teorema de dunford pettis sobre los espacios de orlicz

Teorema de Dunford Pettis

sobre los Espacios de Orlicz.

M. Sc. Jorge Eliecer Hernandez Hernandez

Barquisimeto, Julio de 2009.


sobre los Espacios de Orlicz.

por

M. Sc. Jorge Eliecer Hernandez Hernandez

Trabajo de Ascenso para optar a la categoria de:

Profesor Asociado en el escalafon del

Personal Docente y de Investigacion.

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado

Decanato de Administracion y Contaduria

Departamento de Tecnicas Cuantitativas

Barquisimeto, Julio de 2009.

A mi hija Gabriela Alejandra.

ii

Agradecimiento

Quiero agradecer, en primer lugar, a Dios, fuente de toda sabidurıa; a mis padres,

Samuel y Judith, por su dedicacion y sacrificio, en la invalorable labor de brindarme

soporte para culminar este trabajo; a mi hermana, Jazmın, y mis sobrinos, Teresa,

Juan, y Francisco, quienes al igual que mis padres dieron estımulo a la persever-

ancia; a Katty, adorable mujer amada, por su paciencia.

Muy especialmente, mi profundo agradecimiento, a los doctores: Ventura Ec-

handıa, Wilfredo Urbina, Carlos Finol, Neptalı Romero, Francisco Montes de Oca,

ya que fueron quienes por su labor docente y de investigacion, me iniciaron en el

camino de la investigacion, al comenzar los estudios de Maestrıa en Matematicas.

Demas esta decir, que el trabajo que realizan estos profesionales no tiene precio.

Los licenciados, Miguel Vivas, Ivan Vasquez, Marıa Biondi, amigos y companeros

de estudio en el Doctorado de Matematicas, son personas a las cuales agradesco,

precisamenete, la virtud de la amistad, y hago un reconocimiento, en estas lineas,

a su capacidad y talento.

Gracias a todos.

iii

Introduccion

La integrabilidad uniforme es una propiedad de algunos conjuntos del espacio

de funciones medibles e integrables sobre un espacio de medida finita (Ω,Σ, µ), es

decir, subconjuntos de L1(µ). Nuestra intension es estudiar este concepto hasta

llegar a la caracterizacion de los mismos por medio del concepto de compacidad

debil.

Para llegar a tal fin, usamos publicaciones de Joseph Diestel , John Alexopoulos[AJ1]

y David Carothers[CN1]. Seguimos el siguiente esquema. Presentamos la defini-

cion de Integrabilidad Uniforme de subconjuntos de L1(µ) donde µ es una medida

de probabilidad. Seguidamente, damos algunos ejemplos de conjuntos uniforme-

mente integrables.

Como primer teorema, presentamos una caracterizacion de conjuntos uniforme-

mente integrables por medio de la acotabilidad del conjunto y la integrabilidad

uniforme de las integrales sobre conjuntos medibles[DJ2, p. 41]. Inmediatamente,

sigue una forma equivalente a este teorema por medio de medidas uniformemente

absolutamente continuas [DJ2, p. 150].

Para tener otra caracterizacion de conjuntos uniformemente integrables presen-

tamos el Teorema de De la Vallee-Poussin, que logra esta caracterizacion,

mediante la existencia de una funcion convexa par, con ciertas propiedades en el

origen, conducta al infinito y acotacion uniforme de las integrales de la composicion

de dicha funcion con los elementos del conjunto en referencia [AJ1, p. 3].

Suponiendo conocido lo referente a topologıa debil, pasamos al objetivo principal,

iv

el Teorema de Dunford-Pettis, que establece que cualquier subconjunto de

L1(µ), que sea relativamente debilmente compacto es uniformemente integrable, y

viceversa.[DJ2, p. 46]

Usamos el Teorema de Lebesgue-Vitali para probar el recıproco del teorema

de Dunford-Pettis. Este teorema muestra una condicion necesaria para que una

sucesion de funciones en L1(µ), sea uniformemente integrable. Ademas, como una

consecuencia inmediata de este teorema, presentamos el Lema de Rosenthal.

Por ultimo damos una consecuencia del teorema de Dunford-Pettis, debido a Kadec

y Pelcsynski, que nos muestra una propiedad fundamental del espacio de Banach

L1(µ), a saber, que cualquier conjunto K que no es uniformemente integrable

contiene una sucesion de elementos, cuyo espacio lineal generado es isomorfo al

espacio de sucesiones `1.

v

Indice General


sobre los Espacios de Orlicz. 1


sobre los Espacios de Orlicz. i

Agradecimiento iii

Introduccion iv

1 Fundamentos Basicos. 1

1.1 Funciones Convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Propiedades de las funciones Convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Funciones de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Funciones complementarias en el sentido de Young. . . . . . . . . . . 17

vi

1.5 Funciones logarıtmicamente convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 N-Funciones o Funciones de Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Equivalencia entre N-Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Espacios de Orlicz. 29

2.1 Nociones Generales respecto a Espacios de Orlicz . . . . . . . . . . . 29

2.2 Espacios de Sucesiones de Orlicz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Igualdad entre `Φ y hΦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Apendice A.

Prerrequisitos. 48

A.1 Del Analisis Funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.2 Del Analisis Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.3 De la Topologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.4 Topologıas inducidas por familias de funciones. . . . . . . . . . . . . 60

A.5 Topologıa debil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.6 Topologıa Debil* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.7 Teorema de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Apendice B.

vii

Integrabilidad Uniforme. 72

B.1 Integrabilidad Uniforme: Definicion. Ejemplos . . . . . . . . . . . . 73

B.2 Caracterizacion de conjuntos uniformemente integrables. . . . . . . 74

B.3 Teorema de Lebesgue-Vitali. Lema de Rosenthal. . . . . . . . . . . 77

B.4 Teorema de Dunford-Pettis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B.5 Consecuencias del Teorema de Dunford-Pettis . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografıa 82

viii

Capıtulo 1

Fundamentos Basicos.

El presente capıtulo contiene una recopilacion de los aspectos mas importantes

de la Teorıa de Funciones Convexas que seran de utilidad en el desarrollo del

trabajo propuesto, ademas de incluir como casos especiales de estas funciones a las

funciones de Young y las N -Funciones o Funciones de Orlicz. Iniciamos entonces

con la definicion de funcion convexa.

1.1 Funciones Convexas.

Definicion 1.1.1 Sea f una funcion definida en un intervalo I de R con valores

en R = R ∪ −∞,∞. Si para todo par de puntos x, y ∈ I y α ∈ [0, 1] se tiene

que

f(αx+ (1− α)y) ≤ αf(x) + (1− α)f(y), (1.1.1.1)

1

entonces se dice que f es una funcion convexa.

Geometricamente esta definicion establece que una funcion f definida sobre un

intervalo abierto o cerrado I ⊂ R se denomina convexa si para todo par de

puntos P1, P2 sobre la curva y = f(x), los puntos del arco P1P2 estan por debajo

o sobre el segmento de recta (cuerda) P1P2.

1.2 Propiedades de las funciones Convexas.

Algunas de las propiedades de las funciones convexas son listadas a continuacion.

Entre ellas destacan la acotabilidad y continuidad, las caracterizaciones de las

funciones convexas por medio de razones de cambio, la desigualdad de Jensen

en su version discreta y continua, la obtencion de funciones convexas a partir de

funciones monotonas, y otras.

Acotabilidad y Continuidad de las Funciones Convexas.

El primero de estos resultados establece condiciones que debe tener una funcion

convexa para ser acotada y cumplir una condicion de Lipschitz de orden α = 1.

Teorema. 1.2.1 Sea f : I → R una funcion convexa. Si para cada x ∈ int(I),

f(x) es finito, entonces f es acotada en cada intervalo [a, b] contenido en el interior

de I y satisface una condicion de Lipschitz de orden λ = 1.

2

Demostracion:

Sean a, b ∈ int(I). Sea x = αa + (1 − α)b, donde α ∈ [0, 1] . Como f(x) es finito

para cada valor en el interior de I, entonces f(a) y f(b) son finitos, por lo cual,

podemos definir k = max(f(a), f(b)). Entonces, como f es convexa, obtenemos

que

f(x) = f(αa+ (1− α)b)

≤ αf(a) + (1− α)f(b)

≤ αk + (1− α)k ≤ k

es decir, hemos encontrado que f es acotada superiormente en cualquier intervalo

contenido en el interior de I.

Ahora, sea x un elemento de (a, b) distinto del punto medio de este intervalo,

es decir x 6= (a+ b)/2, entonces existe z ∈ (a, b) tal que

a+ b

2=x

2+z

2,

en consecuencia, de la desigualdad 1.1.1.1 dada por la definicion (1.1.1), tenemos

que

f

(a+ b

2

)= f

(x2

+z

2

)≤ 1

2f(x) +

1

2f(z) ≤ 1

2f(x) +

1

2k

ası, que

f(x) ≥ 2f

(a+ b

2

)− k

es decir, f es acotada inferiormente en cualquier intervalo contenido en el interior

de I.

Sea ε > 0 tal que a − ε y b + ε estan en el interior de I. Sean k y K las cotas

inferiores y superiores de f , respectivamente, en [a− ε, b+ ε] . Si x, y son puntos

3

en [a, b] entonces el punto z definido por medio de

y =|y − x|

ε+ |y − x|z +

(1− |y − x|

ε+ |y − x|

)x

esta en [a− ε, b+ ε]; notese que

0 <|y − x|

ε+ |y − x|< 1,

entonces, usando la definicion de funcion convexa 1.1.1 tenemos que

f(y) ≤ |y − x|ε+ |y − x|

f(z) +

(1− |y − x|

ε+ |y − x|

)f(x)

=|y − x|

ε+ |y − x|(f(z)− f(x)) + f(x)

≤ |y − x|ε+ |y − x|

(K − k) + f(x);

en consecuencia,

f(y)− f(x) ≤ K − k

ε|y − x|

Intercambiando x con y se obtiene, de manera similar que,

f(x)− f(y) ≤ K − k

ε|y − x|

Por lo tanto, hemos encontrado que f satisface una condicion de Lipschitz de orden

λ = 1 en cada intervalo contenido en el interior de I.

Del hecho que una funcion convexa sea acotada y que satisfaga una condicion

de Lipschitz de orden λ = 1, se deduce la continuidad de tal funcion. En efecto,

sean a ∈ I y ε > 0 arbitrarios, entonces,

|f(x)− f(a)| ≤ K − k

ε|x− a| ,

4

ası que, haciendo δ ≤ ε2/(K − k), obtenemos que para todo a ∈ I se tiene que si

|x− a| < δ entonces

|f(x)− f(a)| <K − k

ε|x− a|

≤ K − k

ε

ε2

K − k= ε

lo cual indica que f es continua.

Definicion Equivalente de Funcion Convexa.

Nos proponemos mostrar una definicion equivalente de funcion convexa al com-

parar el valor de la funcion en cada punto medio entre dos elementos arbitrarios

de su dominio, y el valor medio de sus correspondientes imagenes.

Teorema. 1.2.2 La funcion f : [a, b] → R es convexa si y solo si f es continua y

para todo x, y ∈ [a, b] se tiene que

f

(1

2x+

1

2y

)≤ 1

2f(x) +

1

2f(y).

Demostracion:

Sea f : [a, b] → R una funcion convexa. De acuerdo a los resultados encontrados en

la seccion anterior, tenemos que f es continua, y tomando α = 1/2 obtenemos la

desigualdad buscada. Recıprocamente, supongamos que f es una funcion continua

y que para todo x, y ∈ [a, b] se tiene que

f

(1

2x+

1

2y

)≤ 1

2f(x) +

1

2f(y),

5

pero que f no es convexa. Entonces existen x0, y0, z0 ∈ (a, b) tales que el punto

(y0, f(y0)) esta por encima del segmento de recta que une al punto (x0, f(x0)) con

el punto (z0, f(z0)) , esto es,

f(y0) >

(f(z0)− f(x0)

z0 − x0

)(y0 − x0) + f(x0).

De la continuidad de la funcion f , deducimos que existe δ > 0 tal que

f(x) >

(f(z0)− f(x0)

z0 − x0

)(x− x0) + f(x0)

para todo x ∈ (y − δ, y + δ) . De lo cual encontramos que los conjuntos

t : f(s) > g(s), s ∈ (t, y] y t : f(s) > g(s), s ∈ [y, t)

son no vacıos, donde

g(s) =

(f(z0)− f(x0)

z0 − x0

)(s− x0) + f(x0).

Podemos definir entonces,

k = inf t : f(s) > g(s), s ∈ (t, y]

y

m = sup t : f(s) > g(s), s ∈ [y, t) .

Es claro que k < y < m y que f(k) = g(k) y f(m) = g(m), ademas se tiene que

f(s) >

(f(z0)− f(x0)

z0 − x0

)(s− x0) + f(x0),

para todo s ∈ (k,m) . En particular, para s = (k +m)/2, es decir,

f

(k +m

2

)>

(f(m)− f(k)

m− k

)(k +m

2− k

)+ f(k)

=

(f(m)− f(k)

m− k

)(m− k

2

)+ f(k)

=f(m)− f(k)

2+ f(k)

=1

2f(m) +

1

2f(k)

6

lo cual contradice la hipotesis.

Caracterizacion de Funciones Convexas por medio de

Razones de Cambio.

Esta caracterizacion tiene su fundamento en el cociente entre la variacion de

los valores de la funcion y la variacion de los valores del argumento de la funcion.

Lema 1.2.3 La funcion f : I → R es convexa si y solo si para cada c ∈ I la

funcion

g(x) =f(x)− f(c)

x− c, con x 6= c (1.2.3.1)

es creciente como funcion de x.

Demostracion:

Consideremos el caso en que c < x < y. Si f es convexa, entonces con

x =y − x

y − cc+

x− c

y − cy

tenemos que

f(x) = f

(y − x

y − cc+

x− c

y − cy

)≤ y − x

y − cf(c) +

x− c

y − cf(y).

7

Observemos que

(y − c)f(x) ≤ (y − x)f(c) + (x− c)f(y)

= yf(c)− xf(c) + (x− c)f(y) + cf(c)− cf(c)

= (y − c)f(c)− (x− c)f(c) + (x− c)f(y)

de donde

(y − c)f(x)− (y − c)f(c) ≤ (x− c)f(y)− (x− c)f(c)

y asıf(x)− f(c)

x− c≤ f(y)− f(c)

y − c

y por lo tanto, si x < y entonces g(x) < g(y), es decir, g es creciente.

Recıprocamente, supongamos que la funcion g definida previamente es cre-

ciente. Hagamos x = αu+ βv, donde c = u, y = v,y α+ β = 1. Entonces,

f(αu+ βv)− f(u)

αu+ βv − c≤ f(v)− f(u)

v − u,

f(αu+ βv)− f(u)

(1− β)u+ βv − u≤ f(v)− f(u)

v − u,

f(αu+ βv)− f(u)

β(v − u)≤ f(v)− f(u)

v − u,

f(αu+ βv)− f(u) ≤ βf(v)− βf(u),

f(αu+ βv) ≤ βf(v)− (1− α)f(u) + f(u),

8

f(αu+ βv) ≤ αf(u) + βf(v)

con lo que f es convexa.

Finalmente, los casos x < y < c y x < c < y se demuestran de manera analoga.

Geometricamente, el cociente del lema 1.2.3 representa la pendiente de la recta

que pasa por los puntos (x, f(x)) y (c, f(c)). Lo que se establece en este resultado

es que dados tres puntos P1, P2, P3 (en ese orden), la pendiente entre P1 y P2 es

menor que la pendiente entre P2 y P3.

Desigualdad de Jensen.

Teorema. 1.2.4 Sean, ϕ una funcion convexa definida sobre un intervalo I, pini=1

escalares no negativos (no todos nulos) tales que∑n

i=1 pi 6= 0, y x1, .., xn ∈ I. En-

tonces,

ϕ

(∑ni=1 pixi∑ni=1 pi

)≤ 1∑n

i=1 pi

n∑i=1

piϕ(xi) (1.2.4.1)

Demostracion:

En efecto, si n = 2, tenemos, precisamente, la definicion 1.1.1 de funcion convexa.

Supongamos, como hipotesis inductiva, que la desigualdad 1.2.4.1 es cierta para

9

n = k − 1 entonces probaremos para n = k. Sean, p1, .., pk−1, pk numeros reales

tales que∑k

i=1 pi 6= 0. De esta manera, para cada i = 1, .., k − 1, k se tiene que

0 ≤ pi∑ki=1 pi

≤ 1

y tambien,

1 =

∑ki=1 pi∑ki=1 pi

=

∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi

+pk∑ki=1 pi

.

Sean x1, .., xk ∈ I. Usando la definicion 1.1.1 dada por la desigualdad 1.1.1.1,

tenemos que

ϕ

(∑ki=1 pixi∑ki=1 pi

)= ϕ

(∑k−1i=1 pixi∑k

i=1 pi

+pkxk∑ki=1 pi

)

= ϕ

(∑k−1i=1 pi∑ki=1 pi

) ∑k−1i=1 pixi(∑k−1

i=1 pi∑ki=1 pi

)∑ki=1 pi

+pkxk∑ki=1 pi

≤


)ϕ

∑k−1i=1 pixi(∑k−1

i=1 pi∑ki=1 pi

)∑ki=1 pi

+pk∑ki=1 pi

ϕ(xk)

=


)ϕ

(∑k−1i=1 pixi∑k−1i=1 pi

)+

pk∑ki=1 pi

ϕ(xk)

y aplicando la hipotesis inductiva queda que

ϕ

(∑ki=1 pixi∑ki=1 pi

)≤


)1∑k−1

i=1 pi

k−1∑i=1

piϕ(xi) +pk∑ki=1 pi

ϕ(xk)

=

∑k−1i=1 piϕ(xi)∑k

i=1 pi

+pk∑ki=1 pi

ϕ(xk)

=

∑ki=1 piϕ(xi)∑k

i=1 pi

quedando probada la desigualdad de Jensen.

El siguiente resultado es la version continua de la desigualdad de Jensen.

10

Teorema. 1.2.5 Sea Φ : I → R una funcion convexa. Sea (X,A, µ) un espacio

de medida finita. Si f es integrable, y f(X) ⊂ I, para algun intervalo I de longitud

finita, y si Φ f es integrable, entonces,

Φ

(1

µ(X)

∫X

fdµ

)≤ 1

µ(X)

∫X

(Φ f)dµ. (1.2.5.1)

Demostracion:

Sea

γ =1

µ(X)

∫X

fdµ.

Notese que si I = (α, β) entonces,

αµ(X) <

∫X

fdµ < βµ(X),

con lo que α < γ < β. Ahora, conocemos que la funcion g, definida en 1.2.3 es

una funcion creciente, en consecuencia, podemos definir

s = sup g(x) : x ∈ (α, γ) .

En consecuencia,

s ≥ Φ(γ)− Φ(x)

γ − x,

para todo x ∈ (α, γ) , luego,

s(γ − x) ≥ Φ(γ)− Φ(x).

Por otra parte, si x ∈ (γ, β) tenemos que

s ≤ Φ(γ)− Φ(x)

γ − x,

11

con lo que

s(γ − x) ≥ Φ(γ)− Φ(x)

que es lo mismo que

s(x− γ) ≥ Φ(γ)− Φ(x),

entonces, si x ∈ (α, β) , podemos escribir que

Φ(γ) ≤ s(γ − x) + Φ(x).

Entonces, si x = f(t), tenemos

Φ

(1

µ(X)

∫X

fdµ

)≤ s

(1

µ(X)

∫X

fdµ− f(t)

)+ Φ (f(t)) .

Como, Φ f es integrable, podemos integrar y obtenemos,

Φ

(1

µ(X)

∫X

fdµ

)µ(X) ≤ s

µ(X)

µ(X)

∫X

fdµ− s

∫X

fdµ+

∫X

Φ (f) dµ,

Φ

(1

µ(X)

∫X

fdµ

)≤ 1

µ(X)

∫X

Φ (f) dµ.

Derivadas de las Funciones Convexas.

Dado que una derivada es una razon de cambio instantanea, el resultado obtenido

en el lema 1.2.3 nos conduce a este otro.

Lema 1.2.6 Toda funcion continua y convexa f : I → R tiene en cada punto una

derivada derecha f ′+ y una derivada izquierda f ′−, tales que f ′− ≤ f ′+.

12

Demostracion:

Sean h1, h2 tales que 0 < h1 < h2, entonces por el lema 1.2.3, tenemos que

f(u)− f(u− h2)

h2

≤ f(u)− f(u− h1)

h1

=f(u− h1)− f(u)

−h1

≤ f(u+ h1)− f(u)

h1

≤ f(u+ h2)− f(u)

h2

La expresionf(u+ h1)− f(u)

h1

es decreciente cuando h1 → 0 y acotada inferiormente, entonces existe el lımite

limh→0

f(u+ h)− f(u)

h= f ′+(u).

Tambien, la expresionf(u)− f(u− h1)

h1

es creciente cuando h1 → 0 y acotada superiormente, en consecuencia, existe el

lımite

limh→0

f(u)− f(u− h)

h= f ′−(u).

Ademas, se tiene que f ′−(u) ≤ f ′+(u).

Convexidad de las Funciones Integrales de Funciones

Monotonas.

A partir de funciones monotonas crecientes podemos construir funciones convexas.

13

Teorema. 1.2.7 Sea ϕ : I → R+ una funcion creciente. Sea c ∈ I; entonces, se

tiene que la funcion

Φ(t) =

∫ t

c

ϕ(s)ds, c < t

es una funcion continua, creciente y convexa.

Demostracion:

Observemos que de la definicion de Φ, y el teorema 6.20 en Principios de Analisis

Matematico de Walter Rudin, pag. 133, tenemos que es continua y que Φ′(t) = ϕ(t)

en cada punto donde ϕ es continua, y como ϕ es positiva, se tiene que Φ es creciente.

Para probar la convexidad de Φ usaremos el teorema 1.2.2, ya que Φ es continua.

Sean r, t tales que c < r < t. Usando la defincion de la funcion Φ y el crecimiento

de la funcion positiva ϕ, tenemos que

Φ

(r

2+t

2

)=

∫ (r+t)/2

c

ϕ(s)ds

=

∫ r

c

ϕ(s)ds+

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds

=

∫ r

c

ϕ(s)ds+1

2

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds+1

2

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds

≤ Φ(r) +1

2

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds+1

2

∫ t

(r+t)/2

ϕ(s)ds

=1

2Φ(r) +

1

2Φ(r) +

1

2

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds+1

2

∫ t

(r+t)/2

ϕ(s)ds

=1

2Φ(r) +

1

2

[∫ r

c

ϕ(s)ds+

∫ (r+t)/2

r

ϕ(s)ds+

∫ t

(r+t)/2

ϕ(s)ds

]=

1

2Φ(r) +

1

2Φ(t).

Lo cual indica que Φ es una funcion convexa.

14

El siguiente resultado nos muestra que una funcion convexa tiene una repre-

sentacion integral por medio de un funcion creciente.

Teorema. 1.2.8 Sea Φ : I → R una funcion convexa y continua. Sea c ∈ I,

entonces existe una funcion ϕ(s) creciente tal que

Φ(t)− Φ(c) =

∫ t

c

ϕ(s)ds

Demostracion:

Segun el lema 1.2.6 las derivadas laterales de Φ existen y son crecientes, ademas

ellas coinciden fuera de un conjunto numerable. Se deduce del primer teorema

fundamental del calculo que

Φ(t)− Φ(c) =

∫ t

c

ϕ′+(s)ds =

∫ t

c

ϕ′−(s)ds

Es necesario en esta seccion incorporar algunas funciones que gozan de la

propiedad de ser convexas y que han sido usadas durante el desarrollo del Analisis

funcional en las definiciones de las normas que son asignadas a los espacios nor-

mados. A continuacion mostramos algunas de ellas.

15

1.3 Funciones de Young

Definicion 1.3.1 Sea ϕ(t) ≥ 0, para todo t ≥ 0, una funcion creciente y continua

a la derecha. A la funcion Φ definida por medio de

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ(s)ds, para todo t ≥ 0 (1.3.1.1)

se le denomina funcion de Young.

De esta definicion se deduce que estas funciones cumplen la siguiente desigualdad

t

2ϕ

(t

2

)≤ Φ(t) ≤ tϕ(t), t ≥ 0. (1.3.1.2)

En efecto, como la funcion ϕ es una funcion creciente, entonces ϕ(t) ≥ ϕ(s) para

todo s ∈ [0, t] , en consecuencia

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ(s)ds ≤∫ t

0

ϕ(t)ds = tϕ(t);

por otra parte, por la monotonıa de ϕ, tenemos que

t

2ϕ(t/2) =

∫ t/2

0

ϕ(t/2)ds ≤∫ t

0

ϕ(s)ds = Φ(t).

Una consecuencia de la definicion 1.3.1 y del teorema 1.2.7, es que toda funcion

de Young es creciente, continua y convexa.

16

1.4 Funciones complementarias en el sentido de

Young.

Sea Φ(t) una funcion de Young. Definamos la funcion ψ por medio de

ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≤ s .

Es facil ver que esta es una funcion creciente, continua a la derecha y que ψ(0) = 0.

En efecto, si s < r, entonces

ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≤ s y ψ(r) = sup t : ϕ(t) ≤ r

y si t es tal que ϕ(t) ≤ s entonces, ϕ(t) ≤ r, por lo tanto,

t : ϕ(t) ≤ s ⊂ t : ϕ(t) ≤ r

encontramos ası que sup t : ϕ(t) ≤ r ≥ sup t : ϕ(t) ≤ s , es decir, ψ(r) ≥ ψ(s),

lo que nos dice que ψ es una funcion creciente. Tambien, si s = 0 tenemos que

t : ϕ(t) ≤ 0 = 0 con lo que ψ(0) = 0.

Se tiene entonces que la funcion

Ψ(t) =

∫ t

0

ψ(s)ds (1.4.1)

es una funcion de Young, denominada funcion complementaria en el sentido

de Young .

Nota 1.4.1.0 Sea s < r. Entonces,

ψ(s) = sup t : ϕ(t) ≥ s y ψ(r) = sup t : ϕ(t) ≥ r

17

como s < r, si t es tal que ϕ(t) ≥ r entonces, ϕ(t) ≥ s, por lo tanto,

t : ϕ(t) ≥ r ⊂ t : ϕ(t) ≥ s

encontramos ası que sup t : ϕ(t) ≥ r ≥ sup t : ϕ(t) ≥ s , es decir, ψ(r) ≥ ψ(s).

La funcion es creciente. Por otra parte, verifiquemos la continuidad de esta fun-

cion. Sea s0 ∈ R arbitrario. Probaremos que

lims→s+

0

ψ(s) = ψ(s0).

Veamos que

|ψ(s)− ψ(s0)| = sup t : ϕ(t) ≥ s − sup t : ϕ(t) ≥ s0

≤

Ahora, veamos que ψ(0) = 0. Es decir,

sup t : ϕ(t) ≥ 0 = 0.

Supongamos que ψ(0) > 0. Entonces, se tiene que

ψ(0) ≥ t

y que dado ε > 0 existe t0 tal que

ψ(0)− ε ≤ t0 ≤ ψ(0)

Desigualdad de Young.

Teorema. 1.4.2 Si Φ y Ψ son funciones de Young complementarias, entonces

u.v ≤ Φ(u) + Ψ(v), para todo u, v > 0.

18

1.5 Funciones logarıtmicamente convexas

Definicion 1.5.1 Denotaremos por I al intervalo (0, 1] o [1,∞) . Una funcion

f : I → [0,∞) es logarıtmicamente convexa si para todo s, t ∈ I, α, β > 0, y

α+ β = 1 se tiene que

f(αt+ βs) ≤ f(t)αf(s)β, (1.5.1.1)

es decir, f es logarıtmicamente convexa si la funcion log(f) es convexa.

Teorema. 1.5.2 La clase de funciones logarıtmicamente convexa es un cono. Tam-

bien, el lımite de una sucesion de funciones convexas, cuando existe, es convexa.

1.6 N-Funciones o Funciones de Orlicz

A continuacion definimos una importante clase de funciones de Young.

Definicion 1.6.1 Una funcion de Young, con representacion

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ(s)ds

se dice que es una N-funcion o funcion de Orlicz si ϕ(t) satisface las sigu-

ientes propiedades

i) ϕ(0) = 0

ii) ϕ(t) > 0 para t > 0

iii) limt→∞ ϕ(t) = ∞

19

Alternativamente, una funcion Φ se denomina N−funcion si y solo si es continua,

par y convexa y satisface lo siguiente

a. limt→0 (Φ(t)/t) = 0

b. limt→∞ (Φ(t)/t) = ∞

c. Φ(t) > 0 siempre que t > 0

Nota 1.6.1.1 Adoptando la primera de estas definiciones obtenemos que

limt→0

Φ(t)

t= 0 y lim

t→∞

Φ(t)

t= ∞.

En efecto, como Φ es una funcion de Young, de 1.3.1.2, se tiene que Φ(t) ≤ tϕ(t),

t ≥ 0, con lo queΦ(t)

t≤ ϕ(t) para t > 0

con esto, pasando al lımite, sigue que

0 ≤ limt→0

Φ(t)

t≤ lim

t→0ϕ(t) = 0.

Analogamente, como (t/2)ϕ (t/2) ≤ Φ(t), entonces,

1

2ϕ(t

2) ≤ Φ(t)

t

y pasando al lımite, queda que

∞ = limt→∞

1

2ϕ(t

2) ≤ lim

t→∞

Φ(t)

t.

Por otra parte, siendo una funcion de Young, es convexa y continua.

Lema 1.6.2 Si Φ es una N-funcion entonces se tiene que Φ (αt) < αΦ(t) para

todo α ∈ (0, 1) y t > 0.

20

Demostracion:

Notese que si Φ es cualquier funcion convexa definida en [0, t0) , t0 > 0 tal que

Φ(0) = 0,entonces para todo α ∈ (0, 1), tenemos

Φ (αt+ (1− α)0) ≤ αΦ(t), t > 0

Supongamos que para algun α0 ∈ (0, 1) y t0 > 0 tales que Φ (α0t0) = α0Φ (t0) .

Definamos la funcion

F (α) = Φ(αu+ (1− α)v)− αΦ(u)− (1− α)Φ(v)

para u = t0 y v = 0, entonces

F (α) = Φ(αt0)− αΦ(t0);

conocemos por el lema ?? que esta funcion es convexa, ademas F0) = F (1) = 0.

Debe tenerse entonces que F (α) = 0 para todo α ∈ (0, 1), esto es, Φ(αt0) = αΦ(t0),

para todo α ∈ (0, 1). De aquı deducimos que

0 = limt→0

Φ(t)

t= lim

α→0

Φ(αt0)

αt0= lim

α→0

αΦ(t0)

αt0=

Φ(t0)

t0> 0;

lo cual es una contradiccion.

Lema 1.6.3 Si Φ es una N-funcion entonces la funcion g(t) = Φ(t)/t es una

funcion creciente.

Demostracion:

Usaremos el resultado mostrado en el lema 1.6.2. Sea t1 < t2. Entonces

Φ (t1) = Φ

(t1t2t2

)≤ t1t2

Φ(t2)

21

ası, queda queΦ (t1)

t1≤ Φ (t2)

t2,

con lo que la funcion g(t) = Φ(t)/t es una funcion creciente.

No es muy dificil ver que la composicion de dos N−funciones es una N−funcion.

Proposicion 1.6.4 La composicion de dos N − funciones es una N − funcion.

Demostracion:

En efecto, sean Φ1 y Φ2 dos N−funciones. Entonces, Φ1 es una funcion continua,

convexa y par, tal que

a. limt→0 (Φ1(t)/t) = 0

b. limt→∞ (Φ1(t)/t) = ∞

c. Φ1(t) > 0 siempre que t > 0

y tambien tenemos que Φ2 es una funcion continua, convexa y par, tal que

a.′ limt→0 (Φ2(t)/t) = 0

b.′ limt→∞ (Φ2(t)/t) = ∞

c.′ Φ2(t) > 0 siempre que t > 0.

Definamos la funcion Φ = Φ1 Φ2, por medio de

Φ(t) = Φ1 (Φ2(t)) , para t ≥ 0.

22

Entonces, de c y c′, obtenemos que Φ(t) = Φ1 (Φ2(t)) , para t > 0. Ahora, de a′ y

del hecho Φ2(t) → 0 cuando t→ 0, obtenemos

limt→0

Φ(t)

t= lim

t→0

Φ1 (Φ2(t))

t

= limt→0

Φ1 (Φ2(t))

t· Φ2(t)

Φ2(t)

= limt→0

Φ1 (Φ2(t))

Φ2(t)· Φ2(t)

t= 0.

Con un analogo razonamiento, obtenemos que

limt→∞

Φ(t)

t= ∞.

Probaremos ahora el recıproco de la proposicion anterior.

Proposicion 1.6.5 Toda N − funcion es la composicion de dos N − funciones.

Demostracion:

Sea Φ una N−funcion. Entonces existe una funcion ϕ no negativa, definida sobre

[0,∞) , creciente y continua por la derecha, tal que

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ(s)ds

y tal que cumple con las tres condiciones establecidas en 1.6.1. Sea ϕ1 la funcion

definida por medio de

ϕ1(s) = (ϕ(s))p para algun p ∈ (0, 1) .

23

Esta funcion satisface lo siguiente

1. ϕ1 es no negativa, y ϕ1(0) = 0

2. ϕ1 es no decreciente

3. ϕ1 es continua por la derecha

4. limt→∞ ϕ1(t) = limt→∞ (ϕ(s))p = ∞

Luego, la funcion Φ1 definida por medio de

Φ1(t) =

∫ t

0

ϕ1(s)ds =

∫ t

0

(ϕ(s))p ds

es una N − funcion. Ahora, definamos la fiuncion ϕ2 por medio de

ϕ2 (t) =ϕ(Φ−1

1 (t))

ϕ1

(Φ−1

1 (t)) .

Esta funcion es creciente, no negativa, tiende a cero cuando t → 0 y a infinito

cuando t→∞. Definimos entonces la funcion Φ2 por medio de

Φ2(t) =

∫ t

0

ϕ2(s)ds.

Ahora, notese que

Φ2(t) =(Φ Φ−1

)(t)

Comparacion entre N-Funciones.

Pretendemos establecer condiciones para estudiar la equivalencia entre N-funciones.

24

Proposicion 1.6.6 Supongamos que Φ1,Φ2 son N − funciones con funciones

complementarias Ψ1,Ψ2, respectivamente. Supongamos que Φ1(x) ≤ Φ2(x) para

x ≥ x0, para algun x0 > 0. Entonces Ψ2(y) ≥ Ψ1(y) para y ≥ y0, donde y0 =

ϕ2(x0), y ϕ2 = Φ′2+.

Demostracion:

Sean ϕ1, ϕ2,ψ1y ψ2 las derivadas derechas de las funciones Φ1,Φ2,Ψ1,Ψ2, respec-

tivamente. Recordemos que ψ1 es la inversa derecha de ϕ1, y que a su vez ψ2 es

la inversa derecha de ϕ2. En consecuencia, si y0 = ϕ2(x0) entonces ψ2(y0) = x0.

Entonces, ψ2(y) > x0 siempre que y > y0. Notese que, usando el caso de igualdad,

en 1.4.2, tenemos que

yψ2(y) = Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y)).

Ahora, usando la desigualdad,

yψ2(y) = Ψ1(y) + Φ1(ψ2(y)).

Tenemos entonces que

Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y)) ≤ Ψ1(y) + Φ1(ψ2(y)).

Por hipotesis, tenemos que Φ1(ψ2(y)) ≤ Φ2(ψ2(y)), en consecuencia,

Φ2(ψ2(y))− Φ1(ψ2(y)) ≥ 0

y de aquı que

Ψ2(y) + Φ2(ψ2(y))− Φ1(ψ2(y)) ≤ Ψ1(y)

de lo cual se deduce que

Ψ2(y) ≤ Ψ1(y), si y ≥ y0.

25

1.7 Equivalencia entre N-Funciones.

Definicion 1.7.1 Sean Φ1,Φ2 dos N-funciones. Escribiremos Φ1 ≺ Φ2 si existe

una constante k1 tal que Φ1(x) ≤ Φ2(kx) para grandes valores de x. Si Φ1 ≺ Φ2 y

Φ2 ≺ Φ1 entonces decimos que Φ1,Φ2 son equivalentes y escribimos Φ1 ∼ Φ2.

Definicion 1.7.2 Las N−funciones Φ1,Φ2 son δ−equivalentes si existen con-

stantes K1,K2,k1, k2, t0 tales que

K1Φ1(k1t) ≤ Φ2(t) ≤ K2Φ1(k2t), para 0 ≤ t ≤ t0. (1.7.1)

Si esta desigualdad se cumple para todo t > t0, entonces se dice que las funciones

son ∆−equivalentes, y si se cumple para todo t > 0 se dice que son equivalentes

.

Generalizando la proposicion 1.6.6, decimos que si Φ1 ≺ Φ2 entonces Ψ2 ≺ Ψ1,

donde Ψ1 y Ψ2 son las funciones complementarias de Φ1 y Φ2.

Teorema. 1.7.3 Toda N-funcion es equivalente a una N-funcion cuya derivada

es continua y estrictamente creciente.

Demostracion:

26

Sea Φ una N−funcion. Entonces Φ se escribe como

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ(s)ds.

Luego, la funcion Φ(t)/t es continua y estrictamente creciente. Ahora, de la de-

sigualdad 1.3.1.2 se obtiene que

1

2ϕ

(t

2

)≤ Φ(t)

t≤ ϕ(t)

e integrando obtenemos

1

2

∫ t

0

ϕ(s

2

)ds ≤

∫ t

0

Φ(s)

sds ≤

∫ t

0

ϕ (s) ds

es decir,

Φ(t/2) ≤∫ t

0

Φ(s)

sds ≤ Φ(t);

esto es, la N-funcion

F (t) =

∫ t

0

Φ(s)

sds

es equivalente a Φ y tiene las propiedades deseadas.

Definicion 1.7.4 A una funcion convexa Q se le llama parte principal de una

N − funcion Φ si Φ(x) = Q(x) para grandes valores de x.

Condiciones de crecimiento de las N funciones

Existen varias clases de N − funciones, dependiendo de ciertas condiciones rela-

cionadas con el crecimiento de las mismas.

27

Definicion 1.7.5 Sea Φ una N − funcion y sea Ψ su funcion complementaria.

Se dice que Φ satisface una condicion ∆2 si

lim supx→∞

Φ(2x)

Φ(x)<∞,

esto es, existe una constante K > 0 tal que Φ(2x) ≤ Φ(x) para grandes valores de

x. Si Ψ satisface una condicion ∆2 entonces decimos que Φ satisface una condicion

∇2.


Decimos que Φ satisface una condicion ∆′ si existe una constante K > 0 tal que

Φ(xy) ≤ KΦ(x)Φ(y) para grandes valores de x y y. Si Ψ satisface una condicion

∆′ entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇′.


Decimos que Φ satisface una condicion ∆3 si existe una constante K > 0 tal

que xΦ(x) ≤ Φ(Kx) para grandes valores de x. Si Ψ satisface una condicion ∆3

entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇3.


Decimos que Φ satisface una condicion ∆2 si existe una constante K > 0 tal que

(Φ(x))2 ≤ Φ(Kx) para grandes valores de x. Si Ψ satisface una condicion ∆2

entonces decimos que Φ satisface una condicion ∇2.

28

Capıtulo 2

Espacios de Orlicz.

2.1 Nociones Generales respecto a Espacios de

Orlicz

Definicion 2.1.1 Sea Φ una funcion de Young. La clase de Orlicz P (Φ) con-

siste de todas las funciones medibles f sobre el intervalo [0, a] para las cuales el

funcional

MΦ(f) =

∫ a

0

Φ (|f(x)|) dx <∞.

Proposicion 2.1.2 Sea Φ una funcion de Young. Entonces la clase de Orlicz

P (Φ) es un subespacio lineal de la clase de funciones de valor escalar medibles

sobre [0, a] que son finitas casi en todas partes, M0 ([0, a]) , si y solo si Φ satisface

una condicion ∆2.

29

Demostracion:

Sea M0 ([0, a]) el conjunto de funciones de valor real, finitas casi en todas partes,

medibles y definidas sobre el intervalo [0, a] . Primero, supongamos que Φ es una

funcion de Young, la cual satisface una condicion ∆2. Probaremos que P (Φ) es un

subespacio lineal de M0 ([0, a]) . Existen entonces constantes s0 > 0 y c > 0 tales

que

Φ(2s) ≤ cΦ(s) para s ≥ s0.

Afirmamos la siguiente implicacion

f ∈ P (Φ) ⇒ 2f ∈ P (Φ).

En efecto, sea E = x : |f(x)| > s0 y F = Ec. Entonces,∫ a

0

Φ (|2f(x)|) dx =

∫E

Φ (2 |f(x)|) dx+

∫F

Φ (2 |f(x)|) dx

≤∫

E

cΦ (|f(x)|) dx+

∫F

cΦ(s0)dx

≤ c

[∫ a

0

Φ (|f(x)|) dx+ Φ(s0)

∫ a

0

dx

]= c

[∫ a

0

Φ (|f(x)|) dx+ aΦ(s0)

]<∞.

Con este resultado probaremos que αf ∈ P (Φ) para cualquier α ∈ R. Sea n un

entero tal que |α| ≤ 2n. Entonces,∫ a

0

Φ (|αf(x)|) dx =

∫ a

0

Φ (|α| |f(x)|) dx

≤∫ a

0

Φ (2n |f(x)|) dx <∞

dado que por recursividad, si f ∈ P (Φ) entonces 2nf ∈ P (Φ).

30

Pasamos a probar que si f, g ∈ P (Φ) entonces (f + g) ∈ P (Φ). Veamos que,

usando la convexidad de Φ, tenemos∫ a

0

Φ (|f(x) + g(x)|) dx ≤∫ a

0

Φ (|f(x)|+ |g(x)|) dx

=

∫ a

0

Φ

(1

2|2f(x)|+ 1

2|2g(x)|

)dx

≤ 1

2

∫ a

0

Φ (|2f(x)|) dx+1

2

∫ a

0

Φ (|2g(x)|) dx <∞.

Es claro que f = 0 es una funcion en P (Φ). Con esto ultimo hemos probado que

P (Φ) es un subespacio lineal de M0 ([0, a]) .

Ahora, supongamos que P (Φ) es un subespacio lineal deM0 ([0, a]), probaremos

que Φ satisface una condicion ∆2. Lo haremos por reduccion al absurdo. Supong-

amos que Φ no satisface una condicion ∆2. Entonces existe una sucesion sn ↑ ∞

tal que

Φ(2sn) > 2nΦ(sn) > 0, n = 1, 2, 3, ...

Escojamos conjuntos disjuntos de [0, a] con medidas

µ(En) = tn =aΦ(s1)

2nΦ(sn).

Esto es posible porque

tn ≤ 2−na y ası∑

tn ≤ a.

Definamos la funcion

f(x) =∞∑

n=1

snχEn(x), 0 ≤ x ≤ a.

31

Esta funcion f ∈ P (Φ). En efecto,∫ a

0

Φ (|f(x)|) dx =

∫ a

0

Φ

(∣∣∣∣∣∞∑

n=1

snχEn(x)

∣∣∣∣∣)dx

=∞∑

n=1

∫En

Φ (|sn|) dx

=∞∑

n=1

Φ (|sn|)aΦ(s1)

2nΦ(sn)

= aΦ(s1)∞∑

n=1

1

2n= aΦ(s1) <∞.

Pero la funcion 2f /∈ P (Φ). Veamos,∫ a

0

Φ (|2f(x)|) dx =∞∑

n=1

Φ (2 |sn|) tn ≥ a∞∑

n=1

Φ (|sn|) = ∞,

contradiciendo que P (Φ) es un espacio lineal.

Aunque la clase de Orlicz puede no ser un espacio lineal, siempre es un conjunto

convexo que contiene el orıgen. Para generar un espacio lineal a partir de este,

con una topologıa de la norma, es usual asociarle como norma al funcional de

Minkowski.

Definicion 2.1.3 Si Φ es una funcion de Young, la norma ‖·‖Φ esta definida por

medio de

‖f‖Φ = inf

k : MΦ

(f

k

)≤ 1

Ya que Φ es continua por la izquierda, por el teorema de la convergencia

monotona, sigue que el ınfimo en la definicion anterior se alcanza, si es positi-

32

vo en otras palabras

‖f‖Φ = min

k : MΦ

(f

k

)≤ 1

, si ‖f‖Φ > 0.

En efecto, por la caracterizacion de definicion de ınfimo, tenemos que para cada

ε > 0 existe kε tal que

‖f‖Φ ≤ kε ≤ ‖f‖Φ + ε,

luego, existe una sucesion kn∞n=1, decreciente, que converge a ‖f‖Φ . Con lo cual

la sucesion f(x)/kn∞n=1 es una sucesion creciente que converge a f(x)/ ‖f‖Φ . Ası,

tenemos que

limn→∞

f(x)/kn = f(x)/ ‖f‖Φ , para cada x.

De la continuidad por la izquierda de Φ, obtenemos que

limn→∞

Φ

(f(x)

kn

)= Φ

(f(x)

‖f‖Φ

), para cada x,

en forma creciente. Esto puede reescribirse, definiendo las funciones hn, positivas,

por medio de

hn(x) = Φ

(f(x)

kn

),

de tal manera que hn∞n=1 es una sucesion creciente que converge a h = Φ (f/ ‖f‖Φ)

puntualmente. En consecuencia, usando el Teorema de la convergencia monotona,

tenemos ∫ a

0

Φ

(f(x)

‖f‖Φ

)dx = lim

n→∞

∫ a

0

Φ

(f(x)

kn

)dx ≤ 1,

quedando probado ası que

‖f‖Φ ∈k : MΦ

(f

k

)≤ 1

.

33

Los siguientes resultados seran necesarios para probar que la clase de Orlicz con

la norma ‖·‖Φ asociada es un espacio de Banach.

Lema 2.1.4 Si Φ es una funcion de Young entonces

f = 0 a.e si y solo si MΦ(kf) ≤ 1 para todo k > 0.

Demostracion:

Supongamos que f = 0 a.e. Sea k > 0, entonces∫ a

0

Φ (|kf(x)|) dx =

∫A

Φ (k |f(x)|) dx+

∫B

Φ (k |f(x)|) dx,

donde A = x : f(x) = 0 y B = x : f(x) 6= 0, de lo cual se deduce que∫A

Φ (|kf(x)|) dx =

∫A

Φ (0) dx = 0,

y que ∫B

Φ (k |f(x)|) dx = 0,

ya que la medida de B es cero. Luego,∫ a

0

Φ (|kf(x)|) dx = 0 ≤ 1;

como k fue escogido arbitrariamente, se tiene entonces la implicacion buscada.

Supongamos ahora que para todo k > 0 se tiene que∫ a

0

Φ (|kf(x)|) dx ≤ 1,

pero que para algun ε > 0 se tiene que |f(x)| > ε para todo x en algun conjunto

C de medida positiva. Entonces,∫ a

0

Φ (|kf(x)|) dx ≥∫

C

Φ (|kf(x)|) dx ≥ Φ(kε)µ(C)

34

como Φ(s) →∞ en la medida que s→∞, entonces,

limk→∞

∫ a

0

Φ (|kf(x)|) dx ≥ µ(C) limk→∞

Φ(kε) = ∞

contradiciendo la hipotesis. En consecuencia, f = 0 a.e.

Lema 2.1.5 Si Φ es una funcion de Young entonces

‖|f |‖Φ ≤ 1 ⇒MΦ(|f |) ≤ ‖|f |‖Φ

y

‖|f |‖Φ > 1 ⇒ ‖|f |‖Φ ≤MΦ(|f |).

Consecuentemente,

‖|f |‖Φ ≤ 1 ⇔MΦ(|f |) ≤ 1.

Demostracion:

Es suficiente probar para f ≥ 0. Supongamos que ‖f‖Φ ≤ 1. Si ‖f‖Φ = 0 entonces

de la definicion 2.1.3 se tiene que MΦ(f) ≤ 1 para todo k > 0, y por el lema 2.1.4

que f = 0 a.e, en consecuencia, MΦ(|f |) = 0. Ahora, supongamos que ‖f‖Φ < 1.

Siendo positivo, existe un k0 > 0 tal que ‖f‖Φ = k0 y MΦ(f/k0) ≤ 1. Como

k−10 > 1 y Φ(s)/s es una funcion creciente, tenemos que k−1

0 Φ(s) ≤ Φ(s/k0). En

consecuencia, k−10 MΦ(f) ≤ MΦ(f/k0) ≤ 1, y de aqui que MΦ(f) ≤ ‖f‖Φ .

Ahora, supongamos que ‖f‖Φ > 1.Para cada γ tal que 1 < γ < ‖f‖Φ , sigue

de la definicion 2.1.3 MΦ(f/γ) > 1. Dado que la funcion Φ(s)/s es una funcion

creciente, se tiene que γΦ(s/γ) ≤ Φ(s) y ası, 1 < MΦ(f/γ) ≤ MΦ(f)/γ, con lo

35

que MΦ(f) > γ y a causa de la naturaleza arbitraria de γ < ‖f‖Φ , tenemos que

‖f‖Φ ≤MΦ(f).

En consecuencia, si‖f‖Φ ≤ 1 entonces MΦ(f) ≤ ‖f‖Φ ≤ 1, y recıprocamente,

si MΦ(f) ≤ 1, entonces para k = 1,se tiene que ‖f‖Φ ≤ k = 1.

Teorema 1 Si Φ es una funcion de Orlicz entonces ‖·‖Φ cumple con las siguientes

propiedades

a) ‖f‖Φ = 0 ⇔ f = 0 µ a.e.; ‖af‖Φ = a ‖f‖Φ ;

‖(f + g)‖Φ ≤ ‖f‖Φ + ‖g‖Φ

b) 0 ≤ g ≤ f µ a.e. ⇒ ‖g‖Φ ≤ ‖f‖Φ

c) 0 ≤ fn ↑ f µ a.e. ⇒ ‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ

d) µ(E) <∞⇒ ‖χE‖Φ <∞

e) µ(E) <∞⇒∫

Efdµ ≤ CEχE

para alguna constante 0 < CE <∞, dependiente de E pero no de f.

Demostracion:

Que χE = 0 ⇔ f = 0 µ a.e. sigue del lema 2.1.5 y de la definicion 2.1.3.

Probaremos la homogeneidad. Sea a una constante. Entonces

‖af‖Φ = infk−1 : MΦ(kaf) ≤ 1

= inf

k−1 : MΦ((ka)f) ≤ 1

= inf

u−1a : MΦ((uf) ≤ 1

, haciedo u = ka

= a infu−1 : MΦ((uf) ≤ 1

= a ‖f‖Φ

36

Probaremos la desigualdad triangular. Sean f y g dos funciones no nulas con

γ = ‖f‖Φ + ‖g‖Φ <∞. Sea α = ‖f‖Φ /γ y β = ‖g‖Φ /γ, de esta manera α, β > 0

y α+ β = 1. De la definicion 2.1.3, se tiene que

MΦ

(f

‖f‖Φ

)≤ 1 y MΦ

(g

‖g‖Φ

)≤ 1;

y en particular,

Φ

(f

‖f‖Φ

)y Φ

(g

‖g‖Φ

)son finitas casi en todas partes. Como Φ es convexa en el intervalo donde esta es

finita, tenemos

MΦ

(f + g

γ

)= MΦ

(f

γ+g

γ

)= MΦ

(αf

αγ+βg

βγ

)= MΦ

(αf

‖f‖Φ

+βg

‖g‖Φ

)≤ αMΦ

(f

‖f‖Φ

)+ βMΦ

(g

‖g‖Φ

)≤ α+ β = 1

entonces, de la definicion 2.1.3, tenemos que

‖f + g‖Φ ≤ γ ≤ ‖f‖Φ + ‖g‖Φ

que es la desigualdad buscada. Con esto queda probado la parte a) del enunciado

del teorema. Pasaremos a probar b).

Sean f y g funciones medibles tales que 0 ≤ g ≤ f a.e., y supongamos que

0 < ‖f‖Φ <∞. Entonces,

MΦ

(g

‖f‖Φ

)≤MΦ

(f

‖f‖Φ

)≤ 1,

37

entonces por la definicion 2.1.3 queda que

‖g‖Φ ≤ ‖f‖Φ ,

esto es lo que quierıamos demostrar. Probaremos c).

Sea fn una sucesion tal que 0 ≤ fn ↑ f a.e. Entonces, por la propiedad b)

tenemos que la sucesion‖fn‖Φ∞n=1

es creciente. Sea αn = ‖fn‖Φ y sea α = supαn.

Como ‖f‖Φ ≥ αn para todo n, entonces‖f‖Φ ≥ α. Queremos mostrar la igualdad.

Esta igualdad es clara para α = 0 y para α = ∞. Supongamos entonces que

0 < αn ≤ α <∞. En este caso, tenemos

MΦ

(fn

α

)≤MΦ

(fn

αn

)≤ 1

con la ayuda del Teorema de la Convergencia Monotona obtenemos que la cantidad

del lado izquierdo converge a MΦ (f/α) . Luego,

MΦ

(f

α

)≤ 1

y por la definicion 2.1.3, sigue que ‖f‖Φ ≤ α. De esta forma queda establecida la

igualdad ‖f‖Φ = α = sup ‖fn‖Φ , de aquı que

‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ .

Probaremos d). Aquı se requiere probar que ‖χE‖Φ < ∞ para cualquier sub-

conjunto medible del intervalo [0, a] . Supongamos que la medida de uno de estos

conjuntos, E, sea b, es decir, µ(E) = b. Ademas, b > 0. Por hipotesis Φ es una fun-

cion de Orlicz, con lo que Φ no es identicamente cero en (0,∞) y es continua sobre

el intervalo donde esta es finita. Como Φ(0) = 0, sigue que existe un numerok > 0

tal que Φ(k) ≤ 1/b. Entonces,

MΦ (kχE) =

∫ a

0

Φ (kχE) dµ =

∫E

Φ(k)dµ = bΦ(k) ≤ 1,

38

por la definicion de la norma, obtenemos entonces que

‖χE‖Φ ≤1

k<∞.

Probaremos e). Sea E un subconjunto de [0, a] con medida b > 0. Consideremos

una funcion f ≥ 0 medible con 0 < ‖f‖Φ < ∞. Con k = 1/ ‖f‖Φ la desigualdad

de Jensen, dada por 1.2.5, nos da

Φ

(1

b

∫E

kf(x)dµ

)≤ 1

b

∫E

Φ (kf(x)) dµ ≤ 1

bMΦ(kf) ≤ 1

b.

Entonces, como Φ es creciente al infinito, existe una constante c que depende de

Φ y de b tal que1

b

∫E

kf(x)dµ ≤ c,

esto es ∫E

f(x)dµ ≤ cb

k= cb ‖f‖Φ <∞

que es lo que se querıa probar.

Lema 2.1.6 Sea Φ una funcion de Orlicz. Supongamos que fn∞n=1 ⊂ P (Φ).

Entonces

i) Si 0 ≤ fn ↑ f µ a.e., entonces

o f /∈ P (Φ) y ‖fn‖Φ ↑ ∞, o f ∈ P (Φ) y ‖fn‖Φ ↑ ‖f‖Φ

ii) (lema de Fatou) Si fn → f µ a.e., y si lim infn→∞‖fn‖Φ <∞, entonces

f ∈ P (Φ) y ‖f‖Φ ≤ lim infn→∞ ‖fn‖Φ

Demostracion:

39

La primera afirmacion es una consecuencia de la propiedad de Fatou (c, teorema

??). Para probar ii) hagamos hn(x) = infm≥n |fm(x)| tal que 0 ≤ hn ↑ |f | µ−a.e.

Por la propiedad b) y c) en el teorema 1, obtenemos que

‖f‖Φ = limn→∞

‖hn‖Φ ≤ limn→∞

(infm≥n

‖|fm(x)|‖Φ

)= lim inf

n→∞‖fn‖Φ .

Pero f es medible, puesto que es el lımite de una sucesion de funciones medibles,

entonces f ∈ P (Φ)

Estableceremos el siguiente resultado para luego probar que el espacio (P (Φ), ‖·‖Φ)

es un espacio de Banach.

Teorema 2 Supongamos que fn∞n=1 ⊂ P (Φ) y que

∞∑n=1

‖fn‖Φ <∞.

Entonces∑fn converge en P (Φ) a alguna funcion f ∈ P (Φ) y

‖f‖Φ ≤∞∑

n=1

‖fn‖Φ .

Demostracion:

Sean t =∑∞

n=1 |fn| , tN =∑N

n=1 |fn| , (N = 1, 2, 3, ..), de esta manera tenemos que

0 ≤ tN ↑ t. Como

‖tN‖Φ ≤N∑

n=1

‖fn‖Φ ≤∞∑

n=1

‖fn‖Φ ,

entonces, de la convergencia absoluta de la serie y de la parte i) del lema 2.1.6,

sigue que t ∈ P (Φ). La serie∑∞

n=1 |fn(x)| converge puntualmente µ − a.e. y en

40

consecuencia∑∞

n=1 fn(x) tambien. Ası, si definimos

f =∞∑

n=1

fn y sN =N∑

n=1

fn, N = 1, 2, 3, ...

entonces tenemos que sN → f µ− a.e. Ademas, para cualquier entero positivo M

se tiene que

(sN − sM) → (f − sM)

cuando N →∞. De aquı, tambien vemos que

lim infN→∞

‖sN − sM‖Φ ≤ lim infN→∞

N∑n=M+1

‖fn‖Φ =∞∑

n=M+1

‖fn‖Φ ,

y que al tomar lımite cuando M → ∞, este resultado es cero, ya que la serie

converge absolutamente, como hemos supuesto. Entonces por la parte ii) del lema

2.1.6, (lema de Fatou), sigue que f − sM ∈ P (Φ), y en consecuencia, f, y ademas,

‖f − sM‖Φ → 0 en la medida que M →∞. Pero entonces, para cada M, tenemos

que

‖f‖Φ ≤ ‖f − sM‖Φ + ‖sM‖Φ ≤ ‖f − sM‖Φ +M∑

n=1

‖fn‖Φ ,

ası, haciendo que M →∞ obtenemos que

‖f‖Φ ≤∞∑

n=1

‖fn‖Φ .

Con este ultimo resultado, y usando la propiedad de Riesz Fischer, establecida

en el teorema A.1.3 del Apendice A, establecemos que el espacio P (Φ) dotado de

la norma ‖·‖Φ, es un espacio normado completo, es decir, un espacio de Banach.

41

2.2 Espacios de Sucesiones de Orlicz.

Definicion 2.2.0 Al espacio vectorial de todas las sucesiones x = (a1, a2, ....) tales

que∞∑

n=1

Φ

(|an|ρ

)<∞

para algun ρ > 0, se le llama espacio de sucesiones de Orlicz y se denota con

`Φ. El espacio de sucesiones x tales que para todo ρ > 0 se tiene que

∞∑n=1

Φ

(|an|ρ

)<∞

es denotado por hΦ.

El espacio `Φ se convierte en un espacio de Banach estableciendo la norma

‖x‖`Φ= inf

ρ > 0 :

∞∑n=1

Φ

(|an|ρ

)≤ 1

Es claro que hΦ ⊂ `Φ.

Proposicion 2.2.1 El espacio hΦ es un subespacio cerrado de `Φ y la sucesion de

vectores en∞n=1 forman una base simetrica para este espacio.

Demostracion:

Es claro que los vectores unitarios forman una sucesion basica simetrica en `Φ. Ası

pues, las dos afirmaciones de la proposicion seran probadas si demostramos que

42

hΦ coincide con span en o [en]∞n=1 . Un ele-mento x = (a1, a2, ....) ∈ [en]∞n=1 si y

solo si para todo ρ > 0, existe un entero N = N(ρ) tal que

∞∑n=N

Φ

(|an|ρ

)≤ ρ

es decir, si y solo si∞∑

n=N

Φ

(|an|ρ

)≤ 1.

En general, `Φ y hΦ son distintos. Para dar condiciones bajo las cuales `Φ=hΦ,

necesitamos la siguiente definicion.

2.3 Igualdad entre `Φ y hΦ.

Definicion 2.3.0 Condicion ∆2.Se dice que una funcion de Orlicz Φ satisface

una condicion ∆2 en cero si

lim supt→∞

Φ(2t)

Φ(t)<∞

Facilmente se puede chequear que la condicion ∆2 en cero implica que la funcion

Φ satisface la condicion ∆Q en cero, con Q ∈ Z+, es decir,

lim supt→∞

Φ(Qt)

Φ(t)<∞.

La importancia de la condicion ∆2 la encontramos al probar que esta es una

condicion necesaria y suficiente para que `Φ = hΦ.

43

Proposicion 2.3.1 Para una funcion de Orlicz Φ, las siguientes condiciones son

equivalentes:

i) Φ satisface una condicion ∆2

ii) `Φ = hΦ

iii) Los vectores unitarios forman una base simetrica

acotadamente completa.

iv) `Φ es separable

v) `Φ no contiene subespacios isomorfos a `∞

Demostracion:

El hecho que la convergencia de una serie

∞∑n=N

Φ

(|an|ρ

)< ρ

implique que la convergencia de la serie

∞∑n=1

Φ

(|an|ρ

)< ε

sigue facilmente de la condicion ∆Q en cero, con Q = ρ/ε. Esto prueba la im-

plicacion i ⇒ ii. Para probar ii ⇒ iii usamos la proposicion 1.1.3 y el hecho

que

supn

∥∥∥∥∥n∑

i=1

aiei

∥∥∥∥∥ ≤ 1

para alguna sucesion ai∞i=1, implica que

∞∑n=N

Φ

(|an|ρ

)≤ 1,

44

es decir, x = (a1, a2, ....) ∈ `Φ = h∞ y ası

n∑i=1

aiei

converge. Es obvio que iii ⇒ iv ⇒ v. Supongamos ahora que una funcion de

Orlicz Φ no satisface la condicion ∆2 en cero. Entonces, podemos encontrar una

sucesion tn tal que

Φ(2tn)

Φ(tn)> 2n+1 y Φ(tn) < 2−n.

Sean kn enteros escogidos de manera que

2−(n+1) < kn < 2−n

para todo n. Entonces∞∑

n=1

knΦ(tn) ≤ 1

mientras que knΦ(2tn) > 1. Ası, para cualquier escogencia de escalares an,

tenemos que

2−n supn|an| ≤

∥∥∥(︷︸︸︷a1, .., an, ..,

︷︸︸︷antn, .., antn

)∥∥∥ ≤ supn|an|

y, ası pues, v ⇒ i.

Las definiciones de `Φ y hΦ demuestran que, salvo un isomorfismo, lo que realmente

importa es la conducta de Φ en la vecindad de t = 0 : si dos funciones de Orlicz Φ1

y Φ2 consisten de las mismas sucesiones sobre un intervalo 0 ≤ t ≤ t0 y las normas

inducidas por Φ1 y Φ2 son equivalentes. Lo mismo es cierto para hΦ1 y hΦ2 . Aquı

establecemos un resultado mas general.

45

Proposicion 2.3.2 Sean Φ1 y Φ2 dos funciones de Orlicz. Entonces, las sigu-

ientes afirmaciones son equivalentes:

i) `Φ1 = `Φ2 y la aplicacion identidad es un isomorfismo entre ellos

ii) Las bases de vectores unitarios de `Φ1 y `Φ2 son equivalentes

iii) Φ1 y Φ2 son equivalentes en cero, es decir, existen constantes k > 0

y K > 0 y t0 > 0 tales que para todo 0 < t ≤ t0 tenemos

K−1Φ2(k−1t) ≤ Φ1(t) ≤ KΦ2(kt)

La demostracion de esta proposicion es muy simple. La implicacion ii ⇒ iii, es

probada por comparacion de las normas de e1 + ..+ en∞n=1 en `Φ1 y `Φ2 .

Si al menos una de las funciones satisface que la condicion ∆2 en cero, entonces

la equivalencia en cero de Φ1 y Φ2 puede ser expresada en una forma mas simple:

existen constantes K y t0 tal que

K−1 ≤ Φ1(t)/Φ2(t) ≤ K

para todo 0 < t ≤ t0.

Hay muchas instancias donde una funcion de Orlicz Φ esta definida solamente en

una vecindad de cero. En esta situacion la funcion Φ puede ser extendida para

t > t0 ası que esto transforma una funcion de Orlicz sobre la lınea recta positiva.

Por la proposicion anterior los espacios correspondientes `Φ y hΦ seran los mismos,

tratados de la forma en que hemos extendido a Φ. Las normas asociadas a dos

extensiones distintas pueden ser diferentes pero siempre equivalentes.

46

La razon tϕ(t)/Φ(t) esta tambien relacionada a la condicion ∆2. Mas precisamente,

una funcion de Orlicz Φ satisface la condicion ∆2 en cero, si y solo si

lim supt→0

tϕ(t)

Φ(t)<∞.

En efecto, si Φ(2t) ≤ KΦ(t), para alguna constante K y para 0 ≤ t ≤ t0, entonces

tϕ(t) ≤∫ 2t

t

ϕ(s)ds = Φ(2t)− Φ(t) ≤ KΦ(t).

Inversamente, si tϕ(t)/Φ(t) ≤ K1, 0 ≤ t ≤ t0, entonces

lg

(Φ(2t)

Φ(t)

)=

∫ 2t

t

ϕ(s)

Φ(s)ds ≤ K1 lg 2, 0 ≤ t ≤ t0/2,

es decir, Φ(2t) ≤ 2K1Φ(t).

47

Apendice A.

Prerrequisitos.

En el presente capitulo daremos las notaciones, definiciones, teoremas y lemas, que

constituiran los conocimientos basicos para el desarrollo del objetivo principal del

trabajo planteado: Teorema de Dunford-Pettis.

Para tal fin desarrollamos tomando en cuenta tres ramas de la Matematica: Analisis

Funcional, Analisis Real y Topologıa.

Iniciamos con lo que respecta al Analisis Funcional.

A.1 Del Analisis Funcional.

Lo expuesto en esta seccion es tomado del libro de Robert E. Megginson [MR1].

Definicion. A.1.1 Sea X un espacio vectorial. Una norma sobre X es una

aplicacion ‖·‖ definida sobre X tal que cualesquiera par x, y de elementos X, y

48

cualquier escalar α ∈ R, cumplen las siguientes condiciones:

(1) ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0

(2) ‖αx‖ = |α| ‖x‖

(3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

El par (X, ‖·‖) es denominado espacio normado.

Esta norma genera una metrica denominada metrica inducida por la norma

d(x, y) = ‖x− y‖

y la topologıa generada por esta metrica se denomina topologıa fuerte o inducida

por la norma. En consecuencia, al considerar el problema de la convergencia de

sucesiones, haremos referencia a esta topologıa. En particular, consideraremos

espacios donde convergen todas las sucesiones de Cauchy.

Definicion. A.1.2 Un espacio normado en el cual la metrica inducida por su

norma es completa, es decir, en esta metrica convergen todas las sucesiones de

Cauchy, se denomina espacio de Banach.

Es claro entonces que para probar que un espacio normado es un espacio de Banach

es necesario y suficiente que toda sucesion de Cauchy converja en la norma del

espacio. Sin embargo, a continuacio, mostramos un util criterio para determinar

la completitud de un espacio normado.

Teorema. A.1.3 Toda serie absolutamente convergente en un espacio normado

es convergente en el espacio si y solo si el espacio es completo.

49

El concepto de funcional lineal es uno de los objetos matematicos de importancia.

Definicion. A.1.4 A toda aplicacion lineal, definida sobre un espacio normado

con va-lores en R, lo denominamos funcional lineal.

Definicion. A.1.5 El espacio de todos los funcionales lineales acotados definidos

sobre un espacio normado X se le denomina espacio dual de X, y se denota con

X∗. El espacio dual de este espcio, denotado por X∗∗, se le denomina doble dual o

bidual de X.

Otro concepto de importancia es el siguiente.

Definicion. A.1.6 Operador Lineal.

Sean X y Y espacios vectoriales sobre el mismo campo escalar R o C. Una apli-

cacion T de X en Y es denominado operador lineal si para todo x1, x2 ∈ X y

escalares α, β en el campo escalar considerado, se tiene

T (αx1 + βx2) = αT (x1) + βT (x2).

Definicion. A.1.7 Operador lineal acotado.

Un operador lineal de un espacio lineal normado X en un espacio lineal normado

Y se denomina acotado, si existe una constante M positiva tal que

‖T (x) ‖Y ≤M ‖x ‖X , para todo x ∈ X.

50

Notese que si x ∈ X es arbitrario, tenemos T (0) = T (x − x) = T (x) − T (x) = 0,

es decir, T envıa 0 ∈ X a 0 ∈ Y.

El siguiente resultado nos muestra que para un operador lineal entre espacios

lineales normados es equivalente “continuidad” , “acotacion”, “continuidad uni-

forme” , y la “propiedad lipschitziana”.

Proposicion. A.1.8 Caracterizacion de operadores lineales acotados.

Sea T un operador lineal de un espacio normado X en un espacio normado Y .

Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• (a) T es continuo en 0 ∈ X.

• (b) T es continuo.

• (c) T es uniformemente continuo sobre X.

• (d) T es Lipschitz; esto es, existe una constante 0 < C < ∞ tal que

‖T (x)− T (y) ‖ ≤ C ‖x− y ‖ para todo x, y ∈ X.

• (e) T es acotado.

Los operadores lineales acotados de un espacio lineal normado X en otro Y , for-

man un espacio vectorial denotado por B(X, Y ), donde la suma de vectores y la

multiplicacion por escalar estan definidas por

(T1 + T2)(x) = T1(x) + T2(x), para todo x ∈ X,

y

(αT1(x)) = αT1(x), para todo α ∈ R, x ∈ X.

51

Proposicion. A.1.9 Norma de B(X, Y ).

La aplicacion ‖ · ‖ : B(X, Y ) → R+ definida por medio de

‖T ‖ = supx 6=0

‖T (x) ‖Y

‖x ‖X

,

o equivalentemente,

‖T ‖ = sup‖x ‖X≤1

‖T (x) ‖Y = sup‖x ‖X=1

‖T (x) ‖Y = sup‖x ‖X<1

‖T (x) ‖Y ,

es una norma.

De la anterior proposicion tenemos que (B(X, Y ), ‖ · ‖) es un espacio normado.

Al estudiar la completitud de este espacio, vemos que esta depende de la completi-

tud del espacio normado Y, como lo muestra la siguiente proposicion.

Proposicion. A.1.10 Completitud de B(X, Y ).

B(X, Y ) es un espacio de Banach si y solo si Y es completo.

Una propiedad de interes corresponde a la de aquellos operadores que preservan

la norma.

Definicion. A.1.11 Isometrıas.

Una aplicacion T : X → Y se denomina isometrıa si

‖T (x)− T (y) ‖Y = ‖x− y ‖X , para todo x, y ∈ X.

52

Notese que si T es una isometrıa y si T (x1) = T (x2) entonces T (x1)− T (x2) = 0,

con lo que

0 = ‖T (x1)− T (x2) ‖Y = ‖x1 − x2 ‖X ,

luego x1 = x2, por lo tanto, T es inyectiva.

Claramente toda isometrıa es continua. En el caso en que T sea lineal, basta

probar que ‖T (x) ‖Y = ‖x ‖X para todo x ∈ X. En adelante, se usara el termino

isometrıa para hablar de isometrıa lineal.

Una interesante propiedad es la mostrada en el siguiente resultado debido a Banach

y Mazur.

Proposicion. A.1.12 Toda isometrıa que aplica 0 en 0 es lineal.

A continuacion vemos que la aplicacion inversa de una isometrıa mantiene la

propiedad de preservar las normas.

Proposicion. A.1.13 Invertibilidad de las isometrıas y preservacion de

la propiedad.

Toda isometrıa entre espacios normados, sobreyectiva, es invertible y la inversa es

de nuevo una isometrıa.

Otras definiciones de interes son las siguientes.

Definicion. A.1.14 Isomorfismo.

Una aplicacion lineal sobreyectiva entre espacios normados T : X → Y es un

isomorfismo si T es inyectiva, y tanto T como T−1 son continuas.

53

La anterior definicion nos dice que T es un isomorfismo sobreyectivo si T es un

homeomorfismo lineal. A continuacion veremos una caracterizacion de este tipo

de operadores.

Proposicion. A.1.15 Caracterizacion de Isomorfismos.

T : X → Y es un isomorfismo si y solo si T es sobreyectivo y existen constantes

0 < c,C <∞ tales que

c ‖x ‖X ≤ ‖T (x) ‖Y ≤ C ‖x ‖X , para todo x ∈ X.

Uno de los teoremas cuya aplicacion ha sido significativa en el Analisis funcional

es el Teorema de la Aplicacion Abierta. Antes veamos la siguiente definicion.

Definicion. A.1.16 Operador lineal cerrado.

Sean X y Y espacios normados, y T : D → Y un operador lineal, donde D

es un subespacio de X. el operador T se denomina cerrado si su grafo, GT =

(x, T (x)) : x ∈ D es un subespacio cerrado de X × Y. Equivalentemente, T es

cerrado si y solamente si se tiene la siguiente condicion:

si xn ∈ D, xn → x ∈ X, y T (xn) → y entonces x ∈ D y y = T (x).

con esta definicion en mano, presentamos los siguientes resultados, mostrados en

[MR1, p. 43-47].

Daremos un criterio para decidir cuando un operador lineal acotado es cerrado,

y en forma inversa, cuando un operador cerrado es continuo. Encontramos una

primera relacion en el siguiente resultado.

54

Proposicion. A.1.17 Caracterizacion de operadores lineales cerrados.

Sea T : D → Y, donde D ⊂ X, un operador lineal continuo. Entonces, si D es

un subespacio cerrado de X, tenemos que T es cerrado. Recıprocamente, si Y es

completo y T es cerrado, entonces D es un subespacio cerrado de X.

Teorema. A.1.18 Teorema de la aplicacion abierta.

Sea X un espacio de Banach y Y un espacio normado de segunda categorıa. Si

T es un operador lineal cerrado de un subespacio cerrado de X sobre Y , entonces

T es una aplicacion abierta, es decir, la imagen bajo T de conjuntos abiertos es

abierto.

Una consecuencia del teorema de la aplicacion abierta es que todo operador lineal

biyectivo, acotado, definido sobre un espacio de Banach es un isomorfismo, en

efecto, sea X un espacio de Banach y Y un espacio normado de segunda categorıa,

y T : X → Y un operador lineal acotado y biyectivo. Como X es completo,

entonces X es cerrado. En consecuencia, por la proposicion A.1.17, tenemos que

T es un operador lineal cerrado. Entonces por el teorema A.1.18 tenemos que T

es una aplicacion abierta. De esta forma, por la continuidad de T, tenemos que

la imagen inversa de cualquier abierto es un conjunto abierto, y del hecho que

T es una aplicacion abierta, la imagen de cualquier abierto es un abierto; pero

esto ultimo nos dice que la imagen, bajo T−1, de cualquier conjunto abierto es un

conjunto abierto, es decir, T−1 es continuo. Por lo tanto T es un homeomorfismo

lineal, es decir, un isomorfismo.

Teorema. A.1.19 Teorema del Grafo Cerrado

55

Sea T un operador lineal de un espacio de Banach X en un espacio de Banach

Y . Supongamos que siempre que una sucesion xn ∞n=1 en X converge a algun

x ∈ X, y T (xn) ∞n=1 converge a algun y ∈ Y , se tiene que y = T (x). Entonces

T es acotado.

A.2 Del Analisis Real.

De esta importante rama de la Matematica extraemos algunos conceptos funda-

mentales en la Teorıa de la Medida y de la integracion de Lebesgue. Todo lo aquı

expuesto se encuentra en el libro de Hewitt-Stromberg [HS1].

Definicion. A.2.1 Sea Ω un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de X.

Una funcion de conjunto µ definida sobre Σ es denominada medida finitamente

aditiva si

i) 0 ≤ µ(A) ≤ ∞ para todo A ∈ Σ

ii) µ(∅) = 0

iii) µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B) si A,B ∈ Σ y A ∩B = ∅.

Definicion. A.2.2 Una medida finitamente aditiva µ tal que

µ

(∞⋃

n=1

An

)=

∞∑n=1

µ(An)

para toda coleccion de conjuntos disjuntos dos a dos An∞n=1 , donde An ∈ Σ,se

deno-minada medida numerablemente aditiva o simplemente medida.

56

Definicion. A.2.3 La tripleta (Ω,Σ, µ) , donde Σ es una σ−algebra y µ es una

medida numerablemte aditiva, se le denomina espacio de medida.

En particular nosotros estaremos interesados en espacios de medida finita, es decir,

aquellos espacios para los cuales µ(Ω) < ∞. Estas medidas, generalmente tienen

valores en R+, y en particular sobre el intervalo [0, 1] .

Es posible encontrar tambien medidas que poseen valores en los reales extendidos,

y mas ampliamente en los numeros complejos.

Definicion. A.2.4 Sea X un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω.

Una funcion de valor real extendido ν definida sobre Σ con valores en los reales

extendidos se denomina medida signada si cumple con

i) ν(∅) = 0

ii) µ (⋃∞

n=1An) =∑∞

n=1 µ(An),

para toda coleccion de conjuntos disjuntos dos a dos An∞n=1 , donde An ∈ Σ. Una

funcion ν con valores en los numeros complejos y que satisface las condiciones i)

y ii) se le denomina medida compleja.

Es posible obtener una medida con valores reales a partir de una medida con

valores complejos. Definamos la funcion de conjunto

|ν| (A) = sup

n∑

k=1

|ν(Ak)| : A1, .., An es una particion medible de A

,

denominada variacion total de ν.Obtenemos entonces el siguiente resultado mostra-

do en [HS1, p. 308].

57

Teorema. A.2.5 La variacion total de la medida compleja ν es una medida sobre

Ω.

Otro concepto de importancia para este trabajo lo constituye la siguiente defini-

cion.

Definicion. A.2.6 Sea Ω un conjunto y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω.

Sean µ, ν dos medidas signadas o complejas definidas sobre Ω. Decimos que ν

es absolutamente continua respecto a µ, denotandolo por ν µ, si |µ| (A) = 0

implica que ν(A) = 0 .

Con esta definicion podemos entonces presentar uno de los mas grandes resultados

del Analisis, el Teorema de Radom-Nikodym. Este teorema y su demostracion es

expuesto por Hewitt-Stromberg en [HS1, p. 315 ].

Teorema. A.2.7 Sea (Ω,Σ, µ) un espacio de medida. Sea ν una medida tal que

ν µ. Existe una funcion medible f0, de valor real extendido, medible, definida

sobre Ω con las siguientes propiedades:

i) ν(A) =

∫A

f0dµ

para todo A ∈ Σ que sean σ−finitos respecto a µ.

ii)

∫Ω

fdν =

∫Ω

ff0dµ

para toda funcion f , no negativa, de valor real extendido, medible, definida sobre

Ω, y tal que x ∈ Ω : f(x) > 0 es σ−finito respecto a µ.

58

A.3 De la Topologıa.

Conocemos que para un espacio normado (X, ‖ · ‖), la norma considerada genera

una topologıa, la cual es metrizable, puesto que d(x, y) = ‖x− y ‖ es una metrica

definida sobre X. Sobre esta topologıa, los elementos de X∗, son continuos. Nos

proponemos mostrar en esta seccion otras topologıas mas debiles que hacen que

los elementos de X∗ sean continuos.

Comenzamos estableciendo alguna definiciones basicas, como lo son las correspon-

dientes a topologıa, bases y subbases,y topologıas menos finas, de una topologıa.

Definicion. A.3.1 Topologıa.

Una topologıa T para un conjunto X es una coleccion de subconjuntos de X,

llamados abiertos, tal que

• (i) ∅ ∈ T , X ∈ T .

• (ii) Si A,B ∈ T , entonces (A ∩B) ∈ T .

• (iii) Si Aα α es una coleccion arbitraria de conjuntos en T , entonces⋃αAα ∈ T .

Como un ejemplo vemos que si X = R, y T la coleccion de todos los sub-

conjuntos G de R tales que si x ∈ G implica que para algun ε > 0 se tiene

que y ∈ R : | y − x | < ε ⊂ G; entonces, T es una topologıa para R, llamada

topologıa usual de R.

Definicion. A.3.2 Bases y Subbases de una topologıa.

59

Sean L,B colecciones de conjuntos tales que B consiste de todas las intersecciones

finitas de conjuntos de L. Sea T la coleccion de todos los conjuntos que son uniones

arbitrarias de conjuntos de B. Entonces L es una subbase y B una base para T .

Definicion. A.3.3 Topologıas menos finas.

Decimos que una topologıa T1 es una topologıa menos fina que la topologıa T , si

T1 ⊂ T .

A.4 Topologıas inducidas por familias de

funciones.

Supongamos que X es un conjunto y que F es una familia de funciones, tal que

cada f ∈ F aplica X en un espacio topologico (Yf , Tf ). El siguiente resultado

muestra que existe una topologıa con suficientes conjuntos abiertos como para que

cada elemento de la familia F sea continuo.

Proposicion. A.4.1 Existencia de una topologıa inducida.

Sea X un conjunto, y sean, F una familia de funciones y (Yf , Tf ) : f ∈ F una

familia de espacios topologicos tal que cada f ∈ F aplica X en el espacio topologico

(Yf , Tf ) correspondiente. Entonces existe una topologıa mas pequena para X con

respecto a la cual cada f ∈ F es continua. Esto es, existe una unica topologıa TFpara X tal que

• (1) cada f ∈ F es TF−continua; y

60

• (2) si T es cualquier topologıa para X tal que cada f ∈ F es T −continua,

entonces TF ⊆ T .

La topologıa TF tiene a f−1(U) : f ∈ F , U ∈ Tf como una subbase.

Demostracion:

Sea G = f−1(U) : f ∈ F,U ∈ Tf . A partir de G, tenemos que la coleccion B

de todas las intersecciones finitas de elementos de G, forman una base para la

topologıa TF , la cual es la coleccion de conjuntos que son uniones arbitrarias de

elementos de B. Consideremos entonces la topologıa TF . Como G ⊆ TF , entonces

cada elemento de F es TF−continuo. Ahora, supongamos que T es una topologıa

para X tal que cada elemento de F es T −continuo. Entonces, G ⊆ T , y ası

TF ⊆ T . La afirmacion de la unicidad sigue inmediatamente.

A.5 Topologıa debil.

Usando la notacion de la precedente proposicion obtenemos la siguiente definicion.

Definicion. A.5.1 Topologıa Debil de X inducida por X∗.

Sea X∗ la familia de funciones topologizantes para X, y σ(X,X∗) la topologıa

de X, inducida por la familia X∗. Esta es conocida como la topologıa debil de

X inducida por X∗.

La topologıa debil, σ(X,X∗) , de X es la topologıa menos fina de X para la

61

cual cada elemento de X∗ es continuo.

Cabe ahora la siguiente aclaratoria. Al considerar un espacio normado (X, ‖ · ‖),

llamaremos a la topologıa T , inducida por la norma, la topologıa fuerte de X.

Para esta topologıa todo elemento de X∗ es continuo, es decir, si f ∈ X∗ se tiene

que f−1(V ) ∈ T para cada V ∈ Σ, donde Σ es la topologıa usual de R. En

consecuencia, la topologıa σ(X,X∗) es la topologıa menos fina para la cual todo

elemento de X∗ es continuo, es decir, si f ∈ X∗ se tiene que f−1(V ) ∈ σ(X,X∗)

para cada V ∈ Σ.

En consecuencia, es facil ver que si A es un conjunto debilmente abierto entonces es

fuertemente abierto, o simplemente, abierto, ya que σ(X,X∗) ⊂ T . Tambien, si A

es debilmente cerrado, su complemento es debilmente abierto, y en consecuencia,

abierto, por lo tanto, A es fuertemente cerrado, o cerrado. En lo sucesivo usare-

mos solo la expresion ”fuertemente”para recalcar que nos referimos a la topologıa

inducida por la norma.

Otro aspecto de interes es aquel que corresponde a los elementos de la base de la

topologıa, y a la convergencia de sucesiones en esta topologıa.

Definicion. A.5.2 Vecindades de base entorno a un punto arbitrario,

respecto a la topologıa debil.

Para cada x0 ∈ X sus vecindades de base esta definida como

U(x0; ε, x∗1, .., x

∗n) =

x ∈ X :

∣∣ x∗j(x)− x∗j(x0)∣∣ < ε, j = 1, .., n

,

donde x∗1, .., x∗n es un conjunto finito arbitrario de elementos de X∗ y ε es un

numero positivo arbitrario.

62

En vista de que cada elemento de base U(x0; ε, x∗1, .., x

∗n) es un conjunto convexo,

tenemos que la topologıa σ(X,X∗) es localmente convexa.

Tambien sera util considerar aquellos conjuntos que siendo acotados en la topologıa

inducida por la norma son tambien acotados respecto a la topologıa debil.

Definicion. A.5.3 Conjuntos debilmente acotados.

Decimos que A es un conjunto debilmente acotado si para toda vecindad debil de

cero, U, existe un entero positivo sU tal que A ⊂ tU para todo t ≥ sU .

Entonces, de acuerdo a esta definicion tenemos los siguientes resultados, cuyas

demostraciones se encuentran en [MR1, p. 213-214].

Proposicion. A.5.4 Conjuntos acotados debilmente y fuertemente.

Un subconjunto de un espacio normado es acotado si y solo si es debilmente aco-

tado.

Corolario. A.5.5 Un subconjunto A de un espacio normado X es acotado si y

solo si x∗(A) es un subconjunto acotado de numeros reales para cada x∗ ∈ X∗.

Corolario. A.5.6 Los subconjuntos debilmente compactos de un espacio normado

son acotados.

Corolario. A.5.7 Todo subconjunto debilmente abierto de un espacio infinito di-

mensional normado es no acotado.

63

Proposicion. A.5.8 Subespacios cerrados respecto a topologıas debıl y

fuerte.

Todo subespacio lineal de un espacio normado X es cerrado si y solo si es debilmente

cerrado.

Demostracion:

Sea Y un subespacio cerrado del espacio normadoX. Supongamos que Y es cerrado

y que y ∈ XY . Entonces por el corolario al teorema de Hann-Banach, existe

x∗ ∈ X∗ tal que x∗(y) 6= 0 y x∗(z) = 0 para todo z ∈ Y.

Esto significa que el conjuntoA = w ∈ X : |x∗(w) | > 0 es un conjunto debilmente

abierto, ya que A es interseccion arbitraria de abiertos basicos de la topologıa debil

de X. Ademas, A ∩ Y es vacıo. En consecuencia, y no es punto de clausura debil

de Y .

Entonces XY es debilmente abierto y en consecuencia Y es debilmente cerrado.

El resto de la demostracion sigue del hecho que todo conjunto debilmente cerrado

es cerrado.

El siguiente resultado, tomado de [MR1, p. 215], nos muestra que en un espacio de

dimension infinita, la topologıa debil esta propiamente contenida en la topologıa

fuerte.

Proposicion. A.5.9 Coincidencia entre las topologıas debil y fuerte.

La topologıa debil, σ(X,X∗), de un espacio normado X, coincide con la topologıa

64

fuerte, T , si y solo si X tiene dimension finita.

Demostracion:

Probaremos que si la bola abierta unitaria en X es debilmente abierta entonces

X∗ (y ası X ) tiene dimension finita.

Supongamos que S = x ∈ X : ‖x ‖ < 1 es debilmente abierto. Entonces existe

un abierto basico de Tw contenido en S, es decir, existen x∗1, .., x∗n y numeros reales

r1, .., rn tales que

x ∈ X : |x∗i (x) | < ri, 1 ≤ i ≤ n ⊂ S.

Si el conjunto A = x ∈ X : x∗i (x) = 0 contiene a algun x0, entonces para todo

r ∈ R se tiene que rx0 ∈ A ⊂ S; en efecto, si x0 ∈ A entonces x∗i (x0) = 0 para

cada i. Entonces, x∗i (rx0) = rx∗i (x0) = 0. Esto implica que x0 = 0, ası A = 0.

Afirmamos que x∗1, .., x∗n generan a X∗.

Sea x∗ ∈ X∗. Definamos T : X → F n por

T (y) = (x∗1(y), .., x∗n(y)) ∈ F n.

Ahora, definamos h : T (X) → F por

h(T (y)) = x∗(y).

Veamos la buena definicion de h. Esto es claro, ya que si T (z) = T (y) entonces

z − y ∈ A = 0 es decir x = y, con lo que x∗(z) = x∗(y) implica que z = y.

Como h es lineal y ya que T (X) tiene dimension finita, entonces (T (X) )∗ tambien

la tiene. Entonces podemos suponer que existen h1, .., hm , (1 ≤ m ≤ n) en

65

(T (X) )∗ tales que

hi(t1, .., tn) = ti

para cada i, y

h =m∑

i=1

aihi

para algunos escalares a1, .., am. Entonces x∗ =∑m

i=1 aix∗i . Por lo tanto X∗ tiene

dimension finita, y ası tambien X.

Cabe preguntarse si los funcionales y los operadores lineales continuos, respecto a

la topologıa fuerte, son continuos respecto a la topologıa debil.

Proposicion. A.5.10 Un funcional lineal definido sobre un espacio normado es

continuo respecto a la topologıa debil si y solo si es continuo respecto a la topologıa

fuerte.

Demostracion:

Supongamos que (X, ‖ · ‖) es un espacio normado y que f es un funcional lineal

continuo respecto a la topologıa σ(X,X∗). Sea T la topologıa inducida por la

norma. Como σ(X,X∗) ⊂ T entonces es claro que f es continua respecto a la

topologıa fuerte.

Supongamos ahora que f es un funcional continuo respecto a la topologıa fuerte,

es decir, f ∈ X∗. Como σ(X,X∗) es la menor topologıa respecto a la cual todo

funcional lineal es continuo, queda que f es continuo respecto a esta.

66

El siguiente resultado, tomado de [MR1, p. 214], nos muestra que un operador

lineal entre espacios topologicos, es continuo con respecto a las topologıas inducidas

por la norma, y al mismo tiempo, continuo respecto a las topologıas debiles.

Proposicion. A.5.11 Sean X, Y espacios normados, y TX , TY las topologıas in-

ducidas por sus normas, respectivamente. Un operador lineal T : (X, TX) →

(Y, TY ) es fuertemente continuo si y solo si T : (X, σ(X,X∗)) → (Y, σ(Y, Y ∗))

es continuo.

Demostracion:

Supongamos que T : (X, TX) → (Y, TY ) es continuo. Entonces, si V ⊂ TY entonces

T−1(V ) ⊂ TX .

La convergencia de sucesiones respecto a esta topologıa debil queda definida como

sigue.

Definicion. A.5.12 Sucesion Debilmente Convergente.

Decimos que una sucesion xn ∞n=1 en un espacio normado (X, ‖ · ‖) converge

debilmente a x ∈ X, si para todo funcional lineal acotado y∗ ∈ X∗ se tiene que

limn→∞

y∗(xn) = y∗(x).

Similarmente se define una sucesion de Cauchy respecto a esta topologıa.

Definicion. A.5.13 Sucesion debil de Cauchy.

Decimos que una sucesion xn ∞n=1 es una sucesion debil de Cauchy si para cada

x∗ ∈ X∗ se tiene que la sucesion x∗(xn) converge en R.

67

Algunos resultados de interes son los siguientes.

Lema. A.5.13.1 Toda sucesion debil de Cauchy es acotada en norma.

Demostracion:

Sea xn ∞n=1 una sucecion debil de Cauchy, entonces, para cada x∗ ∈ X∗ la suce-

sion x∗(xn) ∞n=1 converge en R.

Esto nos sugiere considerar la aplicacion T : X∗ → c, definida por T (x∗) =

x∗(xn) ∞n=1 para cada x∗ ∈ X∗. Esta aplicacion es lineal, en efecto,

T (αx∗ + βy∗) = (αx∗ + βy∗)(xn) ∞n=1

= α x∗(xn) ∞n=1 + β y∗(xn) ∞n=1

= αT (x∗) + βT (y∗)

Por otra parte, sea y∗m ∈ X∗, con y∗m → y∗ ∈ X∗ y T (y∗m) → z ∈ c. Entonces

T (y∗m) = y∗m(xn) ∞n=1 → zn ∞n=1 en la medida que m→∞

es decir,

limm→∞

y∗m(xn) = zn.

Pero, el hecho que y∗m → y∗ ∈ X∗ implica que la convergencia es uniforme, en

consecuencia, tenemos que

limm→∞

y∗m(xn) = y∗(xn), para cada xn

y de la unicidad del lımite, queda que y∗(xn) = zn, es decir, T (y∗m) = T (y∗), y

con esto vemos que T es un operador cerrado de un espacio de Banach en otro;

68

luego por el teorema del grafo cerrado A.1.19 obtenemos que T es un operador

acotado.

Ahora, del hecho que

‖T ‖ = sup‖ y∗ ‖≤1

‖T (y∗) ‖c = sup‖ y∗ ‖≤1

supn∈N

| y∗(xn) | = supn∈N

sup‖ y∗ ‖≤1

| y∗(xn) | = supn∈N

‖xn ‖ ,

y que T es acotado, obtenemos el resultado buscado, que

supn∈N

‖xn ‖ = ‖T ‖ <∞.

A.6 Topologıa Debil*

Conocemos que la topologıa debil de X∗, es la topologıa menos fina de X∗ tal que

los elementos de X∗∗ son continuos. Sin embargo esta topologıa se torna menos

util que la topologıa en X∗ generada por los elementos de i(X), donde i : X → X∗∗

es la aplicacion natural, definida por medio de i(x)(x∗) = x∗(x), para todo x ∈ X.

Definicion. A.6.1 Topologıa debil*.

La topologıa menos fina de X∗ para la cual los elementos de J(X) son continuos

se denomina topologıa debil* de X∗; la denotaremos con T ∗w .

Es claro que esta topologıa es menos fina que la topologıa debil, es decir, T ∗w ⊂ Tw

de X∗.

Una base para la topologıa debil* esta dada por los conjuntos de la forma

f ∈ X∗ : | f(xi)− f0(xi) | , 1 ≤ i ≤ n ,

69

donde x1, .., xn ∈ X, ε > 0 y f0 ∈ X∗. Recordemos que f(xi) = J(xi)(f).

Si X es reflexivo, tenemos que J(X) = X∗∗, y en consecuencia la topologıa debil

Tw de X∗ coincide con la topologıa debil*, T ∗w .

La importancia de esta topologıa la veremos en la siguiente seccion.

A.7 Teorema de Banach-Alaoglu.

Este importante resultado establece la compacidad debil* de la bola unitaria cer-

rada en la topologıa fuerte de X∗.

Teorema. A.7.1 Teorema de Banach-Alaoglu.

La bola unitaria cerrada en X∗ es compacta en su topologıa debil*, T ∗w .

Demostracion:

Sea S∗ = f ∈ X∗ : ‖ f ‖X∗ ≤ 1 . Sea Ix = c ∈ F : | c | ≤ ‖x ‖ . Entonces,

f(x) ∈ Ix. En efecto, como f ∈ X∗ tenemos que

| f(x) | ≤ ‖ f ‖X∗ ‖x ‖ ≤ ‖ x ‖ .

Si P =∏

x∈X Ix, el conjunto de funcionales definidas sobre X con f(x) ∈ Ix,

entonces podemos pensar en S∗ como un subconjunto de P , con la topologıa pro-

ducto. La topologıa que S∗ hereda es la topologıa debil*.

Del Teorema de Tychonoff obtenemos que P es compacto, ası, S∗ sera compacto

si este es cerrado como subconjunto de P . Probaremos esto.

70

Sea f un punto de clausura de S∗ en P . Entonces f : X → F y | f(x) | ≤ ‖ x ‖ .

Ahora, para x, y ∈ X y α, β ∈ F , el conjunto

V = g ∈ P : | g(x)− f(x) | < ε, | g(y)− f(y) | < εy | g(αx+ βy)− f(αx+ βy) | < ε

es un subconjunto abierto de P que contiene a f , y en consecuencia, V ∩ S∗ 6= ∅.

Si g ∈ V ∩ S∗, g es lineal, en consecuencia,

| f(αx+ βy)− αf(x) + βf(y) | < ε |α |+ | β | .

Como esta desigualdad se tiene para todo ε > 0, entonces f es lineal y por tanto

f ∈ S∗. Hemos probado que S∗ es cerrado en P , por lo tanto es compacto.

De este resultado tenemos que, si X es reflexivo entonces X y X∗∗ pueden ser

identificados, y en consecuencia, la topologıa debil sobre X puede ser tratada

como la topologıa debil* de X∗∗.

71

Apendice B.

Integrabilidad Uniforme.

En adelante, dado un conjunto Ω, una σ−algebra Σ, y una medida probabilıstica

µ, definida sobre Σ, consideramos el espacio de medida de probabilidad (Ω,Σ, µ)

de tal forma que µ(Ω) = 1. El conjunto L1(µ) es el espacio de Lebesgue constituıdo

por aquellas funciones integrables f : Ω → R (o C), tales que∫Ω

|f | dµ <∞;

ası, estas funciones son acotadas casi en todas partes.

Ademas recordemos que una medida µ es numerablemente aditiva si dada cualquier

sucesion En de conjuntos medibles disjuntos por pares, se tiene que µ(∪n≥1En) =∑n≥1 µ(En). Tambien, diremos que una medida ν es abolutamente continua re-

specto a µ si cada vez que E ∈ Σ con µ(E) = 0, se tiene que ν(E) = 0. Por otra

parte, dada una funcion f ∈ L1(µ) podemos definir la medida ν(E) =∫

E|f | dµ,

la cual es absolutamente continua respecto a µ, y numerablemente aditiva si µ lo

es.

72

B.1 Integrabilidad Uniforme: Definicion. Ejem-

plos

Dado un conjunto Ω, una σ−algebra Σ, y una medida probabilıstica µ, definida

sobre Σ, consideramos el espacio de medida de probabilidad (Ω,Σ, µ) de tal forma

que µ(Ω) = 1. El conjunto L1(µ) es el espacio de Lebesgue constituıdo por aquellas

funciones integrables f : Ω → R (o C.), tales que∫Ω

| f | dµ <∞;

ası, estas funciones son acotadas casi en todas partes.

J. Diestel presenta la definicion de integrabilidad uniforme en [DJ2, p. 41], como

sigue.

Definicion. B.1.1 Integrabilidad Uniforme.

Un subconjunto K de L1(µ) es uniformemente integrable si

limc→∞

(supf∈K

∫ | f |>c

| f | dµ)

= 0.

De acuerdo a la definicion de lımite al infinito y la definicion de supremo, se tiene

que K es uniformemente integrable si dado ε > 0 existe un numero real cε = c > 0

tal que para t > c se tiene que ∫ | f |>t

| f | dµ < ε,

para todo f ∈ K.

Los siguientes ejemplos de conjuntos uniformemente integrables son tomados de

[CN1, p. 149].

73

B.2 Caracterizacion de conjuntos uniformemente

integrables.

La definicion B.1.1 tiene una forma equivalente. J. Diestel presenta el siguiente

enunciado equivalente. [DJ2, p. 41].

Teorema. B.2.1 Un subconjunto K de L1(µ) es uniformemente integrable si y

solo si K es acotado y dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier E ∈ Σ con

µ(E) ≤ δ se tiene que ∫E

| f | dµ ≤ ε

para todo f ∈ K.

Estamos en el ambiente de los conjuntos uniformemente integrables, y podemos

pasar al de los conjuntos de medidas uniformemente absolutamente continuas,

concepto expuesto por Dunford-Shwartz en [DS1].Definamos el espacio ca(Σ).

Definicion. B.2.2 Sea Ω un conjunto, y Σ una σ−algebra de conjuntos de Ω. De-

notamos con ca(Σ) el espacio lineal de medidas acotadas que son numerablemente

aditivas. Con la norma definida como

‖µ‖ca(Σ) = |µ| (Ω) (variacion de µ .)

tenemos que(ca(Σ), ‖µ‖ca(Σ)

)es un espacio de Banach.

Sea λ ∈ ca(Σ) no negativa. Definimos una pseudo-metrica sobre Σ de la siguiente

manera

dλ(A,B) = λ(A∆B), para todo A,B ∈ Σ,

74

donde A∆B es la diferencia simetrica de los conjuntos A,B ∈ Σ. A partir de esto

obtenemos que (Σ, dλ) es un espacio pseudo-metrico.

Notese ademas que

λ(A∆B) =

∫A∆B

dλ =

∫Ω

χA∆Bdλ =

∫Ω

|χA − χB| dλ = ‖χA − χB‖L1(λ) .

Veamos el siguiente resultado, cuya demostracion es rutinaria.

Teorema. B.2.3 (Σ, dλ) es un espacio pseudo-metrico completo, en el cual las

operaciones (A,B) 7→ A ∪B, (A,B) 7→ A ∩B, A 7→ Ac son continuas.

La intencion de esta idea es poder estudiar la convergencia de las sucesiones de

medidas numerablemente aditivas definidas sobre Σ, como funciones continuas

sobre el espacio pseudo-metrico (Σ, dλ) Veamos.

Definicion. B.2.4 Conjuntos uniformemente µ−continuos sobre con-

juntos me-dibles.

Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es

uniformemente µ− continuo en E ∈ Σ si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si

F ∈ Σ y ρ(F,E) < δ entonces |µ(F )− µ(E) | < ε para todo µ ∈ K.

Definicion. B.2.5 Conjuntos uniformemente µ−continuas sobre Σ.

Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es

uniformemente µ− continuo sobre Σ si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si

F,E ∈ Σ y ρ(F,E) < δ entonces |µ(F )− µ(E) | < ε para todo µ ∈ K.

75

Definicion. B.2.6 Conjuntos uniformemente numerablemente aditivos.

Decimos que un conjunto K de medidas finitamente aditivas de valor escalar es uni-

formemente numerablemente aditivo si para cada sucesion decreciente En ∞n=1 ⊂

Σ con⋂

nEn = ∅ y cada ε > 0 existe un Nε tal que si n ≥ Nε entonces |µ(En | < ε

para todo µ ∈ K.

Con estas definiciones, veamos el siguiente teorema, cuya demostracion se con-

struye por medio de las definiciones. Vease el libro de Dunford-Schwartz [DS1].

Teorema. B.2.7 Sea K una familia de medidas finitamente aditivas de valor es-

calar sobre Σ. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

• 1. K es uniformemente µ−continuo en algun E ∈ Σ.

• 2. K es uniformemente µ−continuo en ∅.

• 3. K es uniformemente µ−continuo sobre Σ.

Ademas, cualquiera de estas implican que K es uniformemente numerablemente

aditiva.

N. Carothers plantea la caracterizacion del teorema B.2.1 en estos terminos en

[CN1, p. 45].

Teorema. B.2.8 Integrabilidad Uniforme y Medidas uniformemente ab-

solutamente continuas.

76

Un subconjunto K ⊂ L1(µ) es uniformemente integrable si y solo si la familia

de medidas F = ∫

A| f | dµ : f ∈ K

es uniformemente absolutamente continuas

respecto a µ; esto es, si y solo si, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que∫E

| f | dµ < ε

para toda f ∈ K y todo conjunto medible A, con µ(A) < δ.

El siguiente ejemplo nos da otra idea para una caracterizacion de conjuntos uni-

formemente integrables.

De La Vallee-Poussin, extrae del analisis armonico y probabilidad en el estudio

de la cola de algunas sumas especiales, el siguiente resultado, expuesto por J.

Alexoupolus en [AJ1].

Teorema. B.2.9 De la Vallee Poussin.

Para que K ⊂ L1(µ) sea uniformemente integrable es necesario y suficiente que

exista una funcion, par y convexa, Φ : R → R tal que

Φ(0) = 0 , limx→∞

Φ(x)

x= ∞ y sup

∫Φ(| f(ω) |)dµ(ω) : f ∈ K

<∞.

B.3 Teorema de Lebesgue-Vitali. Lema de Rosen-

thal.

Ya hemos visto que los conjuntos finitos de L1(µ) son uniformemente integrables;

el Teorema de Lebesgue-Vitali nos dice que bajo cierta condicion, los conjuntos

numerables de L1(µ) tambien lo son.

77

Teorema. B.3.1 Lebesgue-Vitali.

Sea fn ∞n=1 una sucesion acotada en L1(µ) tal que para cada E ∈ Σ se tiene que

limn→∞

∫E

fndµ = 0,

entonces fn : n ≥ 1 es uniformemente integrable.

La idea escondida en la prueba del este teorema nos ayuda a introducir el Lema de

Rosenthal, una herramienta, que nos mostrara que en todo conjunto acotado que

no es uniformemente integrable existe una sucesion de vectores que es equivalente

a la base standard de l1.(Teorema de Kadec-Pelczynski.)

Lema. B.3.1.1 Rosenthal.

Sean µn una sucesion acotada de medidas finitamente aditivas de valor real

acotado, definidas sobre Σ, ε > 0 y En una sucesion de elementos de Σ, disjuntos

dos a dos. Entonces existe una sucesion creciente de numeros enteros positivos

nk tales que para cada k se tiene que

|µnk| (∪j 6=kEnj

) < ε.

B.4 Teorema de Dunford-Pettis.

Como uno podrıa esperar, no todos los subconjuntos acotados de los espacios L1

son uniformemente integrables. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. B.4.1 Supongamos que fn ∞n=1 ⊂ L1([0, 1]) es una sucesion de fun-

ciones disjuntamente soportadas de valor real no negativo y que∫ 1

0fn(t)dt = 1,

78

para cada n. Debe ser claro que los soportes de las fn necesariamente se contraen

en un conjunto de medida cero aun en ninguna forma podemos obligar el compor-

tamiento de las integrales indefinidas. En efecto, para tal sucesion fn ∞n=1 , y

para cualquier sucesion de escalares an ∞n=1 , se tiene que∥∥∥∥∥∞∑

n=1

anfn

∥∥∥∥∥1

=

∫R

∣∣∣∣∣∞∑

n=1

anfn(t)

∣∣∣∣∣ dt=

∞∑k=1

∫sop(fk)

∣∣∣∣∣∞∑

n=1

anfn(t)

∣∣∣∣∣ dt=

∞∑k=1

| ak |∫

sop(fk)

fn(t)dt

=∞∑

n=1

| an | .

Parte del estudio de la integrabilidad uniforme es el notable hecho que el ejem-

plo anterior es, en un fuerte sentido, la unica obstruccion para la integrabilidad

uniforme de un conjunto acotado. Antes de ver la razon de que esto sea ası, es

importante relacionar la integrabilidad uniforme con la topologıa debil del espacio

de Banach L1(µ).

¿Como determina uno que un conjunto relativamente debilmente compacto es ası?.

Tomamos un conjunto K en un espacio de Banach X, que es acotado en norma.

Tomamos la imagen de este conjunto, bajo la aplicacion natural i : X → X∗∗,

y consideramos la clausura debil* del mismo. Si esta clausura debil* permanece

dentro de i(X) entonces, K es relativamente debilmente compacto, ya que i es un

homeomorfismo del espacio topologico (X, σ(X,X∗)) (topologıa debil de X) en el

espacio topologico (X∗∗, σ(X∗∗, i(X∗))).

79

El siguiente teorema, y objetivo pincipal de este trabajo, fue extraıdo de la recopi-

lacion de J. Diestel en [DJ2].

Teorema. B.4.2 Dunford-Pettis.

Un subconjunto K de L1(µ) es relativamente debilmente compacto si y solo si K

es uniformemente integrable.

B.5 Consecuencias del Teorema de Dunford-Pettis

Antes de entrar en otro resultado, vamos a recordar alhunos conceptos respecto a

bases de Shauder.

Definicion. B.5.1 Base de Schauder.

Una sucesion xn ∞n=1 en un espacio de Banach X es denominada Base de

Schauder de X, si para cada x ∈ X existe una unica sucesion de escalares

an ∞n=1 tal que x =∑∞

n=1 anxn.

Definicion. B.5.2 Bases Equivalentes.

Dos bases xn ∞n=1 y yn ∞n=1 de un espacio de Banach X se denominan bases

equi-valentes si la convergencia de una implica la convergencia de la otra.

Es de esperar que un resultado como el del teorema B.4.2 tenga consecuencias

importantes. Veamos la siguiente.

80

Teorema. B.5.3 Teorema de Kadec-Pelcinsky

Supongamos que K es un subconjunto acotado que no es debilmente compacto en

L1(λ), donde λ es un elemento no negativo de ca(Σ). Entonces K contiene una

sucesion fn ∞n=1 que es equivalente a la base de vectores unitarios de l1.

81

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83

teorema de dunford pettis sobre los espacios de orlicz

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