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Appunti di Teoria dei SegnaliAppunti di Teoria dei SegnaliCapitolo 6 - Autocorrelazione

Autocorrelazione per segnali di energia ..................................................................... 1Spettro di energia e funzione di autocorrelazione per segnali continui................. 1Proprietà della funzione di autocorrelazione ........................................................ 2Esempio............................................................................................................... 4Esempio: rettangolo traslato ................................................................................ 6Importanza della funzione di autocorrelazione per i sistemi continui ................... 7

Esempio ......................................................................................................... 8Funzione di autocorrelazione per i sistemi discreti ............................................ 11Funzione di cross-correlazione .......................................................................... 11

Autocorrelazione per segnali di potenza .................................................................. 12Introduzione ...................................................................................................... 12Autocorrelazione temporale e potenza di un segnale.......................................... 13autocorrelazione temporale e sistemi lineari tempo-invarianti ........................... 14Autocorrelazione temporale come densità di potenza......................................... 16

Autocorrelazione per segnali periodici .................................................................... 17Definizione ........................................................................................................ 17Potenza di un segnale periodico ......................................................................... 18Segnale periodici di potenza e sistemi lineari tempo-invarianti.......................... 20Esempio: autocorrelazione per il Coseno ........................................................... 21Esempio: autocorrelazione per il Seno ............................................................... 25Esempio............................................................................................................. 26

Autocorrelazione per segnali di energiaAutocorrelazione per segnali di energia

SPETTRO DI ENERGIA E FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE PER SEGNALI

CONTINUI

Consideriamo un segnale tempo-continuo x(t) e la sua trasformata di Fourier X(f) (nell’ipotesi,ovviamente, che la ammetta). Sappiamo che, per definizione, l’energia associata a questo segnale è

E x t dtX =−∞

+∞

∫ ( )2

e abbiamo anche dimostrato che è la stessa energia associata a X(f), ossia che

E X f dfX =−∞

+∞

∫ ( )2

Appunti di “Teoria dei Segnali” - Capitolo 6

Autore: Sandro Petrizzelli2

Chiaramente, la quantità X f( )2 è una funzione della frequenza: essa prende il nome di spettro

di energia del segnale x(t) (mentre ricordiamo che X(f) è lo spettro di ampiezza di x(t)). Vogliamotrovare la rappresentazione nel dominio del tempo di questo spettro di energia, ossia, in definitiva,

l’antitrasformata di Fourier della funzione X f( )2.

Intanto, possiamo scrivere che

( )X f X f X f( ) ( ) ( )*2 =

Antitrasformando, abbiamo

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]Fourier X f Fourier X f X f Fourier X f Fourier X f− − − −= =1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) * ( )* *

L’antitrasformata del complesso coniugato di X(f) è x(-t), per cui

[ ] ( )Fourier X f x t x t− = −1 2( ) ( ) * ( )

*

Chiamando con RX(ττ) l’antitrasformata dello spettro di energia e applicando la semplicedefinizione di prodotto di convoluzione tra due segnali, abbiamo dunque trovato che

( )R x t x t dtX ( ) ( ) ( )*τ τ= +

−∞

+∞

∫

La funzione RX(τ) prende il nome di funzione di autocorrelazione del segnale x(t)considerato. Il motivo di questo nome sarà chiaro più avanti, quando applicheremo questo concettoai sistemi. Vediamo invece adesso qualche proprietà di questa funzione.

PROPRIETÀ DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

La prima proprietà è che RX(0) rappresenta l’energia del segnale x(t), ossia

E RX X= =( )τ 0

Infatti, semplicemente dalla definizione si ha che

( )R x t x t dt x t dtX ( ) ( ) ( ) ( )*τ = = =

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫02

Un’altra proprietà si verifica quando il segnale x(t) è reale: per x(t) reale, RX (τ) è unafunzione pari, ossia, in formule, si ha che

( ) ( )∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

τ−=τ+=τ dt)t(x)t(xdt)t(x)t(x)(R **X

Autocorrelazione


Si tratta di una importante proprietà, che spesso utilizzeremo per i nostri calcoli.Vediamo di dimostrarla. In base alla definizione, abbiamo che

( )R x t x t dtX ( ) ( ) ( )*τ τ= +

−∞

+∞

∫

Effettuando il cambio di variabile s=t+τ, abbiamo che

( )R x s x s dsX ( ) ( ) ( )*τ τ= −

−∞

+∞

∫

Essendo per ipotesi x(t) reale, l’operatore complesso coniugato non ha senso, per cui

R x s x s dsX ( ) ( ) ( )τ τ= −−∞

+∞

∫

L’integrale così ottenuto non è altro che RX(-τ), come volevamo far vedere.L’ultima proprietà, sempre per x(t) reale, è la seguente:

R RX X( ) ( )τ ≤ 0

Essa dice che il valore massimo di questa funzione si ha per t=0.Per dimostrarla, dobbiamo far vedere che

− ≤≥

R R

R RX X

X X

( ) ( )

( ) ( )

0

0

ττ

Facciamo vedere la prima relazione. Intanto, è evidente che, a prescindere da come è fatta x(t),sussiste la seguente relazione:

( )x t x t( ) ( )+ + ≥τ 20

Sviluppando il quadrato, abbiamo che

x t x t x t x t2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( )+ + + + ≥τ τ

che può essere anche riscritta nella forma

x t x t x t x t2 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ + ≥ − +τ τ

Integrando ambo i membri tra -∞ e +∞ otteniamo

x t dt x t dt x t x t dt2 2 2( ) ( ) ( ) ( )−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫+ + ≥ − +τ τ



Abbiamo visto prima che

R x t dtX ( ) ( )02=

−∞

+∞

∫

per cui quella relazione diventa

R x t dt x t x t dtX ( ) ( ) ( ) ( )0 22+ + ≥ − +−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫τ τ

E’ anche evidente che

R x t dtX ( ) ( )02= +

−∞

+∞

∫ τ

per cui possiamo ancora scrivere che

2 0 2R x t x t dtX ( ) ( ) ( )≥ − +−∞

+∞

∫ τ

L’integrale a secondo membro è proprio RX(t) (in quanto x(t) è supposto reale), per cui− ≤R RX X( ) ( )0 τ , ed era quello che volevamo dimostrare.

Per dimostrare l’altra disuguaglianza, ci basta effettuare gli stessi calcoli, ma questa volta a partiredalla relazione

( )x t x t( ) ( )− + ≥τ 20

ESEMPIO

Sia dato il segnale ( )g t Asinc wt( ) = 2 . Di questo segnale vogliamo la funzione di correlazione

R g ( )τ , lo spettro di energia G f( )2 e l’energia ES.

Vediamo intanto come dovremmo procedere applicando semplicemente le definizioni: la formulaper il calcolo della funzione di autocorrelazione è

( )R g t g t dtg ( ) ( ) ( )*τ τ= +

−∞

+∞

∫

Per calcolare lo spettro di energia dobbiamo trasformare secondo Fourier la funzione Rg(τ) e,infine, per calcolare l’energia dobbiamo usare la formula

E g t dtg =−∞

+∞

∫ ( )2

o, in alternativa, la formula

E G f dfg =−∞

+∞

∫ ( )2

Autocorrelazione


Seguendo, dunque, questa strada, ci troviamo a dover risolvere ben due integrali in cui la funzioneintegranda è la funzione “sinc”. E’ allora decisamente consigliabile seguire un’altra strada.

Quella più conveniente consiste nel valutare prima lo spettro di energia G f( )2: da esso,

otteniamo l’energia ES come area sottesa e la funzione di autocorrelazione come antitrasformata diFourier.

Vediamo i calcoli nel dettaglio.Dato che g(t) è una funzione “sinc”, conosciamo bene la sua trasformata, che in questo caso è

G fA

wrect

f

w( ) =

2 2

Lo spettro di energia è dunque

G fA

wrect

f

w

A

wrect

f

w( )

22

22

2 2 2 2=

=

Esso è il prodotto di due rettangoli uguali, per cui è uguale a sua volta ad un rettangolo:

f

|G(f)|2

+1/2w-1/2w

A

w2

2

L’area sottesa da questo rettangolo, in base alla formula

E G f dfg =−∞

+∞

∫ ( )2

è proprio l’energia del nostro segnale g(t), la quale quindi è A

w

2

2.

Infine, antitrasformando |G(f)|2 otteniamo la funzione di autocorrelazione:

[ ]R Fourier G f FourierA

wrect

f

w

A

wFourier rect

f

w

A

ww sinc w

A

wsinc w

X ( ) ( )

( ) ( ) ( )

τ

τ τ

= =

=

=

=

=

− − −1 2 12 2

1

2 2

2 2 2 2

22 2

22

Si nota, ovviamente, che ES=RX(τ=0).



ESEMPIO: RETTANGOLO TRASLATO

Calcoliamo la funzione di correlazione per il seguente segnale:

tt0+D/2t0-D/2

A

Arectt t

D

−

0

Applicando la normale definizione, abbiamo che

( )R x t x t dtX ( ) ( ) ( )*τ τ= +

−∞

+∞

∫

Il nostro x(τ) è un segnale reale, per cui il “complesso coniugato” non ha alcun effetto:

R x t x t dt A rectt t

Drect

t t

DdtX ( ) ( ) ( )

( )τ τ

τ= + =

−

+ −

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫2 0 0

La funzione integranda è il prodotto di due rettangoli uguali (uno traslato rispetto all’altro di untratto t), per cui è a sua volta un rettangolo. Tuttavia, questo rettangolo dipende da come sonodisposti gli altri due uno rispetto all’altro: supponendo per il momento t>0, la situazione è

t

A

tt0+D/2t0-D/2

A

Si nota, dunque, che RX(τ) è nulla quando tD

tD

0 02 2− + > +τ , ossia quando τ>D, mentre, quando

0 < <τ D si ha che

Autocorrelazione


R

D

A dt A tD

tD

A DX

tD

t

tD

( ) ( )τ τ ττ0

2 22

2

22

0 02

0

0

< <= = + + − +

= +− +

+

∫123

Quindi l’andamento di RX(τ) per τ>0 è il seguente:

tD

A2D

Tuttavia, ci ricordiamo che la funzione di correlazione per segnali reali è una funzione pari, cioè èsimmetrica rispetto all’asse delle ordinate, per cui possiamo subito disegnare la parte per τ<0:

tD

A2D

-D

IMPORTANZA DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE PER I SISTEMI

CONTINUI

Consideriamo un generico sistema continuo, caratterizzato da una risposta all’impulsoh(t): sappiamo che l’uscita y(t) del sistema in corrispondenza del generico ingresso x(t) si puòricavare mediante la relazione y t x t h t( ) ( ) * ( )= . Sappiamo che sia x(t) sia y(t), nell’ipotesi di essereentrambi ad energia finita, ammettono la trasformata di Fourier: trasformando secondo Fourier quellarelazione, otteniamo Y f X f H f( ) ( ) ( )= , dove sappiamo che H(f) è la cosiddetta risposta infrequenza del sistema.

L’energia associata al segnale y(t) è

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== df)f(Ydt)t(yE22

Y

Se al posto di Y(f) sostituiamo l’espressione trovata prima, otteniamo

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== df)f(H)f(Xdf)f(H)f(XE222

Y

La funzione H f( )2

prende il nome di funzione di trasferimento dell’energia del sistema

considerato.



Per quanto riguarda l’uscita y(t), la sua funzione di autocorrelazione RY(t) è evidentemente

l’antitrasformata della funzione Y f( )2. Ma, essendo Y f X f H f( ) ( ) ( )

2 2 2= , l’antitrasformata vale

[ ]R Fourier X f H fY ( ) ( ) ( )τ = −1 2 2

Ricordando che l’antitrasformata di un prodotto è pari al prodotto di convoluzione delleantitrasformate, possiamo scrivere che

[ ] [ ]R Fourier X f Fourier H fY ( ) ( ) * ( )τ = − −1 2 1 2

Il primo termine a secondo membro non è altro che RX(τ), per cui

[ ]21XY )f(HFourier*)(R)(R −τ=τ

Ricordando che il modulo quadro di una qualsiasi quantità è pari al prodotto tra la quantità stessaed il suo complesso coniugato, abbiamo poi che

( )[ ] [ ] ( )[ ]*11X

*1XY )f(HFourier*)f(HFourier*)(R)f(H)f(HFourier*)(R)(R −−− τ=τ=τ

Ricordando infine che l’antitrasformata di Fourier del complesso coniugato di una funzione è pariall’antitrasformata della funzione stessa, calcolata però in -t, concludiamo che

( )[ ]R R h hY X( ) ( ) * ( ) * ( )*τ τ τ τ= −

Nel caso in cui la funzione di risposta all’impulso h(t) sia reale (il che significa che il sistema èalmeno idealmente realizzabile), possiamo fare qualche ulteriore calcolo: infatti, in questo caso,l’operatore di complesso coniugato non ha alcun effetto su h(t), per cui

R R h t hY X( ) ( ) * ( ) * ( )τ τ τ= −

EsempioConsideriamo il seguente sistema:

y(t)x(t)

+

T

+

-

Autocorrelazione


Abbiamo in precedenza già visto che questo è un sistema lineare tempo-invariante: l’espressioneanalitica dell’uscita in corrispondenza del generico x(t) è

y t x t x t T( ) ( ) ( )= − −

Vogliamo calcolare, in corrispondenza del generico ingresso x(t), la funzione di autocorrelazioneRY(t) dell’uscita y(t).

La prima cosa da fare, quando si ha a che fare con un sistema lineare tempo-invariante, è sempreil calcolo della sua risposta all’impulso:

h t t t T( ) ( ) ( )= − −δ δ

A questo punto, per il calcolo della RY(T), possiamo fare il seguente ragionamento: dato che nonconosciamo l’espressione analitica di y(t), è ovvio che non possiamo applicare la definizione difunzione di autocorrelazione, ossia

( )R t y y t dY ( ) ( ) ( )*= +

−∞

+∞

∫ τ τ τ

L’unica possibilità è dunque quella di applicare la relazione

[ ] [ ]R t Fourier S f Fourier Y fY Y( ) ( ) ( )= =− −1 1 2

Ci serve dunque Y f( )2. Ricordando che per i sistemi lineari sussiste la relazione

y t x t h t( ) ( ) * ( )= , che nel dominio della frequenza equivale a Y f X f H f( ) ( ) ( )= , possiamo scrivereche

→=== 2

X

2222)f(H)f(S)f(H)f(X)f(H)f(X)f(Y [ ]R t Fourier S f H fY X( ) ( ) ( )= −1 2

Applicando adesso la proprietà di convoluzione nel tempo, abbiamo che

[ ] [ ] [ ]R t Fourier S f Fourier H f R t Fourier H fY X X( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )= =− − −1 1 2 1 2

Quindi, per trovare la funzione di autocorrelazione dell’uscita y(t), dobbiamo effettuare i seguentipassaggi:

• calcolo della funzione di autocorrelazione RX(t) dell’ingresso x(t);

• calcolo della funzione di trasferimento dell’energia del sistema H f( )2, il che significa, in

definitiva, calcolo della risposta in frequenza H(f) del sistema;

• antitrasformazione di H f( )2;

• convoluzione tra RX(t) e l’antitrasformata di H f( )2.

Dato che stiamo supponendo x(t) generico, il primo passo possiamo ritenerlo fatto. Andiamoinvece a calcolare quanto vale la funzione di trasferimento dell’energia: avendo trovato cheh t t t T( ) ( ) ( )= − −δ δ , è chiaro che



[ ] ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

H f Fourier t t T e fT jsin fT

fT jsin fT fT jsin fT

j fT( ) ( ) ( ) cos

cos cos

= − − = − = − − + − =

= − − = − −

−δ δ π π

π π π π

π1 1 2 2

1 2 2 1 2 2

2

e quindi

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )H f fT jsin fT fT sin fT fT( ) cos cos cos2 2 2 21 2 2 1 2 2 2 2 2= − − = − + = −π π π π π

Adesso dobbiamo antitrasformare questa funzione: i calcoli non sono tanto agevoli, per cuiproviamo a seguire un’altra strada.

Abbiamo trovato prima che

[ ]R t R t Fourier H fY X( ) ( ) * ( )= −1 2

L’antitrasformata presente a secondo membro non è altro che la funzione di autocorrelazione dellarisposta all’impulso h(t), per cui possiamo scrivere che

R t R t R tY X h( ) ( )* ( )=

Calcoliamo allora Rh(t) applicando la definizione:

( )R t h h t dh ( ) ( ) ( )*= +

−∞

+∞

∫ τ τ τ

Al posto di h(t) dobbiamo sostituire h t t t T( ) ( ) ( )= − −δ δ . Essendo l’impulso una funzione reale,possiamo subito eliminare l’operatore complesso coniugato e scrivere quanto segue:

( )( )R t T t t T dh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − + − + −−∞

+∞

∫ δ τ δ τ δ τ δ τ τ

Sviluppando il prodotto, abbiamo

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

R t t t T T t T t T d

t d t T d T t d T t T d

h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + − + − − − + + − + − =

= + − + − − − + + − + −

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫

∫ ∫ ∫ ∫

δ τ δ τ δ τ δ τ δ τ δ τ δ τ δ τ τ

δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ

Adesso dobbiamo applicare la proprietà di setaccio: l’applicazione è immediata per il primointegrale, che vale δ(t), e per il secondo, che δ(t-T), per cui

[ ] [ ]R t t t T T t d T t T dh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − − + + − + −−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫δ δ δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ

Anche per l’ultimo integrale, basta porre s=τ-T per ottenere che esso vale δ(t), per cui

[ ]R t t t T T t dh ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − − +−∞

+∞

∫2δ δ δ τ δ τ τ

Autocorrelazione


Per l’ultimo integrale rimasto, possiamo fare quanto segue:

[ ] [ ] ( ) ( )( )[ ]δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ δ τ δ τ τ δ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + = − + + − = − − + + = +−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫T t d T t T T d T t T T d t T

In conclusione, abbiamo trovato che

R t t t T t Th ( ) ( ) ( ) ( )= − − − +2δ δ δ

Adesso, possiamo scrivere che

[ ]R t R t R t R t t t T t TY X h X( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( )= = − − − +2δ δ δ

Ricordando che il prodotto di convoluzione di un segnale per l’impulso è pari al segnale stessocalcolato nel punto di applicazione dell’impulso, abbiamo dunque che

R t R t R t T R t TY X X X( ) ( ) ( ) ( )= − − − +2

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE PER I SISTEMI DISCRETI

Le definizioni e le proprietà date fino ad ora circa i segnali continui valgono pari pari anche per isegnali discreti. Evitiamo perciò di scendere nei dettagli.

FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE

Consideriamo due segnali generici continui x(t) e y(t) (per esempio ingresso e uscita di unsistema). Si definisce funzione di cross-correlazione tra x(t) e y(t) la funzione

R t x t y dX Y, ( ) ( ) ( )= +−∞

+∞

∫ τ τ τ

Si definisce invece funzione di cross-correlazione tra y(t) e x(t) la funzione

R t y t x dY X, ( ) ( ) ( )= −−∞

+∞

∫ τ τ τ

Si può facilmente verificare che queste funzioni sono legate dalla relazione

R t R tX Y Y X, ,( ) ( )= −



Le stesse definizioni sussistono anche per i segnali discreti: si definisce funzione di cross-correlazione tra x(nT) e y(nT) la funzione

R nT Tx mT y mT nTX Ym

, ( ) ( ) ( )= −=−∞

+∞

∑

Si definisce invece funzione di cross-correlazione tra y(nT) e x(nT) la funzione

R nT Tx mT nT y mTY Xm

, ( ) ( ) ( )= +=−∞

+∞

∑

Si verifica anche qui cheR nT R nTX Y Y X, ,( ) ( )= −

Autocorrelazione per segnali di potenzaAutocorrelazione per segnali di potenza

INTRODUZIONE

Sia dato un segnale x(t) generico: sappiamo che questo segnale sarà un “segnale di potenza” oanche “segnale a potenza finita” se risulta finita e non nulla la quantità

PT

x t dtXT

T

T

=→∞

−

+

∫lim ( )/

/1 2

2

2

Sappiamo anche che un segnale di potenza è sempre un segnale ad energia nulla, per cui citroviamo in una situazione diversa da quella esaminata in precedenza, dove invece era EX finito nonnullo e PX=0.

Nel caso dei segnali di energia, abbiamo chiamato funzione di autocorrelazione la funzione

( )R t x x t dX ( ) ( ) ( )*= +

−∞

+∞

∫ τ τ τ

ottenuta come antitrasformata di Fourier dello “spettro di energia” X f( )2. Qualcosa di molto simile

si ha anche per i segnali di potenza: in particolare, dato x(t) segnale di potenza, si definiscefunzione di autocorrelazione temporale la funzione

( )RT

x t x t dtXT

T

T

( ) lim ( ) ( )*

/

/

τ τ= −→∞

−

+

∫1

2

2

Autocorrelazione


La trasformata di Fourier di questa funzione si indica col simbolo SX(f) e prende il nome dispettro di potenza del segnale x(t).

Vediamo qualche proprietà di RX(τ) e della sua trasformata SX(f).

AUTOCORRELAZIONE TEMPORALE E POTENZA DI UN SEGNALE

La prima proprietà che vogliamo far vedere è che l’area sottesa dal segnale SX(f)è pari esattamente alla potenza associata al segnale x(t), ossia che

S f df PX X( )−∞

+∞

∫ =

Per definizione, abbiamo detto che

( )RT

x t x t dtXT

T

T

( ) lim ( ) ( )*

/

/

τ τ= −→∞

−

+

∫1

2

2

Calcolando RX(τ) in τ=0 otteniamo

( )RT

x t x t dtT

x t dt PXT

T

T

TT

T

X( ) lim ( ) ( ) lim ( )*

/

/

/

/

01 1

2

22

2

2

= = =→∞

−

+

→∞−

+

∫ ∫

Inoltre, avendo detto che SX(f) è la trasformata di Fourier di RX(τ), possiamo applicare la formuladi antitrasformazione di Fourier e scrivere che

R S f e dfX Xj2 f( ) ( )τ π τ=

−∞

+∞

∫

Calcolando anche queste per τ=0, si ottiene che

R S f dfX X( ) ( )0 =−∞

+∞

∫

e quindi, avendo trovato prima che RX(0)=PX, concludiamo che

S f df PX X( )−∞

+∞

∫ =

N.B. Facciamo osservare come questo risultato è assolutamente analogo a quello trovato per isegnale ad energia: in quel caso, l’area sottesa dallo spettro di energia, cioè dalla trasformatadi Fourier della funzione di autocorrelazione, era l’energia del segnale



AUTOCORRELAZIONE TEMPORALE E SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI

Sia dato sempre x(t) segnale di potenza: supponiamo che esso entri in ingresso ad un sistemalineare tempo-invariante, il quale produce di conseguenza una uscita y(t). Vogliamo ricavare lafunzione di autocorrelazione dell’uscita y(t).

Data la linearità e la tempo-invarianza del sistema, sappiamo che esso può essere caratterizzatodalla funzione h(t) di risposta all’impulso, la quale ci consente di scrivere la relazione

y t x t h t h x t d( ) ( ) * ( ) ( ) ( )= = −−∞

+∞

∫ τ τ τ

Ci mettiamo nell’ipotesi che quell’integrale converga, il che equivale a dire che certamente y(t)risulta essere una funzione reale. E’ facile dimostrare, per esempio, che questo certamente accadequando il sistema è stabile.

Un altro problema che si pone è il seguente: y(t), risposta del sistema al segnale di potenza x(t), èa sua volta un segnale di potenza? Supponiamo che lo sia.

Per definizione, la funzione di autocorrelazione temporale di y(t) è allora

( )RT

y t y t dtYT

T

T

( ) lim ( ) ( )*

/

/

τ τ= −→∞

−

+

∫1

2

2

Al posto di y(t) sostituiamo proprio l’integrale di convoluzione di prima, con l’accortezza dicambiare i nomi alle variabili onde evitare confusione:

RT

h u x t u du h v x t v dv dtYT

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( ) (( ) )

*

/

/

τ τ= −

− −

→∞−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫ ∫∫1

2

2

Nell’ultimo integrale, possiamo portar dentro l’operatore di complesso coniugato:

( )RT

h u x t u du h v x t v dv dtYT

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( ) (( ) )* *

/

/

τ τ= −

− −

→∞−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫ ∫∫1

2

2

Adesso mettiamo tutti i termini sotto un solo integrale, ricordando, ovviamente, di rispettare ilcorretto ordine di integrazione:

( )RT

h u x t u h v x t v dtdudvYT

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( ) (( ) )* *

/

/

τ τ= − − −→∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫∫∫1

2

2

Abbiamo dunque da risolvere un integrale triplo, in cui l’ordine di integrazione è dt, du e dv.L’integrale più interno è in dt, per cui possiamo portar fuori i termini h(u) e h*(v):

( )RT

h u h v x t u x t v dtdudvYT

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( ) (( ) )* *

/

/

τ τ= − − −→∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫∫∫1

2

2

Autocorrelazione


Ancora, dato che l’integrale intermedio è in du, possiamo spostare ulteriormente il termine h v* ( ) :

( )RT

h v h u x t u x t v dtdudvYT

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( ) (( ) )* *

/

/

τ τ= − − −→∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫∫∫1

2

2

Adesso, portiamo il segno di limite ed il termine 1/T davanti all’integrale più interno:

( )R h v h uT

x t u x t v dt dudvYT

T

T

( ) ( ) ( ) lim ( ) (( ) )* *

/

/

τ τ= − − −

→∞−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫∫∫1

2

2

In questo integrale più interno, se facciamo il cambio di variabile s=t-u, otteniamo

( )R h v h uT

x s x s u v dt dudvYT

T

T

( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )* *

/

/

τ τ= + − −

→∞−∞

+∞

−∞

+∞

−

+

∫∫∫1

2

2

Dato che s+u-τ-v = s - (τ+v-u), si può osservare come tutto il termine tra parentesi quadre sia, perdefinizione, RX(τ+v-u), per cui

R h v h u R v u dudvY X

T

T

( ) ( ) ( ) ( )*

/

/

τ τ= + −−∞

+∞

−

+

∫∫2

2

Ora, l’integrale più interno non è altro che il prodotto di convoluzione tra h(τ+v) e RX(τ+v), percui anche il secondo integrale se ne va e resta

[ ]R h v h v R v dvY X

T

T

( ) ( ) ( ) * ( )*

/

/

τ τ τ= + +−

+

∫2

2

Ma questo integrale non è altro che il prodotto di convoluzione tra la funzione h*(-τ) e la funzioneh R X( ) * ( )τ τ , per cui possiamo concludere che

[ ]R h h RY X( ) ( ) * ( ) * ( )*τ τ τ τ= −

In conclusione, l’autocorrelazione dell’uscita y(t) del nostro sistema (lineare tempo-invariante) èlegata all’autocorrelazione dell’ingresso x(t) dalla relazione

R R h hY X( ) ( ) * ( ) * ( )*τ τ τ τ= −

(si ricordi che il prodotto di convoluzione è commutativo e associativo).

N.B. Ancora una volta, facciamo osservare che il risultato appena ottenuto è identico a quelloottenuto nel caso dei segnali ad energia



Questa stessa relazione può essere espressa anche nel dominio della frequenza: infatti,trasformando ambo i membri secondo Fourier e ricordando che

[ ][ ][ ]

Fourier R S f

Fourier R S f

Fourier h H f

Y Y

X X

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )* *

τ

τ

τ

=

=

− =

abbiamo che

S f S f H fY X( ) ( ) ( )= 2

AUTOCORRELAZIONE TEMPORALE COME DENSITÀ DI POTENZA

Abbiamo detto che la funzione SX(f), trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazionetemporale RX(τ) del segnale x(t) (a potenza finita), prende il nome di “spettro di potenza” del segnalex(t). Questa stessa funzione ha anche il significato di una densità di potenza relativamente alsegnale x(t) e vogliamo adesso vedere da che cosa discende questo nome.

Una spiegazione matematica di questo fatto sarà data quando si parlerà, nell’ambito dellaprobabilità, di processi stocastici stazionari applicati ai sistemi lineari; invece, una spiegazioneintuitiva più che matematica consiste nel far vedere che, dato il segnale x(t) in ingresso al sistema edata la sua trasformata X(f), in un intervallo di frequenza [f1,f1+∆f], la potenza associata ad x(t) èdata da proprio da S f fX ( )∆ .

Consideriamo un sistema lineare tempo-invariante, la cui funzione di trasferimento (o funzione dirisposta in frequenza) abbia il seguente andamento:

1

H(f)

f f1 + ∆f1

L’effetto di questo sistema sull’ingresso x(t) è dunque quello di lasciar passare, inalterata, soloquella parte di segnale compresa nell’intervallo di frequenza [f1,f1+∆f].

Abbiamo prima trovato che sussiste la relazione S f S f H fY X( ) ( ) ( )= 2. In questo caso particolare,

essa equivale a

[ ]S f S fY X( ) ( )= ∈ f f , f + f1 1 ∆

Autocorrelazione


Vediamo quanto vale la potenza associata all’uscita y(t): in base alla prima proprietà dellafunzione di correlazione temporale, abbiamo che

P S f dfY Y=−∞

+∞

∫ ( )

In base adesso alla relazione

[ ]S f S fY X( ) ( )= ∈ f f , f + f1 1 ∆

quell’integrale diventa

P S f dfY X

f

f f

=+

∫ ( )1

1 ∆

A questo punto, ricordando che

P S f dfX X=−∞

+∞

∫ ( )

è evidente che l’integrale di prima è la potenza dPX associata al segnale x(t) nell’intervallo [f1,f1+∆f],per cui, sfruttando una nota proprietà degli integrali definiti, possiamo scrivere che dP S f fX X≅ ( )∆ ,da cui appunto il significato di densità di potenza per la funzione SX(f).

Autocorrelazione per segnali periodiciAutocorrelazione per segnali periodici

DEFINIZIONE

Sappiamo che i segnali periodici sono dei segnali ad energia nulla, ma, in generale, nonsappiamo molto sulla loro potenza, salvo il fatto che la possiamo calcolare mediante la formula

PT

x t dtX

t

t T

=+

∫1 2

0

0

( )

Nel seguito, però, facciamo l’ipotesi di trattare solo segnali periodici a potenza finita. Abbiamovisto prima che si definisce funzione di autocorrelazione temporale per un segnale x(t) apotenza finita la funzione

( )RT

x t x t dtXT

T

T

( ) lim ( ) ( )*

/

/

τ τ= −→∞

−

+

∫1

2

2

Ci proponiamo adesso di trovare una espressione più semplice di RX(τ) in conseguenza dellaperiodicità di x(t).



Intanto, supponiamo che il periodo del segnale x(t) sia T0: allora il termine

( )1

2

2

Tx t x t dt

T

T

( ) ( )*

/

/

−−

+

∫ τ

può essere riscritto nella forma

( )1

0 2

2

0

0

kTx t x t dt

kT

kT

( ) ( )*

/

/

−−

+

∫ τ

in modo da avere

( )RkT

x t x t dtXk

kT

kT

( ) lim ( ) ( )*

/

/

τ τ= −→∞

−

+

∫1

0 2

2

0

0

Ora, in base ad una proprietà degli integrali, l’integrale oggetto di quel limite può essere calcolatocome k volte l’integrale stesso esteso, però, ad 1 solo periodo: quindi

( ) ( )

( ) ( )

RkT

x t x t dtkT

k x t x t dt

Tx t x t dt

Tx t x t dt

Xk

kT

kT

kT

T

kT

T

T

T

( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) ( ) ( )

*

/

/*

/

/

*

/

/*

/

/

τ τ τ

τ τ

= − = − =

= − = −

→∞−

+

→∞−

+

→∞−

+

−

+

∫ ∫

∫ ∫

1 1

1 1

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0 2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

Possiamo dunque concludere che la funzione di correlazione temporale per un segnaleperiodico, di periodo T0, è data da

( )RT

x t x t dtX

T

T

( ) ( ) ( )*

/

/

τ τ= −−

+

∫1

0 2

2

0

0

Ovviamente, anche per questi segnali, la trasformata di Fourier di RX(τ) è lo spettro dipotenza.

POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO

Sulla base della definizione appena data, vediamo quanto vale la potenza PX del nostro segnalex(t) periodico a potenza finita. Abbiamo in precedenza dato per buona la seguente formula:

PT

x t dtX

t

t T

=+

∫1 2

0

0

( )

(dove T era il periodo del segnale). Inoltre, quando abbiamo introdotto il concetto di “sviluppo inserie di Fourier” di un segnale periodico, abbiamo dimostrato la validità di quest’altra relazione:

Autocorrelazione


P xX nn

==−∞

+∞

∑ 2

dove gli xn sono appunto i coefficienti dello sviluppo. Adesso, intendiamo dimostrare questarelazione, facendo uso del concetto di funzione di autocorrelazione.

Essendo x(t) periodico, possiamo esprimerlo sotto forma di sviluppo in serie di Fourier: usando laforma esponenziale del suddetto sviluppo, abbiamo perciò che

x t x enj2 f t

n

n( ) ==−∞

+∞

∑ π

dove ricordiamo che fn=n/T0 e dove T0 è il periodo di x(t).Usando questa espressione di x(t), vediamo quanto vale RX(τ):

RT

x e x e dtX nj2 f t

nn

j2 f t

nT

T

n n( ) ( )

*

/

/

τ π π τ=

=−∞

+∞−

=−∞

+∞

−

+

∑ ∑∫1

0 2

2

0

0

Per comodità, chiamiamo “m” l’indice della seconda sommatoria:

RT

x e x e dtX nj2 f t

nm

j2 f t

mT

T

n m( ) ( )

*

/

/

τ π π τ=

=−∞

+∞−

=−∞

+∞

−

+

∑ ∑∫1

0 2

2

0

0

Portando dentro il segno di sommatoria l’operatore “complesso coniugato” abbiamo

RT

x e x e dtX nj2 f t

nm

j2 f t

mT

T

n m( ) * ( )

/

/

τ π π τ=

=−∞

+∞− −

=−∞

+∞

−

+

∑ ∑∫1

0 2

2

0

0

Portando adesso fuori i due segni di sommatoria abbiamo

RT

x e x e dtX nj2 f t

mj2 f t

T

T

mn

n m( ) * ( )

/

/

τ π π τ= − −

−

+

=−∞

+∞

=−∞

+∞

∫∑∑1

0 2

2

0

0

Portando fuori dal segno di integrale i termini costanti

RT

x x e e e dtX n mj2 f j2 f t j2 f t

T

T

mn

m n m( ) *

/

/

τ π τ π π= −

−

+

=−∞

+∞

=−∞

+∞

∫∑∑1

0 2

2

0

0



L’integrale rimasto è stato risolto già in precedenza: esso vale T0 quando n=m e 0 altrimenti, percui possiamo concludere che

R x eX nj2 f

n

n( )τ π τ==−∞

+∞

∑ 2

Questa è un’altra espressione ancora di RX(τ) per segnali periodici. In particolare, essa è moltocomoda ai fini della valutazione della potenza associata ad x(t): si ha infatti che

P R xX X nn

= = ==−∞

+∞

∑( )τ 02

Questo è un risultato che avevamo già trovato per altra via, parlando proprio dello sviluppo inserie di Fourier e sfruttando le sue proprietà.

Come ultima osservazione, calcoliamo la trasformata di Fourier di RX(τ) espressa in quel modo:ricordando che la trasformata del termine esponenziale non è altro che un impulso traslato, abbiamoevidentemente che

S f x f fX n nn

( ) ( )= −=−∞

+∞

∑ 2 δ

ossia che lo spettro di potenza di un segnale periodico a potenza finita è una successione diimpulsi.

SEGNALE PERIODICI DI POTENZA E SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI

Sia dato un segnale x(t) periodico a potenza finita. Supponiamo di applicare questo segnale iningresso ad un sistema lineare tempo-invariante la cui funzione di trasferimento sia H(f). Sesupponiamo anche che sia l’ingresso x(t) sia la corrispondente uscita y(t) ammettano trasformata di

Fourier, abbiamo in precedenza trovato che sussiste la relazione S f S f H fY X( ) ( ) ( )= 2, la quale si

ottiene trasformando secondo Fourier la relazione R R h hY X( ) ( ) * ( ) * ( )*τ τ τ τ= . Abbiamo anchetrovato che, se x(t) è periodico, il suo spettro di potenza SX(f) è esprimibile mediante la formula

S f x f fX n nn

( ) ( )= −=−∞

+∞

∑ 2 δ

dove gli xn sono i coefficienti del suo sviluppo in serie di Fourier (e quindi fn=n/T). Andando asostituire questa espressione in quella dello spettro di potenza di y(t), otteniamo quindi che

S f H f x f fY n nn

( ) ( ) ( )= −=−∞

+∞

∑2 2 δ

Portando dentro la sommatoria la funzione di trasferimento dell’energia H f( )2

, otteniamo

Autocorrelazione


S f H f x f fY n nn

( ) ( ) ( )= −=−∞

+∞

∑ 2 2 δ

Ma il prodotto di una funzione (in questo caso H f( )2

) per un impulso traslato è a sua volta un

impulso di area pari al valore che la funzione assume nel punto di applicazione dell’impulso, per cuipossiamo concludere che

S f H f x fY n n nn

( ) ( ) ( )==−∞

+∞

∑ 2 2 δ

ESEMPIO: AUTOCORRELAZIONE PER IL COSENO

Consideriamo il segnale ( )x t A f t( ) cos= +2 0π ϕ (dove ovviamente la frequenza del segnale è

f0=1/T0). Calcoliamo la funzione di correlazione, la potenza e lo spettro di energia di questo segnale.Il punto di partenza, trattandosi di un segnale periodico, è la determinazione del suo sviluppo in

serie di Fourier: questa determinazione, in questo caso particolare, è semplice e non implica alcuncalcolo in quanto, applicando le formule di Eulero, abbiamo che

x tA

e eA

e ej f t j f t( ) = + −

2 22 20 0ϕ π ϕ π

Questo significa che i coefficienti dello sviluppo sono

xA

e

xA

e

x

j

j

n

1

1

2

20

=

=

= ∀ ≠ ±

−−

ϕ

ϕ

n 1

Allora, per calcolare lo spettro di energia, ci basta applicare la formula

S f x f fX n nn

( ) ( )= −=−∞

+∞

∑ 2 δ

che in questo caso dà

S f x f f x f fA

fT

Af

TX ( ) ( ) ( )= − + − = +

+ −

− −1

2

1 1

2

1

2

0

2

04

1

4

1δ δ δ δ

Per quanto riguarda la potenza, possiamo calcolarla in vari modi: il primo è ovviamente ladefinizione, che, per segnali periodici, è

PT

x t dtX

T

= ∫1

0

2

0

0

( )



Sostituendo ad x(t) la sua espressione otteniamo

( )PT

A f t dtX

T

= +∫1

20

0

2

0

0

cos π ϕ

e quindi basta risolvere quell’integrale.Un secondo modo è quello di considerare che la potenza associata ad x(t) è pari all’area sottesa

dal suo spettro di potenza, ossia

P S f dfX X=−∞

+∞

∫ ( )

Nel nostro caso, abbiamo perciò che

PA

fT

Af

Tdf

Af

Tdf

Af

Tdf

A A A

X = +

+ −

= +

+ −

=

= + =

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫2

0

2

0

2

0

2

0

2 2 2

4

1

4

1

4

1

4

1

4 4 2

δ δ δ δ

Un altro modo ancora è quello di utilizzare la relazione

P xX nn

==−∞

+∞

∑ 2

Nel nostro caso abbiamo che

P x xA

eA

eA A A

Xj j= + = + = + =−

−1

2

1

22 2 2 2 2

2 2 4 4 2ϕ ϕ

Un altro modo ancora sarebbe quello di calcolarci la funzione di correlazione RX(τ) e di valutarlain τ=0.

Andiamo proprio a valutare la funzione di autocorrelazione; anche qui i metodi possibili sonodue: il primo è ovviamente quello di applicare la definizione; il secondo è invece quello diantitrasformare lo spettro di potenza SX(f).

Applichiamo entrambi i metodi, cominciando dalla definizione: essa dice intanto che

( )RT

x t x t dtX

T

T

( ) ( ) ( )*

/

/

τ τ= −−

+

∫1

0 2

2

0

0

Sostituendo ad x(t) la sua espressione e, considerando che si tratta di un segnale reale, eliminandol’operatore di complesso coniugato, possiamo scrivere che

( ) ( )RT

A f t A f t dtX

T

T

( ) cos cos ( )/

/

τ π ϕ π τ ϕ= + − +−

+

∫1

2 20

0 0

2

2

0

0

Autocorrelazione


Tirando fuori dall’integrale le costanti e sviluppando meglio l’argomento del secondo Cosenoabbiamo

( ) ( )RA

Tf t f t f dtX

T

T

( ) cos cos/

/

τ π ϕ π π τ ϕ= + − +−

+

∫2

00 0 0

2

2

2 2 20

0

A questo punto, l’unico modo di semplificare l’argomento dell’integrale è quello di applicare unadelle formule di prostaferesi e precisamente

cos cos cos cosα β α β

α β+ −

= +2 2

1

2

1

2

Dobbiamo perciò trovare quanto valgono α e β nel nostro caso: per esempio, imponendo che

2 22

22

0 0

0

π π τ ϕα β

π ϕα β

f t f

f t

− + =+

+ =−

si trova che4 4 2

4 20 0

0

π π τ ϕ α βπ ϕ α β

f t f

f t

− + = ++ = −

e, sottraendo membro a membro, si ottiene

β π τα π π τ ϕ

= −= − +

2

4 2 20

0 0

f

f t f

La formula dice quindi che

( ) ( )cos cos cos cos4 4 2

2

4 2

2

1

24 2 2

1

220 0 0

0 0 0

π π τ ϕ π ϕπ π τ ϕ π τ

f t f f tf t f f

− + += − + + −

per cui il nostro integrale diventa

( ) ( )

( ) ( )

RA

Tf t f f dt

A

Tf t f dt

A

Tf dt

X

T

T

T

T

T

T

( ) cos cos

cos cos

/

/

/

/

/

/

τ π π τ ϕ π τ

π π τ ϕ π τ

= − + + −

=

= − + + −

−

+

−

+

−

+

∫

∫ ∫

2

00 0 0

2

2

2

00 0

2

2 2

00

2

2

1

24 2 2

1

22

24 2 2

22

0

0

0

0

0

0

Ricordando che il Coseno è una funzione pari, abbiamo che

( ) ( )RA

Tf t f dt

A

Tf dtX

T

T

T

T

( ) cos cos/

/

/

/

τ π π τ ϕ π τ= − + +−

+

−

+

∫ ∫2

00 0

2

2 2

00

2

2

24 2 2

22

0

0

0

0



Ma l’argomento dell’ultimo integrale non dipende dalla variabile di integrazione, per cui

( ) ( )RA

Tf t f dt

AfX

T

T

( ) cos cos/

/

τ π π τ ϕ π τ= − + +−

+

∫2

00 0

2

2 2

024 2 2

22

0

0

Ci rimane da calcolare un solo integrale: tuttavia, la funzione integranda è un Coseno integrato suun periodo, per cui l’integrale vale notoriamente 0: in conclusione, la funzione di correlazione per ilnostro segnale x(t) è

( )RA

fX ( ) cosτ π τ=2

022

ed è evidentemente un altro coseno.L’altro metodo per calcolare questa funzione era quello di antitrasformare la funzione

S fA

fT

Af

TX ( ) = +

+ −

2

0

2

04

1

4

1δ δ

Questa operazione non è difficile, in quanto basta ricordarsi di alcune proprietà della trasformatadi Fourier: in particolare, in base alla linearità possiamo scrivere che

RA

Fourier fT

AFourier f

TX ( )τ δ δ= +

+ −

− −2

1

0

21

04

1

4

1

L’antitrasformata di un impulso unitario è pari ad 1 (questo risultato è stato ottenuto usando laproprietà di dualità e considerando che la trasformata dell’impulso unitario è pari anch’essa ad 1); inquesto caso, abbiamo impulsi traslati, per cui, in base alla proprietà di traslazione in frequenza,dobbiamo introdurre un termine esponenziale che tiene conto della traslazione: quindi

RA

eA

eX

jT

jT( )τ

π τ π τ

= +−2 2

1 2 21

4 40 0

A questo punto, applicando le formule di Eulero, otteniamo

( )RA e e A

fX

jT

jT

( ) cosτ π τ

π τ π τ

=+

=

−2

21

21

2

02 2 22

0 0

Naturalmente, si trova che RX(0)=PX.

Autocorrelazione


ESEMPIO: AUTOCORRELAZIONE PER IL SENO

Calcoliamo adesso la funzione di correlazione del segnale ( )ϕ+π= tf2Asin)t(x 0 .

La definizione dice che

( )RT

x t x t dtX

T

T

( ) ( ) ( )*

/

/

τ τ= −−

+

∫1

0 2

2

0

0

per cui, sostituendo ad x(t) la sua espressione e considerando che si tratta di un segnale reale (per cuisi può eliminare l’operatore di complesso coniugato), possiamo scrivere che

( ) ( )RT

Asin f t Asin f t dtX

T

T

( ) ( )/

/

τ π ϕ π τ ϕ= + − +−

+

∫1

2 20

0 0

2

2

0

0

Sviluppando l’argomento del secondo Seno, abbiamo

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

RA

Tsin f t sin f t f dt

A

Tsin f t sin f t f sin f f t dt

X

T

T

T

T

( )

cos cos

/

/

/

/

τ π ϕ π ϕ π τ

π ϕ π ϕ π τ π τ π ϕ

= + + − =

= + + − +

−

+

−

+

∫

∫

2

00 0 0

2

2

2

00 0 0 0 0

2

2

2 2 2

2 2 2 2 2

0

0

0

0

Scomponendo adesso la funzione integranda, abbiamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RA

Tsin f t sin f t f dt sin f t sin f f t dtX

T

T

T

T

( ) cos cos/

/

/

/

τ π ϕ π ϕ π τ π ϕ π τ π ϕ= + + − + +−

+

−

+

∫ ∫2

00 0 0

2

2

0 0 0

2

2

2 2 2 2 2 20

0

0

0

Nel primo integrale il Coseno non dipende dalla variabile di integrazione, per cui può essereportato fuori dall’integrale; lo stesso si può fare con il secondo Seno nel secondo integrale. Quindi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )RA

Tf sin f t dt sin f sin f t f t dtX

T

T

T

T

( ) cos cos/

/

/

/

τ π τ π ϕ π τ π ϕ π ϕ= + − + +−

+

−

+

∫ ∫2

00

20

2

2

0 0 0

2

2

2 2 2 2 20

0

0

0

Verifichiamo adesso come il secondo integrale sia nullo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]

sin f t f t dtf t

sin f t D sin f t dt

f tsin f t

f tsin f t sin f t

f tsin sin sin sin

f tsin sin

T

T

T

T

T

T

T

T

2 21

22 2

1

22

1

22 2

1

2

1

20

0 0

2

2

00 0

2

2

00 2

2

00 0 2

2

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

π ϕ π ϕπ ϕ

π ϕ π ϕ

π ϕπ ϕ

π ϕπ ϕ ϕ π

π ϕπ ϕ ϕ π π ϕ ϕ π

π ϕϕ ϕ

+ + =+

+ + =

=+

+ =+

+ =

=+

+ − − − − =+

− =

−

+

−

+

−

+

−

+

∫ ∫cos

cos cos

cos cos cos cos

/

/

/

/

/

/

/

/



Quindi, possiamo scrivere che

( ) ( )RA

Tf sin f t dtX

T

T

( ) cos/

/

τ π τ π ϕ= +−

+

∫2

00

20

2

2

2 20

0

Questo integrale si può risolvere sfruttando la relazione sin2 1

2

1

22α α= − cos( ) : in base ad essa,

abbiamo infatti che

( ) ( ) ( ) ( )RA

Tf f t dt

A

Tf dt

A

Tf t dtX

T

T

T

T

T

T

( ) cos cos cos cos/

/

/

/

/

/

τ π τ π ϕ π τ π ϕ= − +

= + +−

+

−

+

−

+

∫ ∫ ∫2

00 0

2

2 2

00

2

2 2

00

2

2

21

2

1

24 2

22

24 2

0

0

0

0

0

0

Il secondo integrale è nullo in quanto la funzione integranda è un Coseno e l’intervallo diintegrazione è un periodo: resta perciò

( ) ( ) ( )RA

Tf dt

A

Tf T

AfX

T

T

( ) cos cos cos/

/

τ π τ π τ π τ= = =−

+

∫2

00

2

2 2

00 0

2

022

22

22

0

0

Quindi, la funzione di correlazione per il segnale ( )x t A f t( ) cos= +2 0π ϕ è

( )RA

fX ( ) cosτ π τ=2

022

Osserviamo subito come si tratti dello stesso identico risultato trovato per il segnale( )x t Asin f t( ) = +2 0π ϕ .

ESEMPIO

Sia dato il seguente segnale (reale periodico):

t

x(t)

A

T=T0/2

T0

2−

T0

2

−T0

4

T0

4

Ne vogliamo lo spettro di potenza, la funzione di correlazione e la potenza.Avendo a che fare con un segnale periodico, il punto di partenza è sempre il suo sviluppo in serie

di Fourier:

x t x enj2 f t

n

n( ) ==−∞

+∞

∑ π

Autocorrelazione


Questo sviluppo è stato calcolato già in precedenza e si era trovato che

∑+∞

−∞=

π

=

n

tf2j ne2

nsinc

2

A)t(x

Noto questo sviluppo, possiamo subito calcolarci quanto vale lo spettro di potenza del segnalex(t): applicando la formula generale, abbiamo infatti che

S fA

sincn

f fX nn

( ) ( )=

−=−∞

+∞

∑2 2

2

δ

Essendo il “Seno cardinale” una funzione reale, possiamo anche scrivere che

S fA

sincn

f fX nn

( ) ( )=

−=−∞

+∞

∑2

2

4 2δ

Per il calcolo della funzione di autocorrelazione, abbiamo sempre due modi e cioè applicare ladefinizione oppure antitrasformare SX(f). Usando questo secondo metodo, dobbiamo ancora unavolta applicare una serie di proprietà della trasformata di Fourier: in base alla linearità, abbiamo che

[ ]RA

sincn

Fourier f fX nn

( ) ( )τ δ=

−−

=−∞

+∞

∑2

2 1

4 2

L’antitrasformata di un impulso traslato δ(f-fn) è e j f tn2π, per cui concludiamo che

RA

sincn

eXj f

n

n( )τ π τ=

=−∞

+∞

∑2

2 2

4 2

L’altro metodo era quello di applicare la definizione, ossia

( )RT

x t x t dtX

T

T

( ) ( ) ( )*

/

/

τ τ= −−

+

∫1

0 2

2

0

0

Tuttavia, per applicare questo metodo ci servono evidentemente le espressioni di x(t) e di x(t-τ)nell’intervallo [-T0/2,T0/2] e la cosa non risulta molto conveniente.

Per concludere, la potenza PX è

P RA

sincn

X Xn

= =

=−∞

+∞

∑( )04 2

22

Autore: SANDRO PETRIZZELLIe-mail: [email protected]

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