Teoría de Conjunto

Concepto de conjunto

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en la matemática, incluso más que la operación de contar, pues se encuentra complicita o explicita en todas las ramas de la matemática pura y aplicada.

Los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas claras, precisas y para explicar conceptos abstractos

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo como una agrupación de cosas hecha con cualquier criterio, así podemos hablar de un conjunto personas, de ciudades, de lapiceros, o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.

Ejemplo de la representación grafica de un conjunto:

Para utilizar correctamente el sentido conjuntista, se emplean símbolos como (A U), que en este caso se leería: el conjunto A, pertenece al conjunto U, ó el conjunto U contiene al elemento A.

Esta simbología significa pertenece o pertenecer y esta simboliza no pertenece.

Al expresar un conjunto lo podemos hacer de varias formas como son por extensión y por comprensión. Cuando se nombran por extensión se nombran todos los elementos del conjunto, ejemplo: A = {1, 2, 3, 4}. Y cuando usamos la forma por compresión, un enunciado nos dice las cualidades de los elementos que forman el conjunto, ejemplo: B = {el conjunto B está formado por los días de la semana}.

Los elementos del conjunto se escriben en minúscula y los conjuntos en mayúscula.

Diagramas de Vernn:

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Vernn", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se

pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A B

1

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento , se verifique

Subconjuntos y súper-conjuntos:

Un conjunto se dice subconjunto de otro , si todo elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:

Sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .

Aquí tenemos otro ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3}

Los elementos del conjunto B, están todos incluidos en el conjunto A, por lo cual se puede decir que ambos conjuntos guardan una relación entre ellos, o sea, como el conjunto B está contenido en A, este se considera como un subconjunto con respecto al conjunto A; al conjunto A se le llama súper-conjunto con respecto al conjunto B, porque contiene todos los elementos de B y más.

Relaciones entre los Conjuntos:

La relación de conjuntos se representa a través de graficas llamadas diagramas de Vernn. Estos diagramas son figuras geométricas planas cerradas, el conjunto referencial o universal se representa generalmente por medio de un rectángulo y los demás por medio de círculos.

Entre las relaciones de conjuntos podemos citar a los conjuntos iguales, conjuntos comparables, conjuntos incomparables, conjuntos equipolentes, conjuntos disjuntos.

Conjuntos Iguales :

Tenemos un conjunto M = {2, 3, 4, 5} y otro N = {3, 2, 5, 4}, si observamos los elementos de ambos conjuntos, independientemente del orden en que aparecen podemos notar que ambos conjuntos tienen igual cantidad de elementos y los mismos elementos en cada conjunto; y cuando se cumple esta regla decimos que los conjuntos son iguales.

2

Conjuntos comparables:

Si tenemos los conjuntos A: "son los días de la semana" y B: "son los días de la semana que terminan en o", si los expresamos por extensión A = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado} y B = {domingo, sábado}, en este tipo de circunstancia podemos decir que estos conjuntos son comparables por los elementos que poseen en común.

Conjuntos Incomparables:

Si tenemos dos o más conjuntos y no poseen elementos en común, no se pueden comparar uno con el otro. Ejemplo:

C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {6, 7, 9}

Conjuntos Equipolentes:

Si tomamos a los conjuntos A y B, y decimos que A: "son los días de la semana" y que B: "son los elementos de una casa", de acuerdo a las características de las enumeraciones podemos compararlas y clasificarlas como equipolente, es decir:

A: "domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado" B: "sala, cocina, baño, habitaciones, comedor, galería"

Conjuntos Disjuntos:

Cinco personas que están debajo de una mata de mango, observan que en la mata solo tiene cinco mangos.

Inmediatamente piensan que a cada uno le corresponde un mango. Entonces decimos que la cinco personas son A: {Pedro, Juan, María, Isabel y Rosa} y B: {son los cinco mango}. Analizando este problema llegaremos a la conclusión de que los conjuntos son incomparables, por la carencia de elementos y estructura similar.

Los conjuntos incomparables pueden ser disjuntos, o sea, pueden no tener ningún elemento en común.

Clases de Conjuntos:

Los conjuntos se clasifican en universal o referencial, unitario, vacío, finito, infinito, familia de conjuntos y conjunto potencia.

Conjunto universal o referencial:

El conjunto referencial depende de la situación que se esté estudiando, se construye en forma convencional, este conjunto contiene los elementos de los conjuntos dados, es decir, cualquier conjunto respecto al conjunto referencial será

3

subconjunto de él. Podemos decir, que el conjunto referencial es el super-conjunto de todos los elementos dados.

Ejemplo:A: "son los números reales" B: {1, 2, 3, 4, 5}C: {9, 10, 11, 12, 13, 14}D: {5, 6, 7, 8, 9}

Conjunto Unitario:

Cuando se escribe un enunciado por compresión y resulta que el conjunto solo tiene un elemento, entonces el conjunto es unitario.

Ejemplos:A: "es el creador del universo"B: "es el presidente de la república dominicana"C: "es el satélite de la tierra"D: "descubrió América"

Conjunto Vacío:

Cuando se escribe un enunciado y no podemos nombrar sus elementos, entonces se clasifica como vacío.

Ejemplos:

A: "son los 14 continentes de la tierra"B: "todos los hombres mayores de 1000 años de edad"

Conjunto Finito e Infinito:

El conjunto finito es aquel al enumerar los elementos de dicho conjuntos se pueden mencionar todos y cada uno de sus elementos. El conjunto infinito es todo aquel conjunto del cual no se pueden enumerar todos los elementos de los que se compone.

Ejemplos:Finitos:

A: "son los días de la semana", es decir, A = (Domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado)

B: "son los meses del año", es decir, B = (enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre)

Infinitos:

A: "los números reales"B: "los metros que tiene el universo"

4

Familia de conjuntos:

Sabemos que los elementos de un conjunto se nombran con letras minúsculas, si es que son letras:

N = (a, e, i, o, u), ahora observamos lo siguiente:M = (A, B, C, D)

El conjunto M tiene como elementos letras, y como están en mayúsculas podemos decir que los elementos de M son también conjunto.

Cuando sucede esto podemos decir que se trata de familia de conjuntos.

A M, B M, C M, D M

Operaciones con conjuntos:

Unión, Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.

Sean y dos conjuntos.

Unión

Los elementos que pertenecen a o a o a ambos y , forman otro conjunto, llamado unión de y , escrito . Así pues, se tiene que:

.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

5

Entonces:

Intersección:

Los elementos comunes entre y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por :

.

Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dicen conjuntos disjuntos.

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

Diferencia:

Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por, :

6

.

Vemos que:

,

De manera que

. Pero también

,

De modo que

Diferencia simétrica:

Los elementos de dos conjuntos, A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:    

p p'1 00 1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p, q y sus tablas de verdad:

7

       Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son

verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q".

   

p Q P q1 1 11 0 00 1 00 0 0

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "p o q".

   

p q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas".

Se usa muy poco.    

p q p q1 1 01 0 10 1 10 0 0

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa.

Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".   

p q p q1 1 11 0 00 1 10 0 1

8

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p entonces q".    

p q p q1 1 11 0 00 1 00 0 1

Propiedades que pueden afectar a los Conjuntos:

PROPIEDADES UNION INTERSECCION1.- Idempotencia A A = A A A = A2.- Conmutativa A B = B A A B = B A3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )6.- Complementariedad A A' = U A A' =

9