tensiones y deformaciones radiales y circunferenciales

Versin 2004

CCAAPPIITTUULLOO 22

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIINN DDEE PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFSSIICCOOSS

Divisin 3

Diversos Modelos de anlisis y clculo

Casos de Estudio

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Introduccin En esta parte se resumen algunos modelos sencillos ya vistos en los cursos anteriores de Estabilidad I y II y Mecnica de Slidos para el clculo de piezas y/o dispositivos. En estos casos no se suministrarn deducciones especficas, ya que pertenecen al alcance de las asignaturas mencionadas. Por otro lado se suministrarn descripciones de modelos de clculo ms refinados para enfrentar la solucin de problemas devenidos por la limitacin de algunos de los modelos clsicos donde su aplicacin deja de tener seguridad por no cumplirse las hiptesis en que se basan los mismos.

2. Modelos de Barras En la Figura 2.35 se muestra una viga sometida a cargas generales adems de evidenciar las variables cinemticas que se utilizan normalmente para caracterizar el comportamiento de una viga. En ella se ven claramente los desplazamientos y rotaciones flexionales en las dos direcciones, junto con el desplazamiento axial y la rotacin torsional. De acuerdo al tipo de geometra seccional, las ecuaciones de equilibrio de un modelo u otro pueden ser desacopladas o no. En trminos generales un modelo de viga contemplar tres grupos de ecuaciones diferenciales:

- Las que caracterizan el movimiento axial - Las que caracterizan el movimiento torsional - Las que caracterizan el movimiento flexional

Figura 2.35. Descripcin de una viga y sus variables ms importantes


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NOTA: El conjunto de ecuaciones que completan un modelo depender de la precisin y detalle que amerite la solucin, el cual podr ser de 3, 4 o 6 ecuaciones.

El modelo de barra solicitada axialmente En la Figura 2.36 se muestra una barra sometida a solicitaciones axiales. Para esta viga se supone que la seccin se mantiene totalmente plana antes y despus de la deformacin. La ecuacin diferencial para este movimiento es:

0xqx

Qx

X =+ )( (2.96)

donde QX y qx(x) son el esfuerzo normal y la carga distribuida a lo largo de la barra, respectivamente. El esfuerzo normal se calcula con

xu

EAQ xoX = (2.97)

Las posibles condiciones de borde para resolver la ecuacin son:

Nombre de la condicin Identificacin Forma Matemtica en los

desplazamientos

Borde Fijo Desplazamiento Nulo 0uxo =

Borde Libre esfuerzo normal nulo 0x

uxo =

Borde con carga PX esfuerzo normal no nulo Xxo Px

uEA =

Tabla 2.10. Condiciones de borde tpicas para la teora de vigas de Bernouilli-Euler.

El modelo de flexin: Teora de Bernouilli-Euler El modelo de se basa en las siguientes hiptesis:

- Se supone planitud de la seccin transversal antes y despus de la deformacin - Se supone la presencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la direccin

del eje lo que implica existencia de flexin pura. - El material es istropo, homogneo y verifica la ley de Hooke - La viga es recta con seccin constante y de doble simetra en todo el dominio.

En estas circunstancias las ecuaciones de equilibrio de la viga vienen dadas por el siguiente modelo matemtico:


0xqxM

y2y

2

= )( , 0xq

xM

z2z

2

= )( (2.98)

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siendo qy(x) y qz(x) funciones de distribucin de carga, en tanto que My y Mz son los momentos flectores en las direcciones y y z. Los momentos flectores pueden escribirse en funcin de los desplazamientos como:

2yo

2

zz xu

EIM = , 2zo

2

yy xuEIM

= (2.99)Siendo uyo y uzo los desplazamientos del centroide (ubicado en la lnea neutra) de la seccin en las direcciones y y z. Por otro lado, se tendr presente la relacin existente entre los momentos flectores y los esfuerzos cortantes, definida por:

)(xQx

Mz

y =

, )(xQx

My

z =

(2.100)

Las rotaciones flexionales se definen de la siguiente manera:

xu yo

z = ,

xuzo

y = (2.101)

Queda claro que los momentos flectores son proporcionales a las derivadas primeras de las rotaciones flexionales. Por otro lado, los signos de los momentos flectores y rotaciones se pueden fijar por convencin previamente declarada o bien de acuerdo con las direcciones del sistema de referenciacin. Se puede apreciar que para la solucin de (2.96)-(2.97) es necesario contar con una serie de condiciones de borde en trminos de los desplazamientos, las cuales se discriminan en la siguiente Tabla 2.11.


desplazamientos

Desplazamiento Nulo 0uzo = , 0u yo =Borde Fijo (o empotrado)

Rotacin Nula 0x

uzo =

, 0x

u yo =

Momento flector Nulo 0xu

2zo

2

=

, 0xu

2yo

2

=

Borde Libre

Esfuerzo cortante Nulo 0xu

3zo

3

=

, 0xu

3yo

3

=

Desplazamiento Nulo 0uzo = , 0u yo =Extremo Articulado

Momento Nulo 0xu

2zo

2

=

, 0xu

2yo

2

=

Tabla 2.11. Condiciones de borde tpicas para la teora de vigas de Bernouilli-Euler.


Por otro lado la ecuacin de resistencia que relaciona los esfuerzos con las tensiones, en un punto ( y, z) de la seccin de la viga (Ver Figura 2.36a), viene dada por la siguiente expresin:

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( ) ( ) ( ) yI

xMzI

xMzyx

z

z

y

yxx +=,, (2.102)

(a) (b) Figura 2.36. (a) Seccin resistente a flexin (b) esquema para el clculo de tensiones cortantes

Ahora bien, para el clculo de la tensin de corte en la seccin transversal se tendrn las siguientes expresiones (Jourawski-Colignon):

( ) ( ) )(, ySbIxQ

yx zyz

yxy = , ( ) ( ) )(, zSbI

xQzx yzy

zxz = (2.103)

donde by y bz son los anchos de la faja donde se calcula el estado tensional en las direcciones y y z respectivamente, segn se ve en la Figura 2.36b, y adems:

= cyyz dAyyS .)( , = czzy dAzzS .)( (2.104)Las tensiones cortantes mximas se obtendrn en los ejes neutros y es claro que la valoracin de las mismas depender del tipo de seccin. En la siguiente Figura se muestra unos casos tpicos de tensiones mximas en la direccin y.

Figura 2.37. Casos tpicos de tensiones cortantes mximas

El modelo de flexin: Teora de Timoshenko


Este modelo permite mejorar la respuesta de la teora de Bernouilli-Euler cuando la razn entre la longitud de la viga y la principal dimensin de la seccin comienza a ser cada vez

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ms pequea. Esto significa vigas de aspecto ms robusto como se pueden ver en la Figura 2.36. La teora de Timoshenko se basa en las mismas hiptesis que la teora de Bernouilli-Euler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber:

- Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la seccin de la viga. - La rotacin flexional se considera como una variable independiente no asociada con

los desplazamientos flexionales. Para simplificar el proceso deductivo, que se dar en forma completa a partir de suponer el campo de desplazamientos, se proceder a reducir el problema flexional a un solo plano, para ir fijando ideas, el plano XY, y posteriormente se extender el problema flexional a dos planos. Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexin segn la teora de Timoshenko se emplear el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como entidades arbitrarias. Ahora bien, de acuerdo con las hiptesis de la teora, el campo de desplazamiento para una viga en flexin se puede reducir a las siguientes expresiones:

)(),()(),(

xuyxuyxyxu

yoy

zx

==

(2.105)

Para interpretar el sentido de (2.105) se puede observar la Figura 2.38. Ahora reemplazado (2.105) en las relaciones (2.43) y (2.44) para hallar las deformaciones se tiene:

zyoxy

xy

yyy

zzx

xx

uy

ux

uy

u

yyxx

u

=+

=

==

==

=

0 (2.106)


En la Expresin (2.106) se utiliza el apstrofo para indicar la derivacin con respecto a la variable x. Con la descripcin cinemtica puesta en evidencia en las expresiones (2.105) y (2.106) es claro que plano de la seccin transversal (que se mantiene siempre plana) de la viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma. Para ello se puede ver la comparacin entre las teoras Bernoulli-Euler y Timoshenko en la Figura 2.39. Por otro lado recurdese que segn la teora de flexin clsica (i.e Teora de Bernoulli-Euler), la deformacin axial es proporcional a la derivada de la rotacin flexional (2.101) definida en funcin de la primer derivada del desplazamiento flexional del eje neutro, y en consecuencia

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de la tangente de la curva de deformacin del eje neutro. Adicionalmente de la (2.106) se tiene que la deformacin por corte transversal no es nula y en consecuencia la tensin cortante no es nula. Luego suponiendo nulas todas las componentes del tensor de tensiones, excepto xx y xy, la energa de deformacin y el trabajo de las fuerzas externas vendr dado por la siguiente expresin:

( )=

+=

LyoP

V

xyxyxxxx

dxuxqW

dAdx21U

)(

(2.107)

(a) (b) Figura 2.38. Seccin transversal. (a) sentido de giro y movimiento (b) corte transversal

Figura 2.39. Comparacin de los desplazamientos entre las teoras B-E y Timoshenko

La expresin (2.107) puede ser replanteada en trminos de los desplazamientos y deformaciones virtuales, de tal manera que el principio de trabajos virtuales queda descripto por la siguiente expresin:

( ) 0dxuxqdAdxWUV

LyoxyxyxxxxP =+=+ )( (2.108)

Donde el operador tiene el significado de entidad virtual aplicable solo a deformaciones y desplazamientos (Ver referencias [4,6] para mayores explicaciones y/o detalles). Luego, reemplazando (2.105) y (2.106) en (2.108), se puede obtener la siguiente expresin:


( ) ( ){ } 0dxuxqdAdxuyWUL

yo

V

zyoxyzxxP =+=+ )( (2.109)

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En (2.109) teniendo en cuenta las ecuaciones constitutivas de las tensiones en trminos de las deformaciones se pueden definir los esfuerzos, momento flector y esfuerzo de corte de la siguiente manera:

( ) ( )

===

===

A

zyo

A

zyoxyy

zz

A

2z

A

xxz

uGAdAuGdAxQ

EIdAyEydAxM

)(

)(

(2.110)

Antes de proseguir, es importante el anlisis de un par de cosas. En primer lugar la deformacin por corte obtenida en (2.106) no es funcin de la variable y, en consecuencia, por (2.47) la tensin cortante tampoco ser funcin de y. Esto contradice la evidencia de que las tensiones cortantes de una viga varan con la variable y, segn (2.103). Para tener una mejor representacin de la energa (o trabajo virtual) de las tensiones de corte se emplear la frmula de Colignon-Jourawski. Para ello si se consideran dos situaciones:

a) si se analiza el desplazamiento de una seccin sin considerar el alabeo (ver Figura 2.38b) se tendr que la energa de deformacin de corte por unidad de longitud viene dada por

== A 2xyA2xy

1C dA2GdA

G21E (2.111)

b) Ahora si se considera la frmula de Colignon-Jourawski correspondiente (2.103), la energa de deformacin de corte por unidad de longitud viene dada por:

( )

=

A

2

yz

zy2C dAbI

ySxQG1

21E

)( (2.112)

Es verifica que y entre ellas se puede establecer una relacin como la siguiente: 2C1C EE

1C

2C

EE= (2.113)

El coeficiente se lo denomina coeficiente de corte de Timoshenko y es diferente para cada seccin (en la Tabla 2.12 se muestran valores para algunas secciones) y en virtud de (2.113), el esfuerzo de corte (2.110) se puede reemplazar por (2.114).

( )zyoy zzz uGAxQEIxM

==

)()(

(2.114)

Ahora bien, con las definiciones (2.114) se puede rescribir (2.109) de la siguiente forma:

( ){ } 0dxuxquQMWUL

yozyoyzzP =+=+ )( (2.115)


Ntese que las variables virtuales se hallan con ordenes de derivacin cero y uno, luego se tiene que integrar por partes para obtener la expresin anterior en trminos de los desplazamientos virtuales:

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( ) ( ){ } 0uQMdxuxqQQMWUL0xyoyL0xzz

L

yoyzyzP =++=+ == ,,)( (2.116)Las ecuaciones diferenciales de equilibrio se pueden hallar de (2.116) teniendo en cuenta que

you y z son cantidades arbitrarias. Luego se deben cumplir las siguientes ecuaciones diferenciales de equilibrio:

0xqQ

0QM

y

yz

==)(

(2.117)

junto con las condiciones de borde:

0Q

0M

L0xy

L0xz

==

=

=

,

, o

0u0u

00

L0xyoL0xyo

L0xzL0xz

====

==

==

,,

,,

(2.118)

Entonces la solucin se obtiene resolviendo (2.117) sujetas a las condiciones (2.118). En la Tabla 2.13 se pueden obtener algunos casos de condiciones de borde tpicas.

Tipo de seccin Valor del coeficiente de corte Rectangular o cuadrada Maciza 5/6Rectangular o cuadrada hueca 5/12

Circular 6/7Perfil I en la direccin del alma 0.296

Tabla 2.12. Coeficientes de corte para algunas secciones tpicas


desplazamientos

Desplazamiento Nulo 0uzo = , 0u yo =Borde Fijo (o empotrado)

Rotacin Nula 0z = , 0y = Momento flector Nulo 0

xz =

, 0

xy =

Borde Libre Esfuerzo cortante Nulo 0

xu

yzo =

, 0x

uz

yo =

Desplazamiento Nulo 0uzo = , 0u yo =Extremo Articulado

Momento Nulo 0x

z =

, 0x

y =

Tabla 2.13. Condiciones de borde tpicas para la teora de vigas de Timoshenko.


En cuanto a la valoracin del estado tensional, en la Teora Timoshenko se emplea el mismo criterio que en la Teora Bernouilli-Euler, basado en las ecuaciones (2.102) o (2.103).

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A continuacin se vern dos ejemplos para distinguir las dos teoras flexionales. En el primer caso se comparan las soluciones para una viga empotrada en ambos extremos sometida a una carga distribuida uniforme. En (2.119) y (2.120) se muestran las soluciones obtenidas (Mathematica mediante) para la teora B-E y la Timoshenko, respectivamente, para una viga de seccin circular y longitud unitaria (L=1). Obsrvese que la solucin del desplazamiento uyo, segn la Teora Timoshenko, es igual a la suma de la solucin de la Teora B-E ms los trminos devenidos del corte por flexin. En la Figura 2.40.a se muestra la diferencia entre ambas para una relacin D/L=0.1 y en la Figura 2.40.b para una relacin D/L=0.3.

+= 3

42

zyo x2

xxEI12qxu )( (2.119)

( )

( )32z

z

2342

zyo

x2x3xEI12qx

xxGA2qx

2xx

EI12qxu

+=

+

+=

)(

)(

(2.120)

En la Figura 2.41 se puede apreciar la comparacin experimental entre las dos teoras para un tubo estructural de aluminio de seccin rectangular, empotrado en un extremo y con carga en el otro. Ntese la diferencia que hay entre una teora y otra con respecto a los resultados experimentales.

(a) (b) Figura 2.40. Comparacin de desplazamientos entre teoras de flexin


Figura 2.41. Comparacin experimental de desplazamientos entre teoras de flexin

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En la hoja de clculo de Mathematica Vigas.nb (ver pgina web de la asignatura) se muestra la solucin y comparacin de varios casos adicionales de las teoras B-E y Timoshenko.

El modelo de torsin: Teora de Coulomb Esta teora se basa en la hiptesis de la planitud seccional sin la existencia de alabeo. En consecuencia es una teora slo aplicable a vigas cilndricas de seccin hueca o maciza y en forma aproximada a vigas troncocnicas de baja conicidad, segn se muestra en la Figura 2.42. En estas circunstancias, la ecuacin de equilibrio derivada de conceptos de estabilidad I y II se presenta como:

( ) 0xmx

Mx

x = (2.121)

siendo Mx el momento torsor definido por (2.122) y mx(x) el momento torsor distribuido por unidad de longitud.

x

GJM xx = (2.122)

En (2.122), G, J y x son el mdulo de elasticidad transversal, el momento de inercia polar y el ngulo de giro torsional especfico, respectivamente. Para resolver (2.121) se pueden emplear las siguientes condiciones de borde:


desplazamientos

Borde Fijo (o empotrado) Rotacin Torsional Nula 0x = Borde Libre Momento torsor Nulo 0

xx =

Tabla 2.14. Condiciones de borde tpicas para la teora de vigas de torsin de Coulomb.

Figura 2.42. Estructura esbelta troncocnica.


Nota: Cuando se tenga entre manos un problema en el cual aparezcan diferentes solicitaciones, flexionales, torsionales y axiales, una primer medida de anlisis es, dentro de lo posible, desacoplar las ecuaciones de movimiento en casos particulares representados en cada

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uno de los apartados anteriores. De lo contrario ser necesario evaluar otro mtodo de anlisis.

Modelos Extendidos para Barras. En la mecnica estructural de estructuras esbeltas se pueden presentar situaciones que por la geometra de las vigas, no sea posible utilizar los modelos simplificados presentados en los apartados anteriores. Vigas con secciones de paredes delgadas (perfiles estructurales U, L, I, etc.) sometidas a esfuerzos generalizados presentan un comportamiento mecnico fuertemente acoplado en lo estructural, es decir que difcilmente el modelo de clculo pueda reducirse a la separacin de los grupos de ecuaciones de cada movimiento en particular. Estos modelos suelen ser complejos para un planteo de solucin analtica y exigen como forma de solucin, un enfoque numrico. Aquellos que estn interesados en tales metodologas, que exceden el tratamiento del presente curso de elementos de mquina, se pueden dirigir a las referencias [5,6,10,11,12,13,14,15] para abundar en detalles especficos de modelacin, anlisis y clculo de elementos estructurales unidimensionales, tanto de materiales istropos como anistropos.

Tensiones en Cilindros. En los cilindros hidrulicos, recipientes sometidos a presin, tuberas que conducen fluidos a muy alta presin, tubos de armas de fuego, etc. suelen presentarse estados tensionales radiales y tangenciales muy altos que dependen mayormente del radio del cilindro. Se considera qeu una seccin rectangular plana (en la direccin del eje) del cilindro se mantendr plana luego de la deformacin. En estas circunstancias se puede demostrar (Ver referencia [16]) que las tensiones radiales y tangenciales cuando actan presiones internas y externas en los cilindro vienen dadas por:

( )

2i

20

2i0

20

2i

200

2ii

r rrrpprrrprp

+= / (2.123)

( )

2i

20

2i0

20

2i

200

2ii

t rrrpprrrprp

= / (2.124)

donde , pi, po son las presiones internas y externas, respectivamente. ro y ri son los radios externo e interno, respectivamente y r es un radio genrico entre ri y ro. En el caso de que no exista presin externa o se la pueda considerar nula se tendr la siguiente reduccin de las ecuaciones anteriores:


= 2

2o

2i

20

2ii

r rr1

rrrp (2.125)

+= 2

2o

2i

20

2ii

t rr1

rrrp (2.126)

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La variacin de estas cantidades se puede ver grficamente en la siguiente Figura 2.43.

Figura 2.43. Variacin de las tensiones en un cilindro de pared gruesa.

Nota: la tensin tangencial se la suele denominar tambin tensin circunferencial. En el caso de que el espesor del tubo sea pequeo y no haya presin externa, se puede prescindir de la tensin radial (ver Figura 2.44), y se podr considerar solo la tensin tangencial promedio cuyo valor viene dado por:

e2dp ii

promt =, (2.127)Donde di y e son el dimetro interior y el espesor del cilindro. Nota: los contenidos vistos en este apartado son los rudimentos fundamentales para encarar el anlisis tensional en recipientes sometidos a presin segn el Cdigo ASME seccin VIII lo cual es materia de la asignatura Diseo de Mquina. Sin embargo, en elementos de mquina se utilizarn para el clculo de tensiones en cilindros hidrulicos y en problemas semejantes.

Ajustes a presin por contraccin. Cuando se ensamblan dos partes cilndricas por contraccin a presin, la una sobre la otra se crea una presin de contacto. La forma para calcular las tensiones de ajuste se puede obtener a partir de las hiptesis de anlisis del apartado anterior.


En la Figura 2.44a se muestran dos elementos cilndricos que por contraccin se han ensamblado como lo muestra al Figura 2.44b. Sobre las superficies del radio de transicin R se forma una presin supuesta igual en cada punto de valor p. Entonces de las ecuaciones (2.123)-(2.126) se puede obtener las presiones tangencial y radial de transicin en el cilindro interno segn (2.128) y en el cilindro externo segn (2.129).

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( ) pR

rRrRpR

ir

2i

2

2i

2

it

=+=

)(

(2.128)

( ) pR

RrRrpR

or

220

220

ot

=+=

)(

(2.129)

Las dos ecuaciones anteriores no pueden resolverse pues no se conoce la presin de transicin p. Para hallarla, es necesario fijar una ecuacin que relacione tensiones con desplazamientos, lo cual se logra recurriendo al concepto de interferencia radial.

Figura 2.44. cilindros sujetos a contraccin y a efectos de interferencia.

La interferencia radial se puede apreciar en la Figura 2.44a, donde se ve claramente como el cilindro interno se contrae y el cilindro externo se expande, uno por la accin del otro. La interferencia radial se obtiene como la suma de los desplazamientos absolutos que exhiben los cilindros, es decir

oi += (2.130)La deformacin tangencial en el radio R del cilindro exterior se mide como la diferencia circunferencial, es decir:

RRR2

R2R2oto

ooot

==+= )( (2.131)Tngase presente que la deformacin tangencial se puede representar en trminos de la tensin tangencial actuante como:

o

or

o

otot EE

= (2.132)


Donde las tensiones se obtienen con (2.128) y Eo es el mdulo de elasticidad del cilindro externo. Con lo cual reemplazando la (2.128) se tiene:

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+

+= o220

220

oo Rr

RrEpR (2.133)

Se procede de la misma manera con el cilindro interno de manera que

+= i2i

2

2i

2

oi rR

rREpR (2.134)

Reemplazando (2.133) y (2.134) en (2.130) se obtiene la interferencia total

++

+

+= i2i

2

2i

2

oo22

0

220

o rRrR

EpR

RrRr

EpR (2.135)

Si se tiene el valor de la interferencia pretendida es decir , luego de la (2.135) se puede despejar la presin, y en el caso que los dos materiales sean idnticos, se tendr el siguiente valor de la presin:

( )( )( )2i20

2i

2220

3 rrrRRr

R2Ep

= (2.136) Nota: La presin de contacto segn (2.136) y los valores de las tensiones tangenciales se han obtenido bajo la suposicin de que los dos cilindros tienen la misma longitud. En el caso de que se tenga que ajustar por presin una masa o un rotor (por ejemplo un volante) este tipo de suposicin no vale y se presentan tensiones en los bordes de los anclajes, como se muestra en la Figura 2.45 que normalmente se analizan con factores de concentracin de tensiones, cuyos valores rara vez son superiores a 2.

Figura 2.45. Zona de concentraciones de tensiones por interferencia.

Esfuerzos y tensiones de origen trmico. Un cuerpo sin restricciones, se dilata por efecto del incremento de temperatura, de manera uniforme en todas sus direcciones, en consecuencia las componentes normales del tensor de deformacin son todas iguales y vienen dadas por la siguiente relacin:

Tzzyyxx === (2.137)


donde y T son el coeficiente de dilatacin trmica y el incremento de temperatura respectivamente. Si una barra recta se restringe rgidamente en ambos extremos el estado tensional compresivo en la barra, luego de un incremento

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TEE xxxx == (2.138)Por otro lado si se restringe una plancha plana (estado plano de tensin) en dos extremos, la tensin normal en la direccin restringida ser:

= 1

TExx

(2.139)En casos donde existe una geometra compleja y la temperatura sea una variable en cada punto del dominio de estudio, la forma de obtener el estado tensional asociado a variaciones trmicas, es bastante ms complejo que el presentado en las expresiones anteriores, y requiere de la solucin de un conjunto de ecuaciones diferenciales acoplado. Este tipo de anlisis excede los objetivos de un primer curso de elementos de mquina.

Deformaciones y Tensiones Elementos curvos ante flexin La distribucin de las tensiones en un elemento curvo sometido a la accin de cargas flexionales se determina efectuando las siguientes suposiciones:

- La seccin transversal tiene un eje de simetra en un plano perpendicular a la seccin de la viga, segn se muestra en la Figura 2.46.

- Las secciones transversales se mantienen planas antes y despus de la deformacin. - El mdulo de elasticidad se mantiene siempre igual en traccin como en compresin.

Figura 2.46. Descripcin de un elemento curvo.

Es necesario determinar el eje neutro y el eje centroidal. En una viga recta, ambos ejes coinciden en el caso de una seccin simtrica. En la Figura 2.46 se emplear la siguiente notacin:


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- ro = radio dela fibra externa - ri = radio de la fibra interna - h = altura de la seccin - co = distancia desde el eje neutro a la fibra externa - ci = distancia desde el eje neutro a la fibra externa - rn = radio del eje neutro - R = radio del eje en el centroide - e = distancia desde el eje centroidal al eje neutro.

La ubicacin del eje neutro se obtiene con la siguiente expresin:

=A

n

rdAAr

(2.140)

En consecuencia (2.140) depender del tipo de seccin y muchas veces tiene una forma analtica muy compleja por lo que normalmente se recurrir a la integracin numrica con programas comerciales como Mathematica. Por otro lado la distribucin de la tensin se obtiene equilibrando el momento flector externo con el momento flector interno resistente, de manera que se tiene:

( )yreAyM

n

zxx = .. (2.141)

Siendo Mz el momento externo y considerado con valor positivo en la direccin que se indica en la Figura 2.46. La expresin (2.141) posee una variacin hiperblica, y tiene los siguientes valores extremos:

i

izi reA

cM..

= , o

ozo reA

cM..

= (2.142)Las ecuaciones anteriores son vlidas para flexin pura. En el caso de ganchos de gra o de armazones en U para prensas (Ver Figura 2.47) la expresin para determinar la tensin es:

( )yreAyM

AF

n

zxx += .. (2.143)

Donde F y A son la fuerza activa y el rea resistente y el momento Mz se mide a partir del centroide.


Frecuentemente se deben calcular los desplazamientos en los bastidores de mquinas o en resortes o pasadores que poseen forma curva. Para hallar los desplazamientos se suele recurrir a varias estrategias. Una de ellas es el empleo del teorema de Castigliano. Para poder emplear el teorema de Castigliano se necesita conocer la expresin de la energa de deformacin de un elemento curvo tal como el que se muestra en la Figura 2.48. Esta energa de deformacin se calcula con la siguiente expresin:

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++= dGA2 RFdEAMFdEA2 RFdeEA2MU2

r22

(2.144)

En la (2.144), el primer y tercer trminos corresponden a la energa general de flexin por el momento flector y la fuerza normal, el segundo es la energa debida a la fuerza normal, el cuarto trmino corresponde a la energa de corte. Por otro lado el valor de e viene dado por la expresin siguiente:

nrRe = (2.145)Donde R y rn son el radio al eje centroidal y al eje neutro respectivamente.

Figura 2.47. Elemento curvo bajo accin combinada de traccin y flexin.

Figura 2.48. Elemento curvo bajo accin combinada de traccin, corte y flexin en su plano

De acuerdo con la Figura 2.48 se pueden obtener las siguientes expresiones en funcin del ngulo , que se utilizan luego en la expresin (2.144).

[ ]

[ ][ ]

CosFFSenFF

SenRFM

r ..

..

===

(2.146)

Para hallar los valores de los desplazamientos en elementos curvos en la direccin perpendicular al plano que los contiene se opera en la misma forma, con la salvedad que el mtodo es algo ms complejo. La energa de deformacin por flexin y torsin (Figura 2.49)


+= dGJ2 RTdEI2 RMU22

(2.147)

Versin 2004

donde M y T son momentos flector y torsor, en tanto que EI y GJ son las rigideces flexional en la direccin perpendicular al plano de la curva y torsional. Los momentos que actuan en una seccin cualquiera se obtienen como:

[ ]

[ ]( )

Cos1RFTSenRFM=

=....

(2.148)

La (2.148) se reemplaza en (2.147) y luego se opera como de costumbre con el Teorema de Castigliano.

Figura 2.49. Elemento curvo bajo accin combinada de Torsin y Flexin perpendicular a su plano

Aspectos Elementales de pandeo La ecuacin diferencial de equilibrio para obtener la carga de pandeo (es idntica en las dos direcciones, modificando claro est la rigidez flexional), se recordar viene formulada con la siguiente expresin:

0uEIP

dxud

yoz

2yo

2

=+ (2.149)

Estas son las denominadas ecuaciones de Euler. Resolviendo estas ecuaciones se puede obtener la carga crtica de acuerdo con las condiciones de borde que se impongan. Ejemplos tpicos de estas condiciones se pueden apreciar en al Figura 2.50. La solucin general de la ecuacin (2.149) se puede hallar en la siguiente expresin:


Figura 2.50. Condiciones de borde tpicas para problemas de pandeo

Versin 2004

2z

2f

CR LEIK

P= o bien 2

2fCR EK

AP

= (2.150)

donde L es la longitud, Kf es un factor que depende de la condicin de borde (ver Tabla 2.15) y es la esbeltez definida por

grL= y

AIr zg = (2.151)

rg es el radio de giro de la seccin.

Condicin de Borde Valor Terico Valor Recomendado Empotrado-Libre Apoyado-Apoyado 1 1 Empotrado-Apoyado 2 1.2 Empotrado-Empotrado 4 1.2

Tabla 2.15. Valores de la constante Kf para la ecuacin de Euler (2.150)

Se tendr presente que la (2.150) es valida para vigas sumamente esbeltas o largas y no correlaciona suficientemente bien con resultados experimentales. Para relaciones de esbeltez ms bajas se suele utilizar la ecuacin de Johnson (2.152). La zona que delimita el uso de ambas ecuaciones se suele discriminar en el punto de tangencia de ambas curvas segn se aprecia en la Figura 2.51

1CB

2yc

ycCR

EC1

2S

SA

P

= (2.152)

Figura 2.51. Ecuaciones de Johnson y de Euler para pandeo de vigas

En el caso de tener una carga excntrica como la que se muestra en la Figura 2.52, mediante equilibrio se llega a la ecuacin diferencial siguiente:


z

cyo

z2yo

2

EIPe

uEIP

dxud =+ (2.153)

Versin 2004

donde ec es la excentricidad. La solucin de esta ecuacin se obtiene mediante la siguiente expresin:

( ) ( )[ ]EAP2Secrce1 SAP 2gc yc /// += (2.154)En (2.154) ec es la excentricidad, c es la distancia desde el eje neutro a la fibra ms solicitada

y rg es el radio de giro de la seccin. La relacin se denomina relacin de

excentricidad y con ella se describen grficos para la obtencin aproximada de la carga crtica, dado que la obtencin de la misma mediante (2.154) no se hace en forma explcita, y hay que hallar las races empleando mtodos numricos.

2gc rce /

Figura 2.52. Viga pandeada por carga excntrica

Figura 2.53. Comparacin de las ecuaciones de la secante y de Euler.

6. Bibliografa [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseo en Ingeniera Mecnica, McGraw Hill 2002. [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, Elementos de Mquinas, McGraw Hill 2000 [3] R.L. Norton, Diseo de maquinaria, McGraw Hill 2000. [4] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. Mecnica de medios continuo para ingenieros. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).


[5] E.J. Barbero, "Introduction to Composite Materials Design". Taylor and Francis, 1998.

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tensiones y deformaciones radiales y circunferenciales

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