teoremas de existencia y unicidad para problemas de … · 2013-03-05 · tema 6 teoremas de...

Tema 6

Teoremas de existencia y unicidadpara problemas de Cauchy

6.1 Introduccion

En los temas precedentes hemos estudiado los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primerorden, mas significativos, que se saben “resolver”: lineales, de variables separadas y separables,homogeneas, Bernoulli, exactas, . . . . Al mismo tiempo que hemos dado tecnicas de resolucion deecuaciones, hemos proporcionado, en algunos casos, resultados de existencia y unicidad para proble-mas de valores iniciales (problemas de Cauchy) asociados. En cada caso, para estos resultados,hemos usado tecnicas distintas, propias del tipo de ecuacion que se consideraba.

Desafortunadamente las tecnicas vistas son unicamente utiles para un grupo muy reducido deecuaciones. Ademas, las usadas para la resolucion de ciertas ecuaciones son restrictivas, hasta elpunto de que en ciertos casos no tenıamos asegurado que con ellas se obtenıan todas las solucionesde la ecuacion; recuerdense los casos de variables separables (cuando existen soluciones constantes),ecuaciones que se reducen a separables mediante cambios de variables, ecuaciones de Bernoulli yalgunas ecuaciones donde se usan factores integrantes. Sin lugar a dudas el caso mas satisfactorioha sido el caso lineal.

Necesitamos entonces disponer de herramientas teoricas que, en principio, puedan ser usadasen cualquier ecuacion diferencial ordinaria de primer orden (en forma explıcita) y en los proble-mas de valores iniciales asociados; que nos permitan dar ciertas informaciones relevantes sobre lassoluciones: existencia de soluciones, existencia y unicidad para problemas de Cauchy, forma de losintervalos de definicion de las soluciones, comportamiento de las soluciones en los extremos de esosintervalos y otras cuestiones de gran interes que no vamos ahora a mencionar. En general todasestas cuestiones se estudiaran en el curso Ecuaciones Diferenciales II.

En este tema vamos a considerar un problema general de valor inicial

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

donde f es una funcion definida en cierta region D ! R2 y vamos a obtener resultados de existenciay unicidad de soluciones, que suponen una introduccion de lo que se estudiara en el proximocurso sobre ecuaciones diferenciales y es posible que algunas de las cuestiones que tratemos aquı se

127

128 Teoremas de existencia y unicidad

prueben en ese curso con otras tecnicas. Ademas, en Ecuaciones Diferenciales II estos resultadosse generalizaran a ecuaciones de orden superior y a sistemas de ecuaciones de primer orden.

Las cuestiones que vamos a tratar aquı fueron estudiadas y desarrolladas entre los anos 1820 y1900 por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard y Lindelof.

• Entre 1820 y 1830, Cauchy probo que si f es continua y existe la derivada parcial !f!x y

es continua en cierta region D ! R2, relacionada con el punto (t0 , x0), entonces existe unintervalo I " t0 tal que el problema (P ) posee una unica solucion definida en I.

• En 1838, Liouville simplifica la prueba de Cauchy introduciendo el metodo de las aproxima-ciones sucesivas, que mas tarde se conoceran como iterantes de Picard.

• En 1876, Lipschitz mejora el resultado de Cauchy, sustituyendo la condicion de que exista !f!x

y sea continua por una menos fuerte, conocida como condicion de Lipschitz.

• Posteriormente, todo lo anterior es ligeramente mejorado y generalizado por Picard (1890) yLindelof (1893), siguiendo las mismas ideas dadas por Liouville y Lipschitz. Actualmente elmetodo y los resultados se les atribuyen a Picard conociendose como metodo de las iterantesde Picard y teoremas de Picard (o mas generalmente, teoremas de Picard-Lindelof ).

Paralelamente, en 1890, Peano probo, sin mas que suponer que f sea continua en cierta region,que el problema (P ) posee solucion (no necesariamente unica) definida en cierto intervalo. Esteresultado, que se vera en el siguiente curso, posee diversas pruebas, todas ellas mas complicadasque las pruebas del teorema de Picard.

Nuestro objetivo en este tema es dar un par de teoremas de existencia y unicidad para EDOsde primer orden explıcitas, conocidos como teoremas de Picard o Picard-Lindelof.

En temas anteriores hemos estudiado teoremas de existencia y unicidad para ciertos problemasde Cauchy. Por ejemplo, en el caso de las ecuaciones lineales obtuvimos (teorema 2.2) que si a y bson funciones continuas en un intervalo I y t0 # I, el problema

(P ) :

!x!(t) = a(t)x(t) + b(t)

x(t0) = x0

posee solucion unica en I para cualquier x0 # R. Este es un resultado de tipo global.

Sin embargo, en el caso de las ecuaciones de variables separables obtuvimos (teorema 3.2),usando el teorema de la funcion implıcita, que si g y h son continuas en ciertos intervalos It e Ix

respectivamente, t0 #"It, x0 #

"Ix y h(x0) $= 0, entonces el problema

(P ) :

!x!(t) = g(t)h(x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en un intervalo abierto I con t0 # I ! It, pero a priori desconoce-mos este intervalo. Una generalizacion de este resultado, usando de nuevo el teorema de la funcionimplıcita, se obtuvo en el caso de ecuaciones diferenciales exactas. Estos son resultados de tipolocal.

A traves de los temas anteriores, en diversos ejemplos, hemos podido apreciar que el que lafuncion f este definida en R2

y sea muy regular (por ejemplo f # C1(R2

,R)) no asegura que un

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

Universidad de Malaga

6.1. Introduccion 129

problema de Cauchy asociado, como (P ), tenga solucion definida en R. Un ejemplo muy simple eilustrativo que confirma esto es

(P ) :

!x! = x2

x(0) = 1

La solucion de este problema autonomo, definida en el intervalo I = (%&, 1), es la dada porx(t) = 1

1#t , pero (P ) no posee solucion definida en un intervalo que contenga estrictamente a

I. Observese que en este caso f # C!(R2

,R), al ser polinomica. Por lo tanto, para obtener unresultado de tipo global como en el caso lineal no es suficiente con una condicion como la anterior.

En general, obtendremos resultados de tipo global o de tipo local, segun sea la naturaleza dela funcion f y del conjunto D. En un resultado de tipo global el intervalo de existencia de lasolucion se conoce a priori mientras que en uno de tipo local se asegura que existe un intervalo (enprincipio desconocido, hasta que se realicen ciertos calculos, y “de tamano pequeno”) donde (P )posee solucion unica. El resultado de tipo global es mas satisfactorio que el local.

Para ilustrar que las hipotesis que impuso Cauchy: f y !f!x continuas en cierta region, estan

relacionadas con la existencia y unicidad de solucion para un problema como (P ), recordamos dosejemplos vistos en temas anteriores. En el caso lineal, donde se tiene existencia y unicidad, veaseque f : I ' R ( R esta definida por f(t, x) = a(t)x+ b(t) y las funciones f y !f

!x son continuas enI ' R. Sin embargo, en el ejemplo (visto en el tema 3)

(P ) :

!x! = 3x2/3

x(0) = 0

sucede que en cualquier intervalo I " 0 hay definidas infinitas soluciones para (P ) y, en este casof : R2 ( R, definida por f(t, x) = 3x2/3, es continua en R2

pero no existe !f!x (t, 0). En cualquier

region razonable conteniendo al punto (0, 0) tenemos puntos de la forma (t, 0).

Para obtener los resultados de existencia y unicidad, necesitamos previamente conocer dos con-ceptos basicos: las condiciones de Lipschitz y las iterantes de Picard (o aproximaciones sucesivas).Por esta razon las siguientes secciones las vamos a dedicar a estas cuestiones. En ellas tambienaparecera una forma equivalente de escribir un problema de valor inicial mediante una ecuacion in-tegral, lo cual resulta fundamental para abordar nuestros resultados y los que se veran en el proximocurso de ecuaciones diferenciales. Una vez vistos estos preliminares probaremos el teorema de exis-tencia y unicidad global, al estilo del visto para ecuaciones lineales, y despues abordaremos elresultado de existencia y unicidad local.

Quiero advertir que el desarrollo usual en los textos sobre ecuaciones diferenciales es dar,primeramente, el teorema local y posteriormente el global; es mas, en algunos de ellos el globalpasa desapercibido. A mi entender es mas pedagogico ver antes el resultado global, el mas satis-factorio, ya que las mismas tecnicas que se usan en este se intentan adaptar, con mayor dificultad,al caso local, comprendiendo ası mejor los condicionamientos existentes y porque resulta menossatisfactorio. No obstante, hay que advertir que el resultado local se puede aplicar a la mayorıade las ecuaciones diferenciales (en este sentido es muy satisfactorio) mientras que el global solo sepuede usar en determinadas ecuaciones, entre las que se incluyen las lineales.


6.2 Funciones lipschitzianas

Quizas sea conveniente recordar la definicion y algunas propiedades de las funciones lipschitzianas deuna sola variable, vistas en el curso anterior en las asignaturas de Introducion al Analisis Matematicoo en Metodos Numericos I.

Definicion. Sea I ! R. Una funcion f : I ( R se dice que es lipschitziana en I (o que satisfaceuna condicion de Lipschitz en I) cuando existe una constante L > 0 tal que

| f(x)% f(y) | ) L |x% y | para cada par de puntos x, y # I.

En tal caso se dice que L es una constante de Lipschitz para f en I.

Observese que si x $= y el cociente f(x)#f(y)x#y indica la pendiente de la recta secante a la grafica

de f que pasa por los puntos (x, f(x)) y (y, f(y)). De esta forma, las condicion de Lipschitz lo queindica es que todas estas pendientes estan acotadas, es decir,

Existe una constante L > 0 tal que"""f(x)% f(y)

x% y

""" ) L para cada x, y # I con x $= y.

Usualmente se supone que I es un intervalo en R, aunque la definicion tiene sentido en general.

Algunas notables relaciones de esta condicion con otras propiedades conocidas son las siguientes:

1. Es evidente que cualquier funcion lipschitziana es uniformemente continua, pues dado ! > 0basta con tomar " = "

L > 0 para que se verifique que |x% y | < " * | f(x)% f(y) | < !.

2. Hay funciones uniformemente continuas que no son lipschitzianas; por ejemplo, f : [0, 1] ( Rdefinida por f(x) =

+x o f : [%1, 1] ( R definida por f(x) =

#|x | son uniformemente con-

tinuas, por ser continuas sobre un intervalo compacto, pero no son lipschitzianas. Observeselas graficas de estas funciones y vease que las pendientes de las secantes no estan acotadas.Por reduccion al absurdo, si suponemos que f es lipschitziana, tomando los puntos x = 0 ey = 1

n2 obtendrıamos que 1n ) L 1

n2 y, por tanto, n ) L para cada n # N, lo que es absurdo.

En el ejemplo f : [0, 1] ( R, f(x) =+x, puede observarse que f es derivable en cada x $= 0

y limx$0+ f !(x) = &.

3. Si I es un intervalo y f : I ( R es derivable en I con derivada f ! acotada en I, entonces fes lipschitziana en I. En particular, esto sucede si I es un intervalo compacto y f # C1

(I,R).Si I no es un intervalo este resultado no es valido.

En el caso de que I sea un intervalo la propiedad se sigue del teorema del valor medio. Enefecto, tenemos que existe L > 0 tal que | f !(z) | ) L para cada z # I. Dados dos puntosx, y # I (podemos suponer sin perdida de generalidad que x < y) sabemos que existe un z # Icon x < z < y tal que f(x) % f(y) = f !(z)(x % y) y, por tanto, | f(x) % f(y) | ) L |x % y |.Ası pues una cota de | f ! | nos sirve como constante de Lipschitz (L = supx%I | f !(x) | es unabuena constante de Lipschitz).

La condicion de que I sea intervalo es fundamental para obtener la propiedad anterior (esdecir, para aplicar el teorema del valor medio). Observese que si A = (0, 1), (1, 2), la funcion

f : A ( R definida por f(x) =

!1 si x # (0, 1)

2 si x # (1, 2)es derivable en A y su derivada es nula en



6.2. Funciones lipschitzianas 131

A (y, por tanto, acotada) pero f no es lipschitziana en A pues de suponer que lo es tomamoslos puntos x = 1% 1

n e y = 1% 1n para llegar a la contradiccion: n ) 2L para cada n > 2.

4. Hay funciones lipschitzianas que no son derivables, como por ejemplo, f : R ( R definida porf(x) = |x |.

Por tanto, podemos decir que la condicion de Lipschitz es una condicion intermedia entre lacontinuidad uniforme y la existencia de derivada acotada.

Nosotros vamos a trabajar con funciones f de dos variable: t y x y vamos a usar una condicionde Lipschitz que solo afecta a una de las variables; concretamente a la segunda.

Definicion 6.1. Sean D ! R2y f : D ( R, (t, x) -( f(t, x). Se dice que f es lipschitziana en D

respecto de la segunda variable x (o que satisface una condicion de Lipschitz en D respecto de x)cuando existe una constante L > 0 tal que

(6.1) | f(t, x)% f(t, y) | ) L |x% y | para cada par de puntos (t, x), (t, y) # D.

En tal caso se dice que L es una constante de Lipschitz para f en D respecto a la segunda variable.

Observemos que en este caso la condicion anterior, al referirse unicamente a una de las variables,no implica la continuidad de f en D; en todo caso implica que para cada t la funcion de una solavariable x -( f(t, x) es uniformemente continua en cierto conjunto.

Para facilitar la escritura, cuando f verifique la definicion anterior escribiremos f # L(x,D), esdecir, que notamos por L(x,D) al conjunto de todas las funciones f : D ( R que son lipschitzianasen D respecto de la segunda variable x.

Lo que mas nos interesa es la relacion de esta condicion con cierta propiedad sobre la derivadaparcial !f

!x cuando esta existe, ya que esto nos va a permitir, en la practica, reconocer facilmente

cuando una funcion es lipschitziana o no lo es de una forma muy simple. La funcion f : R2 ( R,definida por f(t, x) = |x |, confirma que puede suceder que f # L(x,D) sin necesidad de que exista!f!x en D; en este caso podemos tomar D = R2

o cualquier D que corte al eje de ordenadas. Ahora

bien, cuando existe !f!x la relacion entre esta y la condicion de Lipschitz es muy estrecha, como

muestran los dos siguientes resultados.

Antes de ver estos resultados, una advertencia: para considerar la derivada parcial !f!x no

supondremos que la region D sea abierta en R2para no descartar ası regiones muy interesantes,

que aparecen con cierta frecuencia en las ecuaciones diferenciales, donde tiene sentido !f!x (t, x) a

pesar de que el punto (t, x) este en la frontera de D. Este puede ser el caso de una region comoD = [a, b]'R y aun en casos como R' [a, b] tambien tendrıa sentido considerar la derivada en unsentido lateral en puntos de la frontera.

Proposicion 6.1. Supongamos que f es lipschitziana respecto de la segunda variable x en unconjunto D ! R2

con constante de Lipschitz L y existe la funcion !f!x : D ( R. En tal caso !f

!x es

acotada en D y ademas | !f!x (t, x) | ) L para cada (t, x) # D.

Prueba. Unicamente tenemos que usar la definicion de !f!x (t, x) y la definicion de la condicion de


Lipschitz. Si (t, x) # D tenemos

#f

#x(t, x)

.= lim

h$0

f(t, x+ h)% f(t, x)

h.

Por hipotesis se entiende que para h suficientemente pequeno (|h | < " para cierto " > 0) los puntos(t, x + h) pertenecen a D. Al no suponer D abierto, se interpreta que en algun caso esto podrıasuceder unicamente para h > 0 o bien para h < 0. Sea L una constante de Lipschitz de f respectode x en D. Segun la definicion de la condicion de Lipschitz se verifica:

""""#f

#x(t, x)

"""" ="""" limh$0

f(t, x+ h)% f(t, x)

h

"""" = limh$0

""""f(t, x+ h)% f(t, x)

h

"""" ) limh$0

L |h ||h | = L

y, ası, !f!x esta acotada en D por la constante L.

A continuacion establecemos un resultado, recıproco al dado en la proposicion anterior, dondees necesario que D sea un conjunto convexo. Es como el resultado establecido en el punto 3 sobrefunciones lipschitzianas de una sola variable, donde resulta fundamental que el conjunto I sea unintervalo (de hecho, en R los unicos conjuntos convexos son los intervalos).

Proposicion 6.2. Si D es un conjunto convexo en R2y f : D ( R es tal que existe !f

!x : D ( Ry es acotada en D, entonces f # L(x,D).

Prueba. La base de la prueba es la aplicacion del teorema del valor medio para funciones de unasola variable, que unicamente es valido en intervalos. Precisamente esta es la necesidad de que Dsea convexo. Es aconsejable hacer algumos dibujos de la region D (en unos casos convexo y enotros no) para entender mejor el razonamiento. En efecto, sea L > 0 tal que

""!f!x (t, x)

"" ) L para cada (t, x) # D

y sean (t, x1), (t, x2) # D tales que x1 < x2 . Por la convexidad de D, resulta que para cada x talque x1 < x < x2 se verifica que el punto (t, x) pertenece a D, ya que el punto (t, x) pertenece alsegmento que une los puntos (t, x1) y (t, x2) (dibujese un sencillo conjunto no convexo donde estono se verifique). Por tanto, la funcion gt : [x1 , x2 ] ( R dada por gt(x) = f(t, x) esta bien definida.Esta funcion es derivable y g!t(x) =

!f!x (t, x) para cada x # [x1 , x2 ]. Entonces, por el teorema del

valor medio, existe x tal que x1 < x < x2 y tal que

gt(x1)% gt(x2) = g!t(x)(x1 % x2),

es decir,f(t, x1)% f(t, x2) =

!f!x (t, x)(x1 % x2).

Por tanto,| f(t, x1)% f(t, x2) | =

""!f!x (t, x)

""|x1 % x2 | ) L |x1 % x2 |,

lo que prueba que f # L(x,D).

Observacion: De la prueba anterior se extrae que una constante de Lipschitz L adecuada es unacota de | !f!x | en D. Una buena constante de Lipschitz es

L = sup(t,x)%D

""!f!x (t, x)

"".

Como ejemplo de aplicacion de lo anterior podemos considerar la funcion f : D = [%1, 1]'R ( Rdefinida por f(t, x) = | t | sen2 x. El conjunto D es convexo y existe !f

!x : D ( R siendo !f!x (t, x) =



6.3. Ecuacion integral equivalente 133

2| t | senx cosx y, por tanto,""!f!x (t, x)

"" ) 2. Esto nos confirma que f # L(x,D) y podemos tomarcomo constante de Lipschitz L = 2.

Es obvio que de las proposiciones 6.1 y 6.2 se obtiene la siguiente caracterizacion de la condicionde Lipschitz, muy util en la practica.

Corolario 6.0.1. Si D es un conjunto convexo en R2y f : D ( R es una funcion tal que existe

!f!x : D ( R, entonces f # L(x,D) si, y solo si, !f

!x es acotada en D.

Ası por ejemplo, la funcion f : R2 ( R definida por f(t, x) = x2 es tal que existe !f!x (t, x) = 2x

para cada (t, x) # R2. Esta funcion no esta acotada en R2

(ni en otros dominios de R2) por lo que

f /# L(x,R2). Sin embargo sı es acotada en el convexo D = R ' J , si J es un intervalo acotado.

Por tanto en este caso sı sucede que f # L(x,D).

Observese que si K es un conjunto convexo y compacto en R2y existe !f

!x y es continua sobreK, entonces f # L(x,K), ya que una funcion continua sobre un conjunto compacto es acotada.Esta situacion es muy interesante pues se da con frecuencia.

6.3 Ecuacion integral equivalente a un problema de Cauchy

Un problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

se puede escribir de forma equivalente a una ecuacion integral cuando la funcion f es continua,lo que es muy util, pues se usa en muchos resultados sobre ecuaciones diferenciales y, por otraparte, nos va a servir para motivar, mas adelante, la introduccion de las llamadas aproximacionessucesivas, tambien llamadas iterantes de Picard. El resultado solo usa resultados muy basicos sobreintegracion, el teorema fundamental del Calculo y la regla de Barrow.

Teorema 6.1. Sean f : D ( R una funcion continua en una region D ! R2, (t0 , x0) # D e I un

intervalo en R. Una funcion x : I ( R, con grafica contenida en D, es solucion del problema

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

si, y solo si, x es una funcion continua en I que verifica la ecuacion integral

(6.2) x(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x(s)) ds para cada t # I.

Prueba. Supongamos que x : I ( R, con grafica contenida en D, es solucion del problema (P ).Como f y x son continuas la funcion I ( R, s -( f(s, x(s)) es continua en I (ası x! es continua enI) y, por tanto, integrable Riemann en cualquier subintervalo compacto de I. Por hipotesis t0 # I;de forma que para cualquier t # I tenemos


$ t

t0

x!(s) ds =

$ t

t0

f(s, x(s)) ds

y, como% tt0x!(s) ds = x(t)% x(t0) = x(t)% x0 , se obtiene que x verifica la ecuacion integral (6.2).

Recıprocamente, supongamos que x es una funcion continua en I que verifica (6.2). Comovimos anteriormente la funcion g : I ( R, s -( g(s) = f(s, x(s)) es continua en I y por el teoremafundamental del Calculo, la funcion

h : I ( R, t -( h(t) =

$ t

t0

g(s) ds

es derivable en I (de hecho es de clase uno en I) y verifica que h!(t) = g(t) = f(t, x(t)) para cadat # I. Por tanto, x es derivable en I y verifica que x!(t) = f(t, x(t)) para cada t # I. Por otraparte, es obvio que x(t0) = x0 . De esta forma x : I ( R es solucion de (P ).

Para cada x # C(I,R) podemos considerar la funcion Tx definida por

t -( Tx(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x(s)) ds.

Supuesto que Tx este bien definida en el intervalo I (lo que requiere que la grafica de x estecontenida en D), tendrıamos un operador (aplicacion) T : C(I,R) ( C(I,R), x -( Tx. Vease que xes solucion de (P ) si, y solo si, x : I ( R es una funcion continua (x # C(I,R)) tal que x = Tx, esdecir, un punto fijo para T .

Recordamos ahora un resultado sobre puntos fijos, usado en Analisis Numerico, donde inter-vienen las funciones lipschitzianas.

Teorema (Teorema del punto fijo para funciones contractivas). Si [a, b] es un intervalo compactoen R y f : [a, b] ( [a, b] es lipschitziana con constante de Lipschitz L < 1 (funcion contractiva),entonces f posee un unico punto fijo en [a, b], es decir, existe un unico x # [a, b] tal que x = f(x),que, ademas, se obtiene como lımite de la sucesion definida recurrentemente por

!x0 # [a, b] (se elige x0 de forma arbitraria)

xn = f(xn#1), n = 1, 2, 3, . . .

Para demostrar este teorema se siguen los siguientes pasos:

1. Haciendo uso de que f es contractiva se prueba que la sucesion (xn) es de Cauchy y, ası,converge hacia un punto x # [a, b], ya que [a, b] es cerrado.

2. Dada la convergencia, se prueba que f(x) = x usando que f es continua, pues x = limxn =lim f(xn"1) = f(limxn"1) = f(x).

3. Para la unicidad del punto fijo resulta esencial que f sea contractiva.

En nuestro caso, teniendo en cuenta la forma equivalente de escribir el problema de Cauchycomo una ecuacion integral, vamos a seguir un metodo parecido pero mucho mas complicado (novamos a suponer que L < 1) para obtener nuestros resultados de existencia y unicidad.



6.4. Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard) 135

6.4 Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard)

Lo visto en la parte final de la seccion anterior sugiere que, dado el problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

y supuesto que f : D ( R es continua en D, consideremos la funcion constante t -( x0(t) = x0

(que verifica la condicion inicial del problema (P ) pero puede que no sea solucion de la ecuaciondiferencial) y, a partir de ella, construyamos la sucesion de funciones: x1 = Tx0 , x2 = Tx1 , x3 =Tx2 , . . . xn = Txn#1, es decir, las definidas por

x1(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x0) ds

x2(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x1(s)) ds

x3(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x2(s)) ds

...............................................

xn(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, xn"1(s)) ds, n = 1, 2, 3, . . .(6.3)

Estas son las llamadas aproximaciones sucesivas o iterantes de Picard asociadas al problema (P ).

Puede haber un problema de definicion de las iterantes, que dependera de la forma del conjuntoD, pues vease que para definir una iterante xn necesitamos que la anterior xn"1 tenga su graficacontenida en D, que es donde esta definida la funcion f . Por otra parte, no queda claro en queintervalo de R estan definidas estas iterantes. Mas adelante analizaremos estas cuestiones. Enprincipio, lo que sı es evidente es que, salvando los problemas mencionados, todas las iterantes sonfunciones derivables y con derivadas continuas (como consecuencia del teorema fundamental delCalculo) y todas verifican la condicion inicial del problema (P ), es decir, xn(t0) = x0 .

A continuacion, vamos a ver dos ejemplos de problemas de Cauchy asociados a ecuacioneslineales. Vamos a ver que en estos casos no hay problema para definir las iterantes asociadas yvamos a determinar tales iterantes comprobando en cada caso que convergen puntualmente haciala solucion unica del problema.

Ejemplo 6.1. Consideremos el problema de Cauchy (P ) :

!x! = x

x(0) = 1

Sabemos que tal problema posee una unica solucion definida en R que es la funcion definida

por x(t) = et .

En este caso, f : R2 ( R esta definida por f(t, x) = x, que obviamente es continua en R2. Por

tanto, la ecuacion integral equivalente a (P ) es

x(t) = 1 +

$ t

0x(s) ds


La iterante inicial asociada a (P ) es la funcion constante x0 : R ( R, t -( x0(t) = 1. Las demasiterantes estan definidas en R y vienen dadas ası:

x1(t) = 1 +

$ t

0x0(s) ds = 1 +

$ t

01 ds = 1 + t

x2(t) = 1 +

$ t

0x1(s) ds = 1 +

$ t

0(1 + s) ds = 1 + t+

t2

2!

x3(t) = 1 +

$ t

0x2(s) ds = 1 +

$ t

0

&1 + s+

s2

2

'ds = 1 + t+

t2

2+

t3

3!

........................................

En general, se comprueba trivialmente, por induccion sobre n, que

xn(t) = 1 +t

1!+

t2

2!+ · · · t

n

n!

ya que supuesto probado lo anterior para n, tenemos para n+ 1 lo siguiente:

xn+1(t) = 1 +

$ t

0xn(s) ds = 1 +

$ t

0

&1 +

s

1!+

s2

2!+ · · · s

n

n!

'ds

= 1 + t+t2

2 · 1! +t3

3 · 2! + · · · tn+1

(n+ 1)n!= 1 +

t

1!+

t2

2!+

t3

3!+ · · · tn+1

(n+ 1)!·

Vease que para cada t # R existe

limn$&

xn(t) = limn$&

n(

k=0

tk

k!.=

&(

k=0

tk

k!= et .

Ası pues la sucesion de iterantes converge puntualmente en R hacia la solucion unica del problema(P ). Es bien conocido que, ademas, la sucesion (xn) converge uniformemente hacia la funcionexponencial en intervalos compactos.

Ejemplo 6.2. Consideremos el problema de valor inicial (P ) :

!x!(t) = t+ x(t)

x(0) = 1

Sabemos que tal problema posee una unica solucion definida en R. Las soluciones de la ecuacionhomogenea asociada x! = x son las definidas por x(t) = C et. Buscando una solucion particularpor el metodo de Lagrange o, mejor en este caso, por el metodo de los coeficientes indeterminados,se encuentra xp(t) = %t% 1, por lo que las soluciones de la ecuacion diferencial lineal son las dadaspor xC (t) = C et%t% 1 e imponiendo la condicion inicial x(0) = 1 se obtiene que la solucion unica

de (P ) es la definida por x(t) = 2 et%t% 1.

En este caso f : R2 ( R esta definida por f(t, x) = t + x, que obviamente es continua en R2.

La ecuacion integral equivalente a (P ) es

x(t) = 1 +

$ t

0

&s+ x(s)

'ds.



6.4. Aproximaciones sucesivas (iterantes de Picard) 137

Las iterantes asociadas a (P) son las definidas por

x0(t) = 1

x1(t) = 1 +

$ t

0(s+ x0(s)) ds = 1 +

$ t

0(s+ 1) ds = 1 + t+

t2

2

x2(t) = 1 +

$ t

0(s+ x1(s)) ds = 1 +

$ t

0

&1 + 2s+

s2

2

'ds = 1 + t+ t2 +

t3

3!

x3(t) = 1 +

$ t

0(s+ x2(s)) ds = 1 +

$ t

0

&1 + 2s+ s2 +

s3

3!

'ds = 1 + t+ t2 +

t3

3+

t4

4!

x4(t) = 1 +

$ t

0(s+ x3(s)) ds = 1 +

$ t

0

&1 + 2s+ s2 +

s3

3+

s4

4!

'ds = 1 + t+ t2 +

t3

3+

t4

4 · 3 +t5

5!

........................................

Observese que podemos escribir las iterantes x2 , x3 y x4 ası:

x2(t) = 1 + t+ 2t2

2!+

t3

3!

x3(t) = 1 + t+ 2& t2

2!+

t3

3!

'+

t4

4!

x4(t) = 1 + t+ 2& t2

2!+

t3

3!+

t4

4!

'+

t5

5!,

lo que nos permite ver una ley de recurrencia. En general, se comprueba facilmente por induccionsobre n, que

xn(t) = 1 + t+ 2) t2

2!+ · · · t

n

n!

*+

tn+1

(n+ 1)!

y vease que para cada t # R se verifica

limn$&

xn(t) = 1 + t+ 2(et%t% 1) + 0 = 2 et%t% 1 = x(t).

Ası pues, tambien en este caso, la sucesion de iterantes converge puntualmente en R hacia lasolucion unica del problema (P ).

A la vista de los dos ejemplos anteriores nos planteamos si lo sucedido en estos se va a verificarcon cualquier problema de valor inicial. La respuesta es en general negativa; lo que sucede es queel caso lineal es muy especial y ya probaremos que esto se verifica en todos los problemas lineales.Por otra parte apreciamos que, en cuanto se complica un poco la ecuacion, aun en el caso lineal,el calculo de las iterantes resulta tedioso y posiblemente sea muy difıcil encontrar una expresiongeneral de la iterante xn, por lo que no estamos convencidos del valor practico del metodo de lasaproximaciones sucesivas. Escepticismo justificado porque realmente las iterantes tienen un valorteorico mas que practico; estas se usaran para probar nuestros teoremas de existencia y unicidad.

En el caso: D = I ' R , donde I es un intervalo en R, no hay problemas para definir lasiterantes. A este tipo de conjuntos, muy interesantes, les llamaremos bandas verticales. Cualquierfuncion definida sobre I tiene su grafica en D; por tanto, no solamente estan bien definidas sinoque ademas todas las iterantes estan definidas en el intervalo I. Esto es lo que sucede en el casode una ecuacion lineal x! = a(t)x + b(t), donde a y b son funciones continuas en un intervalo I.En este caso la funcion definida por f(t, x) = a(t)x + b(t) esta definida y es continua en la bandaD = I ' R. Pero, claro esta que podemos tener problemas con otras ecuaciones diferenciales; porejemplo, si D no es de la forma I ' R podrıa suceder que, una vez definida la iterante x1 : I ( R,


esta no tuviese su grafica contenida en D por lo que no tendrıa sentido la expresion de la siguienteiterante x2 , al menos como funcion definida en I, a no ser que la definamos en un intervalo maspequeno, contenido en I. Esto crearıa un serio problema.

Las consideraciones anteriores nos llevan a tener que considerar dos situaciones. La mas satis-factoria es la que se da cuando D = I 'R y f : D ( R es continua en D y satisface una condicionde Lipschitz respecto de la segunda variable en D. En este caso vamos a obtener un resultado deexistencia y unicidad muy satisfactorio, que llamaremos teorema de existencia y unicidad global,porque obtendremos solucion unica del problema de Cauchy definida en el intervalo I, como sucedecon las ecuaciones lineales. La otra situacion es cuando D no es una banda vertical o bien, siendo Dbanda vertical, la funcion f no satisface una condicion de Lipschitz respecto de la segunda variableen D o ambas cosas a la vez (la continuidad de f sobre D siempre se supone). En esta segundasituacion, bajo determinadas hipotesis, obtendremos un teorema de existencia y unicidad local, alestilo de los obtenidos en el caso de ecuaciones de variables separables o exactas, donde se asegurala existencia de un intervalo I, que puede ser muy “pequeno”, tal que el problema (P ) posee unaunica solucion definida en I.

6.5 Teoremas de existencia y unicidad global

Hablamos de teoremas porque en principio necesitamos probar el resultado en el caso de que elintervalo I, base de la banda D = I 'R, sea compacto (a lo largo de la prueba se vera la necesidadde que el intervalo sea de esta forma). Una vez probado este caso, probaremos el caso general en elque I puede ser cualquier intervalo, basandonos en el teorema ya probado y usando una condicionque llamaremos condicion de Lipschitz generalizada.

Teorema 6.2 (Teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelof). Supongamos que se verifi-can las siguientes tres hipotesis:

(I) D = [a, b]' R donde [a, b] es un intervalo compacto en R.

(II) f : D ( R es continua en D.

(III) f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable.

En tal situacion, para cada (t0 , x0) # D el problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en el intervalo [a, b].

Ademas, las iterantes de Picard xn : [a, b] ( R asociadas a (P ), dadas por

xn(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, xn"1(s)) ds, n = 1, 2, 3, . . . , x0(t) = x0 ,

convergen uniformemente en el intervalo [a, b] hacia la solucion del problema (P ).

Observacion: El punto (t0 , x0) puede estar en la frontera de la banda vertical D = [a, b] ' R, esdecir, puede ser de la forma (a, x0) o (b, x0). En el primer caso podemos decir que la solucion es



6.5. Teoremas de existencia y unicidad global 139

una solucion a la derecha del problema (P ) y en el segundo que es una solucion a la izquierda.

Prueba. Sea I = [a, b]. Como cualquier funcion x : I ( R tiene su grafica en D y f continua enD, tenemos, como consecuencia del teorema 6.1, que x : I ( R es solucion de (P ) si, y solo si, x esuna funcion continua en I que verifica

(6.4) x(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x(s)) ds para cada t # I.

Vamos a probar que la ecuacion integral anterior solo posee una solucion continua. Para esto, alser D una banda vertical, podemos definir sin problema alguno las iterantes de Picard xn : I ( R,las cuales son funciones continuas (de hecho son de C1

(I,R)) y verifican xn(t0) = x0 . El esquemade la prueba que vamos a llevar a a cabo es el siguiente:

1. Probaremos que la sucesion de iterantes (xn) converge uniformemente en el intervalo I haciauna funcion continua x : I ( R.

2. Comprobaremos que esta funcion x (lımite uniforme de las iterantes) verifica la ecuacionintegral y, por tanto, es solucion del problema (P ).

3. Por ultimo probaremos que (P ) no posee otra solucion distinta de x.

En cada uno de los tres puntos anteriores, aparte de la continuidad de f , haremos uso de maneraesencial de la condicion de Lipschitz de f respecto de la segunda variable:

(6.5) | f(t, x)% f(t, y) | ) L |x% y | para cada par de puntos (t, x), (t, y) # D

y en el segundo punto utilizaremos de forma esencial que la convergencia de las iterantes es uniforme(no basta con la convergencia puntual).

1.- (Convergencia uniforme de las iterantes). Para probar que la sucesion de iterantes (xn)converge uniformemente en el intervalo I, la clave esta en expresarlas de la siguiente forma:

(6.6) xn(t) = x0 +n(

m=1

&xm(t)% xm#1(t)

'.

Fijado t # I es evidente que la sucesion numerica (xn(t)) es convergente en R si, si solo si, laserie numerica

+m

&xm(t)%xm#1(t)

'es convergente, para lo cual es suficiente con la convergencia

absoluta de la serie, es decir:+&

m=1 |xm(t) % xm#1(t) | < & para cada t # I. De esta forma setendrıa que la sucesion de iterantes converge puntualmente en I. Ahora bien, no es suficiente con laconvergencia puntual; necesitamos algo mas fuerte, como es la convergencia uniforme. Para probarque la serie funcional

+m

&xm % xm#1

'converge uniformemente en I y, por tanto, la sucesion de

iterantes, vamos a usar el criterio M de Weierstrass (Criterio de la Mayorante de Weierstrass) paralo cual necesitamos probar que existen unas constantes cm # R+

tales que

(6.7) |xm(t)% xm#1(t) | ) cm para cada t # I y cada m = 1, 2 . . . y&(

m=1

cm < &.

Para esto haremos uso esencial de la condicion de Lipschitz (6.5). Para visualizar mejor lo quese obtiene vamos a empezar con los casos m = 1 y m = 2. A la hora de estimar |x1(t) % x0(t) |necitamos hacer la siguiente consideracion. La funcion f es continua en D y, por tanto, la funcionI ( R, t -( f(t, x0) es continua en I. Como I es compacto, tal funcion esta acotada en I, es decir,existe una constante M > 0 tal que


Al ser el intervalo I acotado, es decir, b% a < &, se tiene cm # R+y, por otra parte,

&(

m=1

&L(b% a)

'm

m != eL(b#a)%1 < &.

En definitiva,+&

m=1 cm < & y queda ası probada la condicion (6.7) y, por tanto, la convergenciauniforme de las iterantes en el intervalo I hacia una funcion x : I ( R.

Es bien conocido que si una sucesion xn : I ( R, n = 1, 2 . . . , de funciones continuas sobreI, converge uniformemente en I hacia una funcion x, la funcion lımite uniforme x tambien escontinua en I. Queda ası demostrado el primer punto de la prueba.

2.- (La existencia de solucion). Sea x : I ( R la funcion obtenida anteriormente como lımiteuniforme de las iterantes xn. La convergencia uniforme de (xn) hacia x en el intervalo I significaque dado cualquier $ > 0 existe un natural n0 (que solo depende de $) tal que

|xn(t)% x(t) | < $ para cada n > n0 y cada t # I.

La convergencia uniforme implica (pero no es equivalente a) la convergencia puntual

limn$&

xn(t) = x(t) para cada t # I.

Fijemos un t # I. Segun lo anterior tenemos que

x(t) = limn$&

xn+1(t) = x0 + limn$&

$ t

t0

f(s, xn(s)) ds.

Queremos probar que

(6.12) limn$&

$ t

t0

f(s, xn(s)) ds =

$ t

t0

f(s, x(s)) ds

pues, de esta forma, x verifica la ecuacion integral (6.4) y, por tanto es solucion en el intervalo Idel problema (P ), quedando ası probada la existencia de solucion. Para probar (6.12) hacemos usode nuevo de la condicion de Lipschitz (6.5) y de la convergencia uniforme de las iterantes hacia xen I. En efecto,

"""$ t

t0

f(s, xn(s)) ds%$ t

t0

f(s, x(s)) ds""" )

"""$ t

t0

| f(s, xn(s)% f(s, x(s) | ds"""

)$ b

a| f(s, xn(s)% f(s, x(s) | ds ) L

$ b

a|xn(s)% x(s) | ds.

Dado $ > 0 existe n0 = n0($) # N tal que

|xn(s)% x(s) | <$

L(b% a)para cada n > n0 y cada s # I.

Por tanto, dado $ > 0 existe n0 = n0($) # N tal que

"""$ t

t0

f(s, xn(s)) ds%$ t

t0

f(s, x(s)) ds""" < $ para cada n > n0 ,

lo que nos confirma (6.12). De esta forma queda probada la existencia de solucion x : I ( R parael problema (P ).


3.- (La unicidad de solucion)1. Para probar la unicidad tambien sera esencial la condicion deLipschitz (6.5). Supongamos que y : I ( R es otra solucion de (P ), y, por tanto, de la ecuacionintegral (6.4). La idea es probar que

y(t) = limn$&

xn(t) para cada t # I,

donde xn son las iterantes de Picard y, por tanto, como limn$& xn(t) = x(t), se concluirıa que y(t) =x(t) para cada t # I. Para probar esto seguiremos un procedimiento analogo al usado en el punto 1,para la prueba de la existencia; mas concretamente vamos a seguir un procedimiento parecido al quellevamos a cabo para estimar |xn(t)%xn#1(t) |. Como queremos probar que limn$& | y(t)%xn(t) | =0, vemos inicialmente lo que sucede con los casos n = 1 y n = 2 para ası encontrar una ley derecurrencia. Para estimar adecuadamente | y(t)% x1(t) | consideramos

A = maxt%I

| y(t)% x0 |.

El maximo A # R+ esta asegurado al ser la funcion y continua en el intervalo compacto I. Comola grafica de la funcion y esta contenida en D y f # L(x,D), para cada t # I se verifica

| y(t)% x1(t) | =""")x0 +

$ t

t0

f(s, y(s)) ds*%)x0 +

$ t

t0

f(s, x0) ds*"""

)"""$ t

t0

| f(s, y(s))% f(s, x0) | ds""" ) L

"""$ t

t0

| y(s)% x0 | ds""" ) AL | t% t0 |.

Usamos ahora la estimacion obtenida anteriormente para dominar | y(t)% x2(t) | ası:

| y(t)% x2(t) | ="""$ t

t0

f(s, y(s))% f(s, x1) ds""" ) L

"""$ t

t0

| y(s)% x1(s) | ds""" ) AL

2"""$ t

t0

| s% t0 | ds"""

= AL2 | t% t0 |2

2!.

Visto lo anterior, ahora se puede comprobar facilmente, por induccion sobre n, la desigualdad

| y(t)% xn(t) | ) ALn | t% t0 |n

n !para cada t # I

y, de esta forma, podemos concluir que

| y(t)% xn(t) | ) A

&L(b% a)

'n

n !para cada t # I.

Como limn$&(L(b#a))n

n ! = 0 se concluye que limn$&

| y(t) % xn(t) | = 0 para cada t # I, es decir,

y(t) = limn$&

xn(t) para cada t # I. De esta forma queda probado el teorema.

Observacion: En todos los pasos de la demostracion se ha usado de forma esencial el hecho de queI es compacto y que f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable.

Un importante ejemplo de aplicacion del teorema anterior lo tenemos en las ecuaciones dife-renciales lineales.

1Existen otras pruebas de la unicidad distintas de la que vemos aquı, posiblemente mas cortas, pero usandoherramientas matematicas que se ven en un segundo curso de Ecuaciones Diferenciales.




Ejemplo 6.3. El caso lineal x!(t) = a(t)x(t) + b(t) donde las funciones a y b son continuas enun intervalo compacto I = [a, b].

Consideremos un problema de Cauchy asociado

(P )

!x! = a(t)x(t) + b(t)

x(t0) = x0

donde t0 # I y x0 # R. Tenemos

D = I ' R y f : D ( R, (t, x) -( f(t, x) = a(t)x+ b(t)

y se verifica lo siguiente:

1. D es una banda vertical de base compacta.

2. f es continua en D por ser a y b continuas en I.

3. Como a es continua en I, y este es compacto, la funcion es acotada, ası que podemos fijarL > 0 tal que | a(t) | < L para todo t # I, y entonces

| f(t, x)% f(t, y) | )| a(t) | |x% y | ) L |x% y | para cada par de puntos (t, x), (t, y) # D,

es decir, f # L(x,D).

Por tanto, estamos en las condiciones del teorema de existencia y unicidad global. En consecuenciaratificamos el resultado del teorema 2.2, visto en el tema 2, que asegura que cualquier problemade Cauchy asociado a una ecuacion lineal posee solucion unica en el intervalo I. Ademas, pode-mos afirmar que las iterantes de Picard asociadas convergen uniformemente hacia la solucion delproblema. Esto justifica, en parte, lo que se vio en los ejemplos 6.1 y 6.2.

Ahora bien, en el teorema de existencia y unicidad probado en tema 2 para ecuaciones linealesel intervalo I no tenıa porque ser compacto; podıa ser cualquier intervalo. Observemos que, en elcaso lineal, si I es cualquier intervalo, lo que obtenemos es una condicion como

| f(t, x)% f(t, y) | ) L(t) |x% y | para cada par de puntos (t, x), (t, y) # D,

donde L : I ( R es la funcion dada por L(t) = | a(t) |, que es una funcion continua y que no tomavalores negativos (en el caso lineal se obtiene la igualdad). Esto nos lleva a la siguiente definicion:

Definicion 6.2. Sea I cualquier intervalo (no degenerado) de R. Se dice que una funcion f : D =I 'R ( R, (t, x) -( f(t, x), satisface una condicion de Lipschitz generalizada en D respecto de lasegunda variable x cuando existe una funcion L : I ( R continua en I (y no negativa) tal que

(6.13) | f(t, x)% f(t, y) | ) L(t) |x% y | para cada par de puntos (t, x), (t, y) # D.

Cuando se verifique la condicion (6.13) escribiremos f # LG(x,D). Obviamente f # L(x,D) *f # LG(x,D), pero el recıproco no es cierto. La funcion f : R2 ( R definida por f(t, x) = txverifica la condicion (6.13), siendo L(t) = | t |, pero f /# L(x,R2

) ya que existe la derivada parcial!f!x : R

2 ( R y no es acotada en R2. Lo que sı se verifica obviamente, y haremos uso de esto en

nuestro proximo resultado de existencia y unicidad, es que

f # LG&x, I ' R

'* f # L

&x, [a, b]' R

'si [a, b] es un intervalo compacto contenido en I.


De hecho, f # LG&x, [a, b] ' R

'/* f # L

&x, [a, b] ' R

'y cuando f no depende de la variable t

ambas condiciones son tambien equivalentes.

Procediendo de forma analoga a como vimos con la condicion de Lipschitz, la utilizacion de laderivada parcial !f

!x , cuando esta existe, nos proporciona una caracterizacion muy manejable de lacondicion de Lipschitzs generalizada.

Proposicion 6.3. Sea I cualquier intervalo de R y f : D = I ' R ( R tal que existe la funcionderivada parcial !f

!x : D ( R. La funcion f verifica una condicion de Lipschitz generalizada en Drespecto de la variable x si, y solo si, existe una funcion continua L : I ( R tal que

(6.14) | !f!x (t, x) | ) L(t) para cada (t, x) # D.

Prueba. Si suponemos que f verifica la condicion (6.13) y (t, x) # D se tiene

""""#f

#x(t, x)

"""" ="""" limh$0

f(t, x+ h)% f(t, x)

h

"""" = limh$0

| f(t, x+ h)% f(t, x) ||h | ) lim

h$0

L(t)|h ||h | = L(t).

Recıprocamente, supongamos que se verifica la condicion (6.14) donde L : I ( R es una funcioncontinua. Vamos a seguir un razonamiento analogo al llevado a cabo en la prueba de la proposicion6.2, usando el teorema del valor medio para funciones de una sola variable. Ademas, en estecaso, dada la forma especial de la region D = I ' R ( R (que es convexa) resulta aun massimple la prueba. En efecto, para cada t # I podemos considerar la funcion gt : R ( R dada porgt(x) = f(t, x). Esta funcion es derivable en R y g!t(x) =

!f!x (t, x) para cada x # R. Si (t, x) y (t, y)

son dos puntos cualesquiera de D se verifica

| f(t, x)% f(t, y) | = | gt(x)% gt(y) | = | g!t(z)(x% y) | =""!f!x (t, z)

""|x% y |

donde z es un punto del intervalo abierto de extremos x e y. Por tanto,

| f(t, x)% f(t, y) | ) L(t) |x% y |

y, como L es continua en I, se verifica que f # LG(x,D).

Observacion: La definicion dada de Lipschitz generalizada ası como el resultado anterior se adaptanperfectamente al caso mas general donde se consideran funciones f definidas en regiones del tipoD = I ' J, correspondiendo lo anterior al caso J = R. En el proximo teorema la region es de laforma D = I ' R y por esto hemos destacado este caso.

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad 6.2 podemos establecer otro analogodonde el intervalo I puede ser cualquiera pero suponiendo ahora que f # LG

&x, I ' R

'. La unica

diferencia es que no se va a poder asegurar, en general, la convergencia uniforme de las iterantesen el intervalo I; unicamente podremos asegurar convergencia puntual. Ası pues el resultado es elsiguiente:




Teorema 6.3 (Teorema de existencia y unicidad). Supongamos que se verifican las siguientestres hipotesis:

(I) D = I ' R donde I es un intervalo (no degenerado) en R.


(III) f satisface una condicion de Lipschitzs generalizada en D respecto de la segunda variable.

En tal situacion, para cada (t0 , x0) # D el problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en el intervalo I. Ademas, las iterantes de Picard xn : I ( Rasociadas a (P ) convergen uniformemente en cada subintervalo compacto [a, b] del intervalo I(que contenga a t0) y, por tanto, convergen puntualmente en I hacia la solucion de (P ).

Prueba. Es conocido que, dado un intervalo no degenerado I y un punto t0 # I, existe una sucesion(Im) de intervalos compactos tal que

t0 # I1 ! I2 ! · · · Im ! Im+1 ! · · · y ,&m=1 Im = I.

Para ilustrar mejor lo afirmado anteriormente y convencernos, en parte, de que este resultado esvalido, describimos a continuacion intervalos con esta propiedad en varios ejemplos significativos,que pueden adaptarse facimente a otros casos parecidos.

I = R t0 = 0 Im = [%m,m]

I = [0,&) t0 = 2 Im = [0,m+ 2]

I = (0,&) t0 = 1.5 Im = [ 1m ,m+ 1]

I = (%1, 1) t0 = 0 Im = [%1 + 1m+1 , 1%

1m+1 ]

I = (1, 4] t0 = 3 Im = [1 + 1m , 4]

Consideremos las bandas Dm = Im ' R. Al ser Im compacto, la condicion (III) implica quepara cada m se verifica f # L(x,Dm). Por otra f es continua en cada Dm. Por tanto, se puedehacer uso del teorema 6.2 en cada banda Dm para asegurar que el problema (P ) posee una unicasolucion definida en Im, que llamaremos xm. Dada la unicidad de cada xm, como solucion de (P )definida en Im, se tiene que xm+1 restringido a Im coincide con xm, de manera que la funcion

x : I ( R, t -( x(t) = xm(t) si t # Im

esta bien definida. La funcion x es derivable en I ya que dado t #"I existe m tal que t #

"Im y,

como x(t) = xm(t), se tiene que x es derivable en t y verifica

x!(t) = x!m(t) = f(t, xm(t)) = f(t, x(t)).

Si t es un extremo de I el razonamiento es analogo considerando la derivabilidad por la derecha opor la izquierda. Por otra parte, x(t0) = x1(t0) = x0 . Por tanto, x es solucion del problema (P ) enel intervalo I.


Si y : I ( R es solucion de (P ) en I, para cada m # N se verifica que y : Im ( R es solucionde (P ) en Im y, por tanto, y = xm = x en Im (dada la unicidad de xm). Como y y x coinciden encada intervalo Im, entonces coinciden en I. Ası pues, x es la unica solucion de (P ) definida en I.

Por ultimo, las iterantes xn estan bien definidas en I al ser D = I ' R. Si [a, b] es un intervalocompacto tal que t0 # [a, b] ! I, aplicando de nuevo el teorema 6.2 en la banda [a, b]'R, podemosafirmar que las restricciones de las iterantes al intervalo [a, b] convergen uniformemente en [a, b]hacia la solucion de (P ) en ese intervalo, que es x|[a,b] . Por otra parte, dado t # I, tomamos un

intervalo [a, b] tal que t, t0 # [a, b] y, como (xn) converge puntualmente hacia x en [a, b], se verificaque limn$& xn(t) = x(t). De esta forma se concluye que las iterantes convergen puntualmente enI hacia la solucion de (P ).

El resultado de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales, visto en el tema 2,se sigue trivialmente del teorema anterior. Por otra parte, este nos confirma que la convergenciapuntual de las iterantes hacia la solucion unica de un problema de Cauchy, vistas en los ejemplos 6.1y 6.2, se generaliza a cualquier problema lineal.

A continuacion vemos algunos ejemplos de aplicacion del teorema 6.3. En estos, y en otroscasos que aparecen en los ejercicios propuestos, resulta muy util el uso de la proposicion 6.3 parareconocer si la funcion f verifica una condicion de Lipschitz generalizada. Los primeros ejemploscorresponden a ecuaciones conocidas, vistas en temas anteriores. En el ultimo la ecuacion esirreconocible y, posiblemente, no se sepa resolver.

Ejemplo 6.4. (P ) :

,-

.x!(t) =

cosx(t)

1% t2

x(0) = x0

, donde x0 # R.

La ecuacion es de variables separables: x!(t) = g(t)h(x(t)), donde g : (%1, 1) ( R definida porg(t) = 1

1#t2 y h : R ( R, definida por h(x) = cosx, son continuas.

Con la teorıa vista en el tema 3, unicamente en el caso de que cos(x0) $= 0 podemos asegurar quetal problema posee una unica solucion en cierto intervalo abierto I tal que 0 # I ! (%1, 1), a prioridesconocido. En el caso de que cos(x0) = 0 tenemos una solucion constante valida en I = (%1, 1)pero no tenemos asegurada la unicidad de solucion. Ası si x0 = %/2 tenemos la solucion constantex(t) = %/2. Por otra parte, los calculos para la resolucion de (P ) son complicados.

El teorema 6.3 nos permite obtener facilmente mas informacion. De hecho, podemos tratar,con el mismo esfuerzo, un problema con una condicion inicial generica: x(t0) = x0 .

Sean I1 = (%&,%1), I2 = (%1, 1) e I3 = (1,&) y consideremos las bandas verticales Dk =Ik ' R, k = 1, 2, 3. Para cada k la funcion

f : Dk ( R, (t, x) -( f(t, x) =cosx

1% t2

esta bien definida y es continua en Dk.

Por otra parte, existe la funcion derivada parcial !f!x : Dk ( R y verifica

#f

#x(t, x) = % sinx

1% t2y por tanto

"""#f

#x(t, x)

""" )1

|1% t2| = L(t), para todo(t, x) # Dk,

donde la funcion L : Ik ( R es continua en Ik. En consecuencia, f # LG(x,Dk).




En definitiva, podemos asegurar que si (t0, x0) # Dk, el problema

(P ) :

!x!(t) = cosx(t)

1#t2

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en el intervalo Ik. En particular, el problema propuesto posee unaunica solucion en el intervalo I = (%1, 1) cualquiera que sea x0 # R. Observese que en particular,la funcion constante x(t) = %/2 es la unica solucion en I = (%1, 1) del problema correspondiente ax0 = %/2, lo que no estaba asegurado por el metodo de variables separables.

Ejemplo 6.5. (P ) :

,-

.x!(t) =

| senx(t) |1% t2

x(0) = x0

En este ejemplo, analogo al anterior, procederıamos de la misma forma si no fuese porque ahorala funcion

f : D = (%1, 1)' R ( R, (t, x) -( f(t, x) =| senx |1% t2

,

que es continua en la banda D, no posee funcion derivada parcial !f!x : D ( R. Por tanto, no

podemos aplicar la proposicion 6.3, pero se puede ver que f # LG(x,D) usando directamente ladefinicion y el teorema del valor medio. Si (t, x), (t, y) # D se verifica

| f(t, x)% f(t, y) | =""" 11#t2 | senx |%

11#t2 | sen y |

""" = 11#t2

""| senx |%| sen y |"" ) 1

1#t2 | senx% sen y |

= = 11#t2 | cos z | |x% y | ) 1

1#t2 |x% y |,

donde z un punto del intervalo abierto de extremos x e y.

En consecuencia, para cada x0 # R el problema (P ) posee una unica solucion definida en elintervalo I = (%1, 1).

Observacion: En el ejemplo anterior hemos solventado el problema que planteaba el valor absolutousando la desigualdad

""| a |%| b |"" ) | a% b |. Precisamente, usando esta desigualdad se comprueba

trivialmente que si una funcion f satisface una condicion de Lispchitz (Lipschitz generalizada) lafuncion | f | satisface la misma condicion. Esto puede resultar util en algunos casos.

Ejemplo 6.6. (P ) :

!x!(t) = sen2(t% x(t))

x(0) = 0

Este ejemplo se estudio y resolvio en el tema 4 (vease ejemplo 4.3) pues la ecuacion, del tipox!(t) = &(at + bx(t) + c), se reduce a una ecuacion de variables separables mediante el cambio defuncion incognita y(t) = t% x(t).

En este caso, la funcion

f : D = R' R ( R, (t, x) -( f(t, x) = sen2(t% x)

es continua en la banda D, posee funcion derivada parcial !f!x : D ( R y verifica

#f

#x(t, x) = %2 sen(t% x) cos(t% x) y, por tanto,

"""#f

#x(t, x)

""" ) 2, para todo (t, x) # D.


Consecuentemente, f es lipschitziana en D respecto de la segunda variable (y, por tanto, f #LG(x,D)) y podemos asegurar que el problema (P ) posee una unica solucion definida en R. Esto,a priori, no lo podıamos saber cuando estudiamos el problema en el tema 4, aunque finalmentepudimos comprobar que tenıa solucion definida en R, concretamente la funcion:

x : R ( R, t -( x(t) = t% arctan t.

Observese que, con el mismo esfuerzo que hemos tratado este ejemplo, podıamos haber estudiado

un problema generico (P ) :

!x!(t) = sen2(t% x(t))

x(t0) = x0

para obtener el mismo resultado.

Ejemplo 6.7. (P ) :

,-

.x!(t) =

x3(t) et

1 + x2(t)+ log t · cosx(t)

x(t0) = x0

La ecuacion es irreconocible; al menos no es de los tipos de ecuaciones estudiados en los temasanteriores y Mathematica no es capaz de resolver esta ecuacion. Sin embargo, podemos tratar esteejemplo como en los casos anteriores; solo que aquı los calculos se complican un poco. La funcion

f : D = (0,&)' R ( R, (t, x) -( f(t, x) =x3 et

1 + x2+ log t · cosx

es continua en la banda vertical D, posee funcion derivada parcial !f!x : D ( R y verifica para todo

(t, x) # D lo siguiente:

#f

#x(t, x) =

3x2et(1 + x2)% x3et 2x

(1 + x2)2% log t · senx =

3x2 + x4

(1 + x2)2et % log t · senx.

Intentando acotar la expresion anterior, obtenemos inicialmente

"""#f

#x(t, x)

""" )3x2 + x4

(1 + x2)2et + | log t |.

Por otra parte,3x2 + x4

(1 + x2)2) 3x2 + 3x4

(1 + x2)2=

3x2(1 + x2)

(1 + x2)2=

3x2

1 + x2) 3

y, en consecuencia, """#f

#x(t, x)

""" ) 3et + | log t | = L(t),

donde la funcion L : (0,&) ( R es continua. Por tanto, f # LG(x,D) y podemos asegurar quepara cada t0 > 0 y cada x0 # R el problema (P ) posee una unica solucion definida en el intervaloI = (0,&), aunque no tengamos ni idea de cual es la solucion.

6.6 Teorema de existencia y unicidad local

Recordemos las tres hipotesis que se necesitan para poder asegurar que un problema como

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en un intervalo I, a priori conocido.



6.6. Teorema de existencia y unicidad local 149

(I) D = I ' R.


(III) f es lipschitziana o, mas generalmente, satisface una condicion de Lipschitz generalizada, enD respecto de la segunda variable.

La forma especial del conjunto D (banda vertical) ha sido determinante para poder definir todaslas iterantes en el intervalo I. La continuidad de f nos ha permitido, entre otras cosas, escribirel problema (P ) de forma equivalente a una ecuacion integral, que ha resultado fundamental paratodo el desarrollo de la prueba del teorema 6.2 y la condicion de Lipschitz se ha usado en todas lasfases de la prueba. Ademas, ha resultado imprescindible que tal condicion de Lispchitz se verifiqueen una region (en este caso D) donde estan contenidas las graficas de las iterantes y de todas lasposibles soluciones de la ecuacion diferencial.

Usualmente nos vamos a encontrar con ecuaciones diferenciales donde no se cumplan las trescondiciones anteriores. En general, la continuidad de f se va a verificar (sin continuidad casi nadase puede hacer), pero lo que suele fallar es la condicion (I) o la (III) o ambas a la vez. Basta conrepasar los distintos ejemplos que hemos visto en los temas anteriores para confirmar lo que decimosy, ademas, para ratificar que, fallando algunas de las tres hipotesis, el resultado no es valido. Noobstante, vamos a aportar aquı tres ejemplos (alguno ya visto) para ilustrar lo que afirmamos.

Ejemplo 6.8. (P ) :

!x! = 1/2x

x(0) = 1

Aquı D = R' (0,&) es el mayor conjunto conexo (y convexo) que contiene al punto (t0 , x0) =(0, 1) y donde f , definida por f(t, x) = 1

2x , es continua. En principio, cabe la posibilidad de que(P ) tenga una solucion definida en R, pero veremos que no es ası.

El conjunto D es una “banda horizontal,” pero no es vertical pues no es de la forma D = I'R.Por otra parte, existe la funcion derivada parcial

#f

#x: D ( R, #f

#x(t, x) = % 1

2x2.

Observese que esta funcion no esta acotada en D y, por tanto, f /# L(x,D) (tambien se tiene quef /# LG(x,D) pues f no depende de la variable t). Sin embargo, si consideramos la banda horizontalD! = R' [12 ,&) " (0, 1) resulta que f # L(x,D!) pues aquı !f

!x esta acotada (""!f!x (t, x)

"" ) 2) y D!

es un conjunto convexo.

Por tanto, considerando la region D!, se verifican unicamente dos de las tres hipotesis exigidasen el teorema global (solo falla que D! = R ' [12 ,&) sea de la forma I ' R ). Sin embargo, elproblema (P ) no posee solucion definida en R, como vemos a continuacion.

En efecto, la ecuacion es autonoma y, como h(x) = 12x no se anula, es realmente una ecuacion

de variables separadas. Cualquier solucion x : I ( R de (P ) es solucion del problema

(Q) :

!2xx! = 1

x(0) = 1

y una funcion derivable x : I ( R es solucion de (Q) si, y solo si, verifica la condicion inicial y vienedefinida implıcitamente en I por la ecuacion

$ x

12s ds =

$ t

0ds, es decir, x2 = 1 + t.


De hecho, como h(1) $= 0, tenemos asegurado que en algun intervalo I " 0 existe una unica solucionpara (P ) que viene dada por x2 = 1+t. Evidentemente, la ecuacion anterior solo define una funcionderivable que verique x(0) = 1, la funcion dada por x(t) =

+1 + t, la cual solo esta definida en el

intervalo I = (%1,&) (observese que limt$#1 x(t) = 0). Por tanto, esta funcion es la unica solucionde (P ) definida en I. De hecho como solucion de (P ) con grafica en D! solo estarıa definida en elintervalo I ! = [%3

4 ,&). Cualquier posible solucion de (P ) definida en R debe ser una extension dela anterior, pero en ningun caso se puede extender x(t) =

+1 + t a una solucion definida en R.

Ası pues este simple ejemplo nos sirve para confirmar que la hipotesis de que la region sea unabanda vertical es imprescindible para asegurar el resultado del teorema global.

Ejemplo 6.9. (P ) :

,-

.x!(t) =

x2(t)% t2

2tx(t)x(1) = 1

En este caso D = (0,&) ' (0,&) es el mayor conjunto conexo (y convexo) que contiene al

punto (t0 , x0) = (1, 1) y donde f , definida por f(t, x) = x2#t2

2tx , es continua. En principio, cabe laposibilidad de que (P ) tenga una solucion definida en (0,&), pero veremos que no es ası.

El conjunto D no es una banda vertical. Por otra parte, f /# L(x,D), es mas, f /# LG(x,D),ya que la funcion derivada parcial

#f

#x: D ( R, #f

#x(t, x) =

x2 + t2

2tx2

ni esta acotada en D ni existe una funcion continua L : (0,&) ( R tal que""!f!x (t, x)

"" ) L(t) paracada (t, x) # D. Por tanto, en este caso solo se da una de las condiciones exigidas en el teoremaglobal.

La ecuacion diferencial es homogenea y fue resuelta en el tema 4 (ejemplo 4.4). Las soluciones

con graficas en D vienen dadas por xK (t) = t/

Kt % 1, donde K # R y ası la solucion cuya grafica

pasa por el punto (1, 1) es x(t) = t/

2t % 1, que esta definida en el intervalo I = (0, 2) y no se puede

extender a un intervalo mayor pues limt$0 x(t) = limt$2 x(t) = 0. Por tanto, el problema no poseesolucion definida en (0,&).

Ejemplo 6.10. (P ) :

!x! = x2

x(0) = 1

En este ejemplo, citado varias veces, la funcion f definida por f(t, x) = x2 es continua sobre labanda vertical D = R'R pero no es lipschitziana respecto de la variable x ya que la funcion !f

!x noesta acotada en D. Al no depender de la variable t tampoco satisface una condicion de Lipschitzgeneralizada respecto de x. Ası pues en este ejemplo solo falla la condicion de Lipschitz.

Como sabemos, este problema no posee solucion definida en R, pues siendo de variables sepa-rables, esta asegurado que en cierto intervalo I " 0 existe una unica solucion para (P ), dadaimplıcitamente por

% x1

1s2 ds =

% t0 ds, de lo que se sigue que tal solucion local es la dada por

x(t) = 11#t , la cual esta definida en el intervalo I = (%&, 1) y no se puede extender a una solucion

definida en un intervalo mayor pues limt$1" x(t) = +&.




Los ejemplos anteriores nos convencen de lo imprescindible que son las condiciones D = I ' Ry f # LG(x,D) para concluir la existencia de solucion para (P ) en el intervalo I.

La situacion que se da en el ultimo ejemplo es muy usual; mas generalmente, suele darse el casoen que se verifican las tres siguientes condiciones:

(I) D = I ' R donde I es un intervalo en R.


(III’) Existe la funcion derivada parcial !f!x : D ( R y es continua en D, pero f /# LG(x,D) debido

a que no podemos acotar esta derivada por una funcion que no dependa de la variable x.

Observese que estas tres condiciones se verifican cuando D = I ' R y f # C1(D,R). Podemos

hacer un repaso de las ecuaciones vistas en los temas anteriores y apreciar que muchas estan enesta situacion; en concreto, la mayorıa de las ecuaciones de variables separables y de las ecuacionesde Bernoulli y todas las ecuaciones de Riccati, como se muestra en los siguientes ejemplos:

• x! = t(x % ex), la ecuacion logıstica: x! = ax % bx2 y, en general, cualquier ecuacion devariables separables x! = g(t)h(x) donde g # C(I,R) y h # C1

(R,R).

• x! = %x + tx3, x! = %1tx + log t

t x2 y, en general, cualquier ecuacion de Bernoulli x! =a(t)x+ b(t)x# con a y b continuas en I y ' > 1 (se supone b no nula en I).

• x! = x2 + t y , en general, cualquier ecuacion de Riccati x! = a(t)x2 + b(t)x+ c(t) donde a, by c son continuas en I.

De forma mas general, en lugar de una banda vertical podemos considerar cualquier region delplano D conexa y con puntos interiores. La situacion serıa la siguiente:

(I’) D conexo en R2tal que

"D $= 0.


(III’) Existe la funcion derivada parcial !f!x : D ( R y es continua en D.

Casi todas las ecuaciones diferenciales x!(t) = f(t, x(t)) estan en esta nueva situacion; porejemplo, ahora podemos incluir tambien las ecuaciones vistas en los ejemplos 6.8 y 6.9. El suponerD conexo, condicion que explıcitamente no se va a usar, es porque se supone que vamos a considerarsoluciones de x! = f(t, x) con sus graficas contenidas en D y la grafica de una solucion x : I ( R,siendo I un intervalo, es un conjunto conexo en R2

.

Supongamos la situacion expuesta anteriormente. Al ser !f!x continua en D esta funcion es

acotada en cualquier subconjunto compacto K contenido en D y si, ademas, este subconjunto Kes convexo, tenemos que f # L(x,K). El conjunto compacto y convexo que mas se parece a unabanda vertical es el producto cartesiano de dos intervalos compactos en R, es decir, un rectangulocon lados paralelos a los ejes de coordenadas. Teniendo en cuenta el punto (t0 , x0) que aparece enla condicion inicial del problema de Cauchy, un conjunto apropiado serıa un rectangulo centradoen ese punto, es decir,

R = [t0 % a, t0 + a]' [x0 % b, x0 + b] = {(t, x) # D : | t% t0 | ) a, |x% x0 | ) b}.


Si (t0 , x0) #"D existen intervalos como los anteriores contenidos en D. Ası la funcion f es continua

y lipschitziana respecto de la variable x en R. El unico problema es que R no es una bandavertical y, por tanto, no podemos asegurar la existencia de solucion definida en el intervalo baseI = [t0 % a, t0 + a].

El ejemplo 6.10 nos confirma la ultima afirmacion. En este caso f # C1(R2

,R) y si tomamos elrectangulo centrado en (0, 1) de dimensiones a = 2 y b = 1, resulta que (P ) no tiene solucion enel intervalo I = [%2, 2] ya que la solucion obtenida para (P ) solo tiene sentido en [%2, 1). ¿Dondeesta el problema?.

Examinemos las primeras iterantes para obtener una pista. Estas vienen definidas por

xn(t) = 1 +

$ t

0x2

n"1(s) ds

siendo x0 la funcion constante x0(t) = 1. Por tanto, x1(t) = 1 + t y

x2(t) = 1 +

$ t

0(1 + s)2 ds = 1 + t+ t2 +

t3

3.

Las iterantes xn estan definidas en R, debido a que f es continua en la banda R'R y, sin embargo,(P ) no tiene solucion definida en R. Por otra parte, observese que la solucion obtenida x(t) = 1

1#t

se puede escribir como x(t) = 1 + t+ t2 + t3 + · · · =+&

k=0 tk unicamente cuando t # (%1, 1).

Si restringimos estas iterantes al intervalo [%2, 2] observamos que x0 : [%2, 2] ( R tiene lagrafica contenida en R pero no ası x1 : [%2, 2] ( R; para que esto suceda habrıa que restringirla alsubintervalo I = [%1, 1]. Ahora vemos que la segunda iterante x2 : [%1, 1] ( R no tiene la graficacontenida en R por lo que habrıa que restringirla a otro subintervalo mas pequeno.

Para razonar como en la prueba del teorema global es esencial que todas las iterantes xn : I ( Rtengan las graficas contenidas en una region donde f sea continua y lipschitziana respecto de lasegunda variable. Por otra parte, tambien es esencial que cualquier posible solucion x : I ( R de(P ) tenga la grafica en esa region. Por tanto, la cuestion que se plantea es ¿Existe algun subintervalocompacto I de [t0 % a, t0 + a] donde esto suceda?. De existir, podrıamos adaptar perfectamente laprueba del teorema 6.2 para obtener solucion de (P ) definida en I. La respuesta es afirmativa ynos la da el siguiente resultado, donde solo hace falta suponer que f sea continua en R.

Proposicion 6.4. Sean (t0 , x0) # R2, el rectangulo R = [t0 % a, t0 + a]' [x0 % b, x0 + b] y D 1 R.

Sea f : D ( R una funcion continua en R y sean

(6.15) M . max(t,x)#R

| f(t, x) |, h = mın{a, bM } e I = [t0 % h, t0 + h].

En tal situacion, las iterantes de Picard xn : I ( R asociadas al problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

estan bien definidas y tienen sus graficas contenidas en R. Ademas, cualquier posible solucionx : I ( R del problema (P ) tambien tiene la grafica en R .




Observaciones:

1. El suponer f : D ( R siendo D 1 R es para reflejar exactamente la situacion con la que nosvamos a encontrar, en general, en la practica. Es muy raro que en una ecuacion diferencialx! = f(t, x) la funcion f este unicamente definida en R. Tengase en cuenta el ejemplo dex! = x2 donde D = R2

. Usualmente f tambien es continua en D y las soluciones de laecuacion diferencial x! = f(t, x) tienen las graficas contenidas en D.

2. La expresion max(t,x)#R | f(t, x) | tiene sentido al ser | f | una funcion continua sobre un con-

junto compacto R. El escribir M . max(t,x)#R | f(t, x) | tiene como finalidad indicar que no

es necesario calcular el maximo, lo que en general puede acarrear muchos calculos; es sufi-ciente con encontrar una cota superior de la funcion | f | sobre el rectangulo. Por supuesto,M = max

(t,x)#R | f(t, x) | siempre da un intervalo I de mayor longitud.

3. El elegir h = mın{a, bM } es para asegurarnos que el intervalo I = [t0 %h, t0 +h] este contenido

en [t0 % a, t0 + a], aunque usualmente es h = bM . De hecho, la clave esta en la desigualdad

h ) bM .

Prueba. Vamos a comprobar facilmente lo asegurado sobre las iterantes. La prueba de la segundaparte, la que asegura que cualquier posible solucion x : I ( R del problema (P ) tambien tiene lagrafica en R, la vamos a omitir, pues no es facil. Podra verse en el proximo curso sobre ecuacionesdiferenciales, ya que este resultado tambien sirve para probar otros importantes resultados que seven en ese curso.

Observemos que una funcion x : I ( R tiene la grafica en el rectangulo R si, y solo si, se tiene

|x(t)% x0 | ) b para cada t # I.

Es evidente que x0 : J = [t0 % a, t0 + a] ( R, t -( x0(t) = x0 , tiene la grafica en R, por lo que tienesentido escribir f(s, x0(s)) para cada s # J y, ademas, la funcion s -( f(s, x0(s)) es continua en J ,por lo que podemos definir

x1 : [t0 % a, t0 + a] ( R, t -( x1(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x0(s)) ds.

Se verifica entonces

|x1(t)% x0 | )"""$ t

t0

| f(s, x0(s) | ds""" ) M | t% t0 | para cada t # J,

donde M es el indicado en (6.15). Ahora bien, si t # I = [t0 % h, t0 + h] ! [t0 % a, t0 + a],donde h = mın{a, b

M }, se tiene | t % t0 | ) h ) bM y, por tanto, |x1(t) % x0 | ) b. De esta forma,

restringiendo x1 , sı podemos afirmar que x1 : I ( R tiene la grafica en R y tiene sentido definir lasiguiente iterante:

x2 : I ( R, t -( x2(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, x1(s)) ds.

Esta verifica una estimacion como la obtenida anteriormente para x1 y ası tiene tambien la graficaen R. Mejor comprobamos esto para cada iterante xn por induccion sobre n.

En efecto, ya hemos visto que es cierto para n = 1. Supongamos que la iterante xn"1 : I ( Resta bien definida y tiene la grafica en R. Entonces, usando el mismo razonamiento que en el cason = 1, tenemos que

xn : I ( R, t -( xn(t) = x0 +

$ t

t0

f(s, xn"1(s)) ds


esta bien definida y verifica

|xn(t)% x0 | )"""$ t

t0

| f(s, xn"1(s) | ds""" ) M | t% t0 | ) Mh ) b para cada t # I,

lo que prueba que graf xn ! R.

Observacion: En la prueba anterior hemos obtenido, con mayor precision, para cada una de lasiterantes xn, la siguiente estimacion:

(6.16) |xn(t)% x0 | ) M | t% t0 | para cada t # I,

donde M e I son los indicados en (6.15). Esta desigualdad es equivalente a la doble desigualdad:

x0 %M | t% t0 | ) xn(t) ) x0 +M | t% t0 | para cada t # I.

Por tanto, se verifica

x0 %M(t% t0) ) xn(t) ) x0 +M(t% t0) si t . t0x0 +M(t% t0) ) xn(t) ) x0 %M(t% t0) si t ) t0 .

Observese que x = x0 +M(t % t0) y x = x0 %M(t % t0) son las ecuaciones de las dos rectas quepasan por el punto (t0 , x0) de pendientes M y %M respectivamente (M > 0) por lo que las dosultimas desigualdades nos confirman que la graficas de las iterantes, no solo estan contenidas en elrectangulo R, sino, con mayor precision, estan en la region comprendida entre ambas rectas (una“pajarita”).

Para las posibles soluciones x : I ( R del problema (P ) se puede probar, con mayor dificultad,una estimacion analoga a (6.16) usando la ecuacion integral asociada a (P ).

Una vez vista la proposicion anterior ya podemos enunciar el teorema principal de esta seccion.

Teorema 6.4 (Teorema de existencia y unicidad local de Picard). Supongamos que se verificanlas siguientes tres hipotesis:

(I) (t0 , x0) # R2, R = [t0 % a, t0 + a]' [x0 % b, x0 + b] y D 1 R.

(II) f : D ( R es continua en R.

(III) f es lipschitziana en R respecto de la segunda variable.

En tal situacion, el problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en el intervalo I = [t0 % h, t0 + h], donde

(6.17) h = mın{a, bM } y M . max

(t,x)#R| f(t, x) |.

Ademas, las iterantes de Picard asociadas a (P ) convergen uniformemente en el intervalo I haciala solucion del problema (P ).




La prueba de este teorema es una adaptacion de la vista para el teorema global 6.2 teniendoen cuenta que, segun la proposicion anterior, las graficas de las iterantes ası como la de cualquierposible solucion, definidas en el intervalo I = [t0%h, t0+h], tienen las graficas dentro del rectanguloR, donde la funcion f es continua y es lipschitziana respecto de la segunda variable. Los pasosclaves a seguir y las tecnicas son realmente una repeticion de lo visto en la prueba de ese teoremacambiando la banda vertical [a, b] ' R por el rectangulo R; mas concretamente, por el rectangulo[t0 % h, t0 + h]' [x0 % b, x0 + b].

Para ilustrar el resultado anterior volvemos a considerar el problema del ejemplo 6.10, quehemos tenido como referencia antes del teorema.


!x! = x2

x(0) = 1

Ya vimos que no estamos en condiciones de aplicar el teorema de existencia y unicidad global,pero al ser !f

!x continua en R2 es f # L(x,K) en cualquier K convexo y compacto. Tomando elrectangulo centrado en (0, 1) de dimensiones a = 2 y b = 1, es decir R = [%2, 2] ' [0, 2], se tieneque f es continua en R y que f # L(x,R), por lo que podemos aplicar el teorema anterior. En estecaso, se obtiene:

M = max(t,x)#R

| f(t, x) | = max(t,x)#R

|x2 | = 4, h = mın{a, bM } = mın{2, 14} = 1

4 ,

y, ası, podemos asegurar existencia y unicidad en el intervalo I = [%14 ,

14 ] y convergencia uniforme

en el intervalo I de las iterantes hacia la solucion unica de (P ). Por lo visto en el ejemplo 6.10, estasolucion es la definida por x(t) = 1

1#t .

En este caso hemos podido calcular de forma inmediata max(t,x)#R | f(t, x) |, pero, en general,

esto no es necesario pues basta con calcular un valor M tal que | f(t, x) | ) M para cada (t, x) # R.

Evidentemente, en el ejemplo anterior podıamos haber tomado cualquier rectangulo centradoen (0, 1), pero no por aumentar las dimensiones a y b del rectangulo se aumenta el valor de h yaque al aumentar estas suele aumentar el valor de M y usualmente h = b

M . Ası, si tomamos a = 10y b = 1, se obtiene el mismo valor de h que en el caso anterior, pero si elegimos a = 10 y b = 19,resulta M = max

(t,x)#R | f(t, x) | = 400 y h = 19400 , de forma que se obtiene un valor de h inferior a

0, 05, mucho mas pequeno que en el caso anterior, donde h = 0, 25.

En relacion a lo anterior, dejamos como ejercicio el comprobar que el maximo intervalo que sepuede conseguir aplicando el teorema 6.4 al problema de variables separables

(P ) :

!x! = 1 + x2

x(0) = 0

usando cualquier rectangulo R = [%a, a]' [%b, b], es I = [%12 ,

12 ]. Sin embargo (P ) tiene una unica

solucion definida en el intervalo (%$2 ,

$2 ), que es la funcion dada por x(t) = tan t.


!x! = 3x

2/3

x(0) = 0


Este problema autonomo fue estudiado en el tema 3 y mencionado en la introduccion de estetema. Resulta que en cualquier intervalo I " 0 hay definidas infinitas soluciones para (P ) y, portanto, no debe verificar las hipotesis del teorema 6.4.

En este caso f : R2 ( R, definida por f(t, x) = 3x2/3, es continua en R2y, por tanto, es continua

en cualquier rectangulo R = [%a, a] ' [%b, b]. Pero sucede que f no es lipschitziana respecto dela segunda variable en estos rectangulos. Esto podemos comprobarlo por reduccion al absurdo,usando la definicion o bien usando la derivada parcial respecto de la variable x.

De suponer que existe L > 0 tal que | f(t, x)% f(t, y) | ) L |x% y | para cada (t, x), (t, y) # R,bastarıa con tomar los puntos (t, x) = (0, 1

n) (con n suficientemente grande) y (t, y) = (0, 0) para

llegar al absurdo de que 3n1/3 ) L para cada n mayor que cierto n0 .

De otra forma, vease que no existe !f!x (t, 0) y en cualquier R tenemos puntos de la forma

(t, 0). Podemos, entonces, considerar el rectangulo R! = {(t, x) # R : x > 0} para el que existe!f!x : R

! ( R siendo !f!x (t, x) = 2

x1/3 . Pero observese que esta derivada parcial no esta acotada enR!. Por tanto, f /# L(x,R!) y, consecuentemente, f /# L(x,R).

Esto prueba, una vez mas, que la condicion de Lipschitz es fundamental para conseguir launicidad de solucion.

Acabamos con una consecuencia inmediata de teorema local 6.4. Las hipotesis que aparecen eneste resultado son muy usuales; se puede comprobar que se verifican en la mayorıa de las ecuacionesque hemos vistos, por lo que el resultado es de gran aplicacion.

Corolario 6.4.1. Sean D ! R2un conjunto conexo con interior

"D $= 0 y f : D ( R una funcion

continua en D y tal que existe la funcion derivada parcial !f!x : D ( R y es continua en D. Para

cualquier punto (t0 , x0) #"D existe un intervalo I tal que t0 #

"I y tal que el problema de Cauchy

(P ) :

!x!(t) = f(t, x(t))

x(t0) = x0

posee una unica solucion definida en el intervalo I.

Observaciones: En el resultado anterior el intervalo I depende del punto (t0 , x0) elegido. Por

otra parte, vease que las hipotesis sobre la funcion f se dan cuando f # C1(D,R).

El resultado anterior implica que, con las hipotesis impuestas en este, las graficas de dos solu-ciones de la ecuacion diferencial no pueden cortarse en un punto interior al conjunto D, puesesto esta en contradiccion con la unicidad de solucion, en cierto intervalo, para un problema devalor inicial donde aparece un punto interior de D. Esto confirma que, en la mayorıa de los casos,los metodos, vistos en temas anteriores, para la resolucion de ecuaciones de variables separables,ecuaciones que se transforma en variables separables mediante cambios de variables, ecuaciones deBernoulli y ecuaciones de Riccati, proporcionan todas las soluciones.

En el caso de variables separables surgıan las dudas cuando existen soluciones constantes yel metodo nos lleva a determinar las soluciones de la ecuacion cuyas graficas no cortan a lasgraficas de las constantes. Ahora podemos asegurar que en casos como x! = 2tx2, x! = x2 % 4y, en general, x! = g(t)h(x) donde g es continua en un intervalo I y h # C1

(J,R), siendo J otrointervalo, el metodo proporciona todas las soluciones. Ası, en el primer ejemplo, el resultado 6.4.1



Ejercicios propuestos 157

nos confirma que, excepto la solucion nula, ninguna otra puede anularse en un punto. De esta forma,las soluciones distintas de la nula tienen sus graficas contenidas en los abiertos D1 = R' (%&, 0)o D2 = R' (0,&).

En el caso de ecuaciones de Bernoulli el metodo de resolucion impone determinar, en general,soluciones positivas x : I ( (0,&) y, en los casos en que tuviese sentido, tambien las solucionesnegativas x : I ( (%&, 0), teniendo que anadir a estas, en ciertas situaciones, la solucion nula;pero nos quedaba la duda de si existıan otras soluciones que se pudieran anular. Ahora, podemosafirmar que en casos como x! = a(t)x+ b(t)x#, donde a y b son continuas en I y ' > 1 el metodoproporciona todas las soluciones, razonando como en caso de variables separables x! = 2tx2.

Por la misma razon, el metodo usado para la resolucion de ecuaciones de Riccati : x! = a(t)x2+b(t)x+ c(t), (supuesto a, b y c continuas en un intervalo abierto I), cuando se conoce una solucionparticular xp, que conlleva el cambio de funcion incognita y(t) = 1

x(t)#xp(t), proporciona todas las

soluciones de la ecuacion. Con este cambio se excluyen, en principio, las posibles soluciones x cuyasgraficas corten a la grafica de xp, pero esto no puede suceder.

Ejercicios propuestos :

1. Determina la sucesion de aproximaciones sucesivas correspondientes al problema de valor inicial

(P ) :

!x! = tx

x(0) = 1y prueba que esta sucesion converge puntualmente en R hacia la solucion de (P ).

2. Comprueba que las iterantes de Picard del problema de Cauchy (P ) :

!x! = 3x2/3

x(0) = 0estan definidas

en R y convergen uniformemente en R hacia una de las infinitas soluciones del problema (P ) y, sin

embargo, la funcion f : R2 ( R, f(t, x) = 3x2/3 no es lipschitziana (respecto a la segunda variable)en ningun entorno del punto (0, 0).

3. ¿Se puede asegurar que, para cada (t0 , x0) # R2

, cada uno de los siguientes problemas de valoresiniciales posee solucion, y solamente una, valida en R ?¿ Que se puede asegurar sobre las iterantes dePicard asociadas?

(a)

!x! = arctan(t+ x)

x(t0) = x0

(b)

!x! = t+ sen2(tx)

x(t0) = x0

(c)

!x! = |x |x(t0) = x0

(d)

!x! = xet"x

x(t0) = x0

4. Comprueba que los dos siguientes problemas de Cauchy poseen solucion y, ademas, unica, en losintervalos indicados.

(a)

!x! = (1 + senx) log t

x(1) = %I = (0,&) (b)

!x! = (3t2 + 1) cos2 x+ (t3 % 2t) sen 2x

x(%) = 13I = R

5. Demuestra que si g : I ( R es continua y h : R ( R es derivable y con derivada acotada en R, paracada (t0 , x0) # I ' R, la ecuacion de variables separables x! = g(t)h(x) posee una unica solucion enel intervalo I que verifica x(t0) = x0 .

6. Comprueba que existe un intervalo I = [%h, h] donde el problema de Riccati (P ) :

!x! = t+ x2

x(0) = 1posee solucion unica. Determina un intervalo I con esa propiedad y las tres primeras iterantes dePicard asociadas. ¿Se puede asegurar que el problema (P ) posee solucion unica en R? ¿Eres capaz dehallar una solucion de (P )?

7. Comprueba que el mayor intervalo que proporciona el teorema de existencia y unicidad local de Picard

para el problema (P ) :

!x! = 1 + x2

x(0) = 0, donde se asegura existencia y unicidad de solucion, es I =

[% 12 ,

12 ] y, sin embargo, (P ) posee solucion unica en el intervalo (%!

2 ,!2 ).


8. Comprueba que el problema lineal

!tx! = x

x(0) = 0posee infinitas soluciones en cualquier intervalo I " 0.

¿Porque no contradice esto al teorema de existencia y unicidad local?.

9. Responde razonadamente si los dos problemas de valores iniciales

(P ) :

!x! = t2 % tx3 + 1

x(0) = 0(Q) :

!x! = t3 % etx+ t2 sen3(tx)

x(0) = 0

poseen solucion y, ademas, unica, definida en R. Si para alguno de ellos no se pueda asegurar solucionvalida en R, determina, si es que existe, un intervalo donde sı se puede asegurar existencia y unicidadde solucion.

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