teorema del binomio, y triangulo de pascal (1)
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Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial.TRANSCRIPT
TEOREMA DEL BINOMIO
Combinaciones.
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
NO influye el orden en que se colocan.
Las combinaciones sin repeticin:
De n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligindolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra slo si difieren en algn elemento, (No influye el orden de colocacin de sus elementos).El nmero de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:
Ejemplo.
Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repeticin. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
Las combinaciones con repeticin:
de m elementos tomados de n en n se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligindolos de entre los m elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra slo si difieren en algn elemento, (No influye el orden de colocacin de sus elementos).El nmero de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:
Ejemplo:
En una confitera hay cinco tipos diferentes de pasteles. De cuntas formas se pueden elegir cuatro pasteles)No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o ms pasteles en un grupo, luego con repeticin. Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :
Propiedades de las combinaciones
Una combinacin es un arreglo donde el orden NO es importante.
La notacin para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de n elementos seleccionados, r a la vez.
Es igual a la cantidad de permutaciones de n elementos tomados r a la vez dividido por r factorial.
En notacin matemtica
Sera P(n,r)/r!
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Tambin podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
El nmero se llama tambin nmero combinatorio. Se representa por y se lee "m sobre n".
Propiedades de los nmeros combinatorios.
Ejercicios
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden: Juan, Ana.
Nose repiten los elementos.
De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?
Noentran todos los elementos. Slo elije 4..
Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.
Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.
Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
Noentran todos los elementos.
Noimporta el orden.
Nose repiten los elementos.
Tambin llamado binomio de Newton, expresa la ensima potencia de unbinomio como un polinomio.
TEOREMA DEL BINOMIO
FRMULA GENERAL DEL BINOMIOSea un binomio de la forma (a +b).
Binomio de Newton
El desarrollo de(a + b)^n tiene n +1 trminos.
Las potencias de a empiezan con n en el primer trmino y van disminuyendo en cada trmino,hasta cero en el ltimo.
Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer trmino y van aumentando en unocon cada trmino, hasta n en el ltimo.
Para cada trmino la suma de los exponentes de a y b es n .
Los trminos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
Forma de encontrar los coeficientes de un binomio
Ejemplo: (a+b)^7
Se ordenan las letras, comenzamos con la letra a de izquierda a derecha, el exponente inicia en 7 y va descendiendo hasta llegar a 0. La letra b inicia en con exponente 0 y va aumentando hasta llegar 7.
a^7 a^6.b a^5.b^2 a^4.b^3 a^3.b^4 a^2.b^5 a.b^6 b^7
Tomando cualquiera de los trminos que tenemos a^5.b^2.
Sumamos los exponentes, ( 5+2=7).
Elegimos el exponente de cualquiera de las letras (letra a, exponente 5); teniendo una combinacin de la siguiente forma: C 7, 5
C= 7! !
5! ( 7-5)!
= 21
Por lo tanto el coeficiente que le corresponde a ese termino es 21 21a^5b^2
Si tenemos 6 nacimientos al mismo tiempo, Qu probabilidad hay de que nazcan 2 nias?
(H+M) ^6
Tenemos (1+6+15+20+15+6+1= 64) 64 posibles resultados de las cuales son 15 los posibles de que nazcan 2 mujeres, por lo tanto existe una probabilidad de 15 /64
Triangulo de Pascal
Usar el Triangulo de Pascal
El tringulo de Pascal te dice cuntas combinaciones pueden salir, por ejemplo al tirar unas o varias monedas. As puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinacin.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, slo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), tambin tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y slo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el tringulo de Pascal.
COMBINACIONES
El tringulo tambin muestra cuntas combinaciones de objetos son posibles.
Si tienes 16 bolas de billar, de cuntas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, all est la respuesta, 560.
1 14 91 364 ......
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
Se usa el triangulo cuando necesitemos conocer el nmero de veces en que podemos escoger Y cosas en un grupo de X cosas. Por ejemplo, si necesitamos escoger 3 personas para que trabajen juntas, y tenemos 5 candidatos, existen 3 de 5 o sea 10 maneras diferentes de hacerlo.
En el tringulo esto es la 5 fila, la tercera entrada.
Actividad: telfono descompuesto
En esta actividad se forman tres equipos. Para comenzar el juego tiene que pasar un integrante de cada equipo a sacar un papel y dependiendo de lo que le toque (problema o frase) tiene que decirlo al compaero de atrs y as hasta que llegue con el ultimo integrante y ese ltimo tiene que decir la frase o el resultado del problema que eligi su compaero que estaba al frente.
NOTA: si el papel que eligieron es problemas el participante tiene que resolver el problema y solo tiene que pasar la respuesta.
frases
Si es frase tiene que completar la frase y pasar la frase completa a sus compaeros.
Desarrolla (a+b)^3
Las potencias de a empiezan con n en el primer trmino y van disminuyendo en cada trmino, hasta cero en el ltimo.
Los trminos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales
Desarrolla (a+b)^4
El teorema dl binomio es tambin llamado BINOMIO DE NEWTON
El binomio de newton expresa la ensima potencia de un binomio como un polinomio.
Desarrolla (a+b)^5
Hallar el termino cuarto de (a+b)^6
Si tenemos tres nacimientos al mismo tiempo. Qu probabilidad hay de que nazcan 2 nias?
Una combinacin es un arreglo donde el orden NO es importante.
Esta es la frmula para calcular?
Esta es la frmula para calcular?
En una tienda hay 5 tipo diferentes de dulces. de cuantas formas se pueden elegir 4 dulces?