1 Modello

1.1 Teoria della trave di Eulero-Bernoulli dinamica

Figura 1.1 - Trave incastrata

L’equazione dinamica del moto libero della trave risulta essere:

ρAd2 wd t2 + EI

d4 wd x4 =0

dove E è il modulo di Young del materiale, A la sezione della trave, I il momento

d’inerzia della sua sezione, ρ la densità; w(x,t) lo spostamento trasversale della

generica sezione in x al tempo t.

Separando la componente spaziale da quella temporale:

w (x , t )=ϕ (x ) X (t )

E sostituendo nell’equazione precedente, otteniamo le due equazioni differenziali

ordinarie nelle incognite x e t:

{ d4 ϕd x4 −a4 ϕ ( x )=0

d2 Xd t 2 +ω2 X ( t )=0

con: a4=ω2 ρA

EI

La soluzione generale della prima sarà del tipo:

ϕ ( x )=A sin ax+B cosax+C sinh ax+D cosh ax

Mentre la soluzione generale della seconda sarà del tipo:

X ( t )=α cosωt+β sin ωt

Sempre dalla prima equazione differenziale imponendo le condizioni al contorno

per una trave incastrata-libera di lunghezza L [5]:

x=0: ϕ (0)=0 , ϕ '(0)=0

x=L: ϕ ' '(L)=0 , ϕ ' ' ' (0)=0

si ottiene un sistema lineare omogeneo di 4 equazioni, la cui soluzione è diversa da

quella ovvia (A=B=C=D=0) se la matrice dei coefficienti è singolare, ovvero:

det [ 0 11 0

0 11 0

sinh aL coshaL−cosh aL sinh aL

−sin aL −cos aL−cos aL sin aL

]=0

Pertanto l’equazione caratteristica vale:

cos aLsinh aL=0

Da cui per iterazione numerica si ricavano le radici del tipo Rn=an L, in cui an sono

gli autovalori. Con cui si trovano le pulsazioni naturali del sistema del tipo:

ωn=an2√ EI

ρ Α=( Rn

L )2

√ EIρ Α

Quindi dalla soluzione del sistema lineare sotto l’ipotesi di singolarità della matrice

dei coefficienti si ottengono gli autovettori, ovvero i modi propri di vibrare per

ciascun autovalore definiti a meno di una costante A:

ϕn ( x )=A ¿

che si può definire tramite la condizione di normalizzazione:

∫0

L

ϕn2 dx=L

Da un punto di vista fisico l’autovettore ϕn ( x ) rappresenta l’ampiezza lungo x (a

meno di un fattore moltiplicativo) con cui lo spostamento trasversale

(corrispondente a quel modo di vibrare) ωn(x , t) oscilla nel tempo.

Il grafico di Figura 1.2, ottenuto risolvendo il problema accennato con

Mathematica, mostra l’andamento di ϕ (x / L) per i primi tre modi di vibrare, posto

A=1.

Dall’osservazione del grafico si evince che ci sono punti, detti nodi, in cui i modi

di vibrare ϕn si annullano: ciò significa che in quei punti della trave, l’ampiezza

dello spostamento trasversale wn(x ,t) corrispondente a quel modo di vibrare, sarà

nulla per tutto il suo periodo. Mentre all’infuori di essi, se il modo di vibrare viene

eccitato, sarà proporzionale al valore in x della curva corrispondente.

A questo punto per determinare la risposta dinamica della barra si può applicare il

metodo di sovrapposizione modale, che si basa sulla proprietà di ortogonalità degli

autovettori:

∫0

L

ϕi ϕ j=0 se: i≠ j

Figura 1.2 Modi propri di vibrare in una mensola

e sul fatto che lo spostamento trasversale per ciascun modo di vibrare del tipo:

wn (x , t )=ϕn (x ) Xn(t )

sia lineare; quindi lo spostamento totale si ottiene per somma delle singole

componenti modali:

w (x , t )=∑n=1

∞

ϕn (x ) Xn ( t )=∑n=1

∞

ϕn ( x )¿¿¿

¿∑n=1

∞

¿¿

Dunque imponendo le condizioni iniziali per t=0:

w (x , 0 )=w0 ( x )⟹w0 (x )=∑n=1

∞

ϕn (x ) α n

w (x , 0 )=w0 ( x )⟹ w0 (x )=∑n=1

∞

ϕn (x ) βn

Moltiplicando entrambi i membri per ϕm ( x ) e integrando su L, per la proprietà di

ortogonlità si ha:

∫0

L

w0 ( x ) ϕm ( x ) dx=∑n=1

∞

α n∫0

L

ϕn ( x ) ϕm ( x ) dx=αm∫0

L

ϕm (x )2 dx=αm L

∫0

L

w0 ( x ) ϕm ( x ) dx=∑n=1

∞

βn∫0

L

ϕn ( x ) ϕm ( x ) dx=βm∫0

L

ϕm (x )2 dx=βm L

Ottenendo così le costanti α ne βn per ciascun modo di vibrare n:

α n=1L∫

0

L

w0 ( x ) ϕn ( x ) dx

βn=1L∫

0

L

w0 ( x ) ϕn ( x ) dx

Pertanto lo spostamento trasversale w (x ,t) risulta determinanto.

1.2 Deformazione longitudinale

Dunque ritornando a noi, la deformazione longitudinale ε x (x ,t )(misurata

dall’estensimetro) risulta legata allo spostamento trasversale w (x ,t) dalla seguente

relazione:

ε x (x , t )=

H2

∗d2

d x2 w(x ,t )

dove H e lo spessore della trave.

Quindi sostituendo l’espressione dello spostamento trasversale precedentemente

ricavata:

ε x (x ,t )=¿

¿ H2∑n=1

∞

an2¿¿

Dalla quale si osserva che le pulsazioni naturali ωndella deformazione longitudinale

sono le stesse dello spostamento trasversale come volevasi dimostrare.

Mentre i modi cambiano: le “curve” dei modi di vibrare di ε x saranno le derivate

seconde dei modi di w, incrementate di un fattore proporzionale alla pulsazione

naturale ωn corrispondente (∝an2∝ωn).

Il grafico di Figura 1.3, mostra l’andamento della deformazione longitudinale dei

primi tre modi, previa opportuni adattamenti di scala.

Dall’osservazione del grafico si evince che ci sono punti in cui si annullano i modi

di vibrare della deformazione ε x; mentre all’infuori di essi, se il modo di vibrare

viene eccitato, l’ampiezza di ε x (x ,t ) sarà proporzionale al valore in y, della curva

corrispondente.

Quindi nello scegliere dove posizionare l’estensimetro sono da evitare i nodi e

consigliati i punti in cui, le curve dei modi di vibrare di interesse, presentino valori

elevati.

Figura 1.3 Deformazione longitudinale dei modi propri di vibrare in una mensola

2 Acquisizione del segnale

In questo capitolo si descrive la tecnica e gli strumenti utilizzati per acquisire e

convertire in digitale la grandezza fisica da analizzare, ovvero la deformazione ε x.

2.1 Conversione analogico-digitale

L’operazione di conversione analogico-digitale consiste in due distinte

discretizzazioni: la discretizzazione dei tempi, detta campionamento, e la

discretizzazione delle ampiezze, detta quantizzazione.

In sostanza il segnale viene letto ad intervalli regolari di tempo (campionamento) e

convertito in una serie di numeri (quantizzazione); all’uscita quindi no si avrà più

un segnale continuo ma discreto.

L’intervallo di tempo Δt c tra due acquisizioni successive è detto intervallo di

campionamento mentre il suo inverso fc=1/ Δ tc è detta frequenza di

campionamento. Se il campionamento viene effettuato con una fc troppo bassa

rispetto a quella cercata, il segnale verrà interpretato come un segnale a frequenza

più bassa di quello che è realmente. Qualsiasi analisi successiva fornirà allora

risultati errati, perché fatta su un segnale diverso da quello effettivo. Per evitare

questo fenomeno detto Aliasing (alterazione) deve essere soddisfatto il Teorema di

Shannon o del campionamento, secondo il quale deve essere [3]:

f c ≥ 2 f max

essendo f max la frequenza massima da analizzare. Nella pratica si sceglie

f c=2.5 f max.

2.2 Strumentazione

Da un punto di vista degli strumenti utilizzati, un sistema di acquisizione dati

digitale può essere schematizzato in 5 blocchi, vedi Figura 2.1:

-Trasduttore: nel nostro caso l’estensimetro che converte la deformazione ε x, in

una variazione di resistenza elettrica.

-Amplificatore: amplifica il segnale proveniente dal trasduttore per poi essere

acquisito dall’ ADC . Le caratteristiche salienti del segnale generato

dall’amplificatore utilizzato sono:

Volt uscita: ∇V =± 2.50 V

Larghezza di banda: Bandwidth(−3 dB)=0−4000 KHz

Rumore in uscita: N=4 ∙ 10−4 V

-Sample&Hold (S-H): è un campionatore che mantiene il valore analogico costante

per un certo periodo di tempo necessario al ADC per acquisirlo. Nelle prove

condotte la frequenza di campionamento è stata impostata a: f c=10 KHz valore

doppio rispetto alla larghezza di banda dell’amplificatore in modo tale da non

rappresentare un collo di bottiglia lungo la catena di misura.

-Analog-Digital-Converter (ADC): converte il segnale analogico, ovvero la

tensione precedentemente campionata nel tempo in una serie di valori discreti

(quantitizzazione). Il sistema ADC utilizzato lavorando a 16 Bit con un range di

± 10V presenta un ∇V =20 V /216=3 ∙10−4 V .

Figura 2.1 Schema a blocchi ssistema acquisizione dati digitale

-Computer: sul quale, tramite programma creato con LabVIEW, è registro il

segnale digitale proveniente dalla scheda ADC. Il programma una volta impostato,

genera un file di testo costituito da due colonne, una con il tempo e l’altra con il

corrispettivo valore in volt acquisito in quell’istante. Nel nostro caso registrando

per un periodo di 6 s alla frequenza di campionamento di 10KHz, si ottengono

matrici di 2 colonne e 60.000 righe per ogni misura effettuata.

Analizzando l’intera catena di misura si osserva che la frequenza di

campionamento f c e la risoluzione di quantizzazione∇V finale, determinate dallo

strumento con risoluzione più bassa, sono:

Fcr=4 KHz

∇V r=4 ∙ 10−4 V

Dunque in base alle osservazioni precedenti si potranno analizzare segnali fino alla

frequenza di 1.6 KHz.

3 Elaborazione dati

Per elaborare i dati precedentemente acquisiti si è scelto di utilizzare MATLAB,

che ben si presta alla manipolazione di matrici di grandi dimensioni.

3.1 Segnale

Per prima cosa è stato elaborato un grafico che rappresenta la deformazione ε x nel

tempo, in modo da avere una rappresentazione visiva del segnale registrato. Il

grafico di Figura 3.2 mostra la misurazione effettuata su una piastra in vetroresina

di dimensione 2x300x75.

Dalla sua osservazione partendo da sinistra si osserva:

-un breve tratto costituito da piccole oscillazioni irregolari, questo è rumore di

fondo presente per tutta la durata del segnale ed è stato eliminato almeno in parte

con un filtro digitale

Figura 3.2 Vibrazioni in aria di una piastra in vetroresina 2x300x75,

incastrata e soggetta a carico impulsivo

-il momento in cui viene impartito l’impulso, in cui si ha un brusco aumento

d’intensità del segnale, tutta la parte prima di esso è stata scartata.

3.2 Analisi segnale

Il segnale è stato poi elaborato tramite un’algoritmo, che utilizza la Trasformata di

Fourier. Il risultato è lo spettro in frequenza che rappresenta l’ampiezza in

funzione della frequenza del segnale analizzato (vedi Figura 3.3).

Dalla sua osservazione si notano 3 picchi, le cui frequenze (21.47Hz, 136.91Hz,

377.16Hz) corrispondono alle prime tre pulsazioni naturali ricavate col modello

dinamico di trave di Eulero-Bernoulli (21.58Hz, 135.24Hz, 378.68Hz). Bisogna

precisare che esiste un ulteriore picco intorno ai 75Hz, corrispondente ad un modo

di vibrare torsionale della piastra, che in questa sede verrà trascurato.

Figura 3.3 Spettrogramma del comportamento vibratorio di una piastra in alluminio

2x275x75 in aria: si notano tre picchi corrispondenti alle tre pulsazioni naturali

w1, w2 ,w3

Un’altra considerazione da fare è la notevole differenza d’intensità tra le prima due

pulsazioni naturali e l’ultima; il motivo è da attribuire all’impulso inferto che

essendo reale avrà una certa durata nel tempo, infatti allontanandosi dal caso

teorico, ovvero al prolungarsi della durata del carico, l’intensità dei modi di vibrare

decrescerà in misura sempre maggiore all’aumentare della frequenza.