teoría de error en mediciones industriales

El proceso de medicin siempre lleva implcito una indeterminacin, es decir siempre que medimos, por razones muy diversas y, en general, difciles de evitar, corremos el riesgo de no acertar con el valor exacto de la magnitud que queremos conocer. Unas veces esto es debido a la imperfeccin de nuestros instrumentos, o al diseo del proceso de medida, o a factores ambientales, etc. De manera que cuando expresamos el valor medido de una magnitud debemos siempre hacer una estimacin del grado de confianza con el que hemos realizado la medida. Metrologa Prof. Angel Custodio

Metrologa Prof. Angel Custodio

EN CIENCIAS E INGENIERA, EL CONCEPTO DE ERROR TIENE UN SIGNIFICADO DIFERENTE DEL USO HABITUAL DE ESTE TRMINO. COLOQUIALMENTE, ES USUAL EL EMPLEO DEL TRMINO ERROR COMO ANLOGO O EQUIVALENTE A EQUIVOCACIN. El error, como veremos en lo que sigue, est ms bien asociado al concepto de incerteza en la determinacin del resultado de una medicin. Ms precisamente, lo que procuramos en toda medicin es conocer las cotas (o lmites probabilsticos) de estas incertezas.Metrologa Prof. Angel Custodio


Grficamente, buscamos establecerun intervaloComo el de la Fig. 1.1, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el valor ms representativo de nuestra medicin y al semiancho x lo denominamos la incertidumbre absoluta o error absoluto de la medicin.Figura 1.1. Intervalo asociado al resultado de una medicin. Notamos que,en lugar de dar un nico nmero, definimos un intervalo. Al valor representativodel centro del intervalo ( x ) lo llamamos el mejor valor de la magnitud encuestin. El semiancho del intervalo ( x ) se denomina la incertidumbre absoluta o error absoluto de la medicin.Metrologa Prof. Angel Custodio


Correc.Estadist. -Valor medio-Desv. Tpica(De cotas)De erroresprobables-Error absoluto-Error relativoMetrologa Prof. Angel Custodio


El resultado de toda medicin siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medicin, as como tambin, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para tener una idea correcta de la magnitud con la que se est trabajando, es indispensable establecer los lmites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La TEORA DE ERRORES establece estos lmites.



Error humano: Descuido al hacer las medidas, forma inadecuada de hacerlas, etc. Ejemplos

1. Efectos de carga despreciados.2. Clculos errados. 4. Mala seleccin de escala.

Limitaciones de los aparatos: Pueden ser debidas a estar estropeados, mal calibrados o tener poca precisin. Ejemplos

Friccin de los rodamientos. Componentes no lineales. Equipo daado.

Influencias ajenas al experimento: Interferencias, variaciones de temperatura, etc. Ejemplos

1. Cambios de Temperatura. 2. Humedad. 3. Campos magnticos y elctricos externos.



Error sistemtico: Se originan por las imperfecciones de los mtodos de medicin. Por ejemplo, un reloj que atrasa o adelanta, en una regla dilatada, en el error de paralaje, balanza bien calibrada (exacta) que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios etc.

La nica manera de detectar y corregir errores sistemticos es comparando nuestras mediciones con otros mtodos alternativos y realizando un anlisis crtico y cuidadoso de los instrumentos y procedimientos empleados. Por esto es aconsejable intercalar en el proceso de medicin patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durante la medicin.



Dentro de los errores sistemticos existe otro tipo, error instrumental, que es muy fcil de determinar en los instrumentos de medida analgica, dicho error se estima de la siguiente forma,

Donde A es la apreciacin del instrumento y puede determinarse a partir de la diferencia de las lecturas de dos valores marcados en el instrumento y el nmero de divisiones que existen entre ellos de acuerdo a:

En algunos equipos volumtricos, ejemplo empleados en qumica, tales como: pipetas volumtricas, el error cometido en la lectura es especificado por el fabricante; los cuales oscilan entre un 0,5% del volumen ledo, en equipos de precisin y un 10% en equipos menos precisos.Para los equipos digitales el error instrumental se toma el error en la ltima cifra que aparece en la pantalla. As por ejemplo, si en la pantalla aparece 12,04 el error instrumental ser 0,01 y se debe reportar:

12,04 0,01.Metrologa Prof. Angel Custodio


Error aleatorio: Aparecen como fluctuaciones al azar en los valores de mediciones sucesivas. Estas variaciones aleatorias se deben a pequeos errores que escapan al control del observador.

Por ejemplo, si leemos varias veces la presin indicada por la escala de un barmetro, los valores fluctuarn alrededor de un valor medio. Estrictamente hablando, nunca podremos medir el valor verdadero de ninguna cantidad, sino slo una aproximacin.

El propsito del tratamiento de los datos experimentales es justamente determinar el valor ms probable de una cantidad medida y estimar su confiabilidad.



Figura a.Figura b.Metrologa Prof. Angel Custodio


Figura a.Figura b.En este caso, el experimento consiste en una serie de disparos hechos a un blanco de tiro. Aqu los errores aleatorios estn producidos por cualquier causa que haga que los proyectiles lleguen aleatoriamente a distintos puntos. Por ejemplo, puede ser que las condiciones atmosfricas entre el arma y el blanco distorsionen la visin del blanco en forma aleatoria. Los errores sistemticos ocurren cuando existe alguna causa por la cual los proyectiles impactan fuera del centro en una forma sistemtica. Podra ser, por ejemplo, que la mira del arma estuviese desviada. Metrologa Prof. Angel Custodio


Error esttico: Es la diferencia entre las seales de entrada y salida durante el perodo estacionario o permanente. Afecta a las seales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior a 0,01 Hz.

Error dinmico: Es la diferencia entre las seales de entrada y salida durante el perodo transitorio, es decir el tiempo que tarda la seal de respuesta en establecerse. Afecta a las seales rpidas, y es una consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energa. Dado que en la respuesta dinmica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de error dinmico transitorio y error dinmico estacionario. Para estudiar este tipo de respuesta se utilizan seales de prueba:

Impulso Escaln unitario Rampa unitaria Parablica Respuesta de un sistema ante una entrada escaln y el error as generado



Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una frmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir tres tipos de errores que se utilizan en los clculos:

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Error relativo. Es el cociente (la divisin) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (segn lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Error total referido a fondo escala: El error se calcula como el error absoluto dividido entre el fondo de la escala de la medida patrn. Error Fondo Escala = Error Absoluto / FE Si se quiere expresar de forma porcentual se multiplica por 100 %:



Representan el uso de una escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones.

El uso de stas considera que el ltimo dgito de aproximacin es incierto, por ejemplo, al determinar el volumen de un lquido con una probeta cuya precisin es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. As se puede decir que el volumen de 6ml ser realmente de 5,5 ml a 6,5 ml. El volumen anterior se representar entonces como (6,0 0,5)ml. En caso de determinar valores mas prximos se tendran que utilizar otros instrumentos de mayor precisin, por ejemplo, una probeta de divisiones ms finas y as obtener (6,0 0,1) ml algo ms satisfactorio segn la precisin requerida.



Redondear un nmero quiere decir reducir el nmero de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado es menos exacto, pero ms fcil de usar. Las reglas que se emplean en el redondeo de nmeros son las siguientes: Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin ms. Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la ltima cifra retenida. Si la cifra eliminada es 5, se toma como ltima cifra el nmero par ms prximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior. Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que est ms cerca del original que 3,67. En cambio si el nmero a redondear, tambin a tres cifras, fuera 3,673, quedara 3,67 que es ms prximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, segn la tercera regla, debemos dejar 3,68. Metrologa Prof. Angel Custodio


La medida o medicin diremos que es directa, cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene, as si deseamos medir la distancia de un punto X a un punto Y, y disponemos del instrumento que nos permite realizar la medicin, esta es directa.La estimacin del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximacin cul es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cmo se ha obtenido un error como su propio valor. Metrologa Prof. Angel Custodio


Supongamos que medimos una magnitud un nmero n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas sern en general diferentes.

El mtodo ms razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarn, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:



Adoptando un criterio pesimista, podra decirse que el error es la semi diferencia entre el valor mximo y el mnimo. Por ejemplo, en una serie de medidas de una magnitud que arrojen los resultados

Los valores mximo y mnimo son 2342 y 2389. La semi diferencia es 235. La media es 2366, con lo que si damos como resultado Todos los valores del conjunto de medidas estn en el intervalo. Este error es sin embargo excesivamente grande. Parece ms apropiado tomar como error la desviacin media, es decir, el valor medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Metrologa Prof. Angel Custodio


Desviacin Estndar: Es la desviacin cuadrtica media o RMS (Root Mean Square), y representa la medida perfecta de la dispersin de los datos. Esta forma es la ms usual de dar el error de una medida, y viene representada por .

Probabilidad de Error, distribucin Gausiana: La distribucin gaussiana representa la frecuencia con la que un error determinado se produce.Metrologa Prof. Angel Custodio


Uno de los tipos ms comunes e interesantes de experimento involucra la medicin de varios valores de dos diferentes variables fsicas a fines de investigar la relacin matemtica entre las dos variables. En muchos experimentos el ajuste de los datos a una funcin propuesta, tal como una lnea recta, es realizada en forma cualitativa, es decir, a ojo.

Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los parmetros que mejor representan a un conjunto de datos, y una de ellas es el ajuste por mnimos cuadradosv = v0 + gt.Metrologa Prof. Angel Custodio


y = A + Bx,Si las dos variables y y x estn relacionadas de esta manera, entonces un grfico debiera resultar en una lnea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no estn sujetas a incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi) caera exactamente sobre la lnea y = A + Bx. En la prctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la figura. Metrologa Prof. Angel Custodio


Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas.Encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x.Vayamos a la cuestin de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Supondremos que slo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta suposicin es frecuentemente muy razonable, porque es comn el caso en que las incertezas en una variable son muchos ms grandes que en la otra. Supondremos adems que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. Metrologa Prof. Angel Custodio


(Verdadero valor de yi) = A + B xi.dyi = yi (A + B xi).La desviacin de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces comoIntuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones individuales d yi. Esto significa que el valor de los parmetros A y B estar dado por las siguientes dos condiciones(/ A)[(dyi)2] = -2 (yi - A - B xi)2 = 0(/ B)[(dyi)2] = -2 xi (yi - A - B xi)2 =0 .La resolucin simultnea de estas ecuaciones resulta en las expresiones siguientes A = ( xi2 yi - xi xi yi )/ ,B = ( N xi yi - xi Syi )/ , = xi2 - ( xi )2 .Metrologa Prof. Angel Custodio


Como vemos, la aplicacin del criterio de minimizacin de la suma de los cuadrados de las desviaciones resulta en la obtencin de resultados objetivos para los parmetros A y B. Adems de que este criterio es intuitivamente razonable, se puede demostrar que si la medicin de cada yi est gobernada por una distribucin Gaussiana, entonces la mejor estimacin de los parmetros A y B es aquella que minimiza la suma (dyi)2. La desviacin estndard de la pendiente y la ordenada al origen se calculan en trminos de la desviacin estndard s y de la distribucin de valores de dyi alrededor de la mejor recta (en el sentido de los cuadrados mnimos). Esta desviacin estndard est dada pory = [(yi)2 / (N 2)]1/2.Usando esta expresin para la incerteza de los valores medidos yi , podemos usar propagacin de errores para escribir las incertezas en las cantidades A y BA = y ( xi2 / )1/2 B = y (N / )1/2.Metrologa Prof. Angel Custodio


De esta forma, la aplicacin del criterio de cuadrados mnimos nos ha permitido encontrar la mejor estimacin de los parmetros A y B, as como tambin su incerteza. Es fcil demostrar que si por alguna razn tenemos motivos para suponer que la mejor recta debe pasar por el origen de coordenadas, o sea que es de la forma y = Bx, entonces la mejor estimacin para la constante B esB = xi yi / xi2.La incerteza en B est dada en este caso porB = y / xi2 )1/2 = [(yi - Bxi)2 / (N 1)]1/2 / ( xi2)1/2.Metrologa Prof. Angel Custodio


Es considerada como una prueba no paramtrica que mide la discrepancia entre una distribucin observada y otra terica, indicando en qu medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar.

La frmula que da el estadstico es la siguiente:Oi = Valor observado en la i-simo dato.Ei = Valor esperado en la i-simo dato.K = Categoras o celdas.m = Parmetros estimados sobre la base de los datos de la muestraMetrologa Prof. Angel Custodio


Los parmetros que se obtienen por el mtodo de mnimos cuadrados son, evidentemente, inexactos porque se han determinado a partir de n datos y no de infinitas medidas. El clculo del error de estos parmetros es complicado cuando todos los nmeros xi e yi tienen error. Para simplificar adoptaremos un mtodo sencillo que nos permitir estimar la incertidumbre que podemos asignar a los parmetros a y b. Vemoslo con un ejemplo. Supongamos que hemos medido la distancia recorrida por un mvil en diferentes intervalos de tiempo. El mvil se mueve con velocidad constante. Los resultados con los errores son los siguientes: Metrologa Prof. Angel Custodio

t(s)2,04,06,08,010,012,0et(s)0,10,10,10,10,10,1S(m)1,21,92,84,34,96,1eS(m)0,10,10,10,10,10,1


Suponiendo que el tiempo es la variables independiente, la ecuacin de la recta de ajuste obtenida por el mtodo de mnimos cuadrados, calculada con el mtodo anterior es: S=0,5t+0,033 Expresada la distancia en metros y el tiempo en segundos. La velocidad del mvil es por tanto de 0,5 m/s. Para estimar el error de esta velocidad, determinaremos la velocidad para cada pareja de valores S,t por simple divisin. Podemos obtener el error de cada una de las velocidades aplicando la ecuacin Metrologa Prof. Angel Custodio


Sustituyendo para cada pareja de valores S y t resulta Metrologa Prof. Angel Custodio

t(s)2,04,06,08,010,012,0S(m)1,21,92,84,34,96,1v(m/s)0,600,480,470,540,490,51ev(m/s/0,080,040,040,030,020,01


A partir de los errores de estas velocidades cabe estimar el error con diferentes criterios, por ejemplo el error medio. Adoptaremos un criterio ms conservador y tomaremos como error el mayor de todos los calculados. En este caso se corresponde con el obtenido con la primera pareja de valores, es decir, 0,08 m/s. El resultado final ser por tanto v=0,50 0,08 m/s. El mtodo propuesto puede parecer un tanto artificial, aunque tiene la ventaja de ser sencillo. Es importante notar que la velocidad se calcula a partir del ajuste de los datos a una recta. Los clculos de velocidad parciales slo sirven para estimar el errorMetrologa Prof. Angel Custodio


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