tentetgel bih arga

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет

Заочная естественно-научная школа при КрасГУ

МАТЕМАТИКА НЕРАВЕНСТВА

Модуль № 3 для 10 класса Учебно-методическая часть

Красноярск 2006

2

Математика: Неравенства. Модуль №3 для 10 класса. Учебно-методическая

часть./ Сост.: С.Г.Мысливец, профессор кафедры высшей математики,

КрасГУ. – Красноярск, 2006 — 54 c.

ISBN 5-7638-0702-2

Печатается по решению Дирекции

Краевого государственного учреждения дополнительного образования

Заочная естественно-научная школа

при Красноярском государственном университете

© Красноярский

государственный

ISBN 5-7638-0702-2 университет, 2006

3

Программа модуля

1. Определение числовых неравенств. Свойства числовых неравенств.

2. Определение неравенств с одной неизвестной. Равносильные

преобразования неравенств.

3. Линейные и квадратные неравенства.

4. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

5. Иррациональные неравенства.

6. Неравенства с модулем.

7. Неравенства с параметром.

8. Системы неравенств.

9. Доказательство неравенств.

4

ВВЕДЕНИЕ

Неравенства — одна из важнейших тем в школьном курсе математики.

Очень многие задачи связаны с решением неравенств. В этом пособии мы

рассмотрим подробно решение алгебраических неравенств и неравенств,

сводящихся к их решению: неравенств с модулем, иррациональных

неравенств, систем неравенств и неравенств с параметром.

Поскольку мы часто будем использовать свойства числовых

неравенств, то сформулируем их.

Определение 0.1 Числовое неравенство — это неравенство,

связывающее числовые и буквенные выражения, верное при всех допустимых

или при специально подобранных значениях входящих в него букв.

ПРИМЕР 0.1. Числовое неравенство abba 222 ≥+ верно при любых

действительных значениях а и b. А числовое неравенство 0≥a верно при

0≥a .

Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств

основан на определениях понятий "больше" и "меньше" и заключается в

выяснении знака разности между левой и правой частями неравенства. А

именно:

если 0>− ba , то ba > ; если 0≥− ba , то ba ≥ ;

если 0<− ba , то ba < ; если 0≤− ba , то ba ≤ ;

если 0=− ba , то ba = .

Основные свойства числовых неравенств

1. Если ba > , то ab < .

2. Если ba > и cb > , то ca > .

3. Если ba > и Rc∈ , то cbca +>+ .

4. Если ba > и с > 0, то ас > bс.

5. Если ba > и с < 0, то ас < bс.

6. Если ba > и с >d, то dbca +>+

7. Если ba > и с >d > 0, то ас> bd.

5

8. Если а > b > 0, то ап > bп, Nn∈ .

9. Если а > 0, b > 0 и ап > bп, Nn∈ , то а > b.

10. Если а > b > 0, то ba11

< .

Аналогичные свойства можно рассмотреть и для других знаков

неравенств. На основании свойства 3 члены неравенства можно переносить

из одной части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак

неравенства.

Свойство 6 означает, что неравенства одинакового смысла можно

почленно складывать.

Свойство 7 означает, что неравенства одинакового смысла с

положительными членами можно почленно умножать.

1 Неравенства и системы неравенств с одной переменной

Неравенства с одной переменной имеют вид:

f(x) > g(х); f(x) < g (х); f(x) ≥ g(х); f(x) ≤ g(х),

где f(x) и g(х) — некоторые функции переменного х.

Определение 1.1 Решением неравенства называется значение

переменной, при которой данное неравенство становится верным числовым

неравенством.

Совокупность всех решений неравенства называется множеством

решений неравенства.

Основной метод решения неравенств есть его упрощение с помощью

так называемых равносильных преобразований на некотором множестве М В

результате исходное неравенство оказывается равносильным некоторой

системе простейших неравенств на множестве М, каждое из которых может

быть решено непосредственно

Определение 1.2 Областью допустимых значений (ОДЗ)

неравенства f(x) > g(x) ила неравенств (f(x) < g (х); f(x) ≥ g(х); f(x) ≤ g(х)),

6

называется пересечение областей определения функций у = f(x) и у = g(x), т е

множество всех числовых значений переменной х, при которых

одновременно определены (имеют смысл) и левая, и правая части,


Любое число х из ОДЗ неравенства называется допустимым

значением для данного неравенства.

ПРИМЕР 1.1. Например, областью допустимых значений неравенства

(ОДЗ)

xx 281 −<− является отрезок [1,4], гак как этот отрезок есть пересечение области

определения ]},1[{1 +∞∈= xD функции 1−= xy стоящей в левой части

неравенства и области определения ]}4,[{2 −∞∈= xD функции xy 28 −= ,

стоящей в правой части неравенства.

Ясно, что число х может быть решением неравенства только тогда,

когда оно принадлежит ОДЗ неравенства. Отсюда вытекает очевидный

вывод: решения неравенства следует искать только в области допустимых

значений неравенства.

1.1 Равносильность неравенств

При решении неравенств важнейшим понятием является понятие

равносильности неравенств.

Определение 1.3 Два неравенства

f1(x) > g1(х) и f2(x) > g2(х)

называются равносильными (эквивалентными), если любое решение

первого неравенства является решением второго неравенства, а любое

решение второго неравенства — решением первого. При этом пишут

f1(x) > g1(х)⇔ f2(x) > g2(х).

Если оба неравенства не имеют решений, то по определению они также

считаются равносильными.

7

ПРИМЕР 1.2. Неравенства х2 > 4 и 02

41 >+

+x

равносильны, так как

множества решений каждого из этих неравенств есть множество

),2()2,( +∞∪−−∞∉x .

ПРИМЕР 1.3. Неравенства х – 2 > 0 и х (х–2) > 0 не являются

равносильными, так как значение х = –1 является решением второго

неравенства, но не является решением первого.

Равносильные неравенства могут иметь различные области

допустимых значений.

ПРИМЕР 1.4. Например, неравенство х > 1 равносильно неравенству

1>x , однако ОДЗ первого неравенства является множество всех

действительных чисел, а ОДЗ второго неравенства — множество

неотрицательных чисел.

Определение 1.4 Два неравенства называются равносильными на

множестве М, если совпадают множества их решений, принадлежащих

этому множеству М.

Два неравенства могут быть неравносильными, но могут быть

равносильными на некотором множестве.

ПРИМЕР 1.5. Например, неравенства х2 > 1 и х > 1 равносильны на

множестве положительных чисел, но не являются равносильными на

множестве всех действительных чисел.

Из всего сказанного выше следует, что при решении неравенств очень

важно знать правила перехода от одного неравенства к равносильному ему

другому неравенству.

1.2 Утверждения о равносильности неравенств

1. Неравенства f(x) > g{x) и g(x) < f(x) равносильны.

2. Неравенства f(x) > g(x) и f(x) – g(x) > 0 равносильны.

3. Неравенства f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны, если

функция h(x) определена на ОДЗ неравенства f(x) > g(x)

8

4. Неравенства f(x) > g(х) и f(x)+a > g(x)+a равносильны для любого

числа а.

5. Если функция h(x) положительна при всех значениях x из ОДЗ

неравенства f(x) > g(х), то неравенство f(x) > g(х) и неравенство

h(x)f(x) > h(x)g(x) равносильны. Если функция h(x) отрицательна при

всех значениях х из ОДЗ неравенства f(x) > g(x), то неравенство

f(x) > g(х) и неравенство h(x)f(x) < h(x)g(x) равносильны.

6. Если а — положительное число, то неравенство f(x) > g(x)

равносильно неравенству а f(x) > а g(x), а если а — отрицательное

число, то неравенство f(x) > g(x) равносильно неравенству

а f(x) < а g(x).

7. Неравенства 0)()(>

xgxf и f(x)g(x) > 0 равносильны.

8. Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны на множестве М. Тогда на

этом множестве неравенства

( ) ( ) )()()()()( Nnxgxfиxgxf nn ∈>>

равносильны.

9. Неравенства

)()()()()( 1212 Nnxgxfиxgxf nn ∈>> ++

равносильны.

10. Неравенства

Nnxgxfиxgxf nn ∈>> )()()()( 22

равносильны

ПРИМЕР 1.6. Являются ли неравенства

265

32 <

+−−

xxx и 015112 2 >+− xx

равносильными?

РЕШЕНИЕ. ОДЗ первого неравенства есть множество }3,2:{ ≠≠∈ xxRx .

9

На этом множестве неравенство

22

1<

−x

равносильно первому и имеет решения

),3()3,25()

25,( +∞∪∪−∞∈x .

Уравнение 015112 2 >+− xx имеет два корня: х1 = 3 и х2 = 25 .

Следовательно, множество решений второго неравенства есть множество

),3()25,( +∞∪−∞∈x .

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными.

Разобранный пример показывает, что при ранении неравенства нельзя обе

части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им

значений. Так, в данном примере мы имеем

.06515112

065

15112065

121023

065

)65(2)3(265

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

>+−+−

⇔

⇔<+−−+−

⇔<+−

−+−−⇔

⇔<+−

+−−−⇔<

+−−

xxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

Однако, умножив обе части последнего неравенства на выражение

х2 – 5х + 6, мы получим неравенство 2х2 – 11х + 15 > 0, не равносильное

исходному.

ПРИМЕР 1.7. Являются ли неравенства

xx −<− 42 И xx −<− 42


РЕШЕНИЕ. Область допустимых значений первого неравенства

определяется системой

⎩⎨⎧

≥−≥−

04,02

xx

10

и, значит, состоит из всех чисел отрезка [2,4].

Решением второго из данных неравенства являются все числа из

промежутка (–∞,3).

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными на

множестве действительных чисел. Однако на ОДЗ первого неравенства они

являются равносильными.

Приведенные примеры показывают, что понятие равносильности

неравенств на некотором множестве одно из самых важных в теме


1.3 Системы неравенств

Часто приходится решать не одно неравенство, а несколько. При этом

важно различать две задачи.

1) решить систему неравенств;

2) найти решения совокупности систем неравенств.

Определение 1.5 Если, дано т неравенств

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

>

),()(....................

),()( 11

xgxf

xgxf

mm

то говорят, что задана система неравенств.

Одной из задач, где возникает необходимость решения системы

неравенств, является задача нахождения ОДЗ уравнений или неравенств.

Определение 1.6 Множество Q называют областью допустимых

значений ОДЗ системы неравенств, если это множество является

пересечением ОДЗ всех неравенств системы.

ПРИМЕР 1.8. Найти ОДЗ системы неравенств

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

>+

>−

.23

,35

,516 2

x

x

x

11

РЕШЕНИЕ. Первое неравенство системы имеет ОДЗ отрезок

М1 = {х ∈ [–4,4]}, второе неравенство — множество М2 = {х ∈ [– 5, +∞)}, а

третье — множество М3 = {х ∈ (–∞, 3]}. Поэтому ОДЗ данной системы будет

пересечение этих трех множеств или множество Q — М1 ∩ М2 ∩ М3 = {х ∈

[–4,3]}.

Определение 1.7 Все числа а, принадлежащие ОДЗ системы

неравенств (а ∈ Q), называются решениями этой системы, если эти числа

являются решением каждого из неравенств этой системы.

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех ее

решений. Для этого находим решение каждого неравенства, т.е. находим

множество решений каждого неравенства на ОДЗ этой системы, а затем

находим множество, являющееся пересечением всех этих множеств.

Полученное множество и будет множеством всех решений системы

неравенств. Если это множество окажется пустым, то говорят, что система

неравенств не имеет решений.

Если задано несколько систем неравенств, то говорят, что задана

совокупность систем неравенств

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

>

),()(....................

),()(

11

11

xsxh

xgxf …,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

>

).()(....................

),()(

xsxh

xgxf

kk

kk

Определение 1.8 Множеством решений совокупности систем

неравенств является множество чисел а, каждое из которых является

решением хотя бы одной из систем неравенств.

Найти решение совокупности систем неравенств (или совокупности

неравенств) это значит найти решение каждой системы (каждого

неравенства), а затем взять объединение всех полученных решений.

Определение 1.9 Неравенство f(x) > g(x) равносильно на множестве М

совокупности систем неравенств, если множество решений неравенства

f(x) > g(x) на М совпадает с множеством решений на М совокупности

систем неравенств.

12

Даже при решении одного неравенства часто приходится переходить к

решению равносильной совокупности систем неравенств.

ПРИМЕР 1.9. Например, являются равносильными неравенство

0)4)(1()3)(2(>

−+−−

xxxx

и совокупность систем неравенств

⎩⎨⎧

>−+>−−

,0)4)(1(,0)3)(2(

xxxx

⎩⎨⎧

<−+<−−

.0)4)(1(,0)3)(2(

xxxx

ПРИМЕР 1.10. Также являются равносильными неравенство

)()( xgxf >

и совокупность систем неравенств

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

>>

⎩⎨⎧

=>

⎩⎨⎧

<≥

).()(

,0)(,0)(

,0)(,0)(

,0)(,0)(

2 xgxf

xgxf

xgxf

xgxf

В дальнейшем мы часто будем переходить от решения неравенства к

нахождению решения равносильной совокупности систем неравенств.

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.1. Какое множество называется областью

допустимых значений неравенства?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.2. Какое множество называется множеством

решений неравенства?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.3. Когда неравенства называются


КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.4. Какое множество называется множеством

решений системы неравенств?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.5. Когда неравенство называется

равносильными системе неравенств?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 1.6. Когда неравенство называется

равносильными совокупности систем неравенств?

13

2 Алгебраические неравенства

2.1 Линейные неравенства

Определение 2.1 Линейными неравенствами называются

неравенства вида

ах + b> 0, ах + b < 0, (строгие неравенства) а ≠ 0

и

ах + b ≥ 0, ах + b ≤ 0, (нестрогие неравенства) а ≠ 0.

Эти неравенства при а > 0 сводятся к неравенствам вида

,,,,abx

abx

abx

abx −≤−≥−<−>

решениями которых будут множества

.,,,,,,, ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −∞−⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−

ab

ab

ab

ab

При а < 0 эти неравенства сводятся к неравенствам вида

,,,,abx

abx

abx

abx −≥−≤−>−<

решениями которых будут множества

.,,,,,,, ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞−⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ −∞−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−

ab

ab

ab

ab

ПРИМЕР 2.1. Решить неравенство

.4532 −<+ xx

РЕШЕНИЕ. Перенесем выражение из левой части неравенство в правую,

получим 03425 >−−− xx или 3x – 7 > 0, отсюда 37

>x . Тогда решением

этого неравенства будет множество ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞,

37 .

ОТВЕТ. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞,

37 .


41

21

513 xxx

−<+

−− .

14

РЕШЕНИЕ. Перенесем все в левую часть неравенства и приведем к

общему знаменателю:

.020

5201010412<

+−−−− xxx .

Приведем подобные слагаемые в числителе и умножим обе части

неравенства на 20, получим

734,0347 <<− xx .

Тогда решением этого неравенства будет множество

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−

734, .


⎜⎝⎛ ∞−

734, .

2.2 Квадратные неравенства

Определение 2.2 Квадратными (строгими и нестрогими)

называются неравенства вида

02 >++ cbxax , 02 <++ cbxax ,

02 ≥++ cbxax , 02 ≤++ cbxax ,

где а, b, с — некоторые действительные числа и а ≠ 0.

Квадратное неравенство

02 >++ cbxax (1)

в зависимости от значений своих коэффициентов а, b и с имеет решения:

при а > 0 и 042 ≥−= acbD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞

+−∪⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∞− ,

22,

aDb

aDb ;

при а > 0 и D < 0

x — любое действительное число;

при а < 0 и D ≥ 0

15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+−a

Dba

Db2

,2

при а < 0 и D < О

решений нет.

Решение неравенства 02 <++ cbxax сводится к решению

рассмотренного неравенства, если обе части неравенства (1) умножить

на (–1).

Аналогично решаются и нестрогие неравенства. Например, решение

неравенства 02 ≥++ cbxax при а > 0 и D > 0 имеет вид

⎟⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡+∞

+−∪⎥

⎦

⎤⎜⎜⎝

⎛ −−∞− ,

22,

aDb

aDb .

Геометрическая интерпретация неравенства (1) сводится к

следующему. Первому случаю (а > 0 и D ≥ 0) соответствует парабола,

пересекающая ось ОХ в двух или одной точке и ветви которой направлены

вверх. Поэтому решение имеет данный вид.

Во втором случае (а > 0, D < 0) парабола, ветви которой направлены

вверх, расположена выше оси ОХ, поэтому решением является любое

действительное число.

В третьем случае (а < 0, D ≥ 0) парабола, ветви которой направлены

вниз, пересекает ось ОХ в двух или одной точке и решением будет интервал

между этими точками пересечения.

В последнем случае (а < 0, D < 0) парабола, ветви которой направлены

вниз, не пересекает ось ОХ, поэтому решением будет пустое множество. Нa

рис. 1 показаны все выше перечисленные случаи расположения параболы

16

Рис. 1. 02 >++ cbxax

Для остальных случаев квадратного неравенства проводится

аналогичное исследование расположения параболы.


x2 – 4 > 0.

РЕШЕНИЕ. Найдем корни уравнения x2 – 4 = 0, получим х1 = – 2 и х2 = 2.

Графиком левой части неравенства является парабола, ветви которой

направлены вверх, которая пересекает ось ОХ в двух точках. Следовательно,

решением исходного неравенства будет множество значений х, лежащих

левее корня х1 и правее корня х2:

(–∞, –2)∪∩(2,+∞).

ОТВЕТ. х ∉ (–∞, –2)∪∩(2,+∞).

ПРИМЕР 2.4. Найти область определения функции

26 xxy −+= .

РЕШЕНИЕ. ОДЗ данной функции определяется неравенством

6 + х – х2 ≥ 0.

Найдем корни левой части неравенства 6 + х – х2 = 0, очевидно, что

х1 = – 2 и х2 = 3. Графиком функции у = 6 + х – х2 является парабола, ветви

которой направлены вниз. Поэтому ОДЗ исходной функции будет множество

17

значений х, заключенных на отрезке между найденными корнями:

[–2,3].

ОТВЕТ. [–2,3].

3 Рациональные неравенства

Определение 3.1 Неравенства вида

0)()(,0

)()(,0)(,0)( <><>

xQxP

xQxPxPxP

m

n

m

nnn ,

где Рп(x), Qm(x) — многочлены, соответственно степеней п и т, т.е.

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nnn ++++= −

− ,

011

1 ...)( bxbxbxbxQ mm

mmm ++++= −

−

называются рациональными неравенствами.

ПРИМЕР 3.1. Например, неравенства вида

052,05

42 23423

<−+>+

−+ xxxx

xxx

будут рациональными неравенствами.

Определение 3.2 Корни многочленов Рп(х) и Qm(x) называются

критическими точками рациональной функции

)()(

xQxPy

m

n= .

Рациональные неравенства в большинстве случаев решаются методом

интервалов. Этот метод основан на одном важном свойстве рациональных

функций:

в интервале между двумя соседними критическими точками

рациональная функция принимает либо только положительные, либо

только отрицательные значения, т.е., как говорят, сохраняет знак.

Это свойство является следствием непрерывности рациональной

функции в ее области определения.

18

3.1 Метод интервалов

Рассмотрим неравенство вида

0)()(>

xQxP

m

n .

Отметим, что если умножить обе части этого неравенства на Q2m(x),

которое больше нуля в ОДЗ исходного неравенства, то по свойствам

неравенств мы получим равносильное неравенство

0)()( >⋅ xQxP mn . (2)

1. Рассмотрим неравенство (2). Найдем критические точки

числителя и знаменателя и разложим их на множители. Тогда

)()()()()( 212211 xPxxcxxcxxcxP lk

llkk

n −−⋅−= L ,

)()()()( 111 xQxxcxxcxQ sll k

slslk

llm++

++++ −−= L ,

где многочлены Р(х) и Q(x) действительных корней не имеют и либо

положительны, либо отрицательны при всех Rx∈ . Будем в дальнейшем для

определенности считать, что они положительны (если это не так, то можно

обе части неравенства домножить на (–1), изменив при этом знак

неравенства). Все найденные критические точки рациональной функции

необходимо будет исключить из решения неравенства, которое мы в

дальнейшем получим (так как при этих значениях х левая часть исходного

неравенства равна нулю или не существует).

2. От исходного неравенства (2) перейдем к равносильному

неравенству, сократив его на многочлены Р(х) и Q(x), положительные для

любого х, и, умножив на знаменатель в квадрате, получим

.0)()()( 212211 >−−⋅− +

++slk

slslkk xxcxxcxxc L . (3)

3. Найдем в неравенстве (3) множители, у которых показатели степени

четные. Поскольку эти множители строго больше нуля вне критических

значений, то, сократив на них, мы получим равносильное неравенство.

4. У оставшихся множителей с нечетными показателями степеней

сделаем эти степени равными 1, что приведет аналогично пункту 2 к

19

равносильному неравенству. Таким образом, если исходное неравенство

содержит произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в

четных степенях можно исключить (причем это можно делать только после

выполнения пункта 1). Сомножители, показатель степени которых нечетное

число, заменить на соответствующие им сомножители в первой степени.

5. Преобразуем полученное неравенство так, чтобы везде в скобках на

первом месте стоял член, содержащий переменную х.

6. В последнем полученном неравенстве из каждого сомножителя

вынесем за знак скобок числовые множители при переменном х так, чтобы

коэффициент при нем стал равным 1.

7. Разделим обе части неравенства на полученное вынесенное число,

если оно положительно, то не меняя знак неравенства, если оно

отрицательно, то сменив знак неравенства на противоположный. В итоге мы

получим неравенство вида

0)())(( 21 >−−− tdxdxdx L (4)

или

0)())(( 21 <−−− tdxdxdx L , (5)

где d1, d2, .., dt — некоторые действительные числа.

8. Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая

часть неравенств (4) и (5) обращается в нуль. Это значения d1, d2, .., dt.. Вся

координатная прямая разбилась на промежутки, в которых левая часть

неравенства при переходе через критическую точку dt будет обязательно

менять знак. Поскольку на самом правом промежутке левая часть

неравенства положительна, то поставив на нем знак " + ", остальные знаки

чередуем согласно волнообразной кривой, проведенной через критические

точки.

9. На координатной прямой исключаем критические точки,

найденные в первом пункте.

10. Для ответа выбираем промежутки, в которых выполняется

неравенство (4) или неравенство (5).

20

Рис. 2

ПРИМЕР 3.2. Решить неравенство:

0)3()82)(42(

)4)(4()93()24(432

2253

>−++

+−+−xxxx

xxxxx . (6)

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем критические точки левой части неравенства (т.е.

точки, где числитель и знаменатель обращается в ноль):

.3,4,2,4,3,0,2 7654321 =−=−==−=== xxxxxxx

Все эти значения переменной х необходимо будет исключить из решения

неравенства, которое мы получим в дальнейшем.

2. Умножим обе части неравенства (6) на знаменатель в квадрате,

получим равносильное неравенство

.0)3()82)(42()4)(4()93()24( 4322253 >−+++−+− xxxxxxxxx (7)

3. В левую часть неравенства (7) входят множители

,)3(,),4(,)93( 4222 −++ xxxx

которые всегда положительны в ОДЗ нашего неравенства. Следовательно,

если мы сократим исходное неравенство на положительное выражение, то

получим равносильное ему неравенство

.0)82)(42)(4()24( 353 >++−− xxxxx (8)

4. В полученном неравенстве (8) показатели степеней сделаем равными

единице, что приведет нас опять к равносильному неравенству

.0)82)(42)(4()24( >++−− xxxxx

5. Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в скобках на

первом месте стоял член, содержащий переменную х:

.0)82)(42)(4()42( >++−+− xxxxx

6. Наконец, вынесем из каждого сомножителя за знак скобок

числовые множители при переменном х, получим

21

.0)4)(2)(4()2(8 >++−−− xxxxx

7. Разделим обе части этого неравенства на отрицательное число

(–8), при этом сменим знак неравенства на противоположный:

.0)4)(2)(4()2( <++−− xxxxx . (9)

8. Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая

часть неравенства (9) обращается в нуль. Это значения

–4, –2, 0, 2, 4.

Проведем через отмеченные точки волнообразную линию начиная

справа сверху, как показано на рис. 3. Вся координатная прямая разбилась на

6 промежутков. Самый правый из них (4,+∞) всегда будет положительный,

отметим его знаком " + ". Далее знаки в промежутках чередуются. Эту

иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая проходит

выше координатной прямой (знак " + "), выполняется неравенство

0)4)(2)(4()2( >++−− xxxxx ,

на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой (знак " –"), имеем

.0)4)(2)(4()2( <++−− xxxxx

9. Исключим на прямой еще две критические точки несходного

неравенства (6) х = –3, х = 3, не вошедшие в пункт 8.

Рис. 3

10. Таким образом, окончательное решение неравенства (6) есть

объединение промежутков

)4,3()3,2()0,2()4,( ∪∪−∪−−∞ .

ОТВЕТ. )4,3()3,2()0,2()4,( ∪∪−∪−−∞ .


11102

2

2

>−−

xx .

22

РЕШЕНИЕ

1. Перенесем 1 из правой части в левую и приведем к общему

знаменателю:

01

11022

22

<−

+−−x

xx .

Приведем подобные члены и разложим числитель и знаменатель на

множители:

,019

2

2

<−−

xx 0

)1)(1()3)(3(<

+−+−

xxxx .

2. Найдем критические точки левой части (точки, где числитель и

знаменатель обращаются в ноль):

х = 3, х = –3, х = 1, х = –1.

3. Поскольку все множители в неравенстве в первой степени, то на

координатной прямой отметим эти точки. Прямая разобьется на 6

промежутков, самый правый из них будет иметь знак " + ", а в остальных

знак чередуется (рис. 4).

Рис. 4

4. Выберем те промежутки на координатной прямой, в которых левая

часть неравенства отрицательна, получим множество

(–3,–1) U (1,3).

ОТВЕТ. (–3,–1) и (1,3).

ПРИМЕР 3.4. Решить двойное неравенство

0< х2 +3х <4.

РЕШЕНИЕ. Решить двойное неравенство — это значит решить

соответствующую систему неравенств, т.е. решить каждое неравенство

отдельно и найти пересечение решений. В данном случае система имеет вид

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

>+

.43

,032

2

xx

xx

23

1. Решим первое неравенство х(х + 3) > 0 методом интервалов (рис. 5).

Получим решение ),0()1,( +∞∪−−∞∈x .

2. Решим второе неравенство (х + 4)(х – 1) < 0, корни левой части

которого равны x1 = – 4 и x2 = 1 (рис. 5). Получим решение )1,4(−∈x .

Рис. 5

3. Если взять пересечение полученных множеств (рис. 6), то мы

получим следующий ответ:

)1,0()3,4( ∪−− .

Рис. 6

ОТВЕТ. )1,0()3,4( ∪−− .

Рассмотрим решение нестрогих неравенств

0)()(≥

xQxP

m

n , 0)()(≤

xQxP

m

n .

1. Найдем критические точки левой части неравенства, т.е. точки, в

которых числитель и знаменатель равны нулю.

2. Выберем из найденных критических точек те, в которых числитель

равен нулю, а знаменатель нет (если числитель и знаменатель обращаются в

ноль в одинаковой точке, то мы ее не берем). Выбранные точки обязательно

должны войти в ответ, так как они отвечают случаю, когда исходное

неравенство равно нулю.

24

3. Далее решаем методом интервалов соответствующее строгое

неравенство.

4. В ответе берем объединение решения, полученного при решении

строгого неравенства и точек, найденных в пункте 2.


0)62()4()1)(102(45

32

≤−+−−

xxxxx .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем критические точки

3,4,1,5,0 54321 =−==== xxxxx .

2. Точки, в которых числитель обращается в ноль:

,1,5,0 321 === xxx надо будет включить в ответ. А точки, в которых

знаменатель обращается в ноль: 3,4 54 =−= xx , наоборот, исключить из

ответа.

3. Теперь будем решать строгое неравенство.

0)62()4()1)(102(45

32

<−+−−

xxxxx .

Сократим неравенство на сомножители, у которых четные степени. У

оставшихся сомножителей сделаем степени равными 1. Вынесем из каждого

сомножителя числовой коэффициент при переменном х и сократим их.

Наконец, умножим на знаменатель в квадрате, получим неравенство

0)4)(1)(5( <+−− xxx .

4. Найдем нули левой части: х = 5, х = 1, х = –4. Отметим эти точки на

координатной прямой, получим 4 промежутка. Самому правому промежутку

соответствует знак "+", а далее они чередуются (рис. 7).

5. На этой же координатной прямой исключим точку х5 = 3 и включим

точки х1 = 0, х2 = 5, х3 = 1.

Рис. 7

25

6. В результате мы получим множество

}0{]5,3()3,1[)4,( ∪∪∪−−∞ .

ОТВЕТ. }0{]5,3()3,1[)4,( ∪∪∪−−∞ .

ПРИМЕР 3.6. Найти область определения функции

4202512

2 +++

=xx

xy .

РЕШЕНИЕ. Область определения данной функции задается нестрогим

неравенством

042025

122 ≥

+++

xxx .

Разложим знаменатель на множители

0)25(12

2 ≥++

xx .

Найдем критические точки: 51,

21

21 −=−= xx . Значение х1 надо будет

включить в ответ, а значение х2 — исключить. Решаем теперь строгое

неравенство 2х + 1 > 0, поскольку знаменатель в ОДЗ всегда положителен.

Получим 21

−>x . Из полученного множества ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞− ,

21 исключим точку

51

−=x , а точку 21

−=x включим. Тогда областью определения исходной

функции будет множество

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−∪⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ − ,

51

51,

21 .


⎜⎝⎛ +∞−∪⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ − ,

51

51,

21 .

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.1. Как решаются линейные неравенства?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.2. Как решаются квадратные неравенства?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.3. Какие неравенства называются

рациональными?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 3.4. В чем заключается метод интервалов

26

решения рациональных неравенств?

3.2 Системы рациональных неравенств

Рассмотрим способ решения систем рациональных неравенств на

примере.

ПРИМЕР 3.7. Решить систему неравенств

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+−

≥+−

−

.0)4)(4(

,0)1)(3(

)3( 2

xxxx

x.

РЕШЕНИЕ. 1. Решаем методом интервалов первое неравенство.

Поскольку знаменатель обращается в ноль в точках 3 и –1, то мы их

исключим из координатной прямой (рис. 8). Первое неравенство имеет

решение (–∞, –1).

2. Решаем второе неравенство. На координатной прямой отметим точки

–4 и 4, в которых множители равны нулю и включим их в ответ (рис. 8).

Тогда второе неравенство имеет решение [–4,4].

Рис. 8.

3. Найдем пересечение этих множеств (рис. 9) [–4, –1) U (3,4].

Рис. 9

ОТВЕТ. [–4,–1) и (3,4].

В дальнейшем, при решении иррациональных уравнений, мы еще

будем решать системы неравенств.

27

4 Неравенства, содержащие знак модуля

Рассмотрим решение неравенства вида

axf >)( ,

где а ≥ 0 — действительное число. Это неравенство равносильно

совокупности двух неравенств

f(x) > а, или f(x) < –а.

Решая каждое неравенство отдельно, затем мы должны взять

объединение решений этих неравенств.


|3 x + 4| > 5.

РЕШЕНИЕ. 1. Решаем первое неравенство 3x + 4 > 5 или 3x > 1, 31

>x .

Поэтому решением первого неравенства будет интервал ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞,

31 .

2. Решаем второе неравенство 3x + 4 < –5 или 3x < –9, х <–3. Решением

второго неравенства будет интервал (– ∞, –3).

3. Решением исходного неравенства будет объединение этих множеств

(– ∞, –3)U ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞,

31 .

ОТВЕТ(– ∞, –3)U ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞,

31 .

Рассмотрим решение неравенств вида

axf >)( ,

где а > 0 — действительное число. Это неравенство равносильно системе

двух неравенств

⎩⎨⎧

−><

.)(,)(axf

axf.

Решая каждое неравенство отдельно, затем мы должны будем взять

пересечение решений этих неравенств.

28


|2х – 4| < 6.

РЕШЕНИЕ. 1. Решим первое неравенство 2х – 4 < 6 или 2х < 10, х < 5.

Решением первого неравенства будет множество (–∞, 5).

2. Решим второе неравенство 2х – 4 > –6 или 2х > –2, х > –1. Решением

второго неравенства будет множество (–1, +∞)

3. Решением исходного неравенства будет пересечение этих множеств

(–∞,5)∩(–1,+ ∞) = (–1,5).

ОТВЕТ. (–1,5).

Нестрогие неравенства такого вида axf ≥)( и axf ≤)( решаются

аналогично строгим неравенствам.

Неравенства более сложного вида, которые содержат несколько

выражений под знаком модуля, решаются методом интервалов. Область

допустимых значений неравенства следует разбить на промежутки, на

каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

На каждом таком множестве нужно решать свое неравенство, полученное

после раскрытия знаков модуля, и найденные решения объединить в

множество решений исходного неравенства.


022 <+− xx . (10)

РЕШЕНИЕ. 1. Рассмотрим промежутки знакопостоянства функции

у = х2 – 2. Она неотрицательна на множестве D1 = (–∞, – 2 ] U [ 2 , +∞) и

отрицательна на множестве D2 = (– 2 , 2 ).

2. Решим неравенство х2 – 2 + х < 0 на первом множестве D1 (мы

раскрыли модуль со знаком " + "). Корнями левой части неравенства

являются х1 = –2 и х2 = 1, а решением неравенства — интервал (–2,1). Тогда

решением исходного неравенства будет пересечение найденного интервала с

первым множеством D1 (рис. 10), т.е. полуинтервал (–2,– 2 ].

29

Рис. 10

3. Решим неравенство –х2 + 2 + х < 0 на втором множестве D2 (здесь

знак модуля мы раскрыли со знаком "–" Корнями левой части неравенства

х2 – х – 2 > 0 являются х1 = –1 и х2 = 2, поэтому решением неравенства будет

множество (–∞, –1) U (2, +∞). Решением исходного неравенства будет

пересечение найденного решения второго неравенства со вторым

множеством D2 (рис. 11), т.е. интервал (– 2 , –1).

Рис. 11

4. Решением исходного неравенства будет объединение найденных

решений (–2,– 2 ] и (– 2 , –1).= (–2,–1).

ОТВЕТ. (–2,–1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной

проверки. Однако в большинство случаев можно убедиться в правильности

полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем

неравенство (10) в виде

xx −<− 22 .

Построим графики функций у1 = |х2 — 2| и у2 = –х, входящие в левую и

и правую части рассматриваемого неравенства, и найдем те значения

аргумента, при которых у1 < у2. На рис. 12 заштрихованная область оси

абсцисс содержит искомые значения х.

30

Рис. 12

Решение неравенств, содержащих знак модуля, иногда можно

значительно сократить, используя равенство |х|2 = х 2.


121>

+−

xx .

РЕШЕНИЕ. Исходное неравенство при всех х ≠ –2 эквивалентно

неравенству

|х – 1| > |х + 2|.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, то, возведя его в

квадрат, после приведения подобных членов получим неравенство

6 х < –3,

т.е. х < –1/2.

Учитывая ОДЗ исходного неравенства, определяемое условием х ≠ –2,

окончательно получаем, что наше неравенство выполняется при всех х ∈(–

∞,–2)U(–2, –1/2). Геометрическая интерпретация решения этого неравенства

показана на рис. 13.

ОТВЕТ. (–∞,–2)U(–2, –1/2).

31

Рис. 13


1342 −≤+− xxx .

РЕШЕНИЕ. Как и в предыдущем примере, возведем обе части

неравенства в квадрат: 222 )1()34( −≤+− xxx .

Применим формулу разности квадратов и разложим на множители

полученные выражения:

.0)2)(4()1(

,0)23)(45(

,0)134)(134(

2

22

22

≤−−−

≤+−+−

≤−++−+−+−

xxx

xxxx

xxxxxx

Применим метод интервалов для решения этого неравенства.

Расставим критические точки х = 1, х = 2, х = 4 на прямой (рис.14), причем

первая точка знака неравенства не меняет, поскольку множитель (х –1)2 в

четной степени, а две другие точки знак меняют. Правый знак неравенства

положительный Выбираем отрезок [2,4], на котором выполняется

неравенство, к ответу добавляем точку 1, в которой выполняется равенство.

ОТВЕТ. {1}U[2,4].

Рис. 14

32

Решим более сложное неравенство.


|2х + 4| + |х – 5| – |6 – 2х| > х + 1.

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем значения х, при которых функции, стоящие под

знаком модуля, обращаются в ноль. Это точки х = –2, х = 5, х = 3, причем

функция у = 2х + 4 до точки х = –2 принимает знак " –", а после — знак "+ ",

функция у = х – 5 до точки х = 5 принимает знак " –", а после — знак " + ",

функция у = 6 – 2х до точки х = 3 принимает знак " + ", а после знак " – ".

Разобьем координатную прямую на промежутки

(–∞, –2) U [ –2, 3] U (3,5] U (5, +∞).

Па каждом промежутке будем раскрывать модули с тем знаком,

который принимает на нем функция, стоящая под знаком модуля.

2. На первом промежутке (–∞, –2) получим

1)26()5()42( +>−−−−+− xxxx .

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то мы получим

неравенство

х < –3.

Тогда, взяв пересечение полученного множества с промежутком, на

котором мы решали неравенство, мы получим ответ

(–∞, –3).

3. Па промежутке [–2,3] получим

1)26()5(42 +>−−−−+ xxxx или х > –1.

Тогда, взяв пересечение полученного множества с промежутком [–2,3],

мы получим ответ

(–1,3].

4. На промежутке х ∈ (3,5] получим

1)26()5(42 +>−+−−+ xxxx или х < 7.

В пересечении с нашим промежутком получим ответ

(3,5].

33

5. И наконец на последнем промежутке имеем

126542 +>−+−++ xxxx или 5 > 1.

Поскольку мы получили верное числовое неравенство для всех х

нашего промежутка, то ответом будет все это множество

(5, +∞).

6. Взяв объединение всех полученных решений, будем иметь

(–∞, –3)U(–1,+∞).

ОТВЕТ. (–∞, –3)U(–1,+∞).


||х + 3| – 1| < 1– х.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим еще один метод решения неравенств,

содержащих знак модуля.

1. Данное неравенство имеет решения, если 1 – х > 0 или х < 1. Будем

решать это неравенство на множестве (–∞, 1).

2. Возведем в квадрат обе части неравенства, получим

||х + 3| – 1|2 < (1– х)2 или

(|х + 3| –1 –1 + х)( |х + 3| – 1 + 1 – х) < 0 или

(|х + 3| – 2 + х)(|х + 3| – х) < 0.

3. В последнем неравенстве модуль обращается в ноль в точке х = –3.

Рассмотрим решение этого неравенства на множестве (–∞, –3), на котором

функция, стоящая под знаком модуля, принимает отрицательные значения.

Получим

(–х – 3 – 2 + х)(–х – 3 – х) < 0 или 2х + 3 < 0 или х < – 3/2.

Тогда решением исходного неравенства будет множество (–∞, –3).

4. Решим неравенство на множестве [–3.1). Получим

(х + 3 – 2 + х)(х + 3 – х) < 0 или 2х + 1 < 0 или х < – 1/2.

Тогда решением неравенства будет множество [–3,–1/2).

5. Возьмем объединение полученных при решении неравенства

множеств

(–∞, –3) U [–3,–1/2)= (–∞, –1/2).

34

ОТВЕТ. (–∞, –1/2).

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 4.1. Каков основной метод решения неравенств,

содержащих функции под знаком модуля?

5 Иррациональные неравенства

Определение 5.1 Под иррациональным неравенством понимается

неравенство, в котором, неизвестные величины (или некоторые функции

неизвестных величин) находятся под знаком радикала.

Основным методом решения иррациональных неравенств является

метод сведения исходного неравенства к равносильной системе

рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств,

следует рассматривать только те значения переменной, при которых все

входящие в неравенство функции определены, т.е. найти ОДЗ этого

неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на

всей ОДЗ или ее частях. При решении иррационального неравенства

приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную

степень.

При этом необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании

неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное исходному на

ОДЗ.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при

возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается

неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части

неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство,

равносильное исходному и имеющее гот же знак лишь в случае, если обе

части исходного неравенства неотрицательны.

Рассмотрим равносильность простейших иррациональных неравенств.

1. Неравенство вида

Nnxgxf nn ∈< ,)()( 22 ,

35

равносильно системе

⎩⎨⎧

>≥

).()(,0)(

xfxgxf


Nnxgxf nn ∈< ++ ,)()( 1212

равносильно неравенству

).()( xgxf <


Nnxgxfn ∈< ),()(2 ,


⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>≥

).()(

,0)(,0)(

2 xgxf

xgxf

n


Nnxgxfn ∈> ),()(2 ,

равносильно совокупности двух систем неравенств

⎩⎨⎧

>

≥

),()(

,0)(2 xgxf

xgn ⎩

⎨⎧

≥<

.0)(,0)(

xfxg


Nnxgxfn ∈<+ ),()(12


)()( 12 xgxf n+< .


Nnxgxfn ∈>+ ),()(12 ,


)()( 12 xgxf n+>

Рассмотрим примеры решения конкретных иррациональных

неравенств.

36


xx −<+ 162 .

РЕШЕНИЕ. 1. Согласно пункту 3, это иррациональное неравенство


( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<+

>−≥+

,162

,01,062

2xx

xx

или ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−<+

<−≥

,2162

,1,62

2xxx

xx

или

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−−

<−≥

.054

,1,3

2 xx

xx

2. Из первых двух неравенств найдем, что –3 ≤ x < 1.

3. Решая квадратное уравнение 0542 =−− xx , получим корни х1 = –1,

х2 = 5. Поскольку ветви параболы левой части уравнения направлены вверх,

то решением неравенства 0542 >−− xx будет множество (–∞, –1)U(5, +∞).

4. Нанесем, полученные множества на координатную прямую и найдем

их пересечение (рис. 15).

Рис. 15

5. Итак, при пересечении этих множеств получим [–3, –1).

ОТВЕТ. [–3,–1).


xxx 28562 −>−+− .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем ОДЗ данного неравенства. Это множество тех х,

когда – х2 + 6 х – 5 ≥ 0. Поскольку корнями левой части являются точки х1 = 1

и х2 = 5 и графиком левой части неравенства является парабола, ветви

которой направлены вниз, то решением будет отрезок [1,5].

2. На ОДЗ исходное неравенство равносильно совокупности двух

систем

37

⎩⎨⎧

≥−−>−+−

,028,)28(56 22

xxxx

⎩⎨⎧

<−≤≤

.028,51

xx

Когда правам часть исходного неравенства неотрицательна, мы

возводим в квадрат обе части, а когда правая часть отрицательна, то это

неравенство верно для любого х из ОДЗ.

3. Решим сначала вторую систему этой совокупности. Имеем

⎩⎨⎧

>≤≤.4

,51x

x

Решением этой системы будет множество (4,5].

4. Решим первую систему совокупности. Имеем

⎩⎨⎧

≤+−>−+−

,82,4326456 22

xxxxx

⎩⎨⎧

≤<+−

.4,069385 2

xxx

Левая часть первого неравенства этой системы имеет корни х1 = 3 и х2 = 23/5,

поэтому его решением будет множество 3 < х < 23/5. В пересечении с

решением второго неравенства мы получим промежуток (3,4].

5. Объединяя решения совокупности систем, получим (3,4] U (4,5] =

(3,5].

ОТВЕТ. (3,5].


022)32( 2 ≥−−− xxx .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем ОДЗ данного неравенства 2х – 2 ≥ 0 или х≥ 1.

Тогда ОДЗ будет множество [1, +∞).

2. Решим сначала уравнение 022)32( 2 =−−− xxx . Корнями первого

сомножителя являются точки х1 = –1, х2 = 3, а корнем второго — точка х3 = 1.

Значения х2 = 3 и х3 = 1, входящие в ОДЗ неравенства, обязательно должны

войти в ответ.

3. Решим строгое неравенство 022)32( 2 >−−− xxx . Поскольку

второй сомножитель всегда неотрицателен, то неравенство будет

выполняться, если х2 – 2х – 3 > 0. Решая его, получим (–∞, –1) U (3, +∞).

38

Возьмем пересечение этого множества и ОДЗ, получим решение строгого

неравенства на ОДЗ: (3,+ ∞).

4. Поскольку точки х2 = 3 и х3 = 1 входят в ОДЗ неравенства, то мы их

включим в ответ: [3,+ ∞) U {1}.

ОТВЕТ. [3,+ ∞) U {1}.

ПРИМЕР 5.4. Найти количество целых решений неравенства

05434

2

2

≤−++−

xxxx .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем ОДЗ данного неравенства.

0342 ≥+− xx и 0542 ≠−+ xx .

Решая первое неравенство методом интервалов, получим, что

),3[]1,( +∞∪−∞∈x .

Второе условие дает, что х ≠ 5 и х ≠ 1. Объединяя эти условия, получим ОДЗ

нашего неравенства

),3[]1,( +∞∪−∞∈x .

2. Поскольку мы решаем нестрогое неравенство, то х = 3 входит в

ответ.

3. Поскольку числитель неравенства неотрицателен, то будем решать


0542 <−+ xx .

Решением этого неравенства будет интервал (–5,1).

4. Пересекая ОДЗ и полученные решения (рис. 16), получим множество

}3{)1,5( ∪−∈x .

5. Целыми решениями, которые вошли в ответ, будут точки

х : –4, –3, –2, –1, 0, 3.

ОТВЕТ. 6 целых решений.

Рис. 16

39


5216 −++<+ xxx .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем ОДЗ этого неравенства из решения системы

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−≥+≥+

.052,01,06

xxx

Решая ее, получим множество ),25[ +∞∈x .

2. Поскольку на ОДЗ обе части исходного неравенства

неотрицательны, возведя левую и правую части этого неравенства в квадрат

и приведя подобные члены, получим равносильное неравенство

xxx −>−− 5532 2 . (11)

3. Поскольку при 5 – х < 0 или х > 5 правая часть неравенства (11)

отрицательна, а левая часть — неотрицательна, то неравенство (11)

справедливо при всех (5, +∞).

4. Если 5 – х > 0, то для всех ]5,25[),25[]5,( =+∞∩+∞∈x обе части

неравенства (11) неотрицательны. Возведя обе части этого неравенства в

квадрат и приведя подобные члены, получим неравенство

х 2 + 7 х – 30 > 0.

Решением этого неравенства будет: множество (–∞, –10) U (3,+ ∞). В

пересечении с отрезком [5/2, 5] мы получим промежуток (3,5].

5. Объединяя множества решений, соответствующие двум

рассмотренным случаям, получаем решение исходного неравенства (3,+ ∞).

ОТВЕТ. (3, +∞).


1253753 22 >++−++ xxxx .

РЕШЕНИЕ. 1. Найдем ОДЗ данного неравенства. Легко проверить, что

дискриминант первого квадратного трехчлена отрицателен. Корнями второго

квадратного трехчлена являются х1 = –1 и х2 = –2/3. Поэтому ОДЗ данного

неравенства, когда 0253 2 ≥++ xx , будет множество (–∞,–l] U [–2/3,+ ∞).

40

2. Сделаем замену в исходном неравенстве axx =++ 253 2 , получим

более, простое неравенство

15 >−+ aa .

2. Перенесем второй квадратный корень в правую часть, получим


15 +>+ aa (12)

3. Поскольку обе части неравенства (12) неотрицательны, то, возведя в

квадрат, получим

125 ++>+ aaa , или 2<a , или а < 4.

4. Заменим а на его выражение, получим неравенство 4253 2 <++ xx

или 0253 2 <−+ xx . Левая часть этого квадратного неравенства имеет корни

х1 = –2 и х2 = 1/3. Поэтому его решением будет интервал (–2, 1/3).

5. Возьмем пересечение полученного множества (–2, 1/3) и ОДЗ

исходного неравенства (рис. 17), получим ответ (–2, –1] U [–2/3, 1/3).

ОТВЕТ. (–2, –1] U [–2/3, 1/3).

Рис. 17


33114≤

+−+−

xx .

РЕШЕНИЕ. 1. Областью допустимых значений данного неравенства

будет множество [–1, +∞). Па этом множестве неравенство равносильно

совокупности двух систем:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−≤+−

>+−

−≥

),31(314

,031

,1

xx

x

x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−≥+−

<+−

−≥

).31(314

,031

,1

xx

x

x

41

2. Решим первую систему совокупности. Рассмотрим решение второго

неравенства этой системы:

031 >+− x , или 13 <+x , или х + 3 < 1 или х < –2.

Поскольку пересечение множеств решений первого и второго

неравенств этой системы пусто, то у этой системы решений нет.

3. Решим вторую систему. Решением первого и второго неравенств

этой системы будет множество

[–1,+ ∞)∩(–2,+ ∞) = [–1,+ ∞).

4. Решим последнее неравенство второй системы. Для этого приведем

его к виду

13334 ++≥++ xx .

Поскольку каждое слагаемое правой части этого неравенства больше

соответствующего слагаемого левой части, то оно справедливо для всех х из

ОДЗ. Поэтому решением второй системы будет множество [–1,+ ∞).

ОТВЕТ. [–1,+ ∞).

Рассмотрим пример с кубической иррациональностью.


523 −≤+x .

РЕШЕНИЕ. Данное неравенство определено для всех х. Возведем обе его

части в третью степень. Исходное неравенство тогда равносильно

неравенству

х + 2 ≤ –125.

Решая последнее неравенство, получим х ≤ –127.

ОТВЕТ. (–∞,–127].

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 5.1. Как решаются иррациональные неравенства

вида )()(2 xgxfn < ?

КОНТРОЛЬНЫЙ ВОПРОС 5.2. Как решаются иррациональные неравенства

вида )()(2 xgxfn > ?

42

6 Неравенства с параметрами

Неравенства с параметрами не имеют общих способов решения.

Вообще говоря, каждое неравенство решается своим методом. Рассмотрим

решение некоторых неравенств с параметром.

ПРИМЕР 6.1. При всех действительных а решить неравенство

ах2 + 4х – 5 < а.

РЕШЕНИЕ. 1. Перепишем неравенство в виде

ах2 +4х – (5 + а) < 0. (13)

2. При а > 0 квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства

(13), принимает отрицательные значения, если его дискриминант D > 0 и х

принадлежит промежутку между корнями этого квадратного трехчлена.

Найдем дискриминант D = 16 + 4а(5 + а) – 4а2 + 20а + 16. Решим неравенство

4а2 + 20а + 10 > 0 или а2 + 5а + 4 > 0.

Решением этого неравенства является множество (–∞,–4)U(–1,+∞).

Поскольку условие а > 0 полностью входит в последнее множество, то при

а > 0 мы получаем ответ

aaax

aaa

2454

2454 22 +++−

<<++−− .

3. При а < 0 квадратный трехчлен ах2 + 4х – (5 + а) принимает

отрицательные значения, если его дискриминант D < 0 и х ∈ (–∞,+∞).

Поскольку дискриминант отрицателен при а ∈ (–4,–1), которые

удовлетворяют условию а < 0, то при этих а решением будет множество

(–∞,+∞) .

При а < 0 и D ≥ 0, т.е. при а ∈ (–∞,–4] U [–1,0), неравенство (13) имеет

следующее решение

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞

+++−∪⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−∞− ,

2454

2454,

22

aaa

aaa .

4. При а = 0 получим неравенство 4х – 5 < 0, которое имеет решение

(–∞,5/4).

43

ОТВЕТ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞

+++−∪+∞−∪

∪⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−∞−∪−−∞∈

+∞−∞−−∈−∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++−++−−+∞∈

.,2

454),1[

2454,]4,(

),,()1,4(),45,(0

,2

454,2

454),0(

2

2

22

aaa

aaaaпри

aприaпри

aaa

aaaaпри


22

2ax

axax −

>+

−+ .

РЕШЕНИЕ. 1. После преобразований получим равносильное неравенство

0222

>+

−+ax

aax ,

которое при а ≠ 0 можно записать в виде

0)( 22

>+− −

axxa a

a

.

2. Последнее неравенство при а > 0 равносильно неравенству

022

>+− −

axx a

a

.

Легко проверить, что при а > 0 выполняется aaa

22 −<− , поэтому,

решая неравенство методом интервалов, получим ответ

),2(),(2

+∞−

∪−−∞aaa .

44

3. При а < 0 исходное неравенство равносильно неравенству

022

<+− −

axx a

a

.

Аналогично, при а < 0 выполняется aaa

22 −>− . Поэтому решение

неравенства имеет вид ),2(2

aaa

−− .

4. При а = 0 исходное неравенство принимает вид

022

22

<>−x

илиxx

x ,

откуда следует, что (–∞,0).

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞

−∪−−∞+∞∈

−∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−∞∈

.,2),(),0(

),0,(0

,,2)0,(

2

2

aaaaпри

aпри

aaaaпри


ax ≥−12 . (14)

РЕШЕНИЕ. 1. Если а ≤ 0, то неравенство (14) верно для любого

х ∈(–∞,+∞).

2. Пусть а > 0. Поскольку корнями левой части неравенства являются

x1 = –1 и х2 = 1, то разобьем числовую ось на три промежутка: х < –1,

–1 ≤ х ≤ 1, х > 1.

3. Если х ∈ (–∞, –1), то х2 – 1 > 0 и в этом случае неравенство (14)


⎩⎨⎧

−<≥−.1

,12

xax или

⎩⎨⎧

−<≥+−

.1,0)1(2

xax

Поскольку при а > 0 выражение а + 1 > 0, то решением первого

неравенства будет множество

45

),1[]1,( +∞+∪+−−∞ aa .

В пересечении со вторым неравенством, учитывая, что при а > 0

выполняется 11 −<+− a , получим ответ

]1,( a+−−∞ .

4. При х ∈ [–1,1] система (14) равносильна системе

⎩⎨⎧

≤≤−≥+−

.11,12

xax или

⎩⎨⎧

≤≤−≤−−

.11,0)1(2

xax

При 1 – а > 0 или 0 < а < 1 первое неравенство последней системы

имеет решение х ∈ [ aa −−− 1,1 ]. Поскольку при нашем условии, что 0 <

а < 1, выполняется неравенство 11 <− a , то в пересечении со вторым

неравенством системы мы получим ответ

[ aa −−− 1,1 ].

5. При а = 1 неравенство (14) примет вид 112 ≥−x . Оно равносильно

совокупности двух неравенств х2 – 1 ≥ 1 и х2 – 1 ≤ –1. Первое неравенство х2 –

2 ≥ 0 имеет решением два промежутка (–∞, – 2 ]U [ 2 ,+∞).

Второе неравенство х2 ≤ 0 имеет решением одну точку х = 0. Поэтому

решением совокупности этих неравенств будет объединение решений

каждого неравенства

(–∞, – 2 ]U{0}U [ 2 ,+∞).

6. И наконец рассмотрим случай х ∈ (1,+ ∞) при условии, что а > 0.

Тогда неравенство (14) равносильно системе

⎩⎨⎧

>≥−

.1,12

xax или

⎩⎨⎧

>≥+−

.1,0)1(2

xax

Аналогично пункту 3, получим решение этой системы

[ +∞+ ,1 a ).

поскольку при а > 0 верно неравенство 11 >+ a .

46

Объединяя все полученные решения, мы получим ответ для

неравенства (14).

ОТВЕТ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+∞+∪+−−∞+∞∈

∞+∪∪−−∞=

+∞+∪−−−∪+−−∞∈

+∞−∞−∞∈

).,1[]1,(),1(

),2[}0{)2,(1

),,1[]1,1[]1,()1,0(

),,()0,(

aaaпри

aпри

aaaaaпри

aпри

Полученный ответ геометрически иллюстрируется на рис. 18:

положение I соответствует случаю a ≤0, положение II случаю 0 < а < 1,

положение III — случаю а = 1, положение IV — случаю a > 1.

Рис. 18


12 +>+ xax .

РЕШЕНИЕ. 1. Данное неравенство равносильно совокупности двух

систем

⎩⎨⎧

≥+<+

,0,01

axx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+>+

≥+≥+

.)1()(4

,0,01

2xax

axx

2. Решим первую систему. При а ≤ 1 система решений не имеет, а при

а > 1 совместное решение неравенств этой системы дает ответ –а ≤х < –1.

47

3. Вторая система совокупности равносильна системе

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−+−

−≥≥

.0)41(2

,,1

2 axx

axx

Решим неравенство 0)41(22 <−+− axx . Квадратный трехчлен в левой

части этого неравенства принимает отрицательные значения только тогда,

когда его дискриминант строго больше нуля. Получим D = 4 – 4(1 –

4a) = 4a > 0. Поэтому вторая система имеет решения, только когда a > 0.

Решением последнего неравенства этой системы будет множество

(1 – 2 a , 1 + 2 a ).

4. При 0 < а ≤ 1 первые два неравенства второй системы дают

неравенство х ≥ –а, решением которого будет множество [–a, +∞). А

поскольку при а > 0 выполняется – а < 1 – 2 a , то решением всей системы

будет решение последнего неравенства

(1 – 2 a , 1 + 2 a ).

5. При а > 1 первые два неравенства дают неравенство х ≥ –1. А

поскольку при а > 1 выполняется 1 – 2 a < –1, то решением системы будет

множество

[–1, 1 + 2 a ).

6. Объединим решения первой и второй систем, получим ответ.

).21,[),1(

),21,21(]1,0(

,нетрешений]0,(

aaaпри

aaaпри

aпри

+−+∞∈

+−∈

−∞∈

7 Доказательство неравенств

Часто при доказательстве неравенств применяют метод сведения к

очевидному неравенству.

48

ПРИМЕР 7.1. Доказать, что если а, b, — положительные числа , то 333

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

≥+ baba .

РЕШЕНИЕ. Возведем в третью степень правую часть, а левую —

домножим и разделим на 4. Получим

833

8)(4 322333 babbaaba +++≥

+ .

Перенесем все в левую часть и приведем подобные члены, получим

08

3333 2323

≥−+− abbbaa .

Сгруппируем члены неравенства

0)(3)(3 22 ≥−−− babbaa , или 0))((3 22 ≥−− baba .

И мы пришли к очевидному неравенству

0))(( 22 ≥−− baba .

Очень часто при доказательстве неравенств используют уже известные


Определение 7.1 Средним арифметическим чисел а1,...,аn называется

число n

aaa n+++ K21 , средним геометрическим неотрицательных чисел

а1,...,аn называется число nnaaa L21 .

Решение многих задач опирается на известное неравенство Коши,

справедливое для любого набора неотрицательных чисел а1,...,аn:

naaa n+++ K21 ≥ n

naaa L21 .

ПРИМЕР 7.2. Доказать, что если а, b, с — неотрицательные числа, то

abcaccbba 8))()(( ≥+++ .

РЕШЕНИЕ. Из неравенства Коши следует, что справедливы неравенства

acacbccbabba≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 222

2,

2,

2.

49

Перемножим эти три неравенства, получим

( ) ( ) ( ) 222222

444cbaaccbba

≥+

⋅+

⋅+ .

От обеих частей этого неравенства возьмем квадратный корень,

получим

( ) ( ) ( ) abcaccbba≥

+⋅

+⋅

+222

.

Из этого неравенства следует, что

abcaccbba 8))()(( ≥+++ .

Что и требовалось показать.

8 Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Рассмотрим линейные неравенства с двумя переменными

0<++ CByAx (15)

0>++ CByAx (16)

Прямая 0=++ CByAx разделяет плоскость на две полуплоскости.

Поэтому в одной полуплоскости выполняется неравенство (15), а в другой

неравенство (16). Чтобы решить неравенство (15) или (16), достаточно взять

какую-нибудь точку ),( 111 yxM , не лежащую на прямой 0=++ CByAx , и

определить знак числа CByAx ++ 11 (очень часто в этом случае берут точку

),( yxM ).

Например, неравенство

01243 <−− yx

справедливо в полуплоскости, расположенной выше прямой 01243 =−− yx

(рис 19), так как при 0== yx выражение 1243 −− yx отрицательно.

50

Рис. 19

Рассмотрим систему неравенств

⎩⎨⎧

>++>++

,0,0

222

111

CyBxACyBxA

(17)

предполагая, что 0,0 22

22

21

21 >+>+ BABA . Тогда первому неравенству

системы (17) удовлетворяют точки полуплоскости M1, лежащие по одну

сторону от прямой l1, заданной уравнением

0111 =++ CyBxA .

Аналогично, множество M2 — одна из полуплоскостей, на которые

разбивается координатная плоскость прямой l2, заданной уравнением

0222 =++ CyBxA .

Множество решений системы (17) представляет собой пересечение

множеств М1 и M2.

ПРИМЕР 8.1. Решить систему неравенств

⎩⎨⎧

>+>−

.63,2

yxyx

(18)

РЕШЕНИЕ. Построим прямые l1 и l2 (рис. 20), заданные соответственно

уравнениями

,2=− yx (19)

.63 =+ yx (20)

51

Рис. 20

Решив систему уравнений (19), (20), получим х = 3, у = 1.

Следовательно, прямые l1 и l2 пересекаются в точке А(3,1).

Так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют ни одному из

неравенств системы (18), то этой системе удовлетворяют координаты тех и

только тех точек координатной плоскости, которые лежат ниже прямой l1 и

выше прямой l2, т.е. точки угла М с вершиной А на рис. 18.

ПРИМЕР 8.2. Изобразить на координатной плоскости фигуру Ф,

координаты (х, у) точек которой определяются неравенством

,0, >≤−+− RRbyax (21)

и найти площадь S фигуры Ф.

РЕШЕНИЕ. 1. Рассмотрим сначала случай а = b = 0. Тогда неравенство

(21) примет вид

0, >≤+ RRbx . (22)

Рассмотрим это неравенство в зависимости от знаков х и у. Множество

точек, удовлетворяющих условиям х ≥ 0, у ≥ 0, х + у ≤R, — это треугольник

ОАВ, образованный прямой х + у = R (рис. 21) и координатными полуосями

х = 0, у = 0, (х ≥ 0, у ≥ 0).

52

Рис. 21

Если х ≥ 0, у ≤ 0, то неравенство (22) примет вид

х – у ≤ R,

а множество точек таких, что х ≥ 0, у ≤ 0, х – у ≤ R, — это треугольник AOD,

симметричный треугольнику АО В относительно оси Ох

Аналогично рассматриваются случаи х ≤ 0, у ≥ 0 и х ≤ 0, у ≤ 0, которым

соответствуют треугольники ВОС и DOC, симметричные соответственно

треугольникам АОВ и AOD относительно оси Оу. (Заметим, что во всех

четырех случаях мы рассматривали системы неравенств.)

Таким образом, фигура Ф', определяемая неравенством (22),

представляет собой квадрат с центром в точке О(0,0) и вершинами A(R, 0),

В(0, R), С(–В,0), D(0, – R). Площадь этой фигуры равна S = 2R2.

2. Рассмотрим теперь неравенство (21). Так как фигуру Ф,

определяемую неравенством (21), можно получить из фигуры Ф', заданной

неравенством (22), с помощью параллельного переноса (сдвига на вектор (а,

b)), то Ф — квадрат с центром в точке (а, b) и вершинами A'(R + a,b), B'(a, R

+ b), С(а – R,b), D'(a,b – R). Площадь фигуры Ф, как и фигуры Ф', равна

S = 2r2. Для примера нарисуем квадрат (рис. 22), определяемый уравнением

312 <++− yx ,

с центром в точке (2,–1) и вершинами в точках А(5,–1), B(2,2), С(–1, –1),

D(2,–4). Площадь полученною квадрата будет равна S = 2 . 32 = 18.

53

Рис. 22

Рассмотрим систему, содержащую нелинейные неравенства.

ПРИМЕР 8.3. Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф,

заданную системой неравенств

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

>−

.2

,022

2

yx

xy

РЕШЕНИЕ. Первое неравенство системы (23) задает множество точек,

лежащих внутри параболы, задаваемой уравнением у = х2, поскольку точка с

координатами х = 0, у = 1 удовлетворяет этому неравенству. Второе

неравенство системы (23) задает множество точек, лежащих внутри

окружности с центром в начале координат и радиусом R = 2 . Поэтому

фигура Ф ограничена частью параболы и частью окружности (рис. 23)

Рис. 23

54

Математика: Неравенства

Модуль № 3 для 10 класса

Учебно-методическая часть

Составитель: Симона Глебовна Мысливец

Редактор: О.Ф.Александрова

Корректура автора

Подписано в печать 25.12.2006. Формат 60х84/16.

Бумага газетная. Печать ризографическая.

Усл. печ. л. 3,3.

Тиражируется на электронных носителях

Адрес в Internet: zensh.ru/resourses

Отдел информационных ресурсов управления информатизации КрасГУ

660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 22-05, e-mail: [email protected]

Издательский центр Красноярского государственного университета

660041 г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: [email protected]

tentetgel bih arga

Documents