teorema de triangulos
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TEOREMA DE TRIANGULOS
TEOREMA I ______________________________________________________________ 2
TEOREMA II _____________________________________________________________ 3
TEOREMA III _____________________________________________________________ 3
TEOREMA IV _____________________________________________________________ 3
TEOREMA V _____________________________________________________________ 4
TEOREMA VI _____________________________________________________________ 4
TEOREMA VII ____________________________________________________________ 5
TEOREMA VIII ____________________________________________________________ 6
TEOREMA IX _____________________________________________________________ 6
TEOREMA X _____________________________________________________________ 7
TEOREMA XI _____________________________________________________________ 7
TEOREMA XII ____________________________________________________________ 8
TEOREMA XIII ____________________________________________________________ 8
TEOREMA XIV ____________________________________________________________ 9
TEOREMA XV ____________________________________________________________ 9
TEOREMA XVI ____________________________________________________________ 9
TEOREMA XVII __________________________________________________________ 10
TEOREMA XVIII __________________________________________________________ 10
Teorema XIX ____________________________________________________________ 11
Teorema XX ____________________________________________________________ 11
TEOREMA XXI ___________________________________________________________ 12
TEOREMA XXII __________________________________________________________ 12
Teorema XXIII ___________________________________________________________ 12
TEOREMA XXIV __________________________________________________________ 13
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TEOREMA I
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales
Demostrar : <BOD = < COA
<BOD +<BOC =
<BOC + <COA =
<BOD +<BOC =<BOC + <COA
<BOD = <COA
Partes Homologas
Llamase partes homologas en dos figuras iguales o de una misma forma las que están semejantes
en las dos figuras.
Congruencia.- decimos que dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas
sus partes; esto es, cuando son iguales.
Corolario.- Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.
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TEOREMA II
Si dos lados de un triángulo y el Angulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el
ángulo comprendido de otro triangulo, los dos triángulos son iguales.
A X
C B Z Y
Demostrar: ABC = XYZ
AC =XZ
CB = YZ
<C = <Z
Utilizando congruencia
SuperpongoC en Z
B en Y
A en X lqqd
TEOREMA III
Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese
lado.
Demostrar: ABC = XYZ
AB = XY
<A = < X
<B = < Y
Utilizando congruencia:
Punto A en X
B en YC en Z. lqqd
TEOREMA IV
En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales
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Demostrar: <A = < B
Trazamos la bisectriz
BDC y ADC
AC = BC
DC = DC
< = <
Por teorema II
BDC y ADC
AD = BD
<CAD = <DBC
< A = < B lqqd
TEOREMA V Si dos ángulos de un triángulo son iguales los lados opuestos son iguales, y el triángulo por lo tanto
es isósceles.
Demostrar: AC = BC
ABC = A´B´C´ por construcción
AB = AB´
Volteamos el A´B´C´ para:
B´ encaje en A
A´ encaja en B
<A = <B por hipótesis
<A = <A´ por hipótesis
< A = <B´
B´C´= AC
Punto C encaja C´
A´C´=BC
B´C´= BC
AC = BC lqqd
TEOREMA VI
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro los dos
triángulos son iguales.
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Demostrar: ABC = A´B´C´
AB = A´B´ por hipótesis
Transportamos el A´B´C´ por postulado 5
Unimos C Y C´
AC = AC´ por hipótesis
BC = BC´ por hipótesis
Por teorema
<ACC´= < AC´C
<BCC´= <BC´C<ACC´+ <BCC´= < AC´C + <BC´C
<ACB = <AC´B Axioma 8
Por teorema II
ABC = ABC´
ABC ´= A´B´C´
ABC = A´B´C´ lqqd Por axioma 7
TEOREMA VII
Si de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de loslados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.
Demostrar: CA + CB > AP + PB
Prolongar recta Ap hasta CB Postulado 2
ACQ
AC + CQ > AP + PQ Postulado 3
PQBPQ + BQ > PB
AC + CQ + PQ + BQ > AP + PQ + PB Axioma 5
AC + CB + PQ > AP + PQ + PB Axioma 8
AC + CB > AP + PB lqqd Axioma 4
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TEOREMA VIII
De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.
Demostrar: PZ no es a XY
Prolongar OP Postulado 2
OP = OP´
Trazamos P´ZPOP´ es una recta por construcción
PZP´ no es una recta
< PZP´ no es colineal
PZ no es XY
TEOREMA IX
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies están
a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales
con la perpendicular.
Demostrar: PA = PB y que <APQ = <BPQ
AOP, BOP
<POA Y < BOP son rectosPO a XY
<POA = <POB corolario 3
OA = OB por hipótesis
PO = PO
En otros términos PO es común a los dos triángulos
AOP = BOP por teorema II
PA = PB
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<APO = <BPQ (Corolario, las partes homologas de dos figuras congruentes son
iguales)
TEOREMA X
Si de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no
equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.
Demostrar: PA > PC
Tómese OB igual a OC, y trácese PB
PB = PC Teorema IX
PO prolongada tómese OP´ = OP y trácese P´A, P´B
Entonces
PA = P´A y PB = P´B
PA + P´A > PB + P´B teorema VII
2PA > 2PB y PA > PB Axioma 8
PA > PC Axioma 8
TEOREMA XI
La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado
fuera de ella
Demostrar PO < PZ
Prolongamos PO hasta P´ de suerte que OP´ sea igual a PO y trácese P´Z´
PZ + P´Z = 2PZ Axioma 8
PO + P´O = 2PO Axioma 8
PO + P´O < PZ + P´Z Axioma 4
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2PO < 2PZ Axioma 8
PO < PZ Axioma 5
TEOREMA XII
Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamenteiguales a la hipotenusa y un cateto del otro.
Demostrar: ABC = A´B´C´.
Colóquese el ABC al lado del A´B´C´ de suerte que BC caiga sobre B´C´ y A´ y A queden en lados
opuestos de B´C´
Entonces PA caerá sobre la prolongación de A´B´
(Sigue se esto de <CBA +<A´B´C´= 2rt)AC´= A´C´
AB´= A´B´
ABC = A´B´C´ teorema VI
TEOREMA XIII
Dos triángulos rectángulos son iguales si tiene iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los
ángulos adyacentes a ella.
Demostrar ABC = A´B´C´
Colóquese el ABC sobre A´B´C´ de manera que < A coincida con A´ y AC tome dirección de
A´C´
C caerá sobre C
AC = A´C´
AB tomara la dirección de A´B´
<A = <A´
Puesto que C coincide en C´
Y los <B y B´ son rectos
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CB coincidirá con C´B´ Teorema VIII
ABC = A´B´C´
TEOREMA XIV
Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendicular a una tercera no pueden encontrarse por
más que se prolongue.
Demostrar que AB y CD no pueden encontrarse en ningún punto si AB y CD prolongadas pudieran
encontrarse en un punto, se tendría dos perpendiculares bajadas de un mismo punto a una recta
lo cual es imposible Teorema VIII
AB y CD prolongadas no pueden encontrarse.
TEOREMA XV
Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.
Demostrar XY a CD
Por el punto P se traza MN perpendicular a XY
MN debe ser II AB Corolario 1
CD II a AB Hipótesis
CD y MN deben coincidir Corolario 1
XY es MN por hipótesis
XY es a CD.
TEOREMA XVI
Si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos alternos internos son iguales.
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Demostrar <APY = <DQP
Trazamos una recta MN
MN pasa por el punto medio PQ
MN AB
MN CD teorema XV
<PMN = 90
<QNM = 90
<MOP = < NOQ por opuestos por el vértice
OP = OQ
OPM = ONQ por teorema XIII
<APQ = < DQP
TEOREMA XVII
Si dos rectas situados en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos internos
iguales, esas dos rectas son paralelas.
Demostrar AB II CD
Trazamos MN que pasa por el punto P
MN II CD
<MPQ = < DQP teorema XVI
<APQ = < DQP por hipótesis
MN = AB coincidir
AB II CD
TEOREMA XVIII
Si dos paralelas son cortadas por un transversal los ángulos correspondientes son iguales.
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Demostrar <BPX = < DQX
<BPX = <APY por opuestos por el vértice
<APY = < DQX por el teorema XVI
<BPX = <DQX lqqd
Teorema XIX
La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectas
Demostrar
<A +< B +<C = 180
Trazamos YB II AC por construcción
Prolongamos AB hasta X por postulado 2
<ABC + <CBY+<XBY = 180
< A = <XBY por correspondientes al teorema XVIII
<C = <CBY por alternos internos por teorema XVI
<B = <ABC
<A +<B+<C = 2rts. Lqqd
Teorema XX
La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia,
menor.
Demostrar: AC + BC >ABAB BC < AC
AC + BC > AB por axioma 3
AC >AB BC
AB BC < AC lqqd
AC BC < AB
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TEOREMA XXI
Si dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor lado se opone mayor ángulo.
Demostrar: <BAC > <B
Trazamos AX Formando el ACX en un isósceles.
<CXA = < XAC por teorema IV
<CXA > < B por corolario (Todo ángulo externo de un triángulo es mayor que cualesquiera de los
internos opuestos)
< BAC > < XAC Axioma 10
Reemplazando
<XAC por su igualdad <CXA:
<BAC > <CXA
<CXA > <B
<BAC > <B lqqd.
TEOREMA XXII
Si dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor ángulo se opone mayor lado.
Demostrar: BC > CA
Si CA fuera mayor que BC el
<B sería mayor que el < A Teorema XXI
<A < <B
BC > CA lqqd
Teorema XXIII
Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados del otro, y el ángulo
comprendido por los dos lados del otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor
que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el
tercer lado del segundo.
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Demostrar: AB > XY
AC = XY por hipótesis
BC = YZ por hipótesis
<C = <Z por hipótesis
Superpongo XYZ en ABC por postulado 5
AC coincide con XZ
Trazamos Bisectriz <BCY y trazamos CP y YP
CY = BC por construcciónCP = CP por identidad
<PCY = <BCP por bisectriz
BPC = CPY por teorema II
PY = PB
AP + PY > AY por postulado 3
AP + PB > AY por postulado 3
AB > AY por axioma 8
AY = XY
AB > XY lqqd
TEOREMA XXIV
Si dos lados de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del
primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el ángulo opuesto al tercer lado es
mayor en el primer triangulo que en el segundo.
Demostrar: <C > <Z
Caso 1
<C = < Z
ABC = XYZ por teorema II
<C no puede ser igual < Z
Caso 2
<C < <Z
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AB < XY
<C no puede ser menor que <Z
<C > < Z lqqd.