teoria de la función implicita (matematica economica)
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7/21/2019 Teoria de la Funcin Implicita (Matematica Economica)
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Funciones implcitas
Una funcin de la forma y= f(x), se denomina funcin explcita,dado que y se expresa explcitamente como una funcin de x.
Si la expresin hubiese sido F(y, x) =0, directamente no se puede
observar una funcin explcita. Ms an, en general, la funcinimplicada y=f(x), cuya forma espcica no siempre es posibleconcerse, se denomina funcin implcita.
En trminos generales, una ecuacin F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0, podradenir una funcin implcita y=f(x1 , ..., xm ). Para que ello ocurra sedeben satisfacer las condiciones del Teorema de la Funcin Implcita.
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Funciones implcitas
Theorem (Teorema de la Funcin Implcita)
Dado F(y, x1, x2 ..., xm ) =0, si
1 la funcin F tiene derivadas parciales continuas Fy, F1,..., Fm ; y
2 en un punto(y0, x10 , ..., xm0 ) que satisface F, Fy6=0;
entonces existe una vecindad N que resulta m-dimensional alrededor de(x10 , ..., xm0 ), en la cual y es una funcin denida implcitamente de lasvariables x1 , ..., xm en la forma y=f(x1 , ..., xm ).
Esta funcin implcita satisface y0 =f(x10 , ..., xm0 ), y asimismo,satisface la ecuacin F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0 para cada m-tupla(x1 , x2 ..., xm ) en la vecindad N, convirtindola en una identidad.
La funcin implcita fes continua y tiene derivadas parcialescontinuas f1 , ..., fm .
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Funciones implcitas
Example
Sea la ecuacinF(y, x) =x2 +y2 9=0
Se observa que Fy =2y y Fx =2x son continuas. Luego, Fyno es ceroexcepto cuando y=0, es decir excepto en los puntos (3, 0)y(3, 0). Portanto, alrededor de cualquier punto que satisface la ecuacin, excepto en(3, 0) y(3, 0), se puede construir una vecindad en la que se dene unafuncin implcita y=f(x).
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Funciones implcitas
Algunas precisiones
Las condiciones citadas en el teorema son de la naturaleza decondiciones sucientes (pero no necesarias), por lo que si Fy =0 en
un punto que satisface F(y, x1 , x2 ..., xm ) =0, no se puede usar elteorema para negar la existencia de una funcin implcita alrededor deese punto.
El teorema no indica la forma especca que tendr la funcinimplcita f, y tampoco indica el tamao exacto que tendr la
vecindad en la cual est denida.
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Derivadas de funciones implcitas
Si de la ecuacin F(y, x1 , x2..., xm ) =0 es posible despejar y,
podemos escribir la funcin y=f(x1 , ..., xm ) en forma explcita yhallar sus derivadas por los mtodos conocidos.
Si y=f(x1 , ..., xm ) no se puede resolver en forma explcita, peroexiste en virtud de la aplicacin del teorema, entonces es posible
obtener las derivadas deseadas.Se utiliza la regla de la funcin implicita, la cual depende de lossiguientes hechos bsicos
1 Si dos expresiones son idnticamente iguales, sus respectivasdiferenciales totales deber ser iguales.
2 La diferenciacin de una expresin que tiene que ver con y, x1 , x2 ..., xmproducir una expresin en la que intervienen las diferencialesdy, dx1 , dx2 ..., dxm .
3 La diferencial de y, dy, se puede sustituir, as que no importa el hechode que yno sea explcita.
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Derivadas de funciones implcitas
Sea F(y, x1 , ..., xm ) =0, la cual dene una funcin implcita, entonces
dF = 0Fydy+F1dx1+ ...+Fm dxm = 0
Puesto que la funcin implcita y=f(x1 , ..., xm ), tiene la diferencial total
dy=f1dx1+ ...+fm dxm
Podemos sustituirla en la diferencial hallada inicialmente, para obtener
(Fyf1+F1)dx1+ ...+ (Fyfm+Fm )dxm =0
Dado, que todas las dxi son independientes entre si, cada expresin entreparntesis debe anularse, por lo que
fi y
xi=
Fi
Fy(i=1, 2, ..., m)
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Derivadas de funciones implcitas
Examples
1 Sea F(y, x) y 3x4 =0
dy
dx =
Fx
Fy=
12x3
1 =12x3
2 Sea F(y, x)x2 +y2 9=0
dy
dx =
Fx
Fy=
2x
2y =
x
y
3 Sea F(y, x, w)y3x2 +w3 +yxw 3=0
y
x =
Fx
Fy=
2y3x+yw
3y2x2 +xw
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Derivadas de funciones implcitas
Example
Sea F(Q, K, L) =0, la cual dene implcitamente una funcin deproduccin Q=f(K, L), entonces
PmgK QK =FK
FQ
PmgL Q
L =
FL
FQ
KL
=FL
FK
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Derivadas de funciones implcitas
Extensin al caso de ecuaciones simultneas
El teorema de la funcin implcita posee una versin ms general que tratacon las condiciones en las que un conjunto de ecuaciones simultneas
F1(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0F2(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0
.
..Fn (y1 , ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0
dene con toda seguridad un conjunto de funciones implcitas
y1 =f1
(x1 , ..., xm )y2 =f2 (x1 , ..., xm )...
yn =fn (x1 , ..., xm )
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Derivadas de funciones implcitas
Theorem (Teorema Generalizado de la Funcin Implcita)
Dado un sistema de ecuaciones
F1(y1, ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0...
Fn (y1 , ..., yn ; x1 , ..., xm ) =0
Si
1 todas las funciones F1 , ..., Fn tienen derivadas parciales continuas
respecto a todas las variables y y x; y
2
en un punto(y10 , ..., yn0 ; x10 , ..., xm0 ) que satisface el sistema, elsiguiente jacobiano no es cero
jJj
(F1,...,Fn )(y1,...,yn )
F1
y1F1
y2 F
1
yn...
......
Fn
y1
Fn
y2
Fn
yn
6=0
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Derivadas de funciones implcitas
Theorem (Teorema Generalizado de la Funcin Implcita (cont.))
Entonces, existe una vecindad m-dimensional de(x10 , ..., xm0 ), N, en lacual las variables y1 , ..., yn son funciones implcitas de las variables
x1, ..., xm en la formay1 =f1 (x1 , ..., xm )
...
yn =fn (x1 , ..., xm )
Estas funciones satisfacen
y10 =f1 (x10 , ..., xm0 )
.
..yn0 =f
n (x10 , ..., xm0 )
y cumplen el sistema inicial para toda m-tupla (x1 , ..., xm ) en la vecindadN; conformando un conjunto de identidades. Las funciones f1 , ..., fn son
continuas y tienen derivadas parciales continuasrespectoalas x.() 11 / 31
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Derivadas de funciones implcitas
Sean F1
, ..., Fn
las ecuaciones de un sistema que dene a las funcionesimplcitas f1 , ..., fn, entonces
dFj =0 (j=1, ..., n)
F1
y1dy1+ F
1
y2dy2+ + F
1
yndyn =
F
1
x1dx1+ + F
1
xmdxm
F2
y1dy1+
F2
y2dy2+ +
F2
yndyn =
F2
x1dx1+ +
F2
xmdxm
...
Fn
y1dy1+
Fn
y2dy2+ +
Fn
yndyn =
Fn
x1dx1+ +
Fn
xmdxm
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Derivadas de funciones implcitas
Adems, a partir de las funciones implcitas f1 , ..., fn se puede escribir lasdiferenciales de las variables yj como
dy1 =y1x1
dx1+y1x2
dx2+ + y1xm
dxm
dy2 = y2x1
dx1+ y2x2
dx2+ + y2xm
dxm
...
dyn = ynx1
dx1+ynx2
dx2+ + ynxm
dxm
y se pueden reemplazar en el sistema anterior derivado del clculo dediferenciales.
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Derivadas de funciones implcitas
Analizando el caso cuando slo cambia x1, entonces dx1 6=0 ydx2 = =dxm =0 en las expresiones previas permitirn obtener elsiguiente sistema de ecuaciones
F1
y1y1x1
+
F1
y2y2x1
+ +
F1
ynynx1
=
F1
x1F2
y1
y1x1
+F2
y2
y2x1
+ +
F2
yn
ynx1
=
F2
x1...
Fn
y1
y1x1
+ F
n
y2
y2x1
+ + F
n
yn
ynx1
=F
n
x1
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Derivadas de funciones implcitas
El cual puede expresarse como
2666666664
F1
y1
F1
y2
F1
ynF2
y1
F2
y2
F2
yn...
...
...
Fn
y1
Fn
y2
Fn
yn
3777777775
26666666664
y1x1
y2x1
...
ynx1
37777777775
=
2666666664
F1
x1
F2
x1...
Fn
x1
3777777775
y puede resolverse mediante la regla de Cramer, cuya solucin puede
expresarse de la siguiente formayix1
=
jJij
jJj (j=1, 2, ..., n)
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Derivadas de funciones implcitas
Example
Las siguientes 3 ecuaciones
xy w = 0 F1(x, y, w; z) =0
y w3 3z = 0 F2(x, y, w; z) =0
w3 +z3 2zw = 0 F3(x, y, w; z) =0
se cumplen en el punto P :(x, y, w; z) = ( 14 , 4, 1, 1). Las funciones Fi
poseen derivadas continuas. As, si el jacobiano jJj es no cero en el puntoP, se puede usar el teorema de la funcin implcita para hallar dx/dz.Tomando la diferencial total del sistema
ydx+xdy dw = 0
dy 3w2dw = 3dz
(3w2 2z)dw = (2w 3z2)dz
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Derivadas de funciones implcitas
Example (cont.)Dividiendo entre dzy expresando en forma matricial
24y x 10 1
3w2
0 0 (3w2 2z)35264
dxdz dydz
dwdz
375 = 2403
(2w 3z2)35
En el punto Pel determinante jacobiano
jJj=
F1x
F1y
F1w
F2x F2y F
2w
F3x F3y F
3w
= y x 10 1 3w20 0 (3w2 2z)
=y(3w2 2z) =46=0
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Derivadas de funciones implcitas
Example (cont.)
Usando la regla de Cramer para hallar dx/dz, se obtiene
dx
dz =
0 x 13 1 3w2
(2w 3z2) 0 (3w2 2z)
jJj
=
0 14 13 1 31 0 1
4
=1
4
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Derivadas de funciones implcitas
Example
Sea el modelo de ingreso nacional
Y C I0 G0 = 0
C(Y T) = 0
TY = 0
Si se toma a las variables endgenas (Y, C, T) como (y1 , y2 , y3), y lasvariables exgenas y parmetros (I0 , G0, ,, , ) como(x1 , x2 , x3 , x4, x5 , x6) entonces el lado izquierdo de cada ecuacin puedeconsiderarse de la forma Fj(Y, C, T; I0 , G0 , ,, , ).
Evaluando el jacobiano
jJj=
F1
YF1
CF1
TF2
YF2
CF2
TF3
Y
F3
C
F3
T
=
1 1 0 1 0 1
=1 +6=0
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D i d d f i i l it
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Derivadas de funciones implcitas
Example (cont.)
Entonces se puede tomar Y, C, y Tcomo funciones implcitas de(I0 , G0 , ,, , ) alrededor de cualquier punto que cumple el sistemainicial y en el punto mismo.Pero un punto que cumple el sistema es una solucin de equilibrio, por lo
que dado el teorema de la funcin implcita se puede establecer
Y = f1 (I0 , G0 , ,, , )
C = f2 (I0 , G0 , ,, , )
T = f3 (I0 , G0 , ,, , )
En ese sentido, las derivadas parciales de las funciones implcitas, comoY/I0 y Y
/G0 son de la naturaleza de las derivadas estticascomparativas.
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D i d d f i i l it
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Derivadas de funciones implcitas
Example (cont.)Dado ello, se puede obtener Y/G0 de la siguiente forma
264F1
YF1
CF1
TF2
YF2
CF2
TF3
YF3
CF3
T
37526664 Y
G0 CG0
T
G0
37775 = 264 F
1
G0
F2
G0
F3
G0
375
24 1 1 0 1 0 1
3526664 Y
G0 CG0
T
G0
37775 = 241
00
35
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Derivadas de funciones implcitas
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Derivadas de funciones implcitas
Example (cont.)
Finalmente, mediante la regla de Cramer
Y
G0=
1 1 00 1 0 0 1
jJj
= 1
1 +
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
Modelo de mercado
Sea el modelo
Qd = Qs
Qd = D(P, Y0) (D/P< 0; D/Y0 > 0)
Qs = S(P) (dS/dP> 0)
Expresndolo en un sistema de ecuaciones simultneas, se obtiene
F1(P, Q, Y0) = D(P, Y0) Q=0
F2(P, Q, Y0) = S(P) Q=0
Para evaluar el teorema de la funcin implcita, se asume que las funcionesde oferta y demanda poseen derivadas continuas, por lo que las derivadasde F1 y F2 tambin lo sern.
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
El jacobiano de las variables endgenas (P y Q) debe no ser cero, lo cualse cumple dado que
jJj=
F1
PF1
QF2
PF2
Q
=
DP 1dSdP
1
= dS
dP
D
P > 0
Entonces, si existe una solucin de equilibrio, el teorema de la funcinimplcita permite denir
P =P(Y0)
Q =Q(Y0) adems que
D(P, Y0) Q 0
S(P) Q 0
A partir de ellas se pueden obtener dP/dY0 y dQ/dY0
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
Especcamente, se puede formular
" F1P
F1
QF2
PF2
Q
# 24 dPdY0 dQ
dY0
35= " F1Y0 F
2
Y0
#
DP 1dS
dP 1 24
dP
dY0 dQdY0
35= DY0
0
Luego, por regla de Cramer
dPdY0
=
DY0 1
0 1 jJj =
DY0
jJj > 0
dQ
dY0 =
DP
DY0
dSdP
0
jJj
=dS
dPDY0
jJj > 0
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
Modelo IS-LM
El mercado de bienes se describe mediante el siguiente conjunto deecuaciones
Y =C+I+G C=C(Y T) G=G0I =I(r) T=T(Y)
Se asume que el consumo es estrctamente creciente en (Y T),entonces C=C(Yd) donde dC/dYd es la propensin marginal aconsumir (0 < C0(Yd) < 1).
Se asume que el gasto de inversin es estrctamente decreciente en r,
esto es, dI/dr=I0(r) < 0El gasto pblico es exgeno y los impuestos son una funcin crecientedel ingreso. Asimismo la tasa marginal de impuesto0 < dT/dY =T0(Y) < 1.
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
Sustituyendo se obtiene la curva IS
Y =C(Y T(Y)) +I(r) +G0
con dos variables endgenas(Y y r) que producen equilibrio en el mercadode bienes.
Calcular la pendiente de esta curva, implica expresar la ecuacin como unaidentidad y tomar la diferencial total respecto a Y y r
Y C(Y T(Y)) I(r) G0 0
dY C0
(Yd
)
1 T0
(Y)
dY I0
(r)dr=0dr
dY =
1 C0(Yd)[1 T0(Y)]
I0(r) < 0
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
El mercado monetario se describe mediante las siguientes ecuaciones
Md = L(Y, r) [demanda de dinero] LY > 0 y Lr < 0
Ms = Ms0 [oferta de dinero]
Md = Ms [condicin de equilibrio]
Sustituyendo se obtieneL(Y, r)Ms0
Para hallar la pendiente, tomamos la diferencial total
LYdY+Lrdr=0
dr
dY =
LY
Lr> 0
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
El estado de equilibrio macroeconmico simultneo de los mercados debienes y monetario se describe mediante el siguiente sistema
Y C(Yd) +I(r) +G0
L(Y, r) Ms0
que de manera implcita denen las variables endgenas Y y r, comofunciones implcitas de las variables exgenas G0 y M
s0 . Tomando la
diferencial total del sistema
dY C0
(Yd
)
1 T0
(Y)
dY I0
(r)dr = dG0LYdY+Lrdr = dM
s0
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
En forma matricial 1 C0(Yd)[1 T0(Y)] I0(r)
LY Lr
dY
dr
=
dG0dMs0
El determinante jacobiano es
jJj=
1 C0(Yd)[1 T0(Y)] I0(r)LY Lr < 0
lo cual satisface el teorema de la funcin implcita, y es posible expresar
Y =Y(G0, Ms0 )
r =r(G0 , Ms0 )
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Esttica comparativa de modelos de funciones generales
Ello nos permite llevar a cabo el ejercicio de esttica comparativa paradeterminar lo efectos de un cambio de una de las variables exgenas
(G0, Ms0 ) en los valores de equilibrio Y y r.Considerando como ejemplo, un cambio en G0, se obtiene
1 C0 [1 T0] I0
LY Lr "
Y
G0r
G0
#=
10
Luego, por regla de Cramer
Y
G0=
1 I0
0 Lr
jJj =
Lr
jJj > 0
r
G0=
1 C0 [1 T0] 1LY 0
jJj
=LYjJj
> 0
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