teoría de bloques (pendiente)
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DISEÑO DE EXCAVACIONES EN ROCAS BLOCOSAS
1. Factores de Diseño
Un macizo rocoso blocoso presenta problemas más complejos de diseños que los casos
considerados previamente. La complejidad se origina ya sea del número de sets estructurales
que definen el grado de discontinuidad en el medio (más que dos), o de la presencia de
características estructurales discretas tales como un sistema de estructuras simple como un
macizo de estratificación cruzada. Las condiciones que resultan en este tipo de macizos
rocosos es la generación de bloques de roca discretos, de distintas geometrías definidos por
las superficies de fractura natural y la superficie de la excavación, como se ilustra en el
ejemplo de la figura 1. Como los bloques existentes en la frontera inmediata de una
excavación cuya superficie ha sido sujeta a la disipación de las fuerzas de soporte mediante la
operación minera, se pueden generar desplazamientos no controlados de bloques individuales
o colapso de un bloque frente a campos de esfuerzo imperantemente gravitacionales o de
esfuerzo local.
Los temas a considerar en el
diseño de una labor horizontal
en un medio blocoso son una
extensión natural de aquellas
propuestas de los medios más
simples estructuralmente
considerados previamente.
Esto es, es necesario
determinar inicialmente la
probabilidad de fracturas
inducidas en el macizo rocoso
debidas al esfuerzo total post
minería. Para estructuras
continuas, tales como fallas o
planos de estratificación que
persisten sobre as dimensiones
de la excavación, es necesario
examinar la posibilidad y las
consecuencias de deslizamiento bajo excesivos esfuerzos de corte. También, dado que las
diaclasas tienen efectivamente cero resistencia a la tracción, un macizo rocoso diaclasado es
inequívocamente un medio “sin tracción”. Cualquier parte de un medio fracturado o blocoso
que es en teoría sujeto a esfuerzos de tensión se relajará en la práctica. El proceso de
relajación de una discontinuidad implica pérdida de control, y posible colapso del medio. El
comportamiento continuo y estable de un medio fracturado o granular aprovecha la
resistencia friccional al corte, y esta resistencia es movilizada por esfuerzos normales
Figura 1: Generación de un prisma discreto en la corona de una excavación
producto de la intersección de estructuras geológicas y la galería misma
compresivos. Por lo tanto la generación y mantención de un esfuerzo compresivo sustentable
mecánicamente en las rocas del borde de la excavación, que pueden involucrar la instalación
de soporte y refuerzo, es un objetivo básico de diseño en este tipo de medio.
Además para considerar el comportamiento cuasi continuo de un medio fracturado en
compresión, es necesario tener en cuenta su explicitamente discontinuas propiedades. Como
el macizo rocoso previo a la operación minera consiste en un ensamblaje de bloques creados
por las superficies de la estructuras, el problema es predecir el comportamiento del bloque
individual después de que se forma una sección del bloque debido a la excavación de éste.
Para bloques definidos en la corona y en las cajas de una excavación, es necesario examinar el
potencial desplazamiento de cada bloque bajo la influencia de superficies de tracción
derivadas del campo de esfuerzos locales, la presión intersticial y la influencia de la gravedad.
2. Identificación de los potenciales modos de falla de los bloques- Teoría de Bloques
La preocupación crítica en el diseño en roca blocosa es la identificación de las unidades de
roca o prismas que se pueden generar y producirían un estado inestable post minería. “La
teoría de bloques”, nombre utilizado por la teoría que explica este tema, se debe
principalmente a Goodman y Shi (1.985). El objetivo específico de la teoría de bloques es
identificar los llamados “key blocks” o bloques críticos que presentar un riesgo particular para
la estabilidad de una excavación. La teoría entrega para el diseño del soporte y refuerzo
apropiado y para la orientación de las excavaciones las herramientas necsarias para mitigar los
efectos de la geometría de los bloques.
2.1 Bloques removibles
Aunque la forma y la
ubicación de los key
blocks son un
problema
completamente
tridimensional, los
principios básicos de
la teoría de bloques
pueden ser
entendidos
transformando este
problema en una
situación de dos dimensiones. En la figura 2 se muestran tres tipos diferentes de bloques que
pueden formarse en las superficies de una excavación. Ellos se denominan con el nombre de
Infinitos, finitos ahusados y finitos no ahusados. De estos tres bloques, sólo el finito no
ahusado es cinéticamente capaz de caer dentro de una excavación.
Bloque Infinito Bloque Finito ahusado Bloque Finito no ahusado
Figura 2: Vistas en dos dimensiones de los tipos de bloques que pueden ser formados
en la superficie de una excavación (perfil transversal)
La determinación general de la movilidad de un bloque se deriva del esquema mostrado en la
figura 3(a). En él, un bloque típico está definido por cuatro superficies, las cuales son: Una
superficie superior a la estructura 1 (denotada U1), una superficie inferior a la estructura 2 (L2)
y las superficies superiores U3 y U4 de los segmentos lineales 3 y 4 de las superficies de
excavación. Para probar la movilidad del bloque, suponga que los bordes de las superficies 3 y
4 se mueven sin rotación hacia el centro del bloque, como se muestra en la figura 3(b). Esta
traslación hace el bloque progresivamente más pequeño hasta que se convierte en un solo
punto. Esta contracción final no puede ser alcanzada por un bloque infinito o por un bloque
ahusado. En la figura 3(b), todas las caras han sido movidas sin rotación para pasar a través de
un solo punto O. La intersección U1L2 es llamada pirámide de conjuntos, JP, y corresponde a un
prisma con su vértice en O. La intersección U3U4 es denominada pirámide de excavación, EP, y
es también un prisma con su vértice en O. Estos prismas son tangentes en O sin intersectarse.
La teoría de bloques postula que un bloque es finito no ahusado únicamente si JP y EP no se
intersectan.
Figura 3: (a) Un bloque finito no ahusado formado por dos
estructuras y dos superficies libres. (b) Una pirámide de
conjuntos y una pirámide de excavación para un bloque
bidimensional removible (After Goodman, 1.989)
En el análisis bidimensional, los prismas EP y JP están representados por ángulos planos con el
apex común O. En las tres dimensiones, los prsimas son pirámides con vértice común O.
a
b
2.2 Análisis estereográfico
La explicación de la teoría de bloques requiere el uso de una proyección estereográfica
completa. Esta proyección tiene la ventaja de permitir analizar un problema de tres
dimensiones en dos dimensiones. El procedimiento en el cual es construida la proyección se
ilustra en la figura 4. Considerando una proyección en el hemisferio superior, la fugura 4(a)
ilustra la sección vertical a través del cual se proyecta una esfera de referencia de radio R.
Usando el punto F en la base de la esfera como foco para la proyección, un punto A sobre la
superficie del hemisferio superior (representado por la linea OA) tiene una proyección OA0
sobre la linea de diámetro horizontal en la figura 4(a), la cual representa el plano ecuatorial de
la esfera de referencia. La ubicación de A0 está dada por:
Donde α es el ángulo entre el eje vertical y el radio OA.
Para un punto B sobre el hemisferio inferior definido por el ángulo α, su proyección B0 sobre la
línea ecuatorial está dado por la distancia OB0; por ejemplo B0 se plotea fuera del diámetro
horizontal de la proyección del círculo:
En la proyección completa estereográfica del hemisferio superior de dos conjuntos de planos
ortogonales espaciados uniformemente, interesa la esfera de referencia como círculos
mayores y circulos pequeños, como se muestra en la figura 4(b).
Considere la proyección estereográfica completa de un plano orientado 30°/90° (dip/dip
direction) y sus dos mitades, como se muestra en la figura 5. En esta proyección, la región
entre la parte plana del gran círculo que cae adentro del círculo de referencia y el borde del
círculo de referencia representa todas las líneas dirigidas hacia la esfera de referencia dentro
de la mitas sobre el plano 30/90. De manera similar, la región limitada por el círculo de
referencia y la parte plana del gran círculo que cae afuera del círculo de referencia
representan todas las lineas que están dirigidas en la mitad inferior del plano 30°/90°. Si el
gran círculodel plano 30°/90°, representa el set estructural 1, entonces la región adentro del
círculo de referencia representa su mitad superior, por ejemplo U1, y la mitad afuera de él representa
la mitad inferior L1.
La pirámide de conjunto. Considere los tres set estructurales mostrados como grandes
círculos en la figura 6. La intersección de los tres círculos produce ocho triángulos esféricos
(cada uno identificado por las tres línes de intersección de los grandes círculos), cada uno de
los cuales corresponde a un ángulo trihedral con su vértice en el centro de la esfera de
referencia. Por el punto marcado como A, los segmentos del tríangulo esférico que lo rodean
representan las mitades superiores de losplanos 1, 2 y 3. Introduciendo esta notación donde
losdígitos 0 y 1 representan las mitades superior e inferior de una estructura y los dígitos son
ordenados de acuerdo al orden de numeración de los set estructurales, el punto A está
rodeado por un triángulo formado por los lados que representan la mitad superior de los
planos 1, 2 y 3, y se denotan 000. Por otro lado, el punto B cae adentro del gran círculo por el
plano 1, afuera del plano 2 y adentro del círculo por el plano 3. El triángulo es por lo tanto ura
Figura 4: (a) Sección vertical de una
esfera de referencia mostrando la
proyección estereográfica de puntos del
hemisferio superior sobre lel hemisferio
superior e inferior
(b) Proyección estereográfica completa
del hemisferio superior del plano que
intersectan los hemisferios superior e
inferior.
Los ocho triángulos esféricos de la figura 6 corresponden en tres dimensiones al ángulo plano
U1L2 para el caso bidimensional de la figura 3. El prisma de roca que representan son las
pirámides de conjuntos del macizo rocoso blocoso.
La pirámide de excavación (EP). Como se muestra en el caso bidimensional de la figura 3, la
pirámide excavación EP representa la roca sobre el lado sólido de las usperficies planares de la
excavación. En tres dimension, para una sola excavación plana orientada 60°/135°, la roca sólida
arriba del plano dado esta representada por el gran círculo marcada como EP en la figura 7(a).
Para el caso particular de un techo horizontal plano de una excavación, la pirámide de excavación
(a)
(b)
es la roca sólida en la mitad sobre el techo. Es, por lo tanto, la región adentro del círculo de
referencia, como se muestra en la figura 7(b). Para la pared vertical sudeste de una excavación, la
roca sólida está sobre el lado este del plano vertical por la línea de manteo NE-SW a lo largo del
diámetro proyectado del círculo de referencia, mostrado en la figura 7(c), así EP está representado
por la parte sombreada de la proyección.
Figura 5: Proyección Estereográfica de un plano,
ilustrando diferentes dominios para los semiespacios
superior e inferior de éste.
Figura 6: Construcción de los gran círculos e
identificación de los JPs para tres planos
estructurales
Figura 7: (a) El EP para la superficie de un plano de una
excavación donde la roca sólida yace sobre ese plano;
(b) El EP para el techo de una excavación; (c) El EP para
la pared vertical SE de una excavación.
Figura 8: (a) Construcción de los gran círculos y JPs para
los sets estructurales orientados en 30°/90°, 60°/45° y
20°/330°; (b) JP 101, el único JP que no intersecta con el
EP para el techo (after Goodman, 1989)
2.3 Aplicación en análisis de estabilidad
Techo de la excavación. Habiendo establecido los métodos para construir las JP y EP para un
macizo rocoso blocoso y las fronteras de una excavación, la prueba topológica para el
desplazamiento puede ser aplicada para identificar potenciales bloques inestables. Considere un
macizo rocoso con sets estructurales orientados 30°/90°, 60°/45°, y 20°/330°, y una excavación
con techo horizontal. La construcción que muestra la formación de triángulos esféricos de las JP se
muestra en la figura 8(a). Del esquema es claro que, de las 8 JP, sólo la JP 101 no se intersecta con
el EP. Esto es mostrado más claramente en la figura 8(b), donde todas las JP excepto la JP 101 han
sido desplazadas. Esto significa que los bloques removibles del techo de la excavación sólo son
aquellos formados por la intersección de la superficie inferior del set estructural 1, la superficie
superior del set estructural 2, la superficie inferior del set estructural 3 y la superficie horizontal
del techo de la excavación.
Para establecer las formas de los bloques removibles en el techo de la excavación (por ejemplo
desde el punto de vista de un observador mirando hacia el techo), es conveniente construir una
vista en planta, e invertir esta para obtener la vista desde abajo. La vista en planta se construye de
las orientaciones de los rumbos de las trazas de las estructuras en el plano horizontal, tomando en
cuenta las direcciones de manteo de las estructuras. Para el problema geométrico de la figura 8,
las trazas de las estructuras sobre un plano horizontal se presentan en la figura 9(a), junto con las
direcciones de manteo de las estructuras. Como las direcciones de manteo también representan la
mitad superior de una estructura, es posible identificar la mitad superior e inferior de las
estructuras sobre el plano. La vista en planta
del triángulo formado por la mitad inferior de
las estructuras 1 y 3 y la mitad superior de la
estructura 2 se muestra en la figura 9(b). La
vista del bloque para un observador mirando
hacia el techo desde el interior de la
excavación se obtiene por rotación del dibujo a
lo largo del eje E-W, como se muestra en a
figura 9(c).
Figura 9: Construcción realizada para obtener la vista en
planta de un bloque finito no ahusado en el techo de la
excavación
Figura 10: El único JP que no intersecta con el
EP para la pared sur es el JP 100 (after
Goodman, 1989)
Cajas de la excavación: La identificación de los bloques removibles en las cajas de una excavación
requiere de la construcción de la EP para la caja particular. Por ejemplo, considere la caja sur de
una excavación en un macizo rocoso que contiene tres set estructurales, los que están ilustrados
en la figura 8. El macizo rocoso que forma la caja es la mitad del lado sur del plano representado
por el diámtero horizontal extendido de la proyección estereográfica. La EP para la caja es, por lo
tanto, el área sombreada mostrada en la figura 10. Mediante inspección de la figura 8, se puede
notar que el único triángulo esférico que no intersecta la EP de la caja sur es la JP 100. La
construcción simplificada, con la intersección de las JP removidas, es mostrada en la figura 10. Es
interesante notar que el bloque anverso al JP 100 es la JP 011, y que formaría un bloque removible
en la caja norte de la excavación.
Para construir la traza de la JP 100 sobre la caja sur, el procedimiento es primero construir de la
sección transversal mirando desde el lado sólido ( por ejemplo, en este caso, mirando hacia el
norte. La líneas de intersección de los bloques con la caja se obtienen de la proyección
estereográfica midiendo la orientación de las líneas trazadas por la intersección de las estructuras
con el plano vertical. La construcción se muestra en la figura 11. La intersección del plano 1 con el
plano vertical (representado por el diámetro horizontal del círculo de referencia) es la línea
representada por el punto a. La línea oa está inclinada 30° hacia el oeste. De manera similar la
intersección vertical del plano 2, representada por el punto b, representa la line ob inclinada 53°
hacia el oeste, y la intersección del plano 3, punto c, corresponde a la línea oc inclinada 9° hacia el
este. Estas líneas son los manteos aparentes de los planos en la caja sur.
Figura 11: Detrminación estereográfica de
las aristas de un bloque removible de la
pared sur (after Goodman, 1989).
JP 100 tiene superficies que son L1U2U3. De ello, la geometría de la superficie del bloque en la
caja puede ser construida, como se muestra en la figura 12(a). Esto corresponde a una vista
mirando desde la caja sur, hacia el norte. Para obtener la vista desde adentro de la excavación,
mirando hacia el sur, desde la caja sur, la sección se rota alrededor de un eje vertical, lo que
resulta en la sección mostrada en la figura 12(b).
El análisis precedente está basado sobre la suposición de que los set estructurales son continuos.
Si uno o dos de los set estructurales son de continuidad intermitente, la forma de los bloques será
menos regular que la mostrada en la figura 12, pero aún así será posible identificar trazas
continuas de bloques L1U2U3 compuestos de segmentos discretos de estructuras.
Como una cuestión práctica, las construcciones manuales descritas arriba pueden ser emuladas en
algoritmos los cuales permiten rápidos análisis computacionales de la estabilidad de una roca
blocosa.
2.4 Estimación de los tamaños de los bloques críticos (key blocks)
La discusión precedente no hizo referencia al espaciamiento de las estructuras ni a las
dimensiones de la excavación, de modo que una evaluación efecto del bloque crítico sobre la
estabilidad de una excavación estaría necesariamente basado en la suposición conservadorade la
existencia de un bloque crítico de tamaño máximo con las dimensiones de la excavación. En el
método de la celda unitaria, Kuszmaut (1.999) provee un método para tomar en cuenta el
espaciamiento de las discontinuidades y la dimensión de las galerías para estimar la probabilidad
de que se forme un bloque crítico dentro de una sección transversal seleccionada aleatoriamente,
y también para estimar el número de bloques críticos (dentro de un rango de tamaño
determinado) que se espera que se formen a lo largo de una longitud de excavación determinada.
Figura 12: Traza de las vistas de un bloque
finito removible no ahusado en la pared sur
de la excavación (after Goodman, 1989)
La figura 13a ilustra un tramo de longitud de un túnel con sección cuadrada en una macizo rocoso
que contiene tres set estructurales persistentes y ampliamente espaciados. Ellos forman un
bloque critico tetrahédrico en la corona de la excavación. Para un ancho de excavación
determinado, el bloque crítico representado es el más grande que podría ser formado por un set
estructural en particular. La celda unitaria, representada por un paralelepípedo cuyos lados son
tres intersecciones de estructuras, es mostrada en la figura 13(b), junto con su proyección sobre
un plano de referencia. En la figura 13(c), el plano de referencia para la proyección es aquel que se
forma en la sección transversal de la excavación, la cual es también mostrada sobre la proyección.
Además, la figura 13(c) muestra la proyección de la región formadora de bloques críticos. La
definición de la región formadora de bloques críticos es descrita en detalle por Kuszmaul, pero en
términos simples se obtiene mediante una reflexión de la geometría del bloque crítico. Cualquier
bloque de roca tetrahédrico cuyo ápex cae dentro de esta región serán un bloque crítico para la
excavación. Como se puede observar en la figura 13(a), el bloque crítico de máximo tamaño es
aquel para el cual dos de sus aristas lineares no verticales intersectan las cajas de la excavación
Figura 13: (a) Bloque tetraédrico en la corona de una
excavación con techo plano (b) Proyección de una
celda unitaria sobre un plano de referencia (c)
Proyección de una celda unitaria y el key block que se
forma en el plano de la sección transversal de una
excavación cuiadrada (after Kuzmaul, 1999)
En el análisis de la estabilidad del túnel, la probabilidad de falla está definida por la formación de
un bloque crítico de cualquier tamaño dentro de una sección transversal particular de interés. Un
parámetro básico en el análisis es el factor x, la fracción de tamaño del bloque crítico de interés en
la evaluación de la estabilidad de la excavación, está definida por:
La probabilidad de falla está dada por:
El análisis también requiere la definición del parámetro geométrico, C, dado por:
El tamaño medio de las celdas unitarias puede ser calculado de los espacimientos medios µS1, µS2,
µS3 de los tres sets estructurales.
La probabilidad incondicional de falla, definida como la probabilidad de que un bloque critico
mayor que un tamaño x intersecte una sección transversal del túnel seleccionada aleatoriamente,
está detrminada por la siguiente expresión:
Para evaluar el tamaño de los bloques críticos, la función de distribución acumulada Fx(x) se
obtiene de:
La función de densidad de probabilidad para el tamaño de los bloques críticos, fx(x), está dado
por:
La función de densidad de probabilidad se concentra en x=0, dado por
.
Una alternativa a considerar la probabilidad de ocurrencia de un bloque crítico en cualquier
sección transversal seleccionada aleatoriamente es evaluar el número En correspondiente al
número esperado de bloques críticos que estarán presentes a lo largo de una longitud
determinada de una excavación. Esto se valúa como sigue.
De la ecuación (8), la probabilidad, pKB, de que una sección transversal particular del túnel
contenga un bloque crítico dentro de un rango de tamaño diferencial dx está dado por:
A lo largo de un tramo particular del túnel, Ltun, la fracción fKB de la sección transversal del túnel (o
la longitud del túnel que se espera contenga bloques de ese tamaño) es:
Se puede demostrar que la longitud (medida a lo largo del eje del túnel) de un bloque crítico de
tamaño x está relacionada con la longitud del bloque crítico máximo por la siguiente expresión:
De la ecuación 10 y 11, el número esperado de bloques críticos de tamaño x está dado por la
siguiente expresión:
Es conveniente introducir un segundo parámetro geométrico definido por:
Y En, entonces está dado por:
Para un intervalo de tamaño finito , En esta dado por:
Las expresiones en las ecuaciones (6), (7) y (16) pueden ser aplicada en varias formas en el diseño
de túneles. Al analizar cómo aplicarlas, Kuszmaul (1.999) reitera la importancia de tener presentes
las suposiciones realizadas en su derivación: hay tres sets estructurales, los sets están bien
definidos y ampliamente espaciados (en la escala de la excavación), las discontinuidades son
persistentes y las características del macizo rocoso se mantienen uniformes a lo largo de la
longitud de excavación prevista. Si no se dan condiciones, sino que se dan otras, tales como
discontinuidades muy cercanas entre sí y persistencia limitada, los cálculos de la celda unitaria
sobreestiman el número de bloques críticos en la excavación. Si hay más que tres sets
estructurales, ellos pueden ser considerados separadamente en diferentes sets de tres. El valor
específico del método de la celda unitaria es que proporciona un método para tomar decisiones
de diseño basado en los probables tamaños de bloques críticos más que asumir el escenario, el
que considera el bloque de dimensiones máxima. Alternativamente, un diseño aproximado podría
estar basado sobre la búsqueda de minimizar la probabilidad de falla de un sistema de soporte de
excavación.
3. Prisma de techo triangular simétrico
Habiendo identificado los modos de colapso de bloques factibles asociados con las orientaciones
de las estructuras y la superficie geométrica de excavación, es necesario determinar el potencial
de desplazamiento de bloques bajo las condiciones que existirán en el estado de post excavación
de la galería. En la siguiente discusión, se centra la atención en el análisis de los problemas de
estabilidad de la corona. Métodos para el análisis de problemas en las cajas pueden ser
establecidos mediante algunas variaciones en los procedimientos propuestos.
Figura 14: Diagramas de
cuerpo libre del prisma
de formado en el techo
de una excavación (a)
sujeto a fuerzas de
superficie (N y S), y a su
propio peso (W) y a una
fuerza de soporte (R), y
(b) en estado de
equilibrio límite
Un bloque de roca en la corona de una excavación es sujeta a su prpoio peso, W, a las fuerzas de
superficie asociadas con el estado de esfuerzos predominante, y posiblemente con la presión
intersticial generada por el agua y por algo de carga del soporte. Asumiendo por el momento que
la presión intersticial es nula, que las fuerzas superficiales de los bloques pueden ser detrminadas
mediante algún procedimiento analítico independiente, y que el peso de los bloques puede ser
determinado de la orientación de las estructuras y de la geometría de la excavación.
La figura 14(a) representa la sección transversal de un largo prisma triangular uniforme generado
en la corona de una excavación mediante estructuras inclinadas simétricamente. El ángulo
semiapical del prisma es α. Considerando longitud unitaria en el problema de la geometría en la
dirección del antiplano, el bloque actúa sobre su propio peso W, la fuerza de soporte R, y las
fuerzas normal N y de corte S, sobre sus superficies de contacto con la roca de caja. La magnitud
de la resultante de W y R es P. Para evaluar la estabilidad del prisma bajo fuerzas impuestas
reemplace P por PL, como se muestra en la figura 14(b), y encuentre la magnitud de PL requerida
para establecer un estado de equilibrio límite para el bloque.
De la figura 14(b), la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical es satisfecha si:
Si la resistencia a deslizar sobre las superficies AB, AC es puramente friccional, en la condición de
equilibrio límite se tiene:
Y la ecuación (17) se transforma en:
Por lo tanto para , la condición puede ser satisfecha sólo si . Por lo tanto si
, , e incluso en la ausencia de su propio peso el prisma sería desplazado de la corona
bajo la influencia de las fuerzas de superficie de las estructuras. Para el caso , el prisma es
potencialmente estable, pero la estabilidad sólo puede ser asegurada mediante un análisis más
extenso.
El siguiente análisis está destinado a establecer los factores claves que afectan la estabilidad de un
prisma de techo simétrico, para el caso . Es un ejemplo de método de análisis de relajación,
propuesto originalmente por Bray (1.977). El procedimiento toma en cuenta explícitamente las
propiedades de deformación de las estructuras definiendo el prisma de corona. Inicialmente, en la
estructura, las rigideces normales y de corte se asumen lo suficientemente altas, para que la
presencia de las estructuras sea ignorado. Es entonces posible detrminar la distribución de
esfuerzos en el entorno de una galería asumiendo que la roca se comporta como un continuo
elástico. Como ninguna fuerza es inducida en el medio debido al proceso de excavación, el análisis
elástico toma en cuenta implícitamente el peso del medio. Este tipo de análisis permite calcular el
estado de esfuerzos en puntos en el macizo rocoso que coinciden con las superficies del prisma. Es
simplemente, entonces, cuestión de estimar las magnitudes de las fuerzas de superficie que
actúan sobre el prisma mediante la magnitud de os esfuerzos componentes y el área y orientación
de cada superficie.
El método de relajación prosigue introduciendo las rigideces de unión Kn y Ks, y examinando los
desplazamientos subsecuentes experimentados por el bloque causados por la deformación de la
estructura. Como las rigideces de las estructuras reales son bajas comparadas con la elasticidad
del material rocoso, la deformabilidad del prisma puede ser despreciada en este proceso, Como se
definió previamente, el bloque está sujeto a su propio peso , W, y a alguna fuerza de soporte, R, lo
que implica que la resultante de fuerzas es además de las fuerzas de superficie en las
estructuras. Luego se analiza el desplazamiento del cuerpo bajo la influencia de las fuerzas
internas de superficie y la fuerza vertical en situación de equilibrio límite, PL, definido por la
ecuación (19). La estabilidad del prisma es entonces evaluada a través del factor de seguridad de
falla del techo, definido mediante la expresión:
Antes del proceso de relajación (por ejemplo antes de aplicar la fuerza PL y reducir las rigideces de
las estructuras), el estado de carga del prisma es como el mostrado en la figura 15(a). En este caso,
las fuerzas N0 y S0 se toman en cuenta completamente para el equilibrio estático del prisma. Estas
fuerzas superficiales están relacionadas con la fuerza horizontal interna H0 mediante:
Cuando la fuerza resultante PL es aplicada, la cuña se desplaza verticalmente a través de una
distancia µy . También se dan desplazamientos µS y µn, con las direcciones indicadas en la figura
15(b) y que se dan en la superficies de las estructuras, y las fuerzas normal y de corte se
incrementan , cambiando hasta nuevos valores de equilibrio N y S. Como el prisma no se deforma
al relajarse las estructuras, las deformaciones de las estructuras µs y µn son fácilmente
relacionadas al desplazamiento de cuerpo rígido vertical µy, del prisma. De la figura 15(b):
Figura 15: Diagramas de
Cuerpo Libre de un prisma
en el techo de una
excavación (a) sujeto a
fuerzas de superficie,
correspondiente a los
esfuerzos elásticos, y (b)
en estado de equilibrio
límite después de una
carag externa aplicada y la
relajación de la estructura
Notando que los bloques se mueven fuera de la roca del entorno durante la relajación de las
estructuras, incrementos de la fuerza superficial están relacionados con inrementos en el
desplazamiento por la expresión;
Además, la ecuación básica de equilibrio estático para el prisma en la dirección x requiere que se
cumpla;
Sustituyendo N0 y S0, de (21) en (23) se llega;
Como el problema considerado involucra el estado de equilibrio límite del prisma, la introducción
de la fricción límite definida por la ecuación (18) en (25) nos entrega;
Utilizando trigonometría se obtiene;
O
Introduciendo esta expresión en la ecuación 25 nos entrega:
La cual, reordenando:
Donde:
Introduciendo las expresiones (26) en la ecuación (24), y simplificando:
Cuando se sustituye la ecuación (26) en la ecuación (19) se llega a que la fuerza vertical limitante
corresponde a:
Para el caso donde , que es la condición usual en la práctica la ecuación (28) queda:
Este análisis indica que cuando el estado elástico de esfuerzos ha sido determinado, la carga
externa vertical neta necesaria para producir un estado de equilibrio se puede estimar a partir de
la ecuación (29), utilizando la geometría prisma y las propiedades de fricción de las estructuras. El
factor de seguridad contra el colapso del techo se puede calcular de la ecuación (20). En particular,
si el resultado de la determinación de es que , el peso del prisma, el análisis sugiere
que la cuña es estable en ausencia de cualquier soporte. Si , la estabilidad del prisma sólo
puede garantizarse mediante la aplicación de un de soporte.
Es informativo examinar la relación entre la carga vertical límite vertical, y los componentes
horizontales de la fuerza horizontal sobre la superficie del prisma. Introduciendo la ecuación (20)
en la (24), reordenando, y a continuación, sustituyendo la expresión resultante para N en la
ecuación (19), se tiene:
Las ecuaciones (29) y (30) destacan el importante papel de las componentes de las fuerzas
horizontales que actúan sobre las superficies de los prismas. Es evidente que cualquier proceso
que actúa para reducir estas fuerzas de superficie, aplicado por la roca adyacente, reducirá la
carga limite vertical. Esto es equivalente, por supuesto, a que aumente la tendencia a que colapse
del prisma desde el techo. Las labores de desarrollo pueden afectar a estas fuerzas internas. Por
ejemplo, la tronadura no controlada cerca de la periferia de la excavación inyectará gases a alta
presión directamente en las estructuras, promoviendo desplazamientos verticales superiores al
comportamiento de deformación elástica, y con ello reduciendo la fuerza horizontal resultante
responsable de la retención de bloque en el techo de la excavación.
Figura 16: Cuña simétrica en el techo de una
excavación circular (after Sofianos et al., 1999)
Para el caso particular de una cuña simétrica en el techo de una galería circular, Sofianos et al.
(1999) considera una excavación de radio R en un campo de esfuerzos desviatórico definido por
y , estando los ejes principales de esfuerzos orientados en las direcciones vertical y
horizontal. La geometría del problema, para una cuña de altura, , se muestra en la Figura 16.
El problema se resuelve en términos similares a los mencionadas anteriormente. La cuña es
accionada por su peso, W, una fuerza de sopórte, S, y las fuerzas horizontales y verticales, y V0,
que actúan sobre las superficies de la cuña. La estabilidad se evalúa en términos de la fuerza
horizontal de confinamiento, , y la carga extraíble (pull out load), , aplicada hacia abajo para
llevar a la cuña a condiciones de equilibrio límite.
La expresión para es:
Donde
Para un esfuerzo principal vertical , dado por , donde es la profundidad, la fuerza de
extracción normalizada (dada por ) para la cuña del techo se obtiene a través de las
siguientes expresiones:
Donde:
El Factor de Seguridad asociado a la falla de la cuña viene dado por la siguiente expresión:
En un desarrollo posterior de este análisis, Nomikos et al. (2002) considera una cuña de techo
simétrica para un campo de esfuerzos con inclinación del esfuerzo desviatórico. Las expresiones
para definir el factor de seguridad asociadas a la falla del techo se vuelven más complejas que las
mostradas previamente, y se encontró una correspondencia razonable entre la solución analítica y
algunas soluciones que utilizan UDEC.
4. Análisis de la estabilidad del techo para un bloque tetrahédrico
Un análisis de la relajación completa para una cuña tetraédrica no regular en el techo de una
galería presenta algunas dificultades conceptuales. Estos surgen del número adicional de grados
de libertad para ser acomodados en el análisis. Por ejemplo, en cualquier cara del tetraedro es
necesario considerar dos componentes de desplazamiento de corte mutuamente perpendiculares,
así como un componente de desplazamiento normal. La mantención de la determinación estática
durante el proceso de relajación requeriría que la cuña sea casi isotrópicamente deformable
internamente. Por esta razón, un análisis completo de la estabilidad de una cuña tetraédrica en el
techo no puede ser manejado convenientemente por el método de relajación presentado
anteriormente. Un método de cálculo que tenga en cuenta de manera explícita las propiedades de
deformación del macizo rocoso y los sistemas estructurales presentes, presentan las bases para
realizar un análisis mecánico apropiado.
En algunas circunstancias, puede ser necesario evaluar la estabilidad de una cuña de techo en la
ausencia de adecuadas herramientas computacionales. En ese caso, es posible hacer una primera
estimación de la estabilidad de cuña a partir de un análisis elástico del problema y las propiedades
de friccionantes de las estructuras. Supongamos que la orientación del vector de manteo de la
superficie de una estructura, que también es la cara de una cuña tetraédrica, se define por el dip
y el dip direction , medido con relación a los ejes de referencia global , (ver Figura 17a).
Los cosenos directores de la normal exterior al plano están dados por:
La componente normal de tracción en cualquier punto de la superficie de la estructura puede ser
estimada a partir de los componentes de esfuerzo elástico y los cosenos directores por sustitución
en la ecuación
Si la tracción normal, se determina en un número suficiente de puntos en la superficie de la
estructura, su valor medio y el área de la superficie puede ser utilizada para estimar el la fuerza
normal resultante . Así, para cada una de las tres caras confinadas del tetraedro, las fuerzas
normales respectivas , , , pueden calcularse directamente a partir de la geometría de la
superficie de la estructura y la distribución del esfuerzo elástico.
Figura 17: (a) Geometría para la
determinación del vector unitario
normal al plano; (b) líneas de acción de
las fuerzas de corte movilizadas en la
cara de la cuña tetraedrica
Para determinar la estabilidad de una cuña sometida a fuerzas de superficie y a la gravedad, es
necesario tener presente las direcciones movilizadas de las resistencias de corte por las fuerzas
normales en las estructuras. Supongamos que las normales a las caras externas 1, 2, 3 del
tetraedro OABC se mostradas en la 17b vienen dadas por
y que las caras están enumeradas en un sentido compatible con la regla de la mano derecha de los
ejes de referencia. Las líneas de intersección de las caras se encuentran entonces definidos por el
producto cruz de las normales a las caras, es decir
La bisectriz de un ángulo apical de la cara del tetraedro dirigida hacia el ápice, como se muestra en
la Figura 17b, se obtiene a partir de las orientaciones de las líneas adyacentes de intersección que
definen la cara, es decir
De esto, se puede fácilmente establecer el vector unitario paralelo a la bisectriz,
Puede suponerse razonablemente que, en el caso donde el ángulo triedro de la corona del
tetraedro incluye el eje z, la resistencia al corte movilizada en cualquier cara es paralela a la
bisectriz del ángulo de la cara apical. Además, la normal unitaria dirigida al interior de cualquier
cara, que define la línea de acción de la componente normal de la fuerza de superficie, está dada
por:
Las magnitudes de las fuerzas máximas de corte que pueden ser movilizados en las distintas caras
están dadas por:
y las componentes x, y, z de la resistencia al corte en cualquier cara se puede determinar
directamente de su magnitud y las componentes del vector unitario apropiado para cada cara,
definido por la ecuación (34). Teniendo en cuenta todas las fuerzas normales aplicadas resistencias
se aplican las fuerzas normales y las resistencias al corte movilizadas, la fuerza vertical neta
asociada con las fuerzas de superficie interna es:
Introduciendo el peso de la cuña, se llega a que si la fuerza vertical resultante satisface la
condición:
la cuña es potencialmente estable bajo el conjunto de las fuerzas de superficie y de cuerpo.
Además debe ser satisfecho que la suma de cada par de términos en el lado derecho de la
ecuación (35), es decir, , debe ser negativa. Si la suma de cualquier par de
términos es positivo, implica que la superficie en particular estará sujeta a deslizarse bajo el
estado de esfuerzos presente. En tal caso, el inicio del deslizamiento debe ser anticipado para
conducir a la expansión de la superficie de deslizamiento sobre las otras superficies del bloque, y
el desprendimiento posterior de la cuña del techo. El caso considerado anteriormente
corresponde al desplazamiento potencial de la cuña en la dirección vertical. Para
comportamientos estructurales particulares, el desplazamiento posible cinemáticamente puede
ser paralelo al dip de un plano de debilidad, o paralelo a la línea de intersección de dos planos. En
estos casos, son necesarias algunas modificaciones sencillas para realizar el análisis anterior.
Puesto que, en todos los casos, las líneas de acción de las máxima resistencias al corte son
subparalelas a la dirección de desplazamiento, las ecuaciones (35) y (36) debe ser desarrolladas
considerando la dirección del desplazamiento factible como la dirección de referencia. Esto sólo
involucra productos puntos de las distintas fuerzas aplicadas considerando un vector unitario en la
dirección de referencia. Como se señaló anteriormente, el tipo de análisis descrito anteriormente
puede llevarse a cabo fácilmente con paquetes computacionales adecuados. Los que están
disponibles a partir de varios proveedores, y toman debidamente en cuenta la estructura de la
roca, la geometría de la excavación, el estado local de esfuerzos, y el soporte y el refuerzo de roca.
5. Prácticas de Diseño en Roca Blocosa
Con el fin de considerar el comportamiento de los prismas y cuñas de roca en la periferia de
excavaciones subterráneas, se vio que, una vez que un modo de colapso cinemáticamente factible
existe, la estabilidad del sistema depende de:
a) Las tracciones sobre las superficies estructurales definidas para el bloque, y por lo tanto el
estado final de esfuerzos en torno a la excavación y el comportamiento de las estructuras;
b) Las propiedades de fricción de las estructuras;
c) El peso del prisma, es decir, su volumen y peso unitario.
Un diseño de la excavación efectiva en un macizo rocoso blocoso requiere de una comprensión
general de la importancia ingenieril de cada uno de estos factores.
Ya se ha observado que la responsable de la movilización de fricción para evitar el desplazamiento
de un prisma roca es la componente normal de tracción sobre una superficie de una estructura.
Por lo tanto, si en cualquier etapa en la vida de una excavación, la roca periférica se relaja, se
producirán colapsos de las cuñas del techo y las cajas. La relajación de esfuerzos puede deberse a
efectos tales como rebajes mineros adyacentes, fractura local de la roca, y con ello no se
transmiten los esfuerzos, prácticas de tronadura que causan relajación de esfuerzos local, y la
relajación de esfuerzos local debido a los efectos reológicos. En ambientes de bajo esfuerzo, las
fuerzas internas disponibles para prevenir la falla del bloque serán siempre bajas, y son de
esperarse los fallos periféricos generalizados. El diseño de la excavación debe tener presente el
campo cercano de esfuerzos esperados a lo largo de la vida proyectada de la mina.
El papel de la fricción en el control del comportamiento periférico de la roca fue discutido
brevemente en el capítulo 7. Las estructuras presentan generalmente un comportamiento
dilatante al corte. Por lo tanto, el ángulo de fricción efectivo supera el valor que puede ser
determinado por un ensayo de corte en un espécimen perturbado de una superficie estructural.
Cualquier actividad minera, que altera el estado intertrabado inicial de una superficie estructural
de forma automática reduce la capacidad del macizo rocoso de ser soporte de los bloques
constituyentes en la periferia de la excavación. Las principales fuentes de perturbación estructural
son los efectos de tronadura local, los efectos transitorios, debido a la naturaleza impulsiva del
proceso de excavación, y los campos lejano a gran escala de la tronadura.
El efecto del tamaño de cuña sobre la posibilidad de colapso en la periferia puede parecer obvio,
en un examen superficial. Sin embargo, hay algunas sutiles consideraciones que pueden tener
graves consecuencias prácticas si se ignoran. Un ejemplo se ilustra en la Figura 18, en la que se ha
desarrollado una excavación en un macizo rocoso de manera que un prisma roca se ha generado
en el techo de la excavación. Si se decidiera a ampliar la excavación, inevitablemente se alcanzaría
una etapa en que el prisma de techo colapsaría. Esto es así porque la cuña aumenta en peso con el
cuadrado de la luz, mientras que la fuerza de soporte movilizado, en una primera aproximación,
sólo aumenta linealmente con ella. Para un problema tridimensional, se llega a la misma
conclusión, ya que el peso cuña siempre aumenta por una potencia de la dimensión lineal unitaria
mayor que lo hace el área superficial. El principio demostrado por este ejemplo es que un
incremento marginal en la luz de una excavación en una roca blocosa puede causar una reducción
significativa en la estabilidad del sistema, a través de un marcado incremento en la fuerza
perturbadora (el peso del bloque) relativa a la fuerza resistente movilizada.
Figura 18: Geometría del problema,
demostrando como un aumento de la
luz en la excavación aumenta el
volumen del prisma del techo, sin un
aumento comparable de las fuerzas
resistentes
Figura 19: Mantención de la
estabilidad de los bordes de la
excavación en roca blocosa
realizando la excavación
conforme con la estructura de la
roca para (a) una unidad de
explotación, y (b) un caserón de
un cut and fill.
Dado que la minería sufre de pocos de los requisitos estéticos de la ingeniería civil, las galerías
mineras puede ser excavada en formas que sean más apropiadas y eficaces geomecánicamente
que los túneles para obras civiles. En la práctica minera, la regla general es que la galería debe ser
excavada de forma de generar una forma adecuada a las características estructurales dominantes
en el macizo rocoso. Aunque tal forma podría no ser estéticamente satisfactoria, representaría el
diseño óptimo para la condición estructural particular, en términos de estabilidad y apoyo
periférico y los costos de mantenimiento. Un ejemplo se ilustra en la Figura 19a, que representa la
sección transversal de una excavación de gran longitud desarrollada en un macizo rocoso con un
set estructural continuo muy inclinado, y un set ortogonal, horizontal. El techo de la galería ha sido
excavado de manera que los segmentos del borde coinciden con un miembro de cada set
estructural, para eliminar el potencial prisma del techo. El lado derecho de la galería ha sido
excavado para coincidir con un miembro de la estructura continua, para eliminar el prisma de la
caja. El prisma definido en la parte inferior de la caja del lado izquierdo no presenta ningún
problema de inestabilidad potencial. Prácticamente todas las transmisiones de esfuerzo en el
borde de la excavación se producen a través de las estructuras que están orientadas
perpendicularmente a la superficie de la excavación. No hay, por lo tanto, tendencia de
deslizamiento local y relajación de esfuerzos sobre ellas. Siempre que la periferia de excavación se
mantenga en un estado de compresión, este diseño asegura que no habrá fuente de inestabilidad
en el techo y las cajas.
El principio de diseño ilustrado en la Figura 19 es de particular importancia en métodos de
explotación y el cut and fill. En estos casos, los mineros trabajan por debajo de la superficie de la
roca subhorizontal expuesta por el avance subvertical. El control efectivo del techo del caserón,
con el requisito adicional de emplazamiento de soporte limitado, se logra mediante la excavación
de una forma de caserón que se adapte a la estructura de la roca. La Figura 20 muestra la
implementación industrial de la mina Mount Isa, Australia, del principio de diseño ilustrado en la
figura 19b.
En el diseño de una instalación minera permanente, tal como una caverna de chancado o un taller
subterráneo, generalmente existe un cierto margen para orientar y dar forma a la excavación para
producir un diseño económico. La regla general es que las excavaciones principales permanentes
no deben estar situadas y orientadas de manera que su eje longitudinal sea paralelo al rumbo de
una estructura geológica importante, tal como una falla o una zona de cizallamiento. Si es
imposible evitarlo, se debe orientar el eje de excavación tan perpendicular como sea posible del
rumbo de la discontinuidad principal. El objetivo en este caso es limitar el tamaño de las cuñas
formadas en la techo de la excavación, y restringir el área de la periferia de la excavación a
potenciales colapsos producto de la presencia de discontinuidades geológicas importantes.
Figura 20: Caserón del cut and
fill de Mount Isa Mine,
Australia, la excavación fue
realizada conforme con la
estructura de la roca (after
Mathews and Edwards, 1969).
6. Diseño de Caserones – El método de estabilidad de Mathews
Un problema común en el diseño de excavaciones mineras es la estimación de la estabilidad de las
luces diseñadas para las paredes de los caserones, o el diseño de las paredes de caserones para
lograr un factor de seguridad requerido asociado al colapso de la pared. Un método aceptado para
el diseño de caserones fue propuesto por Mathews et al. (1980) originalmente para minería en
profundidades bajo los 1000 m. Se formuló un gráfico de la estabilidad basado inicialmente en un
conjunto de datos relativamente pequeño. Después de la recolección de una cantidad significativa
de nuevos datos para una variedad de rango de profundidades (la mayoría de los cuales tenían
menos de 1000 m) para probar la validez del método, se propusieron varias modificaciones (Potvin
et al, 1989;. Stewart y Forsyth, 1995 ; Trueman et al, 2000).. Las modificaciones implican cambios
en las distintas zonas de la comportamiento de la roca en el gráfico de la estabilidad y en las
formas en que los componentes de los factores de estabilidad se calculan (Potvin et al., 1989).
La formulación de diseño se basa en el cálculo y asignación de dos factores: el número estabilidad,
N, que representa la capacidad del macizo rocoso de permanecer estable bajo determinadas
condiciones de esfuerzo, condiciones estructurales y orientación de las superficies rocosa, y el
factor de forma o radio hidráulico, S, que representa la geometría de la superficie de la excavación
del caserón. El número estabilidad es un derivado del Q de Barton, mientras que el factor de
forma es idéntico al también llamado "radio hidráulico utilizado en la evaluación de hundibilidad
de Laubscher. El factor de forma S se determina a partir de:
Cuando se trazan en un gráfico, es posible asignar un dominio completo en zonas que
representan las observaciones registradas de estabilidad e inestabilidad de los luces de los
caserones.
El número de estabilidad, , está definido por la expresión:
En esta expresión, se calcula a partir de los resultados del mapeo estructural o del sondaje
geotécnico con recuperación de testigos del macizo rocoso utilizando el método propuesto por el
sistema de clasificación del macizo rocoso (Barton et al., 1974), tomando valor 1 el parámetro
de reducción de agua de las estructuras y el factor de reducción de esfuerzos. El factor de
esfuerzos de la roca, , se determina a partir del ratio entre la resistencia de la roca intacta (la
resistencia a la compresión uniaxial, y el esfuerzo de compresión inducida , calculado en el
centro del caserón; es decir:
El esfuerzo inducido se puede encontrar mediante análisis numérico o estimarlo a partir de
distribuciones de esfuerzos publicadas. Se ha desarrollado, empíricamente, una relación gráfica
entre el ratio resistencia-esfuerzo inducido y el factor A, como se muestra en la Figura 21. El factor
de ajuste de orientación de las estructuras, B, es una medida de la diferencia relativa en el dip
entre la superficie del caserón y el set estructural crítica que afecta la estabilidad de la pared, y se
estima utilizando la Figura 22. El factor de ajuste de gravedad, C, refleja el efecto de que la
orientación de la superficie caserón tiene en su estabilidad, bajo la influencia de la gravedad, y se
determina a partir de la Figura 23.
Figura 21: Gráfico Factor A vs Ratio Resistencia a la
compresión uniaxial-esfuerzo inducido.
Figura 22: Cuadro para determinar el Factor B (after
Stewart and Forsyth, 1995)
Figura 23: Gráfico para detrminar el Factor C (after
Stewart and Forsyth, 1995)
Figura 24: Gráfico de Estabilidad de
Mathews actualizado (after Potvin
et al,. 1989).
Zonas de estabilidad e inestabilidad. El gráfico de la estabilidad Mathews original consistía de tres
zonas separadas por las líneas de transición: una zona estable, una zona potencialmente inestable
y una zona de hundimiento potencial. Después de las modificaciones por Potvin et al. (1989), éstas
se redujeron a una zona estable y una zona inestable (descrito como un caved zone) separados por
líneas de transición, como se muestra en la Figura 24. Como se ha señalado por Stewart y Forsyth
(1995), el uso de la palabra “caved” en este contexto, para representar lo que es esencialmente
una zona inestable, se presta a confusión porque el término tiene significados muy diferentes en
minería.
Figura 25: Gráfico de Estabilidad General
de Mathews Modificado (after Trueman
et al, 2000)
La presentación, de forma alternativa del gráfico de estabilidad, de Trueman et al. (2000) es un
intento de proporcionar los límites más exigentes entre las zonas de estabilidad, falla local y falla
mayor de las paredes de caserones.
Para cualquier diseño o problema de análisis de la estabilidad en particular, la aplicación del
método de Mathews y sus versiones más recientes es muy sencilla, implica el cálculo secuencial de
los distintos factores y la evaluación de la estabilidad probable de la pared del caserón de la tabla
de la estabilidad elegida. Aunque el enfoque puede parecer riguroso, en la práctica, el usuario
debe ser consciente de las limitaciones que surgen de la incertidumbre en el conjunto de datos
original.
Problema
El diagrama de cuerpo libre ilustrado en la Figura (a) de abajo representa una cuña asimétrica
ubicada en el techo de una excavación. Se supone que se vio traspasada por una superficie de
fluencia inclinada arbitrariamente, de modo que la estabilidad del bloque puede ser analizada en
términos de dos diagramas de cuerpo libre separados, mostrados en la Figura (b). Siguiendo el
procedimiento descrito en la sección 3, se muestra que la relación entre la carga límite vertical
(cuya magnitud es ) y la fuerza de pre-relajación horizontal está dado por:
Donde y vienen definidos por la geometría del apex de la cuña y y son los ángulos de
fricción de las superficies 1 y 2, respectivamente.
Además, siguiendo el procedimiento de relajación descrito en la sección 3, se muestra que la
relación entre la carga vertical límite y las fuerzas de post relajación y viene dada por:
