá cuando la tensión tangencial octaédrica alcance o supere la tensión tangencial octaédrica de fluencia. En consecuencia es fundamental calcular tener varios esquemas con los cuales calcular σe, es decir la tensión equivalente. En el caso que el cuerpo se halle en un sistema cartesiano tridimensional la tensión equivalente se puede obtener como:

( ) ( ) ( ) ( )2

6 2xz

2yz

2xy

2yyzz

2zzxx

2yyxx

e

σσσσσσσσσσ

+++−+−+−= (2.168)

En el caso de tensiones en el plano:

23 2

xyyyxx2yy

2xx

e

σσσσσσ

+−+= (2.169)

La teoría de la energía de distorsión también puede denominarse de las siguientes formas: - Criterio de Von Mises – Hencky - Hipótesis de la tensión cortante octaédrica - Hipótesis de la energía cortante

En la Figura 2.73 se puede apreciar una comparación entre las dos teorías: de la energía de deformación y de la máxima tensión de corte:

Figura 2.73. Comparación de las teorías de energía de distorsión y de máxima tensión cortante.

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NOTA: Es importante tener en cuenta que los contornos de las regiones de definición de los criterios de falla (Figuras 2.72 y 2.73), corresponden a un factor de seguridad unitario en las ecuaciones de cálculo. Esto se puede ver claramente en la Figura 2.74.

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Figura 2.74. Zona de tensiones límite y perfil de tensiones permitidas

Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales dúctiles) Esta teoría se basa en una serie de hipótesis y observaciones efectuadas por Mohr a principios del siglo XX, mediante los únicos métodos prácticos con que se contaba, es decir con los círculos Mohr e ideas afines al mismo. Aunque la idea es antigua, sigue siendo útil conceptualmente. La intención central de esta hipótesis involucra hallar una forma de cálculo para la tensión de fluencia representativa, conociendo los resultados experimentales de los tres ensayos de fluencia, a tracción, compresión y corte puro, luego describir sus estados en respectivos círculos de Mohr y finalmente trazar la envolvente de los tres círculos (Figura 2.75.a) la cual podría ser una recta, parábola o curva cualquiera. Sin embargo es más fácil obtener una fórmula de resistencia a la fluencia por corte puro en función de los otros dos experimentos, en vez de efectuar el ensayo de caracterización de fluencia por corte puro (entiéndase torsión).

(a) (b)

Figura 2.75. (a) círculos tangentes de compresión, tracción y corte (b) Teoría de la fricción interna (dúctiles)

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La hipótesis de la fricción interna establece en un estado de tensiones multiaxiales que la falla se produce cuando el mayor círculo de Mohr asociado al estado de tensiones en el

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punto crítico se hace tangente o excede los límites de la envolvente de falla establecidos por las condiciones de falla de los ensayos de tracción, compresión y corte. Lo útil de esta teoría radica en que conociendo solamente las tensiones de falla por tracción y por compresión, la tensión de falla por corte se obtiene según la siguiente expresión derivada del gráfico 2.75.a, como:

ycyt

ycytys SS

SSS

+= (2.170)

Ahora bien, en la hipótesis de fricción interna se puede proponer además la idea de que la envolvente es una línea recta, denominada hipótesis de Coulomb-Mohr, de tal forma que para cualquier circulo tangente a la línea envolvente BCD con tensiones principales σ1 y σ3, siendo σ1 positiva y σ3 negativa, se cumplirá que:

syc

3

yt

1

n1

SS=−

σσ siendo 01 ≥σ y 03 ≤σ (2.171)

En la Figura 2.75.b se puede apreciar el dominio de esta teoría. Por otro lado viendo las Figura 2.75 se puede inferir claramente que si la tensión de falla a compresión posee el mismo valor absoluto que para tracción, esta teoría se reduce a la teoría de máxima tensión de corte.

TEORIAS DE FALLA PARA MATERIALES FRAGILES Los materiales frágiles a diferencia de los materiales dúctiles, se fracturan prácticamente sin presentar fluencia. Una consideración importante y necesaria de involucrar en un criterio de falla para estos materiales, es la evidencia de que muchos de ellos poseen una resistencia a la compresión mayor que su contraparte a la tracción.

Teoría de la tensión normal máxima También denominada Teoría de Rankine. Esta hipótesis establece que la falla ocurre cuando una de las tres tensiones principales alcanza o supera la tensión de resistencia (rotura). Así pues esto se puede escribir matemáticamente como:

s

ut1 n

S=σ o

s

uc3 n

S−=σ siempre que 321 σσσ ≥≥ (2.172)

En (2.170) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente, mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 2.76.a se puede observar la zona de definición de este criterio (recordando la nota del apartado anterior, con ns = 1).

Teoría o hipótesis de la Fricción Interna (para materiales frágiles)

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A semejanza de la homónima teoría para materiales dúctiles esta teoría utiliza los mismos conceptos a diferencia que los valores límite de resistencias corresponden a las resistencias a

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la rotura de los materiales frágiles en vez de las correspondientes resistencias a fluencia. De manera que se empleará la siguiente expresión

suc

3

ut

1

n1

SS=−

σσ siendo 01 ≥σ y 03 ≤σ (2.173)

En (2.173) Sut y Suc son las resistencias a fractura de tracción y compresión respectivamente, mientras que ns es el coeficiente de seguridad. En la Figura 2.76.b se muestra el dominio de esta hipótesis.

(a) (b)

Figura 2.76. Teorías de (a) máxima tensión normal (b) fricción interna (frágiles) y Mohr-Coulomb modificada

Teoría o hipótesis de la Fricción Interna de Mohr modificada La teoría de Mohr modificada se funda en la necesidad de ajustar los resultados experimentales para materiales frágiles a un modelo matemático que los reproduzca. En estas circunstancias ya no vale la idea que la envolvente de los círculos Mohr para los tres experimentos básicos sea una línea recta. De tal forma que se puede demostrar que la ley de comportamiento viene dada por:

utucs

ucut

utuc

3ut1 SSn

SSSS

S−

=−

−σ

σ si 01 ≥σ y ut3 S−≤σ (2.174)

de la cual surgen otros dos casos particulares

s

ut1 n

S=σ si ut3 S−>σ (2.175)

s

uc3 n

S=σ si 01 <σ (2.176)

La Figura 2.76.b muestra una superposición entre las dos variantes de la teoría de fricción interna, tanto la original como la modificada.

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Comparación de Criterios y selección En la Figura 2.77 se muestra la comparación de las teorías o criterios para materiales frágiles y dúctiles. Nótese como la teoría de la energía de distorsión máxima es la más representativa para los dúctiles y la teoría modificada de Mohr la más representativa para los materiales fragiles como las fundiciones de hierro. También se puede apreciar que para el hierro fundido la teoría de máxima tensión normal ofrece buenos resultados

Figura 2.77. Comparación de las teorías y criterios de fallas con resultados experimentales (Tomado de [2])

Cuando se tiene que elegir un criterio de falla, además de ser experimentalmente representativo para el estereotipo de material (Frágil o dúctil o híbrido entre ambos), se debe pensar en los siguientes aspectos:

- Facilidad de cálculo para dimensionar y/o verificar - La selección de una situación segura es decir el coeficiente de seguridad o diseño.

Figura 2.78. Concepción de los Márgenes de seguridad para diferentes criterios de falla

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En lo que atañe al primer ítem, el asunto compete a la dificultad del modelo matemático para encarar ciertos problemas de dimensionamiento. En cuanto al ítem segundo, tiene que ver con la interpretación que se le da a la tensión admisible para dimensionado y para mantener la seguridad del diseño. Esto significa la selección de una zona como la que se muestra en la

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Figura 2.74; así la selección de un coeficiente para fijar un margen de seguridad debe interpretarse como en los casos de la Figura 2.78 para las teorías correspondientes.

6. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002. [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1998.

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[4] Measurements Group Product Binder. http://www.measurementgroup.com.