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Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas - Aula 08
Cálculo de Deslocamentos em Estruturas Isostáticas (1) • Trabalho Externo das Cargas e
Energia Interna de Deformação; • Relações entre Energia de Deformação e
Esforços Internos; • Aplicação da Igualdade entre o Trabalho das Forças
Externas e a Energia Interna de Deformação;
1
Aula - Seção 1: Trabalho Externo das Cargas e Energia Interna de Deformação
2
Trabalho de Uma Força (W)
d : deslocamento de corpo rígido; F : força; α : ângulo da força com a horizontal; m : massa do corpo
𝑊𝑊 = 𝐹𝐹.𝑑𝑑. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛼𝛼
* Só há trabalho da direção do deslocamento
Trabalho Externo de uma Carga Aplicada “W” (1)
L : comprimento longitudinal da barra; P : força axial aplicada dx : deslocamento relativo infinitesimal ao longo do eixo longitudinal (eixo x); A : área da seção transversal da barra;
dW : trabalho realizado pela força P enquanto a barra se alonga de um comprimento “dx”
𝑑𝑑𝑊𝑊 = 𝑃𝑃.𝑑𝑑𝑑𝑑
4
O trabalho total realizado pela força P enquanto ela é gradualmente aplicada à barra resulta em:
𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝛿𝛿
0
5
Trabalho Externo de uma Carga Aplicada “W” (2)
Trabalho Externo de uma Carga Aplicada “W” (3)
• No caso de uma deformação linear e elástica, a porção do diagrama força-deslocamento referente ao problema estudado pode ser representada por uma linha reta de equação P = kx
𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝛿𝛿1
0� 𝑘𝑘𝑑𝑑𝛿𝛿1
0𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑊𝑊 =12𝑘𝑘𝑑𝑑
2𝛿𝛿1
0=
12𝑘𝑘𝛿𝛿1
2 =12 𝑘𝑘𝛿𝛿1. 𝛿𝛿1
𝑊𝑊 =12𝑃𝑃. 𝛿𝛿1
6
Teorema de Clapeyron
7
“ O trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em um corpo de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo instantâneo”
𝑊𝑊 =12𝑃𝑃𝛿𝛿
Analogia de Mola Elástica Linear
• Equação de Mola: (Relação Força x Deslocamento)
𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿
Mola
Barra Solicitada Axialmente • Relação Força x Deslocamento
𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿
k : constante de rigidez da mola
k : rigidez axial da barra
Como determinar “k”?
Revisão de RESMAT (1)
Barra Solicitada Axialmente
Deslocamento ( δ )
Deformação ( 𝛆𝛆 )
δ [ unidade de comprimento ]
δ / L [ adimensional (%) ]
Revisão de RESMAT (2)
Barra Solicitada Axialmente • Relação Força x Deslocamento
𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿
Como determinar “k”?
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀
𝜎𝜎 =𝑃𝑃𝐴𝐴
𝜀𝜀 =𝛿𝛿𝐿𝐿
: tensão normal
: deformação axial
: relação tensão x deformação (Módulo de Elasticidade E)
Revisão de RESMAT (3)
Barra Solicitada Axialmente • Relação Força x Deslocamento
𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿
Como determinar “k”?
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀 𝜎𝜎 =𝑃𝑃𝐴𝐴 𝜀𝜀 =
𝛿𝛿𝐿𝐿
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝐸𝐸.
𝛿𝛿𝐿𝐿 𝑃𝑃 =
𝐴𝐴𝐸𝐸𝐿𝐿 𝛿𝛿
Logo, para uma barra solicitada axialmente a rigidez axial “k” é:
𝑘𝑘 =𝐴𝐴𝐸𝐸𝐿𝐿
Energia Interna de Deformação “U” e o Princípio da Conservação de Energia Mecânica
• Quando aplicadas a um corpo, as cargas deformam o “material”. Desde que não haja perda de energia sob a forma de calor, o trabalho externo por elas realizado será convertido em trabalho interno denominado “Energia Interna de Deformação (U)”.
• Esta energia, sempre positiva, armazena-se no corpo e é provocada pela ação das tensões normais e/ou cisalhantes.
• Assim sendo, o Princípio da Conservação de Energia Mecânica pode ser expresso como :
12
𝑊𝑊 Trabalho Externo
das Cargas
𝑈𝑈 Energia Interna de Deformação
Rigidez x Módulo de Elasticidade (Barra Solicitada Axialmente)
13
𝜎𝜎 = 𝐸𝐸. 𝜀𝜀
𝑃𝑃 =𝐸𝐸𝐴𝐴𝐿𝐿 . 𝛿𝛿
𝑃𝑃 = 𝑘𝑘. 𝛿𝛿
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 𝐸𝐸.
𝛿𝛿𝐿𝐿
Energia de Deformação Específica (por Unidade de Volume) “u”
• Se tomarmos a expressão da energia de deformação e dividirmos pelo volume do corpo solicitado (barra prismática axialmente solicitadada ) temos:
• A energia de deformação específica “u” independe da geometria do elemento sendo definida em função da integração das tensões em termos das deformações:
𝑢𝑢 =𝑈𝑈𝑉𝑉
= �𝑃𝑃𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑
𝛿𝛿
0= �
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿
𝛿𝛿
0= � 𝜎𝜎𝑑𝑑𝜀𝜀
𝜀𝜀
0
𝑢𝑢 = � 𝜎𝜎𝑑𝑑𝜀𝜀𝜀𝜀
0
Energia de Deformação x Energia Específica de Deformação
• É interessante reconhecer que a Energia de Deformação pode ser escrita como a integral de volume da Energia de Deformação Específica sobre o corpo:
𝑈𝑈 = �𝑑𝑑𝑢𝑢𝑉𝑉
Escrita em função
das cargas
Escrita em função
dos esforços internos (M,V, N e T)
Estruturas com Comportamento Elástico Linear
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• Nos estudos que se seguem, o conceito de Energia de Deformação será aplicado às estruturas de comportamento elástico linear.
• Em tais estruturas: a) É valida a Lei de Hooke (linearidade física, ou seja,
tensões diretamente proporcionais às deformações);
b) São desprezados os deslocamentos das cargas em função da deformação dos elementos, sendo utilizada sempre a configuração indeformada para posicionamento destas (linearidade geométrica);
c) Como consequência é possível a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos;
Estado Triplo de Tensões (1)
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𝜀𝜀𝑥𝑥 =1𝐸𝐸
[𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑧𝑧)]
𝜀𝜀𝑦𝑦 =1𝐸𝐸
[𝜎𝜎𝑦𝑦 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑧𝑧)]
𝜀𝜀𝑧𝑧 =1𝐸𝐸
[𝜎𝜎𝑧𝑧 − 𝜐𝜐(𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑦𝑦)]
𝜀𝜀𝑥𝑥, 𝜀𝜀𝑦𝑦, 𝜀𝜀𝑧𝑧 : deformações normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente
𝜎𝜎𝑥𝑥,𝜎𝜎𝑦𝑦 ,𝜎𝜎𝑧𝑧 : tensões normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente
𝐸𝐸 : módulo de elasticidade normal 𝜐𝜐 : coeficiente de Poisson
Estado Triplo de Tensões (2)
18
𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 =𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦𝐺𝐺
𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 𝛾𝛾𝑦𝑦𝑧𝑧 : distorções angulares
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 : tensões tangenciais
𝐺𝐺 : módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento)
𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧𝐺𝐺
𝛾𝛾𝑦𝑦𝑧𝑧 =𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧𝐺𝐺
Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (1)
19
• Diferencial da Energia Interna de Deformação Espefícia correspondente às Tensões Normais:
• Diferencial da Energia Interna de Deformação correspondente às Tensões Tangenciais:
𝒅𝒅𝒅𝒅𝝈𝝈 =𝝈𝝈𝒙𝒙𝜺𝜺𝒙𝒙𝟐𝟐
+𝝈𝝈𝒚𝒚𝜺𝜺𝒚𝒚𝟐𝟐
+𝝈𝝈𝒛𝒛𝜺𝜺𝒛𝒛𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛
𝒅𝒅𝒅𝒅𝝉𝝉 =𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝜸𝜸𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐
+𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝜸𝜸𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐
+𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝜸𝜸𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐
𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛
Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (2)
20
• O trabalho elementar interno total será:
• Aplicando a Lei de Hooke Generalizada:
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝝈𝝈 + 𝒅𝒅𝒅𝒅𝝉𝝉
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝝈𝝈𝒙𝒙𝜺𝜺𝒙𝒙 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝜺𝜺𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝜺𝜺𝒛𝒛 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝜸𝜸𝒙𝒙𝒚𝒚 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝜸𝜸𝒙𝒙𝒛𝒛 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝜸𝜸𝒚𝒚𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛
𝒅𝒅𝒅𝒅 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝝈𝝈𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝟐𝟐 −𝝊𝝊𝟐𝟐
𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝝈𝝈𝒛𝒛 + 𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒛𝒛 +𝟏𝟏𝟐𝟐𝑮𝑮
𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒛𝒛
𝑼𝑼 = � 𝒅𝒅𝒅𝒅𝑽𝑽
𝑼𝑼 = �𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝝈𝝈𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝈𝝈𝒛𝒛𝟐𝟐 −𝝊𝝊𝟐𝟐
𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝝈𝒚𝒚𝝈𝝈𝒛𝒛 + 𝝈𝝈𝒙𝒙𝝈𝝈𝒛𝒛 +𝟏𝟏𝟐𝟐𝑮𝑮
𝝉𝝉𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒛𝒛𝟐𝟐 + 𝝉𝝉𝒚𝒚𝒛𝒛𝟐𝟐
𝑽𝑽
𝒅𝒅𝑽𝑽
Aula 08 - Seção 2: Relações entre Energia de Deformação e Esforços Internos
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Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial – N (1)
22
• Para peças solicitadas somente por carga axial tem-se:
𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑁𝑁𝐴𝐴
𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0
Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial – N (2)
23
• Dado que:
• Logo:
𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑁𝑁𝐴𝐴
𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0
𝑈𝑈 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2 + 𝜎𝜎𝑧𝑧2 −𝜐𝜐𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑧𝑧 +12𝐺𝐺
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2 + 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑈𝑈𝑁𝑁 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 = �12𝐸𝐸
𝑁𝑁𝐴𝐴
2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�
𝑁𝑁2
𝐸𝐸𝐴𝐴2𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑼𝑼𝑵𝑵 =𝟏𝟏𝟐𝟐�
𝑵𝑵𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑬𝑬
𝑳𝑳
𝟎𝟎𝒅𝒅𝒙𝒙
Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor – M (1)
24
𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦
𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0
• Para peças solicitadas por flexão ao redor do eixo “z”:
𝑈𝑈 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2 + 𝜎𝜎𝑧𝑧2 −𝜐𝜐𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑧𝑧 +12𝐺𝐺
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2 + 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑈𝑈𝑀𝑀 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor – M (2)
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𝑈𝑈𝑀𝑀 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 𝜎𝜎𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑈𝑈𝑀𝑀 = �
12𝐸𝐸
𝑀𝑀𝐼𝐼𝑦𝑦
2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑈𝑈𝑀𝑀 = �12𝐸𝐸
𝑀𝑀2
𝐼𝐼2𝑦𝑦2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�𝑀𝑀2
𝐸𝐸𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
� 𝑦𝑦2
𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑀𝑀2
𝐸𝐸𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
𝐼𝐼
𝑼𝑼𝑴𝑴 =𝟏𝟏𝟐𝟐�
𝑴𝑴𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑰𝑰
𝑳𝑳
𝟎𝟎𝒅𝒅𝒙𝒙
Energia Interna de Deformação devido ao Cortante – V (1)
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𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼
𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝜎𝑧𝑧 = 0
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧 = 0
• Para peças solicitadas por corte no plano “xz”:
𝑈𝑈 = �12𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥2 + 𝜎𝜎𝑦𝑦2 + 𝜎𝜎𝑧𝑧2 −𝜐𝜐𝐸𝐸
𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝜎𝑦𝑦𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝜎𝑥𝑥𝜎𝜎𝑧𝑧 +12𝐺𝐺
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2 + 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑧𝑧2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1
2𝐺𝐺𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
Energia Interna de Deformação devido ao Cortante – V (2)
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𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1
2𝐺𝐺𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1
2𝐺𝐺𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼
2
𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑈𝑈𝑉𝑉 = �1
2𝐺𝐺𝑉𝑉2𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐼𝐼2𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉 =12�
𝑉𝑉2
𝐺𝐺𝐼𝐼2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
�𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑏𝑏𝐼𝐼
𝐼𝐼 = 𝐴𝐴. 𝑖𝑖2
Dado que:
𝑖𝑖 : raio de giração
𝑈𝑈𝑉𝑉 =12�
𝑉𝑉2
𝐺𝐺𝐴𝐴2𝑖𝑖4𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
�𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑉𝑉2
𝐺𝐺𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
1𝐴𝐴𝑖𝑖4
�𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴
𝜒𝜒 =1𝐴𝐴𝑖𝑖4
�𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴 Propriedade Geométrica da Seção Transversal
Energia Interna de Deformação devido ao Cortante – V (3)
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• Verifica-se portanto que o fator (χ) é uma constante que depende somente da forma da seção transversal, denominado “Fator de Cisalhamento”. Portanto é possível escrever:
𝑈𝑈𝑉𝑉 =12�𝑄𝑄2
𝐺𝐺𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
1𝐴𝐴𝑖𝑖4
�𝑉𝑉2
𝑏𝑏2𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴 =12�𝑉𝑉2
𝐺𝐺𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐿𝐿
𝜒𝜒
𝑼𝑼𝑽𝑽 =𝝌𝝌𝟐𝟐�
𝑽𝑽𝟐𝟐
𝑮𝑮𝑬𝑬
𝑳𝑳
𝟎𝟎𝒅𝒅𝒙𝒙
Energia Interna de Deformação devido ao Cortante – V (4)
29
• Exemplos de alguns Fatores de Cisalhamento já calculados para seções transversais mais comuns:
Princípio da Conservação de Energia Mecânica
30
• Considerando a igualdade entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia Interna de Deformação tem-se que:
• Logo:
𝑊𝑊 =12𝑃𝑃. 𝛿𝛿
𝑈𝑈 =12�
𝑁𝑁2
𝐸𝐸𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿
0+
12�
𝑀𝑀2
𝐸𝐸𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿
0+𝜒𝜒2�
𝑉𝑉2
𝐺𝐺𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐿𝐿
0
𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳
𝟎𝟎+ �
𝑴𝑴𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑰𝑰 𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳
𝟎𝟎+ 𝝌𝝌�
𝑽𝑽𝟐𝟐
𝑮𝑮𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳
𝟎𝟎
Aula 08 - Seção 3: Aplicação da Igualdade entre o Trabalho Externo das Cargas e a Energia Interna de Deformação
31
Aplicação de W = U em Treliças (1)
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• Calcular o “deslocamento” do ponto “B” da treliça abaixo:
𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑬𝑬𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳
𝟎𝟎
Para todas as barras: E = 200GPa A = 10 x 30 mm
A
B
C
• Como nas treliças ocorrem somente esforços axiais : M = 0 e Q = 0
• Como na treliça em questão não ocorre variação da área da seção transversal das barras:
𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝒊𝒊
𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑬𝑬 𝑳𝑳𝒊𝒊𝒊𝒊
Aplicação de W = U em Treliças (2)
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• Da expressão abaixo temos que para calcular o deslocamento do ponto B (onde está aplicada a carga de 100kN) é necessário calcularmos os esforços internos em todas as barras:
A
B
C
𝑷𝑷.𝜹𝜹 = �𝑵𝑵𝒊𝒊
𝟐𝟐
𝟐𝟐𝑬𝑬𝑳𝑳𝒊𝒊
𝒊𝒊
• Substituindo os valores dos esforços em cada barra e demais variáveis, tem-se que:
100kN.𝜹𝜹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟕𝟕𝑵𝑵 𝟐𝟐.𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕𝑵𝑵 𝟐𝟐.𝟒𝟒,𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟎𝟎 𝟐𝟐.𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟕𝟕𝑵𝑵𝟎𝟎2
. 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒𝟎𝟎𝒎
Aplicação de W = U em Treliças (3)
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• Isolando o deslocamento na expressão tem-se que:
𝜹𝜹 =𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟕𝟕𝑵𝑵𝟐𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟕𝟕𝑵𝑵.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝑵𝑵= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟎𝟎𝟎𝟎
• Consultando as respostas do FTOOL para os deslocamentos na estrutura, obtemos:
Aplicação de W = U em Treliças (4)
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• Pela comparação com os resultados do FTOOL:
• Note-se que o software dá como resposta um deslocamento de 35 mm na direção “X” (Dx)
• Entretanto além do deslocamento em “X” o ponto B desloca-se 8,888 mm para baixo em “Y” (Dy)
• Conseguimos calcular os 35 mm de deslocamento porque este deslocamento é colinear à força de 100kN considerada.
Limitações da Aplicação de W = U:
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• Do que vimos até então, o PCEM apresenta as seguintes limitações quanto ao cálculo de deslocamentos: a) Somente é possível o cálculo de deslocamentos
colineares (ou correlatos) à forças aplicadas na estrutura;
b) Somente é possível calcular os deslocamentos correlatos de pontos onde existam cargas aplicadas;
Questionamentos :
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1. Como calcular o deslocamento vertical (Dy) da treliça que acabamos de estudar dado que a carga aplicada no ponto era somente na vertical?
2. Como calcular o deslocamento de um ponto de uma estrutura em que não há uma carga aplicada, como por exemplo no meio do vão ao lado?
Resposta aos Questionamentos:
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• Para ambas as situações anteriormente expostas, a resposta é uma só:
Imaginamos cargas virtuais unitárias na direção dos deslocamentos que queremos calcular e
acoplamos os efeitos destas no segundo termo da expressão da igualdade W = U
em conjunto com os efeitos das cargas reais.
FIM
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