Teora de Bonos

Teora de Bonos rdigiorno@proficioinvestment.comTasa de inters Real vs. Nominal0 = 100,000Perodo de inversin 1yr. = 3% =10% tasa de inters nominal 10% - 3% 7%

Relacin exacta:1 + = 1 + 1 + = inters nominal = inters real2Tasa de inters Real vs. Nominal1 + = 1 + 1 +

= 1 + - 1 = (1 + ) - (1 + ) = 1 + 1 +

= - = 0.10 - 0.03 = 0.07 = 0.067 = 6.79% 1 + 1 + 0.03 1.03

Tasa real - la puedo conocer el final de 1. Ex ante (en T =0) slo conozco la tasa real esperada.34Oferta y Demanda de crdito

Riesgo y Aversin al riesgo: media y varianza = 100,000 = 0.6 1 = 150,000 1 - P = 0.4 2 = 80,000

W es el portafolio del agente. P es la probabilidad. Con probabilidad P el portafolio crece a 150.000 luego de un perodo y con probabilidad (1-P) el portafolio al final del perodo se ubica en 80.000

Clculo del retorno:

E() = 1 + (1 - ) 2 = 0.6 x (150,000) + 0.4 x (80,000) = 122,000

E() = 22,000 es el Retorno Esperado de la inversin

Medidas de dispersin:Varianza 2 Desvo Standard = 2 52 = toma en cuenta el potencial desvo en cada posible escenario frente a la media (ponderado por la probabilidad de cada escenario)

2 = [1 - E()]2 + (1 - ) [2 - E()]2= 0.6 (150,000 - 122,000)2 + 0.4 (80,000 - 122,000)2= 470,400,000 + 705,600,000= 1,176,000,000 = 34,292

Suponemos un activo libre de riesgo: T-bills que dan 5%100,000 x 1.05 = 105,000 ( por convencin se toma un Treasury bill de 3 meses)

Risk-free return = 5,000 (se considera retorno libre de riesgo)Risk premium = 22,000 - 5,000 = 17,000 (premio por tomar riesgo adicional al que nos otorga un activo libre de riesgo).6Inversores aversos al riesgo toman riesgo hay un risk premium.

Cada inversor tiene su propia funcin de utilidad, que tiene en cuenta riesgo y retorno.

A > retorno y < riesgo mayor utilidad

Ejemplo de funcin de utilidad: U = E() - 0.005 A 2

La varianza penaliza la utilidad segn el grado subjetivo de aversin al riesgo A.valor subjetivoU aumenta con el retorno y disminuye con el riesgo7En esta funcin de utilidad, una persona con mayor aversin al riesgo se traduce en un coeficiente A ms grande.

Cuanto ms grande es A, ms afecta al inversor la varianza, ms conservador es el inversor.

Cada inversor elije su portafolio ptimo, que es el que genera un mayor nivel de utilidad.

En la prctica, se trata de entender el riesgo de un inversor con preguntas (hay que tratar de adivinar el A). Es ms fcil cuando un inversor maneja su propia cartera, ya que sabe su carcter (sus decisiones reflejan su grado de aversin al riesgo).

En el caso de un portafolio risk-free, su utilidad coincide con la tasa de retorno, ya que no hay penalizacin por riesgo, porque no se asume riesgo (varianza de cero anula todo el trmino y slo queda el retorno - ver la frmula de la utilidad).8Comparando Proyectos de InversinProyecto 1 E() = 22% = 34%Proyecto 2 E() = 5% = 0

Para una persona con A = 3, la utilidad del portafolio riesgoso es:U = E() - 0.005 x A x 2U = 22 - 0.005 x 3 x 342U = 22 - 17.34 = 4.66

Una persona con aversin al riesgo grado 3, prefiere el portafolio libre de riesgo ya que U = 5 > U = 4.66 (la utilidad del portafolio riesgoso).

Para una persona con aversin al riesgo grado 2, la expectativa de retorno se ajustar por riesgo en 11.56% y el nivel de utilidad sera 10.44% (ver en la frmula de U). 9Podemos graficar el trade-off entre riesgo y retorno poniendo portafolios que para un determinado inversor son equivalentes. Todos los puntos de la curva le dan el mismo nivel de utilidad. Si nos movemos por la curva hacia arriba, a medida que aumenta el retorno aumenta tambin el riesgo, por tanto para el inversor son puntos equivalentes. En el grfico vemos dos curvas de utilidad diferentes.10

Para un inversor, con un grado de aversin al riesgo de A = 4, todos estos portafolios le dan el mismo nivel de utilidad, por tanto constituyen la curva de indiferencia.

Cuadrantes II y III - Portafolios en esos cuadrantes dependen de A.Cuadrante IV (lado inferior derecho grfico pg 10) - un punto en este cuadrante, para un nivel dado de p tiene menor E() que un punto en la curva de indiferencia.Cuadrante I (lado superior izquierdo del grfico) - cualquier punto en este cuadrante es preferible a otro dentro de la curva de indiferencia, dado que para un p determinado, logro una mayor E().E()(desvo standard)U = E() - 0.0005 x A x 210%.20%10 - 0.005 x 4 x 400 = 215%.25.5%15 - 0,005 x 4 x 225 = 220%.30%20 - 0,005 x 4 x 900 = 225%.33.9%25 0,005 x 4 x 1150 = 211Riesgo de un activo vs Riesgo de un PortafolioUna forma de disminuir el riesgo de un portafolio es va diversificacin.Una forma an ms efectiva de disminuir el riesgo de un portafolio es va hedging o cobertura. Esto se da mediante activos que reducen el riesgo de un portafolio porque tienen un alto payoff en el mismo momento en que el resto del portafolio anda mal.12Caso TenarisMarket Cap 13Bn USDFactor de riesgo - volatilidad del precio del petrleo.

Asumimos 3 escenarios:

E() = (-5% x 40%) + (10% x 50%) + (50% x 10%)E() = -2% + 5% + 5% = 8%

2 = 40% (-5% - 8%)2 + 50% x (10% - 8%) 2 + 10% (50% - 8%) 267.60 + 2 + 176.40 = 246 = 15.68%Precio Petrleo506090Precio Accin TS-5%+10%+50%Probabilidad40%50%10%Para reducir el riesgo del portafolio optamos por comprar letras del tesoro americano a 3 meses, que rinden 2% anual. Invertimos la mitad en TS (Tenaris) y la otra mitad en las letras del tesoro.

El retorno del portafolio es un promedio ponderado de las tasas de retorno de sus componentes.E() = 50% x 8% + 50% x 2%E() = 5%

Suponiendo que la letra americana es libre de riesgo.(p) = 50% x 15.68% + 50% x 0 = 7.84%

La formula de desvo standard tambin tiene un trmino que tiene en cuenta las covarianzas, pero cuando combino un activo riesgoso con un activo libre de riesgo este trmino desaparece dado que el desvi standard del activo libre de riesgo es cero y entonces anula esa trmino. As, cuando se combina un activo riesgoso con un activo libre de riesgo, el desvi standard del portafolio equivale al desvo standard del activo riesgoso multiplicado por la proporcin del activo riesgoso en el portafolio.

Conclusin: Combinando Tenaris con el activo libre de riesgo (diversificando), logramos reducir el desvo standard en la mitad pero sacrificamos 3 puntos en retorno esperado.Observamos que la industria de las aerolneas se beneficia con una suba del combustible.

Caso: American AirlinesAAL: Market Cap USD 26BnFactor de Riesgo: Volatilidad del precio del petrleo

Asumimos 3 escenrios:Precio Petrleo506090Precio Accin TS+25%+15%-10%Probabilidad40%50%10%E(AAL) = (0.40 x 0.25) + (0.50 x 0.15) + (0.10 x -0.10)= 10% + 7.5% - 1% = 16.5%

2AAL = 0.40 (25 - 16.5)2 + 0.50 (15 - 16.5)2 + 0.10 (-10 - 16.5)2= 28,9 + 1.125 + 70.225= 100.25AAL = 10%

AAL es un hedge para TS porque cuando TS sufre por el bajo precio del petrleo, American Airlines mejora su performance por el bajo precio del petrleo.Si ponemos la mitad en AAL y la mitad en TS.E() = 50% x 8% + 50% x 16.5% = 12.25%2() = (0.5 2 x 102 ) + (0,52 x 15,682 )+ 2 x 0,5 x 0,5 x Cov (TS, AAL) () = 3,20Precio Petrleo506090Precio Canasta (50% TS + 50% AAL)10%12.5%20%Probabilidad40%50%10%Reducir el riesgo a travs de un hedge tuvo un efecto medio ms profundo que la mera reduccin va diversificacin.

As el riesgo de un activo debe mirarse no como el riesgo de ese activo per se, sino como componente de un portafolio.

Para cuantificar el potencial de hedging o diversificacin de un activo en un portafolio podemos usar las medidas de:

Covarianza o

Coeficiente de correlacin.

La covarianza mide como se mueven los retornos de ambos activos entre s. La covarianza puede ser positiva o negativa.Cov(TS, AAL) = S Pr(S) [TS (S) - E(TS) ] [AAL(S) - E(AAL)]

Cov(TS, AAL) = 40% (-5% - 8%) (25% - 16.5%) + 50% (+10% - 8%) (15% - 16.5%)+ 10% (+50% - 8%) (-10% - 16.5%)

Cov(TS, AAL) = 40% (-13%) (8.5%) + 50% (2%) (-1.5%) + 10% (42%) (-26.5%) = -1,54%

La covarianza negativa confirma la propiedad de hedging que tiene American Airlines sobre la accin de Tenaris.Para homogenizar y poder comparar conviene transformar la covarianza en coeficiente de correlacin. As queda definido entre -1 y +1.

Coef corr(TS, AAL) = Cov (TS, AAL) = __-1,54____ = -0.98 TS AAL 15,68 X 10

Para hacer una frmula general:

Para calcular la varianza de un portafolio 2 activos riesgosos con varianzas 12 y 22 y con proporciones W1 y W2. La varianza del portafolio es

P2 = 12 12 + 22 22 + 2 1 2 Cov (1, 2)Capital Allocation entre activo libre de riesgo y resto de los activosTop-down anlisis - decisin de alocacin de capital.

Determinamos la proporcin que se quiere alocar entre activo libre de riesgo y activos riesgosos. Determinar en que activos invertir de la canasta de activos riesgosos (bonos, acciones, monedas, etc). Que activos especficos dentro de cada categora (y que acciones, bonos, etc).

Es la manera de invertir de la mayora de los fondos de inversin. La primera se considera la decisin de inversin ms importante.La decisin ms importante: Cunto invertimos en el activo libre de riesgo vs. en activos riesgosos?

Suponemos un portafolio riesgoso PY un portafolio libre de riesgo F

Ejemplo:

Un portafolio inicial de $1.000.000 de los cuales invertimos $300.000 en el activo libre de riesgo F y $700.000 en la canasta de activos riesgosos. Activo libre de riesgo - se asume que un gobierno que emite deuda en su propia moneda siempre puede aumentar la oferta monetaria para saldar esa deuda. No tiene en cuenta la inflacin, ni el riesgo de tasa de inters. Se suele considerar una letra del tesoro americano como el activo libre de riesgo.Para el activo riesgoso, consideremos el bono AY24, con duration 5.5 E(p) = 9.30% = 15%

Para el activo libre de riesgo consideramos una letra de corto plazo con retorno esperado de 4%:

E() = 4%Con una proporcin de Y en el activo riesgoso y de (1 - Y) en el activo libre de riesgo el retorno esperado del portofolio es:E(Rc) = y * E (Rp) + (1 - y) * Rf= 0.70 * 9.30% + (1 - 0.70) * 4%= 6.51% + 1,2% = 7.71%O puesto de otra forma:

E(Rc) = y * E (Rp) + (1 - y) * Rf

E(Rc) = y * E (Rp) + Rf - Rf * y

E(Rc) = Rf + y (E (Rp) - Rf)

El retorno se compone de la tasa libre de riesgo ms el premio por riesgo que est pagando el mercado ponderado por la proporcin invertida en el activo riesgoso.tasa libre de riesgoproporcin invertidaen el activo riesgoso risk premiumEn nuestro ejemplo:

E(Rc) = 4 + 0.70 (9.3 - 4) = 7.71%

Adems sabemos que para calcular el desvo standard de un portafolio que incluye un activo riesgoso y uno libre de riesgo, el desvo standard del portafolio general es el desvo standard del activo riesgoso multiplicado por la proporcin del activo riesgoso en ese portofolio.

p = 15%c = 15% x 0.70 = 10.5%Si queremos armar un grfico de riesgo/retorno ya contamos con dos puntos:Nuestro portafolio E(Rc) = 7.71% con un c = 10.5%El portafolio libre de riesgo E(Rf) = 4% con un c = 0%

El portafolio libre de riesgo corta el eje vertical porque el desvo standard es cero.

El activo riesgoso aparece con un desvo standard de 15% y un retorno esperado de 9.3%.

Si un inversor opta por invertir slo en el activo riesgoso, entonces Y = 1.

Si trazamos una lnea entre ambos puntos, el de Y = 0 y el de Y = 1 tenemos una lnea con pendiente.

E(Rp) - Rfp

Que, en nuestro caso, sera: 9.30 - 4 = 0.35 15La conclusin es que:a medida que vamos aumentando la proporcin en el activo riesgoso, vamos aumentando la expectativa de retorno a una tasa de (9.30 - 4) = 5.30 %al tiempo que se incrementa el desvo standard del portafolio a una tasa de 15%.As, el retorno exacto por cada unidad de riesgo adicional es 0.35Para derivar matemticamente la pendiente, sabemos que:

(i) E(Rc) = Rf + Y[E(Rp) - Rf](ii) c = Y * p > Entonces Y = c / p

As E(Rc) = Rf + c [E(Rp) - Rf] p= 4 + 10.5% [E(Rp) - Rf] 15%= Rf + c [E(Rp) - Rf] p= 4 + c x 9.30 - 4 15E(Rc) = 4 + c x 0.44

Esto nos dice que la expectativa de retorno est dada por el rendimiento libre de riesgo Rf = 4 %, ms la cantidad de unidadesde riesgo que el inversor desea asumir (medido como c), multiplicado por lo que te paga el mercado por cada unidad de riesgo adicional.La lnea que une nuestros dos puntos se conoce como Capital Allocation Line (CAL). Describe las distintas combinaciones posibles de riesgo disponible para el inversor.La pendiente de CAL, nos da el retorno por unidad de riesgo adicional, conocido como reward to variability ratio (en la jerga burstil es ms comn que se la llame Sharpe Ratio en honor al Premio Nobel Economa William Sharpe).Qu pasa con aquellos puntos que estn a la derecha del portafolio P?

Por ejemplo un inversor, cuyos activos son de $1.000.000 toma prestado $250.000 e invierte todo en el portafolio riesgoso. As, su proporcin invertida en el activo riesgoso pasa a ser Y = 1.250.000 = 1.25 1.000.000Y su posicin en el activo libre de riesgo es (1 Y), es decir (1 - 1.25) = - 0.25 que refleja una posicin short en el activo libre de riesgo.

Estamos asumiendo que el inversor logra endeudarse a una tasa libre de riesgo.Ahora el retorno esperado es:

E(c) = 4% + 1.25 x Risk premium = 4% + 6.62% = 10,62%

Por su lado:c = 1.25 x p = 1.25 x 15% = 18.75%

Sin embargo, el reward to variability ratio sigue siendo el mismo:S = E(Rc) - Rf = 10.625% - 4% = 0.35c 18,75%Como era esperable, el portafolio apalancado tiene un desvo standard ms alto que el portafolio sin leverage.Levantamos por un momento el supuesto de que un deudor se puede endeudar a la tasa libre de riesgo. As, asumimos que el inversor puede endeudarse a una tasa del 6%.La Capital Allocation Line tiene entonces un quiebre en la pendiente. La pendiente ser menor a la derecha del punto P.

Cuando Y > 1

S = E(Rp) - Rf = 9.30 - 6 = 0.22p 15%

Cuando uno tiene una cuenta abierta en un broker para pedir una lnea de crdito para invertir se le pide al broker hacer una compra on margin, localmente lo conoce como compra con caucin.Generalmente hay regulaciones que impiden que el prstamo sea superior al 50% de la compra. En ese caso, si uno tiene en la cuenta 1.000.000 se le puede llegar a otorgar otro 1.000.000 para invertir.

En ese caso Activos = 2.000.000 Pasivos = 1.000.000Y = 2

Las compras en mrgen requieren de mantener cierto colateral o garanta. Si el valor de los activos puestos como garanta cae por debajo de cierto valor se hace un margin call o pedido de mrgen en que se requiere al inversor que enve ms dinero a su cuenta. Caso contrario se liquida parte de la posicin.Tolerancia al riesgo y alocacin de capitalVimos como se arma una CAL (Capital Allocation Line). El inversor se enfrenta a todas las opciones que presenta la CAL y debe elegir su portafolio ptimo dentro de las opciones que presenta la CAL. Se trata de un trade-off entre riesgo y retorno.

Los inversores ms aversos al riesgo van a elegir tener menor proporcin del activo riesgoso y ms del activo libre de riesgo.

Recordando la funcin de utilidad U = E() - 0.005A2 donde A es el coeficiente de aversin al riesgo, 0.005 es un factor de escala.La expresin nos indica que la utilidad derivada de un portafolio se incrementa con la tasa del retorno y disminuye con el aumento de la varianza.

As, el inversor maximiza su utilidad eligiendo su proporcin preferida del activo riesgoso Y.

En la tabla se ve como afectan las distintas proporciones de Y a la utilidad percibida (ver pgina 40).

En el grfico (ver pgina 41) se ve que la utilidad es mxima cuando Y = 0.59

Si Y < 0.59 el inversor de A = 4 esta dispuesto a asumir ms riesgo para aumentar la expectativa de retorno.

Alocacin del activo riesgoso YUtilidadProporcin de activo riesgosoSin embargo, para valores mayores a Y = 0.59 (siempre considerando un inversor con A= 4) el efecto de riesgo adicional no compensa el mayor retorno esperado.

Si quisieramos ponerlo en una ecuacin ms general:Max U (y) = E (Rc) - 0.005c2 =

donde E(Rc) = Rf + Y [E(Rp) - Rf]y donde c2 = Y2 * p2

reemplazando Max U (y) = Rf + Y[E(Rp) - Rf] - 0.005Y2 * 2

Derivada respecto de Y: (igualamos la derivada primera a cero)E(Rp) - Rf - 0.01 * Y * A * p2 = 0Resolviendo para Y:

E(Rp) - Rf = 0.01 * Y * A * p2

E(Rp) - Rf .= Y*0.01 * A * p2

Y* es la proporcin ptima de portafolio riesgoso.

Vemos que la proporcin ptima de activo riesgoso es inversamente proporcional al grado de aversin al riesgo y al nivel de riesgo (medido por la varianza) y directamente proporcional al premio que ofrece el activo riesgoso.En nuestro ejemplo:

Y* = 9.3 - 4 = 5.3 = 0.590.01 x 4 x 15 x 15 9

Un inversor de aversin al riesgo grado 4, va a invertir el 59% de su presupuesto en el activo riesgoso y el 41% en el activo libre de riesgo.

En Y* se da el valor de Y que maximiza el nivel de utilidad.

Si queremos mostrar grficamente como llegar a Y* lo podemos hacer va curvas de indiferencia.U = E() - 0.005 x A x 2Ejemplo - Sea A = 4, Rf = 5% Sabemos que el inversor invierte el 100% en el activo libre de riesgo 2 = 0

En la frmula U = E() - 0.005 x A x 2U = 5 - 0.005 x 4 x 0U = 5Ahora si el inversor tomara una unidad ms de riesgo, ser 2 = 1%Que retorno tendramos que ofrecerle a este inversor para manternerlo con el mismo nivel de utilidad?

U = E() - 0.005 x A x 25 = E() - 0.005 x 4 x 125 = E() - 0.02E() = 5.02%

As, para subirle de cero a 1 este inversor requiere un retorno esperado de 0.02% adicional.

Si seguimos con ese proceso nos da un set de combinaciones de retorno esperado y volatilidad con un nivel de utilidad 5.La tabla (ver pgina 47) nos muestra para un inversor con un A = 2 y para otro con A = 4 cuanto deber ir aumentando su retorno esperado a medida que aumenta su volatilidad para estar en el mismo nivel de su curva de indiferencia.

Si le das a elegir, un inversor siempre prefiere una curva de indiferencia ms alta, dado que ofrecen mayores niveles de retorno para un nivel dado de riesgo.

Cuanto mayor es A, ms empinadas son las curvas de indiferencia (ver grfico de pgina 48).

Curvas de indiferencia para U = 5 y U = 9 con A = 2 y A = 4A = 4A = 2A = 4A = 2U = 9U = 5Estratgias pasivasLa CAL se deriva de combinar un activo riesgoso y un activo libre de riesgo. Ahora cuales activos incluir en el activo riesgoso P puede resultar de una estrategia activa o de una estrategia pasiva.

Una estrategia pasiva puede llegar a ser una estrategia razonable en un mercado de capitales con ciertos grados de eficiencia.

Un candidato a portafolio riesgoso en una estrategia pasiva podra ser un conjunto de acciones bien diversificadas. En general esto se logra replicando un ndice.Si consideramos una lnea que tiene como activo libre de riesgo las letras del tesoro a 1 mes y como activo riesgoso un ndice amplio de acciones nos da la:

Capital Market Line (CML)

Una estrategia pasiva nos genera un set de inversiones disponibles representadas por la CML.

Ventajas de una estrategia pasiva:Menores costos.Free-riding. Si un inversor activo encuentra una accin devaluada al comprarla le sube el precio.

As, una estrategia pasiva con un portafolio diversificado suele dar un rendimiento no inferior a una estrategia activa promedio.Una estrategia pasiva implica invertir en una combinacin de dos portafolios pasivos bonos cortos libres de riesgo un fondo que replique un ndice accionarioEl inversor pasivo toma una decisin importante que es que porcentaje invertir en su cartera riesgosa y cunto en el activo libre de riesgo.Portafolios Riesgosos ptimosNos vamos a enfocar en la construccin del portafolio riesgoso ptimo.Suponemos que estamos invertidos en una sola accin Ej. Banco Galicia.Tenemos 2 tipos de riesgos: Riesgos derivados de factores macro: Crecimiento del PBI, inflacin, tasas de inters, tipo de cambio. Riesgos especficos de la firma: Calidad de management, estrategias comerciales, polticas de RR.HH., gestin financiera, etc.Si empezamos a diversificar entre ms acciones la diversificacin va reduciendo el riesgo del portofolio. A medida que ampliamos el nmero de acciones, la volatilidad sigue disminuyendo.Sin embargo, no podemos diversificar todo el riesgo ya que los factores macro afectan a todas las acciones. El riesgo que queda sin diversificar se llama:Riesgo de mercado, riesgo sistemtico o riesgo no diversificable.A su vez el riesgo que s se puede diversificar se llama:Riesgo no sistemtico, riesgo diversificable o riesgo especfico de la firma.

Diversificacin con dos activos riesgososTenemos 2 activos

Prametros:

D = 12%E = 20%E()D = 8%E()E = 13%Cov (RD, RE) = 72DE = 0.30Coeficiente de correlacinWD = Proporcin invertida en el fondo DWE = Proporcin invertida en el fondo Eun fondo que invierte en bonos de largo plazo (Fondo D)un fondo que invierte en acciones (Fondo E)E(P) = DE(D) + EE(E) Varianza:P2 = D2D2 + E2E2 + 2 D E Cov (D, E)Vemos que la varianza se reduce si el trmino de la covarianza es negativo. Pero lo ms importante de ver es que an si la covarianza es positiva, el desvo standard del portafolio es menor que el promedio ponderado de los desvos standard de cada uno de los componentes. Una excepcin se da cuando los dos activos esten perfectamente correlacionados.El desvo standard de un portafolio con correlacin positiva perfecta ( = 1) es igual al promedio ponderado del desvo standard de sus componentes. En el resto de los casos, (Coeficiente de correlacin 1) el desvo standard del portafolio es menos que el promedio ponderado del desvo standard de sus componentes.Por otra parte, un activo que tiene correlacin negativa con el resto del portafolio se denomina hedge. Adems el retorno esperado no se modifica segn el grado de correlacin.De esta forma, manteniendo constante otras caractersticas, preferimos adicionar al portafolio activos con bajo grado de correlacin, o mejor an activos con correlacin negativa con el resto del portafolio.Resumen: Como el retorno esperado de un portafolio es el promedio ponderado de sus retornos, mientras que el desvo standard es menor que el promedio ponderado de los desvos standards de sus componentes, portafolios que contengan activos que no estn perfectamente correlacionados ofrecen mejores alternativas de riesgo / retorno que cada activo separado por su lado. Mientras menor sea el grado de correlacin mayor la ganancia en eficiencia.Hasta que punto podemos disminuir el coeficiente de correlacin?La correlacin negativa perfecta es -1. Siendo:P2 = D2D2 + E2E2 + 2 D E D EDE = -1

Se puede expresar en trminos de cuadrado:P2 = (D D - E E)2

Y el desvo standard es:P = /(D D) - (E E)/

Cuando = -1, una posicin perfectamente hedgeada se puede lograr encontrando las proporciones ptimas que hagan esta ecuacin igual a cero:DD - EE = 0La solucin a esta ecuacin es:

D = . E . D + EE = . D . = 1 - DD + E

Estas proporciones ptimas llevan el desvo standard a cero.Ahora veamos un ejemplo de retorno esperado y desvo standard con 4 hiptesis de coeficientes de correlacin.

Suponemos coeficientes de correlacin de -1, de 0, de 0.30 y de 1 (ver tabla y grfico)

Distintos coeficientes de correlacin

Proporcin invertida vs Desvo del portafolioVamos a experimentar con distintas proporciones del portafolio para observar el efecto que generan en el retorno esperado y la varianza.En la tabla y en el grfico podemos ver que pasa cuando la proporcin invertida en deuda va variando entre 0 y 1 (y por ende la proporcin invertida en acciones va variando entre 1 y 0). Cuando la inversin en deuda es de 0% el retorno esperado es 13%, mientras que en el otro extremo, cuando la inversin invertida en deuda es de 100%, el retorno esperado es de 8%.En el caso en que Wd > 1 (o lo que es lo mismo, We < 0 ) lo que ocurre es que nos estamos yendo cortos el fondo de acciones y la plata que surge de irse corto la invertimos en el fondo de bonos. Esto nos disminuye an ms el retorno esperado.En el caso en que Wd < 0 y We > 1, la estrategia implementada consiste en irse corto el fondo de bonos y con el producido comprar ms del fondo de acciones.

Los cambios de proporciones invertidas en ambos fondos tambin generan cambios en el desvos standard. En nuestra Tabla de pg. 62 vemos como vara el desvo standard de cuatro portafolios distintos segn la proporcin invertida en acciones vs deuda.Cada uno de estos cuatro portafolios se diferencian por los distintos grados de correlacin que existen entre el portafolio de deuda y el portafolio de acciones.

Observando la lnea violeta (grfico pgina 63) que representa el grado de correlacin 0.30 podemos notar que mientras la proporcin invertida en deuda va aumentando, el desvo standard va disminuyendo. Sin embargo, pasado de cierto punto, si seguimos aumentando la proporcin invertida en deuda, estamos nuevamente concentrando la posicin en un slo activo. As, el desvo standard aumenta nuevamente. Pasamos de un portafolio concentrado en acciones, a uno diversificado, a nuevamente uno concentrado pero ahora en deuda. Este patrn se mantiene mientras el coeficiente de correlacin no sea muy alto. En el caso de coeficiente de correlacin igual a 1, el desvo standard no se ve beneficiado por la diversificacin. Vemos la lnea recta entre 0 y 1, que nos muestra que el desvo standard decrece a medida que pasamos del activo ms riesgoso (acciones) al activo menos riesgoso (bonos). Si el coeficiente de correlacin entre ambos activos es 1, a efectos del desvo standard, es como si estuviramos invirtiendo en el mismo activo.Cul es el mnimo nivel al que se puede bajar el desvo standard mediando la combinacin de los dos activos?

Min d = 2e - Cov (d, e) 2d + 2e 2 Cov (d, e) Derivamos con respecto a W e igualamos a cero, as obtenemos el Wd que minimiza el desvo standard. Si aplicamos esta frmula al caso mostrado en el grfico en el que el coeficiente de correlacin es 0.30 podemos ver que la varianza se minimiza en el caso en que la proporcin de deuda es 82%.En este punto, en el que la proporcin de deuda es 82% y la proporcin de acciones es 18%, se encuentra el portafolio de mnima varianza dado el coeficiente de correlacin de 0.3 entre estos dos activos. En ese punto el portafolio de mnima varianza nos da un desvo standard de ((0,822 x 122) + (0.182 x 202 ) + (2 x 0.82 x 0.18 x 72))1/2 = 11.45%

El grfico de pgina 63 nos muestra como cambia el desvo standard (cuando el coeficiente de correlacin entre los dos activos es 0.30) a medida que pasamos de estar invertidos 100% en acciones a estar invertidos 100% en bonos. El portafolio de mnima varianza tiene un desvo standard menor a estos dos portafolios extremos.Desvo st del portafolio de mnima varianza es 11.45%, mientras que todo invertido en acciones tiene un desvo de 20% y todo invertido en deuda un desvo de 12%. Las otras lneas nos muestran como vara el riesgo del portafolio para otros valores de coeficiente de correlacin.En el caso de un coeficiente de correlacin de 1, el desvo st del portafolio es el promedio ponderado de los desvos standard de los 2 portafolios, es decir no hay ningn beneficio de la diversificacin. En el caso de un coeficiente de correlacin de 0, se notan los beneficios de la diversificacin.

En el caso de un coeficiente de correlacin de -1, es el hedge perfecto. En ese caso el desvo se puede llevar a cero. En el grfico siguiente, se muestra que cada par de activos, segn su grado de correlacin, pueden invertirse en distintas proporciones y de esta manera se obtienen distintas relaciones de riesgo retorno. En el caso de coeficiente de correlacin 1, se nota que no hay beneficios de la diversificacin. Cuando el coeficiente de correlacin es - 1 hay un punto de proporciones invertidas que nos deja el desvo st en cero.

El grfico de pgina 74 nos muestra 4 lneas con distintos grados de correlacin. Cada lnea nos muestra como se modifica el retorno esperado a medida que aumenta el desvo standard.Slo en el caso de un coeficiente de correlacin -1 se logra llevar el desvo standard a cero. Modelo de seleccin de portafolio de Markowitz.Para construir el portafolio se siguen tres pasos.Identificar las combinaciones de riesgo-retorno del conjunto de activos riesgososIdentificamos el portafolio riesgoso ptimo, encontrando las proporciones ptimas que nos dan la capital allocation line ms empinada.Mezclamos la proporcin adecuada del portafolio riesgoso con la del activo libre de riesgo.

Lo primero es determinar las oportunidades de riego-retorno disponibles. Esto se resume en la frontera de mnima varianza.La frontera nos muestra para cada retorno esperado el mnimo nivel de varianza que podemos lograr. (ver grfico pgina 78).Para armarlo necesitamos saber retornos, varianzas y covarianzas. Con eso calculamos la varianza mnima para cada nivel de retorno.

En general, los activos individuales se ubican a la derecha de la frontera de mnima varianza, lo que nos dice que invertir en un slo activo suele ser ineficiente. Diversificar entre varios activos suele bajar la varianza para un retorno dado.De toda la frontera de mnima varianza identificamos el punto de mnima varianza global. La parte de la frontera que est desde ese punto global hacia arriba se llama la frontera eficiente de activos riesgosos.Cualquier portafolio de la parte inferior de la curva se ve superado por otro portafolio que tiene el mismo desvo st y mayor retorno.

La segunda parte de la construccin del portafolio trata sobre el activo libre de riesgo.Buscamos la capital allocation line que tenga la pendiente ms alta (es decir, el mayor reward to variability ratio).La CAL que consigue el portafolio ptimo P ser tangente a la frontera eficiente de activos riesgosos.El portafolio P es el portafolio riesgoso ptimo.

Por ltimo el inversor elije que proporcin quiere mantener del activo riesgoso versus el activo libre de riesgo.Con el portafolio riesgoso ptimo alcanza la CAL ms alta.Luego entra a jugar la curva de indiferencia o las preferencias del inversor, que determinarn las proporciones a invertir en el activo riesgoso vs el libre de riesgoVer grfico en pgina 81Si bien la idea de diversificacin es muy antigua, fue Harry Markowitz quien en 1952 public el primer modelo formal de seleccin de portafolio (le valdra un Nobel en Economa en 1990).Para ver una entrevista a Harry Markowitz, en la que explica su tesis.https://www.youtube.com/watch?v=RVWEhCd819EPara leer el anlisis de las aplicaciones prcticas de su teora, leer entrevista a Harry Markowitzhttp://rady.ucsd.edu/rbj/2011/markowitz-interview/index.html

El modelo de Markowitz es la identificacin de la frontera eficiente de activos riesgosos. La principal idea detrs del modelo de frontera eficiente de Markowitz, es que para un nivel dado de riesgo, slo nos interesa el portafolio con la mayor esperanza de retorno. El grfico de pgina 86 nos permite visualizar este enunciado.

Ahora que tenemos la frontera eficiente, el paso siguiente es la introduccin del activo libre de riesgo.El grfico de pgina 87 nos permite ver la frontera eficiente de activos riesgosos ms 3 CALs Elegimos el portafolio cuya CAL sea tangente a la frontera eficiente de activos riesgosos, porque es la CAL que tiene el mayor reward to variability ratio (tiene el Sharpe ratio ms alto). Se ve en el grfico que el portafolio P es el que tiene la pendiente ms alta entre el portafolio libre de riesgo y la frontera riesgosa eficiente.

En el punto P encontramos el portafolio riesgoso ptimo. Ese mismo portafolio riesgoso ptimo es el que el portfolio manager debera ofrecer a todos sus clientes, independientemente de su grado de aversin al riesgo.El grado de aversin al riesgo juega slo cuando seleccionamos el punto dentro de la lnea CAL.Los clientes ms aversos al riesgo van a invertir una mayor proporcin en el activo libre de riesgo y menos en el portafolio riesgoso ptimo. Este resultado se denomina propiedad de separacin.Esta propiedad implica que el problema de seleccin de portafolio se puede separar en dos tareas independientes.La primera tarea, la seleccin del portafolio riesgoso ptimo es puramente tcnica. Este portafolio es el mismo para todos los inversores.La segunda tarea, alocar la proporcin deseada entre el portafolio riesgoso ptimo y el activo libre de riesgo depende de las preferencias del inversor.

Estimar el portafolio ptimo es relativamente fcil de hacer con una hoja de clculo. Lo que permite a un portafolio manager destacarse son los inputs que mete en la optimizacin, para lo cual tiene que hacer un research sobre cada bono o accin. Ej. Cul es el retorno esperado de una accin?Capital Asset Pricing Model (CAPM).El CAPM es la piedra fundamental de las finanzas modernas. El modelo nos da una prediccin de la relacin que deberamos observar entre riesgo y retorno esperado.Sirve de benchmark de tasa de retorno. Nos dice cuanto debera ser el retorno fair para un activo dado el riesgo que estamos asumiendo. Ayuda a entender cual debera ser el retorno esperado de un activo que an no tradea en el mercado. Ej. IPO.

El CAPM es un conjunto de predicciones de retornos esperados de equilibrio para activos riesgosos. Harry Markowitz puso la base para la fundacin de las teoras modernas de finanzas en 1952 .El modelo CAPM fue desarrollado 12 aos ms tarde por William Sharpe (1964), John Lintner (1965) y Jan Mossin (1966). Es un modelo que toma algunos supuestos para simplificar el anlisis. Los supuestos se pueden levantar luego de a uno, para cada caso particular, pero nos permiten la generalizacin que es la versin bsica de CAPM.Supuestos del CAPMInversores son todos tomadores de precio. Al tradear no logran afectar el precio de los activos. Competencia perfectaTodos tienen el mismo horizonte de inversin.Las oportunidades de inversin se limitan a activos que tienen cotizacin pblica.Los inversores pueden prestar o tomar prestado todo lo que quieran a la tasa libre de riesgo.No hay costos de transaccin, no hay impuestos a las ganancias.

Los inversores son racionales. Optimizan media y varianza de acuerdo al modelo de seleccin de portafolio de Markowitz.Comparten el view macro y ven a las acciones y bonos de la misma manera. As todos tienen el mismo input list del modelo de Markowitz. Esto implica mismos retornos esperados y misma matriz de covarianzas, lo que hace que todos terminen en la misma frontera eficiente y el mismo portafolio riesgoso ptimo. Este ltimo supuesto se lo conoce como expectativas homogneas.Consecuencias del modelo CAPMTodos los inversores mantienen un portafolio de activos riesgosos que incluyen todos los activos del mercado.Todos los inversores tiene el mismo portafolio riesgoso ptimo. Slo difiere el porcentaje de activo riesgoso versus libre de riesgo que mantienen. Este portafolio va a estar en la frontera eficiente sino tambin en la CAL.El premio por riesgo de este portafolio va a ser proporcional al riesgo (desvo) y al grado de aversin al riesgo del inversor representativo.

El riesgo de cada activo individual va a ser proporcional al riesgo del portafolio de mercado M, y al coeficiente Beta del activo relativo al portafolio de mercado. Beta nos muestra la correlacin entre un activo dado y el portafolio del mercado M.

Mientras que el risk premium de un activo individual es

i=Cov(i,M)

2M(i) -f=Cov(i,M)[(M) -f] =i[(M) -f]

2M

El portafolio de mercado M, es el portafolio agregado de todos los inversores. Si todos los inversores usan el mismo modelo de riesgo - retorno, el mismo universo de inversiones, el mismo horizonte de inversin y el mismo input list, terminan arribando al mismo portafolio riesgoso ptimo. Es el portafolio que se encuentra en la frontera eficiente y es tangente a la lnea que pasa por el punto del activo libre de riesgo y dicha frontera. Si esta conclusin fuera 100% valedera, los inversores no necesitaran hacer ningn anlisis, ya que con slo comprar M, el portafolio de mercado, ya tendran el portafolio riesgoso ptimo. Si se mantiene la conclusin anterior, la estrategia pasiva de invertir en un ndice es una estrategia eficiente. Por esta razn se la suele llamar el teorema del fondo mutuo. En la prctica, los portfolio managers arriban a diferentes portafolios de mercado, por tener diferentes inputs lists, sobre que retornos esperan de cada activo, con que matriz de covarianzas trabajan, etc.El significado prctico del teorema del fondo mutuo consiste en que tener un ndice de mercado es una estrategia bastante razonable para lograr un portafolio riesgoso ptimo. El CAPM est construido sobre la premisa de que el premio por riesgo de un activo va a estar determinado por su contribucin al riesgo del portafolio global.En una economa de muchos activos, cada activo individual tiene muchas ms covarianzas que varianzas.En consecuencia, la covarianza de ese activo particular con el resto de los activos del mercado es ms determinante que la varianza del activo per se, en cuanto al impacto que tiene sobre la contribucin al portafolio riesgoso. As, la mejor medida de la contribucin, en trminos de riesgo, de un activo al portafolio de mercado es la covarianza de ese activo con el portafolio de mercado. GMs contribution to variance = W gm * Cov (Rgm, RM)En equilibrio, todos los activos ofrecen el mismo sharpe ratio. Si un activo tiene un mayor sharpe ratio, los inversores lo quisieran incorporar a su cartera, lo que terminara aumentndole el precio y bajndole el ratio.El ratio Cov (Rgm, RM) / 2M mide la contribucin de la accin de GM a la varianza del portafolio de mercado. Este ratio se llama Beta.Podemos expresar el retorno esperado de GM comoE (R gm) = Rf + gm [ E (Rm) Rf]Esta relacin beta-retorno esperado es una de los usos ms importantes que se le da al modelo de CAPM.

Aunque no todos los inversores tengan el mismo portafolio riesgoso. Cualquier inversor que tenga un portafolio riesgoso lo suficientemente diversificado, que elimine el riesgo diversificable, se queda con el riesgo sistemtico o riesgo de mercado. Un portafolio bien diversificado opera como un portafolio riesgoso ptimo. As, el beta de un activo particular contra ese portafolio sigue siendo una medida muy importante. El Beta promedio ponderado de todos los activos del portafolio es 1. Ya que se est considerando todo el mercado y comparndolo contra el portafolio de mercado. Un Beta mayor a 1 nos da un activo ms agresivo, que se mueve en mayor medida que el resto del mercado.Un Beta menor a 1 nos da un activo menos sensible a los movimientos del mercado. Se considera un activo defensivo. El beta de un activo mide la contribucin de dicho activo a la varianza del portafolio de mercado. As, el premio por riesgo va a estar dado por el beta del activo. El CAPM confirma esta intuicin al demostrar que el premio por riesgo de un activo individual es directamente proporcional a su beta y al premio por riesgo del portafolio de mercado. La relacin beta - retorno esperado se puede graficar en lo que se conoce como la security market line. Ver grfico de pgina 107.La pendiente es el premio por riesgo del portafolio de mercado. En el punto en que Beta = 1, el retorno esperado es el retorno del portafolio de mercado. El security market line nos da un benchmark de retorno requerido a cualquier activo individual segn sea su beta.

Los activos que estn correctamente priceados se ubican en la security market line. Un activo que se considera barato debera ubicarse por encima de la SML. Dados sus betas, estn dando un retorno esperado superior al que sugiere el modelo CAPM.La diferencia entre el retorno esperado justo que nos sugiere CAPM y el que el portfolio manager interpreta que tiene el activo se denomina alfa. Por ejemplo, si el portafolio de mercado nos da un retorno esperado de 14%, un activo en particular tiene un beta de 1.2 y el activo libre de riesgo es 6%. La SML predice que el retorno esperado de ese activo debera ser:6 + 1.2 ( 14 6) = 15.6 %Si el PM piensa que el retorno esperado es de 17%, el alfa de ese activo sera de 1.4%.El anlisis de portafolio busca descubrir activos que tengan un alfa positivo o negativo, pero que no sea cero.

El CAPM le puede servir a la firma para alocar capital.Para una firma que est considerando un proyecto de inversin, el modelo CAPM le provee la tasa de rendimiento requerida que el proyecto debe tener (basado en el beta del activo) para ser aceptable para los inversores. William Sharpe, autor del modelo CAPM, resume el modelo que present en 1964 en 1 minuto.

https://www.youtube.com/watch?v=hk13eB1Eix8Eficiencia de mercadoUna de las primeras aplicaciones de las computadores en la dcada de 1950 fue el anlisis de series econmicas.As, Maurice Kendall, fue pionero en estudiar la evolucin del precio de las acciones. No encontr ningn patrn que le permitiese predecir el movimiento de las acciones. Los precios parecan moverse en forma aleatoria. En un determinado da era tan probable que subiesen como que bajasen. Ms adelante, el hecho de que el movimiento de precios fuese aleatorio se empez a tomar como una medida de que el mercado estaba funcionando bien, o que era eficiente. El carcter aleatorio del movimiento de precios, llamado random walk, es la consecuencia necesaria de muchsimos inversores compitiendo por descubrir informacin relevante para comprar o vender acciones antes de que el mercado lo sepa. El movimiento de precios a un nuevo precio de equilibrio se da con la nueva informacin disponible. La nocin de que una accin refleja toda la informacin disponible se llama la hiptesis del mercado eficiente. El grfico de pgina 113 ilustra la respuesta en el precio de una accin de nueva informacin relevante en un mercado eficiente.El grfico describe la respuesta en el precio de 194 accioens que fueron objetivo de eventos de takeover. (en un takeover se suele pagar un premio por sobre el precio de mercado para hacerse del control de la firma).

El grfico muestra que el precio de la accin pega un salto dramtico el da en que la informacin se hace pblica. Sin embargo, no hay una tendencia definida una vez que la informacin tom estado pblico. Supongamos que un programa de research nos permite incrementar el retorno esperado en 0.01% anual.En este caso, slo para los managers de los fondos de inversin ms grandes tiene sentido invertir en research.La competencia entre analistas calificados, bien pagos, agresivos tiende a asegurar que casi toda la informacin disponible est incorporada a precios.

Versiones de la hiptesis de mercados eficientesVersin dbil: Afirma que el precio de las acciones refleja toda la informacin que puede obtenerse analizando el comportamiento pasado de las acciones (precios, volmenes tradeados, etc). Esta informacin es barata de obtener. La versin dbil nos dice que si hubiese seales que proviniesen de mirar datos histricos los inversores ya hubiesen aprendido como explotar esas seales. Versin semi fuerte: Afirma que toda informacin pblica sobre una firma est incorporada a precios. Adems de los precios pasados, incluye datos fundamentales de la empresa: balance, lnea de productos, calidad del management, pronsticos de ganancias, etcVersin fuerte: afirma que los precios de las acciones incluyen toda la informacin relevante sobre la firma, an incluyendo informacin que slo est disponible para gente interna de la firma. Es una versin un poco extrema. La SEC (Security and Exchange Commission) se encarga de investigar compra venta de acciones por parte de insiders de las firmas. Se trata de que el inversor minoritario no se vea perjudicado por agentes que tienen una informacin privilegiada. En general los insiders de las compaas deben reportar sus trades a la SEC.A veces no es fcil determinar lo que es informacin privilegiada de lo que no lo es. Los analistas de acciones al final del da lo que tratan es de descubrir informacin que no sea conocida por el resto del mercado. Implicancias de la hiptesis de mercados eficientesAnlisis tcnico es la bsqueda de patrones predictivos en las series de tiempo de los precios de las acciones. El anlisis tcnico est ligado a que el precio de las acciones responda lentamente y el analista pueda aprovechar para explotar esta tendencia. Si la hiptesis de mercados eficientes es vlida no hay demasiado lugar para ganarle al mercado realizando anlisis tcnicos. Charles Dow es considerado el padre del anlisis tcnico. Los principios de Dow an siguen guiando a los analistas tcnicos de hoy.El anlisis fundamental usa ganancias estimadas, prospectos de las firmas, expectativas de tasas de inters, evaluacin del riesgo de las firmas, etc. para tratar de determinar el precio justo de una accin. En ltima instancia, el anlisis fundamental trata de determinar el valor descontado de los futuros pagos que el accionista va a recibir. Si dicho valor descontado supera al precio de la accin, se recomienda comprar la accin.La hiptesis del mercado eficiente predice que la mayora de los anlisis fundamentales son irrelevantes. Slo analistas con un entendimiento especial pueden obtener beneficios extraordinarios. En anlisis fundamental, no basta con hacer un buen anlisis de una empresa. Para obtener un rendimiento extraordinario el anlisis tiene que ser superior al de la competencia, ya que sino ya est priceado en el precio de la accin.

As, para que valga la pena invertir tiempo y dinero en hacer anlisis del mercado financiero, un analista tiene que tener

anlisis diferenciados al resto del mercadoun tamao de portafolio lo suficientemente grande que justifique el esfuerzo. Ej. si logramos aumentar el retorno esperado en 1% pero tenemos una inversin de $ 100.000 ganamos $ 1.000 ms por ao. Los propulsores de la hiptesis el mercado eficiente creen que hacer un manejo activo de la cartera es una prdida de recursos.Para un pequeo inversor, es ms eficiente realizar una estrategia pasiva que no hace ningn esfuerzo por ganarle al mercado. Ms bien tratar de diversificar en un portafolio lo ms parecido posible a un ndice. Un portafolio pasivo se caracteriza por inversiones de mediano plazo (buy and hold) ms que por estar tradeando permanentemente la cartera. Tabla UtilidadTabla de Utilidad para un inversor con Grado de aversin al riesgo de A = 4Porcin invertida en activo riesgosoGrado de utilidadY AConstanteE (Rc)E (Rp)RfSigma C Sigma PUS040.00549.340.00154.00000.140.0054.539.341.50154.4850.350.240.0055.069.343.00154.8800.350.340.0055.599.344.50155.1850.350.440.0056.129.346.00155.4000.350.540.0056.659.347.50155.5250.350.640.0057.189.349.00155.5600.350.740.0057.719.3410.50155.5050.350.840.0058.249.3412.00155.3600.350.940.0058.779.3413.50155.1250.35140.0059.39.3415.00154.8000.35

Frmula de Utilidad U = E ( R ) - 0.005 A Sigma 2

040.00571570.00227.0000.000.140.0057.81572.20227.7030.360.240.0058.61574.40228.2130.360.340.0059.41576.60228.5290.360.440.00510.21578.80228.6510.360.540.0051115711.00228.5800.360.640.00511.815713.20228.3150.360.740.00512.615715.40227.8570.360.840.00513.415717.60227.2050.360.940.00514.215719.80226.3590.36140.0051515722.00225.3200.36

Curvas indifernciaA2244U5959E ( R )E ( R )E ( R )E ( R )Sigma0595955.259.255.59.510610711157.2511.259.513.52091313172511.2515.2517.521.530141823273517.2521.2529.533.540212537414525.2529.2545.549.55030345559

Coeficientes Correlacion

Desvo St de los portafolios segn correlacinDEDesvoWdWeE ( Rp ) Sigma = -1Sigma = 0 Sigma = 0.30Sigma = 1E ( R) 8%13%Desvo St12%20%00113.00%20.00%20.00%20.00%20.00%Covarianza Rd Re72720.050.10.912.50%16.80%18.04%18.40%19.20%Coeficiente Correlacin-1-10.10.20.812.00%13.60%16.18%16.88%18.40%Coeficiente Correlacin000.150.30.711.50%10.40%14.46%15.47%17.60%Coeficiente Correlacin0.30.30.20.40.611.00%7.20%12.92%14.20%16.80%Coeficiente Correlacin110.250.50.510.50%4.00%11.66%13.11%16.00%0.30.60.410.00%0.80%10.76%12.26%15.20%0.350.70.39.50%2.40%10.32%11.70%14.40%0.40.80.29.00%5.60%10.40%11.45%13.60%0.450.90.18.50%8.80%10.98%11.56%12.80%0.5108.00%12.00%12.00%12.00%12.00%

Portafolios de mnima varianzaSigma = -1Sigma = 0 Sigma = 0.30Sigma = 1Wd0.6250.730.820We0.3750.270.181E ( R p)9.88%9.35%8.90%13.00%Sigma P0.00%10.29%11.45%20.00%000.10.10.20.20.30.30.40.40.50.50.60.60.70.70.80.80.90.911

Grafico