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Teoria Básica dos Campos de Radiação
Carlos Alexandre WuenscheProcessos Radiativos I
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IntroduçãoProblemas dependentes do tempo mostram a dependência clara de fenômenos elétricos e magnéticos - ELETROMAGNETISMO e não ELETRICIDADE e MAGNETISMOCampos variando no tempo dão origem a outros campos, assim como o deslocamento de cargas...Trataremos, por hora, do caso não-relativístico.
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IntroduçãoUma partícula em movimento num campo eletromagnético deve sofrer uma força produzida por ambos os campos, a chamada Força de Lorentz:
Podemos deduzir diretamente uma relação de balanço entre a energia potencial elétrica e a energia cinética da carga em movimento:
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�F = q( �E +v
c�v × �B)
�v.�F = q�v. �E
q�v. �E =d
dt(12mv2)
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A generalização da eq. de Lorentz para uma distribuição contínua de cargas em movimento fica:
sendo que os volumes devem ser menor do que o volume total do espaço em que os campos estão sendo medidos, mas muito maior do que o volume ocupado por uma única partícula
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�F = q( �E +v
c�v × �B)
ρ = lim∆V→01
∆V
�
i
qi
�j = lim∆V→01
∆V
�
i
qivi
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∇ • �E = 4πρe ∇ • �B = 0
∇× �E = −1c
∂ �B
∂t∇× �B =
4π
c�je +
1c
∂ �E
∂t
∇ • �D = 4πρe ∇ • �B = 0
∇× �E =∂ �B
∂t∇× �H =
4π
c
�j +1c
∂ �D
∂t
�D = � �E �B = µ �H
Eqs. de Maxwell (vácuo e meio material)
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Algumas consequências...Conservação de cargaDeterminamos a densidade de energia e fluxo para o campo eletromagnético usando a lei de Ampére e a definição de trabalho por unidade de volume numa distribuição de cargas para chegar no teorema de Poynting
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�j • �E +18π
∂
∂t[�E2 +
B2
µ] = −∇ • (
c
4π�E × �B)
Energia do campo Vetor de Poynting
∇ •�j +∂ρ
∂t= 0
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Ondas Eletromagnéticas Planas
A partir destas equações, deduzimos as equações de onda para os campos elétrico e magnético
A simetria entre as eqs. de onda vem da invariância das Eqs. de Maxwell para as transformaçoes E → B e
B → - E acima7
∇ • �E = 0 ∇ • �B = 0
∇× �E +∂ �B
∂t= 0 ∇× �B − 1
c
∂ �E
∂t= 0
∇2 �E − 1c2
∂2 �E
∂t2= 0
∇2 �B − 1c2
∂2 �B
∂t2= 0
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�E = a1E0ei(�k•�r−ωt) �B = a2B0e
i(�k•�r−ωt)
Solução das eqs. de onda
Essas soluções são gerais e representam ondas planas viajando na direção n e, superpondo essas soluções se propagando em todas as direções do espaço podemos construir a solução mais geral para as equações de Maxwell no vácuo (sem fontes).A substituição dessas soluções nas eqs. de Maxwell nos dá:
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i�k • a1E0 = 0 i�k • a2B0 = 0
i�k × a1E0 =iω
ca2B0 i�k × a2B0 = − iω
ca1E0
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A propagação da ondaa1 e a2 são perpendiculares à direção de propagaçãoa1, a2 e k formam uma tríade “horária” de vetores mutuamente perpendiculares perpendiculares à direção de propagação. a1, a2 definem o plano de oscilação da onda EM. Relacionamos E0 e B0 através das expressões:
Essas relações implicam que a amplitude dos campos E e B é a mesma!
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E0 =ω
κcB0 B0 =
ω
κcE0
E0 =ω
κc
2E0 ω2 = κ2c2
Velocidade de fase:
Velocidade de grupo:
vfase =ω
κ
vgrupo =∂ω
∂κ
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O Espectro de RadiaçãoDepende da variação temporal de E.Não existe um espectro “instantâneo”, sendo necessário medir um trem de ondas ou a radiação de um único ponto durante um intervalo de tempo suficientemente longo para caracterizar um espectro.Dado um tempo Δt, só podemos resolver o espectro em frequências Δω tal que ΔtΔω > 1!Considerando a radiação na forma de um pulso finito (para o campo elétrico, já que o magnético se comporta da mesma forma), podemos representar E(t) na forma de um “par de Fourier”.
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E(ω) contém toda a informação de frequência de E(t)! A energia carregada por essa onda pode ser expressa em termos do vetor de Poynting:
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E(ω) =12π
� +∞
−∞E(t)eiωtdt
E(t) =12π
� +∞
−∞E(ω)eiωtdω
dW
dAdt=
c
4πE2(t)
dW
dAdω= cE2(ω)E pode-se mostrar que essa expressão é
equivalente, usando o teorema de Parseval, a
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Obtendo a média do espectro de potênciat = 1 t = 16
t = 64t = 4
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