teor°a de errores ffe

Teora de ErroresCurso 2013-2014

Fundamentos Fsicos de las Estructuras

*Teora de ErroresNOCIONES FSICAS DEL SONIDO

Teora de Errores*ndiceMedidas experimentales.Tipos de errores.Expresin de resultados y errores.Presentacin de resultados: tablas y grficas.Interpolacin lineal.Mtodo de los mnimos cuadrados. Memoria de prcticas.

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Teora de Errores*1. Medidas experimentalesObjetivo de la FsicaDescribir y cuantificar los fenmenos fsicos. Hay que medir lo observado.

A la Fsica se la denomina ciencia de las medidas.

El objetivo de una experiencia es, en general, conocer el valor que tiene una determinada magnitud fsica.

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Teora de Errores* 1. Medidas experimentales

Medir cualquier magnitud: comparar con otra magnitud de la misma naturaleza que se toma como patrn.

El valor exacto de una medida es un concepto utpico pues siempre tiene un cierto grado de incertidumbre o error.

Por tanto, adems del valor de la medida efectuada se necesita otro valor asociado que nos garantice la fiabilidad de ste.

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Teora de Errores* 1. Medidas experimentalesHay que definir tres conceptos asociados a una medida experimental: exactitud, sensibilidad y precisin.ExactitudEs la cercana del valor experimental obtenido con el valor exacto de dicha medida.

Dicho valor exacto es imposible conocerlo sin incertidumbre alguna.

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Teora de Errores* 1. Medidas experimentalesSensibilidadEs la unidad ms pequea que puede detectar un instrumento de medida.La sensibilidad es un concepto relacionado con el dispositivo de medida.

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Teora de Errores* 1. Medidas experimentalesPrecisinSe entiende como la repeticin, dentro de los mrgenes ms estrechos posibles, de los resultados experimentales obtenidos al realizar varias veces una misma medida.La precisin tambin hace referencia al mtodo experimental utilizado.

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Teora de Errores* 2. Tipos de errores

Es un error que se produce de igual modo, por exceso o por defecto, en todas las medidas que se realizan de una magnitud.

Su origen es un defecto del instrumento de medida, una particularidad del observador o del proceso de medida, etc. Se pueden eliminarError sistemtico

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No disminuye si se aumenta el tamao de la muestra.

Se pueden corregir.

Da lugar a inexactitud en la medida.Error sistemtico

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Es un error que se produce a veces por exceso y otras por defecto, de forma aleatoria, en todas las medidas que se realizan de una magnitud.

Su origen est en situaciones imposibles de controlar durante el proceso de medicin, tales como las condiciones experimentales o del propio objeto medido.Error accidental o aleatorio

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Disminuye si se aumenta el tamao de la muestra.

No se pueden evitar.

Da lugar a la imprecisin de la medida.Error accidental o aleatorio

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Error absoluto: es la diferencia entre el valor exacto y el valor obtenido para la medida. Se denota como Ea

Tiene la misma unidad que la medida.Objetivo del clculo de errores:Acotar el intervalo de valores dentro del cual es fiable nuestra medida experimental.

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Teora de Errores* 2. Tipos de erroresError relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor medido. Se suele expresar en tanto por ciento. No tienen unidades (es adimensional).

Da idea de la calidad de la medida.

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Teora de Errores*El error absoluto se coloca detrs de la medida precedido por el signo ().Resultado = Medida Ea unidades (SI)Cifras significativas del error:1 cifra: habitualmente en todos los casos, excepto 2 cifras: si la primera es 1 o si la primera es 2 y la siguiente es menor que 5. 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*Adems el valor de la medida debe tener slo las cifras necesarias para que su ltima cifra significativa sea del mismo orden de magnitud que la ltima del error absoluto, llamada cifra de acotamiento del valor.

Detrs de la medida y el error se coloca el smbolo de la unidad (SI). 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*

Si la primera cifra descartada es menor que 5 se queda igual la cifra anterior.

Si la primera cifra descartada es mayor o igual que 5 se suma 1 a la ltima cifra no descartada.

3. Expresin de resultados y erroresRedondeo

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Teora de Errores*Cifra ms significativa:Cifra ms a la izquierda que no sea 0.

Cifra menos significativa:Si no hay coma decimal, la cifra ms a la derecha que no sea 0.Si hay coma decimal, la cifra ms a la derecha aunque sea 0.

Nmero de cifras significativas:Es el nmero de cifras desde la ms significativa a la menos significativa. 3. Expresin de resultados y erroresLas cifras significativas determinan el nmero de cifras relevantes que posee una medida.

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Teora de Errores*Multiplicacin o divisin: el n de cifras significativas del resultado viene determinado por el factor que tenga menor nmero de cifras significativas. Ej: 2,83 15,2462 = 43,1

Suma o resta: el resultado se expresa con un nmero de decimales igual al del sumando con el menor nmero de decimales. Ej: 37,5 + 8,77 = 46,3 3. Expresin de resultados y erroresLas cifras significativas permiten estimar las cifras relevantes que tiene el resultado de una operacin matemtica.

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Teora de Errores* 3. Expresin de resultados y erroresEjemplo: cifra ms significativa +cifra menos significativa -(*) n de cifras significativas

32153215,432000,0323200,018,000,180+xx-+xxx,-+-xxx,x+-+xxx,-+x,x-x,+x-4(*)522543

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Teora de Errores*Ejemplo: valores correctos e incorrectos de resultados experimentalesIncorrecto Correcto 2,418 0,122 2,42 0,12 7,3 0,085 7,30 0,09 428,351 0,27 428,4 0,3 356,1262 0,2719 356,1 0,3 1548 31 1550 30 293430500 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*

Medida directa: se determina con la aplicacin de un nico instrumento de medida (metro, balanza, cronmetro, ampermetro, voltmetro, etc.).

Medida indirecta: es el resultado de la aplicacin de una frmula.hD 3. Expresin de resultados y erroresMedidas directas e indirectas

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Teora de Errores*Cuntas medidas es necesario realizar?

Se realizan tres medidas:

Clculo de la dispersin absoluta:

Clculo del valor medio: 3. Expresin de resultados y erroresError absoluto de una medida directa

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Teora de Errores*

Clculo de la desviacin relativa:

3. Expresin de resultados y erroresPara valores de T superiores al 8%, lo adecuado es intentar descubrir la causa y corregirla en la manera de lo posible.

Desviacin relativaN de medidasT < 2%32% < T < 8%68% < T < 15%1515% < T 50

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Teora de Errores*Valor medio:

Desviacin media:

3. Expresin de resultados y erroresValor experimental a partir de n medidas:

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Teora de Errores*Error absoluto: es el valor ms grande entre la sensibilidad del instrumento y la desviacin media de las medidas efectuadas.

La medida se expresa como:

3. Expresin de resultados y erroresEl error absoluto de una medida directa nunca puede ser menor que la sensibilidad del instrumento de medida.

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Error de medidas directasS=0.1 cm

Entre 3.8 y 3.9

L=3.8 0.1 cm

*Teora de ErroresNOCIONES FSICAS DEL SONIDO

Teora de Errores*La medida indirecta de una magnitud se obtiene por la aplicacin de una frmula que relaciona sta con otras magnitudes medibles directamente.

El error absoluto de una medida indirecta se aproxima a la diferencial de la funcin. EJEMPLO 3. Expresin de resultados y erroresError absoluto de una medida indirecta

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Teora de Errores*Sea la magnitud z = f(x,y,t).El error absoluto de dicha magnitud es: 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*Ejemplo: clculo del error absoluto del volumen de un cilindro. 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*Reglas para el clculo del error absoluto de las cuatro operaciones aritmticas. 3. Expresin de resultados y errores

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Teora de Errores*Los resultados de las medidas experimentales se agrupan en forma de tabla, ya que esta presentacin permite una mejor comprensin y posterior anlisis de resultados.

En la cabecera de la tabla se indican las magnitudes medidas, sus unidades y sus errores.

As se evitan las reiteraciones en las unidades y en los errores. 4. Presentacin de resultados

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Teora de Errores*Es conveniente colocar al pie de la tabla una frase o ttulo explicativo que indique a que se refiere.

Sirven de paso intermedio para una posterior representacin grfica.

La tabla debe contener la mxima informacin posible sin sobrecargarla demasiado. 4. Presentacin de resultados

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Teora de Errores*Densidad de un lquido en funcin de la temperaturaEjemplo de tabla: 4. Presentacin de resultados

T 0,2 (C)d 0,0001 (g/cm3)40,00,992230,00,995720,00,998210,00,9997

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Teora de Errores*La representacin grfica es un mtodo eficaz y adecuado para presentar y analizar los datos.

Las grficas se utilizan para interpolar valores, discutir errores y visualizar funciones analticas que mejor aproximan las medidas experimentales.

Las normas que deben observarse para realizar una correcta representacin grfica son las siguientes: 4. Presentacin de resultados

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Teora de Errores*Las grficas se realizan en papel milimetrado.

La variable independiente se coloca siempre en el eje de abcisas, y la dependiente en el eje de ordenadas; nunca al revs. 4. Presentacin de resultadosLas normas que deben observarse para realizar una correcta representacin grfica son las siguientes:

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Teora de Errores*Es necesario colocar las divisiones en la escala pero no los valores de los puntos experimentales medidos, para no ensuciar los ejes coordenados.

Hay que elegir la escala convenientemente para aprovechar al mximo el papel, evitando dejar espacios desaprovechados.

La escala debe ser simple, por ejemplo de uno en uno o de dos en dos. 4. Presentacin de resultados

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Teora de Errores*Los valores se localizan por un punto y por su barra/rectngulo de error, que tendr de base desde x-Ex hasta x+Ex y de altura desde y-Ey hasta y+Ey.

No se unen los puntos con una lnea quebrada. 4. Presentacin de resultados

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Teora de Errores*Densidad (g/cm3)Temperatura (C)

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Grfico2

0.9922

0.9957

0.9982

0.9997

Temperatura (C)

Densidad (g/cm3)

Clculos

4

0.2

0.0001

XiYiXi^2Yi^2Xi.YiY'i = Yi - bXi.Y'i

400.992216000.9844608439.688-0.0105-0.42

300.99579000.9914184929.871-0.007-0.21

200.99824000.9964032419.964-0.0045-0.09

100.99971000.999400099.997-0.003-0.03

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

SumaSumaSumaSumaSumaSumaSuma

1003.985830003.9716826699.52-0.025-0.75

a =-0.00025Error absoluto de a =0.0000016667

b =1.0027Error absoluto de b =0.0000916667

r =-0.9843740387

&C&14Mtodo de los Mnimos cuadrados.Vlido para hasta 15 pares de datos

Ecuacin:Y =a .X + b

Nmero de Datos N =

Introducir error absoluto de las Xi =

Introducir error absoluto de las Yi =

INSTRUCCIONES:a) No es necesario introducir el nmero de pares de valores. El programa lo calcula.b) En las casillas F2 y F3 hay que introducir los errores de las Xi y de las Yi, respectivamente.c) En la columna A se introducen los valores de las Xi.d) En la columna B se introducen los valores de las Yi.El programa hace el resto.

Error en X

Error en Y

Grficas

Pendiente=-0.00025Ordenada en el origen=1.0027

Grficas

0.9922

0.9957

0.9982

0.9997

Temperatura (C)

Densidad (g/cm3)


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Teora de Errores*Un problema tpico en fsica se presenta cuando es necesario conocer el valor de una magnitud para valores que no se han determinado experimentalmente.

Por ejemplo, si queremos conocer la variacin de la densidad de un lquido con la temperatura, efectuamos medidas cada 10 C. El problema de interpolacin es obtener la densidad a 25 C sin tener que volver a medir.

5. Interpolacin lineal

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Teora de Errores*La interpolacin lineal consiste en suponer que la funcin entre dos medidas sucesivas es una recta. 5. Interpolacin lineal

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Teora de Errores*Ejemplo: Calcular la densidad para T=25 C 5. Interpolacin linealDensidad de un lquido en funcin de la temperaturaT=25 C

T 0,2 (C)d 0,0001 (g/cm3)40,00,992230,00,995720,00,998210,00,9997

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Teora de Errores* 5. Interpolacin lineal

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Teora de Errores*Muchas veces es preciso trabajar analticamente con curvas obtenidas experimentalmente.

Esa curva se corresponde con una ley fsica, cuya funcin analtica es con frecuencia una recta del tipo y=mx+n

Por ello, hay que ajustar los puntos obtenidos a esa recta de forma que el error introducido al realizar el ajuste sea mnimo. 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

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Teora de Errores*El mtodo de los mnimos cuadrados soluciona este problema.

Se trata de obtener el par de valores que caracteriza una recta y=mx+n (pendiente m y ordenada en el origen n) a partir de una serie de pares de puntos (xi, yi) que se han obtenido experimentalmente.

La recta obtenida es la que mejor se ajusta a los valores experimentales y se denomina recta de regresin. 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

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Teora de Errores*y = mx+nLa suma de las distancias verticales de cada punto a la recta, elevada al cuadrado, debe ser mnima. N medidas(xiExi, yiEyi) 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

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Teora de Errores*Condicin de mnimo: 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

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Teora de Errores*Clculo de errores de m y n:

Si n=0 y = mx 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

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Teora de Errores*Sirve para evaluar la bondad del ajuste.

El ajuste es mejor cuanto ms prximo sea el mdulo del coeficiente de correlacin a 1. 6. Mtodo de los mnimos cuadradosCoeficiente de correlacin

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Teora de Errores*Ejemplo: Hallar la recta de regresin que mejor ajusta los siguientes puntos. 6. Mtodo de los mnimos cuadrados

x 0,1y 0,23,04,04,05,68,09,510,011,0

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Teora de Errores*Encabezamiento: Apellidos y nombre, ttulo de la prctica, fecha, grupo (da y hora).

Objetivo: Qu se desea verificar con la prctica.

Montaje experimental: Breve descripcin. 7. Memoria de prcticasIdea bsica: un experimento siempre debe poder reproducirse, con datos y conclusiones anlogas, a partir de la descripcin que se haga del mismo.Apartados de la memoria de prcticas:

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Teora de Errores* 7. Memoria de prcticasProcedimiento: Comentarios sobre como se hizo la prctica, problemas encontrados, etc.

Datos: En tablas, con las unidades y errores.

Grficos: Segn las instrucciones dadas.

Clculos: Traza de las operaciones realizadas.

Resultados: Respuestas a las cuestiones planteadas.

Conclusiones: Discusin sobre los resultados obtenidos.

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Teora de Errores*Prctica 1Determinacin del volumen, acotando su error, de una moneda de 1 euro.

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Teora de Errores*En primer lugar se determinan los valores del dimetro y del grosor de la moneda, con sus respectivos errores (medidas directas). Una vez conocidos D ED y h Eh se calcula el volumen de la moneda (medida indirecta).

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Teora de Errores*Prctica 2Las longitudes de un muelle sometido a diferentes pesos son las siguientes:

Representar grficamente los datos.Realizar el ajuste a una recta por el mtodo de mnimos cuadrados. Determinar el valor de la constante del muelle y la longitud inicial del mismo.

Peso 0,1 N3,05,07,09,011,013,0Longitud 0,1 cm6,47,08,210,212,115,0

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Teora de Errores*Constante del muelle: K EKLongitud inicial del muelle: L0 ELo

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