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Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 1

Giochi statici (o a mosse simultanee) ad informazione incompleta

Introduzione ai Giochi Bayesiani statici


Sintesi dei giochi statici ad informazione incompleta Introduzione ai giochi statici ad informazione

incompleta Rappresentazione in forma Normale (o forma

strategica) dei giochi Bayesiani statici Equilibrio di Nash Bayesiano Aste


Giochi statici ad informazione COMPLETA Un insieme di giocatori (almeno due) Per ogni giocatore, un insieme di strategie Payoffs ricevuti da ogni giocatore a

seconda della combinazione di strategie giocate.

I tre elementi citati sono conoscenza comune fra tutti i giocatori.


Giochi statici ad informazione INCOMPLETA I Payoffs non sono più conoscenza comune

Informazione incompleta significa che Almeno un giocatore è incerto sulla

funzione di payoff di qualche altro giocatore.

I giochi statici ad informazione incompleta sono anche chiamati giochi statici Bayesiani


Dilemma del prigioniero ad informazione completa Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un brutto

crimine. Non ci sono però prove schiaccianti. Ad entrambi i sospetti sono elencate le condizioni della loro prigionia:

Se nessuno dei due confessa sarrano accusati di un crimine minore e faranno un mese di carcere.

Se entrambi confessano saranno accusati del crimine e faranno sei mesi di carcere.

Se uno confessa (accusando l’altro) e l’altro nega,chi confessa va fuori libero e l’accusato farà 9 mesi di carcere.

Prig. 2

Nega Confessa

Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , 0

Confessa 0 , -9 -6 , -6


Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Il Prigioniero 1 è sempre razionale (egoista). Il prigioniero 2 può essere razionale (egoista) o altruista, a

seconda del fatto che sia felice oppure triste. Se è altruista allora preferisce negare e pensa che confessare

(accusando l’altro) è equivalente (in termini morali, di coscienza) a fare “quattro mesi di carcere in più”.

Il prigioniero 1 non sa sicuramente se il prigioniero 2 è razionale o altruista, ma lui crede che il prigioniero 2 è razionale con probabilità 0.8, e altruista con probabilità 0.2.

Payoffs se il prigioniero 2 è altruista

Prig. 2

Nega Confessa

Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , -4

Confessa 0 , -9 -6 , -10


Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Data la convinzione (beliefs) del prigioniero 1 sul prigioniero 2,

quale strategia dovrebbe scegliere il prigioniero 1? Quale strategia deve scegliere il prigioniero 2 nel caso in cui sia

razionale o altruista?

Payoffs se il prig. 2 è razionale

Prig. 2

Nega Confessa

Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , 0

Confessa 0 , -9 -6 , -6Payoffs se il prig. 2 è altruista

Prig. 2

Nega Confessa

Prig. 1Nega -1 , -1 -9 , -4

Confessa 0 , -9 -6 , -10


Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Soluzione:

Il Prigioniero 1 sceglie di confessare, data la sua convinzione sul prigioniero 2

Il Prigioniero 2 sceglie di confessare se è razionale, e di negare se è altruista

Questo può essere scritto come (Confessa, (Confessa se razionale, Nega se altruista))

Confessa è la risposta ottima del prig. 1 alla scelta del prigioniero 2 (Confessa se razionale, Nega se altruista).

(Confessa se razionale, Nega se altruista) è la risposta ottima del prig. 2 alla scelta del prigioniero 1 Confessa

Questo è un Equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano (BNE)


Duopolio di Cournot ad informazione completa La rappresentazione in forma normale :

Insieme dei giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)

Funzione dei payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)

Tutte queste informazioni sono conoscenza comune


Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Un prodotto omogeneo è realizzato solo da

due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità da esse prodotte sono indicate con q1 e q2.

Le quantità vengono scelte simultaneamente. Il prezzo di mkt. : P(Q)=a-Q, dove a è una

costante e Q=q1+q2. La funzione dei costi dell’impresa 1:

C1(q1)=cq1. Tutto questo è conoscenza comune


Duopolio di Cournot ad informazione incompleta I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la

tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.

Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali.

Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff.

L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.

Queste cose sono conoscenza comune


Duopolio di Cournot ad informazione incompleta

Una soluzione per il modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta.

L’impresa 2 sa esattamente se il suo costo marginale è alto o basso.

Se il suo c.m. è basso, i.e. 222 )( qcqC H , allora, per ogni dato 1q , risolverà il seguente problema:

0 ..

])([

2

212

qts

cqqaqMax H

FOC: )(21

)( 02 1221 HHH cqacqcqqa

)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 a 1q , se il suo costo marginale è alto.



Se il suo c.m.è basso, i.e. 222 )( qcqC L , allora, per ogni dato 1q , risolverà il seguente problema

0 ..

])([

2

212

qts

cqqaqMax L

FOC: )(21

)( 02 1221 LLL cqacqcqqa

)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 a 1q , se il suo costo marginale è basso.



L’impresa 1 conosce esattamente la propria funzione dei costi

111 )( cqqC . L’impresa 1 non sa se il c.m. dell’impresa 2 è alto o basso. Ma crede che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà

222 )( qcqC H con probabilità , e 222 )( qcqC L con probabilità 1

Equivalentemente, sa che la probabilità che la quantità dell’impresa 2 sia )(2 Hcq è , la probabilità che la quantità

dell’impresa 2 sia )(2 Lcq è 1 . Quindi risolverà il seguente problema:

0 ..

]))(([)1(

]))(([

1

211

211

qts

ccqqaq

ccqqaqMax

L

H



Il problema dell’impresa 1 è:

0 ..

]))(([)1(

]))(([

1

211

211

qts

ccqqaq

ccqqaqMax

L

H

FOC:

0])(2[)1(])(2[ 2121 ccqqaccqqa LH

Quindi, 2

])([)1(])([ 221

ccqaccqaq LH

1q è la risposta ottima dell’impresa 1alla convinzione che l’impresa 2 scelga )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1



Adesso abbiamo

)(21

)( 12 HH cqacq

)(21

)( 12 LL cqacq

2])([)1(])([ 22

1ccqaccqa

q LH

Tre equazioni e tre incognite. Risolvere il sistema ci conduce a :



)(6

1)2(

31

)(*2 LHHH ccccacq

)(6

)2(31

)(*2 LHLL ccccacq

3)1(2*

1LH ccca

q

L’impresa 1 sceglie *1q

L’impresa 2 sceglie )(*2 Hcq se il suo c.m. è alto, o )(*

2 Lcq se il suo c.m. è basso.

Questo può essere scritto come ( *1q , ( )(*

2 Hcq , )(*2 Lcq ))

Le quantità di riferimento sono risposte ottime reciproche

Questa soluzione è chiamata Equilibrium di Nash Bayesiano.

Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima per ogni tipo


Riassunto

Definizione di gioco statico ad informazione incompleta

Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta

Prossimo argomento Altri esempi Equilibrio di Nash Bayesiano


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Un prodotto omogeneo è realizzato solo da

due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità relative sono rispettivamente q1 e q2.

Le imprese scelgono le quantità simultaneamente.

Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2.

Queste caratteristiche del gioco sono di conoscenza comune


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la

tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.

Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali.

Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff.

L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.

Queste cose sono conoscenza comune


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Anche i costi marginali dell’impresa 1 dipendono da alcuni fattori

indipendenti da quelli dell’impresa 2 che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo marginale può quindi essere Alto (H): funzione dei costi: C1(q1)=cHq1. Basso (L): funzione dei costi: C1(q1)=cLq1.

Prima di produrre, l’impresa 1 può osservare questi fattori e conoscere esattamente il livello del proprio costo marginale.

Invece, l’impresa 2 non conosce esattamente i costi dell’impresa 1. Quindi, è anche incerta sui payoff dell’impresa1.

L’impresa 2 crede che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà C1(q1)=cHq1 con probabilità , e C1(q1)=cLq1 con probabilità 1–.


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)

Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente il suo livello di costi marginali.

Prima di produrre, l’impresa 1 NON conosce esattamente il livello di costi marginali dell’impresa 2.

Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà:

222 )( qcqC H (e quindi l’impresa 2 sceglierà )(2 Hcq ) con probabilità .

222 )( qcqC L (e quindi l’impresa 2 sceglierà )(2 Lcq ) con probabilità 1 .

Adesso risolviamo il problema dell’impresa 1, dati si suoi “belief” sull’impresa 2.



L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.

Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. 111 )( qcqC H , allora, dati I suoi “belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:

0 ..

]))(([)1( ]))(([

1

211211

qts

ccqqaqccqqaqMax HLHH

FOC: 0])(2[)1(])(2[ 2121 HLHH ccqqaccqqa

Quindi, 2

])([)1(])([)( 22

1HLHH

Hccqaccqa

cq

)(1 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 1 supponendo che (beliefs) l’impresa 2 sceglierà )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 1 è ALTO.



L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.

Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. 111 )( qcqC L , allora, dati I suoi “belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:

0 ..

]))(([)1( ]))(([

1

211211

qts

ccqqaqccqqaqMax LLLH

FOC: 0])(2[)1(])(2[ 2121 LLLH ccqqaccqqa

Quindi, 2

])([)1(])([)( 22

1LLLH

Lccqaccqa

cq

)(1 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 1 alla supposizione (beliefs) che l’impresa 2 scelga )(2 Hcq con probabilità , e )(2 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 1 è BASSO (L).



Prima di produrre, l’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costi marginali.

Prima di produrre, l’impresa 2 NON conosce esattamente il livello di costi marginali dell’impresa 1.

Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà:

111 )( qcqC H (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà )(1 Hcq ) con probabilità .

111 )( qcqC L (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà )(1 Lcq ) con probabilità 1 .

Risolviamo adesso il problema dell’impresa 2 data le sue “credenze” sull’impresa 1.


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due)L’impresa 2 sà esattamente se il suo c.m. è alto o basso.

Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. 222 )( qcqC H , allora, date le sue credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema

0 ..

]))(([)1( ]))(([

2

212212

qts

cqcqaqcqcqaqMax HLHH

FOC: 0]2)([)1(]2)([ 2121 HLHH cqcqacqcqa

Quindi, 2

])([)1(])([)( 11

2HLHH

Hccqaccqa

cq

)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 basata sulla supposizione che l’impresa 1 scelga )(1 Hcq con probabilità , e )(1 Lcq con probabilità 1 , se il costo marginale dell’impresa 2 è ALTO (H).



L’impresa 2 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. 222 )( qcqC L , allora, date le sue

credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema:

0 ..

]))(([)1( ]))(([

2

212212

qts

cqcqaqcqcqaqMax LLLH

FOC: 0]2)([)1(]2)([ 2121 LLLH cqcqacqcqa

Quindi, 2

])([)1(])([)( 11

2LLLH

Lccqaccqa

cq

)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla supposizione che l’impresa 1 scelga )(1 Hcq con probabilità , e )(1 Lcq con probabilità

1 , se il costo marginale dell’impresa 2 è BASSO (L).


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Adesso abbiamo

2

])([)1(])([)( 22

1HLHH

Hccqaccqa

cq

2

])([)1(])([)( 22

1LLLH

Lccqaccqa

cq

2

])([)1(])([)( 11

2HLHH

Hccqaccqa

cq

2

])([)1(])([)( 11

2LLLH

Lccqaccqa

cq

Questo è un modello simmetrico. Quindi )()( 21 HH cqcq e )()( 21 LL cqcq . Risolvere questo sistema a 4 incognite e 4 equazione ci dà.

)(6

1)(

31

)()( *2

*1 LHHHH cccacqcq

)(6

)(3

1)()( *

2*1 LHLLL cccacqcq



Ciò può essere scritto come (( )(*1 Hcq , )(*

1 Lcq ), ( )(*2 Hcq , )(*

2 Lcq ))

Se il c.m. dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà )(*1 Hcq come risposta ottima alle quantità

dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*

2 Lcq ).

Se il c.m. dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà )(*1 Lcq come risposta ottima alle quantità


2 Lcq ).

Se il c.m. dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà )(*2 Hcq come risposta ottima alle quantità


1 Lcq ).

Se il c.m. dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà )(*2 Lcq come risposta ottima alle quantità


1 Lcq )

Questo è un equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano.

Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima per ogni tipo


Battaglia dei sessi

In posti separati, Chris e Pat devono scegliere cosa fare la sera (opera o combattimento).

Entrambi conoscono quanto segue: Preferiscono passare la serata insieme. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce il combattimento.

Pat

Opera Prize Fight

ChrisOpera 2 , 1 0 , 0

Prize Fight 0 , 0 1 , 2


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Adesso le preferenze di Pat dipendono dal fatto che sia o

meno felice. Se è felice allora le sue preferenze saranno le stesse. Se è infelice allora preferisce starsene da solo e le sue

preferenze sono quelle del gioco sottorappresentato. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris

“believes” che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5

Payoffs se Pat è infelice Pat

Opera Prize Fight




Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Come trovare una soluzione ? Due “tipi” di Pat: felice e infelice

Payoffs se Pat è infelice con probabilità 0.5

Pat

Opera Prize Fight



Payoffs se Pat è felice con probabilità 0.5

Pat

Opera Prize Fight




Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Risposta ottima

Se Chris sceglie opera allora la risposta di Pat sarà: opera se è felice, e prize fight se è infelice

Supponiamo che Pat scelga opera se è felice, e prize fight se è infelice. Quale sarà la risposta ottima di Chris?

Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice, o 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà allora di 20.5+ 00.5=1

Se Chris sceglie prize fight allora lei otterà 0 se Pat è felice, o 1 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 00.5+ 10.5=0.5

Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera Un BNE: (opera, (opera se felice e prize fight se

infelice))


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Risposta ottima

Se Chris sceglie prize fight allora la risposta ottima di Pat sarà: prize fight se felice, e opera se infelice

Supponiamo che Pat scelga prize fight se è felice, e opera se è infelice. Quale sarà la strategia ottima di Chris?

Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice, o 2 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà quindi di 00.5+ 20.5=1

Se Chris sceglie prize fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice, o di 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 10.5+ 00.5=0.5

Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera (prize fight, (prize fight se felice e opera se infelice)) NON è

un BNE.


Riassunto


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno)

Prossimo argomento Equilibrio di Nash Bayesiano


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Un prodotto omogeneo è prodotto solo da

due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate da q1 e q2.

La scelta delle quantità è simultanea. Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è

una costante e Q=q1+q2.

Tutto ciò è conoscenza comune


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) I costi dell’impresa 2 dipendono da un fattore

(e.g. la tecnologia) che solo l’impresa 2 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. BASSO (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.

I costi dell’impresa 1 dipendono da un altro fattore (indipendente o dipendente) che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi : C1(q1)=cHq1. BASSO (L): funzione dei costi : C1(q1)=cLq1.


Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)

La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa sarà )(1 Hcq se I suoi costi sono Alti

)(1 Lcq se I suoi costi sono Bassi

La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa

sarà )(2 Hcq se I suoi costi sono Alti

)(2 Lcq se I suoi costi sono Bassi



Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente se il suo costo è Alto o Basso.

Invece, l’impresa 1 non conosce esattamente I costi dell’impresa 2. Come risultato, è incerta sui payoff dell’impresa 2.

L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono Alti allora la funzione di costo dell’impresa 2 sarà

222 )( qcqC H con probabilità )|( 121 HH ccccp , e

222 )( qcqC L con probabilità )|( 121 HL ccccp .

L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono BASSI allora la funzione di costo dell’impresa 2 sarà

222 )( qcqC H con probabilità )|( 121 LH ccccp , e

222 )( qcqC L con probabilità )|( 121 LL ccccp .

Esempio: )|( 121 HH ccccp )|( 121 LH ccccp

)|( 121 HL ccccp 1)|( 121 LL ccccp come nella ver. 2.



Prima di produrre, l’impresa 2 sa esattamente se il suo costo sarà Alto o Basso.

Invece, l’impresa 2 è incerta sul livello di costi (e quantità) dell’impresa 1. L’impresa 2 crede che se il suo costo è Alto allora la funzione dei costi

dell’impresa 1 sarà 111 )( qcqC H con probabilità )|( 212 HH ccccp , e

111 )( qcqC L con probabilità )|( 212 HL ccccp .

L’impresa 2 crede che se il suo costo è Basso allora la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà

111 )( qcqC H con probabilità )|( 212 LH ccccp , e

111 )( qcqC L con probabilità )|( 212 LL ccccp .

Esempio: )|( 212 HH ccccp )|( 212 LH ccccp

)|( 212 HL ccccp 1)|( 212 LL ccccp come in ver. 2.



L’impresa 1 sa se il suo costo è alto o basso. Se è Alto, i.e. 111 )( qcqC H , allora, data la sua ipotesi sull’impresa 2,

risolverà il seguente problema

0 ..

]))(([)|(

]))(([)|(

1

211121

211121

qts

ccqqaqccccp

ccqqaqccccpMax

HLHL

HHHH

FOC:

0])(2[)|(

])(2[)|(

21121

21121

HLHL

HHHH

ccqqaccccp

ccqqaccccp

Quindi,

2

)()|()()|()( 21212121

1LHLHHHH

Hcqccccpcqccccpca

cq

)(1 Hcq è la risposta ottima dell’imp. 1 alla ipotesi (probabilità) sull’impresa 2 ( )(2 Hcq , )(2 Lcq ) se il costo dell’impresa 1 è Alto.

u1(q1, q2(cH); cH)

u1(q1, q2(cL); cH)



L’impresa 1 conosce esattamente il suo livello di costo. Se il suo costo è BASSO, i.e. 111 )( qcqC L , allora, data la sua ipotesi

sull’impresa 2, risolverà il seguente problema

0 ..

]))(([)|(

]))(([)|(

1

211121

211121

qts

ccqqaqccccp

ccqqaqccccpMax

LLLL

LHLH

FOC:

0])(2[)|(

])(2[)|(

21121

21121

LLLL

LHLH

ccqqaccccp

ccqqaccccp

Quindi,

2

)()|()()|()( 21212121

1LLLHLHL

Lcqccccpcqccccpca

cq

)(1 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 1 all’ipotesi (probabilità) sull’impresa 2 ( )(2 Hcq , )(2 Lcq ) se il costo dell’impresa 1 è BASSO.

u1(q1, q2(cH); cL)

u1(q1, q2(cL); cL)



L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo. Se è ALTO, i.e. 222 )( qcqC H , allora, data la sua ipotesi sull’impresa

1, risolverà il seguente problema

0 ..

]))(([)|(

]))(([)|(

2

212212

212212

qts

cqcqaqccccp

cqcqaqccccpMax

HLHL

HHHH

FOC:

0]2)([)|(

]2)([)|(

21212

21212

HLHL

HHHH

cqcqaccccp

cqcqaccccp

Quindi,

2

)()|()()|()( 12121212

2LHLHHHH

Hcqccccpcqccccpca

cq

)(2 Hcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità) sull’impresa 1 ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) se il costo dell’impresa 2 è ALTO.

u2(q1(cH), q2; cH)

u2(q1(cL), q2; cH)



L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo. Se il suo costo è BASSO, i.e. 222 )( qcqC L , allora, data la sua ipotesi

sull’impresa 1, risolverà il seguente problema

0 ..

]))(([)|(

]))(([)|(

2

212212

212212

qts

cqcqaqccccp

cqcqaqccccpMax

LLLL

LHLH

FOC:

0]2)([)|(

]2)([)|(

21212

21212

LLLL

LHLH

cqcqaccccp

cqcqaccccp

Quindi,

2

)()|()()|()( 12121212

2LLLHLHL

Lcqccccpcqccccpca

cq

)(2 Lcq è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità) sull’impresa 1 ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) se il costo dell’impresa 2 è Basso.

u2(q1(cH), q2; cL)

u2(q1(cL), q2; cL)



Adesso abbiamo Quattro equazioni in Quattro incognite.

2

)()|()()|()( 21212121

1LHLHHHH

Hcqccccpcqccccpca

cq

2

)()|()()|()( 21212121

1LLLHLHL

Lcqccccpcqccccpca

cq

2

)()|()()|()( 12121212

2LHLHHHH

Hcqccccpcqccccpca

cq

2)()|()()|(

)( 121212122

LLLHLHLL

cqccccpcqccccpcacq

Risolvere questo ci darà il nostro BNE.

)( ),( *1

*1 LH cqcq

)( ),( *2

*2 LH cqcq



L’equilibrio di Nash bayesiano: (( )(*1 Hcq , )(*

1 Lcq ), ( )(*2 Hcq , )(*

2 Lcq ))

Se il costo marginale dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà )(*1 Hcq risposta

ottima alla scelta dell’impresa 2 ( )(*2 Hcq , )(*

2 Lcq ) (e la probabilità).

Se il costo marginale dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà )(*1 Lcq risposta



Se il costo marginale dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà )(*2 Hcq risposta



Se il costo marginale dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà )(*2 Lcq risposta




Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale La rappresentazione normale di un gioco bayesiano

statico G a n-giocatori con informazione incompleta specifica:

Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},

Una serie di azioni per i giocatori nAAAA ..., , , , 321 e

La loro relative funzione di payoff

ALTRO

Ricordate: la funzione di payoff dei giocatori dipendono NON solo dale azioni degli n giocatori ma anche dal loro TIPO.

iT è l’insieme dei tipi possibili del giocatore i.

Esempio: } ,{1 LH ccT , } ,{2 LH ccT


Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : payoffs

La funzione di payoff del giocatore i è rappresentata come:

. , ..., , ,per ) ; ..., , ,( 221121 iinnini TtAaAaAataaau

Esempio: ])([) ; ,( 211211 HH cqqaqcqqu ])([) ; ,( 211211 LL cqqaqcqqu

Ogni giocatore conosce il proprio tipo. Quindi, conosce la propria funzione di payoff.

Ogni giocatore può essere incerto sul tipo degli altri giocatori. Quindi sarà incerto sulla funzione di payoff degli altri giocatori


Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : beliefs (probabilità)

Il giocatore i ha beliefs sui tipi degli altri giocatori, denotati da

. ..., , ,per ) | ..., , , ..., , ,( 22111121 nniniii TtTtTtttttttp o

. ..., , , ), ..., , , ..., , ,( dove ) |( 22111121 nnniiiiii TtTtTtttttttttp

I beliefs del giocatore i-esimo sono probabilità condizionate

ESEMPIO: )|( 121 HH ccccp )|( 121 LH ccccp )|( 121 HL ccccp )|( 121 LL ccccp


Strategia

In un gioco Bayesiano statico, una strategia per il giocatore i

è una funzione iiii Ttts ogniper ) ( .

) ( ii ts specifica cosa il giocatore i farà per ogni suo tipo ii Tt

Esempio: ( )(1 Hcq , )(1 Lcq ) è una strategia per l’impresa 1 nel modello di Cournot ad informazione incompleta (versione tre).


Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori

In un gioco Bayesiano statico a 2 giocatori } , ; , ; , ; ,{ 21212121 uuppTTAA , le strategie )( ),( *

2*1 ss danno un

equilibrio di Nash Bayesiano in strategie pure se

Per ognuno dei tipi del giocatore 1 11 Tt , )( 1*1 ts risolve

2211

)|() );( ,( 12112*211

TtAattpttsauMax

E per ognuno dei tipi del giocatore 2 22 Tt , )( 2*2 ts risolve

1122

)|() ; ),(( 212221*12

TtAattptatsuMax


Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori

In un gioco Bayesiano statico } , ; , ; , ; ,{ 21212121 uuppTTAA , le strategie

)( ),( *2

*1 ss sono un BNE in strategie pure se per ogni i e j, (assumete

....} , ,{ ....}, , ,{ 2221212111 ttTttT )

)( 11*1 ts )( 21

*2 ts

)( 12*1 ts )( 22

*2 ts

)( 2*2 jts

)( 1*1 its

)( 2*2 nts

)( 1*1 nts

La risposta ottima del giocatore

1 se il suo tipo è t1i

La risposta ottima del giocatore 2 se il suo tipo è t2j

Nel senso di aspettative basate sui propri belief

Nel senso di aspettative basate sui propri belief


Riassunto

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre)

Equilibrio di Nash Bayesiano

Prossimo argomento Battaglia dei sessi ad informazione incompleta

(versione due) Aste


Battaglia dei sessi

In posti separati, Chris e Pat devono scegliere se andare ad un opera oppure ad un incontro di boxe.

Entrambi sanno quanto segue: Entrambi preferiscono passare la serata in

compagnia reciproca. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce la boxe.

Pat

Opera Prize Fight




Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) La preferenza di Pat dipende dal fatto che sia o meno

felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da solo. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris

crede che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5

La preferenza di Chris dipende dal fatto che sia o meno felice. Se è felice le preferenze sono le solite.

Se è infelice allora preferisce passare la serata da sola. Pat non può sapere se Chris è felice o meno. Ma Pat

crede che Chris sia felice con probabilità 2/3 e infelice con probabilità 1/3.


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)

Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE

Chris è felice

Pat è felice

Pat

Opera Fight


Fight 0 , 0 1 , 2

Chris è felice

Pat è infelice

Pat

Opera Fight


Fight 0 , 1 1 , 0

Chris è infelice

Pat è felice

Pat

Opera Fight


Fight 1 , 0 0 , 2

Chris è infelice

Pat è infelice

Pat

Opera Fight


Fight 1 , 1 0 , 0


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se

felice, Fight se infelice)) è un BNE.

La risposta ottima di Chris alla strategia di Pat (Opera se felice, Fight è infelice) se Chris è Felice

Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice (probabilità 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice (probabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=20.5+00.5=1

Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice (probabilità 0.5), o un payoff di 1 se Pat è infelice (robabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+10.5=0.5

Quindi, la risposta ottima di Chris è Opera se è FELICE.



Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.

La risposta ottima di Chris alla startegia di Pat (Opera se felice, Fight se infelice) se Chris è Infelice

Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice (prob. 0.5), o un payoff di 2 se Pat è infelice (prob. 0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+20.5=1

Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice (prob. 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice (prob. 0.5). Il suo payoff atteso sarà =10.5+00.5=0.5

Quindi, la risposta ottima di Chris sarà Opera se è Infelice.


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se

felice, Fight se infelice)) è un BNE.

La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se felice, Opera se infelice) se Pat è Felice

Se Pat sceglie Opera allora ottiene un payoff di 1 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 1 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà=1(2/3)+1(1/3)=1

Se Pat sceglie Fight allora ottiene un payoff di 0 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà =0(2/3)+0(1/3)=0

Quindi, La risposta ottima di Pat sarà Opera se è Felice.



Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.

La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se felice, Opera se infelice) se Pat è Infelice

Se Pat sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà=0(2/3)+1(1/3)=0

Se Pat sceglie Fight allora otterrà un payoff di 2 se Chris è felice (prob. 2/3), o un payoff di 2 se Chris è infelice (prob. 1/3). Il suo payoff atteso sarà =2(2/3)+2(1/3)=2

Quindi, la risposta ottima di Pat è Fight se è Infelice.

Quindi, ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE.



Chris è infelice

Pat (0.5, 0.5)

(O,O) (O,F) (F,O) (F,F)

ChrisO 0 1 1 2

F 1 1/2 1/2 0

Chris è felice

Pat (0.5, 0.5)

(O,O) (O,F) (F,O) (F,F)

ChrisO 2 1 1 0

F 0 1/2 1/2 1

Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0.5, infelice 0.5

Il payoff atteso di Chris giocando Fight se Chris è felice e Pat gioca (Opera se felice, Fight se infelice)



Pat è felice Pat

O F

Chris

(2/3, 1/3)

(O,O) 1 0

(O,F) 2/3 2/3

(F,O) 1/3 4/3

(F,F) 0 2

Pat è infelice Pat

O F

Chris

(2/3, 1/3)

(O,O) 0 2

(O,F) 1/3 4/3

(F,O) 2/3 2/3

(F,F) 1 0

Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3, infelice 1/3

Il payoff atteso da Pat giocando Opera se Pat è infelice e Chris gioca (Fight se felice, Fight se infelice)


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Controllate se ((Fight se felice, Opera se

infelice), (Fight se felice, Fight se infelice)) è un BNE.


Asta di primo prezzo in busta chiusa

C’è in vendita un bene singolo (ad esempio un quadro di Dalì).

Due offerenti, 1 e 2, spediscono in busta chiusa la loro offerta. Nessuna sa cosa faranno gli altri quando spedisce la busta.

Sia 1b l’offerta del signor 1 e 2b l’offerta del signor 2

L’offerta più alta si aggiudica il quadro e paga il prezzo che ha offerto

L’altro offerente non ottiene niente e non paga niente In caso di offerta identica, il vincitore è determinato dal lancio di una moneta

L’offerente i ha una valutazione ]1 ,0[iv per il quadro. 1v e 2v sono indipendenti.

Le funzioni di payoff dei due signori saranno:

12

1222

1222

2212

21

2111

2111

1211

se0

se2

se

);,(

se0

se2

se

);,(

bb

bbbv

bbbv

vbbu

bb

bbbv

bbbv

vbbu



Rappresentazione in forma normale:

Due offerenti, 1 e 2

Insieme delle strategie (insieme offerte): ) ,0[1 A , ) ,0[2 A

Insieme dei tipi (insieme dei valori): ]1 ,0[1 T , ]1 ,0[2 T

Beliefs: Offerente 1 crede che 2v sia distribuito in modo uniforme su ]1 ,0[ . Offerente 2 crede che 1v sia distribuito in modo uniforme su ]1 ,0[ . 1v e 2v sono indipendenti.

Le funzioni dei payoff dei due offerenti saranno:

12

1222

1222

2212

21

2111

2111

1211

if0

if2

if

);,(

if0

if2

if

);,(

bb

bbbv

bbbv

vbbu

bb

bbbv

bbbv

vbbu



Una strategia per l’offerente 1 è una funzione )( 11 vb , per ogni ]1 ,0[1 v .

Una strategia per l’offerente 2 è una funzione )( 22 vb , per ogni ]1 ,0[2 v .

Date le aspettative del signore 1 sul signor 2, per ogni ]1 ,0[1 v , il signor 1 risolve

)}({Prob)(21

)}({Prob)( 221112211101

vbbbvvbbbvMaxb

Date le aspettative del signore 2 sul signor 1, per ogni ]1 ,0[2 v , il signor 2 risolve

)}({Prob)(21

)}({Prob)( 112221122202

vbbbvvbbbvMaxb



Controllare se

2)( ,

2)( 2

2*2

11

*1

vvb

vvb è un BNE.

Date le aspettative del signor 1 sul signor 2, per ogni ]1 ,0[1 v , la

risposta ottima del signor 1 a )( 2*2 vb risolve

)}({Prob)(21

)}({Prob)( 2*21112

*2111

01vbbbvvbbbvMax

b

}2

{Prob)(21

}2

{Prob)( 2111

2111

01

vbbv

vbbvMax

b

}2{Prob)(21

}2{Prob)( 1211121101

bvbvbvbvMaxb

11101

2)( bbvMaxb

FOC: 042 11 bv 2

)( 111

vvb



Quindi, per ogni ]1 ,0[1 v , 2

)( 11

*1

vvb è la risposta ottima dell’offerente 1

all’offerta ottima del signor 2 2

)( 22

*2

vvb .

Per simmetria, per ogni ]1 ,0[2 v , 2

)( 22

*2

vvb è la risposta ottima

dell’offerente 2 all’offerta ottima del signor 1 2

)( 11

*1

vvb .

Quindi,

2)( ,

2)( 2

2*2

11

*1

vvb

vvb è un BNE.


Riassunto

Battaglia dei sessi con informazione incompleta (versione due)


Se in futuro dovessimo incontrarci di nuovo e vorreste parlare ancora di Teoria dei giochi con me parleremmo di:


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