teoría – tema 6 · 2019-12-23 · si, tras aplicar gauss y comprobar la ausencia de absurdos...

Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net

Asignatura: Matemáticas Ciencias – 2ºBachillerato

Teoría – Tema 6: Diapositivas proyectadas en clase

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Teoría – Tema 6

Ecuación lineal

Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de laforma:

a1 x1+a2 x2+a3 x3+...+an xn=c

Donde a1 , a2 , a3 , ... , an ,c son números reales.

En tres dimensiones suele expresarse x1=x , x2= y , x3=z .

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Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m-ecuaciones lineales y n-incógnitas es unconjunto de ecuaciones lineales m×n :

(a11 x1+a12 x2+a13 x3+...+a1n xn=c1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+...+a2n xn=c2

a31 x1+a32 x2+a33 x3+...+a3n xn=c3

..............................................am1 x1+am2 x2+am3 x3+...+amn xn=cm

)aij → coeficiente de la ecuación i de de la incógnita j

ci → término independiente de la ecuación i





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Notación matricial

(a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

) → Forma matricial del sistema

(a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

∣c1

c2

...cm

) → Matriz ampliada del sistema





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Diagonal principal del sistema de ecuaciones

Dado un sistema:

(a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

∣c1

c2

...cm

)Su diagonal principal está formada por los coeficientesque tienen el mismo número de fila que de columna:

a11 , a22 , a33 , ... ,amm





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Clasificación de sistemas de ecuaciones (parte 1 de 2)

Sea un sistema de m ecuaciones y n incógnitas.Si m=n tendremos una matriz del sistema cuadrada, escon el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.Si m≠n tendremos una matriz del sistema rectangular,donde el número de ecuaciones no coincide con elnúmero de incógnitas (puede haber más ecuaciones queincógnitas, o más incógnitas que ecuaciones).Si todos los términos independientes son nulos,hablaremos de sistema homogéneo. Dos sistemas de ecuaciones con las mismas solucionesson equivalentes.





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Clasificación de sistemas de ecuaciones (parte 2 de 2)

Si el sistema posee solución, hablamos de sistemacompatible. Si no hay solución, sistema incompatible.Si existe solución y es única, tendremos sistemacompatible determinado (S.C.D.). Si existen infinitas soluciones posibles, según el valor deal menos un parámetro libre, hablaremos de sistemacompatible indeterminado (S.C.I.).Si no hay solución, por aparecer absurdos matemáticos,tendremos sistema incompatible (S.I.)Los sistemas homogéneros siempre tienen, al menos, lasolución trivial: x=0 , y=0 , z=0, ...





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Resolución de un sistema por el método de Gauss

Supongamos, por simpleza, un sistema de tresecuaciones lineales y tres incógnitas.Resolverlo por Gauss significa aplicar, de manerarecurrente, el método de reducción. Hasta conseguir hacernulos los coeficientes que se encuentran por debajo o porencima de la diagonal principal.

(a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33∣c1

c2

c3) → Despejar una incógnita de cada fila





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Transformaciones lineales permitidas en el método de Gauss (parte 1 de 2)

• Multiplicar una fila por un número real, no nulo

• Cambiar el orden de las ecuaciones. Es decir, cambiarel orden de las filas de la matriz.

• Cambiar el orden de las incógnitas en todas lasecuaciones. Es decir, cambiar el orden de las columnasde la matriz.

• Sumar/Restar dos filas entre sí, multiplicadas cada unapor números reales: F ' i=a· F i+b· F j , a≠0 . ¡Ojo, noaplicar transformaciones con a=0 !





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Transformaciones lineales permitidas en el método de Gauss (parte 2 de 2)

• Eliminar una fila con todos los términos nulos.

• Si hay dos filas iguales, se puede eliminar una.

• Si hay dos filas proporcionales, se puede eliminar una.

• Si hay tres filas en combinación lineal, se puedeeliminar una. Una ecuación es combinación lineal delas demás cuando puede expresarse como suma dealgunas de las otras ecuaciones multiplicadas pornúmeros: F i=a · F j+b · F k → F i es combinación linealde F j y F k .





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Rango de un sistema de ecuaciones lineales

El rango de un sistema de ecuaciones, tras aplicarGauss y comprobar la ausencia de absurdosmatemáticos, es el número de ecuaciones sincoeficientes nulos.Ejemplo de absurdo matemático: 1=0El rango nunca puede ser mayor que el número deincógnitas del sistema.





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Rango y tipos de soluciones de un sistema

Si, tras aplicar Gauss, encontramos al menos una fila conun absurdo matemático, el sistema no tiene solución (S.I.).Si, tras aplicar Gauss y comprobar la ausencia deabsurdos matemáticos, el rango coincide con el númerode incógnitas, el sistema tendrá solución única (S.C.D.).Si, tras aplicar Gauss y comprobar la ausencia deabsurdos matemáticos, el rango es inferior al número deincógnitas, el sistema tendrá infinitas soluciones (S.C.I.).Siendo la diferencia entre incógnitas y rango el número deparámetros libres del sistema.Cada vez que resolvamos por Gauss, no debemosolvidar explicar adecuadamente esta teoría.





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Visión geométrica de los parámetros libres en sistemas 3x3

Sea un sistema lineal 3x3 de rango 2. La diferencia 3 - 2 =1 coincide con el número de parámetros libres del sistema(o grados de libertad). Geométricamente, la solución formauna recta (el grado de libertad es un vector paralelo a larecta).Sea un sistema lineal 3x3 de rango 1. La diferencia 3 - 1 =2 coincide con el número de parámetros libres del sistema(o grados de libertad). Geométricamente, la solución formauna plano (los dos grados de libertad son dos vectoresparalelos al plano).





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Discutir soluciones según el valor de un parámetro que aparece en los coeficientes del sistema

Ejemplo: {x+ y+(m+1)z=2x+(m−1) y+2 z=12 x+m y+ z=−1 }

Procedimiento a seguir:

1. Aplicar método de Gauss para obtener la matriz triangular.

2. Igualar a cero todos los coeficientes de la diagonal principal quedependan del parámetro m . Obtener valor de m en esos coeficientes.

3. Si hay fila de coeficientes nulos, donde el término independientetambién dependa de m , igualar el coeficiente a cero y obtener el valorde m .

4. Realizar discusión de casos según los valores de m . Ojo con posilesvalores que inhabiliten las transformaciones aplicadas en Gauss.





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Eliminar parámetros de las soluciones de un sistema (parte 1 de 2)

Estamos acostumbrados a que nos den un sistema deecuaciones, y debamos calcular su solución, ¿verdad?Y ya sabemos que, en algunos casos, el sistema poseeinfinitas soluciones y aparecen uno o más parámetroslibres en las soluciones.Ahora vamos a proceder de manera inversa: nos dan lassoluciones de un sistema SCI y debemos obtener elsistema de partida. Y en ese sistema no deben aparecerlos parámetros libres. ¿Cómo se hace? Consideramos los parámetros como incógnitas, aplicamosGauss y exigimos que el sistema sea compatible (es decir,que no posea ningún absurdo matemático).





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Eliminar parámetros de las soluciones de un sistema (parte 2 de 2)

Ejemplo:Eliminar los parámetros del sisguiente sistema:

{x=−p+3qy=p−2qz=p+qt=2q

}





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Resolver sistema por Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan consiste en aplicar el métodode Gauss tanto por debajo como por encima de ladiagonal principal. De esta forma, al tener una matriz decoeficiente diagonal, podremos despejar directamente decada fila una incógnita.





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Matrices (parte 1 de 3)

Una matriz es una entidad matemática formada porcoeficientes organizados en filas y columnas.

A=(2 −1 51 −1 37 7 −10 )

No es un sistema de ecuaciones 3x3, no nos líemos. Esuna matriz de 3 filas y 3 columnas.Cada fila o cada columna de una matriz se pueden vercomo las componentes de un vector. Por lo tanto, unamatriz es una forma de expresar un conjunto devectores.





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Una matriz cuadrada tiene mismo número de filas que decolumnas. Hablaremos de matrices cuadradas de orden n(donde n es el número de filas y columnas).Una matriz rectangular tiene distinto número de filas quede columnas. Hablaremos de matrices rectangulares deorden m×n (donde m es el número de filas y n el númerode columnas).Dos matrices son iguales si podeen el mism orden y suscoeficientes son iguales uno a uno. Es decir:A=B si (aij)=(bij) , ∀ i , j .





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Dada la matriz A=(aij) de orden m×n , se llamatraspuesta de A y la representamos por At , a la matrizque se obtiene cambiando filas por columnas.Una matriz simétrica es una matriz cuadrada quecoincide con su traspuesta. Es decir: A=At . Es obvio quesolo las matrices cuadradas pueden ser simétricas.

Si A=−At se dice que A es antisimétrica.La matriz identidad o unidad de orden n es una matrizcuadrada de n-filas y n-columnas, donde todos loscoeficientes son nulos, salvo los de la diagonal principalque valen 1. Se representa por la letra I .





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Producto de un número por una matriz

Si multiplico un número k ∈ℝ por una matriz A ,simplemente debo multiplicar cada coeficiente de la matrizpor el número.Ejemplo:

k=2 , A=(2 −1 51 −1 37 7 −10 ) → 2 · A=(

4 −2 102 −2 6

14 14 −20)





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Suma y resta de matrices

Solo podemos sumar/restar matrices que coincidan enel número de filas y en el número de columnas. Esdecir, puedo operar A+B si el número de filas de Acoincide con el número de filas de B , y si el número decolumnas de A coincide con el número de columnas de B¿Y cómo se suma/resta?Término a termino.Ejemplo:

A=(2 −1 51 −1 3) , B=(0 2 −1

2 3 3 ) → Calcular A+B , A−B





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Producto de matrices (parte 1 de 2)

El producto de matrices no es conmutativo. Es decir, porlo general: A· B≠B· A .Solo podemos multiplicar matrices donde el número decolumnas de la primera coincida con el número de filas dela segunda. El resultado será una nueva matriz con elnúmero de filas de la primera y el número de columnas dela segunda... vaya trabalenguas...Am×n · Bn× p=C m× p





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Producto de matrices (parte 2 de 2)

¿Cómo multiplicar?Los coeficientes de la primera fila de la primer matriz semultiplican con los coeficientes de la primera columna dela segunda matriz, y se suman los resultados de cadaproducto.Y así hasta terminar con todas las filas y columnas.Ejemplo:

(2 −1 51 −1 3 ) · (

2 −1 51 −1 31 −3 4 )





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División de matrices

No existe la división de matrices.Jamás de los jamases podemos escribir una división dematrices. Never, never, never.





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Escribir un sistema de ecuaciones como una ecuación de matrices

Dado un sistema de ecuaciones, por ejemplo de tresecuaciones y tres incógnitas, podemos escribirlo comouna ecuación de matrices.

{2 x+ y+3 z=1

−2 x+ y+3z=−24 x+6 y−z=4 } → (

2 1 3−2 1 34 6 −1 ) · (

xyz )=(

1−24 ) → A· X =C

Donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz deincógnitas y C la matriz de términos independientes.





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Matriz identidad o matriz unidad

Una matriz identidad de orden n, es un matriz cuadrada den-filas y n-columnas donde todos los coeficientes sonnulos, salvo los de la diagonal principal que valen 1.

En dos dimensiones → I=(1 00 1 )

En tres dimensiones → I=(1 0 00 1 00 0 1 )

Cualquier matriz multiplicada por la identidad, da la matrizde partida → A· I=I · A=A





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Matriz inversa de una matriz cuadrada y utilidad para resolver sistemas de ecuaciones SCD consolución única (parte 1 de 3)

Dada una matriz cuadrada de orden n llamada A , sedefine su matriz inversa A−1 como aquella que cumple:

A· A−1=A−1 · A= I → Si existe, la inversa es única.

Es decir: la matriz A por su inversa A−1 , da la matrizidentidad. Y la matriz inversa A−1 por la matriz A da lamatriz identidad.Propiedades:

(A−1)−1

=A

(A+B)−1

≠A−1+B−1

(A· B)−1

=B−1 · A−1





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¿Qué utilidad podemos sacar a la matriz inversa?Para despejar sistemas de ecuaciones que sean SCD.Si ese sistema se puede expresar con la ecuaciónmatricial:A· X =C

Si multiplicamos por la izquierda por A−1 (muyyyyyyimportante el lado por donde se multiplica), podremosdespejar la matriz de incógnitas.

A−1 · A· X =A−1 C → I · X =A−1C → X =A−1 C





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Ejemplos:Practica aplicando matriz inversa para despejar la matrizde incógnitas X .a) X · A=Cb) A· X +B=Cc) (A+B)· X =Cd) A· X + X =Ce) X · A+ X =C





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Rango y matriz inversa (parte 1 de 2)

¿Todas la matrices admiten inversa?No, solo las matrices cuadradas pueden tener inversa.¿Todas la matrices cuadradas admiten inversa?No, solo aquellas matrices cuadradas de orden n cuyorango sea igual a n.¿Y cómo obtener el rango de una matriz?Aplicando el método de Gauss y comprobando cuantasfilas no nulas quedan tras obtener la matriz triangular.Es decir, una matriz cuadrada de orden 2 admite inversa sisu rango es 2. Una matriz cuadrada de orden 3 admiteinversa si su rango es 3. Etc.





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Rango y matriz inversa (parte 2 de 2)

Ejemplos:Comprueba el rango de las siguientes matrices cuadradasy decide si admiten o no inversa:

a) A=(1 2 31 1 −23 1 1 )

b) A=(1 2 33 1 04 3 k ) → Discusión de casos según valor de k





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Obtener inversa por método directo

Si aplicamos la definición de matriz inversa, podemosplantear un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas seanlos coeficientes de la matriz inversa.Este método es especialmente práctico en matrices dedimensión 2.Ejemplos: Obtener la inversa de las siguientes matrices.

a) A=(1 21 1 )

b) A=(1 2 31 1 −23 1 1 )





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Obtener inversa por Gauss-Jordan

Este método consiste pasar, mediante transformacioneslineales entre las filas, del par matricial A∣I al par matricialI∣A−1 .

Ejemplos: Obtener la inversa de las siguientes matrices.

a) A=(1 21 1 )

b) A=(1 2 31 1 −23 1 1 )





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Matriz traspuesta

Dada una matriz Am×n de m-filas y n-columnas, su matriztraspuesta At es la resultante de intercambiar sus filaspor sus columnas.Cualquier matriz admite traspuesta.Propiedades:

(A−1)

t=(At

)−1

(A+B)t=At

+Bt

(A· B)t=Bt · At

Rango(A)=Rango(At)

Si A−1=At → Se dice que la matriz A es ortogonal





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Matriz como conjunto de vectores (parte 1 de 3)

Además de estudiar los sistemas de ecuaciones connotación matricial, hemos definido las matrices comoentidades matemáticas de números distribuidos en filas ycolumnas.Podemos ver las filas (o las columnas) como vectores. Así,cada coeficiente sería la componente de un vector.Algunas cosas interesantes a recordar sobre vectores(que ya vimos en 1ºBachillerato y que ampliaremos en elbloque de Geometría tridimensional)

• En vectores de n-componentes, el máximo rangoposible es n.





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• Si n-vectores tienen rango n, son linealmenteindependientes. En caso contrario, son linealmentedependientes.

• Si n-vectores con n-componentes tienen rango n,forman una base, que es la forma más compactaposible de representar cualquier vector del espaciovectorial de dimensión n.

• El rango de una matriz coincide con el número devectores linealmente independientes que la forman.

• En una matriz Am×n el rango puede ser, como máximo,igual al menor valor entre m y n





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Ejemplos:Estudia el rango de los siguientes vectores según k :a) u⃗=(1,7) , v⃗=(k ,−10)

b) u⃗=(1,0 ,1) , v⃗=(4,6 ,0) y w⃗=(5,6 , k )





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Concepto de submatriz

Dada una matriz A , una submatriz es cualquier matrizcontenida dentro de la matriz A .Si la submatriz es cuadrada con n-filas y n-columnas, sehabla de submatriz de orden n.Por ejemplo:

A=(1 2 31 1 −23 1 1 )

¿Cuántas submatrices de orden 1 posee?¿Cuánta submatrices de orden 2 posee?¿Cuánta submatrices de orden 3 posee?





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Sistemas de ecuaciones matriciales

Se resuelve como cualquier sistema, sabiendo que lasincógnitas son matrices.Ejemplo:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales.

X +Y =(2 −31 4 )

2 X −Y =(1 02 2 )





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Matriz n-ésima (parte 1 de 2)

Dada una matriz, ¿cuál será la matriz resultante si la elevoa un exponente n?Para ello, recurrimos a un viejo amigo: la demostración porinducción. Planteamos una hipótesis para An y:1. Comprobamos que se cumple para n=1.2. Suponemos cierto para n.3. Demostramos el término (n+1) a partir de término n ydel término n=1.





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Matriz n-ésima (parte 2 de 2)

Ejemplo: Calcular An , con n∈ℕ .

a) A=(1 a0 1 ) b) A=(a 1

0 a ) c) A=(1 1 11 1 11 1 1)

Ejemplo: Sea A=(1 10 1 ) . Calcular A+A2

+ A3+..+ An

Ejemplo: Sea A=(5 00 1 ) . Calcular A+A2

+ A3+..+ An


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