teoria de incertidumbres

8/17/2019 Teoria de Incertidumbres

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TEORÍA DE INCERTIDUMBREPRESENTACIÓN DE RESULTAD

EXPERIMENTALES

Dr. rer. nat. Tommy Pozo Vila

2014


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ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICA

Clasificación:Errores sistemáticos defectos intrínsecos

Errores accidentales causas fortuitas,tratamiento estadístico

Valor verdadero

Valor verdadero


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CUALIDADES DE LOS APARATOS DE ME

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el

indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada;0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm – 1 en la regla milimetrada.100 A – 1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:

variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato(evidentemente es menor que la resolución)


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4

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE ME

FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultadosiempre que se mide la misma magnitud física en las mismascondiciones experimentales y distintas condiciones ambientales delaparato (temperatura, tensión de alimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el errordebido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo deescala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.


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5

De todas estas características, la PRECISIÓN es la que máscompletamente indica el error de la medida debido intrínsicamente alaparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con unaparato más preciso

Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, peroque pueden corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos paraque den medidas correctas o corrigiendo sus escalas tras unaconfrontación con un patrón o un aparato más preciso. Debido a estacircunstancia, es necesario definir otra cualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato que indica que es preciso yestá bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas,pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.

PRECISIÓN y EXACTITUD


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PRECISIÓN vs EXACTITUD


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MEDIDA E INCERTIDUMBREToda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas quellamamos medidas.

A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que setraducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbreasociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la

calidad del mismo .

Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades

¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nosindica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!


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FUENTES DE INCERTIDUMBRE

Errores de calibración.Condiciones experimentales no apropiadas.Lectura sesgada de los instrumentos.Resolución finita del instrumento de medida.Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en elprocedimiento de medida.Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidasEtc.


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11

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

2

2

2exp

21 x x

y

68.27%

2 95.45%

3 99.73%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

N

x x N

ii

1

2)(


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12

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x

= 0.5

= 1.0

68.27%

Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación delvalor verdadero es la media aritmética


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ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1

n

i

i

x

x n

Elvalor medio como resultado de la medida:

La desviación típica del valor medio comoincertidumbre típica tipo A :

Cuando el número de medidas es pequeño(inferior a 10):

A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xNse toma:

)1(

)()( 1

2

nn

x x xu

n

ii

A

6)( mínmáx A x x xu


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RESOLUCIÓN X DEL APARATO DE MEDIDA

T=0,1 ºC

V=1 V

Aparatos digitales:se toma como resolución una unidad del último dígito delectura.

Aparatos analógicos:se toma como resolución del instrumento la menorunidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones).


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INCERTIDUMBRE RELATIVA

Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de lamedida

Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplosi x=12 cm y u(x)=4 cm, entoncesur= 4/12=0,33=33% . No tiene unidades.Da información sobre la bondad de la medida.

x xu

u r )(


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EJEMPLOS

CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces conun termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC

Valor medio: T =64,6ºCIncertidumbre:

uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC

uB(T)=1 ºC

u(T)=

= 1,5620499 ºC

Resultado: T = (64,6 1,6) ºC; ur=2,5%


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¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESODEL INSTRUMENTO

CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con unaregla graduada en milímetros y obtenemos:

x1 = 6.5 cm, x2 = 6.5 cm, x3 = 6.5 cm

uB(x)=0,1 cºm

Resultado: x = (6.5 0.1) cm, ur=1,5%


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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

¿Qué tienen de extraño estas frases?:

La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente65 millones de años y 3 días.

Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27segundos.

El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12

días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.


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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS.El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene

determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar comoresultado:x=(1,2732345678534 ± 0,035) m

Y tampoco tiene sentido:

L=(2,1389639 ± 0,18653617) m

Norma:• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden

inferior a la incertidumbre

Resultados correctos: x=(1,273 ± 0,035) mL=(2,14 ± 0,19) m


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PRESENTACIÓN DE RESULTADOS: REDO

La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada

es mayor que 5.− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor

que 5− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las

siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada seaumenta en una unidad.

− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son0, la última cifra conservada no cambia si es par o seaumenta en una unidad si es impar (redondeo al par).


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ALGUNAS OBSERVACIONES...

En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se puedensuprimir:

2 0,21 cm INCORRECTO2,00 0,21 cm CORRECTO

Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notacióncientífica, esto es, en potencias de 10:

(18000 3000) Pa = (18,0 3,0) 10 3 Pa

(0,00256 0,00017) N = (2,56 0,17) 10 -3 N


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EJEMPLOS

4,81343 0,04661132,2894 2,8754

5127 234

0,53781 0,00996

50353 2550

2,3487 0,345

1091,32 84,55

5130 230 ; u r = 4,5 %

132,3 2,9 ; ur = 2,2 %

50400 2600 ; ur = 5,2 %

2,35 0,34 ; ur = 0,14 %

1091 85 ; ur = 7,8 %

0.5378 0.0100 ; ur = 1.8 %

4,813 0,047 ; ur = 0,98 %


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INCERTIDUMBRE TÍPICA COMBINADMEDIDAS INDIRECTAS

Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A quese calculan a partir de los valores x y z de otras magnitudesmediante una fórmula: A=f (x y z )

En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dadapor la fórmula de propagación de la incertidumbre:

222

)()()()( z u z f

yu y f

xu x f

Auc

EJEMPLO CÁLCULO DE INCERTIDUMBR


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EJEMPLO: CÁLCULO DE INCERTIDUMBRCOMBINADA

b

a c

a = 10,00 0,10 cmb = 25,0 2,0 cmc = 15,0 1,5 cm

Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con

unas reglas obteniéndose los siguientes valores:V = a·b·c = 3750 cm3

Resultado: V = (3750 480) cm3

Incertidumbre combinada:

uc(V)=481,6962217 cm 3

5,37)()( aucbauaV

300)()( bucabubV

375)()( cubacucV

222

)()()()( cucV bu

bV au

aV V uc


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EJEMPLO

834

234

34 333 D

m D

m Rm

36 D

m

26

D: Diámetro m : masa

El diámetroD se mide con un calibre cuyaresolución es: 0,01 cm

La masa m se mide con una balanza cuyaresolución es: 0,1 g

Dm

La expresión a utilizar será:

Medición de la densidad de una bola de acero


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EJEMPLO

Medida nº 1 2 3 4 5 6

D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43

cm 415,2

6

43,240,244,239,245,238,2 D D

n

X

X x

n

k

k i

ii 1

,

27

Cálculo de D :



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EJEMPLO

ii x xu )(

Medida nº 1 2 3 4 5 6

D (cm) 2,38 2,45 2,39 2,44 2,40 2,43

cm 01,0)( Du B

22 )()()( i Bi Ai xu xu xu

28


6)( min,máx, iii X X xu

Cálculo de incertidumbre típica de D :

0116666,06

38,245,2)( Du A

01536591,001,001166667,0)()()( 2222 Du Du Du B A


29/82

EJEMPLO

29


Resultado de D:

01536591,0415,2 D cm )015,0415,2( D

Resultado truncado y redondeado


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En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de habersido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, laincertidumbre será igual a la resolución del instrumento:

EJEMPLO

g 7,57m

30


Se realiza una única medida de m, obteniéndose:

Cálculo de incertidumbre típica dem :

g 1,0)(mu

1,07,57m g )1,07,57(mResultado truncado y redondeado

Resultado de m :


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EJEMPLO

36 Dm3415,2

700,576 3g/cm 82394494,7

31

Cálculo de :

g )1,07,57(mcm )015,0415,2( D



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EJEMPLO

N

ii

i N

N c xu x

f xu

x f

xu x f

xu x f

yu1

2

222

22

2

11

)()(...)()()(

3g/cm 14641703,0)(cu

22

)()()( mum Du Duc

0212541,0015,0415,2

7,5718)(

18)(

2

4

2

4

2

Du D

m Du

D

32

Cálculo de incertidumbre típica combinada de :

0212541,010838654,1)( 4cu


3

6

D

m

42

3

2

3

2

10838654,11,0415,2

6)(

6)( mu

Dmu

m


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EJEMPLO

3g/cm 82394494,7 3g/cm 14641703,0)(cu

3g/cm 0,15) 82,7(

33

Resultado final :


Resul tado t runc ado y redond eado


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Errores

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Eje de abcisas(v. independiente)

Eje deordenadas

(v. dependiente)

Identificaciónde los ejes

Escalasencilla

I (mA)1 2 3 4 5 6 7 8

V ( 102 mV)

12

13

14

15

16

17

El origen no tieneporqué ser el (0,0)

¡Nunca!

Puntos distribuidospor toda la gráfica

Línea de

ajuste


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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

M(g) y(cm)

100 0.6

200 0.9

400 2.2

600 3.0

800 4.1

1000 4.85 0

1

2

3

4

5

6

0 200 400 600 800 1000 1200

M (g)

x ( c m

)

Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para unresorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle ymedimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0 , luego y=g/k Mpor loque esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta

Los puntos no estánperfectamente

alineados como cabríaesperar debido a loserrores accidentales e

instrumentales delexperimento.

El método de Ajuste por MínimosCuadrados permite encontrar la rectaque ajusta mejor a todos los puntosexperimentales


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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOSLa recta que buscamos es: y = m·x + b.

m Pendienteb Ordenada en el origen

Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x 1, y1), (x2, y2) …(x n,yn)

2

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

x xn

y x y xnm

n

xm yb

n

ii

n

ii

11

n

ii

n

iii

c

x xn

bmx ymu

1

2

1

2

2)(

n

iicc xmubu

1

2)()(


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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

2

11

22

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

y yn x xn

y x y xn

r

Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.

Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo debueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).

¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si | r | > 0,9 !

Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997


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EN NUESTRO EJEMPLO:

4.851000

4.1800

3.0600

2.2400

0.92000.6100

yixi

4.851000

4.1800

3.0600

2.2400

0.92000.6100

yixi

Resultado final:m = 0,0049 0,0005 cm/g

b = 0,09 ± 0,80 cm

r = 0,997

m = 0,0048726027 cm/g; uc (m)=0,0005401 cm/g

b = 0,0908219 cm; uc (b)=0,8029164 cm

r = 0,99728

Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud deinterés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle . En efecto, según lateoría

g y x k

Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero


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2

2

082,2002040049.0

981

s g

g cm s

cm

m g k k g m

k = (20,0 2,0) 104 g/s2; ur = 10 %

Por lo tanto


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ERROR DE CERO


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41

El error más típico que afecta a laexactitud de los aparatos es el “error decero”. Causado por un defecto de ajustedel aparato, este da una lectura distintade cero cuando lo que mide vale cero.

Es fácilmente corregible reajustando elaparato o corrigiendo numéricamentelas lecturas en la cantidad en quedifieren el cero real y el de la escala.

7 mV

ERROR DE CERO

CIFRAS SIGNIFICATIVAS


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42

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

El número de cifras significativas de unamedida es el número de dígitos fiables quedicha medida contiene.Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrerUN MILLÓN de kilómetros...

s c x t 3333333333.3

10310

56 ?

CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)


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43


Los ceros a la izquierda no son significativos,indican la colocación del punto decimal; así,

0.000345 tiene TRES cifras significativas.Los ceros a la derecha y después del puntodecimal si son significativos; como ejemplo,

3.4120 tiene CINCO cifras significativas.



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44


En números enteros terminados en ceros,éstos pueden ser significativos o no; debedistinguirse si sólo sirven para localizar elpunto decimal o son parte de la medida:

3·102 kg UNA cifra significativa3.0·102 kg DOS cifras significativas3.00·102 kg TRES cifras significativas

El resultado de un cálculo no puede ser másexacto que la cantidad menos exacta que

interviene en el mismo.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS


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45


N

i

i x

N

x x

N

x 1

211

...)(1

Error del aparato Serie de medidas: Errorcuadrático medio

)1(

)(1

2

N N

x x x

N

i i

N x

Resolución

Cuando sólo se presentan errores accidentales el mejorvalor representativo del valor verdadero es el valor medio



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46


Error absoluto:sensibilidad Error relativo:precisión

Determinación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidad con el errorcuadrático medio. Se toma la mayor de ambas cantidades. Seexpresa con una sola cifra significativa, salvo si esta es 1, encuyo caso se admiten dos cifras significativas.

x x x

Determinación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.


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47

EJEMPLO 1: MEDIDA DE UNA LONGITUD

Sensibilidad:

Error cuadrático medio:

101.0 mm101622777.3 2L

mm107610149.4 2L

Valor aceptado: mm)05.064.635(LL

Media aritmética:

mm6400.635L

L (mm)635.7 635.9

635.8 635.5

635.5 635.4

635.6 635.7635.6 635.7

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS


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48

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Magnitud x que se determina a través dela medida de otras con las que mantieneuna relación funcional

),...,( 21 N x x x x x Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

... N N

x x x

x x x

x x x

x


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49

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTA

La ley de propagación de Gauss nos da el valormedio del error absoluto de la magnitud medida

en forma indirecta

El error máximo cometido se puede determinar

sumando los valores absolutos de los erroresindividuales

EJEMPLO 2 VALOR PROMEDIO DEL ERR


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50

EJEMPLO 2. VALOR PROMEDIO DEL ERR

Determinación de la focal de unalente por el método de Bessel.

Ld L

f 4

'22

d

Imagen

Posición1

Posición2

L

Objeto

EJEMPLO 2 (CONT )


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51

EJEMPLO 2 (CONT.)

22

2

222

2441''

' d Ld

LL

d d

d f

LLf

f

L

d Lf

4'

22

L (cm) d (cm) f’ (cm) f’ (cm)100 79.0 9.40 0.1190.0 68.9 9.31 0.1180.0 58.7 9.23 0.11

70.0 47.7 9.37 0.1060.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.0850.0 25.1 9.35 0.0845.0 18.2 9.41 0.07

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)


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52

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)

Si supusiéramos que cada variable xi es laúnica que influye en el error

i i

i i x x

x x x

x x

2

El error máximo en la medida indirecta será la suma de los términos deerror individual

N N

M áximo x x x

x x x

x x x

x ...22

11

CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOS


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53

CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOSLa función consta exclusivamente de

productos y/o cocientes n N

b a x x x x ...21Derivadas parciales

11 x x

a x x

22 x x

b x x

N N x x

n x x

Error máximo (expresado como error relativo)

N

N

x x

n x x

b x x

a x x ...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 1 PRODUCTOS


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54

CASO PARTICULAR 1: PRODUCTOS

Fórmula de los logaritmos neperianos

N x Ln n x Ln b x Ln a x Ln ...21

N

N

x dx

n x

dx b

x dx

a x

dx ...2

2

1

1

N

N

x x

n x x

b x x

a x x ...

2

2

1

1

EJEMPLO 3 ERROR EN AUMENTO LATE


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55

EJEMPLO 3. ERROR EN AUMENTO LATE

Formación de imagen real por lente convergente

y

y’

Objeto: y = 16±1 mmImagen: y’ = -12±1 mm

75.01612'

y y

m

15.01458.00625.00833.016

1

12

1

'

'

y

y

y

y

m

m

11.015.075.0m 11.075.0m

CASO PARTICULAR 2: ERROR EN LA MEDIA


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56


Cálculo del error en la media empleando la leyde propagación de Gauss.Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de unamagnitud, cada una afectada de un error individual x1, x2,... xN), como medidas directas a partir de las cuales se

obtendrá la media como medida indirecta, siendo la relaciónfuncional entre ellas

N

i i x N

x 1

1



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57


Propagación de Gauss: valor medio del error22

2

2

11

...11

N x

N

x

N

x

N

x

222

21 ...

1N x x x N

N x

N x x x

N RM S N

222

21 ...1

x RMS Root Mean Square



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58


Propagación de Gauss: valor máximo del error

N N

x x x

x x x

x x x

x ...22

11

máx

N x x x N

...1

21

Error máximo: igual al promedio de los errores

EJEMPLO 4 ERROR EN MEDIDA INDIRECT


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59

EJEMPLO 4. ERROR EN MEDIDA INDIRECT

Determinación de la distanciab entre surcos consecutivos de una red de

difracción. Los diversos valores deb e b se han calculado en nm usandocomo fuente luminosa un láser He-Ne.

Media b = 3380 nmMedia b = 28.3 nm

bRMS = 29.2 nmN = 6

b=29.2/ 6=12 nm(valor medio delerror)

bmax =28.3 30 nm(error máximo)

3370 20

3370 203370 303390 303390 303390 40

b b

3380 12 nm

3380 30 nm

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS


60/82

60

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

x

y

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS


61/82

61

0mS 0

bS

N

i i

N

i i y x b aN

11

( x i ,y i )

y = b+mx y i -b-m x i

N

iii mxb yS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar S

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS(Ajuste lineal)

N

i i i

N

i i

N

i i y x x b x a

11

2

1

MÍNIMOS CUADRADOS (AJUSTE LINEAL DEN PUNTOS)


62/82

62

( )

22

x N x

xy N y xm

22

2

x N x

x y xy xb

N x

x N y

y222

x y m

22

2

x x N

N m 22

22

x x N

xb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

2222 11 y N

y x N

x

N y x

xyr

MÍNIMOS CUADRADOS (EJEMPLO)


63/82

63

MÍNIMOS CUADRADOS (EJEMPLO)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60

x

y

x x y y

50 2 10 2

40 2 21 2

30 2 31 2

20 2 43 2

10 2 54 2

09.010.1m

365b

99967.0r

bmx y

x x y y xy x^2 y^2

150 10 159 10 3670 5500 6267

x x y y xy x^2 y^2

50 2 10 2 500 2500 100

40 2 21 2 840 1600 441

30 2 31 2 930 900 961

20 2 43 2 860 400 1849

10 2 54 2 540 100 2916

EJEMPLO 6: ÍNDICE DE REFRACCIÓN


64/82

64

EJEMPLO 6: ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Medida del índice de refracciónde una lámina de vidrio

i

r

n

sen i = n sen r

Índice de refracción: medidas (2)


65/82

65

i i r r

25 1 15 1 30 1 20 1

35 1 21 1

40 1 24 1

45 1 27 1

50 1 29 1

55 1 30 1

60 1 32 1

65 1 33 1

70 1 36 1

bmx y

x x y y

sen r sen r sen i sen i

1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158

2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151

3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143

4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134

5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123

6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112 7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100

8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087

9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074

10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060

Medidas en grados sexagesimales

( )

r ni sinsin

iiii ii cossinsin

09.069.1m

04.004.0b

99301.0r

r r r r

r r cos

sinsin

Índice de refracción: gráfica (3)


66/82

66

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

sen r

s e n

i

09.069.1m

04.004.0b

99301.0r

Índice de refracción: gráfica (3)

Índice de refracción


67/82

67

AJUSTE DE CURVAS

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORLINEAL


68/82

68

LINEALCASO 1. EXPONENCIALES

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t (s)

V (volts)

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

/0

t eV V

V)004.0008.5(0V s)2.05.251(

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t

eV V /0

Descarga de un condensador



69/82

69

LINEALCASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos

11a

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

t (s)

ln (V/V 0 )

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

t V V )/ln( 0

t aa y 10

)002.0015.0(0a1-

1 s)000004.0003930.0(a



70/82

70

LINEAL

s

s’

s s

f 1

'1

'1

f ’

s f

s 1

'1

'1

Ecuación de las lentes: forma de Gauss

CASO 2. FUNCIONES INVERSASFocal de una lente

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FOR


71/82

71

s (cm) s’ (cm) 1/s (cm -1) 1/s’ (cm -1)97.50 67.65 0.010256 0.014782

106.00 63.95 0.0094340 0.015637

113.50 61.50 0.0088106 0.016260

120.30 59.70 0.0083126 0.016750

126.80 58.20 0.0078864 0.017182

(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)

LINEALFocal de una lente: tabla de valores

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FOR


72/82

72

1.45 10 -2

1.50 10 -2

1.55 10 -2

1.60 10 -2

1.65 10-2

1.70 10 -2

1.75 10 -2

7.50 10 -3 8.00 10 -3 8.50 10 -3 9.00 10 -3 9.50 10 -3 1.00 10 -2 1.05 10 -21/s

12 cm10003.0510.2'

1f

a

004.0004.1b

99998.0r

s b a

s 1

'1

DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN

LINEAL

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORM


73/82

73

LINEAL

cm84.39

10510.2

11' 2

a f

cm05.010510.2

10003.01' 2

2

2

2 a a

f


74/82

74

OTROS EJEMPLOS

AJUSTES DE FUNCIONES SENOIDA


75/82

LEY DE MALUS (2) (º) I (lux)


76/82

76

0 161

10 125

20 87

30 54

40 28

45 17

50 10

55 6

60 4

65 7

70 1475 22

80 33

90 63

100 94

110 130

120 158

130 190140 207

150 214

160 205

170 179

180 147

( ) I (lux)

0

50

100

150

200

250

0 40 80 120 160

I = m1 + m2 cos2( +m3)

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux

m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924


77/82


78/82

DIFRACCIÓN POR UNA RENDIJA (3)


79/82

79

d (mm) dc (mm) Intensidad0 -11.75 0.31 -10.75 0.72 -9.75 2.33 -8.75 5.44 -7.75 10.15 -6.75 16.26 -5.75 23.0

7 -4.75 29.98 -3.75 36.39 -2.75 41.7

10 -1.75 45.711 -0.75 47.912 0.25 48.613 1.25 47.314 2.25 44.315 3.25 39.716 4.25 33.817 5.25 27.118 6.25 20.119 7.25 13.520 8.25 7.921 9.25 3.822 10.25 1.423 11.25 0.324 12.25 0.2

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

I n t e n s i

d a d ( u n

i d a d e s a r

b i t r a r i a s )

distancia (mm)

d

= 1 1

. 7 5 m m

0

Figura E-1: Localizacion grafica del centro de la figura de difraccionLocalización gráfica del centro de la figura dedifracción



80/82

80

( )

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0

I n

t e n s

i d a

d (

u n

i d a

d e s

a r

b i t r a r

i a s

)

distancia corregida (mm)

)(20 mx sinc I I 2.03.490I 1)0013.02545.0( mm m



81/82

81

D a m 2 mm D m a 0513.01000108.6322545.02

6

)(2

0 mx sinc I I 2.03.490I

1)0013.02545.0( mm m

nm )1.08.632( mm D )101000(

D m mD m D a maxim o 1

)2(

mm 0008.010108.6232545.0101.010002545.00013.01000108.6321 666

mm a )0008.00513.0(2

99955.0r

BIBLIOGRAFÍA


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W. H. Press y otros, Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing , CambrigdeUniversity Press, Cambrigde 1986

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teoria de incertidumbres

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