teorario di fisica tecnica -...
TRANSCRIPT
Teorario di Fisica Tecnica
A cura di Tobia Piccoli
1
Indice
Equazione di conservazione della massa
Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale
Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temperatura dellepareti uniforme
Formula dell'umidità speci�ca di una miscela di aria umida in funzionedell'umidità relativa
Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana di spes-sore L e super�cie in�nita, in condizioni stazionarie, è una funzione lineare
Ricavare l'equazione dell'umidi�cazione adiabatica e dimostrare che la trasfor-mazione è approssimabilmente una isoentalpica
Formula della temperatura in funzione del tempo per il ra�redamento diun corpo omogeneo immerso in un �uido a temperatura costante, ipotizzando iparametri concentrati
Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale
Formula scambio termico radiativotra due super�ci nere
Relazione tra coe�ciente di e�etto utile di una pompa di calore e quello diuna macchina frigorifera, supponendo che operino tra le stesse temperature
Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso stazionario
Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma
Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo Brayton-Joule in fun-zione del rapporto di compressione
Ricavare il calore speci�co di una politropica
Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una super�cie di�usa
Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti
Ricavare l'entalpia dell'aria umida
Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto di compres-sione volumetrico
Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron
Funzionamento di uno psicrometro di Assman
Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica
2
Equazione di conservazione della massa
Si consideri un sistema aperto come in �gura:
Si suppone che almeno nelle sezioni di ingresso ed uscita vi sia equilibriotermodinamico. In un certo intervallo dτ entrerà nel sistema una massa dm1 e viuscirà una massa dm2. Si considera in τ0, il sistema costituito dal sistema apertopiù un volumetto del sistema che contenga la massa dm1. Si può immaginareche questa massa de�uisca in un tempo dτ . Così all'istante τ0 + dτ il sistemasarà quello della terza �gura, ossia un sistema aperto più un volume �nitocontenente la massa dm2 (uscita anch'essa nel tempo dτ). Nel primo caso (cioèper il sistema della seconda �gura), posta Ms la massa del sistema chiuso:
Ms|τ0 = dm1 +(´VρdV
)τ0
mentre nel caso successivo (terza �gura) la massa sarà data da
Ms|τ0+dτ= dm2 +
(´VρdV
)τ0+dτ
Valendo per i sistemi chiusi il postulato di conservazione della massa, sipossono eguagliare le due espressioni:
dm1 − dm2 =(´VρdV
)τ0+dτ
−(´VρdV
)τ0
E' possibile scomporre in serie di Taylor (solo i primi due termini) il volumeaperto all'istante τ0 + dτ :(´
VρdV
)τ0+dτ
=(´VρdV
)τ0
+ δδτ
(´VρdV
)τ0dτ
e sostituire nell'espressione precedente, ottenendo:
dm1 − dm2 = δδτ
(´VρdV
)τ0dτ
e riarrangiando:•m1 −
•m2 = δ
δτ
(´VρdV
)τ0
Nel caso si abbiano più sezioni di ingresso edi uscita si generalizza:∑i
•mi = δ
δτ
(´VρdV
)ed in condizioni di �usso stazionario:∑i
•mi = 0
3
Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale
Dati due stati della trasformazione:
lt = −´ 2
1v dp = −RT
´ 2
1dpp = RT ln p1
p2= RT ln v1
v2
4
Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temper-
atura delle pareti uniforme
Sia un cilindro cavo di lunghezza L, raggio esterno r2, raggio interno r1, tem-peratura della super�cie interna Ts1 e temperatura della super�cie esterna Ts2,queste ultime supposte uguali in tutti i punti delle relative super�ci. L'equazionedi Fourier in coordinate cilindriche, per questo caso, si scrive come:
1rddr
(dr dTdr
)= 0
che integrata diventa:dTdr = C1
kr
re-integrando:
T (r) = C1
k ln r + C2
Con le ipotesi iniziali si ha:{T (r1) = C1
k ln r1 + C2
T (r2) = C1
k ln r2 + C2
Che risolta permette di trovare le costanti:
C1 = k Ts1−Ts2lnr1r2
C2 = Ts2 − Ts1−Ts2lnr1r2
ln r2
che sostituite nella soluzione dell'equazione di�erenziale iniziale, permettonodi ottenere l'andameto della temperatura lungo la parete:
T (r) = TS1−TS2
lnr1r2
ln rr2
+ Ts2
5
Piani T - s e p - h ciclo inverso a vapore e formula del coe�ciente
di e�etto utile
Si de�nisce il calore assorbito, detto e�etto frigorifero, come:
qo = h2 − h1
il lavoro tecnico, necessario per la compressione isoentropica del �uido dallapressione p0alla pressione p1, è:
|l23| = h3 − h2
ed il coe�ciente di e�etto utile per il ciclo sarà:
εfr = q0|l23| = h2−h1
h3−h2
6
Formula dell'umidità speci�ca di una miscela di aria umida in fun-
zione dell'umidità relativa
Date:
x = mvma
; umidità speci�ca, mv massa vapor d'acqua e ma massa aria seccanel volume di aria umida
ϕ = mvms
; umidità relativa, ms massa di vapore che nelle stesse condizioni(T,V) sarebbe presente in saturazione
quindi:
x = mvma
= ρvρa
= pvVRvT
RaTpaV
= RaRv
pvpa
= 0.622 pvp−pv
si riscrive l'umidità relativa come:
ϕ = mvms
= pvVRvT
RvTpsV
= pvps
; ps pressione di saturazione
da cui:
pv = ϕps
che sostituita nell'espressione dell'umidità speci�ca permette di ottenere:
x = 0.622 ϕpsp−ϕps
7
Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana
di spessore L e super�cie in�nita, in condizioni stazionarie, è una
funzione lineare
Partendo dall'equazione di Fourier, posta nulla la genereazione di calore esupposte note le temperature a parete Ts1e Ts2:
d2Tdx2 = 0
integrando:dTdx = C1
ed integrando nuovamente:
T (x) = C1x+ C2
Si impongono quindi le condizioni al contorno:
T = Ts1; per x = 0T = Ts2; per x = L
che permettono di scrivere il sistema:{Ts1 = C2
Ts1 = C1L+ C2
che sostituite nell'equazione integrale restituiscono l'andamento della tem-peratura:
T (x) = (Ts2 − Ts1) xL + Ts1
funzione di x e chiaramente lineare
8
Ricavare l'equazione dell'umidi�cazione adiabatica e dimostrare
che la trasformazione è approssimabilmente una isoentalpica
Si parte scrivendo il sistema delle equazioni di bilancio; i termini con pedice2 sono riferiti alla sezione di uscita, mentre quelli con pedice 1 sono riferiti aquella di ingresso:
•ma2h2 −
•ma1h1 −
•mlhl =
•Q Equazione dell′energia
•ma2 −
•ma1 = 0 Conservazione della massa di aria secca
•ma2x2 −
•ma1x1 −
•ml = 0 Conservazione della massa d′acqua
essendo la trasformazione adiabatica si ha•Q = 0 perchè è il calore scambiato
con l'ambiente. Inoltre dall'equazione di conservazione della massa di aria secca:•ma2 =
•ma1 ⇒
•ma2 =
•ma1 =
•ma
e quindi il sistema si può riscrivere ridurre a:{ •ma (h2 − h1) =
•mlhl
•ma (x2 − x1) =
•ml
ossia:
hl = h2−h1
x2−x1
Essendo le entalpie dell'aria e dell'acqua dello stesso ordine di grandezza,mentre x2 − x1 è molto più piccolo (almeno 3 ordini di grandezza), si puòtrascurare hl, dimostrando che la trasformazione è pressochè isoentalpica
9
Formula della temperatura in funzione del tempo per il ra�reda-
mento di un corpo omogeneo immerso in un �uido a temperatura
costante, ipotizzando i parametri concentrati
Si suppone che la temperatura del corpo sia uniforme e la capacità termicadel �uido di ra�reddamento sia elevata (così da poter considerare T∞ costante).Applicando il primo principio della termodinamica:
−•Eout =
•Est
dove•Eout è la potenza termica uscente dal sistema (quindi negativa) e
•Est
la variazione di energia del sistema. Essendo la potenza uscente dovuta a con-vezione,si può scrivere:
−hAs (T − T∞) = ρV cdTdτsi applica un cambio di variabile:
θ = T − T∞ ⇒ dθdτ = dT
dτ
e si può riscrivere il bilancio come:dθdτ = −hAsρV c
che si risolve per separazione di variabili e si integra:´ θθidθθ = −hAsρV c
´ τ0dτ
ln θθi
= −hAsρV c τ
θθi
= e−[hAsρV c ]
e quindi l'andamento della temperatura nel tempo è:
T−T∞Ti−T∞ = e−[hAsρV c ]
10
Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale
Dalla de�nizione di lavoro tecnico:
lt = −´ 2
1vdp = p
1k1 v1
´ 2
1p−
1k dp
kk−1 p
1k1 v1
(pk−1k
2 − pk−1k
1
)= k
k−1 p1v1
[(p2
p1
) k−1k − 1
]= k
k−1 RT1
[(p2
p1
) k−1k − 1
]
11
Formula scambio termico radiativo tra due super�ci nere
Date due super�ci nere di area Ai e Aj , temperatura Ti e Tj e potere emissivoEi e Ej , la potenza termica che lascia la super�cie i ed incide sulla super�cie jè:
qi→j = EbiAiFij
mentre la potenza che lascia la suer�cie j ed incide sulla super�cie i vale:
qj→i = EbjAjFji
quindi la potenza netta scambiata sarà semplicemente:
qij = qi→j − qj→ie sostituendo le espressioni precedenti:
qij = EbiAiFij − EbjAjFjiper la reciprocità si ha AiFij = AjFji da cui si ottiene la formula:
qij = AiFij (Ebi − Ebj) = AiFijσ(T 4i − T 4
j
)
12
Relazione tra coe�ciente di e�etto utile di una pompa di calore
e quello di una macchina frigorifera, supponendo che operino tra le
stesse temperature
Le de�nizioni sono:
εfr = Q0
|Ln| ; coe�ciente di e�etto utile frigorifero
εp.c. = Q1
|Ln| ; coe�ciente di e�etto utile della pompa di calore
con Q0 calore sottratto nel ciclo alla sorgente fredda, Q1calore ceduto nelciclo alla sorgente calda e |Ln| lavoro netto speso per il funzionamento del frig-orifero. Per ricavare la relazione basta mettere a onfronto i due coe�cienti:
εp.c. = Q1
|Ln| = Q0+|Ln||Ln| = εfr + 1
13
Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso
stazionario
L'equazione permette di ricavare il campo di temperatura di un sistema.Si fanno le ipotesi di isotropia e indeformabilità del sistema e si considera unvolume di controllo in�nitesimo interno al sistema.
attraverso le facce del volume di controllo si potranno avere scambi di calore,ma avendo considerato indeformabile il sistema, il lavoro sarà nullo. Il bilanciodelle potenze è:
•Ein +
•Eout +
•Eg =
•Est
dove:•Ein potenza termica entrante per conduzione (quindi positiva)•Eout potenza termica uscente per conduzione (negativa)•Eg potenza termica genereata all'interno del sistema, uniforme nel volume•Est variazione nel tempo dell'energia del sistema
Con riferimento alla schematizzazione iniziale si avrà:•Ein = qx + qy + qz•Eout = − (qx+dx + qy+dy + qz+dz)•Eg =
•qgdV =
•qgdxdydz
14
•Est = ρdV cv
δTδτ = ρcv
δTδτ dxdydz
e quindi il bilancio diventa:
qx + qy + qz − (qx+dx + qy+dy + qz+dz) +•qgdxdydz = ρcv
δTδτ dxdydz
si esprimono quindi le potenze uscenti dal volumedi controllo in funzione diquelle entranti, mediante una serie di Taylor troncata al secondo termine:
qx+dx = qx + δqxδx dx
qy+dy = qy +δqyδx dy
qz+dz = qz + δqzδz dz
sostituendo nell'espressione precedente e sempli�cando, il bilancio diventa:
− δqxδx dx−δqyδx dy −
δqyδx dy +
•qgdxdydz = ρcv
δTδτ dxdydz
per la legge di Fourier si può scrivere:
qx = −k dydz δTδxqy = −k dxdz δTδyqz = −k dxdy δTδzsostituendo nel bilancio e rielaborando si ottiene l'equazione di Fourier nel
caso stazionario:δδx
(k δTδx
)+ δ
δy
(k δTδy
)+ δ
δz
(k δTδz
)+•qg = ρcv
δTδτ
in forma vettoriale:
∇ • (k∇T ) +•qg = ρcv
δTδτ
Nell'ipotesi di stazionarietà diventa:
δδx
(k δTδx
)+ δ
δy
(k δTδy
)+ δ
δz
(k δTδz
)+•qg = 0
∇ • (k∇T ) +•qg = 0
e senza generazione di calore:
δδx
(k δTδx
)+ δ
δy
(k δTδy
)+ δ
δz
(k δTδz
)= 0
e se k è costante:δ2Tδx2 + δ2T
δy2 + δ2Tδz2 = 0
in termini vettoriali:
∇ • (k∇T ) = 0
∇2T = 0
che è l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane
15
Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma
Dalla de�nizione di lavoro di volume:
l =´ 2
1pdv
equazione dei gas perfetti=
´RTdvv = RT
´ 2
1dvv = RT ln v2
v1= RT ln
p2/RTp1/RT
16
Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo Brayton-
Joule in funzione del rapporto di compressione
η = lnq+23
= lT−|lc|q+23
= 1 +q−41
q+23
= 1− |q−41|q+23
con lT lavoro speci�co ottenuto dalla turbina, lc lavoro assorbito dal com-pressore, q23 calore assorbito dal primo scmbiatore (o camera di combustioneper le turbine a gas) e q41il calore ceduto all'ambiente dal secondo scambiatore(non presente nelle turbine a gas a ciclo aperto). Visto che
q+23 = h3 − h2 = cp (T3 − T2)
q−41 = h1 − h4 = cp (T1 − T4)
sostituendo nella precedente espressione:
η = 1− T4−T1
T3−T2= 1− T1
T2
T4T1−1
T3T2−1
per le trasformazioni isoentropiche di compressione ed espansione, posto ilrapporto di compressione rp = p2
p1si ha:
T2
T1= T3
T4= r
k−1k
p
�girando� i primi due membri dell'uguaglianza appena vista:T4
T1= T3
T2
che sostituendo nell'espressione del rendimento trovata:
η = 1− T1
T2
T3T2−1
T3T2−1
= 1− T1
T2= 1− 1
rk−1k
p
17
Ricavare il calore speci�co di una politropica
Per le trasformazioni politropiche vale la legge pvn = cost , con n costantedella politropica
Per una trasformazione quasi statica il calore scambiato vale:
q12 = cv (T2 − T1) +´ 2
1pdv
l'integrale vale:´ 2
1pdv = p2v2−p1v1
1−n = R(T2−T1)1−n
ricordando che:
R = cv (k − 1)
e sostituendo gli ultimi due risultati nella prima formula:
q = cvk−n1−n (T2 − T1)
da cui si ottiene il calore speci�co della politropica (ricordando la de�nizionedi calore speci�co)
cn = cvk−n1−n
18
Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una super-
�cie grigia di�usa
Si considera la super�e nella �gura sopra; il volume di controllo (indicato conla tratteggiatura �na) coincide con la super�cie stessa. Per il primo principio siavrà che la poenza radiata netta che lascia la super�cie sarà:
qi = Ai (Ji −Gi)dalla de�nizione della radiosità:
Ji = Ei + ρiGi ⇒ Gi = Ji−Eiρi
= Ji−Ei1−αi
per l'ipotesi di super�cie grigia e di�usa vale la legge di Kirchho�, quindi:
αi = εi
Ei = εiEb,i
sostituendo nell'espressione dell'irradianza:
Gi =Ji−εiEb,i
1−εiche combinata con l'equazione iniziale:
qi = Ai
(Ji − Ji−εiEb,i
1−εi
)=
Aiεi(Eb,i−Ji)1−εi =
Eb,i−Ji1−εiA1εi
il termine 1−εiA1εi
si dice resistenza super�ciale alla radiazione
19
Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti
Si considera il sistema aperto della prima �gura (nelle restanti due sonorappresentati i sistemi ausiliari di cui ci si serve per la dimostrazione):
si �ssano le sezioni 1 e 2 in modo che almeno in queste vi sia equilibriotermodinamico. Quindi si va a considerare prima lo stato termodinamico delsistema in un istante τ0 e poi in un istante τ0 + dτ :
Eτ0+dτ − Eτ0 = Q− Ltotdove:
Eτ0+dτ è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante τ0 + dτ
Eτ0 è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante τ0
Q è il calore scambiato dal sistema con l'ambiente in dτ
Ltot è il lavoro totale scambiato dal sistema con l'ambiente in dτ
Per sviluppare i termini di questo bilancio, si de�nisce una generica energiaassociata al sistema aperto (ESA)τ0 cui non si pone alcuna limitazione. Postipoi ec l'energia cinetica, ep l'energia potenziale e u l'energia interna, si hanno:
Eτ0 = (u1 + ec1 + ep1) dm1 + (ESA)τ0Eτ0+dτ = (u2 + ec2 + ep2) dm2 + (ESA)τ0+dτ
sviluppando quest'ultimo termine in serie di Taylor (�no al secondo termine,essendo gli altri in�nitesimi di ordine superiore) si ha:
(ESA)τ0+dτ = (ESA)τ0 + δδτ (ESA)τ0 dτ
sostituendo nell'espressione precedente:
Eτ0+dτ = (u2 + ec2 + ep2) dm2 + (ESA)τ0 + δδτ (ESA)τ0 dτ
e quindi in quella iniziale:
(u2 + ec2 + ep2) dm2+(ESA)τ0+ δδτ (ESA)τ0 dτ−(u1 + ec1 + ep1) dm1−(ESA)τ0 =
Q− Ltot(u2 + ec2 + ep2) dm2 − (u1 + ec1 + ep1) dm1 + δ
δτ (ESA)τ0 dτ = Q− Ltotper quanto riguarda il lavoro:
Ltot = Lt + Lem − |Limm|dove Lt è il lavoro tecnico, Lem è il lavoro fatto dal sistema per espellere il
�uido e Limm è il lavoro fatto sul sistema per immettere il �uido. Per calcolarei lavori di immissione ed emissione si consideri la �gura seguente:
20
supponendo che le pressioni delle sezioni 1 e 1aus siano uguali e che le sezionidistino ad un dx1tale che dm1 = ρSdx1:
|Limm| = p1S1dx1 = p1v1dm1
|Lem| = p2S2dx2 = p2v2dm2
che sostituite nel bilancio:
(u2 + ec2 + ep2) dm2 − (u1 + ec1 + ep1) dm1 + δδτ (ESA)τ0 dτ = Q − Lt −
p2v2dm2 + p1v1dm1
(u2 + ec2 + ep2 + p2v2) dm2− (u1 + ec1 + ep1 − p1v1) dm1 + δδτ (ESA)τ0 dτ =
Q− Ltricordando che la de�nizione di entalpia è h = u+ pv, e dividento per dτ :
(h2 + ec2 + ep2)•m2 − (h1 + ec1 + ep1)
•m1 + δ
δτ (ESA)τ0 =•Q−
•Lt
21
Ricavare l'entalpia dell'aria umida
Come noto l'aria umida è una miscela di vari gas e vapor d'acqua. L'entalpiatotale di questa miscela è:
H = maha +mvhv
dove i pedici a indicano l'aria secca ed i pedici v il vapor d'acqua. dividendoper la massa di aria secca:
h = ha + xhv
[Jkg
]Fissando l'entalpia nulla a 273.15K si può valutare l'entalpia speci�ca dell'aria
secca come:
ha = cpat = 1.006t ;cpa calore speci�co a pressione costante secca dell'aria ,valore medio
per il vapore invece:
hv = r0 + cpvt = 2501 + 1.875t ; r0calore latente di evaporazione a 0°C
Quindi l'entalpia dell'aria umida vale:
h = 1.006t+ (2501 + 1.875t)x[kJkg
]
22
Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto
di compressione volumetrico
Si de�niscono i punti chiave del ciclo Otto:
0 �ne espulsione - inizio aspirazione
1 �ne aspirazione - inizio compressione
2 �ne compressione - inizio combustione
3 �ne combustione - inizio espansione
4 �ne espansione - inizio scarico
5 �ne scarico - inizio espulsione
Il rendimento vale:
η = lnq+23
=q+23+q−41
q+23
= 1 +q−41
q+23
= 1− |q−41|q+23
sotto le ipotesi di aria standard:
q+23 = u3 − u2 = cv (T3 − T2)
q−41 = u4 − u1 = cv (T1 − T4)
η = 1− T4−T1
T3−T2= 1− T1
T2
T4T1−1
T3T2−1
si de�niscono quindi:
rT = T2
T1; rapporto tra le temperature
rv = v1
v2= v4
v3; rapporto volumetrico di compressione
Applicando le trasformazioni dei gas perfetti alle due isoentropiche (1− 2 e3− 4 ) si ha:
T2
T1=(v1
v2
)k−1
= rk−1v = rT =
(v4
v3
)k−1
= T3
T4⇒ T2
T1= T4
T3
Quindi l'espressione del rendimento si sempli�ca in:
η = 1− T1
T2= 1− 1
rk−1v
23
Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron
E' una relazione che lega il calore latente alle altre grandezze termodi-namiche. Si considera un cambiamento di fase da liquido a vapore ed un ciclodi Carnot in�nitesimo che operi tra le temperature T e T − dT
si parte dal rendimento di un ciclo di carnot, che vale in questo caso:
ηc = dLQ1
= dTT1
il lavoro di un ciclo nel piao p-v corrisponde all'area racchiusa dalla curvarappresentante il ciclo, quindi:
dL ' dp (vv − vl)sostituendo nella precedente, e ricordando che nel ciclo considerato il calore
assorbito corrisponde a quello latente di evaporazione:dp(vv−vl)
r = dTT
ed esplicitando r si ricava l'equazione di Clapeyron
r = dpdT T (vv − vl)
24
Funzionamento di uno psicrometro di Assman
E' uno strumento che permette di misurare l'umidità relativa di una portatad'aria. Costituito da due canali in cui scorre l'aria da misurare, che è mossada un ventilatore posto in cima allo strumento (sulla bocca di uscita). In og-nuno dei canali è inserito un termometro, uno dei quali ha il bulbo sensorericoperto da una garza bagnata. Si suppone che il termometro con la garzasia investito da una massa d'aria con una certa umidità relativa. Inizialmente,se la garza possiede la stessa temperatura dell'aria, non vi è scambio termico.Appena l'acqua della garza inizia ad evaporare l'insieme termometro - garza sira�reddda, portandosiad unatemperatura infriore a quella dell'aria, quindi l'ariacomincerà a cedere calore alla garza per convezione. Il processo continuerà �noall'equilibrio, quando il calore ceduto per avporazione sarà uguale a quello ac-quisito per convezione. la temperatura di equilibrio è detta di bulbo umido.Nota anche la temperatura di bulbo secco (indicata dall'altro termometro) èpossibile trovare sul diagrama psicrometrico il punto che individua la condizionedi equilibrio del termometro bagnato, t = tbb e ϕ = 100%, perchè per la miscelaacqua aria la trasformazione è praticamente isoentalpica. Per questo punto si faquindi passare l'isoentalpica relativa: l'intersezione dell'isoterma di bulbo seccocon l'isoentalpica, rappresenta la condizione termodinamica della massa di ariaumida che è stata misurata.
25
Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica
Si consideri una sezione in�nitesima di uno scambiatore di calore:
e si formulano le ipotesi di:
Adiabaticità dello scambiatore verso l'esterno
Conduzione assiale trascurabile lungo la parete del tubo
Variazioni trascurabili dell'energia cinetica e potenziale
Calori speci�ci costanti
Trasmittanza costante
Si applica il primo principio ai tre volumi di controllo (tubo caldo, tubofreddo e scambiatore completo):
dq = − •mccp,cdTc = −CcTcdq =
•mfcp,,fdTf = CfTf
dq = U∆TdA
tenendo presente che ∆T = Tc − Tf e di�erenziando:
d (∆T ) = dTc − dTfsostituendo le due espressioni iniziali:
d (∆T ) = −dq(
1Cc
+ 1Cf
)che sostituita nell'equazione dello scambiatore di calore, e integrando dall'ingresso
all'uscita della sezione considerata:´ 2
1d(∆T )
∆T = −U(
1Cc
+ 1Cf
) ´ 2
1dA
ln ∆T2
∆T1= −UA
(1Cc
+ 1Cf
)ln ∆T2
∆T1= −UA
(Tc,i−Tc,u
q +Tf,u−Tf,i
q
)q = UA∆T2−∆T1
ln(
∆T2∆T1
) = UA∆Tml
e si de�nisce quindi temperatura media logaritmica il termine:
∆Tml = ∆T2−∆T1
ln(
∆T2∆T1
)
26