Teorema CayleyPermutasi dari himpunan A adalah cara menyusun secara berurutan elemen-elemen pada A.

Contoh: Himpunan {a.b,c} mempunyai 3!=6 permutasi, 6 cara menyusun secara berurutan. Ke-6 permutasi tersebut adalah

(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a) ,(c,b,a) dan (c,a,b)

Jadi kita bisa menyusun a terlebih dahulu selanjutnya c dan terakhir  b, atau b terlebih dahulu, selanjutnya a dan yang terakhir c. atau cara lainnya. Yang jelas ada 6 permutasi, 6 cara menyususun secara berurutan 3 buah objek. Secara umun ada n! permutasi pada himpunan beranggotakan n elemen.

Dalam kacamata aljabar abstrak atau tepatnya Teori Grup, permutasi adalah fungsi bijektif dari A ke A sendiri

Himpunan permutasi adalah himpunan yang beranggotakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A. Nah..ternyata himpunan permutasi bisa kita anggap sebagai grup dengan operasi binernya adalah fungsi komposisi. Kita tahu komposisi dari 2 buah fungsi adalah fungsi pula dan komposi fungsi bersifat asosiatif. Elemen indentitasnya tentu saja fungsi identitas. Jelas mempunyai invers, setiap fungsi bijektif pasti mempunyai invers.

Definsi: Grup permutasi adalah grup yang berisikan permutasi-permutasi dari suatu himpunan A dengan fungsi komposisi sebagai operasi binernya.

Jadi himpunan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A (baca: permutasi) merupakan grup. Bagaimana sebaliknya? Apakah grup juga merupakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A? Menurut Teorema Cayley jawabannya “ya”.

Teorema Cayley: Setiap grup isomorfis ke grup permutasi

Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup dapat dikontruksikan grup permutasi dari kemudian menujukan isomorfis ke grup permutasi tersebut.

Diberikan grup ,Untuk sebarang   didefinsikan fungsi

sebagai berikut:   , untuk semua  .

Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari oleh sebagai fungsi.  Jelas  mempunyai invers yaitu   .   Untuk semua  jelas terdapat  sedemiakian hingga

, terbukti  surjektif. Selanjutnya   maka jika hanya jika . Terbukti  injektif. Telah kita buktikan   merupakan permutasi.

Didefinsikan   . Nah inilah yang merupakan grup permutasi dari . Selanjutnya akan ditunjukan dan isomorfis.

Didefinsikan   sebagai berikut   untuk semua  . Untuk membuktikan  isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:

Homomorfisma

untuk sebarang  berlaku

Surjektif

Jelas untuk sebarang  akan selalu terdapat sedemikian hingga 

Injektif

maka , Itu berarti .

Terbukti  Isomorfisma.

contoh soal dan penyelesaian struktur aljabar

1.Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.Jawaban:P = {3x|x ∈ Z }Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b ∈ P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)= (x+y) + (x+y) + (x+y)= 3(x+y)Karena x+y ∈ Z, maka a+b ∈ P

2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)= 3y + 3x= b + a

3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))= 3((x+y) + z)= 3(x+y) + 3z= (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c

4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:a + 0 = 3x + 3.0= 3(x+0)= 3x= aIni berarti 0 unsur nol dalam P.

5. Ambil sebarang a = 3x ∈ P. Pilih b = 3(-x) ∈ P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)Perhatikan:3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))= 3.0= 0Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b ∈ P.Perhatikan:a .b = 3x . 3y= 3. 3xy= 3(3xy)Karena 3xy ∈ Z, maka a.b ∈ P.

2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).cPerhatikan:a.(b.c) = 3x(3y . 3z)= 3x(3(3yz))= 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)= 3.3(xy) . 3z= (3x . 3y). 3z= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.aPerhatikan:a(b+c) = 3x(3y + 3z)= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))= 3.3(xy + xz)= 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x= ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3= (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx= 3y.3x + 3z.3x= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b = b.aPerhatikan:a .b = 3x. 3y= 3.3xy= 3.3yx= 3y. 3x= b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.

2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.Bukti :Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring 3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2dan terhadap operasi pengurangan bersifat( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i │a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :

TabelDaftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)p(1) = 1 . -1-1 = -1Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.

5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :Misalkan x, y ∈ Z, maka p(x + y) = 2(x + y)= 2x + 2y= p(x) + p(y)Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri.

6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)- TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 + 0 = 11 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 0karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0 ∈ Z40 + e = e + 0 = 0

misalkan 1 ∈ Z41 + e = e + 1 = 1

misalkan 2 ∈ Z42 + e = e + 2 = 2

misalkan 3 ∈ Z43 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers- KomutatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4(a + b) = (2 + 3) = 1(b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :(a + b) = (b + a) = 1maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)- TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z41 . 0 = 01 . 1 = 11 . 2 = 21 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2Sehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)

= 2.(0)= 0(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)= 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0(a + b).c = (2 + 1).3= (3).3= 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)= 2 + 3= 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).

7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.Penyelesaian :Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.a . b = b . a, a,b ∈ Z4Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈ Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 23 . 2 = 2Sehingga2 . 3 = 3 . 2 = 2Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.Penyelesaian:TabelDaftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila

memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)- TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈ Pgenap + genap = genapgenap + ganjil = ganjilganjil + ganjil = genapKarena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjila + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjilSehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = ganjilMaka P assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genapmaka P ada unsur satuan atau identitas- Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers- KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P(a + b) = (genap + ganjil) = ganjilSehingga :(a + b) = (b + a) = ganjilmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).2. Monoid terhadap perkalian (P, .)- Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ Pgenap . ganjil = genapgenap . genap = genapganjil . ganjil = ganjilkarena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P- AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genapa . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genapSehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = genapmaka P assosiatif- Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas- KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P(a . b) = (genap . ganjil) = genap(b . a) = (ganjil . genap) = genapSehingga :(a . b) = (b . a) = genapmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ Pa.(b + c) = genap . (ganjil + genap)= genap.(ganjil)= genap(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)= genap + genap= genapmaka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap(a + b).c = (genap + ganjil). Genap= (ganjil). Genap= genap(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)

= genap + genap= genapmaka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genapJadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).

9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0Misalkan :X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil danY = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.

10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian :ab = ac, maka:ab – ac = 0a(b – c) = 0Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka :b – c = 0Jadi b = c

11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.Penyelesaian :Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].

12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:∀ a ∈ P, ∃ a-1 ∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = eTelah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga genap.ganjil = genap ≠ e

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,sehingga genap.genap = genap ≠ e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan)

Permutasi 1By gamatikaers Leave a Comment

Categories: Aljabar Tags: fungsi, permutasi, struktur aljabar

Sebelum membahas lebih tentang permutasi maka kita terlebih dahulu mengerti tentang fungsi. Oleh karena itu gan pertama-tama akan diberikan definisi fungsi. FUNGSI & PERMUTASI Fungsi adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Jadi, fungsi atau pemetaan ɸ dari himpunan A ke dalam himpunan B adalah aturan yang mengaitkan setiap elemen a dari A dengan tepat satu elemen b dari B. Dapat dikatakan ɸ memetakan a ke b, juga ɸ memetakan A ke B. Dalam menulis fungsi ada beberapa macam notasi yang akan digunakan, antara lain a Ф = b Ф (a) = b a Ф = b atau bisa juga disimbolkan seperti ini Ф: A → B Tapi untuk selanjutnya akan banyak digunakan notasi a Ф = b Jika Ф dan ѱ suatu pemetaan dengan Ф:A→B dan ѱ:B→C,

maka dapat digambarkan seperti di bawah ini Kita bisa membuat pemetaan dari A ke C melalui B dengan fungsi Ф dan ѱ. Fungsi seperti ini dinamakan komposisi fungsi dengan aФ = b dan bѱ = c, jadi a(Фѱ) = (aФ)ѱ = c Definisi : Sebuah fungsi dari A ke B dikatakan satu-satu (injektif) jika setiap anggota B maksimal memiliki satu anggota A yang dipetakan ke dirinya, jadi setiap anggota B memiliki maksimal satu prapeta. Fungsi dari A ke B dikatakan pada (surjektif) jika setiap anggota B punya prapeta di A.

Contoh fungsi injektif

Contoh fungsi surjektif

Contoh fungsi bijektif

Untuk pembuktian fungsi injektif dan surjektif akan diberikan pada grup permutasi.

DEFINISI Sebuah Permutasi dari Himpunan A adalah pemetaan dari A ke A yang satu-satu dan

pada. Misalkan A = dan f suatu pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A maka f adalah suatu permutasi tingkat n. Misalnya  f(a1) = b1 ,  f(a2) = b2 , f(a3) = b3 , …. , f(an) = bn

dengan = , dua himpunan sama ini mempunyai urutan elemen yang berbeda. Contohnya

Sebuah operasi yang natural, perkalian permutasi, didefinisikan pada permutasi –permutasi di suatu himpunan. Misalnya A himpunannya, dan σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka σ dan τ adalah pemetaan satu-satu dan pada dari A ke A. Disini kita akan buktikan komposisi fungsi στ merupakan suatu permutasi jika satu-satu dan pada di himpunan A. Kita buktikan terlebih dahulu στ satu-satu Jika :

a1(στ)  =  a2(στ)

Maka:

(a1σ)τ  =  (a2σ)τ

Karena   τ satu-satu maka pastilah a1σ = a2σ. Karena σ juga satu-satu maka a1 = a2 . Akibatnya στ adalah pemetaan satu-satu. Untuk menunjukkan στ pada, misalkan a sebarang anggota dari himpunan A, karena τ pada maka terdapat a’ sehingga a’ τ = a, tetapi karena σ juga pada maka terdapat a” sehingga a”σ = a’ akibatnya:

a = a’τ = (a”σ)τ = a” (στ)

jadi  στ juga pada. Ilustrasi, Misalkan  A = σ adalah permutasi yang diberikan, kita

tulis σ dengan notasi umum : Sehingga kalau dilihat 1σ = 4 , 2σ = 2 , dst.. Kita

misalkan τ juga permutasi, maka; Maka :

yang diperoleh dari: 1 στ =  (1σ)τ =   4τ  = 2 2 στ =  (2σ)τ =   2τ  = 5 Dst

Kita akan menunjukkan bahwa koleksi semua permutasi himpunan  di A akan membentuk sebuah group atas perkalian permutasi.

Teorema 5.1

Misalkan A adalah himpunan tak hampa, dan misalkan SA adalah koleksi semua permutasi d A.  maka sebuah group atas perkalian permutasi.

Bukti.

Ada tiga sifat yang harus di buktikan sebab permutasi adalah suatu pemetaan dan untuk menunjukkan untuk setiap  σ, τ, dan μ berlaku

(στ)μ = σ(τμ)

Contoh

Jadi contoh matrix di atas terbukti asosiatif kemudian akan di tunjukkan setiap komposisi fungsi memetakan setiap α elemen A ke peta yang sama di A. oleh karena itu kita mesti tunjukkan

Jadinya (στ)μ dan σ(τμ) memetakan setiap α ϵ A  elemen yang sama, sehingga (στ)μ dan σ(τμ) adalah permutasi yang sama.  Karena dalam hal ini tidak menggunakan informasi bahwa σ, τ, dan μ  adalah satu-satu pada , maka komposisi pemetaan senantiasa assoiatifm jadi sifat pertama group di pernuh.

Sifat ke 2 identitas

Permutasi i yang bersifat ai = a untuk setiap α ϵ A akan jelas berlaku layaknya unsur identitas,

sifat ke 3

untuk permutasi σ, didefinisikan σ-1 adalah permutasi yang membalikkan peta dari permutasi σ kesemula, yg berarti σ-1 adalah a’ anggota A yang mana a = a’σ eksistensi ketunggalan a’ adalah akibat dari fakta bahwa, sebagai fungsi σ yang bersifat satu-satudan pada (lihat latihan 5.18) jelas bahwa

Sehingga σσ-1 dan σ-1 keduanya adalah permutasi di i sehingga sifat ke 3 grop terpenuhi

Tidak ada batasan dalam definisi kita kalau A adalah himpunan tak hingga,  tapi dalam contoh-contoh kita akan banyak dibahas mengenai permutasi pada himpunan berhingga.  Jelas bahwa jika A dan B memiliki jumlah anggota yang sama maka group dari semua permutasi pada A memiliki struktur yang sama dengan group semua permutasi di B.  group yang satu bisa diperoleh dari group lainya dengan menamai ulang anggota-anggotanya.  Ini lagi-lagi adalah konsep dari group isomorfisma yang akan disinggung di bab selanjutnya .

Definisi jika A adalah himpunan berhingga maka group semua permutasi pada A adalah group simetri pada n bilangan, dan di simbolkan dengan Sn

catat bahwa Sn memiliki n! anggota dimana

n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)

DUA CONTOH PENTING

Contoh 1 Misalkan A={1,2,3},didaftarkan permutasi-permutasi pada A yaitu

Meski di cek sendiri bahwa tabel perkalian di tabel dibawah ini adalah benar. Perlu dicatat

bahwa grup ini tidaklah komutatif.

Terdapat korespondesi alami antara anggata-anggota S3 pada conto pertama dan cara dua buah segitiga samasisi yang kembar dengan titok sudut 1,2, dan 3. Perlu diketahui juga, pi untuk rotasi dan qi untuk pencerminan terhadap garis yang membagi  dua bangunan menjadi dua sama besar (bisektor). Grup dihedral ke-n merupakan grup simetri dari bangunan segi n.

Contoh 2

Kita bangun grup D4 dari permutasi yang berkorespondensi cara dua buah bujur sangkar yang kembar dengan titik sudut-sudutnya 1,2,3,dan 4. D4 kemudian akan menjadi gup simetri simetri dari bujursangkar.  Perlu diketahui yang akan dipakai dalam simbol berikut adalah pi, qi, dan ri. Dimana pi untuk rotasi, qi untuk pencerminan bisektor yang tegak lurus dengan sisi bujursangkar dan ri untuk pencerminan terhadap garis diagonal. Terdapat 8 permutasi disini, misalkan saja:

Berikut adalah tabel yang dihasilkan oleh perkalian permutasi diatas:

Garis biru merupakan untuk pencerminan bisektor yang tegak lurus dengan sisi bujursangkar, sedangkan garis merah pencerminan terhadap garis diagonal.

Suatu rotasi berjalan searah jarum jam, sehingga ketika di putar 90 derajat, maka susunan yang semula 1,2,3,4 berubah menjadi 2,3,4,1. Ini berarti posisi 2 digantikan 1, 3 diganti 2, dan sterusnya. Begitu juga dengan susunan yang lainnya yang diputar oleh berdasarkan rotasi. Sekarang adalah pembuatan diagram lattice untuk sub gru-subgrup D4. Diagram lattice di bawah ini bisa ditentukan berdasarkan sipat pada bab sebelumnya (sub grup).

Untuk contoh soal bisa dilihat di bawah ini

http://axohariri.wordpress.com/2011/03/28/contoh-soal-perkalian-permutasi/

http://tassiearmanatha.wordpress.com/2011/03/29/contoh-soal-permutasi-dan-pembahasannya/http://tomtom09.wordpress.com/2011/03/30/contoh-soal-untuk-permutasi-i/

http://andies07.wordpress.com/2011/04/01/struktur-aljabar/